百校联盟20届高考名师保温猜题卷理科数学试卷答案
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（二）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<6且x∈N∗}，则A的非空真子集的个数为()A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足z⋅(1+i)=1+3i，则|z|=()A. 2B. 4C. √5D. 53.已知sin(3π2+α)=13，则cosα=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√234.李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为()A. x2+z2=y2？B. x2+y2=z2？C. y2+z2=x2？D. x=y？5.已知袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n=()A. 1B. 2C. 6D. 76. 已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：(x +3)2+y 2=16.Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是( )A. ⊙Q 过双曲线C 的右焦点B. ⊙Q 过双曲线C 的右顶点C. ⊙Q 过双曲线C 的左焦点D. ⊙Q 过双曲线C 的左顶点7. 在△ABC 中，AB =5，AC =3，BC =4，△ABC 内有一点O ，满足：CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ>0，μ>0，4λ+3μ=2，则CO 的最小值为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√28. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6，且f(x)在(π,4π3)上单调，则ω的最大值为( )A. 52B. 3C. 72D. 839. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E 于点C ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，则椭圆E 的离心率e =( ) A. √λ−1λ+1B. λ−1λ+1C. √λ2−1λ2+1D. λ2−1λ2+110. 已知(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，其中a 0+a 1+⋯+a n =243，则a1+a 12+a 23+⋯+a n n+1=( )A. 182B.1823C. 913D.182911. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为( )A. 2√3B. 2√2C. 3D. √612. 已知函数f(x)=a+lnx x，g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数)，∃x ∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，则实数a 的最小值为( )A. 1B. eC. 2D. ln2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=xlg(√x 2+a +x)是偶函数，则f(2x −1)≤f(x)的解集为______．14.已知x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,目标函数z=−2x+y的最大值为2，则实数k的取值范围是______．15.已知点O(0,0)，A(4,0)，M是圆C：(x−2)2+y2=1上一点，则|OM||AM|的最小值为______．16.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ.则tanθ=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a1=13，a2=415，且数列{√a n4a n−1}是等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．18.四棱锥P−ABCD中，PA=AD=2，AB=BC=CD=1，BC//AD，∠PAD=90°.∠PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD．(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．19.直线l过点(4,0)，且交抛物线y2=2px(p>0)于A，B两点，∠AOB=90°．(1)求p；(2)过点(−1,0)的直线交抛物线于M，N两点，抛物线上是否存在定点Q，使直线MQ，NQ斜率之和为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由．20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x(单位：只)的统计情况如表：这300天内(假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样)，养鸡厂每天出栏土鸡7a(14≤a≤18)只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56−a元的价钱处理．(Ⅰ)若a=16，求养鸡厂当天在A饭店得到的利润y(单位：元)关于需求量x(单位：只，x∈N∗)的函数解析式；(Ⅱ)以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？21. 已知函数f(x)={x 24e 2,x ≥02x,x <0，g(x)=ln(x +a)．(1)若f(x)，g(x)有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； (2)判定函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[0,+∞)上的零点个数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosϕy =1+tsinϕ(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ．(Ⅰ)当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M(2,1)，求直线l 的斜率．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x −2|．(Ⅰ)若f(x)≥3恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)f(x)≤x 的解集为[2,m]，求a 和m ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x<6且x∈N∗}={1，2，3，4，5}，故A的子集个数为25=32，非空真子集个数为30．故选：A．求出集合A={x|x<6且x∈N∗}={1，2，3，4，5}，由此能求出A的非空真子集个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由z⋅(1+i)=1+3i，得z=1+3i1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，∴|z|=√5．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13，故cosα=−13．故选：B．利用两角和与差公式直接求解．本题考查三角函数值的求法，考查两角和与差公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.【答案】A【解析】解：由题知，AC=x，AB=y，BC=z，由勾股定理可知x2+z2=y2．故选：A．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】B【解析】解：袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则p=33+n ×n3+n+n3+n×33+n=1225，解得n=2．故选：B．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：如图；因为以Q为圆心作圆Q与圆F1相外切，∴QF1=4+r；∵QF1−QF2=2a⇒QF1=2a+QF2=4+QF2；∴r=QF2；故圆Q过双曲线C的右焦点；故选：A．根据两圆外切得到QF1=4+r；再结合双曲线的定义即可求解结论．本题考查双曲线的方程和性质以及两圆的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：△ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2， ∴AC ⊥BC ， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0， |CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λμCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2+9μ2， ∵λ>0，μ>0，4λ+3μ=2， ∴2−4λ>0，解得λ<12， ∴0<λ<12．∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=16λ2+9μ2=16λ2+(2−4λ)2=32(λ−14)2+2，∴∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2≥2， ∴CO 的最小值为√2． 故选：C ．根据题意，易知△ABC 为直角三角形，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，根据题意，确定λ的取值范围，给CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方，化为关于λ的二次函数，求得最值再开平方即得答案． 本题主要考查平面向量的模长公式和数量积的应用，需要学生有转化的思想，属于中档题，解题时要认真审题．8.【答案】D【解析】解：函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6， 整理得：x =kω6−π6(k ∈Z)， 由于f(x)在(π,4π3)上单调，所以{k 0πω−π6≤π(k0+1)πω−π6≥4π3，解得：67k 0≤ω≤23(k 0+1)，由于ω>0，所以{k 0>067k 0≤23(k 0+1)，解得0<k 0≤72．所以k 0=1，2，3，当k 0=3时，ω的最大值为83． 故选：D ．首先利用正弦型函数的对称轴建立等量，进一步利用函数的单调性的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：设C(x,y)，根据BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：{c =λ(x −c)−b =λy ，则{x =(1+λ)λc y =−b λ， 因为C 在椭圆上，带入方程可得(1+λ)2λ2⋅e 2+1λ2=1，即e 2=λ2−1(1+λ)2=λ−1λ+1，则e =√λ−1λ+1．故选：A ．设点C(x,y)，利用条件BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得{x =(1+λ)λcy =−bλ，代入椭圆方程整理即可求得e 的值． 本题考查椭圆离心率的表示，抓住向量表示是关键，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ， 令x =1，则3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5．∴(1+2x)5的通项公式T k+1=∁5k (2x)k =2k ∁5k x k ，∴a k =2k ∁5k ，∴a k k+1=2k ∁5k k+1．则a 01+a 12+a 23+⋯+ann+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B ．(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，令x =1，可得3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5.利用(1+2x)5的通项公式可得a k k+1=2k ∁5kk+1.代入即可得出．本题考查了二项式定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：AB =CD =√5，AC =2√2，BC =1，BD =√6，BD =3． 最长的棱的长度为3． 故选：C ．由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：∵f(x)=a+lnx x，g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数)，∃x ∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立， 即∃x ∈(0,+∞)，使得a+lnx x ≥e x −1成立，即∃x ∈(0,+∞)，使得a ≥xe x −x −lnx 成立． 令g(x)=xe x −x −lnx(x >0)， 则a ≥g(x)min ，∵g′(x)=(1+x)e x −1−1x (x >0)，∴g″(x)=(2+x)e x +1x 2>0，∴g′(x)=(1+x)e x −1−1x 在(0,+∞)上单调递增， 又g′(13)=43e 13−4<0，g′(1)=2e −2>0，∴∃x 0∈(13,1)使得g′(x 0)=0，此时g(x)=xe x −x −lnx 取得极小值，也是最小值． 令g′(x 0)=0，则(1+x 0)e x 0=1+x 0x 0，即e x 0=1x 0．∴g(x 0)=x 0e x 0−x 0−lnx 0=1−x 0−lne −x 0=1，即g(x)min =1， ∴a ≥1，∴实数a的最小值为1，故选：A．∃x∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，分离参数a，可转化为∃x∈(0,+∞)，使得a≥xe x−x−lnx成立．构造函数g(x)=xe x−x−lnx(x>0)，利用导数法可求得g(x)min，从而可得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查推理能力与综合运算能力，是难题．13.【答案】[13,1]【解析】解：∵f(x)为偶函数，y=x为奇函数，∴g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数，∴g(0)=0，解得a=1，对0<x1<x2，可知0<g(x1)<g(x2)，故0<x1g(x1)<x2g(x2)，∴函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴f(2x−1)≤f(x)等价于|2x−1|≤|x|，即(2x−1)2≤x2，解得13≤x≤1，即f(2x−1)≤f(x)的解集为[13,1]．故答案为：[13,1]．根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数，g(0)=0，解得a=1，利用函数的单调性解不等式，即可求出f(2x−1)≤f(x)的解集．本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力．14.【答案】(−1,2]【解析】解：x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,表示的可行域如图：目标函数化为y=2x+z，z=2时，可知：最优解在直线2x−y+2=0上，而(0,2)在可行域内，且满足2x−y+2=0.故可知：实数k的取值范围是(−1,2]．故答案为：(−1,2]．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】13【解析】解：如图，由图可知，当M为(1,0)时，|OM|最小为1，|AM|最大为3．则|OM||AM|的最小值为13．故答案为：13．由题意画出图形，通过图形得到|OM|的最小值与|AM|的最大值，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.【答案】3√7777【解析】解：如图；DE⊥面ACE，∠EAB=45°，∠EBD=30°；由题可得：AE=DE=60；AB=BC=80；∴EB=DEtan30∘=60√3；∴cos∠EAB=AE2+AB2−BE22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒602+802−(60√3)22×60×80=602+1602−EC 22×60×160⇒EC =20√77；∴tanθ=6020√77=3√7777；故答案为：3√7777． 画出示意图，知道边长和角度，然后利用cos∠EAB =AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒EC ，即可求出结论．本题考查三角形的实际应用，根据条件画出示意图是解决本题的关键，理解本题是立体图形．17.【答案】解：(1)由a 1=13，a 2=415，可得√a 14a 1−1=1，√a 24a 2−1=2，∵数列{√an4a n−1}是等差数列，且首项为1，公差d =1，∴√an 4a n−1=n ，∴a n =n 24n 2−1=14+14×14n 2−1=14+18(12n−1−12n+1)， ∴S n =n 4+18[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=n 4+18−116n+8．【解析】(1)先由题设条件求√an4a n−1，再求出a n ；(2)由(1)中求得的a n ，再利用裂项相消法求出S n ． 本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：作AM ⊥PB 于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD ． 取AD 中点为Q ，则BC −//̲QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°．又∠PBA 为锐角，∴M 、B 不重合．{DB ⊥AB DB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．(2)取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系(其中x 轴与HB 平行)， 则B(√32,12,0)，C(√32,32,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由(1)的证明知：平面PAB 的法向量为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0)．设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{2y −2z =0−√32x +12y =0． 令x =1⇒m =(1,√3,√3)，cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√32+3√32√3⋅√7=√77．平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值：√77．【解析】(1)作AM ⊥PB 于M ，推出AM ⊥BD.取AD 中点为Q ，通过{DB ⊥ABDB ⊥AM ⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．(2)取AQ 中点H ，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 法向量，平面PCD 法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，计算能力．19.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由∠AOB =90°，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可得x 1x 2+y 1y 2=0，即有y 122p⋅y 222p +y 1y 2=0，即y 1y 2=−4p 2， 设直线l 的方程为x =my +4，联立抛物线的方程y 2=2px ，可得y 2−2pmy −8p =0， 则y 1y 2=−8p =−4p 2，可得p =2；(2)抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q(x 0,y 0)，MN 的方程为x =ty −1，代入抛物线的方程y 2=4x ，可得y 2−4ty +4=0，则y M +y N =4t ，y M y N =4，则k MQ +k NQ =y M −y 0x M−x 0+y N −y0x N−x 0=y M −y 0y M 24−y 024+y N −y 0y N 24−y 024=4y M +y 0+4y N +y 0=4(2y 0+y M +y N )y 02+y 0(y M +y N )+y M y N=4(2y 0+4t)y 02+4ty 0+4=16(t+y 02)4y 0(t+y 02+44y 0)．当且仅当y 02=4+y 024y 0时，上式为定值．解得y 0=±2.故Q(1,2)或(1,−2)．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，运用向量垂直的条件和联立直线方程与抛物线的方程，解方程可得p ；(2)抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q(x 0,y 0)，MN 的方程为x =ty −1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和斜率公式，计算可得结论． 