高中新课程高三复习训练题(圆锥曲线2)1
全国名校高中数学题库--圆锥曲线2
→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1] = 0 (i )
4k (k + 1) − k i4k + k = 0 ，解得 k = −4 或 k = 0 （舍去） ， 又 k = −4 < −1 ， ∴ 直线 l 存在，其方程为 x + 4 y − 4 = 0
10 3 的椭圆. （9 分） 3
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程：
x2 y2 1、 （1）已知双曲线 C1 与椭圆 C2 ： + = 1 有公共的焦点，并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的 36 49 7 离心率 e2 之比为 ，求双曲线 C1 的方程． 3 2 （2）以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方 程．
即 k 2 ( y1 − 1)( y2 − 1) + y1 y2 = 0 ， ( k 2 + 1) y1 y2 − k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ，
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南昌市高中新课程方案试验高三复习训练题数学（十四）（圆锥曲线2）二OO五年七月命题人：南昌二中张金生审题人:班级____________ 姓名______________ 学号_____________ 评分___一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）1.抛物线y=-4x2的焦点坐标是（）A.（；,0）B.（0,丄）C.（0,-丄）D.（丄,0）4 16 16 162.已知A、B为坐标平面上的两个定点,且|AB|=2,动点P到A、B两点距离之和为常数则点P的轨迹是)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段2 23•双曲线汁的渐近线方程是（）5 7 25 49A. y=±—xB. y=±—x C・ y二土—x D.y二土一x7 5 49 254.若动点M（x,y）到点F（4,0）的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹是（）A.x+4=0B.x-4=0C. y2 = 8xD. y2 =16x5.直线1过点（血,0）且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点，这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条6.已知定点A、B,且|AB|=4，动点P满足PA|-|PB|=3, ^J|PA的最小值是（）1 3 7A. - B — C.丄 D. 52 2 22 27.椭圆士+ ^T上的一点M到左焦点耳的距离为2, N是M耳的中点，则|ON|等于（）3A. 4B. 2C. -D. 82&与两圆x2 + y2 =1及X + b—张+ 12 = 0都外切的圆的圆心在（）A.—个椭圆上B.双曲线的一支上C. 一条抛物线上D. —个圆上9.抛物线x2=2y离点A （0, a）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件C. a<\D. a <2焦儿闿毘的内心是I ，连MI 并延长交耳耳于点N,则A. (2A /7 -l)a 万元B.5a 万元C. (2^7+1> 万元 D.(2 V3 +3)a 万兀是()A.a < 0 10. 已知耳,场为椭圆E 的两个左右焦点，抛物线C 以耳为顶点，场为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e 满足\PF\ = e\PF^,则e 的值为（）A. —B.2-V3C. —D.2-V2322 211. 已知点M 是椭圆二+与=1 （a>b>0）上非长轴端点的点，耳,F,是椭圆的两个 a bA \/a 2-b~b a y/a 2 -b~ A. ---------- B. .C. iD. -------------byja 2-b 2yja--b 2a12如图，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的 A 北北偏东30。
高三一轮复习圆锥曲线2
高三一轮复习圆锥曲线综合问题1.设椭圆E : 22221x y a b+=（a ,b >0）过M （2，2） ，N (6,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E : 22221x y a b +=（a ,b >0）过M （2，2） ，N (6,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥ ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即263m ≥或263m ≤-,因为直线y k x m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mr k =+,222228381318m m r m k ===-++,263r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足263m ≥或263m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为263x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±满足OA OB ⊥ ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥ .因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++,()2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)k m AB x x y y k x x k k -+=-+-=+-=++ 42242423245132[1]34413441k k k k k k k ++=⋅=+++++, ①当0k ≠时22321||[1]1344AB k k=+++因为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++, 所以2232321[1]1213344k k<+≤++,所以46||233AB <≤当且仅当22k =±时取”=”. ② 当0k =时,46||3AB =.③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±, 所以此时46||3AB =, 综上, |AB |的取值范围为46||233AB ≤≤即: 4||[6,23]3AB ∈ 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.2.设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+ ,向量(,1)b x y =-,a b ⊥ ,动点(,)M x y 的轨迹为E .（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知41=m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知41=m ,设直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值.解（1）因为a b ⊥ ,(,1)a mx y =+ ,(,1)b x y =-, 所以2210a b mx y ⋅=+-= , 即221mx y +=.当m =0时,方程表示两直线,方程为1±=y ; 当1m =时, 方程表示的是圆当0>m 且1≠m 时,方程表示的是椭圆; 当0<m 时,方程表示的是双曲线.(2).当41=m 时, 轨迹E 的方程为2214x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+,解方程组2214y kx tx y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t ++=,即222(14)8440k x ktx t +++-=, 要使切线与轨迹E 恒有两个交点A ,B ,则使△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>,即22410k t -+>,即2241t k <+, 且12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k --=++=+++=-+=+++, 要使OA OB ⊥ , 需使12120x x y y +=,即222222224445440141414t t k t k k k k ----+==+++,所以225440t k --=, 即22544t k =+且2241t k <+, 即2244205k k +<+恒成立. 所以又因为直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21t r k=+,222224(1)45115k t r k k +===++, 所求的圆为2245x y +=. 当切线的斜率不存在时,切线为552±=x ,与2214x y +=交于点)552,552(±或)552,552(±-也满足OA OB ⊥. 综上, 存在圆心在原点的圆2245x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥ .