十年高考真题 不等式综合应用

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十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题15不等式选讲文(含解析)

十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题15不等式选讲文(含解析)

专题15不等式选讲历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2019年新课标1文科23】已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解答】证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.要证(1)a2+b2+c2;因为abc=1.就要证:a2+b2+c2;即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证.故a2+b2+c2得证.(2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立;即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a);当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.(a+b)≥2;(b+c)≥2;(c+a)≥2;当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a)≥3×8••24abc=24;当且仅当a=b=c=1时取等号;故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.故得证.2.【2018年新课标1文科23】已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,由f(x)>1,∴或,解得x,故不等式f(x)>1的解集为(,+∞),(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,即|ax﹣1|<1,∴﹣1<ax﹣1<1,∴0<ax<2,∵x∈(0,1),∴a>0,∴0<x,∴a∵2,∴0<a≤2,故a的取值范围为(0,2].3.【2017年新课标1文科23】已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x的二次函数,g(x)=|x+1|+|x﹣1|,当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,];当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,];(2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1,故a的取值范围是[﹣1,1].4.【2016年新课标1文科24】已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.【解答】解:(Ⅰ)f(x),由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右:(Ⅱ)由|f(x)|>1,可得当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1;当﹣1<x时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x,即有﹣1<x或1<x;当x时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或x<3.综上可得,x或1<x<3或x>5.则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).5.【2015年新课标1文科24】已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,即①,或②,或③.解①求得x∈∅,解②求得x<1,解③求得1≤x<2.综上可得,原不等式的解集为(,2).(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,由此求得f(x)的图象与x轴的交点A(,0),B(2a+1,0),故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),由△ABC的面积大于6,可得[2a+1]•(a+1)>6,求得a>2.故要求的a的范围为(2,+∞).6.【2014年新课标1文科24】若a>0,b>0,且.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且,∴2,∴ab≥2,当且仅当a=b时取等号.∵a3+b3 ≥224,当且仅当a=b时取等号,∴a3+b3的最小值为4.(Ⅱ)∵2a+3b≥22,当且仅当2a=3b时,取等号.而由(1)可知,2246,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.7.【2013年新课标1文科24】已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则y,它的图象如图所示:结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[,]时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,故x≥a﹣2对x∈[,]都成立.故a﹣2,解得a,故a的取值范围为(﹣1,].8.【2012年新课标1文科24】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;②f(x)≤|x﹣4|若的解集包含[1,2],求a的取值范围.【解答】解:(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即,可得x≤1;,可得x∈∅;,可得x≥4.取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}.(2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0,故a的取值范围为[﹣3,0].9.【2011年新课标1文科24】设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x﹣1|≥2.由此可得x≥3或x≤﹣1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}.(Ⅱ)由f(x)≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得1,故a=210.【2010年新课标1文科24】设函数f(x)=|2x﹣4|+1.(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象:(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由于f(x),函数y =f (x )的图象如图所示.(Ⅱ)由函数y =f (x )与函数y =ax 的图象可知,极小值在点(2,1)当且仅当a <﹣2或a 时,函数y =f (x )与函数y =ax 的图象有交点.故不等式f (x )≤ax 的解集非空时,a 的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪[,+∞).考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,证明不等式为重点较佳.最新高考模拟试题 1.已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.(1)当2a =时,求不等式()2f x >的解集;(2)若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)2{|3x x <或()4cos(2)6f x x π=-;(2)空集. 【解析】 解:(1)不等式()2f x >,即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩,或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩, 解得23x <或2x >,所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或. (2)当[2,1]x ∈-时,220x -<,所以()22f x x a x =-+-,由()32f x x ≤-得1x a -≤,即11a x a -≤≤+,则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩,该不等式无解, 所以实数a 的取值范围是空集(或者∅).2.已知()221f x x x =-++.(1)求不等式()6f x <的解集;(2)设m 、n 、p 为正实数,且()3m n p f ++=,求证:12mn np pm ++≤.【答案】(1) ()1,3- (2)见证明【解析】(1)①2x ≥时,()24133f x x x x =-++=-,由()6f x <,∴336x -<,∴3x <,即23x ≤<,②12x -<<时,()4215f x x x x =-++=-,由()6f x <,∴56x -<,∴1x >-,即12x -<<, ③1x ≤-时,()42133f x x x x =---=-,由()6f x <,∴336x -<,∴1x >-,可知无解, 综上,不等式()6f x <的解集为()1,3-;(2)∵()221f x x x =-++,∴()36f =,∴()36m n p f ++==,且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=,∵222m n mn +≥,222m p mp +≥,222n p np +≥, ∴222m n p mn mp np ++≥++,∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数,∴可以解得12mn np pm ++≤. 3.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>. (1)当1m =,求不等式()1f x ≥的解集;(2)对于任意实数,x t ,不等式()21f x t t <++-恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭;(2)()0,2 【解析】(1)当1m =时,()1f x ≥为:1211x x --+≥当1x ≥时,不等式为:1211x x ---≥,解得:3x ≤-,无解当112x -≤<时,不等式为:1211x x -+--≥,解得:13x ≤-,此时1123x -≤≤- 当12x <-时,不等式为:1211x x -+++≥,解得:1x -≥,此时112x -≤<-综上所述,不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭(2)对于任意实数x ,t ,不等式()21f x t t <++-恒成立等价于()()max min |2||1|f x t t <++- 因为|2||1||(2)(1)|3t t t t ++-≥+--=,当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立 所以()min |2||1|3t t ++-=因为0m >时,()2f x x m x m =--+=2,23,22,m x m x m x x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩,函数()f x 单调递增区间为(,)2m -∞-,单调递减区间为(,)2m-+∞ ∴当2m x =-时,()max 322m mf x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭332m∴<,又0m >,解得:02m << ∴实数m 的取值范围()0,24.选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-,其中0m >. (1)求m 的值;(2)若正数a ,b ,c 满足a b c m ++=,求证:2222b c aa b c++≥.【答案】(1)2m =(2)见证明 【解析】(1)由题意知:20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得:3x mm x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-,解得:2m =(2)由(1)可知,2a b c ++=由基本不等式有:22b a b a +≥,22c b c b +≥,22a c a c +≥三式相加可得:222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++,即:2222b c a a b c++≥ 5.选修4-5:不等式选讲已知函数()13f x x x a =+++ (1)当1a =-时,解不等式()2f x ≥;(2)若存在0x 满足00()211f x x ++<,求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2) 24a << 【解析】(1)当1a =-时,()|1||31|f x x x =++-,当13x ≥时,不等式等价于1312x x ++-≥,解得12x ≥,12x ∴≥; 当113x -<<时,不等式等价于1312x x +-+≥,解得0x ≤,10x ∴-<≤;当1x ≤-时,不等式等价于1312x x ---+≥,解得12x ≤-,1x -∴≤.综上所述,原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. (2)由()00211f x x ++<,得003131x x a +++<,而()()000000313333333|3|x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-, (当且仅当()()003330x x a ++≤时等号成立) 由题可知min (()2|1|)1f x x ++<,即31a -<, 解得实数a 的取值范围是24a <<. 6.已知函数()|2|f x ax =-.(Ⅰ)当4a =时,求不等式()|42|8f x x ++≥的解集;(Ⅱ)若[2,4]x ∈时,不等式()|3|3f x x x +-≤+成立,求a 的取值范围. 【答案】(I )(,1][1,)-∞-+∞;(II )[1,2]- 【解析】(I )当4a =时,原不等式即|42||42|8x x -++≥,即|21||21|4x x -++≥. 当12x ≥时,21214x x -++≥,解得1x ≥,∴1x ≥;当1122x -≤≤时,12214x x -++≥,无解; 当12x ≤-时,12214x x ---≥,解得1x ≤-,∴1x ≤-;综上,原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞(II )由()|3|3f x x x +-≤+得|2||3|3ax x x -+-≤+(*) 当[2,3]x ∈时,(*)等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤ 即22a x -≤,所以2222a x x -+≤≤+恒成立,所以813a -≤≤ 当(3,4]x ∈时,(*)等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤ 即48ax -≤≤,所以48a x x-≤≤恒成立,所以12a -≤≤ 综上,a 的取值范围是[1,2]-7.已知函数()21f x x x a =-++,()2g x x =+. (1)当1a =-时,求不等式()()f x g x <的解集; (2)设12a >-,且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.【答案】(1)()0,2;(2)11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】(1)当1a =-时,不等式()()f x g x <化为:21120x x x -+---<当12x ≤时,不等式化为12120x x x -+---<,解得:102x <≤当112x <≤时,不等式化为21120x x x -+---<,解得:112x <≤ 当1x >时,不等式化为21120x x x -+---<,解得:12x << 综上,原不等式的解集为()0,2 (2)由12a x -≤<,得221a x -≤<,21210a x --≤-< 又102x a a ≤+<+则()()211f x x x a x a =--++=-++∴不等式()()f x g x ≤化为:12x a x -++≤+得21a x ≤+对1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立 21a a ∴≤-+,解得:13a ≤又12a >-,故a 的取值范围是11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦8.已知函数()|2|f x x =-.(Ⅰ)求不等式()|1|f x x x <++的解集;(Ⅱ)若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ,求实数a 的取值范围. 【答案】(I )1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(II )(,1)-∞ 【解析】解:(I )由已知不等式()|1|f x x x <++,得|2||1|x x x -<++, 当2x ≥时,不等式为21x x x -<++,解得3x >-,所以2x ≥; 当12x -<<时,不等式为21x x x -<++,解得13x >,所以123x <<; 当1x ≤-时,不等式为21x x x -<--,解得3x >,此时无解. 综上:不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(II )若5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ,则(3)()30f x f x a ++->恒成立. ∵|1||2|3|12|333x x a x x a a ++--≥+-+-=-,当且仅当[1,2]x ∈-时取等号. ∴330a ->,即1a <.所以实数a 的取值范围是(,1)-∞. 9.已知函数()123f x x x =-+-. (Ⅰ)解关于x 的不等式()4f x ≤;(Ⅱ)若()20f x m m -->恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ)111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(Ⅱ)()2,1-.【解析】解:(I )当1x ≤时,不等式为:()1234x x -+-≤,解得1x ≥,故1x =. 当13x <<时,不等式为:()1234x x -+-≤,解得1x ≥,故13x <<1<x <3, 当3x ≥时,不等式为:()1234x x -+-≤,解得113x ≤,故1133x ≤≤. 综上,不等式()4f x ≤的解集为111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(II )由()20f x m m -->恒成立可得()2m m f x +<恒成立.又()37,35,1337,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-+≤⎩,故()f x 在(],1-∞上单调递减,在()1,3上单调递减,在[)3,+∞上单调递增,∴()f x 的最小值为()32f =. ∴22m m +<,解得21m -<<. 即m 的最值范围是()2,1-.10.已知函数()211f x x x =-++. (Ⅰ)解不等式()3f x ≥;(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为m ,若,,a b c 均为正实数,且232a b c m ++=,求222a b c ++的最小值. 【答案】(Ⅰ){}11x x x ≤-≥或;(Ⅱ)914. 【解析】(Ⅰ)由题意, 3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩,所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩.解得:1x ≤-或1x ≥,所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或; (Ⅱ)由(1)可知,当12x =时, ()f x 取得最小值32,所以32m =,即233a b c ++=, 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=, 整理得222914a b c ++≥, 当且仅当123a b c ==时, 即369,,141414a b c ===时等号成立.所以222a b c ++的最小值为914.11.已知函数()12f x x a x =+++. (Ⅰ)求1a =时,()3f x ≤的解集;(Ⅱ)若()f x 有最小值,求a 的取值范围,并写出相应的最小值. 【答案】(Ⅰ)[3,0]-; (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)当1a =时,232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-.(Ⅱ)(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>,即1a <-时,()f x 无最小值; 当(1)0a -+=,即1a =-时,()f x 有最小值1-;当(1)0a -+<且10a -≤,即11a -<≤时, min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且10a ->,即1a >时, min ()(2)1f x f =-= 综上:当1a <-时,()f x 无最小值; 当1a =-时,()f x 有最小值1-;当11a -<≤时, min ()(1)f x f a =-= ; 当1a >时, min ()(2)1f x f =-=; 12.选修4-5:不等式选讲 已知函数()|23||1|f x x x =--+. (1)求不等式()6f x ≤的解集;(2)设集合M 满足:当且仅当x M ∈时,()|32|f x x =-,若,a b M ∈,求证:228223a b a b -++≤. 【答案】(1) {}210x x -≤≤;(2)见解析. 【解析】(1)()4,1323132,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <- 时,46x -+≤ ,得2x -≥ ,故21x -≤<-;当312x -≤≤时,326x -+≤ ,得43x ≥- ,故312x -≤<;当32x > 时,46x -≤ ,得10x ≤ ,故3102x <≤;综上,不等式()6f x ≤的解集为{}210x x -≤≤(2)由绝对值不等式的性质可知()231(23)(1)32f x x x x x x =--+≤-++=- 等价于23(1)32x x x -≤-++-,当且仅当(23)(1)0x x -+≤,即213x -≤≤时等号成立,故21,3M ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以221,133a b -≤≤-≤≤, 所以222510(1),4(1)99a b ≤-≤-≤--≤-, 即228(1)(1)3a b ---≤.13.[选修4—5:不等式选讲] 已知函数()31f x x m x m =---- (1)若1m =,求不等式()1f x <的解集.(2)对任意的x R ∈,有()(2)f x f ≤,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)(,3)-∞;(2)1123m -≤≤ 【解析】(1)()141f x x x =---<,所以11441(4)11(4)1141x x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨---<---<--+<⎩⎩⎩或或解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞. (2)当131,2m m m +>>-时,由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合, 所以1231,3m m ≥+∴≤,所以1123m -<≤,当131,2m m m +==-时,不等式恒成立,当131,2m m m +<<-时,由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合,由题得1231,3m m ≤+≥,所以m 没有解.综上,1123m -≤≤.14.已知()21f x x x =+-. (1)证明()1f x x +≥; (2)若,,a b c +∈R ,记33311134abc a b c +++的最小值为m ,解关于x 的不等式()f x m <.【答案】(1)见证明;(2) 2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】(1)()2212211f x x x x x x +=+-≥-+=.当且仅当()2x 2x 10-≤,等号成立(2)∵3331113333334444abc abc abc abc m a b c abc +++≥=+≥==,当且仅当a=b=c 等号成立由不等式()3f x <即()213f x x x =+-<.由()31,01211,02131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=+-=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩得:不等式()3f x <的解集为2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.15.选修4—5:不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-,m R ∈。

