【精选习题】第五章线性微分方程组.doc
微分方程数值解第五章答案
第五章1,0,0, (,0)1/2,0,0,0.x u uu x x t x x ⎧<⎪∂∂+==⎨∂∂⎪>⎩1. 对初值问题=2试分别用左偏心格式、LW 格式计算其数值解u , k =1,2,3,4, 取/1/h τ=.k 解: 矩形网格剖分区域. 取空间步长h , 时间步长τ的矩形网格剖分区域, 用节点表示坐标点0,1,2,...;j =±±(,)j k (,)(,)j k x t jh k τ=,0,1,2,3,4.k =0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂kjk j x u t u （1）左偏心格式：，在t 上用向前差商，x 上用向后差商，得011=−+−−+hu u u u kj k j k jk j τ中国地质大学(北京)廉海荣编 1，因为2/1/=h τ，整理得到k j k j k ju u u 212111+=−+ 把已知条件离散成，则可以根据下一层求上一层的值得到，=1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：⎪⎩⎪⎨⎧>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k k u k uLW 格式： )2(2)(21122111kj k j k j k j k j k jk ju u u r a u u ar u u−++−−=−+−++ 在本题中,2/1/,1===h r a τ,整理得到：中国地质大学(北京)廉海荣编 2k j k j k j k ju u u u 111814383+−+−+=，同理可根据边值条件，根据下一层求上一层的值得到，k =1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：⎪⎩⎪⎨⎧>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k u k u0, 0,0x<, u(x,0)=(x), 0x<, u(0,t)=(t), 0. u u a t T t x t T ϕψ∂∂⎧+=<≤<∞⎪∂∂⎪≤∞⎨⎪≤≤⎪⎩中国地质大学(北京)廉海荣编32. 试对初边值问题其中建立以下差分格式 0a >111102k k k k j jj j u u u u ahτ++++−−−+=1,（a ）1111111()222k k k k k kj jj j j j u u u u u u a h hτ++++−+−−−−++（b ）0=. 试分析它们的稳定性。
《常微分方程》第五章练习题
x
y
C1
e3t 2e3t
C2
et 2et
3、满足初值条件的解为
~
(t )
et e t
4、方程组的通解为
x y
C1e2t
4 5
C2e7t
1 1
。
4
5、所求基解矩阵为 (2 e
3t
3)e
3t
e 3t (2 3)r
3t ．
6、 (t )
e3t [E
t(A
3E)]
A1 (t)
A2 (t)
，t
(a,b) .
部分参考答案 一、填空题
1、 (t) (t)C
2、(t) exp[(t t0 )A]
t t0
exp[(t s)A] f (s)ds
3、必要
t t0
1 (s) f
(s)ds
三、计算题
1、
A
4 3
3
4
2、原方程组的通解为
x ' Ax ce mt 有一解形如(t) pemt ，其中 c ， p 是常数向量．
3
4、证明：如果 φ(t) 是方程组 x Ax 满足初始条件 φ(t0 ) η 的解，那么
φ(t) [exp A(t t0 )]η 。
5、证明：如果 Φ(t),Ψ (t) 在区间 a t b 上是 n 阶线性方程组
1、向量
X1
(t)
2et 0
，
X
2
(t)
t 2et et
的伏朗斯基行列式
W (t) =（
）．
A 、0 ； B 、 tet ； C 、2 e t ； D 、2 e2t ．
2、有关矩阵指数 exp A 的性质，以下说法正确的是（ ）
常微分方程--第五章 线性微分方程组(5.1-5.2节)
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5.1微分实例及有关概念 多回路的电路问题 考虑多个回路的电路，
E (t )
L
C
R1
R2
E (t ) 是电源电压， L 是电感，C 是电容器电容,
R1 , R2 是电阻， i1 是通过 L 的电流， i2 是通过
T
A (aij ) nn
满足初始条件 x(t0 ) x0 , y(t0 ) y0 , z (t0 ) z0 的解 x(t ), y (t ), z (t ).
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事实上, 在第4 章中的高阶微分方程
y
( n)
( n 1) f ( x, y, y , y ).
令 y y1 , y y2 , y ( n1) yn1 , 则上式可以化为方程组
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通解及通积分 含有n个任意常数 c1 , cn 的解
x1 1 (t , c1 , cn ) x (t , c , c ) n 1 n n 为方程组的通解 . 这里 c1 , c2 ,, cn 相互独立.