(3)当41=m 时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设直线l 的方程为y kx t =+,因为直线l 与圆C :222x y R +=(1<R <2)相切于A 1, 由（2）知21t R k =+, 即222(1)t R k =+ ①,因为l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,由（2）知2214y kx tx y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t ++=, 即222(14)8440k x ktx t +++-=有唯一解则△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+=, 即22410k t -+=, ②由①②得2222223414R t R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩-, 此时A ,B 重合为B 1(x 1,y 1)点, 由12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩中21x x =,所以,222122441616143t R x k R --==+, B 1(x 1,y 1)点在椭圆上,所以22211214143R y x R -=-=,所以22211124||5OB x y R=+=-, 在直角三角形OA 1B 1中,2222211112244||||||55()A B OB OA R R R R=-=--=-+因为2244R R+≥当且仅当2(1,2)R =∈时取等号,所以211||541A B ≤-=,即 当2(1,2)R =∈时|A 1B 1|取得最大值,最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.)0(12222>>=+b a b y a x 3322（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有 成立？ 若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习(含答案解析)
2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习1．已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.2．已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且离心率2e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k .4．如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.5．已知双曲线C 的方程为：22186x y -=，其左右顶点分别为：1A ，2A ，一条垂直于x轴的直线交双曲线C 于1P ，2P 两点，直线11A P 与直线22A P 相交于点P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点)Q的直线，与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，试探讨ABMQ是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由. 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(l 与x 轴不重合)，1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8. （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =10x +-=被以椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围.8．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：2y x a =+与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若1a =-，求FAB 的面积；（2）若抛物线C 上存在两个不同的点M ，N 关于直线l 对称，求a 的取值范围. 9．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.10．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ. （Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 的两条直线1l 、2l 与曲线Γ相交于A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点.设1l 与2l 的斜率依次为1k 、2k ，若121k k +=-，求证：直线MN 恒过定点.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且直线1x y a b +=与圆222x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 12．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围.13．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |=3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G (-1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线.14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2.（∠）求椭圆C 的方程；（∠）设过定点()02T ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．参考答案1．（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =-+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x x x x λλ==--，，得到121212112x xx x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；（3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222xm xλ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，，设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，，可得(0,)(,0)P km Q m -，，由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-， 又123，∠212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=， 则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③∠代入∠得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∠2m =，(满足∠)故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 2．（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解； （3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=，即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---， 所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-.3．（1）2212x y +=；（2. 【分析】（1）由题意可得222221112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的标准方程；（2））设直线PA的方程为()112y k x -=-，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立消元可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1x ，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得2x ，再利用1212y y k x x -=-即可求得直线l 的斜率k .【详解】（1）因为1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b +=，又2c e a ==，222a b c =+，由上述方程联立可得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设直线PA的方程为()112y k x -=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由122(1)12y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得： ())222111111222210k xk k x k +++--=，所以21112121112k x k --⨯=+，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得21122121112k x k +-⋅=+，因为2112214212k x x k -+=+，1122112x x k --=+，所以()111121112112121212222k x k k x k k x x k y y k x x x x x x ⎛-+--++ +--⎝⎭===---2242212k k k k --+=== 4．（1）22143x y+=（2）存在，(4)6y x =-或4)6y x =--．