十年真题(2010)高考数学真题分类汇编专题15不等式选讲文(含解析)

十年真题(2010)高考数学真题分类汇编专题15不等式选讲文(含解析)

历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1文科23解答题2018 综合测试题2018年新课标1文科23解答题2017 综合测试题2017年新课标1文科23解答题2016 综合测试题2016年新课标1文科24解答题2015 综合测试题2015年新课标1文科24解答题2014 综合测试题2014年新课标1文科24解答题2013 综合测试题2013年新课标1文科24解答题2012 综合测试题2012年新课标1文科24解答题2011 综合测试题2011年新课标1文科24解答题2010 综合测试题2010年新课标1文科24历年高考真题汇编十年真题(2010)高考数学真题分类汇编专题15不等式选讲文(含解析)1.【2019年新课标1文科23】已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解答】证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.要证(1)a2+b2+c2;因为abc=1.就要证:a2+b2+c2;即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证.故a2+b2+c2得证.(2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立;即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a);当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.(a+b)≥2;(b+c)≥2;(c+a)≥2;当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a)≥3×8••24abc=24;当且仅当a=b=c=1时取等号;故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.故得证.2.【2018年新课标1文科23】已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,由f(x)>1,∴或,解得x,故不等式f(x)>1的解集为(,+∞),(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,即|ax﹣1|<1,∴﹣1<ax﹣1<1,∴0<ax<2,∵x∈(0,1),∴a>0,∴0<x,∴a∵2,∴0<a≤2,故a的取值范围为(0,2].3.【2017年新课标1文科23】已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x的二次函数,g(x)=|x+1|+|x﹣1|,当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,];当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,];(2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1,故a的取值范围是[﹣1,1].4.【2016年新课标1文科24】已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.【解答】解:(Ⅰ)f(x),由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右:(Ⅱ)由|f(x)|>1,可得当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1;当﹣1<x时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x,即有﹣1<x或1<x;当x时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或x<3.综上可得,x或1<x<3或x>5.则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).5.【2015年新课标1文科24】已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,即①,或②,或③.解①求得x∈∅,解②求得x<1,解③求得1≤x<2.综上可得,原不等式的解集为(,2).(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,由此求得f(x)的图象与x轴的交点A(,0),B(2a+1,0),故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),由△ABC的面积大于6,可得[2a+1]•(a+1)>6,求得a>2.故要求的a的范围为(2,+∞).6.【2014年新课标1文科24】若a>0,b>0,且.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且,∴2,∴ab≥2,当且仅当a=b时取等号.∵a3+b3 ≥224,当且仅当a=b时取等号,∴a3+b3的最小值为4.(Ⅱ)∵2a+3b≥22,当且仅当2a=3b时,取等号.而由(1)可知,2246,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.7.【2013年新课标1文科24】已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则y,它的图象如图所示:结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[,]时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,故x≥a﹣2对x∈[,]都成立.故a﹣2,解得a,故a的取值范围为(﹣1,].8.【2012年新课标1文科24】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;②f(x)≤|x﹣4|若的解集包含[1,2],求a的取值范围.【解答】解:(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即,可得x≤1;,可得x∈∅;,可得x≥4.取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}.(2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0,故a的取值范围为[﹣3,0].9.【2011年新课标1文科24】设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x﹣1|≥2.由此可得x≥3或x≤﹣1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}.(Ⅱ)由f(x)≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得1,故a=210.【2010年新课标1文科24】设函数f(x)=|2x﹣4|+1.(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象:(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由于f(x),函数y =f (x )的图象如图所示.(Ⅱ)由函数y =f (x )与函数y =ax 的图象可知,极小值在点(2,1)当且仅当a <﹣2或a 时,函数y =f (x )与函数y =ax 的图象有交点.故不等式f (x )≤ax 的解集非空时,a 的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪[,+∞).考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,证明不等式为重点较佳.最新高考模拟试题 1.已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.(1)当2a =时,求不等式()2f x >的解集;(2)若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)2{|3x x <或()4cos(2)6f x x π=-;(2)空集. 【解析】 解:(1)不等式()2f x >,即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩,或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩, 解得23x <或2x >,所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或. (2)当[2,1]x ∈-时,220x -<,所以()22f x x a x =-+-,由()32f x x ≤-得1x a -≤,即11a x a -≤≤+,则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩,该不等式无解, 所以实数a 的取值范围是空集(或者∅).2.已知()221f x x x =-++.(1)求不等式()6f x <的解集;(2)设m 、n 、p 为正实数,且()3m n p f ++=,求证:12mn np pm ++≤.【答案】(1) ()1,3- (2)见证明【解析】(1)①2x ≥时,()24133f x x x x =-++=-,由()6f x <,∴336x -<,∴3x <,即23x ≤<,②12x -<<时,()4215f x x x x =-++=-,由()6f x <,∴56x -<,∴1x >-,即12x -<<, ③1x ≤-时,()42133f x x x x =---=-,由()6f x <,∴336x -<,∴1x >-,可知无解, 综上,不等式()6f x <的解集为()1,3-;(2)∵()221f x x x =-++,∴()36f =,∴()36m n p f ++==,且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=,∵222m n mn +≥,222m p mp +≥,222n p np +≥,∴222m n p mn mp np ++≥++,∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++又,,m n p 为正实数,∴可以解得12mn np pm ++≤.3.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>.(1)当1m =,求不等式()1f x ≥的解集;(2)对于任意实数,x t ,不等式()21f x t t <++-恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(1)113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭;(2)()0,2【解析】(1)当1m =时,()1f x ≥为:1211x x --+≥当1x ≥时,不等式为:1211x x ---≥,解得:3x ≤-,无解 当112x -≤<时,不等式为:1211x x -+--≥,解得:13x ≤-,此时1123x -≤≤- 当12x <-时,不等式为:1211x x -+++≥,解得:1x -≥,此时112x -≤<- 综上所述,不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭(2)对于任意实数x ,t ,不等式()21f x t t <++-恒成立等价于()()max min |2||1|f x t t <++- 因为|2||1||(2)(1)|3t t t t ++-≥+--=,当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立所以()min |2||1|3t t ++-= 因为0m >时,()2f x x m x m =--+=2,23,22,m x m x m x x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩,函数()f x 单调递增区间为(,)2m -∞-,单调递减区间为(,)2m -+∞ ∴当2m x =-时,()max 322m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 332m ∴<,又0m >,解得:02m << ∴实数m 的取值范围()0,24.选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-,其中0m >.(1)求m 的值;(2)若正数a ,b ,c 满足a b c m ++=,求证:2222b c a a b c++≥. 【答案】(1)2m =(2)见证明【解析】(1)由题意知:20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x m m x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得:3x m m x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤-2m ∴-=-,解得:2m =(2)由(1)可知,2a b c ++= 由基本不等式有:22b a b a +≥,22c b c b+≥,22a c a c +≥ 三式相加可得:222222b c a a b c b c a a b c+++++≥++ 222b c a a b c a b c ∴++≥++,即:2222b c a a b c++≥ 5.选修4-5:不等式选讲已知函数()13f x x x a =+++(1)当1a =-时,解不等式()2f x ≥;(2)若存在0x 满足00()211f x x ++<,求实数a 的取值范围.【答案】(1) 1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2) 24a << 【解析】(1)当1a =-时,()|1||31|f x x x =++-, 当13x ≥时,不等式等价于1312x x ++-≥,解得12x ≥,12x ∴≥; 当113x -<<时,不等式等价于1312x x +-+≥,解得0x ≤,10x ∴-<≤; 当1x ≤-时,不等式等价于1312x x ---+≥,解得12x ≤-,1x -∴≤. 综上所述,原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. (2)由()00211f x x ++<,得003131x x a +++<, 而()()000000313333333|3|x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-,(当且仅当()()003330x x a ++≤时等号成立)由题可知min (()2|1|)1f x x ++<,即31a -<,解得实数a 的取值范围是24a <<.6.已知函数()|2|f x ax =-.(Ⅰ)当4a =时,求不等式()|42|8f x x ++≥的解集;(Ⅱ)若[2,4]x ∈时,不等式()|3|3f x x x +-≤+成立,求a 的取值范围.【答案】(I )(,1][1,)-∞-+∞;(II )[1,2]-【解析】(I )当4a =时,原不等式即|42||42|8x x -++≥,即|21||21|4x x -++≥. 当12x ≥时,21214x x -++≥,解得1x ≥,∴1x ≥;当1122x -≤≤时,12214x x -++≥,无解; 当12x ≤-时,12214x x ---≥,解得1x ≤-,∴1x ≤-; 综上,原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞(II )由()|3|3f x x x +-≤+得|2||3|3ax x x -+-≤+(*)当[2,3]x ∈时,(*)等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤ 即22a x -≤,所以2222a x x -+≤≤+恒成立,所以813a -≤≤ 当(3,4]x ∈时,(*)等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤即48ax -≤≤,所以48a x x-≤≤恒成立,所以12a -≤≤ 综上,a 的取值范围是[1,2]-7.已知函数()21f x x x a =-++,()2g x x =+.(1)当1a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;(2)设12a >-,且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,()()f x g x ≤,求a 的取值范围. 【答案】(1)()0,2;(2)11,23⎛⎤-⎥⎝⎦ 【解析】(1)当1a =-时,不等式()()f x g x <化为:21120x x x -+---< 当12x ≤时,不等式化为12120x x x -+---<,解得:102x <≤ 当112x <≤时,不等式化为21120x x x -+---<,解得:112x <≤ 当1x >时,不等式化为21120x x x -+---<,解得:12x <<综上,原不等式的解集为()0,2(2)由12a x -≤<,得221a x -≤<,21210a x --≤-< 又102x a a ≤+<+则()()211f x x x a x a =--++=-++∴不等式()()f x g x ≤化为:12x a x -++≤+得21a x ≤+对1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立 21a a ∴≤-+,解得:13a ≤ 又12a >-,故a 的取值范围是11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦8.已知函数()|2|f x x =-.