本题考查直线和抛物线的位置关系，注意直线方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)当x <a 时，y =(70−40)x +(56−a −40)(a −x)=(14+a)x +16a −a 2，当x ≥a 时，y =30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2,x <a30a,x ≥a (x ∈N ∗)，由a =16，得y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)； (Ⅱ)若出栏112只，则a =16，y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)．记Y 1为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 1可求420，450，480．P(Y 1=420)=0.15，P(Y 1=450)=0.2，P(Y 1=480)=0.65， Y 1的分布列为：E(Y 1)=420×0.15+450×0.2+480×0.65=465； 若出栏119只，则a =17，y ={31x −17,x <17510,x ≥17(x ∈N ∗)． 记Y 2为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 2可求417，448，479，510．P(Y 2=417)=0.15，P(Y 2=448)=0.2，P(Y 2=479)=0.25，P(Y 2=510)=0.4， Y 2的分布列为：E(Y 2)=417×0.15+448×0.2+479×0.25+510×0.4=475.9． ∵E(Y 1)<E(Y 2)，∴养鸡场出栏119只时，或利润最大．【解析】(Ⅰ)根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量x <a ，剩下的鸡只能以每只56−a 元的价格处理，建立分段函数模型，再将a =16代入求解；(Ⅱ)根据离散型分布列的特点，分类讨论，分别求出出栏112与119只时的期望，比较大小得结论．本题主要考查样本估计总体，考查分段函数的应用与运算求解能力，考查离散型随机变量的分布列与期望，是中档题．21.【答案】解：(1)设M(x 0,y 0)，则当x 0≥0时，{x 024e 2=ln(x 0+a)①x 02e 2=1x 0+a ②， 由②得x 0+a =2e 2x 0，代入①得x 024e 2=ln2e 2x 0=ln(2e 2)−lnx 0，对函数φ(x)=x 24e 2−ln(2e 2)+lnx，求导得φ′(x)=x2e 2+1x >0， ∴φ(x)为增函数，且φ(2e)=0，故x 0=2e ；当x 0<0时，{2x 0=ln(x 0+a)2=1x 0+a，则2x 0=ln 12，即x 0=−ln22； 综上，M 的坐标为(2e,1)或(−ln22,−ln2)；(2)由(1)知，x 0=2e 时，a =−e,ℎ(x)=x 24e 2−ln(x −e)，则ℎ′(x)=x2e 2−1x−e ,ℎ″(x)=12e2+1(x−e)2>0，故ℎ′(x)在定义域上单调递增，则易知ℎ′(x)有唯一零点为x =2e ，则ℎ(x)≥ℎ(2e)=0， 故ℎ(x)有唯一零点； 当a <−e 时，ℎ(x)=x 24e2−ln(x +a)>x 24e 2−ln(x −e)≥0，ℎ(x)无零点；当−e <a ≤1时，ℎ′(x)=x 2e 2−1x+a 在[0,+∞)上至多一个零点，ℎ(x)在(0,+∞)上至少两个零点，而ℎ(0)=−lna ≥0，ℎ(2e)=1−ln(2e +a)<0，x →+∞时，ℎ(x)→+∞， 故ℎ(x)在(0,2e)，(2e,+∞)上各一个零点；当a >1时，ℎ′(x)=x2e 2−1x+a 满足ℎ′(0)<0，ℎ′(2e)>0，故在(0,2e)上，ℎ′(x)仅一个零点，设为m ，在(0,m)上，ℎ(x)为减函数，在(m,+∞)上，ℎ(x)为增函数，而ℎ(0)=−1a <0,ℎ(m)<ℎ(0)<0，x →+∞时，ℎ(x)→+∞， 故仅在(m,+∞)上有一个零点．综上可得，当a <−e 时，ℎ(x)无零点；当a =−e 或a >1时，ℎ(x)有1个零点；当−e <a ≤1时，ℎ(x)有2个零点．【解析】(1)设M(x 0,y 0)，分x 0≥0和x 0<0两种情况讨论，每种情况下利用两个函数在x =x 0处的导数值和函数值相等建立方程求解；(2)结合(1)中得到的结论，分a=−e、a<−e、−e<a≤1、a>1四种情况讨论．本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数，考查分类讨论思想，属于压轴题目．22.【答案】解：(Ⅰ)直线l的普通方程为：√3x−y+1−2√3=0；椭圆C的直角坐标方程为：x216+y212=1．(Ⅱ)将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：(3+sin2φ)t2+(12cosφ+ 8sinφ)t−32=0，由题意得：t1+t2=0，故12cosφ+8sinφ=0⇒k=tanφ=−32，所以直线l的斜率为−32．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，当且仅当(x−a)(x−2)≤0时取等号，故f(x)的最小值为∣a−2∣，∴∣a−2∣≥3⇔a≥5或a≤−1．(Ⅱ)由不等式解集的意义可知：x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4．a=0时，如图所示：不合题意，舍去；a=4时，如图所示：由y=x与y=2x−6，解得：x=6．即m=6，综上，a=4，m=6．【解析】(Ⅰ).根据绝对值三角不等式，由f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，求得f(x)最小值，再由∣a−2∣≥3求解；(Ⅱ)不等式的解集与相应方程根的关系，当x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4.再分类求解．本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．。
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题(解析版)
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题 1．复数312112i ii +++-的模为（ ） A ．1 B 3C 5D ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】 根据题意，31211211212i i i ii i +++++=+-+ (12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以22|2|215i +=+=故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或 C ．{|23}x x ≤≤ D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案. 【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð. 故选：B. 【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r能否得到1λ=，从而得到答案. 【详解】因为向量(3,4)a =r ，所以22345a =+=r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r，所以||||5a λ=||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题.4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案. 【详解】根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<. 即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-. 故选：C. 【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图 A ．43 B ．23C ．32-D ．34-【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积. 【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上， 所以DE ⊥平面ACD ， 所以1313E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 13(31)3=31=，所以几何体的体积为32. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题. 6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案. 【详解】由题意，22()(1)f x x '=--，221(3)(31)2f '∴=-=--，所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12548=故选：D. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题. 7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1na +的通项和前n 项和nS，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+，所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111n nT S SS =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2. 故选：C. 【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞U C ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围. 【详解】根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点， 所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-. 故选：D. 【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题. 9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n +的最小值为（ ） A ．92B ．2C ．1D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m--=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m--=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭14(522m n n m≥+⋅92=，当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题. 10．已知3sin()1223πα-=则sin(2)6πα+= （ ）A ．710-B ．710C ．79-D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解. 【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DHDA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GHk DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EHk DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =， 所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GHk DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =， 所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EHk DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-， 在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题. 12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围. 【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求导得2()3(4)2g x x m x '=++-， 令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=，2(4)240m ∆=++>，由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根. 又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立，又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小，由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角）， 因为2,AE =2,OA =6OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知2223cos 2EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题. 16．已知函数()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭134cos sin cos 322x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 32cos 1x x x ωωω=+-sin 232x x ωω=2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z . 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和n T . 【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比4312a q a ==，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题.18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+， 因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =--代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x ' +-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩ 解得13b <， 而12135>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =. （1）求角C 的大小； （2）若3PB =，357sin BAP ∠=ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（253【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C = 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 2357sin 3ABπ=，所以19AB =所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 2522ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ，所以平面EFQ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ， 所以112242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,22A ⎛-- ⎝⎭， 所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭，设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题. 21．已知函数1()1ln1mx f x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由； （3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值.【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭，当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94162(210)t t≥=-⋅- 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数，又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。
百校联盟2020届高三5月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)理科数学 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣13．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．14．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．3635．已知，，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组7．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．10．已知实数a，b，满足，当取最大值时，tanθ＝（）A．B．1C．D．211．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•，以下结论正确的个数是（）①双曲线C的离心率为；②双曲线C的渐近线方程；③直线l的斜率为1．A．0B．1C．2D．312．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ae﹣x+2sin x满足，则z ＝x﹣lny的最小值是（）A．﹣ln6B．﹣2C．ln6D．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈N*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知直线与椭圆C：ax2+by2＝1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线上一点．（1）求P点的轨迹方程；（2）若为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的最大．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案．解：∵，∴，得y＝﹣2x+1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2，再根据数量积的坐标运算法则表示出•（2），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵（﹣2，m），（1，2），∴，∴•（2）＝6+m（2m+2），即，解得，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．363【分析】根据题意求出RO的值，再计算得病总人数．解：由题意知，RO＝1+40%×5＝3，所以得病总人数为：3+32+33+34+35363（人）．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的前n项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知，，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．解：b，c log2，因为，所以，所以a＜b＜c故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题．6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【分析】求出数据的极差，分成7组，可求组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，即可求得中位数为12.5应位于第5组内．解：数据的极差为15.1﹣8.8＝6.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，中位数为12.5应位于第5组内．故选：C．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ∈[，），由此可得结果．解：∵函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数为y＝sin（ωx）在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值；ωx∈[，2ωπ]，∴2ωπ∈[，），则正实数ω∈[，），故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，由此能求出异面直线OC与PD所成角的余弦值．解：设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∴∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，在△PDE中，PE＝PO，DE＝r，∴cos∠PDE．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF2|的值．解：由题意，F1（﹣2，0），则抛物线方程为y2＝8x．计算可得|PF1|，|PF2|＝2a．过Q作QM⊥直线l与M，由抛物线的定义知，|QF2|＝|QM|．∵，∴，解得：|MQ|＝12（3﹣2）．∴|QF2|＝|MQ|＝12（3﹣2）．故选：A．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知实数a，b，满足，当取最大值时，tanθ＝（）A．B．1C．D．