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如果通解满足方程组
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上面方程组第二式两边对t求导得
di1 L R1 (i1 i2 ) E (t ) dt R ( di2 di1 ) R di2 1 i 0 1 2 2 dt dt dt c
解得
【典型例题】 第五章 线性微分方程组
第五章 线性微分方程组5-1 考虑方程组x A x )(t dtd = （1）其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，它的元素为n j i t a ij ,,2,1,),( =，1）如果)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的任意n 个解，那么它们的朗斯基行列式)()](,),(),([21t W t x t x t x W n ≡ 满足下面的一阶线性微分方程W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）； 2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：],[,,)()(0)]()([0011b a t t et W t W tt nn dss a s a ∈=⎰++ 。
证 1）根据行列式的微分公式)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(122111112211111221111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nnnn n nn n n n nn n n n ''++''+''='（3）由于)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='∑∑∑===nj jk nj nj jk j n j jk j nk k k nn n n n k t x t a t x t a t x t a t x t x t x t a t a t a t a t a t a t 11211211221111)()()()()()()()()()()()()()()()(x ， 所以∑==='nj jk ijikn k i t x t at x 1),,2,1,(),()( )(，把这些等式代入（3）的右端，化简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于)()()()()()()()()()()()()()()()()(11122111111122111111t W t a t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t at x t ann n n n nn n n nj jn jn j j j==∑∑==类似地可以算出（3）式右端其它各项分别为)()(,),()(22t W t a t W t a nn ，代入（3）得W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）2）方程（2）是关于)(t W 的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为 ⎰++=tt nn dss a s a Cet W 011)]()([)( ，C 为任意常数。
精选习题 第五章 线性微分方程组
第五章 线性微分方程组研究对象一阶线性微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++='++++='++++=')()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x n n nn n n nn n n n 1 基本概念1）一阶微分方程组的标准型含有n 个未知函数n x x x ,,,21 及其一阶导数的微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='),,,,(),,,,(),,,,(2121222111n n nnn x x x t f x x x x t f x x x x t f x （5.1） 称为一阶微分方程组的标准型，其中),,2,1)(,,,,(21n i x x x t f n i =是定义在1+n 维空间),,,,(21n x x x t 的某区域D 内已知的连续函数，t 是自变量。
2）初值问题求满足方程组（5.1）及初值条件n n t x t x t x ηηη===)(,,)(,)(0202101 的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。
表示如下⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='),,,,(),,,,(),,,,(2121222111n n nnn x x x t f x x x x t f x x x x t f x 及n n t x t x t x ηηη===)(,,)(,)(0202101 。
3）通解方程组（5.1）含有n 个独立的任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,(),,,,(),,,,(2121222111n n n nn C C C t x C C C t x C C C t x ϕϕϕ称为它的通解。
刘迎东微积分第五章习题5.6答案
5.6高阶线性微分方程 习题5.61. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ （1）2,x x 解：2xx ≠常数，所以线性无关。
（2）,2x x 解：122x x =为常数，所以线性相关。
（3）22,3xxe e 解：22133x x e e =为常数，所以线性相关。
（4）,xxe e −解：xx e e−≠常数，所以线性无关。
（5）cos 2,sin 2x x 解：cos 2sin 2xx≠常数，所以线性无关。
（6）22,x x e xe 解：22x x e xe≠常数，所以线性无关。
（7）sin 2,cos sin x x x 解：sin 22cos sin xx x=为常数，所以线性相关。
（8）cos 2,sin 2xxe x e x 解：cos 2sin 2x x e x e x≠常数，所以线性无关。
（9）ln ,ln x x x 解：ln ln xx x≠常数，所以线性无关。
（10）(),axbxe ea b ≠解：axbx e e≠常数，所以线性无关。
（11）,xxe xe 解：xx e xe≠常数，所以线性无关。
2. 验证函数与在(上都是二阶线性齐次微分方程xy e =xy e −=)x −,−∞+∞"0y y −=的解。
求它的通解，并求方程"1y y −=−的通解。
解：()，所以函数()"",x x x ee e e −==x y e =与x y e −=在(),−∞+∞上都是二阶线性齐次微分方程的解。