(Ⅰ)求不等式()|1|f x x x <++的解集;(Ⅱ)若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ,求实数a 的取值范围.【答案】(I )1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(II )(,1)-∞【解析】解:(I )由已知不等式()|1|f x x x <++,得|2||1|x x x -<++,当2x ≥时,不等式为21x x x -<++,解得3x >-,所以2x ≥;当12x -<<时,不等式为21x x x -<++,解得13x >,所以123x <<; 当1x ≤-时,不等式为21x x x -<--,解得3x >,此时无解. 综上:不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(II )若5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ,则(3)()30f x f x a ++->恒成立.∵,当且仅当[1,2]x ∈-时取等号.∴330a ->,即1a <.所以实数a 的取值范围是(,1)-∞.9.已知函数()123f x x x =-+-.(Ⅰ)解关于x 的不等式()4f x ≤;(Ⅱ)若()20f x m m -->恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ)111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(Ⅱ)()2,1-. 【解析】解:(I )当1x ≤时,不等式为:()1234x x -+-≤,解得1x ≥,故1x =.当13x <<时,不等式为:()1234x x -+-≤,解得1x ≥,故13x <<1<x <3,当3x ≥时,不等式为:()1234x x -+-≤,解得113x ≤,故1133x ≤≤. 综上,不等式()4f x ≤的解集为111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (II )由()20f x m m -->恒成立可得()2m m f x +<恒成立.又()37,35,1337,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-+≤⎩,故()f x 在(],1-∞上单调递减,在()1,3上单调递减,在[)3,+∞上单调递增, ∴()f x 的最小值为()32f =.∴22m m +<,解得21m -<<.即m 的最值范围是()2,1-.10.已知函数()211f x x x =-++.(Ⅰ)解不等式()3f x ≥;(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为m ,若,,a b c 均为正实数,且232a b c m ++=,求222a b c ++的最小值.【答案】(Ⅰ){}11x x x ≤-≥或;(Ⅱ)914. 【解析】 (Ⅰ)由题意, 3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩, 所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩.解得:1x ≤-或1x ≥,所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或;(Ⅱ)由(1)可知,当12x =时, ()f x 取得最小值32, 所以32m =,即233a b c ++=, 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=, 整理得222914a b c ++≥, 当且仅当123a b c ==时, 即369,,141414a b c ===时等号成立. 所以222a b c ++的最小值为914. 11.已知函数()12f x x a x =+++.(Ⅰ)求1a =时,()3f x ≤的解集;(Ⅱ)若()f x 有最小值,求a 的取值范围,并写出相应的最小值.【答案】(Ⅰ)[3,0]-;(Ⅱ)见解析.【解析】(Ⅰ)当1a =时,232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤-当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤综上可得解集[3,0]-. (Ⅱ)(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>,即1a <-时,()f x 无最小值;当(1)0a -+=,即1a =-时,()f x 有最小值1-;当(1)0a -+<且10a -≤,即11a -<≤时, min ()(1)f x f a =-=当(1)0a -+<且10a ->,即1a >时, min ()(2)1f x f =-=综上:当1a <-时,()f x 无最小值;当1a =-时,()f x 有最小值1-;当11a -<≤时, min ()(1)f x f a =-= ;当1a >时, min ()(2)1f x f =-=;12.选修4-5:不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+.(1)求不等式()6f x ≤的解集;(2)设集合M 满足:当且仅当x M ∈时,()|32|f x x =-,若,a b M ∈,求证:228223a b a b -++≤. 【答案】(1) {}210x x -≤≤;(2)见解析.【解析】 (1)()4,1323132,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <- 时,46x -+≤ ,得2x -≥ ,故21x -≤<-; 当312x -≤≤时,326x -+≤ ,得43x ≥- ,故312x -≤<; 当32x > 时,46x -≤ ,得10x ≤ ,故3102x <≤; 综上,不等式()6f x ≤的解集为{}210x x -≤≤(2)由绝对值不等式的性质可知()231(23)(1)32f x x x x x x =--+≤-++=- 等价于23(1)32x x x -≤-++-,当且仅当(23)(1)0x x -+≤,即213x -≤≤ 时等号成立,故21,3M ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以221,133a b -≤≤-≤≤, 所以222510(1),4(1)99a b ≤-≤-≤--≤-, 即228(1)(1)3a b ---≤. 13.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()31f x x m x m =----(1)若1m =,求不等式()1f x <的解集.(2)对任意的x R ∈,有()(2)f x f ≤,求实数m 的取值范围.【答案】(1)(,3)-∞;(2)1123m -≤≤ 【解析】(1)()141f x x x =---<, 所以11441(4)11(4)1141x x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨---<---<--+<⎩⎩⎩或或 解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞.(2) 当131,2m m m +>>-时,由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合, 所以1231,3m m ≥+∴≤,所以1123m -<≤, 当131,2m m m +==-时,不等式恒成立, 当131,2m m m +<<-时,由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合, 由题得1231,3m m ≤+≥,所以m 没有解. 综上,1123m -≤≤. 14.已知()21f x x x =+-.(1)证明()1f x x +≥;(2)若,,a b c +∈R ,记33311134abc a b c +++的最小值为m ,解关于x 的不等式()f x m <.【答案】(1)见证明;(2) 2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】 (1)()2212211f x x x x x x +=+-≥-+=.当且仅当()2x 2x 10-≤,等号成立(2)∵333333311131333333234444abc abc abc abc m a b c a b c abc abc +++≥+=+≥⋅==,当且仅当a=b=c 等号成立由不等式()3f x <即()213f x x x =+-<.由()31,01211,02131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=+-=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩得:不等式()3f x <的解集为2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 15.选修4—5:不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-,m R ∈。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3} C .{3,1,0}-- D .{1,0,2}-2.(2024∙上海∙高考真题)已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 .3.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( )A .{}2,1,0,1--B .{}0,1,2C .{}2-D .{}24.(2020∙全国∙高考真题)已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B = ( ) A .{4,1}- B .{1,5} C .{3,5}D .{1,3}基本不等式1.(2024∙北京∙高考真题)已知()11,x y ,()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点,则( ) A .12122log 22y y x x ++< B .12122log 22y y x x ++> C .12212log 2y y x x +<+ D .12212log 2y y x x +>+ 2.(2021∙全国乙卷∙高考真题)下列函数中最小值为4的是( ) A .224y x x =++ B .4sin sin y x x=+ C .2y 22x x -=+D .4ln ln y x x=+3.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为( ) A .13B .12C .9D .64.(2020∙全国∙高考真题)设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A .4B .8C .16D .32参考答案解不等式1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3}C .{3,1,0}--D .{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ,由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--,且注意到12<<,从而A B = {}1,0-. 故选:A.2.(2024∙上海∙高考真题)已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 . 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =, 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<, 故答案为:{}|13x x -<<.3.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( )A .{}2,1,0,1--B .{}0,1,2C .{}2-D .{}2【答案】C【详细分析】方法一:由一元二次不等式的解法求出集合N ,即可根据交集的运算解出. 方法二:将集合M 中的元素逐个代入不等式验证,即可解出.【答案详解】方法一:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-. 故选:C .方法二:因为{}2,1,0,1,2M =--,将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥,只有2-使不等式成立,所以M N ⋂={}2-.故选:C .4.(2020∙全国∙高考真题)已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B = ( ) A .{4,1}- B .{1,5} C .{3,5} D .{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ,之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂,得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<, 所以{}|14A x x =-<<,又因为{}4,1,3,5B =-,所以{}1,3A B = , 故选:D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合,集合的交运算,属于基础题目.基本不等式1.(2024∙北京∙高考真题)已知()11,x y ,()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点,则( ) A .12122log 22y y x x ++< B .12122log 22y y x x ++> C .12212log 2y y x x +<+ D .12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ;举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <,因为函数2x y =是增函数,所以12022x x <<,即120y y <<,对于选项AB :可得121222222x xx x ++>=,即12122202x x y y ++>>, 根据函数2log y x =是增函数,所以121212222log log 222x x y y x x+++>=,故B 正确,A 错误;对于选项D :例如120,1x x ==,则121,2y y ==, 可得()12223log log 0,122y y +=∈,即12212log 12y y x x +<=+,故D 错误; 对于选项C :例如121,2x x =-=-,则1211,24y y ==, 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--,即12212log 32y y x x +>-=+,故C 错误, 故选:B.2.(2021∙全国乙卷∙高考真题)下列函数中最小值为4的是( ) A .224y x x =++ B .4sin sin y x x=+ C .2y 22x x -=+ D .4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意,再根据基本不等式“一正二定三相等”,即可得出,B D 不符合题意,C 符合题意.【答案详解】对于A ,()2224133y x x x =++=++≥,当且仅当=1x -时取等号,所以其最小值为3,A 不符合题意;对于B ,因为0sin 1x <≤,4sin 4sin y x x=+≥=,当且仅当sin 2x =时取等号,等号取不到,所以其最小值不为4,B 不符合题意;对于C ,因为函数定义域为R ,而20x >,2422242x x xx y -=+=+≥=,当且仅当22x =,即1x =时取等号,所以其最小值为4,C 符合题意; 对于D ,4ln ln y x x=+,函数定义域为()()0,11,+∞ ,而ln x R ∈且ln 0x ≠,如当ln 1x =-,5y =-,D 不符合题意. 故选:C .【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件,明确“一正二定三相等”的意义,再结合有关函数的性质即可解出.3.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为( ) A .13 B .12C .9D .6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==,借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案.【答案详解】由题,229,4a b ==,则1226MF MF a +==,所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭(当且仅当123MF MF ==时,等号成立). 故选:C . 【名师点评】4.(2020∙全国∙高考真题)设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A .4 B .8 C .16 D .32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±,与直线x a =联立方程求得D ,E 两点坐标,即可求得||ED ,根据ODE 的面积为8,可得ab值,根据2c =等式,即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ,E 两点 不妨设D 为在第一象限,E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为:1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值:8故选:B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了详细分析能力和计算能力,属于中档题.。