2【分析】根据辅助角公式可得sin（θ+φ）2，进而可求得答案解：由得a2+4b2＝8，利用辅助角公式可得：sin（θ+φ）2，其中tanφ，所以最大值为2，当且仅当a＝2b＝2时成立，所以2sin（θ），则θ2kπ，k∈Z，则tanθ＝1，故选：B．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示a、b．11．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•，以下结论正确的个数是（）①双曲线C的离心率为；②双曲线C的渐近线方程；③直线l的斜率为1．A．0B．1C．2D．3【分析】由题意可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN为直径的圆过F2，且•，可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，两式相减可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m ＝2a，设H为MN的中点，在直角三角形HF1F2中，可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，e，故①正确；又，可得，故②正确；因为|HF2||MN|＝2a，所以|HF1|2，所以直线l的斜率为，故③错误．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ae﹣x+2sin x满足，则z ＝x﹣lny的最小值是（）A．﹣ln6B．﹣2C．ln6D．2【分析】由已知可求a，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x，y的不等式组，结合线性规划知识即可求解．解：由题意f（0）＝1﹣a＝0可得a＝1，所以f（x）＝e x﹣e﹣x+2sin x，2+2cos x≥0，故f（x）在R上单调递增，则，作出可行域如图所示，其中A（0，），B（0，3），C（，），设y＝e x﹣z，则由图象可知，设y＝x+3与y＝e x﹣z相切于点D（x0，y0），由y′＝e x﹣z，令1可得x0＝z，，故y＝x+3与y＝e x﹣z相切于点D（﹣2，1）时，z取得最小值z min＝﹣2．故选：B．【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为．【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，则这两项来自影响稍弱区的概率是：P．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为[1，2]．【分析】先求出a的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f（2x﹣2）≥f （0），求出x的范围．解：∵函数关于x＝1对称，∴a＝1，f（x）∈（0，1]，则由f（2x﹣2）≥f（0），结合图象可得0≤2x﹣2≤2，求得1≤x≤2，故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A≠0，可得cos B，结合范围B∈（0，π），可求B，进而根据余弦定理可求ac的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C＝（2a﹣c）cos B，∴由正弦定理可得：sin B cos C＝（2sin A﹣sin C）cos B，可得sin B cos C+cos B sin C＝2sin A cos B，∴sin（B+C）＝2sin A cos B，∵sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A，且sin A≠0，∴可得cos B，∵B∈（0，π），∴B，又∵b＝2，a+c＝3，∴a2+c2﹣2ac cos B＝b2，∴（a+c）2﹣3ac＝4，∴ac，∴S△ABC ac sin B．故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h构成直角三角形求出容器内水面的高度h，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积．解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm，高为18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h构成直角三角形，所以2，解得h＝14，所以容器内水面的高度为14cm，设球的半径为R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r3，球心到截面圆的距离为R﹣4，所以R2＝（R﹣4）2，解得R；所以球的表面积为4π（cm2）．故答案为：．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【分析】（1）由平面图可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，得到AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D，再由已知可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）由P'﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，得P′A⊥AD，以A为原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC的一个法向量与平面ABE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：由平面图可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．∵E为P′D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P'﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，故P′A⊥AD，以A为原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），D（0，1，0），P′（0，0，1），B（，0，0），C（1，1，0），E（0，，），，，．设平面BEC的一个法向量为，由，取x＝2，得．∴为平面ABE的一个法向量，设二面角A﹣BE﹣C为θ，∴cos．∵二面角A﹣BE﹣C为钝角，∴cos，故二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈一、选择题*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．【分析】（1）．n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1，化为：b n＝2b n﹣1+1，变形为：b n+1＝2（b n﹣1+1），进而证明结论．利用通项公式考点b n．（2）设等差数列{a n}的公差为d，由a5＝6，S6＝27，利用通项公式可得：a1+4d＝6，6a1+15d ＝27，联立解得：a1，d，可得a n．可得a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．利用错位相减法与等差数列得求和公式即可得出．解：（1）．∴n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2b n﹣n﹣（2b n﹣1﹣n+1），化为：b n＝2b n﹣1+1，∴b n+1＝2（b n﹣1+1），n＝1时，b1＝2b1﹣1，解得b1＝1．∴b1+1＝2．∴{b n+1}是等比数列，首项与公比都为2，∴b n＝2n﹣1．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝6，S6＝27，∴a1+4d＝6，6a1+15d＝27，联立解得：a1＝2，d＝1，∴a n＝2+n﹣1＝n+1．∴a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．∴数列{（n+1）•2n}的前n项和A n＝2×2+3×22+4×23+……+（n+1）•2n．∴2A n＝2×22+3×23+……+n•2n+（n+1）•2n+1．相减可得：﹣A n＝4+22+23+……+2n﹣（n+1）•2n+1＝2（n+1）•2n+1．化为：A n＝n•2n+1．∴数列{a n•b n}的前n项和＝n•2n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【分析】（1）先补充完整2×2列联表，然后根据K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）X的可能取值为0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于7年和低于7年的占比数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型3070100B型5050100总计80120200∴，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关．（2）由题可知，A型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占；B型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占．∴X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）．∴X的分布列为X012P∴数学期望E（X）．（3）∵平均每辆出租车年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆，∴两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命年数5年6年7年8年A型6×5﹣11＝196×6﹣11＝256×7﹣11＝316×8﹣11＝37B型6×5﹣8＝226×6﹣8＝286×7﹣8＝346×8﹣8＝40用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为（万元），这100辆B型出租车的平均利润为（万元），∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求m，然后结合导数单调性及最值的关系即可求解；（2）由已知不等式代入整理可得ln（1+x）＜bx，可考虑构造函数h（x）＝ln（x+1）﹣bx，结合导数与单调性的关系对b进行分类讨论可求．解：（1），由x＝0是f（x）的极值点可得10，即m＝1，经检验m＝1符合题意，，设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+2）＞0在x＞﹣1时恒成立，故g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增且g（0）＝0，所以，当x＞0时，g（x）＞0即f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0即f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，故当x＝0时，f（x）取得最小值f（0）＝1，（2）由e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立可得ln（1+x）＜bx，设h（x）＝ln（x+1）﹣bx，则，（i）若b≥1，则x＞0时，0，h（x）单调递减，所以h（x）＜h（0）＝0，符合题意，（ii）若b≤0，则x＞0时，0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）＝0，不符合题意，（iii）若0＜b＜1，则时，x，当x时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，此时h（x）＞h（0）＝0，不满足题意，综上，b的范围[1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21．已知直线与椭圆C：ax2+by2＝1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线上一点．（1）求P点的轨迹方程；（2）若为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的最大．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），联立两方程，结合韦达定理可得x1+x2，则x0，再带回直线方程进而得到b＝4a，从而t＝m，消去m后可得x2＝2y；（2）结合（1）表示出P（m，），F（0，），D（，），M （m，），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），联立得（bm2+a）x2﹣m2bx1＝0，则x1+x2，则x0，将其代入y＝mx得y0，因为•m，所以，即b＝4a，故OD方程为y x，则t，故t＝m，代入y＝mx，得P（m，），消去m，可得P点的轨迹方程为x2＝2y（x≠0）；（2）由题得b＝4，所以椭圆C的方程为x2+4y2＝1，由（1）知x0，y0，对于直线l，令x＝0，y，则G（0，），所以P（m，），F（0，），D（，），M（m，），所以S△PFG|GF||m||m|（m2+1）S△PDM|PM|•|m﹣x0|，则，令n＝2m2+1，则，当，即n＝2时，取得最大值，此时m＝±，满足△＞0．【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数思想等，综合性强，属于难题请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程（k为参数），整理得，又，两式相除得：，代入，得到（x+1）2+y2＝4（y≠﹣2）．（2）曲线C2的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．设圆心C1（﹣1，0）到直线l的距离为d，则|AB|，解得d＝1．所以：|PD|，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(全国ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z 满足121z i i -+=+，则||(z = ) A ．5B ．2C ．3D ．32．（5分）已知集合{21A a =-，2a ，0}，{1B a =-，5a -，9}，且{9}A B =I ，则()A ．{9A =，25，0}B ．{5A =，9，0}C ．{7A =-，9，0}D ．{7A B =-U ，9，0，25，4}-3．（5分）已知向量2(2a x x =-r ，1)，(1,3)b =-r ，则“13x -<<”是“a r ，b r 的夹角为钝角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（5分）将函数2sin(2)4y x π=+的图象向右平移4π个单位长度，所得函数( )A ．在区间3(8π-，)8π上单调递增B ．在区间5(8π-，)8π-上单调递减 C ．以8x π=为一条对称轴D ．以3(8π，0)为一个对称中心 5．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A ．83πB ．8πC ．163πD ．12π6．（5分）改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．25D ．347．（5分）已知函数212()log ()f x x ax a =-+在1(2，)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．1[2-，1]C ．1(2-，1]D ．1(2-，)+∞8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数3||y x =图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线22330x y -+=上，则OAB ∆的面积为( ) A ．2B ．3C ．3 D ．3 9．（5分）一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 点出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为( )A ．2027B ．79C ．727D ．2910．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，3BC CD =，则ADB ∠的最大值为()A ．4πB ．3π C ．2π D ．23π 11．（5分）我国古代的数学著作《九章算术g 商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M 、N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵” 111ABC A B C -所得截面图形的面积为( )A ．213B ．213C 27D 4712．（5分）已知函数()2f x alnx x =-，若存在*x N ∈，使()0f x >成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,)e +∞B ．4(2ln ，)+∞ C ．6(3ln ，)+∞ D ．(2,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩„……，则|1|z x y =-+的最大值为 ．14．（5分）在25(1)()x x x a +--的展开式中，含5x 项的系数为14，则实数a 的值为 ． 15．（5分）已知实数x ，y 满足20y x >…，则92y xx x y++的最小值为 ． 16．（5分）巳知1F 、2F 为双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△12PF F 内切圆的圆心为I ，则圆心1到圆22(1)1x y +-=上任意一点的距离的最小值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，210S =，*112()1n n n S a n N n +-=+∈+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*()2(1)!n n na b n N n =∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：112n T <„． 18．（12分）某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20，60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如表的统计表格：年龄区间 [20，30)[30，40)[40，50)[50，60]教师人数 2000 1300 样本人数130。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(理)(二)试题(解析版)
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（二）试题一、单选题1．已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为( )A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A【解析】先化简集合A ，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解. 【详解】因为集合{|6A x x =<且}{}*N1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题. 2．复数z 满足()113z i i ⋅+=+，则z =（ ）A ．2B ．4C D ．5【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出复数z ，再求出模长|z |． 【详解】()()13113212i i i z i i +-+===++，故z =故选：C . 【点睛】本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．3．已知31sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．13B ．13-C D ． 【答案】B【解析】直接由诱导公式计算即可.【详解】 由诱导公式可得：3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭1cos 3α=-=，故1cos 3α=-.故选：B. 【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题.4．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到B 处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为( )A ．222?x z y +=B ．222?x y z +=C ．222?y z x +=D ．?x y =【答案】A【解析】根据题意得，,,,AC x AB y BC z === 则1600,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，再根据ABC V 为直角三角形90C =o ∠ 求解. 【详解】由题意得，,,,AC x AB y BC z ===则1000,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ， 符合程序框图所示:又ABC V 为直角三角形，且90C =o ∠， 所以222x z y += . 故选：A 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 5．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是23，乙赢的概率是13，则甲以3:1获胜的概率是( ) A ．827B ．1627C ．1681D ．3281【答案】A【解析】根据题意，可知5局3胜制，甲以3:1获胜，则第4局甲胜，且前3局甲胜2局，根据二项分布即可求出概率. 【详解】解：由题可知，5局3胜制，甲以3:1获胜， 则第4局甲胜，且前3局甲胜2局，故所求概率为223221833327P C ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查独立重复试验求概率以及二项分布的实际应用，属于基础题.6．