它的通解为"0y y −=12.x y C e C e x −=+可观察出1y =为方程 "1y y −=−的特解，所以它的通解为121.x x y C e C e −=++3. 验证函数在1,sin ,cos y y x y ===x (),−∞+∞上都是三阶线性齐次微分方程"''0y y +=的解。
第五章,线性微分方程组-II
续
5.3.2 基解矩阵的计算公式
• 虽然我们可以计算矩阵级数来得到基解矩 阵，但是计算无穷级数，并不是一件简单 的事情。 • 因此我们还需要寻找另外的方法计算基解 矩阵。这个是本节内容，这个需要线性代 数的内容。
与第四章采取的措施基本相同。
• 设方程
dx = Ax dt
λt
−1
−1
t 1 t 1 0 3t 1 − t =e −1 1 = e −t 1 + t 1 1 + t
3t
也可以按照书上的公式（5.53）
t 1 − t e = e E + t ( A − 3E ) = e −t 1 + t
先看一个例子（例2）
2 1 • 方程为 x = Ax, A = ɺ 0 2
• 特征值是二重根2，特征向量是
0 1 u1 0 0 u = 0 ⇒ u 2 = 0 2 u1 1 ⇒ v1 = = α 0 u 2
−5i 5 u1 −5 −5i u = 0 2 −5iu1 + 5u2 = 0 ⇒ −5u1 − 5iu2 = 0 u2 = iu1 ⇒ u1 = −iu2 1 ⇒ u =α i
例4 试求矩阵的特征值和特征向量
2 1 A= −1 4
2t 1 2t 1 0 0 1 0 e , e + 0 0 t 1 0 0 1
•
e = 0
2t
te 这个与例2的结论是一样的。 2t e
2t
二重根，我们可以这样做，多重根怎么办？ • 根据前面二重根的情况，我们可以推测
微分方程数值解第五章答案
微分⽅程数值解第五章答案第五章1,0,0, (,0)1/2,0,0,0.x u uu x x t x x ?>?1. 对初值问题=2试分别⽤左偏⼼格式、LW 格式计算其数值解u , k =1,2,3,4, 取/1/h τ=.k 解: 矩形⽹格剖分区域. 取空间步长h , 时间步长τ的矩形⽹格剖分区域, ⽤节点表⽰坐标点0,1,2,...;j =±±(,)j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,2,3,4.k =0=+???kjk j x u t u （1）左偏⼼格式：，在t 上⽤向前差商，x 上⽤向后差商，得011=?++hu u u u kj k j k jk j τ中国地质⼤学(北京)廉海荣编 1，因为2/1/=h τ，整理得到k j k j k ju u u 212111+=?+ 把已知条件离散成，则可以根据下⼀层求上⼀层的值得到，=1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k k u k uLW 格式： )2(2)(21122111kj k j k j k j k j k jk ju u u r a u u ar u u++=+++ 在本题中,2/1/,1===h r a τ,整理得到：中国地质⼤学(北京)廉海荣编 2k j k j k j k ju u u u 111814383+?+?+=，同理可根据边值条件，根据下⼀层求上⼀层的值得到，k =1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k u k u0, 0,0x<, u(x,0)=(x), 0x<, u(0,t)=(t), 0. u u a t T t x t T ?ψ+=<≤<∞?≤∞??≤≤??中国地质⼤学(北京)廉海荣编32. 试对初边值问题其中建⽴以下差分格式 0a >111102k k k k j jj j u u u u ahτ+++++=1,（a ）1111111()222k k k k k kj jj j j j u u u u u u a h hτ++++?+++（b ）0=. 试分析它们的稳定性。
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。
第五章 线性微分方程组I(修正)
t
命题5
• 设 t 是积分方程（5.8）的定义于 a t b 上的一个连续解，则： t t , a t b 证明：由 t A s t f s ds
t0 t
类似命题3，得到：
MLk k 1 k t t b t0 , k 1!
得证！
推论：
• 第四章的定理1 • 如果 a1 t , a2 t ,, an t , f t 在区间 • a t b 是连续函数，则对区间 a t b 上的任意t0，及任意的 1 ,2 ,,n ，方程
• 类似的可以定义可积的，如果每个元素可 积
定义1：方程的解
• 设 A t 是区间 a t b 上的连续 n n， 矩 阵，f t 是同一区间上的连续的n维向量。 方程组：
x ' t At x t f t
5.4
• 在区间 t 的解就是向量 u t ，他的 导数满足：
进一步
d I1 R 1 1 I1 E 1 I L 1 2 I L 0 dt 2 I t f
例2 验证
et u t t e
j 1
k
• 因为 A t 和 f t 在闭区间 上 连续，所以 A t 和 f t 均在 a t b 有 界，设L，和K是大于零的常数，使得：
A t L, f t K ,
at b
由（5.9）有
• 并取：M L K
1 t 0 t A s 0 s f s ds
t t0
高等数学课后习题答案--第五章
x1 1 2 4 1 1 − 2 4 1 3 2 ~ ~ ~ (3) x + x + 1 在 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的坐标 x 2 = 0 1 4 1 = 0 1 − 4 1 = − 3 . x 0 0 1 1 0 0 1 1 1 3
8. 设 P2 为次数不超过 2 的多项式全体构成的线性空间。 ~ =1， ε ~ = x + 2, 证明(1) P2 的基可取为 ε 1 =1, ε 2 = x , ε 3 = x 2 ，也可取为 ε 1 2 2 ~ ε = (x + 2) ；
3 1 2 3
~ =ε , ε ~ = 2ε + ε , ε ~ = 4ε + 4ε + ε , 8. (1) ε 1 1 2 1 2 3 1 2 3
x1,n −1 x 2,n −1
M L L x n −1,n −1 L x n ,n −1
x1n x2n M x n −1 , n x nn
x1n x2n M M M , k −2 k −2 ml xl 2 L ∑ ml xl ,n −1 x n −1 , n ∑ l =1 l =1 k −2 k −2 n x L n x x ∑ ∑ nn l l , n −1 l l2 l =1 l =1 x11 x12 L x1,n −1 x1n x 21 x 22 L x 2,n −1 x 2 n K 因此矩阵 A 经过适当的行变换后, 变为 M M M M , 于是 | A |= 0 , L 0 L 0 s 0 0 0 L 0 t ~ ~ ~ 即 a , a , K, a 线性相关, 与已知矛盾. rank ((a , a ,K, a )) ≥ k − 1 .
