第五章矩阵分析基础
线性代数在深度学习中的应用研究
线性代数在深度学习中的应用研究第一章简介线性代数作为一门数学基础课，是现代数学的一个重要分支，线性代数的基本思想和方法在很多自然科学和工程学科中都有广泛的应用。
深度学习是机器学习的一种方法，是通过构建神经网络实现对数据的学习和处理。
本文将分析线性代数在深度学习中的应用研究。
第二章神经网络的数学基础神经网络是一个输入输出关系的模型，用于解决分类、回归、聚类等问题。
在神经网络中，每个节点的输入是所连接节点的输出，这种关系可以由矩阵乘法和非线性函数实现。
因此，矩阵乘法是神经网络的核心操作，而线性代数的基础知识对于理解矩阵乘法和神经网络的结构至关重要。
第三章线性代数在深度学习中的应用3.1 矩阵乘法矩阵乘法是神经网络中最基础和最重要的运算之一。
在神经网络的训练过程中，我们需要将输入数据通过神经网络前向传递、反向传递，并更新网络的权重。
矩阵乘法就是实现这些操作的基础。
3.2 矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵拆分成多个矩阵的乘积的过程。
矩阵分解在深度学习中有广泛的应用，如奇异值分解、QR分解等。
其中，奇异值分解可以用于降维和数据压缩，QR分解可以用于减少矩阵求逆所需的计算量。
3.3 矩阵求逆矩阵的逆是实现神经网络训练中反向传递时必要的操作。
矩阵逆的求解是一个比较耗时的过程，而如果数据集很大，这个过程会变得非常复杂。
因此，研究如何高效地求解矩阵逆是深度学习中的一个重要问题。
3.4 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的基础概念，可用于对数据进行降维、聚类和分类等操作。
在深度学习中，特征值和特征向量可以用于对神经网络的权重进行分析和优化。
第四章案例分析4.1 手写数字识别手写数字识别是计算机视觉中一个重要的问题。
在深度学习中，使用卷积神经网络结合线性代数知识可以实现对手写数字的快速识别。
4.2 小麦病害检测小麦病害检测是农业中的一个重要问题。
利用深度学习技术实现对小麦图像的分类和识别，在现代农业中有着广泛的应用。
第5章 层次分析法..
W1
W
j 1
n
则所求特征向量： W= [0.106，0.634，0.261] T
W2
W2
W
j 1
n
j
1.900 0.634 2.998
W3
27
W3
W
j 1
n
0.781 0.261 2.998
j
二.和积法
（4）计算判断矩阵的最大特征根 max
( BW )i n ( BW )i i 1 Wi max n i 1 nW i
29
S5.NUDT
二.和积法
( BW )i n ( BW )i i 1 Wi max n i 1 nW i
( BW )1 ( BW ) 2 ( BW )3 [ ]/ 3 W1 W2 W3
0.320 1.941 0.785 [ ]/ 3 0.160 0.634 0.261
n
28
二.和积法
本例有：
1
1/5
1/3
0.106
(BW)1 =
BW =
5
3
1
1/3
3
1
0.634
0.261
(BW)2
(BW)3
(BW)1= 1 0.106 + 1/5 0.634 + 1/3 0.261= 0.320 (BW)2= 5 0.106 + 1 0.634 + 3 0.261 = 1.941 (BW)3= 3 0.106 + 1/3 0.634 + 1 0.261 = 0.785
Pn b1n b2n ... 矩 阵 B
P1 P2
Pn
矩阵分析及其应用答案
P25⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴+-=-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-=-=∈∈∀+=-+-=--+=+-+=+∈∀11-11-11-00011-11-11-000),,(),,()()(0110101111011011100110011101)()3(0100,0010,10012)()()()()(,)()()()()(,)1.(1421121121121121122121121221121121121111211211212211212121212121该基下的对应的矩阵为同理：变换的像分别求上一组基的线性以取这样的一组基这是一个三维空间，可可以写为）对于空间（的线性变换是根据定义可知，设设E E E E E E T E E E T E E E T E E E T E E E a a a a W W W T X T B X X B BX X B X T FW X X T X T B X X B B X X B B X B X X B X B BX X X X B X X T WX X T T T T TT TT TTT T T T λλλλλλ()()()()()()()()()()()()()()123123123123-1123123123123123123123123-1123-1123115.,,,,,,,,101110-121,,=,,,,,=,,,,,,,,,,,,,,=,T A T B A P P T T P T P AP P AP B P APηηηηηηεεεεεεεεεηηηηηηεεεεεεηηηηηηηηηεεεεεεηη==⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦===解：由题意知：其中，设则则由()()()23-1123123-11-1,=,,,,-110100010100010=100010=110010=1101-1100110100110101010101001110110110101-12111P P B P AP ηηηηεεε-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得到-111132⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1.16(1)证明：()()()()()()()221223131212122T f t T f t x x x x t t x x t t +=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ Q ()()()22123231312T x x t x t x x x x t x x t ⎡⎤++=+++++⎣⎦()()2123011,,1011,,110Tx x x t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴()()22121213112232T f t f t T x x t x t x x t x t ⎡⎤+=+++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2212123122T x x t t x t t ⎡⎤=++++⎣⎦()()221231212,,2,,TT x x x t t t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()()221231212011,,1012,,110Tx x x t t t t ⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()2223131212122x x x x t t x x t t =+++++++∴()()12T f t f t +=⎡⎤⎣⎦()()12T f t T f t +⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2123T f t T x x t x t λλλλ=++⎡⎤⎣⎦()()2123,,,,T T x x x t t λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()2123011,,101,,110Tx x x t t λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()2231312x x x x t x x t λλλ=+++++()T f t λ=⎡⎤⎣⎦ ∴T 是[]3F x 的线性变换 （2）解： ()()2123T f t T xx tx t=++⎡⎤⎣⎦ ()()()21231x T x T t x T t =++()()()()2212311T f t x t t x t x t =+++++⎡⎤⎣⎦∴()21T t t =+；()21T t t =+；()21T t t =+∴()()220111,,1011,,110T t t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴T 在基21,,t t 下的矩阵A 为011101110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）解：()()211112111E A λλλλλλ---=--=-+--1232;1λλλ===-()112=1,1,1Tλξ=时，可以求得特征向量()()2323==1,1,0=1,0,1TTλλξξ=---1时，可以求得特征向量，故111=110101P ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()()21231,,t t P ∂∂∂=令，，()()2221111,,1101011,1,1t t t t t t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=++--则T 在基1∂=21t t ++，2∂=1t -，3∂=21t -下的矩阵为对角矩阵.P45第二章 内积空间练习题1.解：（1）Q ()11221x y x y αβ,=++，∴()11221x y x y λαβλλ,=++。
矩阵分析引论第四版课后练习题含答案
矩阵分析引论第四版课后练习题含答案简介《矩阵分析引论》是矩阵分析领域的经典教材之一，已经发行了四个版本。
该书主要以线性代数、矩阵理论和应用为主要内容，重点介绍了矩阵分析的基本概念、原理和应用。
本文主要介绍该书第四版中的课后练习题及其答案。
提供的资料本文为矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案，包含了第一章到第五章的所有习题和答案。
其中，习题从简单到复杂，大部分习题都有详细的解答过程和答案。
内容概述第一章引言第一章主要介绍了矩阵分析的历史和基本概念、性质、符号等。
本章习题主要涉及了矩阵、向量、矩阵运算等基本概念和性质。
第二章基本概念和变换第二章主要介绍了线性变换的基本概念和性质，以及线性代数中的一些重要定理和定理的证明。
本章习题主要涉及了线性变换、矩阵的秩和标准型、特征值和特征向量等内容。
第三章矩阵运算第三章主要介绍了矩阵运算的基本概念和性质，包括矩阵乘法、逆矩阵、行列式等。
本章习题主要涉及矩阵运算的基本操作和应用。
第四章矩阵分解第四章主要介绍了矩阵分解的基本概念和应用，包括特征值分解、奇异值分解、QR分解等。
本章习题主要涉及了矩阵特征值和特征向量、矩阵的奇异值分解等内容。
第五章线性方程组和特征值问题第五章主要介绍了解线性方程组和求特征值的方法，包括高斯消元法、LU分解、带状矩阵、雅可比迭代等。
本章习题主要涉及了线性方程组的解法、矩阵的特征值问题等内容。
结语本文介绍了矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案。
对于学习矩阵分析的同学，课后习题是一个非常重要的练习和提升自己能力的途径。
本文所提供的习题和答案可以帮助读者巩固和提高自己的矩阵分析能力。
同时，本文也希望能够帮助更多的人学习矩阵分析，并成为矩阵分析领域的专家。
矩阵分析(5)
n
= A
B
2 F
于是有
AB
F≤ ALeabharlann 例 4 ：对于任意 A ∈ C
F n ×n
B
F
，定义
1
A = [Tr ( A A)] 2 证明: 证明 如此定义的 A 也是矩阵 A 的一种范
H
数。
证明： 首先注意到这样一个基本事实， 证明： 首先注意到这样一个基本事实，即
，那么
A
（2） A ）
2 F
= Tr ( A A) = ∑ λi ( A A)
H i =1
（3）对于任何 m 阶酉矩阵 U 与 n 阶酉矩阵 ）
V 都有等式 A F = UA