【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同. 【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =． 所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k +=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得6k =±，满足1122k -<<．所以直线2l的方程为：(4)6y x =-或4)6y x =--． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =-此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=． 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >，则1222434ty y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ②因为2DN DM =，所以212y y =． ③把③代入①得12834t y t =-+，221634ty t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =±2t <-或2t >． 所以直线2l的方程为4)y x =-或4)y x =-． 5．（1）22186x y +；（2）为定值，4.【分析】（1）设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y，利用三点共线得到==，两式相乘化简得22022088y y x x =---，再利用点1P 在双曲线上代入整理即可得到答案；（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，易证4ABMQ=，②当0k ≠时，利用点斜式设出直线l 方程，联立直线l 与椭圆的方程消y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB ，求出AB 的中点坐标，利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线的方程，求出点M 的坐标，利用两点间的距离公式求解MQ ，即可得出答案. 【详解】（1）由题意知：()1A -，()2A ，设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y ， 由11,,A P P 三点以及22,,A P P 三点共线，则==，两式相乘化简得：22022088y y x x =---， 又2200186x y -=， 代入上式得轨迹E 的方程：22186x y +.（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，直线l 的方程为：0y =，线段AB 为椭圆的长轴，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，则AB =，()0,0M,MQ =所以4ABMQ=； ②当0k ≠时，设方程为：(y k x =，联立方程得(22186y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，化简整理得：()2222348240kxx k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，212221223482434x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，)2122143k AB x k +=-==+，线段AB的中点的坐标为222,3434P k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，线段AB的垂直平分线的方程为：22213434y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则M ⎫⎪⎪⎝⎭，)22134k MQ k +==+，∴4ABMQ=. 综上：4ABMQ=. 6．（1）22198x y ；（2）存在，坐标为(3,0)-和(3,0).【分析】（1）由1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8，可求椭圆基本量，进一步确定方程. （2）设直线代入消元，韦达定理整体代入定点满足的关系，探求恒成立的条件. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，由题意可得412228a a c =⎧⎨+=⎩，解得31a c =⎧⎨=⎩，所以b =因此椭圆C 的方程为22198x y .（2）因为直线l 过点2(1,0)F 且不与x 轴重合，所以设l 的方程为1x my =+，联立方程221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()228916640m y my ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12212216896489m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()1212218289x x m y y m +=++=+， ()()()2212121212272911189m x x my my m y y m y y m -+=++=+++=+. 设(,0)T t ，则直线TM 与TN 的斜率分别为11TM y k x t =-，22TN y k x t=-， 则()()1212TM TN y y k k x t x t ⋅=--()2122221212226489729188989y y m m x x t x x t t t m m -+==-+-++-⋅+++ ()222648729189t m t t -=-+-+.所以当28720t -=，即当3t =-时，m ∀∈R ，49TM TN k k ⋅=-； 当3t =时，m ∀∈R ，169TM TN k k ⋅=-. 因此，所有满足条件的T 的坐标为(3,0)-和(3,0).7．（1）2214x y +=；（2）2]3.【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得1b =.由椭圆的离心率可得2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）当直线l 的斜率为0时，求出MA ，MB ，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 方程为4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程可得()2248120m y my +++=，满足题意时212m >，结合韦达定理以及弦长公式，化简整理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【详解】（1）因为原点到直线10x +-=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=,所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >，所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y y +=+=+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<<.23λ<≤，即2]3.8．（12）12a <- 【分析】（1）联立直线与抛物线，根据弦长公式求出||AB ，根据点到直线的距离公式求出点F 到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+代入抛物线，利用判别式大于0可得2m >-， 根据韦达定理求出MN 的中点坐标，将其代入直线l 得到m 与a 的关系式，根据m 的范围可得a 的范围. 【详解】抛物线C ：24y x =的焦点为F (1,0)，（1）当1a =-时，直线:21l y x =-，联立2214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得21204x x -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，1214x x =，所以||AB ===点F 到直线:21l y x =-的距离d ==，所以FAB的面积为11||22AB d ==. （2）因为点M ，N 关于直线l 对称，所以直线MN 的斜率为12-， 所以可设直线MN 的方程为12y x m =-+， 联立2124y x m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22(416)40x m x m -++=， 由22(416)160m m ∆=+->，得2m >-，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，所以34416x x m +=+，所以343411()2(416)2822y y x x m m m +=-++=-⨯++=-， 所以MN 的中点为(28,4)m +-，因为点M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点(28,4)m +-在直线:2l y x a =+上，所以42(28)m a -=++，得420a m =--，因为2m >-，所以12a <-.9．（1）1y =+；（2）12. 【分析】（1）由(0,)(0)T t t >为抛物线焦点，即可设直线l 的方程为1y kx =+，根据直线l 与圆相切可求k 值，写出直线方程.