常微分方程考研讲义第五章 线性微分方程组共32页
第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
常微分第五章
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
2. 一阶线性微分方程组
一阶线性微分方程组形如
x1 a11 (t ) x1 a12 (t ) x2 a1n (t ) xn f1 (t ), x a (t ) x a (t ) x a (t ) x f (t ), 2 21 1 22 2 2n n 2 (5.1) xn an1 (t ) x1 an 2 (t ) x2 ann (t ) xn f n (t ),
其中a1(t), a2(t), , an(t), f (t)是区间[a, b]上的已知
连续函数, t0[a, b], 1, 2, , n是已知常数.
若令
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
x1 x 1 0 x x 0 , f (t ) , 2 x x (t ) 2 ( n 1) f (t ) xn x n
由n个含有n个未知函数的微分方程组成.
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
令
a11 (t ) a12 (t ) a1n (t ) a (t ) a (t ) a (t ) 22 2n A(t ) 21 an1 (t ) an 2 (t ) ann (t )
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
如果bijபைடு நூலகம்t)(i, j1, 2, , n)都在区间[a, b]上
可微, 则称矩阵B(t)在区间[a, b]上可微;
Chapter5线性微分方程组
Chapter5线性微分方程组第五章线性微分方程组5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义考察形如(5.1)其中已知函数a ij(t)(i,j,=1,2,…,n)和f i(t)(i=1,2,…,n)在区间atb上是连续的,方程组关于x1,x2,…,x n及x1,x2,…,x n是线性的.引进记号则原方程(5.1)可写成形式x=A(t)x+f(t).概念一个矩阵(或向量)在区间atb上称为连续的,如果它的每一个元都是区间atb上的连续函数.一个nn矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)在区间atb上称为可微的,如果它的每一个元都在区间atb上可微,且性质(1)[A(t)+B(t)]=A(t)+B(t);(2)[u(t)+v(t)]=u(t)+v(t);(3)[A(t)B(t)]=A(t)B(t)+A(t)B(t);(4)[A(t)u(t)]=A(t)u(t)+A(t)u(t).类似地, 矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)在区间atb上称为可积的,如果它的每一个元都在区间atb上可积,且定义1设A(t)是区间atb上的连续nn矩阵,f(t)是同一区间上的连续n维向量.方程组x=A(t)x+f(t)(5.4) 在某区间t ([, ][a, b])的解就是向量u(t), 它的导数u(t) 在区间atb上连续且满足u(t)=A(t)u(t)+f(t), t.定义2初值问题x=A(t)x+f(t) x(t0)= (5.5) 的解就是方程组(5.4)在包含t0的区间t 上的解, 使得u(t0)=．例１试列出下图中经过L1及L2电路的电流I1及I2应满足的微分方程．例２验证向量是初值问题在区间-< t <+ 上的解.以下方法可将n阶线性微分方程的初值问题化为形如(5.5)的线性微分方程组的初值问题.考虑n阶线性微分方程的初值问题其中a i(t),i=1,2,…n,及f(t)都是a t b上的已知连续函数, t0[a, b], 1,…, n是已知常数.可通过以下变换x1=x, x2=x, x3=x, …, x n=x(n1)将上述n阶线性微分方程的初值问题化为以下线性微分方程组的初值问题:5.1.2 存在唯一性定理方程x=A(t)x+f(t) x(t0)=的解的存在唯一性定理.定理1如果A(t) 是nn矩阵, f(t) 是n维列向量,它们都在区间a t b上连续,则对于区间a t b上的任何数t0及任一n维常数列向量,方程组x=A(t)x+f(t) 存在唯一解(t) ,定义于区间a t b上,且满足初值条件(t0)= .5.2 线性微分方程组的一般理论讨论线性微分方程组x=A(t)x+f(t)(5.14)5.2.1 齐次线性微分方程组设矩阵A(t) 在区间a≤t≤b上连续设u(t) 和v(t) 是(5.15)的齐次型方程的任意两个解, , 是两个任意常数,根据向量函数的微分法则,有u(t)+v(t) 也是其解.定理2(叠加原理)如果u(t) 和v(t) 是齐次型方程的解,则它们的线性组合u(t)+v(t) 也是该方程的解.