矩阵分析

C 是 ε 1 , ε 2 ,..., ε n 到η1 ,η 2 , ...,η n 的 过渡矩阵, 则
B = C T AC
证 设 A = (aij ) n×n , B = (bij ) n×n , C = (cij ) n×n (η1 ,...,ηi , ...,η j ,...,η n ) = (ε 1 ,..., ε k ,..., ε l ,..., ε n )C 则 ηi = ∑ ckiε k , η j = ∑ ckj ε k = ∑ clj ε l .
； (2.5)
③ 分配律 (α + β, γ ) = (α , γ ) + ( β, γ ), γ ∈V ④ 非负性
(α , α ) ≥ 0; (α , α ) = 0 , 当且仅当 α = θ ．
则称复数(α , β ) 为定义在 V 上的内积，定义了这样内积 的n 维线性空间为n 维酉空间 (unitary space) ，记为
T
T
若规定
(2.2) i =1 则式(2.2)满足式(2.1)，故R n是欧氏空间， 仍以 R n 记之． 式(2.2)所定义的内积为 R n 中向量的标准内积.
4
(α , β) = α T β = β Tα = ∑ aibi
n
2 n×n n R 例2.2 对于 维线性空间 中任
意两个向量(即 n 阶方阵)，规定内积 为
T T
18
2 ( f ( x ), g ( x )) = α T Aβ = (1, − 1,1) 0 2 3
0 2 3 0
2 3 1 =0 0 − 4 −5 2 5
这与直接计算定积分得到的结果是一致的． 现将上述结果推广到复数域向量空间．
19
定义2.3 设V 是复数域 C 上的 n 维线性空间，对任给的
α , β ∈V ，按某种法则对应着一个复数，记为 (α , β )，如
果满足下面四个条件： ① 共轭交换律 ② 共轭齐次性
(α , β ) = ( β , α ) ； k 为任意复数； ( kα , β ) = k (α, β ) ，
k =1 k =1 l =1
13
n
n
n
于是bij = (ηi , η j ) = (∑ cki εk , ∑ clj εl ) = ∑∑ cki (εk , εl )clj
k =1
n n
n
n
n
n
= ∑ ∑ c ki a kl clj = ∑ c ki [ ∑ a kl clj ]
k =1 l =1
T
③ θ ≠ ∀α ∈V , α = (ε 1 ,..., ε n ) x , 必有 x T Ax > 0, 即 A 是正定矩阵.
9
证 ①aij = (ε i , ε j ) = (ε j , ε i ) = a ji , i, j = 1, 2,..., n. 故 AT = A, 即 A 是实对称矩阵.
矩阵分析教程
(电子版)
董增福
哈尔滨工业大学数学系
1
第二章 内积空间
核心内容
1．欧氏空间与酉空间 2．内积空间的度量 3 酉变换与Hermite变换 4．正交子空间与正交投影
2
§2.1欧氏空间与酉空间
定义2.1 设V 是实数域 R上的 n 维线性空间， 对任给的 α,β∈ V ，按某种法则对应着一个 实数，记为 (α,β )，如果满足下面四个条件： ① ② ③ ④ 交换律 (α, β )=( β , α ) ； 齐次性 (kα, β )= k (α , β ) ，k为任意实数； 分配律 (α + β , γ ) = (α , γ ) + ( β , γ ), γ ∈V ； (2.1) 非负性 (α , α ) ≥ 0; (α , α )=0 ,当且仅当 α = θ ．
10
= ∑ xi (∑ aij y j ) = ( x 1 ,
i =1 j =1
n
n
, xi ,
a11 = (x1, , xi , , xn ) ai1 an1
a1 j aij anj
a1n y1 ain y j = xT A y ann yn
则称实数(α,β ) 为定义在 V上的内积， 定义了这样内积的 n 维线性空间 V 为 n 维欧几里得(Euclid)空间，简称欧氏空间， 记为Vn(R,E) ．
3
三个重要的欧氏空间
n R 例2.1 在 n维线性空间 中，
∀α = (a1, ai , , an ) , β = (b1, bi , , bn ) ,
( A, B) = tr(ΑT Β)
(2.3)
可以验证Rn×n 为欧氏空间，仍记之 为R ．
5
n× n
例2.3 定义在闭区间 [a, b] 上实连续函数 的全体的线性空间 C[a, b]的内积为： ∀f ( x), g( x) ∈C[a, b] 规定
( f ( x ), g ( x )) =
∫
a
b
H i =1 n T T
n
其中 α H = (a1 ,..., ai ,..., an )T , 则C n构成一个酉空间, 仍以C 记之.
n
上述定义的内积称为酉空间C 中向量的标准内积.