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆2C ：()2221x y -+=相切，则双曲线1C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．13y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】D【解析】双曲线1C 的一条渐近线方程为0bx ay -=，根据渐近线与圆2C ：()2221x y -+=1=求解.【详解】双曲线1C 的一条渐近线方程为0bx ay -=， 圆心()2,0到渐近线的距离为1，1=，得223a b =即3b a =. 所以双曲线1C的渐近线方程为：y x = 故选;D 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知向量a v 、b v 满足1a =v ，2b =v，2a b a b +=-v vv v ，则a v 与b v 夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】根据|2a b +rr|=2a b -rr|，两边平方，根据|a r|，|b r|，得出向量的数量积，再根据夹角公式求解． 【详解】由已知，（2a b +r r ）2＝3（2a b -r r ）2，即4a r 2+4a r •b b r r +2＝3（4a r 2﹣4a r •b b r r +2）．因为|a r|＝1，|b r|＝2，则a r21b =r，2＝4， 所以8+4a r •b =r 3（8﹣4a r •b r），即a r •1b =r．设向量a r与b r的夹角为θ， 则|a r|•|b r|cosθ1=， 即cosθ12=，故θ＝60°． 故选：B . 【点睛】本题考查了向量夹角的求法，考查了数量积的运算法则及模的求解方法，属于基础题8．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为( )A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．43,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．47,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】根据正弦函数的对称轴，令62x k ππωπ+=+，k Z ∈，则3k x ππω+=，k Z ∈.再根据()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，令()()()130,30,13,23,k k k k ππωππωπππωπππω⎧+-⎪≤⎪⎪⎪+⎪>⎪⎪⎨⎪++⎪<⎪⎪⎪++⎪≥⎪⎩求解.【详解】 令62x k ππωπ+=+，k Z ∈，则3k x ππω+=，k Z ∈.因为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，所以()()()130,30,13,23,k k k k ππωππωπππωπππω⎧+-⎪≤⎪⎪⎪+⎪>⎪⎪⎨⎪++⎪<⎪⎪⎪++⎪≥⎪⎩则20,310,34,37,3k k k k ωω⎧-≤⎪⎪⎪+>⎪⎨⎪>+⎪⎪⎪≤+⎩ 解得47,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．1 B ．eC ．1eD【答案】B【解析】根据题意，对2112x x x x <两边取对数，化简得1212ln ln x x x x <，故()ln x f x x=在()0,m 上为增函数，利用导数求出单调增区间，即可得出答案.【详解】解：由题意得，当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立， 两边取对数，得2112ln ln x x x x <，化简得1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x=在()0,m 上为增函数， 因为()21ln 00xf x x e x -'=≥⇒<≤， 故m 的最大值为e .故选：B. 【点睛】本题考查函数单调性的实际应用，利用导数研究单调性解决恒成立问题，考查转化思想和计算能力.10．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则0121231n a aa a n +++⋅⋅⋅+=+( ) A ．182 B ．1823C ．913D ．1829【答案】B【解析】由题可知，令1x =，得：32435n n =⇒=，根据导数的运算公式，得()()()666255101212112261226x x a x a x x a x '''⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⋅=+==++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令0x =和1x =，即可求出答案.【详解】解：根据题意，01243n a a a ++⋅⋅⋅+=， 令1x =，得：32435n n =⇒=，由于()612126x '⎡⎤+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦()512x =+()62551015026a x a x a a x a x a x ''⎛⎫⎛⎫'=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()662510121226x a x a x a x ''⎡⎤+⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()662510121226x a x a x a x C +∴=++⋅⋅⋅++，令0x =，解得112C =， 而5n =，令1x =，得051218212363a a a a +++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开式以及导数的应用，考查转化能力和计算能力. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A．23B．22C．3 D．6【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如图所示：正方体的棱长为2，A、C为所在棱的中点，则CD=1，BC=AD5，BD=BE=CF=22结合图形可得, △AEB，△AFC，△AFD为直角三角形，由勾股定理得AB22CF AF+=+=，AC22=5+1=6+BE AE=813最长的棱为AB=3，故选：C.【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.12．已知函数()()ln f x x a =-，若1x ∃，()2,x a ∈+∞，使得()()2212214x f x x f x -+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则实数a 的取值范围是( )A ．(,21⎤-∞-⎦ B ．2,2⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦C ．(,2⎤-∞⎦D ．(],2-∞【答案】A【解析】根据题意，()()221221x f x x f x -+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦表示两点()()11,x f x ，(),tt e a +距离的平方，画出图象，可知()1,0A a +，()0,1B a +，则1AB k =-，分类讨论a ，结合条件即可求出a 的取值范围. 【详解】解：令()2t f x =，则()()()22121221,S x x x f x x f x =-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦为两点()()11,x f x ，(),tt e a +距离的平方，画出()()ln x a y f x ==-与xy e a =+的图象.设()1,0A a +，()0,1B a +，两函数图象在A ，B 处的切线斜率都为1，1AB k =-， 当1a >-时，可知2AB 为()12,S x x 最小值.即()2421a ⎡⎤≥+⎣⎦，解得121a -<≤-，当1a ≤-时，显然成立， 故21a ≤-.故选：A.【点睛】本题考查指对数函数的应用，涉及切线斜率和两点间距离，考查转化和分析能力.二、填空题13．已知())lg f x x x =是偶函数，则()()21f x f x -≤的解集为______.【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出())lgg x x =为奇函数，()001g a =⇒=，利用函数的单调性解不等式，即可求出()()21f x f x -≤的解集.【详解】解：由题知，()f x 是偶函数， 故())lgg x x =为奇函数，()001g a =⇒=，对()()()()12121122000x x g x g x x g x x g x <<⇒<<⇒<<， 即()f x 在()0,∞+上为增函数，()()()22121212113f x f x x x x x x ∴-≤⇔-≤⇔-≤⇔≤≤， 即()()21f x f x -≤的解集为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力.14．已知x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩目标函数2z x y =-+的最大值为2，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(]1,2-【解析】根据x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，且直线20kx y -+=过定点()0,2 ，将目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，根据2z =时，最优解在直线220x y -+=上，而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=结合图形求解.x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，直线20kx y -+=，过定点()0,2目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，在y 轴上截距最大时，目标函数值最大， 当2z =时，可知：最优解在直线220x y -+=上， 而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=. 所以最大值点为()0,2 如图所示：所以实数k 的取值范围是(]1,2-. 故答案为：(]1,2- 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.15．已知椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且190AF B ∠=︒.圆M 与1F A 的延长线，1F B 的延长线，直线AB 都相切，则圆M 的半径为______. 【答案】2【解析】根据题意，设M e 分别与直线AB ，1F A 延长线，1F B 延长线切于P ，Q ，R ，得出四边形1F RMQ 是正方形，利用椭圆的定义，列式转化即可求出圆M 的半径.解：由题知，设M e 分别与直线AB ，1F A 延长线，1F B 延长线切于P ，Q ，R ， 则四边形1F RMQ 是正方形，而11F R F B BP =+，11FQ F A AP =+， 故1111442F R FQ F A F B AB a +=++==， 所以122M F R r ==. 故答案为：22.【点睛】本题考查圆的半径和椭圆的定义的应用，以及圆的切线，考查转化思想和计算能力. 16．四边形ABCD 中，5AB =，6BC =，7CD =，8DA =，则四边形ABCD 面积最大值为______. 【答案】4105【解析】在△CBD ，△ABD 中，由余弦定理可得21cos 20cos 1C A -=- 再由三角形面积公式，可得21sin 20sin ABCD C A S +=，结合同角基本关系可得()2222120840cos 1ABCD A C S +-+=+，利用余弦定理的有界性求得最值．【详解】ABD ∆中，22258258cos BD A =+-⨯⨯，①CBD ∆中，22267267cos BD C =+-⨯⨯，② 由①②得：21cos 20cos 1(*)C A -=-，1158sin 67sin 22ABCD S A C =⨯⨯+⨯⨯21sin 20sin (**)ABCD C A S ⇒+=,(*)(**)两式平方相加得：()2222120840cos 1ABCD A C S +-+=+， ∴222121208401681ABCD S +++=≤，∴ABCD S=故答案为：【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，考查运算能力与逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 满足：11223111,(1)(2)3n n a a a a a a a n n n +=+++=++L . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：122311111n n a a a a a a ++++<L . 【答案】（1）n a n =（2）见解析【解析】（1）根据已知利用递推关系式推出1(1)(2)n n a a n n n +=+≥，化为111n n a a n n +⋅=+，令nn a b n=，则11b =，且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11n n b b +-=，进一步推出1n n b a n ==，，即可得到{a n }的通项公式；（2）根据（1）求出12231111n n a a a a a a ++++L ，然后利用裂项相消法求和，即可证明. 【详解】（1）由122311(1)(2)3n n a a a a a a n n n ++++=++L 得： 122311(1)(1)(*)3n n a a a a a a n n n -+++=-+L ，两式相减得：1(1)(2)n n a a n n n +=+≥. 当1n =时，122a a =满足此式， 故对*n N ∈，有1(1)n n a a n n +=+， 化为111n n a a n n +⋅=+. 令nn a b n=，则11b =， 且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11()0,0n n n n b b b b +--=≠，故11n n b b +-=，即212311k k b b b --====L ， 故n 为奇数时，1n n b a n ==，. 又21b =，故22221k k b b b -====L ， 故n 为偶数时，1n n b a n ==，， 故n a n =.（2）由（1）可得：122311*********(1)n n a a a a a a n n ++++=+++⨯⨯⨯+L L 1111112231n n =-+-++-+L1111n =-<+.【点睛】本题考查数列的求和，数列递推式，涉及到的知识点有根据数列的和之间的关系类比着往前或往后写一个式子，两式相减得到数列的项之间的关系，构造新的关系式，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.18．四棱锥P ABCD -中，2PA AD ==，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ∠=︒.PBA ∠为锐角，平面PBA ⊥平面PBD .（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）先作AM PB ⊥于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD AM ⇒⊥平面PBD AM BD ⇒⊥，又在底面中可得90ABD ∠=︒，从而可得DB ⊥平面PAB PA DB ⇒⊥，结合90P D A PA ∠=︒⇒⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，可得所求. 【详解】（1）作AM PB ⊥于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD AM ⇒⊥平面PBD AM BD ⇒⊥，取AD 中点为Q ，则190BQ CD QD QA ABD BC QD ====⇒∠=⇒︒P， 又PBA ∠为锐角，∴M 、B 不重合，DB ABDB DB AM ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面PAB PA DB ⇒⊥与PA AD PA ⊥⇒⊥平面ABCD . （2）取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系（其中x 轴与HB 平行），则31,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()002P ,,， 由（1）的证明知：平面PAB 法向量为33,02BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ， 设平面PCD 法向量为(),,m x y z =u r，则220031002y z m PD m CD x y ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩u u u v v u u u v v ， 令(13,3x m =⇒=，333722cos 77,3m BD m B m BD D-+⋅==⋅⋅=u r u u u r u r u u r u u u r u u r . 【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直与线线垂直间的相互转化，考查了空间直角坐标系求二面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题；19．已知抛物线()220x py p =>上有两点A ，B ，过A ，B 作抛物线的切线交于点()2,1Q --，且90AQB ∠=︒.（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）斜率为1且过焦点的直线交抛物线于M ，N 两点，直线()1y x c c =+<交抛物线于C ，D 两点，求四边形MNDC 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）128227. 【解析】（Ⅰ）根据过A ，B 作抛物线的切线交于点()2,1Q --，且90AQB ∠=︒，设过点Q 的直线方程为()12y k x +=+，即21y kx k =+-，代入22x py =，得到()222210--=-x pkx p k ，根据相切，则由0∆=，得2420pk k +-=，再根据两切线垂直求解.（Ⅱ）MN l ：1y x =+与24x y =联立，利用弦长公式得到8M N MN x x =-=.CD l ：y x c =+与24x y =，利用弦长公式得到=-=C D CD x x ，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC=，然后由梯形的面积公式求解. 【详解】（Ⅰ）过点Q 作22x py =的切线，方程为()12y k x +=+，即21y kx k =+-，代入()22210222x py x p k kx p ---⇒==，0∆=，化为2420pk k +-=，122112k k p p-=-⇒=-⇒=. （Ⅱ）MN l ：1y x =+与24x y =联立，得 2440x x --=，故8M N MN x x =-==.CD l ：y x c =+与24x y =，得：2440x x c --=，=-=C D CD x x且由1616011c c ∆=+>⇒-<<， 由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC=，故(()(1812=⨯+=-MNDCS c ，t =，则()()(()222MNDC S tt t =-∈.()()()(2222226463S t t t t t t ⎛⎫'=-+-⋅=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭.在0,3⎛ ⎝⎭上，0S '>，在3⎛⎝上，0S '<.故当t =S 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系和平面几何图形的面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如下表：这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡()71418a a ≤≤只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a -元的价钱处理. （Ⅰ）若16a =，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？【答案】（Ⅰ）()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩；（Ⅱ）119只.【解析】（Ⅰ）根据题意，可求出利润y 关于需求量x 的函数解析式：()()2*1416,N 30,a x a a x ay x a x a⎧++-<=∈⎨≥⎩，即可求出当16a =时，y 关于x 的解析式；(Ⅱ)根据离散型分布特点，分类讨论，求出出栏112只和出栏119只时的分布列和期望，比较即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）当x a <时，()()()()2704056401416y x a a x a x a a =-+--⋅-=++-，当x a ≥时，30y a =，()()2*1416,N 30,a x a a x a y x a x a⎧++-<=∈⎨≥⎩， 当16a =时，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩.（Ⅱ）若出栏112只，则16a =， 由（Ⅰ）知，当16a =时，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，记1Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.1Y 可取420，450，480，()14200.15P Y ==，()14500.2P Y ==，()14800.65P Y ==，1Y 的分布列为：()14200.154500.24800.65465E Y =⨯+⨯+⨯=，若出栏119只，则17a =，记2Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩， 2Y 可取417，448，479，510，()24170.15P Y ==，()24480.2P Y ==， ()24790.25P Y ==，()25100.4P Y ==，2Y 的分布列为：()24170.154480.24790.255100.4475.9E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.综上可知，()()1277E Y E Y <，则养鸡厂出栏119只时，利润最大. 【点睛】本题考查求函数的解析式以及离散型分布列和期望，考查利用已学知识解决实际利润问题，考查解题和计算能力.21．已知函数2()x f x e a =-，()x g x e b =-，且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线（e 为自然对数的底数）. （1）求b a -；（2）设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-，讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】（1）1ln 222b a -=-（2）见解析 【解析】（1）由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线，分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程，列出等量关系可得b a -；（2）利用换元将2()2x xh x e e m '=--转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数()h x 的零点个数. 【详解】（1）2()2=1xf x e '=，可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+，即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==，0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=，1y x b =+-， 故ln 21122a b +-=-， 可得1ln 222b a -=-.（2）由（1）可得22ln 21()()22x x x x h x e a e b mx e e mx =----+-=--， 2()2x x h x e e m '=--，令x t e =，则22y t t m =--，=1+8m ∆，1m >时，220t t m --=有两根，12,t t 且120t t <<，12()2()()0x x h x e t e t '=--=，得：2ln x t =，在2(ln ),t -∞上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞上，()0h x '>，此时，2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时，(),h x x →+∞→+∞时，()h x →+∞.故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点.1m =时，1()2()(1)2x x h x e e '=+- ()h x 最小值为(0)0h =，故()h x 仅有1个零点.01m <<时，12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<，同1m >，()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点，0m =时，2()x x h x e e =-，仅在(0)0h =有1个零点，108m -<<时，对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ，12()2()()x x h x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上，()0h x '>，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞，()0h x '>.由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩，可得1211042t t <<<<， 故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.222111111111(ln )ln (2)ln h t t t m t t t t t t =--=---1111[(1)(12)ln ]t t t t =-+-11110,120,ln 0t t t -<-><Q ，故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上，1()(ln )0h x h t <<，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x <，在2(ln ,)t +∞上，()h x 有1个零点：0x =.18m ≤-时，2()20x x h x e e m '=--≥恒成立， ()h x 为增函数，()h x 仅有1个零点：0x =.综上，0m ≤或1m =时，()h x 有1个零点，01m <<或1m >时，()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. （Ⅰ）当3πϕ=时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为()2,1M ，求直线l 的斜率.【答案】（Ⅰ10y -+-=，2211612x y +=；（Ⅱ）32-.【解析】（Ⅰ）根据直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，消去t 即可直线的的普通方程.根据椭圆C 的极坐标方程222483cos 4sin ρθθ=+，变形为22223cos 4sin 48ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求解.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=，利用A ，B 中点为()2,1M ，且直线过()2,1M ，利用参数的几何意义求解.【详解】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，所以12212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 消去t10y -+-=，所以直线l10y -+-=；因为椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. 所以22223cos 4sin 48ρθρθ+=，223448x y +=，椭圆C 的直角坐标方程为：2211612x y +=. （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=， 因为A ，B 中点为()2,1M所以120t t +=， 故312cos 8sin 0tan 2k ϕϕϕ+=⇒==-， 所以直线l 的斜率为32-.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数()2f x x a x =-+-. （Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由()()222x a x x a x a -+-≥---=-，求得()f x 最小值，再由23a -≥求解.（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.，再分类求解.【详解】（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()()20x a x --≤时取等，故()f x 最小值为2a -，235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.0a =时，如图所示：不合题意舍去.4a =时，如图所示：由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，综上，4a =，6m =.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷(全国Ⅰ卷)理科数学试卷(二)及答案
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷（全国Ⅰ卷）理科数学试卷（二）★祝考试顺利★注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分,测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A＝{x|x<6且x∈N*},则A的非空真子集的个数为(A)30 (B)31 (C)62 (D)63(2)已知复数z满足：z·(1＋i)＝1＋3i,则|z|＝(A)2 (B)4 (C)5 (D)5(3)ABCO,O为原点,A(1,－2),C(2,3),则B点坐标为(A)(3,1) (B)(－1,－5) (C)(1,5) (D)(－3,－1)(4)袋中有4个球,3个红色,1个黑色,从中任意摸取2个,则恰为2个红球的概率为(A)13(B)23(C)14(D)12(5)已知sin(32π＋α)＝13,则co sα＝(A)13(B)－13(C)23(D)－223(6)双曲线C1：22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1相切,则双曲线C1的渐近线方程为(A)y＝±12x (B)y＝±13x (C)y＝±22x (D)y＝±33x(7)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S37－S23＝a,则S60＝(A)4a (B)307a (C)5a (D)407a(8)李冶,真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人。
金元时期的数学家。
与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。
在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法),用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(一)数学(理)试题(解析版)
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,5,100A B x x mx =-=+-=，若{}5A B =I ，则A B =U （ ）A ．{}1,3,5-B ．{}1,2,5--C ．{}1,2,5-D ．{}1,3,5--【答案】B【解析】由题意，5是方程2100x mx +-=的解，可得3m =-，求出集合B ，即得A B U .【详解】{}5A B =Q I ，5∴是方程2100x mx +-=的解，255100m ∴+-=，3m ∴=-.解方程23100x x --=，得5x =或2x =-，{}5,2B ∴=-. 故{}1,2,5A B ⋃=--. 故选：B . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（ ） A ．65-B ．65C ．152-D ．152【答案】C【解析】根据复数的分类，实部为0，虚部不为0的复数是纯虚数，可得m 的值. 【详解】依题意()()()()3252561521556z m i i m mi i m m i =-+=+-+=++-为纯虚数，故2150560m m +=⎧⎨-≠⎩，则152m =-.故选：C. 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3．已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（ ） A ．2人 B ．18人C ．40人D ．36人【答案】B【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案； 【详解】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20， 则随机抽取60人，高级教师有9601830⨯=人. 故选：B. 【点睛】本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.4．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ） A ．100 B ．25C ．50D ．252【答案】D【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入，求出圆C 的方程，即可求出CMN ∆面积的最大值. 【详解】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2,4,20D E F =-=-=-. 故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=，即()()221225x y -+-=，故CMN ∆的面积11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =∠=⨯⨯∠≤⨯⨯⨯=. CMN ∴∆面积的最大值为252.故选：D . 【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（ ）A ．8B ．3C ．2log 3D ．()22log log 3【答案】C【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案； 【详解】运行该程序，第一次，8y =，2n =，8x =； 第二次，3y =，3n =，3x =；第三次，2log 3y =，4n =，2log 3x =；第四次，()22log log 3y =，5n =，()22log log 3x =； 第五次，()22log log 322log 3y ==，6n =，2log 3x =；第六次，()22log log 3y =，7n =，()22log log 3x =； 第七次()22log log 322log 3y ==，8n =，2log 3x =，此时输出x 的值为2log 3. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1丈10=尺.）A ．45000立方尺B ．52000立方尺C ．63000立方尺D ．72000立方尺【答案】B【解析】对几何体进行分割得到()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++，再利用体积公式计算，即可得到答案. 【详解】进行分割如图所示，面AEFD ⊥面1111A B C D ，AN EF ⊥，DQ EF ⊥，11AM A D ⊥，11DP A D ⊥，连结,PQ MN ，面//AEFD 面BCGH ，故()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++11(820)652156652651584032252000+⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭立方尺.故选：B. 【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若954S =，45a =，则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为（ ） A ．20182019B ．10091010C ．40362019D ．20191010【答案】D【解析】求出数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】由等差数列性质可知，95954S a ==，解得56a =；而45a =，故1d =，则1432a a d =-=，故2(1)3222n n n n nS n -+=+=， 2121121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭， 设1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，则111111112212233411121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-=-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-+L ， 故2019220192019201911010T ⨯==+. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8．()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．296 B ．296-C ．1864-D ．1376-【答案】C【解析】写出二项式()532x -展开式的通项，即可求出2x 的系数. 【详解】二项式()532x -展开式的通项为()()51532rrrr T C x -+=-，所以2x 的系数为()()()3523252355532221327206410801864C C C ⨯⨯-+⨯--⨯⨯⨯-=---=-.故选：C . 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于基础题.9．如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．1208286++B ．12085+C ．1208246++D ．120162+【答案】C【解析】根据三视图，画出几何体的直观图，即可求表面积. 【详解】在长方体中，沿平面ABD 和平面BCD 进行切割，得到该几何体的直观图为多面体ABD BCD EFGH --，如图所示则()14416,484242EFGH ADEH S S =⨯==⨯+⨯=, ()()1146420,6842822DEFC BCFG S S =⨯+⨯==⨯+⨯=,18432,442822ABGH ABD S S ∆=⨯==⨯⨯=12243462BCD S ∆=⨯=故所求表面积16242028328246S =+++++1208246=+. 故选：C . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．32D 【答案】B【解析】由60,AMB AM BM ∠=︒=，得AMB ∆为正三角形. 设圆M 的半径为r ，由23OB AB =u u u r u u u r ，得2r OA =u u u r .由勾股定理得222+2r r a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得r =再根据点(),0M a 到直线0bx ay -=2r =，整理可求双曲线C 的离心率. 【详解】因为60,AMB AM BM ∠=︒=，故AMB ∆为正三角形.设圆M 的半径为r ，则圆心M 到直线AB 的距离2d=. 由23OB AB =u u u r u u u r，得3OB OA =u u u r u u u r ，故2r OA =u u u r .因为OM a =u u u u r ，由勾股定理得222+r a ⎫=⎪⎪⎝⎭，解得r =又点(),0M a 到直线0bx ay -===化简可得2243b a =，故2c e a ===.故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于中档题. 11．定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且'()2()2f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22xef x -<的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A 【解析】令2()2(),xf xg x x R e+=∈，可求函数()g x 在R 上单调递减. 由2()2x e f x -<，可得()1g x >，从而可求不等式()22xe f x -<的解集.【详解】令2()2(),x f x g x x R e +=∈，则''2()2()4()xf x f xg x e--=， 由'()2()2f x f x -<，得'()42()0f x f x --<，'()0g x ∴<，∴函数()g x 在R 上单调递减.由2()2xef x -<，可得2()2x f x e +>，2()21xf x e +∴>， 即()()(0)(01,1,)g x g g x g =∴>>Q ， 又函数()g x 在R 上单调递减，0x ∴<. 故不等式2()2xe f x -<的解集为(),0-∞.故选：A . 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 12．已知数列{}n a n -的前n 项和为n S ，且211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑，20181S =，则1a =（ ） A ．32B ．12C ．52D ．2【答案】A【解析】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于1a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，故当n 为奇数时，12121,21,n n n n a a n a a n +++-=-⎧⎨+=+⎩22n n a a ++=， 当n 为偶数时，12121,21,n n n n a a n a a n ++++=-⎧⎨-=+⎩24n n a a n ++=， 2018122018(122018)1S a a a =+++-+++=L L ，即1220182018(12018)11009201912a a a ⨯+++⋅⋅⋅+=+=⨯+，又122018a a a ++⋅⋅⋅+()()13520172462018a a a a a a a a =+++++++++L L(12504(1620164)2504)2a a ⨯+⨯⎛⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭([]112504)1252(1620164)a a =+⨯+++⨯+⨯11210082021a =++⨯，所以，11009201911210082021a ⨯+=++⨯，110092019100820212a ⨯-⨯=10082019201910082021322⨯+-⨯==.