F
= A
H F
= AV
F
= UAV
F
关于矩阵范数的等价性定理。 关于矩阵范数的等价性定理。 定理： 定理：设 A α , A β 是矩阵 A 的任意两 种范数， 种范数，则总存在正数 d1 , d 2 使得
α 2 = ( ∑ ai ) = (α α )
2 12 H i =1
n
12
也称为欧氏范数。 也称为欧氏范数。 （3） ∞ －范数 α ） 定理： 定理：
∞
= lim α
p →∞
p
α
∞
= max ai
1≤i ≤ n
证明： 证明：令
x = max ai ，则
1≤i ≤ n
yi =
于是有
ai x
, i = 1, 2,L, n
d1 A
β
≤ A α ≤ d 2 A β , ∀A ∈ C
m ×n
诱导范数 定义： 是向量范数， 定义：设 X α是向量范数， A β 是矩阵范 数，如果对于任何矩阵 A 与向量 X 都有
矩阵分析复习知识点整理
一、定义设V 是一个非空集合， F 为数域．上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数域 F 上的线性空间．[ V, F, “+”, “.”, 8 ]判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．R[X]n 是次数不超过n 的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……, X n ]。
P[X]n 是次数不超过n-1的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……,X n-1]。
Q[X]n 是次数不超过n 的多项式，其中an 不等于0，不构成了向量空间,。
Ax=0的解空间，称为矩阵A 的核（零）空间，记N （A ）设A 为实数（或复数）m*n 矩阵，x 为n 维列向量，则m 维列向量集合V={y ∈R m (C m )|y=Ax,x ∈R n (C n ),A ∈R m*n (C m*n)}构成实（或复）数域R （或C ）上的线性空间，称为A 的列空间或A 的值域，记R （A ）。
线性相关与无关略所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵例 1.1.11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ,4321224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++k k k k E k E k E k E k 有,0000 224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+++O E k E k E k E k 因此 03321====⇔k k k k .,,,22211211线性无关即E E E E()(),,,,,,, 2121P n n αααβββ =基变换公式矩阵P 称为由基n ααα,,,21到基n βββ,,,21 的过渡矩阵．坐标变换公式 ,'''2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x P x x x 例1.2.6略P11设V l ，V 2是线性空间V 的两个子空间， 可以验证: 21V V 构成V 的线性子空间．称为 21V V 为V l 与 V 2 的交空间．可以验证: 21V V + 构成V 的线性子空间．称21V V +为 V l 与 V 2 的和空间例1.3.5◆{}{}2122112121,span ,,span ,1,3,5,1,1,3,5,4,1,31,1,131,2ββααββαα==-=-=--==V V T TT T ）（）（），（），，（试求；(1)V l +V 2的基与维数；(2) 21V V 的基与维数● [解] (1)由定理3知{}212121,,,span ββαα=+V V 121,,βαα是极大无关组．故它是V 1+V 2的基，维数＝3，于是且，即）设（21212V V V V ∈∈∈ααα 24132211ββαααk k k k +=+=把2121,,,ββαα的坐标代入上式，解之得4342132,35,0k k k k k -===于是. 35,5,35,35214的向量表示为V V k T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α其维数=l线性映射：设V1，V2是数域F 上的两个线性空间，映射T ：V1->V2,如果对于任何两个向量a1,a2∈V1和任何数Ｋ∈Ｆ，都有T （a1+a2）=T(a1)+T(a2)；T （Ka1）=KT(a1)便称为映射。
XXXX第五章营销策划的环境分析带矩阵案例
▪ 对成熟业务，机会与威胁处于较低水平，可作为企 业的常规业务，用以维持企业的正常运转，并为开 展理想业务和冒险业务准备必要的条件。
▪ 对困难业务，要么是努力改变环境，走出困境或减 轻威胁，要么是立即转移，摆脱无法扭转的困境。
（二）内部因素评价矩阵(IFE矩阵)
▪ 内部因素评价矩阵(Internal Factor Evaluation Matrix)是一种对内部因素进行分析的工具。
1、人口环境分析
市场是由有购买欲望和支付能力的人构成的，人口的 多少及人口的构成直接影响市场的潜在容量。 ➢ 人口总量 ➢ 人口结构 ➢ 文化结构 ➢ 年龄结构 ➢ 地理分布结构 ➢ 家庭结构 ➢ 性别结构
2、经济环境分析
经济环 境分析
收入与支出 状况分析
经济发展 状况分析
收
支 储蓄与 经济发
经济
雅科卡——美国实业界巨子
有限元分析第五章(第一部分)
第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。
这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。
本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。
这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。