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线上两点距离公式可知()()0022||||14PA PB kxy ⋅==+-，根据直线l 与圆相切、2||||||TE PA PB =⋅求0y ，切线性质：直线l 与PE 互相垂直及00t y kx =-即可求t 的值.【详解】（1）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =，即(0,1)T ，设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =，所以，直线l的方程为1y =+.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，∴1020||||PA PB x x ⋅=-⋅-()()221201201kx xx x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-. 由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+.由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+.由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++-===++. 10．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）设(,)Q x y，根据题意得到|1|x +=Γ的方程；（Ⅱ）设1l ，2l 的方程为12(1),(1)y k x y k x =-=-，联立方程组分别求得2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，和2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得出MN k ，进而得出()111MN k k k =+，得出直线MN 的方程，即可判定直线MN 恒过定点. 【详解】（Ⅰ）由题意，设(,)Q x y ，因为圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，可得|1|x +=24y x =.（Ⅱ）设1l ，2l 的方程分别为1(1)y k x =-，2(1)y k x =-，联立方程组12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222111240k x k x k -++=， 所以21122124k x x k ++=，则2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 所以121222121222122222MNk k k k k k k k k k k -==+++-， 由121k k +=-，可得()111MN k k k =+，所以直线MN 的方程为()2111211221k y k k x k k ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭ 整理得()1121(1)y k k x +=+-，所以直线MN 恒过定点(1,2)-.11．（1）22163x y +=；（2）,33⎣⎦． 【分析】（1）依题意得到c a ==，再根据222c b a +=解方程即可；（2）由M 为线段AB 的中点，可得12OM S S OP=，对直线l 的斜率的斜率存在与否分两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=，即可得到12120x x y y +=，从而得到m 与k 的关系，即可求出面积比的取值范围； 【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为2，∴2c a =（c 为半焦距）． ∵直线1x y a b+=与圆222x y +==．又∵222c b a +=，∴26a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△． （ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由OA OB ⊥及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22A x =．则22M x =，26P x =，∴123OM S S OP ==． （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214260k x kmx m ++-=＋． ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630k m -+>．∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+． ∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=． ∴()()221212121210x x y y kx xkm x x m +=++++=． ∴()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭． 化简，得2222m k =＋．经检验满足0∆>成立．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭． 当0k =时，22m =．此时123S S ==． 当0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-．由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得2221221P k x k =+，22321P y k =+． ∴M P OM y OP y == ∴12S S ==12,33S S ⎛∈ ⎝⎭． 综上，12S S的取值范围为33⎣⎦．12．（1）24x y =；（2）[)(,)610--⋃∞+∞，. 【分析】()1由抛物线的定义可得022p y =-，再代入可求得p ，可得抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由直线垂直的条件建立关于点A 、B 的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.【详解】解：()1依题意得0,,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()002,,22p P y y =-， 又点Р是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =， 所以抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由题意知()2,1P ， 设221212,,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2111114224APx k x x -==+-，因为12x ≠-，所以142AB k x =-+，AB 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立24x y =. 因为1x x ≠，得11(216(0))x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()224216)0(x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-经检验，当6x =-时，不满足题意.所以点B 的横坐标的取值范围是[)(,)610--⋃∞+∞，. 13．（1）y 2=4x ；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线定义，由|AF |=2+2p=3求解. （2）根据点A (2，m )在抛物线E 上，解得m ,不妨设A (2，)，直线AF 的方程为y(x -1)，联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，然后论证k G A +k G B =0即可 【详解】（1）由抛物线定义可得|AF |=2+2p=3，解得p =2. ∠抛物线E 的方程为y 2=4x .（2）∠点A (2，m )在抛物线E 上， ∠m 2=4×2，解得m，由抛物线的对称性，不妨设A (2，)，由A (2，，F (1，0)，∠直线AF 的方程为y (x -1)，由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得2x 2-5x +2=0，解得x =2或12，∠B 1,2⎛ ⎝.又G (-1，0)，∠k G A =3，k G B =3-∠k G A +k G B =0， ∠∠AGF =∠BGF . ∠GF 为∠AGB 的平分线. 【点睛】关键点点睛：由GF 为∠AGB 的平分线，即∠AGF =∠BGF ，转化为 k G A +k G B =0结合韦达定理证明.14．（∠）23x +y 2＝1；（∠）11k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 【分析】（∠）根据椭圆短轴长公式、离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（∠）根据平面向量数量积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（∠）由已知得 2b ＝2，所以1b =，又因为c a =所以有：2223c a =，而222c a b =-， 解得23a =，即椭圆C 的方程为23x +y 2＝1．（∠）直线l 方程为y ＝kx +2，将其代入23x +y 2＝1，得（3k 2+1）x 2+12kx +9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴△＝（12k ）2﹣36（1+3k 2）＞0，解得k 2＞1，由根与系数的关系，得x 1+x 2＝21213kk -+，x 1x 2＝2913k + ∵∠AOB 为锐角， ∴OA ⋅OB ＞0， ∴x 1x 2+y 1y 2＞0，∴x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0， ∴（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＞0，化简得2213313k k -+＞0，解得2133k <，由21k >且2133k <，解得1133k ⎛⎫⎛∈--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，．。