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑的灵活运用.二、填空题13．已知向量()()2,3,24,7m m n =-+=-u r u r r ，则,m n u r r夹角的余弦值为_________.【答案】65【解析】求出,,n m n r u r r ，根据cos ,m n m n m n=u r ru r r g u r r 即得. 【详解】()()2,3,24,7,m m n m =-+=-=u r u r r u rQ()()21,2,52m n mn n +-∴==-=u r r u r r r，2132865cos ,135m n m n m n⨯+-⨯-∴===⨯u r ru r r g u r r .故答案为：865. 【点睛】本题考查两向量的夹角公式，属于基础题.14．已知实数,x y 满足1121x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则3z x y =+的最小值为_________.【答案】1【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即求z 的最小值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由3z x y =+，可得3y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距.平移直线3y x z =-+，当直线过可行域内的点()0,1A 时，3z x y =+最小，最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为_________. 【答案】e【解析】设ln ()x f x x =，由2112ln ln x x x x <，得1212ln ln x x x x <，得函数ln ()x f x x=在()0,m 上为增函数，即求m 的最大值.【详解】设ln ()x f xx=，由2112ln lnx x x x<，得1212ln lnx xx x<，即当120x x m<<<时，都有()()12f x f x<，∴函数ln()xf xx=在()0,m上为增函数，'21ln()0xf xx-∴=≥，0x e∴<≤.故m的最大值为e.故答案为：e.【点睛】本题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.16．已知函数()sin()f x A xωϕ=+（0A>，0>ω）的部分图象如图所示，其中,33Mπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象的一个最高点，4,03Nπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象与x轴的交点，将函数()f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移4π个单位长度，得到函数()g x的图象，则函数()g x的单调递增区间为________.【答案】5,93183k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k∈Z）【解析】根据图像得到()f x的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到()g x的解析式，进而求出单调区间.【详解】依题意，3A=，4433Tπππ=-=，即4Tπ=，故12ω=，1()3sin2f x xϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；将,33π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 中，可知12232k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，故23k πϕπ=+，k ∈Z ；不妨设0k =，故函数1()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后， 得到3sin 63y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位长度， 得到()3sin 643g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33sin 63cos 6233x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令26223k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得593183k k x ππππ+≤≤+（k ∈Z ），故函数()g x 的单调递增区间为5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故答案为：5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17．在ABC ∆中，4BAC π∠=，2AB =，2BC =，M 是线段AC 上的一点，且tan AMB ∠=-（1）求AM 的长度； （2）求BCM ∆的面积.【答案】（1）12AM =（2 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin AMB ∠，cos AMB ∠的值，再利用正弦定理求得AM 的长度；（2）根据AMB CMB π∠+∠=可得sin CMB ∠，再利用正弦定理求得BM ，进一步利用余弦定理求得CM ，最后代入三角形的面积公式，即可得答案； 【详解】（1）因为sin tan cos AMBAMB AMB∠∠==-∠且22sin cos 1AMB AMB ∠+∠=，联立两式，解得sin 3AMB ∠=，1cos 3AMB ∠=-，故sin sin()ABM AMB A ∠=∠+1432326-=-⨯=， 由正弦定理sin sin AM ABABM AMB =∠∠，所以sin 1sin 2AB ABM AM AMB ⋅∠==∠. （2）因为AMB CMB π∠+∠=，故1cos cos()cos 3CMB AMB AMB π∠=-∠=-∠=，所以sin 3CMB ∠=， 在ABM ∆中，由正弦定理sin sin BM ABA AMB=∠， 故sin 3sin 2AB A BM AMB ⋅==∠，在BCM ∆中，由余弦定理2222cos BC BM CM BM CM CMB =+-⋅⋅∠， 得21793124423CM CM =+-⨯⨯⨯， 解得2CM =或1CM =-（舍去）.所以BCM ∆的面积113sin 22223S BM CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图所示，在三棱锥S BCD -中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，SBD ∆为等边三角形，30BCD ∠=︒，24CD DB ==.（1）若SA AD =，求证：SD CA ⊥； （2）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为419565，求AD 的长. 【答案】（1）见解析（2）12AD =或32. 【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得BC ⊥平面SBD ，从而推出BC SD ⊥，再证明BA SD ⊥，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直； （2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤u u u r u u u r，平面SCD 的一个法向量3,1)m =u r，利用向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）依题意，2BD =，在BCD ∆中，4CD =，30BCD ∠=︒， 由余弦定理可求得，23BC = ∴222CD BD BC =+，即BC BD ⊥，又平面SBD ⊥平面BCD ，平面SBD I 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面SBD BC SD ⇒⊥， 等边SBD ∆中，SA AD =， 则BA SD ⊥，且BC BA B =I ， ∴SD ⊥平面BCA ，∴SD CA ⊥.（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出则(0,0,0)B ，(23,0,0)C ，(0,2,0)D ，3)S ，故(23,2,0)CD =-u u u r ，(0,1,3)SD =u u u r，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m CD m SD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即2320,30,x y y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，则3y =1z =，所以3,1)m =u r，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤u u u r u u u r，故(0,23)A λλ-，则(0,23)BA λλ=-u u u r，故||sin cos ,||||m BA m BA m BA θ⋅==⋅u r u u u ru r u u u r u r u u u r 2223334195655(2)3λλλλ==⋅-+，解得14λ=或34，则12AD =或32. 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如下所示：（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.（2）（ⅰ）见解析，3.05（ⅱ）方案一，见解析【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与6.635比较大小，即可得到结论；（2）（ⅰ）X的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；（ⅱ）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；【详解】（1）依题意，完善列联表如下所示：22500(150********) 4.8312302703002006.635K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关. （2）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4， 则1111(0)455100P X ==⨯⨯=， 1148(2)2455100P X ==⨯⨯⨯=，375(3)4100P X ===，14416(4)455100P X ==⨯⨯=，故X 的分布列为：所以187516305()0234 3.05100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为1751691(3)0.91100100100P P X =≥=+==， 小明选择方案二获得奖品的概率为214444112896(3)20.896555551251000P P X =≥=⨯⨯⨯+⨯===，因为21P P <，所以小明选择方案一更有可能获得奖品. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F .（Ⅰ）若124PF PF +=，求点P 到点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭距离的最大值；（Ⅱ）若过点()4,0且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C 分别交于,E F 两点，点()()0,,0,A B A y B y 分别在直线22,F E F F 上，比较22,F A F B 的大小关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）最大值52；（Ⅱ）22F A F B =，见解析. 【解析】（Ⅰ）根据122PF PF a +=，得点P 在椭圆C 上. 设点()00,P x y ，则2200143x y +=，可得[]220002,2113,44PM x x x =-+∈-，可求PM 最大值；（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.把直线EF 的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理证明220AF BF k k +=，可得22OF A OF B ∠=∠，即得线段22,F A F B 的大小关系.【详解】（Ⅰ）依题意，点P 在椭圆C 上.设点()00,P x y ，则2200143x y +=，故()22222220000000011311319322444444PM x y x x x x x x ⎛⎫=-+=-++-=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中[]02,2x ∈-， 故当02x =-时，2max254PM=， PM ∴的最大值为52.（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=.依题意()()()22223244364120kk k ∆=--⨯+->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 因为2222121211AF BF EF FF y yk k k k x x +=+=+-- ()()()()()1212121212258441111k x x x x k x k x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=+=---- ()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 所以直线2AF 的倾斜角与直线2BF 的倾斜角互补，即22OF A OF B ∠=∠. 因为2OF AB ⊥，所以22F A F B =. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.21．已知函数2()f x x m =+（Ⅰ）若12=-m ，证明：函数()f x 在区间()2,3上有且仅有1个零点；（Ⅱ）若关于x 的不等式22()f x m ≥在[]1,2上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）⎡⎣.【解析】（Ⅰ）先判断函数()f x 在区间()2,3上的单调性，再根据零点存在定理即可证明；（Ⅱ）令()2()g x f x =，由题意只需[]2min )1,2(,g x m x ∈≥.对m 分类讨论即求.【详解】（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域为()0,∞+. 当12=-m 时，22()ln 6ln 2mf x x x x x =+=-， 则()('2622()23f x x x x x x x x=-=-=， 当()2,3x ∈时，'()0f x >，∴函数()f x 在()2,3上单调递增，又()()()()2346ln 296ln30f f =--<， 故函数()f x 在()2,3上有且仅有1个零点.（Ⅱ）令2()2()2ln g x f x x m x ==+，则[]2'4()4,1,2m x mg x x x x x+=+=∈；当16m ≤-时，'()0g x ≤对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递减，2min ()(2)8ln 2g x g m m ∴==+≥，又16m ≤-Q ，不等式无解，m ∴∈∅；当4m ≥-时，'()0g x ≥对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递增，2min ()(1)2g x g m ∴==≥，又4m ≥-Q，m ≤≤当16m -<<-4时，令'()0g x =，得()1,22x =，当12x <<时，'()0g x <；当22x <<时，'()0g x >， ()g x ∴在⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， ()2min ln 224m m m g x g m ⎛⎫∴==-+-≥ ⎪⎝⎭⎝⎭，11ln 242m m ⎛⎫∴-+-≤ ⎪⎝⎭； 令4m t =-()14t <<，则114ln 22t t +≤， 易知14ln 2y t t =+在()1,4t ∈上单调递增， 则14ln 2t t +4>，从而114ln 22t t +≤不可能成立，舍去. 综上所述，实数m的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查零点存在定理，考查导数在函数中的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为3x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6cos ρα=.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线12,C C 交于,M N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及,M N 的极坐标（要求写出的极径非负，极角在[)0,2π上）.【答案】（Ⅰ）26sin 360ρρθ--=；2260x y x +-=；（Ⅱ）极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,M N 的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.由6cos ρα=得26cos ρρα=，即得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由曲线12,C C 的直角坐标方程求出直线MN 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；先求出,M N 两点的直角坐标，再化为极坐标.【详解】（Ⅰ）依题意，曲线()221:345C x y +-=，故22636x y y +-= 即曲线1C 的极坐标方程为26sin 360ρρθ--=；曲线2C :26cos ρρα=，即2260x y x +-=，则曲线2C 的直角坐标方程为2260x y x +-=.（Ⅱ）联立222263660x y y x y x ⎧+-=⎨+-=⎩， 两式相减可得6-=x y ，即cos sin 6ρθρθ-=cos 64θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即直线MN 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 联立22660x y x y x -=⎧⎨+-=⎩故29180x x -+=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或60x y =⎧⎨=⎩ 故,M N的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于中档题.23．已知函数()324f x x x =++-（1）求不等式()8f x >的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x m x x +>+-的解集为R ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),13,-∞-+∞U ；（2）()3,-+∞.【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；（2）分离参数等价转化为224m x x >---恒成立，求解2()24g x x x =---的值域即可得解.【详解】（1）依题意，3248x x ++->当3x <-时，原式化为3428x x --+->， 故73x <-，解得3x <-； 当32x -≤≤时，原式化为3248x x ++->故3x >，解得3x >；综上所述，不等式()8f x >的解集为()(),13,-∞-+∞U（2）依题意，23243x x m x x ++-+>+- 即224m x x >--- 224m x x >---Q 对x ∈R 恒成立 令2()24g x x x =---=()()222213,224,224,215,2x x x x x x x x x x ⎧---≤⎧-+-≤⎪=⎨⎨--+>-++>⎩⎪⎩ max ()(1)3,3g x g m ∴==->-故实数m 的取值范围是()3,-+∞【点睛】此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.。
湖北省百校大联盟2020届高三数学考试(理科)试题答案