十年高考理科数学真题 专题七 不等式 二十一 不等式的综合应用及答案

十年高考理科数学真题 专题七 不等式 二十一 不等式的综合应用及答案

专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用2019年1.(2019天津理13)设0,0,25x y x y >>+=,则的最小值为 .2010-2018年一、选择题1.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A .对任意实数a ,(2,1)A ∈B .对任意实数a ,(2,1)A ∉C .当且仅当0a <时,(2,1)A ∉D .当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉ 2.(2017天津)已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是A .[2,2]- B.[2]- C.[2,- D.[- 3.(2015北京)设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是A .若120a a +>,则230a a +>B .若130a a +<,则120a a +<C .若120a a <<,则2a >D .若10a <,则()()21230a a a a -->4.(2015陕西)设()ln f x x =,0a b <<,若p f =,()2a bq f +=, 1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是A .q r p =<B .q r p =>C .p r q =<D .p r q => 5.(2014重庆)若b a ab b a +=+则)(,log 43log 24的最小值是A .326+B .327+C .346+D .347+ 6.(2013福建)若122=+yx ,则y x +的取值范围是A .]2,0[B .]0,2[-C .),2[+∞-D .]2,(--∞7.(2013山东)设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=.则当xyz取得最大值时, 212x y z+-的最大值为 A .0 B .1 C .94D .3 8.(2013山东)设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时, 2x y z +-的最大值为A .0B .98C .2D .949.(2012浙江)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是A .245 B .285C .5D .6 10.(2012浙江)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是 A .245 B .285C .5D .6 11.(2012陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a b <),其全程的平均时速为v ,则 A .a v ab <<B .v abC ab <v <2a b + D .v =2a b+12.(2012湖南)已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >),1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ,2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ,当m 变化时,ba的最小值为 A .2 B .82 C .34 D .34413.(2011陕西)设0a b <<,则下列不等式中正确的是A .2a b a b ab +<<<B .2a ba ab b +<<<C.2a b a b +<<<D2a ba b +<<< 14.(2011上海)若,a b R ∈,且0ab >,则下列不等式中,恒成立的是A .222a b ab +>B.a b +≥ C.11a b +> D .2b aa b +≥ 二、填空题15.(2018天津)已知,a b ∈R ,且360a b -+=,则128ab +的最小值为 . 16.(2018浙江)已知λ∈R ,函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥,当2λ=时,不等式()0f x <的解集是___________.若函数()f x 恰有2个零点,则λ的取值范围是___________. 17.(2017北京)已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_______.18.(2017天津)若,a b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为___________.19.(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是 . 20.(2017浙江)已知a ∈R ,函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 .21.(2014浙江)已知实数,,a b c 满足0a b c ++=,2221a b c ++=,则a 的最大值是__; 22.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c++的最小值为 . 23.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 . 24.(2014湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为2760001820vF v v l=++. (Ⅰ)如果不限定车型, 6.05l =,则最大车流量为 辆/小时;(Ⅱ)如果限定车型,5l =,则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加 辆/小时. 25.(2013天津)设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值. 26.(2013四川)已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =__. 27.(2011浙江)若实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是____. 28.(2011湖南)设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为 . 29.(2010安徽)若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号). ①1ab ≤;; ③222a b +≥;④333a b +≥; ⑤112a b+≥专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用答案部分2019年1.解析 0x >,0y >,25x y +=,===由基本不等式,==时,即3xy =,且25x y +=时,即31x y =⎧⎨=⎩或x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2010-2018年1.D 【解析】点(2,1)在直线1x y -=上,4ax y +=表示过定点(0,4),斜率为a -的直线,当0a ≠时,2x ay -=表示过定点(2,0),斜率为1a的直线,不等式2x ay -≤表示的区域包含原点,不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直,显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时,不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除A ;点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-, 当32a -<-,即32a >时,4ax y +>表示的区域包含点(2,1),此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1),故排除B ;当直线4ax y +=的斜率32a -=-,即32a =时,4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除C ,故选D .解法二 若(2,1)A ∈,则21422a a +>⎧⎨-⎩≤,解得32a >,所以当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉.故选D .2.A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示,当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时,可知2a =±.当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时,由22x a x x+=+,得2240x ax -+=,由0∆=,并结合图象可得2a =,要使()||2xf x a +≥恒成立,当0a ≤时,需满足2a -≤,即20a -≤≤,当0a >时,需满足2a ≤,所以22a -≤≤.解法二 由题意0x =时,()f x 的最小值2,所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立.当a =0x =,得|22x+>,不符合题意,排除C 、D ;当a =-0x =,得|22x->,不符合题意,排除B ;选A .3.C 【解析】若{}n a 是递减的等差数列,则选项,A B 都不一定正确.若{}n a 为公差为0的等差数列,则选项D 不正确.对于C 选项,由条件可知{}n a 为公差不为0的正确数列,由等差中项的性质得1322a a a +=,由基本不等式得132a a +C 正确.4.B 【解析】∵0a b <<,∴2a b+()ln f x x =在(0,)+?上单调递增,故()2a bf f +<,即q p >,∵11(()())(ln ln )22r f a f b a b f p =+=+===,∴p r q =<.5.D 【解析】由已知得34a b ab +=,且0ab >,可知0,0a b >>,所以431a b +=(0,0a b >>),4343()()77b aa b a b a b a b+=++=+++≥ 当且仅当43b aa b=时取等号.6.D 【解析】本题考查的是均值不等式.因为y x y x 222221⋅≥+=,即222-+≤yx ,所以2-≤+y x ,当且仅当yx 22=,即y x =时取等号. 7.B 【解析】由22340x xy y z -+-=,得2234z x xy y =-+.所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=,当且仅当4x y y x =, 即2x y =时取等号此时22y z =,1)(max =zxy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2yy x y -=-=1)221121(42=-+≤y y , 故选B.8.C 【解析】由22340x xy y z -+-=得2243x y xy z +-=,22443331z x y xyxy xy xy+=-≥=-=, 当且仅当224x y =即2x y =时,zxy有最小值1, 将2x y =代入原式得22z y =,所以22222224x y z y y y y y +-=+-=-+, 当1y =时有最大值2.故选C . 9.C 【解析】Q 35x y xy +=,135y x+=, 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=. 10.C 【解析】Q 35x y xy +=,135y x+=, 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=. 11.A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ,则22211S ab v S Sa b a ba b===<=+++. ∵ a b <,∴ 2222ab a v a a b a=>=+,∴a v <<A . 12.B 【解析】在同一坐标系中作出y m =,y =821m +(0m >),2log y x =图像如下图,由2log x = m ,得122,2m mx x -==,2log x =821m +,得821821342,2m m x x +-+==. 依题意得8218218218212222,22,22m m m mmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++Q ,min ()82b a ∴=13.B 【解】(方法一)已知a b <2a bab +<,比较a ab因为22)()0a ab a a b -=-<,所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b <;作差法:022a b b ab +--=>, 所以2a b b +<,综上可得2a ba ab b +<<<;故选B . (方法二)取2a =,8b =,4ab =,52a b +=,所以2a ba ab b +<<<.14.D 【解析】对于A 取1a b ==,此时2222a b ab +==,因此A 不正确;对于B 取1a b ==-,此时222a b ab +=-<=,因此B 不正确;对于C 取1a b ==-,此时1122a b ab+=-<=,因此C 不正确;对于D ,∵0ab >, ∴0b a >,0b a> ∴2b a b a a b a b+⋅=≥,D 正确.15.14【解析】由360a b -+=,得36a b =-,所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥, 当且仅当363122b b-=,即1b =时等号成立. 16.(1,4);(1,3](4,)+∞U 【解析】若2λ=,则当2x ≥时,令40x -<,得24x <≤;当2x <时,令2430x x -+<,得12x <<.综上可知14x <<,所以不等式()0f x <的解集为(1,4).令40x -=,解得4x =;令2430x x -+=,解得1x =或3x =.因为函数()f x 恰有2个零点,结合函数的图象(图略)可知13λ<≤或4λ>.17.1[,1]2【解析】由题意,22222211(1)2212()22u x y x x x x x =+=+-=-+=-+,且[0,1]x ∈,又0x =时,221u x y =+=,12x =时,22min 12u x y =+=,当1x =时,221u x y =+=,所以22x y +取值范围为1[,1]2.18.4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥ , 当且仅当222a b =,且12ab =,即22a =时取等号.19.30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯,当且仅当900x x=,即30x =时等号成立.20.9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈,∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时,44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤, 所以()f x 的最大值245a -=,即92a =(舍去) ②当4a ≤时,44()5f x x a a x x x=+-+=+≤,此时命题成立.③当45a <<时,max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+,则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=,解得92a =或92a <, 综上可得,实数a 的取值范围是9(,]2-∞.210a b c ++=得,a b c =--,则2222()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤,又2221a b c ++=,所以232a ≤,解得a ,故a22.-1【解析】设|2|a b +最大,则必须,a b 同号,因为22224463()2a b a b ab c ab c +++=++≤, 故有2(2)4a b c +≤,22()2a b c +≥,当且仅当2a b =时取等号,此时2c b =, 所以124a b c ++=2244114()112b b b +=+--≥.23.-2 【解析】 设2a b t +=,则2a t b =-,因为224240a ab b c -+-=, 所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①, 由0∆≥解得t ≤2a b +取得最大值时,t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c +=222=--≥. 当且仅当52c =时等号成立. 24.1900 100【解析】(Ⅰ)76000190020 6.0518F v v==⨯++,当且仅当11v =时等号成立.(Ⅱ)76000200020518F v v==⨯++,当且仅当10v =时等号成立.20001900100-=.25.-2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b =<,即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b+取得最小值时,2a =-.26.36【解析】因为0,0x a >>,()44a f x x a x =+≥=,当且仅当4a x x=,即3x ==,解得36a =.27.3【解析】∵221x y xy ++=, ∴2()1x y xy +-=,即22()()12x y x y ++-≤,∴24()3x y +≤,3x y +≤. 28.9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=.29.①③⑤【解析】令1a b ==,排除②④;由21a b ab =+≥≤,命题①正确;222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥, 命题③正确;1122a b a b ab ab++==≥,命题⑤正确.。