线性相关称定义在区间a≤t≤b上的向量函数x1(t), x2(t), …, x m(t) 是线性相关的,如果存在不全为零的常数c1, c2, …, c m, 使得等式c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ c m x m(t) =0 成立;否则称为线性无关的.朗斯基行列式由n个向量函数x1(t), x2(t), …, x n(t) 构成的行列式称为朗斯基行列式.定理3如果向量函数x1(t), x2(t), …, x n(t) 在区间a≤t≤b上线性相关,则它们的朗斯基行列式W(t)=0.(证)定理4如果齐次型方程的解x1(t), x2(t), …, x n(t) 线性无关,则它们的朗斯基行列式W(t)0.(证)定理5齐次线性微分方程组一定存在n个线性无关的解x1(t), x2(t), …, x n(t) .(证)定理6如果x1(t), x2(t), …, x n(t) 是齐次型方程的n个线性无关的解,则该方程的任一解x(t) 均可表为这n个线性无关解的线性组合,即: x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+ …+ c n x n(t) .(证)推论1齐次型方程的线性无关解的最大个数等于n.推论2如果已知齐次型方程的k个线性无关解,则该方程可以降低为含nk 个未知函数的线性微分方程组.如果已知n1 个线性无关解,则可得到齐次型方程的通解.基本解组n个线性无关的解x1(t), x2(t), …, x n(t).推论3如果x1(t), x2(t), …, x n(t) 是n阶微分方程x(n)+a1(t)x(n1) +…+ a n(t)x=0 (5.21)的n个线性无关解,其中a1(t), a2(t), …, a n(t) 是区间a≤t≤b 上的连续函数,则(5.21)的任一解x(t) 可表为这n个线性无关解的一个线性组合: x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+ …+ c n x n(t) .基解矩阵解矩阵nn矩阵的每一列都是齐次线性微分方程组x=A(t)x 的解.基解矩阵解矩阵的列线性无关.定理1*齐次线性微分方程组x=A(t)x一定存在一个基解矩阵(t).如果(t)是方程的任意一个解,则有(t)=(t)c.定理2*齐次线性微分方程组x=A(t)x的一个解矩阵(t) 是基解矩阵的充要条件是|(t)|=0 , a≤t≤b; 且如果对某一t0有|(t0)|0,则|(t)|=0 , a≤t≤b.推论1*如果(t) 是齐次线性微分方程组x=A(t)x的基解矩阵, C是非奇异nn 常数矩阵,则 (t)C也是方程的基解矩阵.推论2* 如果 (t) , (t) 都是方程组x=A(t)x的基解矩阵,则存在非奇异nn 常数矩阵C ,使得 (t)=(t) C .5.2.2 非齐次线性微分方程组讨论非齐次线性微分方程组x=A(t)x+f(t)(5.14)的解的结构.矩阵A(t) 在区间a≤t≤b上连续, f(t) 是区间a≤t≤b上的已知n维连续列向量.性质1如果(t) 是(5.14)的解, (t) 是(5.14)对应的齐次型的解,则(t)+(t) 是(4.14)的解.性质2如果 (t) 和 (t) 是(5.14)的两个解,则 (t)(t) 是对应齐次型方程的解.定理7设 (t) 是对应齐次型方程的基解矩阵, (t) 是(5.14)的某一解,则(5.14)的任一解 (t) 都可表为 (t)= (t)c+(t) ,其中c是确定的常数列向量.(证)定理8如果是对应齐次型方程的基解矩阵,则向量函数是(5.14)的解,且满足初值条件 (t0)=0 .定理8 满足初始条件 (t0)= 的解 (t) 为:例2试求以下初值问题的解.推论3如果a1(t), a2(t), …, a n(t) , f(t) 是区间a≤t≤b上的连续函数, x1(t), x2(t), …, x n(t) 是区间a≤t≤b上齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+ a n(t)x=0 的基本解组,则非齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+a n(t)x= f(t) 的满足初值条件(t0)=0, (t0)=0, …, (n1)(t0)=0 的解由以下公式给出其中W[x1(s), w2(s), …, w n(s)] 是x1(s), w2(s), …, w n(s) 的朗斯基行列式, W k[x1(s), w2(s), …, w n(s)] 是在W[x1(s), w2(s), …, w n(s)] 中的第k列代以(0, 0, …, 0, 1)T后得到的行列式,且(5.28)的任一解u(t) 都具有形式u(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+c n x n(t)+(t) ,其中c1, c2, …, c n是适当选取的常数.例3试求方程x+x=tan t的一个解.5.3 常系数线性微分方程组讨论常系数线性微分方程组x=Ax (5.33)其中A为nn常数矩阵.5.3.1 矩阵指数exp A的定义和性质设A是一个nn常数矩阵,定义矩阵的指数exp A为以下矩阵级数的和:矩阵指数的性质性质1如果矩阵A, B是可交换的,即AB=BA , 则 exp(A+B)=exp A exp B . (证)性质2对于任何矩阵A, (exp A)1存在,且 (exp A)1=exp(A) .