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2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥2}，则A∩B=()A. [2,3)B. [3,4)C. (3,4)D. [2,4)2.已知在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z2=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2iD. −2i3.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，从该校的所有教师中抽取56人进行调查，若按分层抽样，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师()人．A. 180B. 170C. 172D. 1824.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为M，离心率为√3，过点M与点(0,−2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为()A. x24−y22=1 B. x24−y23=1 C. x22−y24=1 D. x22−y2=15.执行如图所示的程序框图，若输入x=−1，则输入y的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深，丈，问积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈．问它的容积是多少？”则该曲池的容积为()立方尺(1丈=10尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其容积公式为)A.56503B. 1890C.56303D.566037. 若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=2a 5−1，则S 17=( )A. −17B. −172C. 172D. 178. 已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 49. 设(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，那么a 0+a 2+a 4a 1+a 3的值为( )A. −122121B. −6160C. −244241D. −110. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A. (4,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (12,0)11. 已知f(1−x 1+x)=1−x 21+x 2，则曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. y =−xB. y =xC. y =2xD. y =−2x12. 已知数列{a n }满足：a 1=1,a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 3091二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，，E 为CD 中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．16. 已知直线l 1:y =2x +3a ，l 2:y =(a 2+1)x +3，若l 1//l 2，则a =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，AB =5，AD =CD =4，BC =3，A =60∘．(1)求tan∠ABD 的值； (2)求ΔBCD 的面积．18.如图，在三棱锥A−BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．(1)证明：AB⊥CD；(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值．19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计反感10不反感8总计30．已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.设A是圆O：x2+y2=16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线y=kx−2(k≠0)与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．21.函数(1)当−2<a<0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m≥1时，不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查描述法、区间的定义，以及交集的运算，属于基础题．先解出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x≥3}，∴A∩B={x|3≤x<4}=[3,4)．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．先求出z=1−i，再根据复数的运算法则，进行化简计算即可．解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．∴z2=(1−i)2=−2i．故选D．3.答案：D解析：本题考查了分层抽样，属于基础题．根据各层所占的抽样比相等进行列式求解即可．解：设该校其他教师共有n人，由已知得16n =5626+104+n，解得n=52．∴该校共有教师26+104+52=182人．故选D．4.答案：C解析：本题考查了双曲线的性质，属于基础题．根据斜率公式、渐近线方程求出b，根据离心率计算a，从而得出答案．解：双曲线的右顶点为M(a,0)，渐近线方程为：y=±bax．∴过M与点(0,−2)的直线斜率为2a =ba，∴b=2，又e=ca =√a2+b2a=√3，∴a=√2．∴双曲线的方程为x22−y24=1．故选C．5.答案：B解析：解：模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，可得y=0，故选：B．模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟程序运行正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积，比较基础．根据已知容积公式求解即可．解：根据已知容积公式可得该曲池的容积为[(2×10+5)×20+402+(2×5+10)×14+242]6×10=56503．故选A．7.答案：D解析：本题考查等差数列的性质及求和问题，属于较易题．求得a9后根据等差数列的性质即可求解，解：因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，所以a1=2(a1+4d)−1，所以a1+8d=1，即a9=1，所以S17=17×(a1+a17)2=17a9=17.故选D．8.答案：B解析：本题考查的知识点棱锥的几何特征，简单几何体的三视图，难度中档．作出直观图，计算各棱长，即可得出结论．解：如图所示，该几何体是三棱锥P−ABC，故可得PC=AB=2√2,BC=4,PA=4√2,PB=AC=2√6，故该几何体的最短棱长为2√2，故选B．9.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35.解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=−1，即可求得要求式子的值．解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，两式相加除以2可得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=−121，结合a5=C55(2)0(−x)5=−1，故a0+a2+a4a1+a3=122−120=−6160，故选B．10.答案：C解析：本题考查抛物线的性质，属于基础题．根据p的几何意义，即焦点F到准线l的距离是p进行求解．解：∵焦点F到准线l的距离为2，∴p=2．抛物线方程为y2=4x，∴焦点F的坐标为(1,0)．故选：C．11.答案：C解析：本题考查函数的解析式的求法以及利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属中档题．先求函数的解析式，再求导函数，最后求切线方程．解：令1−x1+x =t得x=1−t1+t，则f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=4t2+2t2=2tt2+1，所以f(x)=2xx+1，所以f′(x)=2−2x 2(x2+1)2，∴f′(0)=2，又f(0)=0，故切线方程为y =2x ． 故选C ．12.答案：D解析：解：已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a 2n−1−1a 2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091． 故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．13.答案：1解析：本题考查了向量的数量积和向量的加减法，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，计算即可．解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22−12×2×2×cos60°−12×22=1，故答案为1．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)．15.答案：[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z解析： 本题考查函数的图像与性质的应用，属于基础题．首先，根据函数图象，确定所给函数的解析式f(x)，然后结合三角函数的单调性求解其单调增区间即可． 解：根据函数的部分图象，可得14⋅T =14⋅2πω=2π3−5π12=π4，求得ω=2，所以函数，再把(5π12,2)代入函数的解析式，可得，所以，而|φ|<π2，故φ=−π3，故函数，令，求得，故答案为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．16.答案：−1解析：因为l1//l2，所以a2+1=2，a2=1，所以a=±1，又两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a=−1．17.答案：解：(1)由已知，在△ABD中，由余弦定理有，所以BD=√21，由正弦定理有，所以sin∠ABD=ADBD ·sinA=2√77，因为BD>AD，所以∠ABD为锐角，所以cos∠ABD=√217,tan∠ABD=2√33；(2)在△BCD中，，因为C∈(0,π)，所以，所以ΔBCD的面积．解析：本题考查正弦定理余弦定理及面积公式，同时考查同角关系式．(1)由余弦定理，求出BD，然后结合正弦定理和同角关系式求解即可；(2)由余弦定理求出cos C，得sin C，然后由面积公式求解即可．18.答案：证明：(1)∵在三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．∴△ABD≌△ABC，∴BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，∴AE⊥CD，BE⊥CD，∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB．解：(2)在△ABD中，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=7，∴BD=√7，∵DE=1，∴BE=√6，AE=√3，∴AB2=BE2+AE2，∴AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，∵V A−BCD=V C−ABD，∴13×CD×S△ABE=13×ℎ×S△ABD，∴ℎ=CD×S△ABES△ABD =2×12×√6×√312×3×3×sin60°=2√63，∴sinα=ℎCD =√63．∴CD与平面ABD所成角的正弦值为√63．解析：(1)推导出△ABD≌△ABC，从而BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，从而AE⊥CD，BE⊥CD，进而CD⊥平面ABE，由此能证明CD⊥AB．(2)由余弦定理求出BD=√7，从而AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，由V A−BCD=V C−ABD，求出ℎ=2√63，由此能求出CD与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.答案：解(1)由已知数据得K2的观测值k=30×(10×8−6×6)216×14×16×14≈1.158<2.706．所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C82C142=413，P(X=1)=C61C81C142=4891，P(X=2)=C62C142=1591．所以X的分布列为X的均值为E(X)=0×413+1×4891+2×1591=67．解析：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．(1)利用已知条件填写联列表，然后代入公式计算观测值，与观测值表中的数据比较即可；(2)依题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，写出分布列，然后根据期望公式求解即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x0,y0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q在直线l上，∴x0=x，|y0|=43|y|.①∵点A在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k 16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2| =54×|64k16k 2+9|=8016|k |+9|k|≤2√16|k |×9|k|=103，当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号， ∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动，引起点Q 的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A 和点Q 坐标之间的关系式，并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，利用直线的斜率，求直线M′N 的方程，即可求得直线M′N 所过定点，并求出△PM′N 面积的最大值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x +1+ax (x >0)，令g(x)=x 2+x +a ，∵−2<a <0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x+alnx，根据m2≥2m−1≥1，问题转化为g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)不等式f(x)>−x，即为|x−2|−|x+1|>−x，当x≥2时，x−2−x−1>−x，解得x>3，即x>3；当x≤−1时，2−x+x+1>−x，解得x>−3，即−3<x≤−1；当−1<x<2时，2−x−x−1>−x，解得x<1，即−1<x<1，综上可得原不等式的解集为{x|x>3或−3<x<1}；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，即有a2−2a≥f(x)的最大值，由|x−2|−|x+1|≤|x−2−x−1|=3，当且仅当x≤−1时，等号成立，可得a2−2a≥3，解得a≥3或a≤−1．所以实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当x≤−1时，当−1<x<2时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(Ⅱ)由题意可得a2−2a≥f(x)的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。
百校联盟2020届高考复习全程精练模拟卷理科数全国卷1模拟答案解析(5页)
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百师联盟2020届高三考前预测诊断联考全国卷1理科数学试卷及答案解析
百师联盟2020届高三考前预测诊断联考全国卷1理科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设全集是R ，集合301x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则()A B =R （ ）A.[]2,1-B.[)2,1- C.(]3,2-D.(],2-∞2.已知复数()12z i i =+⋅，则z =（ ） A.2i --B.2i -+C.2i -D.12i --3.已知向量()2,a t =-，()1,1b =-，若()//a b b -，则实数t =（ ） A.2-B.4-C.2D.44.已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若46a =，2a ，4，3a 成等比数列，则6S =（ ） A.36B.32C.28D.305.如图是2020年3月3日至4月8日M 国及该国的N 市新冠肺炎的累计确诊病例（单位：例）的折线图，则下列四种说法中正确的是（ ）①3月15日N 市新冠肺炎的累计确诊病例在M 国总累计确诊病例中占比超过13②3月3日至3月7日M 国的新冠肺炎累计病例的增长率小于4月4日至4月8日的增长率③3月19日至4月4日N 市新冠肺炎的累计确诊病例增加了51例④3月3日至4月8日M 国和N 市的新冠肺炎的累计确诊病例都呈递增趋势 A.①②③④B.①③④C.①③D.②③④6.已知圆()2224:5C x m y m ++=+直线:240l x y --=，若圆C 与直线l 有两个不同的交点，则m 的取值范围为（ ） A.()(),13,-∞-+∞B.[]1,3-C.(][)–,02,∞⋃+∞D.()2,4-7.如图为定义在R 上的函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象，则关于它的导函数()y f x '=的说法错误的是（ ）A.()f x '存在对称轴B.()f x '的单调递减区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.()f x '在()1,+∞上单调递增D.()f x '存在极大值8.已知函数()2sin 23f x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数，且()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，则满足条件的ϕ的一个值为（ ） A.3π-B.6π-C.3π D.56π 9.我国古代重要的数学著作《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题以及该类问题的具体解法，因其中涉及到余数问题，所以将其称为“中国剩余定理”又名“孙子定理”．若正整数N 除以正整数m 的余数为n ，记为()mod N n m =，例如()122mod5=．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值为（ ）A.16B.17C.22D.2310.已知ABC A B C '''-是体积为54的三棱柱，该三棱柱的五个面所在的平面截其外接球O 所得的截面面积相等，则球O 的表面积为（ ）A.15πB.28πC.30πD.60π11.已知1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线C 上一点，122PF PF =，若线段1PF 的中点Q 恰好在双曲线C 的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）12.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 321x x x f x x +-=-，定义函数()()()(),,f x f x mg x m f x m⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，（其中m 为实数），若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()()g x f x =，则整数m （ ）A.有最大值5B.有最小值5C.有最大值6D.有最小值6第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.为提高网课的教学质量，某省教育厅组织4位优秀教师录制A 、B 、C 三节课的视频，要求每位教师录制其中一节，且每节课至少有一人录制，其中甲、乙两位教师录制同一节视频，则这三节课的不同录制方案有______种．14.已知抛物线()2:20C x py p =>上有三个点()1,1A x a -、()2B y 、()3,1C x a +，其中()0,1a ∈，若A 、B 、C 三点到焦点的距离依次构成等差数列，则p =______．15.已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．三、解答题（题型注释）16.在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量2sin2cos 22,⎛⎫=- ⎪⎝⎭A A m ，3cos cos 22,⎛⎫= ⎪⎭A A n ， m n ⊥．（1）求角A ；（2）若CD 是AB 边上的中线，11cos 12B =，CD =ABC 的面积． 17.如图1中，四边形ABCD 为平行四边形，DP AB ⊥于点P ，且有33AB PB ==，BD =APD △沿DP 边折起至QPD △的位置，如图2，满足6PQB π∠=．（1）证明：QB ⊥平面BCDP ； （2）求二面角P DQ C --的正弦值．18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左焦点()1,0F -，斜率为()0k k ≠的直线l 经过点F 且与椭圆C 交于A 、B 两点，点P 为AB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线OP 与直线()0x m m =<交于点Q ，且满足FQ FP PQ +=，求m 的值．19.为了提高奶牛产奶的安全性，某大型奶牛场决定定期对奶牛进行X 病毒检测，检验采用对血液样本进行试剂盒检测的方式，该试剂盒不仅操作简单，而且可以准确诊断出牛奶质量是否达标．在试剂盒研制初期，研究人员为验证该试剂盒是否精准，特别选择了已经知道诊断结论的5头奶牛（其中感染X 病毒的奶牛只占少数），做了一次验证性检测，已知在这5头奶牛中任意抽检两头，两头都未感染X 病毒的概率是35． （1）求出这5头奶牛中感染X 病毒的头数？（2）若用该试剂盒检测这5头奶牛，直到感染X 病毒的奶牛全部检出时检测结束，现有两套检测方案：（提前抽取了5份血液样本）方案一：先任取1个样本进行检测，若检测呈阳性（表示该奶牛感染X 病毒），则检测结束；若呈阴性（表示该奶牛未感染X 病毒），则在剩余4个样本中任取2个，并将这2个样本取部分混合在一起检测，若呈阳性，则再在这2个样本中任取一个检测，否则在剩余2个未检测样本中任取一个检测．