罗默高级宏观经济学讲义 第二章
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第二章 RCK 模型
一、模型假定
厂商： 1.完全竞争市场结构 2.厂商由家庭所有，其利润归于家庭 3.生产函数是索洛生产函数 家庭： 1.家庭均质 2.家庭数量为H；每个家庭有L/H个人
一、模型假定
3. L(t ) / L(t ) n每个家庭成员在每一时 点上提供1单位劳动。 4.资本最初存量为K(0) 5.家庭收入=劳动收入+资本收入 家庭支出=消费+储蓄 6.一个成员的即时效用函数
L(0) H
n (1 ) g 0
二、家庭与厂商的行为
同时，考虑：
A(t ) A(0)e gt
C(t)= A(t)c(t)
K(0)= k(0)A(0)L(0)/H , 代入约束条件有：
t 0 e
R (t )
A(t ) L(t ) A(0) L(0) R(t ) A(t ) L(t ) c(t ) dt k (0) t 0 e w(t ) dt H H H
c(t ) f ' k ((t )) g c(t )
f ' (k * (t )) g
，当 c (t ) =0时
f 当k>k*时 ，' (k (t )) g ，c (t ) <0; 当k<k*时，f ' (k (t )) g ，c (t ) >0
构造拉格朗日函数：
R (t ) ( n g )t R (t ) c(t )1 t B t o e dt [k (0) t 0 e e w(t )dt t 0 e c(t )e ( n g )t dt ] 1
对c(t)求导数，得到一阶条件为：
三、经济动态学
cHale Waihona Puke Baidu
k0
k 0
k 0
三、经济动态学
3. k和c的动态学
c
c0
E
k 0
k* kgold
四、福利 竞争性均衡最大化代表性家庭的福利
五、平衡增长路径 1.特征
k 0
y0
y * c * s y * （内生）
2.k* 在 c 0 时，有k=k* (新的黄金律，即kMGR） 六、P变化对模型的影响 P下降 S上升。 结果：当期c下降，未来c上升
二、家庭与厂商的行为
Be t c(t ) e R (t ) e ( n g )t
两边取对数，再对 t求导数，有：
c(t ) r (t ) (n g ) c(t )
c(t ) r (t ) g r (t ) g c(t )
七、政府购买
1.三部门RCK模型 假设： 1）单位时间上，每单位有效劳动G(t) 2）效用函数不变 3）平衡预算，总量税 在家庭预算约束下，消费者效用最大 化推出的欧拉方程不变
七、政府购买
2. G(t)永久性、未预期变化 k 0 时，c(t)=f(k(t))-G(t)-(n+g)k(t) 当G(t)增大时，c(t)减小与G(t)同样单 位，储蓄不变，利率不变。 3. G(t)暂时性变化 当G(t)增大时， c(t)减小同时储蓄减小 ，资本存量降低、利率增加。
其中，C(t)为每个家庭成员的消费， U(.)为即期效用函数， 为贴现率
二、家庭与厂商的行为
1.厂商 规模报酬不变
w(t ) f ' (k ) kf ' (k )
2.家庭预算约束
t 0 e
R (t )
L(t ) K (0) R(t ) L(t ) C (t ) dt t 0 e A(t )w(t ) dt H H H
三、经济动态学
c
c =0
c >0
c <0
k*
k
三、经济动态学
2. k的动态学
k f (k ) c (n g )k
BGP途径： c f (k ) (n g )k ) c最大化： f ' (k gold ) (n g，c随着k的增加 先增加后下降。 k 当c超过使 k 0 时的水平时， 0 k 当c低于使 k 0 时的水平时， 0
上式即欧拉方程
已知，C(t)=c(t)A(t)
则： C (t )
c(t ) A(t ) r (t ) 1 (r (t ) ) C (t ) c(t ) A(t )
三、经济动态学
1.C 的动态分析 将 r(t ) f ' (k (t )) 代入欧拉方程，得：
e
(1 ) gt
c(t )1 L(0) } dt 1 H
[ A(0)]1
t
L(0) [( n ) (1 )] gt c(t )1 dt t o e H 1 c(t )1 dt 1
1
B t o e
其中， B [ A(0)]
八、评价
1.贡献 比索洛模型有微观基础 2.局限性 保留了索罗模型其他缺陷性 Y/L 的增长率为g，但其如何增长不知 ；无限期界假定不一定成立……
谢谢！
C (t )1 u[C (t )] 1
0 n (1 ) g 0
一、模型假定
其跨期替代弹性不变，为1/ 7.家庭效用函数
U t o e
t L(t ) L(0) ( n )t u[C (t )] dt t o e u[C (t )] dt H H
R o r ( ) d
t
二、家庭与厂商的行为
3.家庭最优化行为 考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效 用函数：
C (t )1 [ A(t )c(t )]1 [ A(0)e gt ]1 c(t )1 u[C (t )] 1 1 1
[ A(0)]1 e (1 ) gt
再考虑
A(t ) L(t ) A(0) L(0)e ( n g )t
二、家庭与厂商的行为
代入，并在两边消去A(0)L(0)/H，得：
t 0 e
R (t )
c(t )e
( n g )t
dt k (0) t 0 e R (t ) e ( n g )t w(t )dt
U t o e
t
c(t )1 1
再代入家庭效用函数
L(t ) L(0) ( n )t u[C (t )] dt t o e u[C (t )] dt H H