(证) 性质3如果T是非奇异矩阵,则 exp(T1A T)= T1 (exp A) T .(证) 定理9矩阵 (t)=exp A t是(5.33)的基解矩阵,且 (0)=E.(证)例1如果A是以下形式的对角矩阵,试找出x=Ax 的基解矩阵.例2试求以下方程的基解矩阵.5.3.2 基解矩阵的计算公式类似于第四章的方法,寻求方程x=Ax的形如 (t)=e t c, c0 的解.代入(5.33)可得 e t c=A e t c .即c=Ac或 (E A)c =0上述方程有非零解的充要条件是 det(E A)=0.定义设A是一个nn常数矩阵,使得关于u的线性代数方程组(E A)u=0具有非零解的常数称为A的一个特征值.例3试求以下矩阵的特征值和对应的特征向量.例4试求以下矩阵的特征值和对应的特征向量.定理10如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,…, v n ,它们对应的特征值分别为1, 2, …, n ,则矩阵是常系数线性微分方程组x=Ax的一个基解矩阵.(证)例5试求方程组x=Ax的一个基解矩阵,其中.例6试求例5的实基解矩阵(或计算 exp A t).讨论当A是任意的nn 矩阵时,基解矩阵的计算方法.有关线性代数的知识.设系数矩阵A有特征值1, 2,…, k, 重数分别为n1, n2, …, n k,则齐次线性微分方程组的满足初始条件解可表示为依次令 =e j, 可分别求出n个线性无关解j(t) ,从而可得基解矩阵:特别情形,如果矩阵A只有一个特征值,则例7设A是例4的矩阵,试解初值问题x=A x, (0)=,并求exp A t.例8设A是以下矩阵,试求exp A t.例9设方程组为系数矩阵为试求满足初值条件(0)=的解 (t) , 并求exp A t.定理11给定常系数线性微分方程组x=A x,则(1) 如果A的特征值的实部都是负的,则方程的任一解当t时都趋于零;(2) 如果A的特征值的实部都是非正的,且实部为零的特征值都是简单特征值,则方程的任一解当t时都保持有界;(3) 如果A的特征值至少有一个具有正实部,是方程至少有一个解当t时趋于无穷.。
高等数学第五章练习题(1)
20. 求微分方程 y¢ + 2 y = e-5x 的通解
A. 线性齐次 B. 可分离变量 C. 齐次 D. 线性非齐次
10. 当 y1(x) 、 y2 (x) 是二阶常系数线性齐次微分方程 y¢¢ + P(x) y¢ + Q(x) y = 0 的( 函数 y = C1 y1(x) + C2 y2 (x) 是该方程的通解（其中 C1 + C1x + C2
6．函数 y = cos x 是微分方程( )的解。
A. y¢ + y = 0 B. y¢ + 2 y = 0 C. y¢¢ + y = 0 D. y¢¢ - y = 0
7. 微分方程 (x +1)( y2 +1)dx + x2 y2dy = 0 是一阶( )微分方程
4．微分方程
y¢
=
x(1 + y(1 +
y2) x2)
的通解是______________
5．满足微分方程
y¢
=
1+ 1+
y2 x2
,
y(0)
=
1;
所给初始条件的特解是__________
6．微分方程 y¢ = 1- y 的通解是______________ 1- x
7 微分方程 dy = 1 - y 2 的通解是 dx
15. 微分方程 y¢¢ - 5y¢ + 6 y = 0 的通解是 y = _____________
16. 微分方程 y¢¢ + y¢ - 6 y = 0 的通解是 y = _____________
17. 微分方程 y¢¢ - 4 y¢ + 3y = 0 的通解是 y = _____________
线性微分方程组
bij (t (t ) ui (t ) 在区间 a t b 可微。 (t ))nn B(t ) (bij
(t ),u2 (t ),, un (t ))T u(t ) (u1
bij (t ) ui (t ) 在区间 a t b 可积。
a1n (t ) a2 n (t ) ann (t )
……….(5.2)
x1 x x 2 xn
x1 x dx x 2 ……(5.3) dt xn
………….(5.5)
定理1 如果 A(t )是n n 矩阵， f (t)是 n 维列向量， 它们都在区间
a t b 上连续，则对于区间
a t b 上的任何数 t 0 及任一常数向量
1 x (t 0 ) 2 η n
方程组(5.5)存在唯一解 (t )
第五章 线性微分方程组
本章主要内容
§ 5.1
线性微分方程组解的存在唯一性定理
§ 5.2 § 5.3
线性微分方程组的一般理论 常系数线性方程组的解法
本章要求
理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。
掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。 掌握线性微分方程组的解的代数结构。
dp dx 0 p x
x c2e
c1t
y c1c2ec1t
另外，由
p c1 x
dx c1 x dt
p0
xc y0
方程组的解为
x c2ec1t
y c1c2e
c1t