圆锥曲线训练题二
圆锥曲线训练题二一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．双曲线方程为22125x y k k+=--，则k 的取值范围是（ D ）A 、5k >B 、25k <<C 、22k -<<D 、22k -<<或5k >2．点P 是以12,F F 为焦点的椭圆上的一点，过焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ A ）A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线3．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是（ B ）A 、(),0-∞B 、(,2]-∞C 、[0,2]D 、(0,2)4．12,F F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF 的最大值是（C ）A 、4B 、5C 、2D 、15. 设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y ab a b-=的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ B ）A 、[2，3]B 、（1，3]C 、[)3,+∞D 、(]1,26. 已知P 为抛物线24y x =上任一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点A （4，5），|PA|+d 的最小值是（ D ）A、4 B1D 1二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.直线2y k =与曲线2222918k x y k x +=（,0k R k ∈≠）的公共点的个数是48. 已知以11(2,0),(2,0)FF -为焦点的椭圆与直线40x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为9.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是4310．设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上的三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++等于 6三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>的左焦点，直线l 的方程为x =-8，直线l 与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知8MN =，且||2||PM MF =．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求证：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠；(3) 求三角形△ABF 面积的最大值． 11. (1) 解：∵8MN =，∴4a =，又∵||2||PM MF =，∴12e =，∴2222,12c b a c ==-=，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=． …………3分 (2) 证：当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB 方程为8x my =-，代入椭圆方程整理得：22(34)481440m y my +-+=．2576(4)m ∆=-，24834A B m y y m +=+，214434A B y y m =+．则22A B AF BF A B y y k k x x +=+++(6)(6)66(6)(6)A B A B B A A B A B y y y my y my my my my my -+-=+=---- 26()(6)(6)A B A B A B my y y y my my -+=--，而221444826()2603434A B A B mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++ ∴0AF BF k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．综合可知：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠． …………8分 (3) 解：12ABF PBF PAFB A S S S PF y y ∆∆∆=-=⋅-= 即：2723(4)16ABFS m ∆==≤=-+当且仅当=，即m =（此时适合于0>∆的条件）取到等号．∴△ABF 面积的最大值是33． …………14分12. 如图椭圆134:22=+y x C 的右顶点是OANB 是矩形（O 为原点），点M E ,（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点在椭圆C 上；（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,问：直线KS 是否经过x 12．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得)23,2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -， 所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为343+-=x y ，------2分 由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=34333x y x y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53358y x ，所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)533,58(，---------------4分因为13)533(4)58(22=+，所以点)533,58(在椭圆134:22=+y x C 上．---------6分 （2）设RS 的方程为)1(-=x k y ，代入134:22=+y x C ， 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K -，2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+，直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y --+=-，令,0=y 得121221y y x y x y x ++=，将)1(11-=x k y ，)1(22-=x k y 代入上式得 设42)(2212121=-++-=x x x x x x x ，所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与 y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．13．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故线段AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而 14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即 4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。
高中课程方案试验高三数学圆锥曲线复习训练题12 试题
卜人入州八九几市潮王学校高中新课程方案试验高三数学圆锥曲线复习训练题(12)〔圆锥曲线2〕一、选择题〔本小题一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 1．双曲线221mxy +=的虚轴长是实轴长的2倍，那么m =()A ．4B ．4-C ．14-D ．142.A 、B 为坐标平面上的两个定点，且|AB|=2，动点P 到A 、B 两点间隔之和为常数2，那么点P 的轨迹是〔〕 A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段3．假设抛物线2y mx =的焦点与椭圆22126x y +=的上焦点重合，那么m 的值是〔〕 A ．-8B ．8 C ．18-D ．184.假设动点M(x,y)到点F(4,0)的间隔等于它到直线x+4=0间隔，那么M 点的轨迹是〔〕A.x+4=0B.x-4=0C.28y x = D.216y x =且与双曲线222x y -=仅有一个公一共点，这样的直线有〔〕6.定点A 、B,且|AB|=4,动点P 满足|PA|-|PB|=3,那么|PA|的最小值是() A.12B.32C.72221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的间隔为2，N 是M 1F 的中点，那么|ON|等于() A.4B.2 C.32D.8 221x y +=及228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在〔〕A.一个椭圆上B.双曲线的一支上C.一条抛物线上D.