高考数学十年真题专题解析—不等式选讲

高考数学十年真题专题解析—不等式选讲

不等式选讲年份题号考点考查内容2011文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2012文理24不等式选讲绝对值不等式的解法,不等式恒成立参数取值范围问题的解法2013卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法,不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲多元不等式的证明2014卷1文理24不等式选讲基本不等式的应用卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2015卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法,不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲不等式的证明2016卷1文理24不等式选讲分段函数的图像,绝对值不等式的解法卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法,绝对值不等式的证明卷3文理24不等式选讲绝对值不等式的解法,不等式恒成立参数取值范围问题的解法2017卷1文理23不等式选讲绝对值不等式的解法,不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理23不等式选讲不等式的证明卷3文理23不等式选讲绝对值不等式的解法,绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题2018卷1文理23不等式选绝对值不等式的解法,不等式恒成立参数取值范围问题的解法讲卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法,不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲绝对值函数的图象,不等式恒成立参数最值问题的解法2019卷1文理23不等式选讲三元条件不等式的证明卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法,不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件最值问题的解法,三元条件不等式的证明2020卷1文理23不等式选讲绝对值函数的图像,绝对值不等式的解法卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法,不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件不等式的证明考点出现频率2021年预测考点120绝对值不等式的求解23次考4次2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明,不等式恒成立参数取值范围问题的解法等.考点121含绝对值不等式的恒成立问题23次考12次考点122不等式的证明23次考7次考点120绝对值不等式的求解1.(2020全国Ⅰ文理22)已知函数()3121f x x x =+--.(1)画出()y f x =的图像;(2)求不等式()()1f x f x >+的解集.【解析】(1)∵()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩,作出图像,如图所示:(2)将函数()f x 的图像向左平移1个单位,可得函数()1f x +的图像,如图所示:由()3511x x --=+-,解得76x =-,∴不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.2.(2020江苏23)设x ∈R ,解不等式2|1|||4x x ++≤.【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组,解得结果.【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩,21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,∴解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.3.(2016全国I 文理)已知函数()|1||23|f x x x =+--.(I)在图中画出()y f x =的图像;(II)求不等式|()|1f x >的解集.【解析】(1)如图所示:(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩,≤,,≥,()1f x >.当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <,1x -∴≤;当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x <,113x -<<∴或312x <<;当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332x <∴≤或5x >.综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ,,,.4.(2014全国II 文理)设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明:()f x ≥2;(Ⅱ)若()35f <,求a 的取值范围.【解析】(I)由0a >,有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥,∴()f x ≥2.(Ⅱ)1(3)33f a a=++-.当时a >3时,(3)f =1a a+,由(3)f <5得3<a <5212;当0<a ≤3时,(3)f =16a a-+,由(3)f <5得12<a ≤3.综上:a 的取值范围是(152+,5212+).5.(2011新课标文理)设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.(Ⅰ)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集;(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-,求a 的值.【解析】(Ⅰ)当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥,由此可得3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-.(Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤,此不等式化为不等式组30x ax a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩,即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aax ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤,因为0a >,∴不等式组的解集为{}|2a x x ≤-,由题设可得2a-=1-,故2a =.考点121含绝对值不等式的恒成立问题6.(2020全国Ⅱ文理22)已知函数()221f x x a x a =-+-+.(1)当2a =时,求不等式()4f x ≥的解集;(2)若()4f x ≥,求a 的取值范围.【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭;(2)(][),13,-∞-+∞ .【思路导引】(1)分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果;(2)利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-,由此构造不等式求得结果.【解析】(1)当2a =时,()43f x x x =-+-.当3x ≤时,()43724f x x x x =-+-=-≥,解得:32x ≤;当34x <<时,()4314f x x x =-+-=≥,无解;当4x ≥时,()43274f x x x x =-+-=-≥,解得:112x ≥;综上所述:()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号),()214a ∴-≥,解得:1a ≤-或3a ≥,a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .7.(2019全国II 文理23)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--(1)当1a =时,求不等式()0f x <的解集;(2)若(,1)x ∈-∞时,()0f x <,求a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时,2()2(1)0f x x =--<;当1x ≥时,()0f x ≥,∴不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.(2)因为()=0f a ,∴1a ≥.当1a ≥,(,1)x ∈-∞时,()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----∴a 的取值范围是[1,)+∞.8.(2018全国Ⅰ文理)已知()|1||1|f x x ax =+--.(1)当1a =时,求不等式()1f x >的解集;(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立,求a 的取值范围.【解析】(1)当1a =时,()|1||1|f x x x =+--,即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x 故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >.(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立.若0≤a ,则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ;若0a >,|1|1ax -<的解集为20x a <<,∴21≥a,故02<≤a .综上,a 的取值范围为(0,2].9.(2018全国Ⅱ文理)设函数()5|||2|=-+--f x x a x .(1)当1a =时,求不等式()0≥f x 的解集;(2)若()1≤f x ,求a 的取值范围.【解析】(1)当1=a 时,24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x 可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x .(2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x .而|||2||2|++-+≥x a x a ,且当2=x 时等号成立.故()1≤f x 等价于|2|4+≥a .由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ,∴a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ .10.(2018全国Ⅲ文理)设函数()|21||1|f x x x =++-.(1)画出()y f x =的图像;(2)当[0,)x ∈+∞时,()f x ax b +≤,求a b +的最小值.【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示.(2)由(1)知,()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当3a ≥且2b ≥时,()f x ax b +≤在[0,)+∞成立,因此a b +的最小值为5.11.(2018江苏)若x ,y ,z 为实数,且226x y z ++=,求222x y z ++的最小值.【解析】由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥.因为22=6x y z ++,∴2224x y z ++≥,当且仅当122x y z ==时,不等式取等号,此时244333x y z ===,,,∴222x y z ++的最小值为4.12.(2017全国Ⅰ文理)已知函数2()4f x x ax =-++,()|1||1|g x x x =++-.(1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,求a 的取值范围.【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤,∴()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤.(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =,∴()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一,∴(1)2f -≥且(1)2f ≥,得11a -≤≤,∴a 的取值范围为[1,1]-.13.(2017全国Ⅲ文理)已知函数()|1||2|f x x x =+--.(1)求不等式()1f x ≥的解集;(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空,求m 的取值范围.【解析】(1)3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤,当1x <-时,()f x 1≥无解;当x -12≤≤时,由()f x 1≥得,x -211≥,解得x 12≤≤;当>2x 时,由()f x 1≥解得>2x .∴()f x 1≥的解集为{}x x 1≥.(2)由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤,而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤,且当32x =时,2512=4x x x x +---+,故m 的取值范围为5-,4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦.14.(2016全国III 文理)已知函数()|2|f x x a a =-+(Ⅰ)当a=2时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()|21|g x x =-,当x ∈R 时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.【解析】(Ⅰ)当2a =时,()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+ ,得13x - ,因此()6f x ≤的解集为{|13}x x - .(Ⅱ)当x R ∈时,()()|2||12|f xg x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+ |1|a a =-+,当12x =时等号成立,∴当x R ∈时,()()3f x g x + 等价于|1|3a a -+ .①当1a 时,①等价于13a a -+ ,无解.当1a >时,①等价于13a a -+ ,解得2a .∴a 的取值范围是[2,)+∞.15.(2015全国I 文理)已知函数()|1|2||f x x x a =+--,0a >.