材料力学--能量法

上式常称为莫尔定理或莫尔积分。对于基本变形杆， 莫尔定理的形式为： n FNi FNi li FN ( x) FN ( x) （1）拉压时： dx 对于桁架： l EA EAi i 1
T ( x)T ( x) （2）扭转时： l EI dx P M ( x) M ( x) dx （3）弯曲时： l EI
FN、F s、M
A
1
2

n
1 A
原载荷作用下的位移作为虚位移，单位力看作实际载荷。 则由虚功原理得： 1 FN d(l ) Md( ) Fs d
20
一般情况下，求结构中一点位移的单位载荷法的计算 公式为： FN d (l ) Md ( ) Fs d T d ( ) 说明： （1）单位载荷法对线性、非线性及非弹性体均适用。 （2）所求的位移及施加的单位力都是广义的。若Δ为线 位移，则在欲求Δ处沿Δ方向加单位力；若Δ为角 位移，则在欲求Δ处沿Δ转向加单位力偶。若Δ为 两点间的相对线位移，则在欲求Δ处加一对方向相 反的单位力；若Δ为两截面间的相对角位移，则在 欲求Δ处加一对方向相反的单位力偶。 （3）若求出的Δ为正，则说明所求的位移与单位力同向， 反之，则相反。 21 （4）对于细长杆件，剪力影响很小，第三项可略去不计。
1 F Fl 3 F Ml 2 1 M Ml (c) U 2 48 EI 16 EI 2 3EI Fl 3 , B Ml , w Ml 2 , Fl 2 令 wC 48 EI CM BF 3EI 16 EI 16 EI 则 U 1 F wC M BF 1 M B (b) 2 2
又如：
EA EA EA
( F1 F2 ) 2 L U 2 EA 2 2 F1 L F2 L F1 F2 L 2 EA 2 EA EA U1 U 2

F1 F2
F1

F2
U U1 U 2 F1 l2 U1 U 2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
We Wi 0
则有：
即为虚功原理具体表达式
19
§11.5
单位载荷法
由虚功原理可以得到计算结构位移的单位载荷法。 如图所示简支梁，受已知载荷Fi（i=1,2, … n)作用，要 F1 F2 Fn 求任意截面沿任意方向位移。 如，要求任一截面A的挠度Δ 可设想先将载荷移去，在A处 沿Δ方向加一单位载荷， 由单位力引起的内力分别记为：

求和符号表示考虑结构中的所有杆件，若横截面上还 Td * 这一项。 存在扭矩，则上式应增加 结构所有外力对于虚位移所作的虚功应为： We Fi i
而
Fi FN d(l ) Md FSd Td i
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等， 方向相反，且均垂直于杆CD的力。 根据功的互等定理： F B F B F lCD F 0.08kN 16 lCD
§11.4
虚功原理
虚功原理又称为虚位移原理，在理论力学中， 讨论过质点系的虚位移原理，它表述为，质点系平 衡的充要条件是作用在质点系上的所有各力在质点 系的任何虚位移上所作的总虚功等于零，即
12
2、变形能：
U
l
T 2 ( x) dx l 2GI P