22
n
定 义 2 .4 设 A = C
m×n
, A 表示由 A的元素的
共 轭 复 数 所 组 成 的 矩 阵 ; 令 A H = ( A)T , 则 称 A H为 A 的 共 轭 转 置 阵.
n ∑ a1 j y j j =1 n , x n ) ∑ a ij y j j =1 n ∑ a nj y j j =1
11
这说明欧氏空间中广义的向量的内积 可通过它们在基下的坐标及其度量矩 阵的双线性函数来计算．
特别若 A = A , 则 称 A为 H erm ite 矩 阵 ; A = − A , 则 称 A为 反 Herm ite 矩 阵 .
H H
Hermite矩阵与反Hermite矩阵是对称阵与 反对称阵的推广.
23
容易验证共轭转置阵有如下性质：
(1) A = A ; (2) ( A + B) = A + B ; (3) (kA) = k A ; (4) ( AB) = B A ; (5) ( A ) = A; (6) A可逆时, ( A ) = ( A ) .
f ( x ) g ( x )dx
(2.4)
容易验证它满足内积的四个条件，故式 (2.4)是内积， C[a, b] 是欧氏空间．
6
欧氏空间的内积有如下性质： ① (α , k β ) = k (α , β ); ② (α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ );
③ (∑ kiα i , ∑ l j β j ) = ∑∑ ki l j (α i , β j );
l =1 n
k =1 l =1
n
∑ a1l clj l =1 n T = (c1i , , cki , , cni ) ∑ akl clj = Ci AC j l =1 n ∑ anl clj l =1
2 1 2
2 a33 = (x , x ) = ∫ x ⋅ x dx = −1 5
2 2 1 2 2
17
所 以 A =
2
2 0 2 3
2
0 2 3 0
2 3 0 2 5
2
(2) 因为 f ( x) = 1 − x + x 与g ( x) = 1 − 4 x − 5 x 在基 1, x, x 下的坐标分别为 α = (1, −1,1) , β = (1, −4, −5) , 由定理 2.1 之②
其中ki , l j ∈ C , αi , β j ∈V ; i = 1, 2,..., r ; j = 1, 2,..., s.
④
(α , θ ) = (θ , α ) = 0.
21
例2.5 在 n 维线性空间C 中, ∀α = (a1 ,..., ai ,..., an ) , β = (b1 ,..., bi ,..., bn ) , 定义内积 (α, β ) α β = ∑ ai bi .
② 由内积性质③ (α , β ) = (∑ xiε i , ∑ yiε i ) = (∑ xiε i , ∑ y j ε j )
i =1
n n
n
n
n
n
i =1
i =1
n n
j =1
= ∑ ∑ xi (ε i , ε j ) y j = ∑ ∑ xi aij y j
i =1 j =1 i =1 j =1
i =1 j =1 i =1 j =1 r s r s
其中ki , l j ∈ R, α i , β j ∈V ; i = 1, 2, ④ (α , θ ) = (θ , α ) = 0.
, r ; j = 1, 2,
,s
7
基的度量矩阵
定义2.2 设V 是 n 维欧氏空间，ε 1 , ε 2 ,..., ε n 是它的一个基，令gij = (ε i , ε j ), G = ( gij )n×n，则称
k =1 n
l =1
14
其 中 C = ( C 1 , ..., C i ..., C j , ..., C n )
C1T AC1 B = (bij )n×n = CiT AC1 CT AC n 1
C1T AC j CiT AC j
T Cn AC j
C1T ACn CiT ACn T Cn ACn