方案二：先任取2个样本，并将这2个样本取部分混合在一起检测，若检测呈阳性，则再在这2个样本中任取一个检测；若呈阴性，则对剩余3个未检测样本进行逐个检测，直到感染X 病毒的牛全部检出，检测结束．设随机变量1ξ，2ξ分别表示用方案一、方案二进行检测所需的检测次数． （ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列和数学期望；（ⅱ）假设每次检测的费用都相同，请说明方案一和方案二哪一个更适合？ 20.已知函数()2ln 2f x x x ax =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，求()()122f x f x -的最小值．21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 是以(为圆心，r 为半径的圆，直线l 的参数方程为8x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线C 相切．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）点P 、Q 为曲线C 上两点，若3POQ π∠=，求POQ △面积的最大值．22.已知函数()11f x x x =+--． （1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）设a 为集合A 中最大的元素，若正数x ，y 满足124a x y+=，证明：4142x y xy ++≥.四、新添加的题型Θ，满足下列性质： ①对任意的m ∈R ，0m m Θ=； ②对任意的m ，n ∈R ，m n n m Θ=Θ；③对任意的m ，n ，t ∈R ，()()()()2m n t t m n n t m t ⎡⎤⎣ΘΘ=Θ⋅+Θ+Θ-⎦； 则24Θ=______，函数()4xxf x e e =Θ的最小值为______．参考答案1.A【解析】1.解分式不等式确定集合A ，然后根据集合运算的定义求解．301x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭{|(3)(1)0}x x x =+->{|3x x =<-或1}x >＝()(),31,-∞-⋃+∞，[]3,1A =-R，[]2,2B =-，[]()2,1A B =-R ．故选：A ． 2.A【解析】2.首先根据复数代数形式的乘法法则求出z ，再根据共轭复数的概念计算可得； 解：因为()122z i i i =+⋅=-+，所以2z i =--． 故选：A 3.C【解析】3.首先求出a b -的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 解：因为()2,a t =-，()1,1b =-，所以向量()3,1a b t -=-+，因为()//a b b -，所以()310t -+=，所以2t =．故选：C 4.D【解析】4.设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，根据题中条件求出公差，得出通项公式，再由求和公式，即可求出结果.由题意，设等差数列{}n a 的公差为()0d d >， 因为46a =，2a ，4，3a 成等比数列， 所以()()2562616a a d d ⋅=-⋅+=， 解得2d =或5-（舍），所以1630,22n a d a n =-==-，()60106302S +⨯==．故选：D. 5.B【解析】5.根据统计拆线图，逐一判断，可得选项.①3月15日N 市新冠肺炎累计确诊病例有33例，M 国总累计病例有87例，占比超过13，①正确；②3月3日至3月7日M 国新冠肺炎累计病例的增长率为3716211616-=，4月4日至4月8日增长率为228214147214214107-==，21716107>，②错误；③3月19日至4月4日N 市新冠肺炎的累计确诊病例增加了994851-=例，③正确； ④3月3日至4月8日M 国和N 市新冠肺炎的累计确诊病例都呈递增趋势，④正确． 故选：B . 6.A【解析】6.求出圆心到直线的距离，由这个距离小于半径可得．圆心是(,0)m -由题意，圆心到直线的距离d =<3m >或1m <-． 故选：A ． 7.D【解析】7.由题意得()f x '是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案；由题可知，()y f x '=为二次函数，可知函数()y f x =的极大值点为2-，极小值点为1， 可得0a >，且两根分别是2-和1．所以()f x '存在极小值，对称轴12x =-，单调递减区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．A ，B ，C 正确．故选：D. 8.B【解析】8.先根据()f x 是偶函数得32k ππϕπ-=+，即：56k πϕπ=+，k Z ∈，再对k 取值验证即可.因为()f x 是偶函数，32k ππϕπ-=+，所以56k πϕπ=+，k Z ∈． 当0k =时，56πϕ=，()2cos2f x x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，不满足题意； 1k =-时，6πϕ=-，()2cos2f x x =-在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，满足题意． 故选：B . 9.C【解析】9.由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环机构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变换情况，可得答案.解：由题可知该程序框图的功能是：利用循环结构计算并输出大于10的能同时被3除余1和被5除余2的最小整数.由已知中的四个选项的数据可得：故输出的n 为22. 故选：C. 10.D【解析】10.结合图象设底面边长为a ，侧棱长为l ，结合几何体，利用半径相等，建立方程，求解,,a l r 和球的表面积.由题易得该三棱柱为正三棱柱，设其底面边长为a ，侧棱长为l ，结合图形,三棱柱的五个面所在的平面截其外接球O所得的截面面积相等，可知截面圆半径相等，即球心到三棱柱的5个面的距离相等，设为d．外接球的球心在上下底面正三角形中心连线的中点，由球的半径相等可得2222232r d d⎛⎛⎫=+=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a=．可得该三棱柱的体积21542V a==⨯，得6a=，r=．所以球O的表面积为2460rππ=．故选：D11.C【解析】11.由双曲线定义求得14PF a=，22PF a=，由中点得OQ a=，12QF a=．直线OQ 是渐近线，得斜率为ba-，从而1tanbQOFa∠=，求得1cosaQOFc∠=，再用余弦定理可建立,a c的关系式，求得离心率．由122PF PF=知点P在双曲线的右支上，由122PF PF=，122PF PF a-=可得14PF a=，22PF a=，因为Q为1PF中点，所以OQ a=，12QF a=．直线OQ是渐近线，斜率为ba-，1tanbQOFa∠=，又111sintancosQOF bQOFQOF a∠∠==∠，设1sin QOF bk∠=，1cos QOF ak∠=，（0k>），则22221b k a k+=，1kc==，所以1cos a QOF c∠=， 在1QOF 中22214cos 2a a c a QOF c ac+-∠==，解得c e a ==．故选：C ． 12.A【解析】12.依题意若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()()g x f x =．则有()m f x ≤在()1,x ∈+∞恒成立，只需()min m f x ≤，利用导数研究函数()f x 的单调性与最值即可得解；解：由题若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()()g x f x =．则有()m f x ≤在()1,x ∈+∞恒成立，只需()min m f x ≤，()()2ln 21f x x x x -+-'=-，令()ln 2h x x x =-+-，()110h x x '=-+>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又由()3ln310h =-+<，()4ln 420h =-+>，所以()03,4x ∃∈满足()00h x =，即有00ln 2x x =-，此时()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()()()00000000min00232ln 3225,611x x x x x x f x f x x x x -+-+-====+∈--，所以5m ≤．故选：A 13.6【解析】13.由题意可分两步完成，先选一节课甲乙共同录制，剩余两节课安排其余两位老师录制，由分步乘法计数原理可得结果.第一步选一节课甲乙两位老师录制，共有133C =种录制方案，第二步安排另两位老师录制剩余两节课，共有222A =种不同的录制方案，根据分步乘法计数原理可知，共有326⨯=种不同的录制方案， 故答案为：6 14.4【解析】14.设抛物线C 焦点F ，准线方程为2py =-，根据题意，得到2211222p p p y a a ⎛⎫+=-++++ ⎪⎝⎭，求出21y =，代入抛物线方程，即可得出结果.设抛物线C 焦点F ，准线方程为2py =-， 由A 、B 、C 到焦点的距离依次成等差数列得2BF AF CF =+， 所以2211222p p p y a a ⎛⎫+=-++++ ⎪⎝⎭，所以21y =，即()B ，代入22x py =得4p =．故答案为：4. 15.22n n +【解析】15.1=，说明数列是等差数列，再求通项公式.由)211n a =-得)211n a +=1=，即数列2=为首项，公差为1的等差数列，所以()2111n n =+-⨯=+，所以22n a n n =+．故答案为：22n n +16.（1）3A π=；（2）【解析】16.（1）首先根据m n ⊥得到2sin 106A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，从而得到1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再求角A 即可.（2）首先利用正弦两角和公式得到sin C =::7:5:8a b c =，设7a x =，5b x =，8c x =，利用余弦定理得到1x =，再利用正弦定理求面积即可.（1）因为m n ⊥，所以0m n ⋅=．即223sincos 2cos cos 12sin 102226A A A m n A A A π⎛⎫⋅=⋅-=--=--= ⎪⎝⎭， 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以5666A πππ-<-<， 所以66A ππ-=，即3A π=．（2）因为11cos 14B =，()0,B π=，所以sin B =()sin co 111s co s s sin in sin 2142147A B A C A B B =+=+=+⨯=，所以::sin :sin :sin 7:5:8a b c A B C ===， 设7a x =，5b x =，8c x =，在ACD △中，2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅， 所以22221251620x x x =+-，所以1x =， 即7a =，5b =，8c =，故12sin ABCSab C ==17.（1）证明见解析；（2）7.【解析】17.（1）根据线面垂直的判定定理，先证明DP ⊥平面PQB ，得到DP QB ⊥，再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）分别以PB ，PD 为x ，y 轴，过点P 作z 轴//BQ ，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，根据向量夹角公式求出两法向量的夹角，进而可得出结果. （1）证明：因为33AB PB ==，所以2AP =，1PB =．在PQB △中，由余弦定理得2222cos PB PQ BQ PQ BQ PQB =+-⋅∠，得QB =则222BQ PB PQ +=，所以QB PB ⊥．又因为DP PB ⊥，DP QP ⊥，PB QP P ⋂=，且PB ⊂面PQB ，QP ⊂面PQB ， 所以DP ⊥平面PQB ．因为QB ⊂平面PQB ， 所以DP QB ⊥， 又因为PBDP P =，且PB ⊂面BCDP ，DP ⊂面BCDP ，所以QB ⊥平面BCDP ．（2）分别以PB ，PD 为x ，y 轴，过点P 作z 轴//BQ ，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0P ，()0,2,0D，()3,2,0C，(Q ，(1,DQ =-，()0,2,0PD =，()3,0,0DC =．设平面PDQ 的一个法向量为()1,,n x y z =，1100n DQ n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2020x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令1z =，则()13,0,1n =-， 设平面CDQ 的一个法向量为()2,,n x y z =2200n DQ n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2030x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令2z =，则()20,2n =．所以121212cos ,27n n n n n n ⋅<>===⋅，因此1242sin ,7n n <>=， 所以二面角P DQ C --的正弦值为7．18.（1）22143x y +=；（2）4m =-.【解析】18.（1）根据题意可得121c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即可解出,a c ，再根据,,a b c 的关系222a b c =+可求出2b ，即可求出椭圆C 的方程；（2）设()11A x y ，，()22B x y ，以及():1AB l y k x =+，将直线方程与椭圆方程联立可得12x x +，即可求出点P 的坐标，再联立直线OP 与直线()0x m m =<的方程可求得点Q的坐标，由FQ FP PQ +=可得FQ FP ⊥，然后根据直线的斜率之积为1-即可解出m ．（1）由题121c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2,1,a c =⎧⎨=⎩所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）因为焦点()1,0F -，设():1AB l y k x =+， 与椭圆方程联立得，()22224384120k x k x k +++-=，设()11A x y ，，()22B x y ，，则2122843k x x k +=-+．因为P 为AB 的中点，所以21224243P x x k x k +==-+，2343P P k y kx k k =+=+， 即22243,4343k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，∴3:4OPl y x k =-，则3,4m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由FQ FP PQ FQ FP +==-可得FQ FP ⊥，所以()3141mk k m -⋅=-+，所以4m =-．19.（1）1头；（2）（ⅰ）分布列见解析，()1135ξ=E ；()2125ξ=E ；（ⅱ）方案二更适合．【解析】19.（1）根据两头都未感染X 病毒的概率是35，列式求解； （2）（ⅰ）由题意可知1ξ的可能取值为1，3，2ξ的可能取值为2，3，再依次根据随机变量表示的事件求概率，列出分布列，并计算数学期望；（ⅱ）由（ⅰ）可知，数学期望小的合适.（1）设有x 头奶牛感染X 病毒，则由题意有252535x C C -=，解得1x =或8x =（舍）．所以这5头奶牛中有1头感染X 病毒．（2）（ⅰ）1ξ的可能取值为1，3，()11115115C P C ξ===，()1435P ξ==，所以1ξ的分布列为则()113555E ξ=⨯+⨯=； 2ξ的可能取值为2，3，由（1）可知()214222153235C C P C C ξ===，所以()2325P ξ==， 所以2ξ的分布列为()223555E ξ=⨯+⨯=．（ⅱ）因为()()21E E ξξ<，所以方案二所需的检测次数期望较少，所需的检测费用期望较低，所以方案二更适合． 20.（1）20x y --=；（2）14ln 22+-.【解析】20.（1）求出'(1)f 再利用点斜式方程，即可得答案；（2）由1x ，2x 是函数()f x 的极值点，得1x ，2x 是方程22210x ax -+=的两不等正根，再利用韦达定理得到120x x a +=>，1212x x ⋅=，利用消元法将()()122f x f x -表示成关于2x 的函数，再利用换元法和导数求函数的最小值. 解：（1）当1a =时，()ln 2f x x x x =+-，()122f x x x'=+-， ()11f =-，()11f '=，则11y x +=-，所以2y x =-，即曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为20x y --=．（2）函数()2ln 2f x x x ax =+-，()0,x ∈+∞，()2221x ax f x x-+'=，因为1x ，2x 是函数()f x 的极值点，所以1x ，2x 是方程22210x ax -+=的两不等正根，则有2480a ∆=->，120x x a +=>，1212x x ⋅=，所以a >22a >，即10,2x ⎛∈ ⎝⎭，22x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，且有211221ax x =+，222221ax x =+， ()()()()221211122222ln 2ln 2f x f x x x ax x x ax -=+--+- ()()22221112222ln 21ln 21x x x x x x =+---+--22112222ln ln 1x x x x =-+-+-222222222222111322ln ln 1ln 2ln 212222x x x x x x x ⎛⎫=-+--=---- ⎪⎝⎭令22t x =，则1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()13ln 2ln 2122g t t t t =----，()()()22211131222t t g t t t t --'=+-=， 当1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减，当()1,t ∈+∞上单调递增． 所以()()min 14ln 212g t g +==-． 所以()()122f x f x -的最小值为14ln 22+-． 21.（1）4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）【解析】21.（1）根据圆的圆心和半径写出圆的普通方程，再利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求得圆的极坐标方程；（2）设()1,P ρθ，2,3Q πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式121sin 23POQ S πρρ=△，再利用三角函数的有界性，即可得答案；解：（1）直线l的参数方程化简为一般式方程为80x +-=，因为直线l 与曲线C 相切，则13822r +-==． 所以圆的方程为()(2214x y -+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入化简得 曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）设()1,P ρθ，2,3Q πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，121sin 4sin 4sin 23462POQ S πππρρθθ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△1cos cos cos 26226ππθθθθθθ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭当262ππθ+=，即6πθ=时，POQ △的面积最大，最大值为22.（1）1,2A ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析【解析】22.（1）去绝对值可得()2,12,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，然后分1,11,1x x x -≤≤-><三种情况解不等式，进而可求出答案； （2）易知12a =，可得122x y +=，即12xy x y =+，进而4142x y xy xy xy ++=+，然后利用基本不等式可证明结论成立.（1）由题意，()2,1112,112,1x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩，解不等式()1f x ≤，即121x <-⎧⎨-≤⎩或1121x x -≤≤⎧⎨≤⎩或121x >⎧⎨≤⎩，解得12x ≤． 即不等式()1f x ≤的解集1,2A ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦.（2）由题可知12a =，则122x y +=，所以22xy x y =+，即12xy x y =+.则4142x y xy xy xy++=+， 因为0,0x y >>，所以0xy >，所以44xy xy +≥=，当且仅当4xy xy=，即1x =，2y =时等号成立. 所以4142x y xy ++≥. 23.12 6【解析】23.利用新定义运算，转化()24240Θ=ΘΘ，再由性质③，①可得；这样可得()00()0022a b a b ab a b ab a b Θ=ΘΘ=Θ+Θ+Θ-=++-，函数4()42x x f x e x=++-，再由基本不等式可得最小值． 根据定义可得()242400802042824212Θ=ΘΘ=Θ+Θ+Θ-=++-=；()444004002x x xx x xf x e e e e e e ⎛⎫=Θ=ΘΘ=Θ+Θ+Θ- ⎪⎝⎭4442226x x x x e e e e =++-=++≥=，当且仅当ln 2x =时等号成立． 故答案为：12；6．。
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