第五章矩阵分析基础

||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
A11
11,B11
1 1
AB
2 2
2
2
||A || 1 ,||B || 1 ,||A B || 2
从而 ||A B || ||A ||||B ||
定理4：设n 阶方阵A = (aij)nn，则
XYXY
三个常用的范数： 设X = (x1, x2,…, xn)T，则有
（1） X1x1x2 xn
（2） （3）
X2X TXx 1 2 x2 2 xn 2 X m 1ian xi
范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
, 则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
A supAX
x 1
矩阵范数的基本性质： （1）当A = 0时， A ＝0，当A 0时， A > 0 （2）对任意实数k 和任意A，有 kA k A （3）对任意两个n阶矩阵A、B有
ABAB （4）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有
AX A X （5）对任意两个n阶矩阵A、B，有
AB A B
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
定义4：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，
记为：
(A)
max 1in
i
注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。
定义5： 设|| ·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ A k }，若
lim
k
Ak
A
0
第五章
矩阵分析基础
§5.1 向量和矩阵的范数
1．向量的范数
定义1：设X R n，Ｘ 表示定义在Rn上的一个实值函数，
称之为X的范数，它具有下列性质：
(1) 非负性：即对一切X R n，X 0, Ｘ >0 (2) 齐次性：即对任何实数a R，X R n，
aXa X
（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有
（Ⅰ）与 x 相1 容的矩阵范数是
n
A 1
max j i1
aij
（Ⅱ）与 x 相2 容的矩阵范数是
A 2
1
其中1为矩阵ATA的最大特征值。
（Ⅲ）与
x
相容的矩阵范数是
n
A
max i j1
aij
上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。
Frobenius范数: || A||F
nn
定理1：定义在Rn上的向量范数 X 是变量X分量的 一致连续函数。 X f (X )
定理2：在Rn上定义的任一向量范数 X 都与范数 X 等价， 1 即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式
mXXMX
1
1
成立。
推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
对常用范数，容易验证下列不等式：
1X X X
n1
1
X XnX
1
X X nX
2
定义2：设给定Rn中的向量序列{ X k }，即 X 0,X 1, Xk,
其中 X kx 1 (k ),x 2 (k ), ,x n (k )T
若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有
lk im xi(k) xi*
则向量 X*(x1 *, ,xn *)T 称为向量序列{ X k }的极限，或者说向量序列{ X k }
|aij |2 (向量|| · ||2的直接推广)
i1 j1
可以证明, 对方阵 ARnn和 x Rn，有 ||Ax||2||A||F||x||2
3．矩阵的范数与特征值之间的关系
定理5：矩阵A 的任一特征值的绝对值不超过A的范数，即
max
1in
i
Байду номын сангаас
A
并且如果A为对称矩阵，则
m ax
1in
i
A(谱 范 数 ） 2
则称矩阵序列{ A}k收敛于矩阵A，记为
lim
k
Ak
A
定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的
矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵
（
lim）B的k 充0要条件
k
为
。(B) 1
依坐标收敛于向量 X ，* 记为
lk im Xk X*
定理3：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是
lk i mXk X* 0
向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。
2．矩阵的范数
定义3：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ，
则称 记为
sup AX
x 1
A 。即
为矩阵A的范数或模，