(Ⅰ)当1a =时,求不等式()1f x >的解集;(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.【解析】(Ⅰ)当1a =时,不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->,当1x -≤时,不等式化为40x ->,无解;当11x -<<时,不等式化为320x ->,解得213x <<;当1x ≥时,不等式化为20x -+>,解得12x <≤.∴()1f x >的解集为2{|2}3x x <<.(Ⅱ)有题设可得,12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤,∴函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++,ABC ∆的面积为22(1)3a +.有题设得22(1)63a +>,故2a >.∴a 的取值范围为(2,)+∞.16.(2014全国I 文理)若0,0ab >>,且11a b +=.(Ⅰ)求33a b +的最小值;(Ⅱ)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由.【解析】(I)11a b =+≥,得2ab ≥,且当a b ==时取等号.故33ab+≥≥,且当a b ==∴33a b +的最小值为(II)由(I)知,23a b +≥.由于6>,从而不存在,a b ,使得236a b +=.16.(2013全国I 文理)已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =-2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.【解析】(Ⅰ)当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,其图像如图所示,从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤,∴2x a -≥对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43,∴a 的取值范围为(-1,43].17.(2012新课标文理)已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ)当|3-=a 时,求不等式()3f x 的解集;(Ⅱ)若()|4|f x x - 的解集包含]2,1[,求a 的取值范围.【解析】(1)当3a =-时,()3323f x x x ⇔-+- 2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩ 或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 1x ⇔ 或4x .(2)原命题()4f x x ⇔- 在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-- 在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--- 在[1,2]上恒成立30a ⇔- .考点122不等式的证明18.(2020全国Ⅲ文理23)设,,,0,1a b c a b c abc ∈++==R .(1)证明:0ab bc ca ++<;(2)用{}max ,,a b c 表示,,a b c 的最大值,证明:{}3max ,,4a b c ≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【思路导引】(1)根据题设条件,0=++c b a 两边平方,再利用均值不等式证明即可;(2)思路一:不妨设max{,,}a b c a =,由题意得出0,,0a b c ><,由()222322b c b c bc a a a bc bc+++=⋅==,结合基本不等式,即可得出证明.思路二:假设出c b a ,,中最大值,根据反证法与基本不等式推出矛盾,即可得出结论.【解析】(1)证明:().0,02=++∴=++c b a c b a ,0222222=+++++∴ca ac ab c b a 即()222222c b a ca bc ab ++-=++.0,0222<++∴<++∴ca bc ab ca bc ab (2)证法一:不妨设max{,,}a b c a =,由0,1a b c abc ++==可知,0,0,0a b c ><<,1,a b c a bc =--= ,()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=,当且仅当b c =时,取等号,a ∴≥,即max{,,}a b c .证法二:不妨设403<<<≤c b a ,则,4,41133>=-->=c b a c ab而1132a b ->--≥>==矛盾,∴命题得证.19.(2019全国I 文理23)已知a ,b ,c 为正数,且满足abc=1.证明:(1)222111a b c a b c++≤++;(2)333()()()24a b b c c a +++≥++.【解析】(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++,∴222111a b c a b c++≤++.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =,故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯=24.∴333()()()24a b b c c a +++++≥.20.(2019全国III 文理23)设,,x y z ∈R ,且1x y z ++=.(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立,证明:3a ≤-或1a ≥-.【解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦,故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥,当且仅当x=53,y=–13,13z =-时等号成立.∴222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.(2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ ,故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+- ,当且仅当43a x -=,13a y -=,223a z -=时等号成立,因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +.由题设知2(2)133a + ,解得3a - 或1a - .21.(2017全国Ⅱ文理)已知0a >,0b >,332a b +=,证明:(1)()()554a b a b ++≥;(2)2a b +≤.【解析】(1)556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++()22244ab a b =+-≥.(2)∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+,∴3()8a b +≤,因此2a b +≤.22.(2017江苏)已知a ,b ,c ,d 为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明8ac bd +≤.【解析】证明:由柯西不等式可得:22222()()()ac bd a b c d +++≤,因为22224,16,a b c d +=+=∴2()64ac bd +≤,因此8ac bd +≤.23.(2016全国II 文理)已知函数()1122f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集.(I)求M ;(II)证明:当a ,b M ∈时,1a b ab +<+.【解析】(I)当12x <-时,()11222f x x x x =---=-,若112x -<<-;当1122x -≤≤时,()111222f x x x =-++=<恒成立;当12x >时,()2f x x =,若()2f x <,112x <<.综上可得,{}|11M x x =-<<.(Ⅱ)当()11a b ∈-,,时,有()()22110a b -->,即22221a b a b +>+,则2222212a b ab a ab b +++>++,则()()221ab a b +>+,即1a b ab +<+,证毕.24.(2015全国II 文理)设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+,证明:(Ⅰ)若ab >cd ,则a b c d +>+;(Ⅱ)a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.【解析】(Ⅰ)∵2()2a b a b ab +=++,2()c d c d cd +=++由题设a b c d +=+,ab cd >得22()a b c d >+a b c d +>(Ⅱ)(ⅰ)若||||a b c d -<-,则22()()a b c d -<-,即22()4()4a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+,∴ab cd >,由(Ⅰ)得a b c d >(ⅱ)a b c d +>则22(a b c d >+,即a b ab c d cd ++>++因为a b c d +=+,∴ab cd >,于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-.因此||||a b c d -<-.a b c d +>||||a b c d -<-的充要条件.25.(2013全国II 文理)设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤;(Ⅱ)2221a b c b c a++≥.【解析】(Ⅰ)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++,由题设得()21a b c ++=,即2222221a b c ab bc ca +++++=,∴()31ab bc ca ++≤,即13ab bc ca ++≤.(Ⅱ)∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥,∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++,即222a b c a b c b c a ++≥++,∴2221a b c b c a ++≥.。

不等式高考真题(含答案)

不等式高考真题(含答案)

【2010课标卷】设函数f(x)=241x -+(Ⅰ)画出函数(x)的图像;(Ⅱ)若不等式f(x)≤的解集非空,求a 的取值范围.【答案】【2011课标卷】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

(Ⅰ)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ,求a 的值。

解:(Ⅰ)当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。

( Ⅱ) 由()0f x ≤得: 30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤- 由题设可得2a-= 1-,故2a =【2012课标卷】 已知函数()2f x x a x =++-(1)当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;(2)若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围。

【解析】(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥(2)原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤【2013课标Ⅰ卷】已知函数()f x |21||2|x x a -++()g x 3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【解析】当a 2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 其图像如图所示,从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43].【2013课标Ⅱ卷】设a b c 、、均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ac ++≤;(Ⅱ)2221a b c b c a ++≥【2014课标Ⅰ卷】若0,0a b >>,且11ab a b +=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值;(Ⅱ)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由.【解析】:(Ⅰ) 由112ab a b ab=+≥,得2ab ≥,且当2a b ==时等号成立, 故3333342a b a b +≥=,且当2a b ==时等号成立,∴33a b +的最小值为42. (Ⅱ)由62326a b ab =+≥,得32ab ≤,又由(Ⅰ)知2ab ≥,二者矛盾, 所以不存在,a b ,使得236a b +=成立.【2014课标Ⅱ卷】设函数()f x =1(0)x x a a a++-> (Ⅰ)证明:()f x ≥2;(Ⅱ)若()35f <,求a 的取值范围.【2015课标Ⅰ卷】已知函数()12,0f x x x a a =+--> .(I )当1a = 时求不等式()1f x > 的解集;()若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.(Ⅱ)由题设可得,12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩,所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -,(21,0)B a +,(,+1)C a a ,所以△的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +>6,解得2a >.所以a 的取值范围为(2,+∞). 【2015课标Ⅱ卷】设,,,abcd 均为正数,且a b c d +=+,证明:(Ⅰ)若ab cd >a b c d >a b c d >是a b c d -<-的充要条件.【解析】(Ⅰ)因为2)2a b a b ab =++,2(2c d c d cd =++,由题设a b c d +=+,ab cd >,得22(a b c d >a b c d >.(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d -<-,则22()()a b c d -<-.即22()4()4a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+,所以ab cd >a b c d >+ a b c d >+22()a b c d +>.即2a b ab ++>2c d cd ++a b c d +=+,所以ab cd >.于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-.因此a b c d -<-.a b c d >是a b c d -<-的充要条件.。