等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。
变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。
§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。
仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数 （ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。
这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当 ＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →： (5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。
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i1 j1
可以证明, 对方阵 ARnn和 x Rn，有 ||Ax||2||A||F||x||2
3．矩阵的范数与特征值之间的关系
定理5：矩阵A 的任一特征值的绝对值不超过A的范数，即
max
1in
i
A
并且如果A为对称矩阵，则
m ax
1in
i
A(谱 范 数 ） 2
依坐标收敛于向量 X ，* 记为
lk im Xk X*
定理3：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是
lk i mXk X* 0
向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。
2．矩阵的范数
定义3：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ，
则称 记为
sup AX
x 1
A 。即
为矩阵A的范数或模，
XYXY
三个常用的范数： 设X = (x1, x2,…, xn)T，则有
（1） X1x1x2 xn
（2） （3）
X2X TXx 1 2 x2 2 xn 2 X m 1ian xi
范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
, 则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
A supAX
x 1
矩阵范数的基本性质： （1）当A = 0时， A ＝0，当A 0时， A > 0 （2）对任意实数k 和任意A，有 kA k A （3）对任意两个n阶矩阵A、B有
ABAB （4）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有
AX A X （5）对任意两个n阶矩阵A、B，有
AB A B
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
（Ⅰ）与 x 相1 容的矩阵范数是
n
A 1
max j i1
aij
（Ⅱ）与 x 相2 容的矩阵范数是
A 2
1
其中1为矩阵ATA的最大特征值。
（Ⅲ）与
x
相容的矩阵范数是
n
A
max i j1
aij
上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。
Frobenius范数: || A||F
nn
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
A11
11,B11
1 1
AB
2 2
2
2
||A || 1 ,||B || 1 ,||A B || 2
从而 ||A B || ||A ||||B ||
定理4：设n 阶方阵A = (aij)nn，则
第五章
矩阵分析基础
§5.1 向量和矩阵的范数
1．向量的范数
定义1：设X R n，Ｘ 表示定义在Rn上的一个实值函数，
称之为X的范数，它具有下列性质：
(1) 非负性：即对一切X R n，X 0, Ｘ >0 (2) 齐次性：即对任何实数a R，X R n，
aXa X
（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有
1X X X
n1
1
X XnX
1
X X nX
2
定义2：设给定Rn中的向量序列{ X k }，即 X 0,X 1, Xk,
其中 X kx 1 (k ),x 2 (k ), ,x n (k )T
若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有
lk im xi(k) xi*
则向量 X*(x1 *, ,xn *)T 称为向量序列{ X k }的极限，或者说向量序列{ X k }
定义4：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，
记为：
(A)
max 1in
i
注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。
定义5： 设|| ·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ A k }，若
lim
k
Ak
A
0
定理1：定义在Rn上的向量范数 X 是变量X分量的 一致连续函数。 X f (X )
定理2：在Rn上定义的任一向量范数 X 都与范数 X 等价， 1 即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式
mXXMX
1
1
成立。
推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
对常用范数，容易验证下列不等式：
则称矩阵序列{ A}k收敛于矩阵A，记为
lim
k
Ak
A
定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的
矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵
（
lim）B的k 充0要条件
k
为
。(B) 1