四 存在唯一性定理 初值问题(Cauchy Problem)
dx x A(t ) x f (t ) dt x (t0 ) η
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第五章线性微分方程组研究对象—•阶线性微分方程组X； = 4 ］⑴州+ 02(°兀2 +…+仇⑴兀"+ f\⑴X；=勺1 (')" + a22 (Z)^2 + …+ a2n⑴兀“ + fl (Z)X；=(0^1 + d”2(0X2+…+a nn (t)x n + f n (/)1基本概念1）一阶微分方程组的标准型含有〃个未知函数旺，勺，…/”及其一阶导数的微分方程组兀=齐（佔，兀2,…,兀”）兀;= ./；（/,兀］,兀2,…,X”）(5. 1)X：=力亿旺,兀2,…，百）称为一阶微分方程组的标准型，其中/；（,旺，兀2,…，兀）（7 = 1,2,…，砒是定义在77 + 1维空间（r,x,,x2,---,x z/）的某区域Q内已知的连续函数，/是白变最。
2）初值问题求满足方程组（5. 1）及初值条件“（5）= 〃1，兀2（，0）= “2,…,X”（/o）= 的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。
表示如KX =/|(7,“,兀2，・・・，心) x； =/2(r,x1,x2,---,x…)、X；=九（/,兀］,兀2,…，百）及兀1仏）=〃1，兀2仏）=〃2,…,X”仏）=〃”。
3）通解方程组（5.1）含冇乃个独立的任意常数C|,C2，・・・,C”的解X】=0（'，G，°2，…，c“）兀2 = 02（'，G，°2，八°，C”）兀=©UGG，…,C”)X =• • •1•• •o …1 …• • •• • •• • •X +■■■000 (10)一忑⑴_ a n-\⑴ .............. ⑴./(/)U M«B J < 、X其中x =兀2 z・，x =■X；• ,并R它的解为(p(t)=必)■、x,J K丿“2・，■Jindx ~dt A(t)x + /(/)(5.3)称为它的通解。
4)高阶线性方程与一阶方程组等价斤阶线性微分方程的初值问题J 兀何+6 a)x(i+…+%⑴兀‘+仇(/)% = /(/)1^0)= "|，疋仏)=“2,…，利7(5)= 〃”其中4(0(7 = 1,2,•••,/?),/(f)是区间［a,b］上确定的函数，f()e \a,bl,g fh，…，几是确定的常数,它的解为x =(p(t) o只要令£ =兀，兀2 = x r ,x3 =x",…，兀"=x(w_1),它可以化为下歹ij同时，给定其中一个初值问题的解，就可构造另一个初值问题的解，在这个意义下，称上面两个初值问题是等价的。
5)一阶线性微分方程组若(5.1)小函数.力(/,旺，兀2,…,x”)Q = 1,2,・・・,巾)关于X],X2,•••,%…是线性的，即X； = 41 (/)%)+ a I2(/)x2+ …+ a ln (t)x n + f\(t)兀;=6/2I(/)X,+a22 (/)x2 + ・・• + a ln (t)x n + % (/)< Qb. z；X； =⑴X] + % a)*2 + …+ % (叽 + A ⑴则称(5. 2)为一阶线性微分方程组，简称为线性方程组，其中勺(/),./；(/),，,丿=1,2,…/在区间［a,b］上连续。
6)线性方程组的向量表示方程组(5.2)的向量形式为-阶线性微分方程组的初值问题皿7x(z) = 兀2⑴■ ,/(/) =• ■ ■S (切dx 、 dt dx 2dtdX n(5.4)矩阵记为 X(t) = (x {(t\x 2(t)9-^x n (t)),将其行列式detX （Z ）称为向最函数组的〃个线性无关解，那么称如(/)…仇其中A(t) =a 2、⑴• • • 。
22(，)… • • • • • • %⑴• • •41(0必）…%⑴丿在方程组（5.3）中,若/⑴三则有dx “、—= dt称（5.4）为线性齐次方程组，否则称（5.3）为线性非齐次方程组,7）向量函数组的线性相关和线性无关定义在区间［佔上的〃维向量函数K （/）W ・・g （» 如果存在加个不全为零的 常数C 「C2,…，C 』使得C lXl （t ） + C 2x 2⑴+ ••• + €＞』）三0在区间［⑦创上成立，则 称这个向量函数组在区间［彳切上线性相关，否则称乞⑴,£（/），•「©（/）线性无关。
8）向量函数组的朗斯基行列式设E （f ），2（小…，刃（0是〃个向量函数,以乞⑴作为第「列（?・=12…/）所构成的兀］（/），2（/），•••，£（/）的朗斯基行列式，记为9）基本解组和基本解矩阵若兀a ），2（/），•••，£（/）是线性齐次方程“2（。
…兀21(。
x 22 (/)… • • • • • • 兀2〃（（ X“2(° …W(t) = detX(f)=dx ~d t组（5.4）旳⑴入⑴‘…心卫）是它的一个基本解组，并称矩阵（旳（"兀2⑴,…，七⑴）为方程组討d) X(5)= X() 5 w[d,b]（5.4）的基本解矩阵,简称基本解矩阵。
2基本定理及性质定理5.1如果矩阵函数/（/）及向量函数/（7）在区间上连续，则对［d,b］上任一点/（）以及任意给定的兀（），初值问题在区间［a,b］内存在唯一•的解。