一个圆上22x y =离点A 〔0，a 〕最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是〔〕A.0a ≤B.12a≤C.1a ≤D.2a ≤ 10.12,F F 为椭圆E 的两个左右焦点，抛物线C 以1F 为顶点，2F 为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，假设椭圆离心率e 满足12PF e PF =，那么e 的值是〔〕A.33B.23-C.22D.2-211．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是〔〕A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)+∞D.(2,)+∞12.点P 是椭圆221(0,0)168x y x y +=≠≠上的动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，假设M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且10FM MP =,那么OM的取值范围是〔〕A.[0,3]B.(0,22)C.[22,3)D.[0,4]二.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕13.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的间隔为1，那么该椭圆的离心率为.14.点P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，那么点M 的轨迹方程是. 15．假设椭圆11:22=++y m x C 的一条准线方程为2-=x，那么=m ；此时，定点)0,21(与椭圆C 上动点间隔的最小值为.16.如图,(1,0)A -、(1,0)B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴上两定点，,C D分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P 是线段CD 上的动点，假设AP BP ⋅的最大值与最小值分别为3、15-，那么椭圆方程 为．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共74分〕17．〔12分〕.设点P 到点M(-1,0)、N(1,0)间隔之差为2m ，到x 轴、y 轴间隔之比为2,求m 的取值范围.18．〔12分〕.过双曲线C:2213y x -=的右焦点F 作直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，OM OP OQ =+,求点M 的轨迹方程。
高考数学总复习：圆锥曲线2(含答案)
高考数学总复习：圆锥曲线2（含答案）1．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点F 也是抛物线24y x=的焦点． （1）求椭圆方程；（2）若直线l 与C 相交于A 、B 两点． ①若2AF FB =u u u r u u u r，求直线l 的方程；②若动点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，问动点P 的轨迹能否与椭圆C 存在公共点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．（12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，右准线l 交x 轴于点A ，且122AF AF =u u u r u u u u r．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值．3．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，点2F 在线段1PF 的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，直线2F M 与2F N 的倾斜角分别为α，β，且αβπ+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．4．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足1MF FB =u u u u r u u u rg ．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为PQM ∆的垂心．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．5．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且23OA OB =u u u r u u u r g ，23AOB S ∆=，求直线l 的方程．参考答案1.解：（1）根据(1,0)F ，即1c =，据c a=得a =b =， 所以所求的椭圆方程是22132x y +=．（2）①当直线l 的斜率为0时，检验知2AF FB ≠u u u r u u u r．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．， 根据2AF FB =u u u r u u u r得1(1x -，12)2(1y x -=-，2)y 得122y y =-．设直线:1l x my =+，代入椭圆方程得22(23)440m y my ++-=， 故12122244,2323m y y y y m m +=-=-++，得1222842323m my y m m =-=++， 代入122423y y m =-+得222844()()232323m m m m m -=-+++，即228123m m =+，解得m =l 的方程是1x y =+． ②问题等价于是不是在椭圆上存在点P 使得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立．当直线l 是斜率为0时，可以验证不存在这样的点， 故设直线方程为:1l x my =+．用①的设法，点P 点的坐标为12(x x +，12)y y +， 若点P 在椭圆C 上，则221212()()132x x y y +++=，即22221122112222132x x x x y y y y +++++=，又点A ，B 在椭圆上，故222211221,13232x y x y +=+=，上式即12122103x xy y ++=，即12122330x x y y ++=，由①知222212121212222448(1)(1)()111232323m m m x x my my m y y m y y m m m =++=+++=--+=-++++， 代入12122330x x y y ++=得22216122302323m m m -+-+=++，解得212m =，即m =当m =122423m y y m +=-=+121213()2222x x m y y +=++=-+=；当m =122423m y y m +=-+，121213()2222x x m y y +=++=-+=． 故C上存在点3(,2P 使OP OA OB =+成立，即动点P 的轨迹与椭圆C 存在公共点，公共点的坐标是3(,2．2.解：（Ⅰ）由题意，12||22F F c ==u u u u r，2(A a ∴，0)， Q 1222AF AF F =∴u u u r u u u u r为1AF 的中点23a ∴=，22b =即椭圆方程为22132x y +=．（Ⅱ）当直线DE 与x轴垂直时，2||2b DE a ==，此时||2MN a ==，四边形DMEN 的面积为||||42DE MN =g ． 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为||||42DE MN =g ． 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设:(1)DE y k x =+，代入椭圆方程，消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=．设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以，12||x x -所以，12|||DE x x =-=，同理，222211)1)1)||1323()2k k MN k k-++==+-+． 所以，四边形的面积222222113(1)24(2)||||1312226()13k DE MN k k S k k k+++===+++g g ，令221u k k =+，得24(2)44136136u S u u +==-++ 因为2212u k k =+…， 当1k =±时，962,25u S ==，且S 是以u 为自变量的增函数， 所以96425S <„． 综上可知，96425S 剟．即四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．3.解：（1）由椭圆C的离心率e得c a =c ， 椭圆C 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c 又点2F 在线段1PF 的中垂线上 122||||F F PF ∴=，∴222(2)(2)c c =+-解得1c =，22a =，21b =，∴2212x y +=椭圆的方程为．（2）由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y kx m =+．由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则△222(4)4(21)(22)0km k m =-+-… 即22210k m -+…则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，且221212,11F M F N kx m kx m k k x x ++==-- 由已知αβπ+=，得2212120,011F M F N kx m kx m k k x x +++=+=--即． 