十年高考理数真题专题不等式(原卷)

十年高考理数真题专题不等式(原卷)

第七章不等式一.基础题组1. 【 2009 全国卷Ⅰ,理 3】不等式 |x 1 | < 1 的解集为 ( )x 1A.{x|0 < x < 1 } ∪{x|x > 1}B.{x|0 < x <1}C.{x|-1 <x < 0}D.{x|x< 0}x - y -1,2.【 2012 全国,理 14】设 x , y满足拘束条件x + y 3, ,则 z x y的取值范围为 __________ .= - 2 x 0,y 0,x y ≥ 0,3.4.【 2008 全国 1,理 13 】若 x , y 满足拘束条件x y3 02x y 的最大值为.≥ ,则 z 0 ≤ x ≤ ,32 x y1,【 2 006 全国,理 14】设 z2 y x ,式中变量 x 、y 满足以下条件 3x2y 23, 则 z 的最大值为。

y1,5. 【 2005 全国 1,理 13】若正整数 m 满足 10 m 1 2512 10m , 则 m ________ .(lg 2 0.3010)二.能力题组x y 1,1. 【 2014 课标Ⅰ,理 9】不等式组2y的解集为 D,有下边四个命题:x 4,p 1 : (x, y) D, x 2 y 2 , p 2 : (x, y)D, x 2 y 2 ,p 3 : (x, y) D, x 2 y 3 p 4 : (x, y) D, x2 y1,此中 的真命题是()A . p 2 , p 3B . p 1 , p 2C . p 1 , p 3D . p 1, p 42.【 2005 全国 1,理 9】在座标平面上,不等式组yx 1,()y所表示的平面地域的面积为3 | x | 1A . 2B .3C .3 2D . 22 2x 1 0,则y的最大值为 .3. 【2015高考新课标1,理 15】若x, y满足拘束条件x y 0x y 4x 0三.拔高题组1.全国新课标,理 13】若变量x y3 2x y 9 则z x + 2 y 的最小值为 __________ .【 2011 ,满足拘束条件=6 x y 9。

2010-2019历年高考数学《不等式综合应用》真题汇总含解析

2010-2019历年高考数学《不等式综合应用》真题汇总含解析

2010-2019历年高考数学《不等式综合应用》真题汇总含解析专题七 不等式第二十一讲 不等式综合应用2019年1.(2019天津文13)设0x >,0y >,24x y +=,则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.2010-2018年一、选择题1.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A .对任意实数a ,(2,1)A ∈B .对任意实数a ,(2,1)A ∉C .当且仅当0a <时,(2,1)A ∉D .当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉ 2.(2018浙江)已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则A .13a a <,24a a <B .13a a >,24a a <C .13a a <,24a a >D .13a a >,24a a >3.(2017天津)已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是A .[2,2]- B.[2]- C.[2,- D.[- 4.(2015福建)若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1),则a b +的最小值等于 A .2 B .3 C .4 D .5 5.(2015湖南)若实数,a b满足12a b+=,则ab 的最小值为 AB .2C .D .46.(2014重庆)若b a ab b a +=+则)(,log 43log 24的最小值是A .326+B .327+C .346+D .347+ 7.(2013福建)若122=+yx ,则y x +的取值范围是A .]2,0[B .]0,2[-C .),2[+∞-D .]2,(--∞8.(2013山东)设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=.则当xyz取得最大值时,212x y z+-的最大值为 A .0 B .1 C .94D .3 9.(2013山东)设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,2x y z +-的最大值为A .0B .98 C .2 D .9410.(2012浙江)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是A .245 B .285C .5D .6 11.(2012陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a b <),其全程的平均时速为v ,则 A .a v ab <<B .v abC ab <v <2a b + D .v =2a b+12.(2012湖南)已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >),1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ,2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ,当m 变化时,ba的最小值为 A .2 B.82 C.384 D. 34413.(2011陕西)设0a b <<,则下列不等式中正确的是A .2a b a b ab +<<<B .2a ba ab b +<<< C .2a b a ab b +<<< D 2a bab a b +<<<14.(2011上海)若,a b R ∈,且0ab >,则下列不等式中,恒成立的是A .222a b ab +>B.a b +≥ C.11a b +> D .2b aa b+≥ 二、填空题15.(2018天津)已知,a b ∈R ,且360a b -+=,则128ab+的最小值为 . 16.(2018天津)已知a ∈R ,函数22220()220x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩,≤,,.若对任意[3,)x ∈-+∞,()||f x x ≤恒成立,则a 的取值范围是____.17.(2017天津)若a ,b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为 .18.(2017山东)若直线1(00)x ya b a b+=>,>过点(1,2),则2a b +的最小值为 . 19.(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是 . 20.(2017北京)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为____________________. 21.(2017浙江)已知a ∈R ,函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 .22.(2017江苏)在平面直角坐标系xOy 中,(12,0)A -,(0,6)B ,点P 在圆O :2250x y +=上,若20PA PB ⋅u u u r u u u r≤,则点P 的横坐标的取值范围是 .23.(2015重庆)设,0a b >,5a b +=________.24.(2015山东)定义运算“⊗”:22x y x y xy-⊗=(,x y ∈R ,0xy ≠).当0x >,0y >时,(2)x y y x ⊗+⊗的最小值为 .25.(2014浙江)已知实数,,a b c 满足0a b c ++=,2221a b c ++=,则a 的最大值是__; 26.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c++的最小值为 . 27.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 . 28.(2014湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为2760001820vF v v l=++. (Ⅰ)如果不限定车型, 6.05l =,则最大车流量为 辆/小时;(Ⅱ)如果限定车型,5l =,则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加 辆/小时. 29.(2013天津)设a + b = 2,b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值. 30.(2013四川)已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =__. 31.(2011浙江)若实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是____. 32.(2011湖南)设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为 . 33.(2010安徽)若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号). ①1ab ≤;; ③222a b +≥;④333a b +≥; ⑤112a b+≥. 答案部分 2019年1.解析0x >,0y >,24x y +=,而()()1212212552x y xy x y xy xy xy xyxy ++++++===+.由基本不等式有42x y =+…所以02xy <<(当且仅当22x y ==时,即2x =,1y =时,等号成立).所以552xy…,5592222xy ++=…,所以()()121x y xy++的最小值为92.2010-2018年1.D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上,4ax y +=表示过定点(0,4),斜率为a -的直线,当0a ≠时,2x ay -=表示过定点(2,0),斜率为1a 的直线,不等式2x ay -≤表示的区域包含原点,不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直,显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时,不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除A ;点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-,当32a -<-,即32a >时,4ax y +>表示的区域包含点(2,1),此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1),故排除B ;当直线4ax y +=的斜率32a -=-,即32a =时,4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除C ,故选D .解法二 若(2,1)A ∈,则21422a a +>⎧⎨-⎩≤,解得32a >,所以当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉.故选D .2.B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >),所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤,所以41a -≤,又11a >,所以等比数列的公比0q <.若1q -≤,则212341(1)(10a a a a a q q +++=++)≤,而12311a a a a ++>≥,所以123ln()0a a a ++>,与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾,所以10q -<<,所以2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <,故选B .解法二 因为1x e x +≥,1234123ln()a a a a a a a +++=++,所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥,则41a -≤,又11a >,所以等比数列的公比0q <.若1q -≤,则212341(1)(10a a a a a q q +++=++)≤,而12311a a a a ++>≥,所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾,所以10q -<<,所以2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <,故选B .3.A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示,当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时,可知2a =±.当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时,由22x a x x +=+,得2240x ax -+=,由0∆=,并结合图象可得2a =,要使()||2xf x a +≥恒成立,当0a ≤时,需满足2a -≤,即20a -≤≤,当0a >时,需满足2a ≤,所以22a -≤≤.解法二 由题意0x =时,()f x 的最小值2,所以不等式()||2x f x a +≥等价于||22xa +≤在R 上恒成立.当a =0x =,得|22x+>,不符合题意,排除C 、D ;当a =-0x =,得|22x->,不符合题意,排除B ;选A .4.C 【解析】解法一 ∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1),所以111a b +=,所以111a b =+=≥(当且仅当2a b ==时去等号)2.又a b +≥当且仅当2a b ==时去等号),所以4a b +≥(当且仅当2a b ==时去等号).解法二∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1),所以111a b +=,所以11()()224a b a b a b a b b a +=++=+++=≥(当且仅当2a b ==时去等号).5.C 【解析】解法一由已知122b aa b ab ++==0,0a b >>,∴2b a =+≥ab ≥解法二 由题意知0,0a b >>,∴12a b =+≥ab ≥6.D 【解析】由已知得34a b ab +=,且0ab >,可知0,0a b >>,所以431a b += (0,0a b >>),43()()a b a b a b +=++=4377b aa b +++≥. 当且仅当43b aa b =时取等号. 7.D 【解析】本题考查的是均值不等式.因为y x y x 222221⋅≥+=,即222-+≤yx ,所以2-≤+y x ,当且仅当yx 22=,即y x =时取等号. 8.B 【解析】由22340x xy y z -+-=,得2234z x xy y =-+.所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=,当且仅当4x y yx =, 即2x y =时取等号此时22y z =,1)(max =z xy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ,故选B.9.C 【解析】由x 2-3xy +4y 2-z =0得x 2+4y 2-3xy =z ,22443331z x y xy xy xy xy +=-≥=-=,当且仅当x 2=4y 2即x =2y 时,zxy 有最小值1,将x =2y 代入原式得z =2y 2,所以x +2y -z =2y +2y -2y 2=-2y 2+4y , 当y =1时有最大值2.故选C.10.C 【解析】Q 35x y xy +=,135y x +=,113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.11.A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S,则22211S ab v S S a b a ba b===<=+++∵ a b <,∴ 2222ab a v aa b a =>=+,∴a v <<选A.12.B 【解析】在同一坐标系中作出y m =,y =821m +(0m >),2log y x=图像如下图,由2log x= m ,得122,2m mx x -==,2log x = 821m +,得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mm m m mm b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++Q ,min()82b a ∴=13.B 【解】(方法一)已知a b <2a bab +<,比较a ab ,因为22)()0a ab a a b -=-<,所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b ;作差法:022a b b a b +--=>,所以2a bb +<,综上可得2a b a ab b +<<;故选B .(方法二)取2a =,8b =4ab =,52a b +=,所以2a ba ab b+<<<.14.D 【解析】对于A 取1a b ==,此时2222a b ab +==,因此A 不正确;对于B 取1a b ==-,此时222a b ab +=-<=,因此B 不正确;对于C 取1a b ==-,此时1122a b ab +=-<=,因此C 不正确;对于D ,∵0ab >,∴0b a >,0ba >,∴22b a b a a b a b +⋅=≥,D 正确.15.14【解析】由360a b -+=,得36a b =-,所以36331112222824a b b b --+=+=⨯=≥,当且仅当363122b b -=,即1b =时等号成立.16.1[,2]8【解析】当30x -≤≤时,()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x++--≤恒成立,即232a x x --+≤恒成立,所以2min (32)2a x x --+=≤;当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立,即22x x a -+≥恒成立,所以2max 1()28x x a -+=≥. 综上,a 的取值范围是1[,2]8.17.4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++=+≥≥ ,当且仅当222a b =,且12ab =,即22a =,24b =时取等号. 18.8【解析】由题意有121a b+=,所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥.当且仅当4b a a b =,即4b =,2a =时等号成立. 19.30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=,当且仅当900x x =,即30x =时等号成立.20.-1,-2,-3(答案不唯一)【解析】因为“设a ,b ,c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +>”是假命题,则它的否定“设a ,b ,c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +≤”是真命题,由于a b c >>,所以2a b c +>,又a b c +≤,所以0c <,因此a ,b ,c 依次取整数-1,-2,-3,满足a b c +≤.()123,1233->->--+-=->-相矛盾,所以验证是假命题.21.9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈,∴4[4,5]x x +∈①当5a ≥时,44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤, 所以()f x 的最大值245a -=,即92a =(舍去)②当4a ≤时,44()5f x x a a x x x =+-+=+≤,此时命题成立.③当45a <<时,max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+,则 |4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=,解得92a =或92a <, 综上可得,实数a 的取值范围是9(,]2-∞. 22.[-【解析】设(,)P x y ,由20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤,得250x y -+≤,x如图由250x y -+≤可知,P 在¼MN 上,由2225050x yx y-+=⎧⎨+=⎩,解得(1,7)M,(5,5)N--,所以P点横坐标的取值范围为[-.23.【解析】24a b=+++92+≤9418a b=+++=.当且仅当13a b+=+且5a b+=,即73,22a b==时等号成立.24.【解析】由新定义运算知,2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==,因为00x y>>,,所以,22222242(2)222x y y x x yx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=,当且仅当x=时,(2)x y y x⊗+⊗.25.【解析】由0a b c++=得,a b c=--,则2222()2a b c b c bc=--=++()2222222b c b c b c+++=+≤,又2221a b c++=,所以232a≤,解得a,故a的最大值为.26.-1【解析】设|2|a b+最大,则必须,a b同号,因为22224463()2a ba b ab c ab c+++=++≤,故有2(2)4a b c+≤,22()2a bc+≥,当且仅当2a b=时取等号,此时2c b=,所以124a b c++=2244114()112b b b+=+--≥.27.-2【解析】设2a b t+=,则2a t b=-,因为224240a ab b c-+-=,所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①, 由0∆≥解得t ,当2a b +取得最大值时,t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c =222=--≥. 当且仅当52c =时等号成立.28.1900 100【解析】(Ⅰ)76000190020 6.0518F v v ==⨯++,当且仅当11v = 时等号成立.(Ⅱ)76000200020518F v v ==⨯++,当且仅当10v =时等号成立. 20001900100-=.29.-2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b ++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b =<,即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b +取得最小值时,2a =-.30.36【解析】因为0,0x a >>,()44a f x x a x =+≥=, 当且仅当4a x x =,即3x ==,解得36a =.31.【解析】∵221x y xy ++=, ∴2()1x y xy +-=,即22()()12x y x y ++-≤,∴24()3x y +≤,3x y +≤. 32.9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x ++≥+=.33.①③⑤【解析】令1a b ==,排除②④;由21a b ab =+≥⇒≤,命题①正确;222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥,命题③正确;1122a b a b ab ab ++==≥,命题⑤正确.。