弯矩: M ( ) FR sin 扭矩:T ( ) FR(1 cos ) 2 M ( x) dx 2 EI

0
F 2 R 2 (sin ) 2 F 2 R 2 (1 cos ) 2 Rd Rd 0 2GI P 2 EI
(3)
（1）、（2）式代入（3）式得：
1 F 2l 3 MFl 2 M 2l U EI 96 16 6
7
1 F 2l 3 MFl 2 M 2l (a) U EI 96 16 6
F A
l 2
M B
l 2
C
变形(a)式得
1 F Fl 3 M Fl 2 1 M Ml U 2 48 EI 16 EI 2 3EI (b)
U
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) dx dx dx L 2GI L 2 EA 2 EI P
L
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 A 解：设F和M同时由零按比 例加至终值。 （1）求支反力，列弯矩方程：
W 0
对于变形体，除了外力在虚位移上要作功外，内 力在相应的变形虚位移上也要作功。前者称为外力虚 功，用 We 表示；后者称为内力虚功，用 Wi 表示。 变形体平衡的充分必要条件是作用于其上的外 力系和内力系在任意一组虚位移上所作的虚功之和 为零 ，即
We Wi 0
17
在结构中取出一微段dx，如图所示:
不计能量损耗， 则根据功能原理有
U=W
3
§11.1
杆件的应变能计算
一、杆件在基本变形时的应变能 1、轴向拉压杆的应变能计算：
2 FN l (1) U 2 EA
2 FN ( x) dx 2 EA
(2) U
L
(3)
2 FNi li U 2 Ei Ai i 1 n
4
2、圆轴扭转时的应变能
U1
诱导功
U2
U1：F 单独作用应变能 U2：M 单独作用应变能
8
U 1 F wC F wCM 1 M B 2 2
U1
诱导功
(c)
U2
1 F 2l 3 MFl 2 M 2l (a) 同时加F 和M U EI 96 16 6
U 1 F wC M BF 1 M B 2 2
22 21
先作用F2，再作用F1，则总功 W2 1 F2 22 F2 21 1 F1 11 2 2 14
A
1 F1 2 F2
11 12
B
22
线弹性体，载荷作功与加载次 序无关，只取决于载荷的终值
A
1 F1
11
2 F2
22 21
W1 W2
先加M，再加F
(b)
A
C F
B
M B
wC BF
F C w C M B
U 1 F wC F wCM 1 M B 2 2
先加F，再加M
(c) A
wCM B
上三式说明：一组外力引起同一基本变形时，杆的总 应变能，并不等于各力分别单独作用时产生的应变能 的简单相加。 另外，上三式还说明：杆件的应变能，只与最终的载 荷状态有关，而与加载次序无关。 9
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F A a C a B
解：外力功等于应变能
W 1 FwC 2
U
L
M 2 ( x) dx 2 EI
M ( x) F x ; (0 x a) 2
利用对称性，得：
W U
U 2
a
0
1 ( F x) 2 dx F 2 a 3 2 EI 2 12 EI
22
莫尔定理的另一种证明方法 如图所示简支梁，受已知载 F1 F2 Fn A 荷Fi（i=1,2, … n)作用，要求 任意截面沿任意方向位移。 1
2

n
F0 A
0
如：求任一截面A的挠度Δ （a）实际载荷作用下
U
l
M 2 ( x) dx 2 EI
（b）实际载荷前，在A处沿 Δ方向先加一虚拟力F0
U0
l
M 2 ( x) dx 2 EI
23
U
l
M 2 ( x) dx 2 EI
U0
l
M ( x) dx 2 EI
x
C
l 2
F
l 2
M
B
M1 ( x) 1 Fx M x (0 x l ) (1) 2 l 2 M 2 ( x) 1 F (l x) M x ( l x l ) (2) 2 l 2
（2）求应变能：
U
l 2 0 2 l M ( x) M 12 ( x) dx l 2 dx 2 EI 2 2 EI
B
F1 12 F2 21
称为功的互等定理
12 21
若令： F1 F2
称为位移互等定理 。
15
如图所示桁架，杆CD的长度l为1m，已知节点 B 受铅 垂向下的力F=1kN作用时，杆CD产生逆时针方向的转 角 =0.01 rad。试确定为使节点B产生铅垂向下的线 位移 B =0.0008m，在节点C及D两处应加多大的力。 并说明加力方向。
(1) T 2l U 2GI p
L
(2) U
T 2 ( x) dx 2GI p
3、梁弯曲时的应变能
(1) M 2l U 2 EI
M 2 ( x) dx 2 EI
5
(2) U
L
二、杆件在组合变形时的应变能 小变形时，各基本变形的应变能可单独计算，然 后相加，得到组合变性杆的总应变能。即：
A
1
12
P 2 F2
22
梁AB，在 2点作用F2，引起 B 2点的位移 22、 1点的位移 12；
先作用F1，再作用F2，则总功 B W1 1 F1 11 F1 12 1 F2 22 2 2
B
A
1 F1 2 F2
11 12
22
A