二、家庭与厂商的行为
t o e
( n )t
{[ A(0)]
1
一、模型假定
厂商： 1.完全竞争市场结构 2.厂商由家庭所有，其利润归于家庭 3.生产函数是索洛生产函数 家庭： 1.家庭均质 2.家庭数量为H；每个家庭有L/H个人
一、模型假定
3. L(t ) / L(t ) n每个家庭成员在每一时 点上提供1单位劳动。 4.资本最初存量为K(0) 5.家庭收入=劳动收入+资本收入 家庭支出=消费+储蓄 6.一个成员的即时效用函数
L(0) H
n (1 ) g 0
二、家庭与厂商的行为
同时，考虑：
A(t ) A(0)e gt
C(t)= A(t)c(t)
K(0)= k(0)A(0)L(0)/H , 代入约束条件有：
t 0 e
R (t )
A(t ) L(t ) A(0) L(0) R(t ) A(t ) L(t ) c(t ) dt k (0) t 0 e w(t ) dt H H H
c(t ) f ' k ((t )) g c(t )
f ' (k * (t )) g
，当 c (t ) =0时
f 当k>k*时 ，' (k (t )) g ，c (t ) <0; 当k<k*时，f ' (k (t )) g ，c (t ) >0
构造拉格朗日函数：
R (t ) ( n g )t R (t ) c(t )1 t B t o e dt [k (0) t 0 e e w(t )dt t 0 e c(t )e ( n g )t dt ] 1
对c(t)求导数，得到一阶条件为：
三、经济动态学
cHale Waihona Puke Baidu
k0
k 0
k 0
三、经济动态学
3. k和c的动态学
c
c0
E
k 0
k* kgold
四、福利 竞争性均衡最大化代表性家庭的福利
五、平衡增长路径 1.特征
k 0
y0
y * c * s y * （内生）
2.k* 在 c 0 时，有k=k* (新的黄金律，即kMGR） 六、P变化对模型的影响 P下降 S上升。 结果：当期c下降，未来c上升
二、家庭与厂商的行为
Be t c(t ) e R (t ) e ( n g )t
两边取对数，再对 t求导数，有：
c(t ) r (t ) (n g ) c(t )
c(t ) r (t ) g r (t ) g c(t )
七、政府购买
1.三部门RCK模型 假设： 1）单位时间上，每单位有效劳动G(t) 2）效用函数不变 3）平衡预算，总量税 在家庭预算约束下，消费者效用最大 化推出的欧拉方程不变
七、政府购买
2. G(t)永久性、未预期变化 k 0 时，c(t)=f(k(t))-G(t)-(n+g)k(t) 当G(t)增大时，c(t)减小与G(t)同样单 位，储蓄不变，利率不变。 3. G(t)暂时性变化 当G(t)增大时， c(t)减小同时储蓄减小 ，资本存量降低、利率增加。
其中，C(t)为每个家庭成员的消费， U(.)为即期效用函数， 为贴现率
二、家庭与厂商的行为
1.厂商 规模报酬不变
w(t ) f ' (k ) kf ' (k )
2.家庭预算约束
t 0 e
R (t )
L(t ) K (0) R(t ) L(t ) C (t ) dt t 0 e A(t )w(t ) dt H H H
三、经济动态学
c
c =0
c >0
c <0
k*
k
三、经济动态学
2. k的动态学
k f (k ) c (n g )k
BGP途径： c f (k ) (n g )k ) c最大化： f ' (k gold ) (n g，c随着k的增加 先增加后下降。 k 当c超过使 k 0 时的水平时， 0 k 当c低于使 k 0 时的水平时， 0
上式即欧拉方程
已知，C(t)=c(t)A(t)
则： C (t )
c(t ) A(t ) r (t ) 1 (r (t ) ) C (t ) c(t ) A(t )
三、经济动态学
1.C 的动态分析 将 r(t ) f ' (k (t )) 代入欧拉方程，得：
e
(1 ) gt
c(t )1 L(0) } dt 1 H
[ A(0)]1
t
L(0) [( n ) (1 )] gt c(t )1 dt t o e H 1 c(t )1 dt 1
1
B t o e
其中， B [ A(0)]
八、评价
1.贡献 比索洛模型有微观基础 2.局限性 保留了索罗模型其他缺陷性 Y/L 的增长率为g，但其如何增长不知 ；无限期界假定不一定成立……
谢谢！
C (t )1 u[C (t )] 1
0 n (1 ) g 0
一、模型假定
其跨期替代弹性不变，为1/ 7.家庭效用函数
U t o e
t L(t ) L(0) ( n )t u[C (t )] dt t o e u[C (t )] dt H H
R o r ( ) d
t
二、家庭与厂商的行为
3.家庭最优化行为 考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效 用函数：
C (t )1 [ A(t )c(t )]1 [ A(0)e gt ]1 c(t )1 u[C (t )] 1 1 1
[ A(0)]1 e (1 ) gt
再考虑
A(t ) L(t ) A(0) L(0)e ( n g )t
二、家庭与厂商的行为
代入，并在两边消去A(0)L(0)/H，得：
t 0 e
R (t )
c(t )e
( n g )t
dt k (0) t 0 e R (t ) e ( n g )t w(t )dt
U t o e
t
c(t )1 1
再代入家庭效用函数
L(t ) L(0) ( n )t u[C (t )] dt t o e u[C (t )] dt H H
二、家庭与厂商的行为
t o e
( n )t
{[ A(0)]
1