定理5. 2 （线性齐次方程组的叠加原理）设》（/）,£（/），…,乞”⑴是线性齐次方程组（5.4）的加个解，则兀⑴=C l x l（/） + C2X2 ⑴+ …+ C m x m（Z）也是（5.4）的解，其中G ,C2，•-,C W是任意常数，即线性齐次方程组的任意有限个解的任意线性组合仍为该方程组的解。
定理5.3如果向量函数组旳（/）,兀2（。
，・・・,乞左）在区间［。
,创上线性相关，则它们的朗斯棊行列式"（/）在区间［c,b］上恒等于零。
推论5.1如果向量函数组y（f）,X2（f）,・・・,x”（f）的朗斯基行列式“⑴在区间［。
,刃上的某一点不等于零，即“仏）工0,则该向量函数组在区间［。
,甸上线性无关。
定理5.4如果方程组（5.4）的n个解在其定义区间［a,b］上线性无关，则它们的朗斯基行列式"⑴在区间［a,b］上处处不为零。
推论5.2方程纽（5.4）的刃个解在其定义区间［d,b］上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式"（0在区间［a,h］上处处不为零。
定理5. 5线性齐次方程组（5.4）存在并且至多存在〃个线性无关的解。
定理5. 6 （刘维尔公式）若旳（/）, £⑴，…,£⑴是线性齐次方程组（5.4）的77个解, 则这n个解的伏朗斯基行列式与方程组（5.4）的系数冇如下关系式0（/） = 0（（0）/如"）+"22（。
+・・+%（/）1〃/定理5. 7 (线性齐次方程组通解结构)如果向量函数组旳(/),x2(Z),…,七(/)是线性齐次方程组(5.4)的〃个线性无关解，则方程组(5.4)的任一解班f)均可表示为兀⑴=CjX,(/) + C2x2(/) + ••• + C n x n(r),这里G, C?,C”是刃个相应的常数。
结论1 (线性齐次方程组通解结构的矩阵表示)线性齐次方程组(5.4)的通解为x(Z) = 0(/)C ,其中0(/)为(5.4)的基本解矩阵，C为任意常向量。
性质5.1如果x*(Z)是线性非齐次方程组(5.3)的解，而x0(Z)是其对应线性齐次方程组(5.4)的解，那么x()(f) + x*(/)是线性非齐次方程组(5.3)的解。
性质5. 2线性非齐次方程组(5.3)的任意两个解的羌是其对应线性齐次方程组(5.4) 的解。
定理5. 8 (非齐次方程组通解结构)线性非齐次方程组(5.3)的通解等于其对应的齐次线性方程组(5.4)的通解与其口身的一个特解Z和，即若兀* (/)是线性非齐次方程组(5. 3)的一个特解, 恥)，2(/)，・・・曲)是线性齐次方程组(5.4)的〃个线性无关的解,则x(/) = C1x1(r) + C2x2(/) + --- + C…x,7(Z) + x*(Z)就是(5.3)的通解。
结论2 (线性非齐次方程组通解结构的矩阵表示)线性非齐次方程组(5.3)的通解为x(/) = 0(/)C + x*(/),其中©⑴为(5.4)的基本解矩阵，C为任意常向量，x*(Z)是非齐次线性方程组(5.3)的一个特解。
结论3 (常数变易公式)如果/(()是线性齐次方程组(5.4)的基本解矩阵，则线性非齐次方程组(5.3)满足初始条件(pg = q的特解x*(/)由下面公式给岀%*(/)= 0(/)0_|(/。
)帀 + 0(/) | 0_| (5) f (s)ds其中表示矩阵0(7)的逆矩阵。
注意：利用常数变易法可求线性非齐次方程组(5.3)的一个特解。
定理5. 9给定常系数线性方程组竺=Ax ,那么dta)如果/的特征值的实部都是负的，则方程组的任一解当fT+oo时都趋于零。
积分得b)如呆力的特征值的实部都是非正的，且实部为零的特征值都是简单特征值，则方程组的任一解当t T +00时都保持有界。
C)如果力的特征值至少有一个具冇正实部，则方程组至少冇一解当/T+W时趋于无穷。
3基本求解方法1)常数变易法第一步：确定线性非齐次微分方程纽(5.3)对应的线性齐次方程组(5.4)的通解。
若方程组(5.4)的基本解矩阵为0(/),则(5.4)的通解为x(t) = 0(/)C o第二步：设(5.3)有形如x(Z) = 0(/)C(/)的解，C(/)为待定的向量函数。
第三步：确定向量两数C(r)0将x(/) = 0(/)C(/)代入方程(5.3),有心)“)+ ①⑴ C ⑴=/(g⑴ C(f) + f(t),因0(/)为方程组(5.4)基本解矩阵,则有©0) = /(/)©(/),所以上式为©(z)C(/) = f ⑴,心)=小)/⑴，C(r)= f^~\s)f(s)ds其中取C(0) = 0,所以得到方程组(5.3)满足初始条件(p(t{)) = 0的解为X * (/) = 0(z) J (5)f (s)ds。
第四步：求线性非齐次方程组(5.3)的通解。
由结论2,方程组(5.3)的通解口J表示为x⑴=0(r)C + 0(0 J 0 '(s) f (s)ds。
(5.5)第五步：求线性非齐次方程组(5.3)满足初始条件gh 的解。
将初始条件(pdl 代入通解表达式中得，C = @一\(5则,故方程组(5.3)满足初(P ⑴=+① '(s)f(s)ds o2)常系数线性齐次方程组的解法若(5.4)中系数矩阵为常矩阵，则称其为常系数线性齐次方程组，记为dx 」 ——=Axdt山齐次方程组通解结构定理5. 7和结论1,求解常系数线性齐次方程组的关键在于求它 的基本解矩阵。