化简，得12122()()20kx x m k x x m +-+-=∴222224()2202121m km m k k m k k ----=++g 整理得2m k =-． ∴直线MN 的方程为(2)y k x =-，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)4.解：（1）根据题意得，(,0)F c ，(,0)A a -，(,0)B a ，(0,)M b∴(,),(,0)MF c b FB a c =-=-u u u u r u u u r∴21MF FB ac c =-=-u u u u r u u u rg （2分）又c e a ==∴a∴221c -=21c ∴=，22a =，21b =∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（4分） （2）假设存在直线l 满足条件，使F 是三角形MPQ 的垂心． 因为1MF K =-，且FM l ⊥， 所以11k =，所以设PQ 直线y x m =+， 且设1(P x ，1)y ，2()Q x ，2y 由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得2234220x mx m ++-=△221612(22)0m m =-->，2212124223,33m m m x x x x -<+=-=． 22222121212122242()()()333m m m y y x m x m x x m x x m m --=++=+++=-+=．（8分） 又F 为MPQ ∆的垂心， PF MQ ∴⊥，∴0PF MQ =u u u r u u u u rg又1122(1,),(,1)PF x y MQ x y --=-u u u r u u u u r∴2221121221121242220333m m PF MQ x y x x y y x x m x x y y m m --=+--=++--=-+--=u u u r u u u u r g ∴24033m m --+=， ∴24340,,13m m m m +-==-=（10分）经检验满足23m <（11分）∴存在满足条件直线l 方程为：10x y -+=，3340x y --=（12分）10x y -+=Q 过M 点 即MP 重合 不构成三角形，3340x y ∴--=满足题意．5.解：（1）短轴长22b =，1b =，ce a ==又222a b c =+，所以1a c ==，所以椭圆的方程为2212x y +=（2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，222)22y kx my x y =+⎧⎨+=⎩， 消去y 得，1222222122412(12)42202212mk x x k k x mkx m m x x k -⎧+=⎪⎪++++-=⎨-⎪=⎪+⎩g ，121223OA OB x x y y =+=u u u r u u u r g 即2223222123m k k --=+即2212129108||||23AOBm k S m x x ∆=+=-== 即222229(12)(12)m k m k +-=+ 22222229(12)(12)9108m k m k m k ⎧+-=+⎨=+⎩， 解得21k =，22m =，所以y x =±±。
高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)
考纲要求（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；④了解圆锥曲线的简单应用；⑤理解数形结合的思想。
（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
基本知识回顾（1）椭圆①椭圆的定义设F1，F2是定点（称焦点），P为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a为定值，且2a ＞|F1F2|)的动点P的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a＞| F1F2|)。
②椭圆的标准方程和几何性质例题例1：椭圆22192x y+=的焦点为12,F F，点P在椭圆上，若1||4PF=，则2||PF=；12F PF ∠的大小为 。
变式1：已知12F 、F 是椭圆的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且→→⊥21PF PF 。
若12PF F ∆的面积为9，则b = 。
例2：若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．y 2=16-xB ．y 2=32-xC ．y 2=16xD ．y 2=32x 变式2：动圆与定圆A ：(x +2)2+y 2=1外切，且与直线∶x =1相切，则动圆圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ． y x 82-=变式4：在抛物线y 2=2x 上有一点P ，若 P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小，则点P 的坐标是 。
课后作业1．已知椭圆162x +92y =1, F 1、F 2分别为它的左右焦点，CD 为过F 1的弦，则△F 2CD 的周长是（ ）A ．10B ．12C ．16D ．不能确定2．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．B ．12C ．D ．243．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．115D ．3716答案： 例题例1、2，120°解：∵229,3a b ==，∴c ===12F F =又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，又由余弦定理，得(22212241cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2，120°。
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高中新课程高三复习训练题
参考解答
一、选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.A 11. C 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13.
2 . 2
12.B
14. x2 4 y 2 1
7 点的椭圆上，当 5 时，求椭圆的离心率 e 的取值范围。 2
y
A
B D
H
C
x
22.（14 分）已知椭圆 C1:
x2 y 2 1 ,抛物线 C2: ( y m)2 2 px( p 0) ,且 C1、C2 的公共弦 AB 4 3
过椭圆 C1 的右焦点. (1)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值，并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上； (2)是否存在 m 、 p 的值，使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上？若存在，求出符合条件的 m 、 p 的值；若不存在，请说明理由.
19.解： （1）设曲线方程为 y ax 2 由题意可知， 0 a 64
64 . 7
64 ， 7
1 64 1 . a . 曲线方程为 y x 2 7 7 7 （2）设变轨点为 C ( x, y ) ，根据题意可
x y 100 25 1, y 1 x 2 64 , 7 7
c , ) 21 解： （1） 由 BH 3HC ， 得 H( 0 2
c 3 2 ) 0 由 ABAC 0 得 y0 c 2 ，AB 3c, AC c. ， 设 A( , y 2 4
椭圆长轴 2a AB AC ( 3 1)c ，e 3 1 。
21（12 分）.如图，B(-c,0),C(c,0),AH BC,垂足为 H,且 BH 3HC .（Ⅰ）若 ABAC 0 ，求以
B、C 为焦点并且经过点 A 的椭圆的离心率； （Ⅱ）D 分 AB 的比为 ,A、D 同在以 B、C 为焦
11．已知双曲线
1
x2 y 2 12. 已知点 P 是椭圆 1( x 0, y 0) 上的动点， F1 , F2 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原 16 8 点，若 M 是 F1PF2 的角平分线上一点，且 F1M MP 0 ,则 OM 的取值范围是（ ）
高中新课程高三复习训练题（圆锥曲线 2） 一、选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．双曲线 mx2 y 2 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m ( ) 1 1 A． 4 B． 4 C． D． 4 4 2.已知 A、B 为坐标平面上的两个定点，且|AB|=2，动点 P 到 A、B 两点距离之和为常数 2， 则点 P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 线段 2 2 x y 1 的上焦点重合，则 m 的值为（ 3．若抛物线 y mx2 的焦点与椭圆 ） 2 6 A．-8 B． 8 C． 1 D． 1
D. 一个圆上 ）
9.抛物线 x2 2 y 离点 A（0，a）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是（ A. a 0 B.
a 1 2
C. a 1
D. a 2
10.已知 F1 , F2 为椭圆 E 的两个左右焦点，抛物线 C 以 F1 为顶点， F2 为焦点，设 P 为椭圆与抛 物线的一个交点，如果椭圆离心率 e 满足 PF1 e PF2 ，则 e 的值为（ A.
x2 y 2 1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2，N 是 M F1 的中点，则|ON|等于( 7.椭圆 25 9
)
A. 4
B. 2
C.