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不等式
不等式的综合应用
2019年
1.(2019天津理13)设0,0,25x y x y >>+=,

1)
的最小值
为 .
2010-2018年
一、选择题
1.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则
A .对任意实数a ,(2,1)A ∈
B .对任意实数a ,(2,1)A ∉
C .当且仅当0a <时,(2,1)A ∉
D .当且仅当3
2
a ≤
时,(2,1)A ∉ 2.(2017天津)已知函数||2,1,
()2
, 1.x x f x x x x +<⎧⎪
=⎨+⎪⎩
≥设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是
A .[2,2]- B
.[- C
.[- D
.[- 3.(2015北京)设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是
A .若120a a +>,则230a a +>
B .若130a a +<,则120a a +<
C .若120a a <<
,则2a >
D .若10a <,则()()21230a a a a -->
4.(2015陕西)设()ln f x x =,0a b <<
,若p f =,(
)2
a b
q f +=, 1
(()())2
r f a f b =+,则下列关系式中正确的是
A .q r p =<
B .q r p =>
C .p r q =<
D .p r q =>
5.(2014重庆)若b a ab b a +=+则)
(,log 43log 24的最小值是
A .326+
B .327+
C .346+
D .347+ 6.(2013福建)若122=+y
x ,则y x +的取值范围是
A .]2,0[
B .]0,2[-
C .),2[+∞-
D .]2,(--∞
7.(2013山东)设正实数,,x y z 满足2
2
340x xy y z -+-=.则当
xy
z
取得最大值时, 212
x y z
+-的最大值为 A .0 B .1 C .
9
4
D .3 8.(2013山东)设正实数z y x ,,满足0432
2
=-+-z y xy x ,则当
z
xy
取得最大值时, 2x y z +-的最大值为
A .0
B .
9
8
C .2
D .
94
9.(2012浙江)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是
A .
245 B .28
5
C .5
D .6 10.(2012浙江)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是 A .
245 B .285
C .5
D .6 11.(2012陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a b <),其全程的平均时速为v ,

A .a v <<
B .v
C v <
2a b + D .v =2a b
+
12.(2012湖南)已知两条直线1l :y m = 和2l :y =
8
21
m +(0m >),1l 与函数2log y x =的
图像从左至右相交于点,A B ,2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ,当m 变化时,
b
a
的最小值为
A .
B .
C .
D .13.(2011陕西)设0a b <<,则下列不等式中正确的是
A .2a b a b +<<
<
B .2
a b
a b +<<
<
C
.2a b a b +<<<
D
2
a b
a b +<<< 14.(2011上海)若,a b R ∈,且0ab >,则下列不等式中,恒成立的是
A .2
2
2a b ab +>
B
.a b +≥ C

11a b +>
D .2b a
a b +≥ 二、填空题
15.(2018天津)已知,a b ∈R ,且360a b -+=,则1
28
a
b +
的最小值为 . 16.(2018浙江)已知λ∈R ,函数24,()43,x x f x x x x λ
λ-⎧=⎨-+<⎩
≥,当2λ=时,不等式()0
f x <的解集是___________.若函数()f x 恰有2个零点,则λ的取值范围是___________. 17.(2017北京)已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_______.
18.(2017天津)若,a b ∈R ,0ab >,则4441
a b ab
++的最小值为___________.
19.(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年
的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是 . 20.(2017浙江)已知a ∈R ,函数4
()||f x x a a x
=+
-+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 .
21.(2014浙江)已知实数,,a b c 满足0a b c ++=,2221a b c ++=,则a 的最大值是__; 22.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足2
2
420a ab b c -+-=,且使|2|
a b +最大时,
124
a b c
++的最小值为 . 23.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足2
2
4240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,
345
a b c
-+的最小值为 . 24.(2014湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内
经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为2760001820v
F v v l
=
++.
(Ⅰ)如果不限定车型, 6.05l =,则最大车流量为 辆/小时;
(Ⅱ)如果限定车型,5l =,则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加 辆/小时. 25.(2013天津)设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||
2||a a b
+
取得最小值. 26.(2013四川)已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+
>>在3x =时取得最小值,则a =__. 27.(2011浙江)若实数,x y 满足2
2
1x y xy ++=,则x y +的最大值是____. 28.(2011湖南)设,x y R ∈,则22
2211()(4)x y y x
+
+的最小值为 . 29.(2010安徽)若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的
是 (写出所有正确命题的编号).
①1ab ≤; ≤; ③222a b +≥;
④3
3
3a b +≥; ⑤
11
2a b
+≥。

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