3 2
D. 8 ）
8.与两圆 x2 y 2 1 及 x2 y 2 8x 12 0 都外切的圆的圆心在（ A.一个椭圆上 B. 双曲线的一支上 C.一条抛物线上
2 ，并解得 x 2 式代入○
m2 (1 m2 ) 5 5 . 即 1 5m2 0 .解得 m 的取值范围为 ( , 0) (0, ). 2 1 5m 5 5
18.解：当 l 垂直于 x 轴时 M(-4,0)，当 l 斜率存在时，设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),M(x,y).PQ 的中
3
x y 点 N( , ) 2 2
2 x 1 由 x2 2
y12 1 y y y 3x 3 , 2 1 k PQ .又 k PQ k FN 2 x4 x2 x1 y y2 1 3
( x 2)2 y 2 3x y 1 ,M(-4,0)也符合. ,得 M 点的轨迹方程是 4 12 y x4
8 8
4.若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离等于它到直线 x+4=0 距离，则 M 点的轨迹是（ A.x+4=0 B.x-4=0 C. y 2 8x D. y 2 16 x ） )
）
5.直线 l 过点 ( 2, 0) 且与双曲线 x2 y 2 2 仅有一个公共点，这样的直线有（ A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 6. 已知定点 A、B, 且|AB|=4, 动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( 1 3 7 A. B. C. D.5 2 2 2
4
1 1 1 → → x1＋x2 所以 FM · AB ＝( 2 ，－2)· (x2－x1，y2－y1)＝2(x22－x12)－2(4x22－4x12)＝0 →→ 所以 FM · AB 为定值，其值为 0． ……7 分 1 (2)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM⊥AB，因而 S＝2|AB||FM|． x1＋x2 1 1 1 |FM|＝ ( 2 )2＋(－2)2＝ 4x12＋4x22＋2x1x2＋4 1 ＝ y1＋y2＋2×(－4)＋4 1 1 ＝ λ＋ λ＋2＝ λ＋ ． λ 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y＝－1 的距离，所以 1 1 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋ λ ＋2＝( λ＋ )2． λ 1 1 于是 S＝2|AB||FM|＝( λ＋ )3， λ 1 由 λ＋ ≥2 知 S≥4，且当 λ＝1 时，S 取得最小值 4． λ
（按顺时针方向）的轨迹方程为
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、 B 测得离 航天器的距离分别为多少时， 应向航天器发出变轨指令？
2
→ → 20． （12 分）已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 AF ＝λ FB （λ＞ 0） ．过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． →→ （1）证明 FM · AB 为定值； （2）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的最小值．
2
x2 y 2 1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 中点，则点 M 的轨迹 4
y 2 1 的一条准线方程为 x 2 ，则 m
.
m 1
1 ；此时，定点 ( ,0) 与 2
椭圆 C 上动点距离的最小值为 16.如图,已知 A(1, 0) 、 B(1, 0) 是椭圆
2 2
知
(1) (2)
得
9 （ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） . 4 C 点的坐标为 ( 6, 4 ) ，
4 y 2 7 y 36 0 ， | AC | 2 5 , | BC | 4 .
y4 或 y
y4 .
得 x 6 或 x 6 （不合题意，舍去）.
答：当观测点 A 、 B 测得 AC、BC 距离分别为 2 5、 4 时，应向航天器发出变轨指令. 20．解：(1)由已知条件，得 F(0，1)，λ＞0． → → 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由 AF ＝λ FB ， 即得 (－x1，1－ y1 )＝λ(x2，y2－1)， ① －x1＝λx2 1－y1＝λ(y2－1) ② 1 1 将①式两边平方并把 y1＝4x12，y2＝4x22 代入得 y1＝λ2y2 ③ 1 解②、③式得 y1＝λ，y2＝λ ，且有 x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 1 1 抛物线方程为 y＝4x2，求导得 y′＝2x． 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 1 y＝2x1(x－x1)＋y1，y＝2x2(x－x2)＋y2， 1 1 1 1 即 y＝2x1x－4x12，y＝2x2x－4x22． x1＋x2 x1x2 x1＋x2 解出两条切线的交点 M 的坐标为( 2 ， 4 )＝( 2 ，－1)．
y2 1的右焦点 F 作直线 l 与双曲线 C 交于 P、Q 两点， 3
OM OP OQ ,求点 M 的轨迹方程。
19． （12 分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行
y2 x2 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线） 100 25 64 后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、M 0, 降落点为 D( 8, 0 ) . 为顶点的抛物线的实线部分， 7 观测点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器.
15.1，
3 . 2
16..
x2 y2 1 4
三、解答题 17.解：设点 P 的坐标为(x,y)，依题设得
y x
1 因此，点 P、M、N 三 2 ，即 y 2 x, x 0. ○
x2 y2 2 .将○ 1 1 ○ m2 1 m2
点不共线，得 P 点在以 M、N 为焦点，实轴长为 2|m|的双曲线上，故
c c x2 y 2 y0 2 （2） 设 D( x1, y1 ). .D 分 AB 的比为 , x1 .设椭圆方程 2 2 1(a 0, b 0) . , y1 a b 1 1