最全利用递推关系求通项

利用递推关系求通项
1．等差数列及等比数列直接利用公式求解
2．若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式1 1 2n n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 求解。

3．形如=n a 1-n a +)1(-n f 的递推式,利用叠加法，将)1(1-+=-n f a a n n ，
2-n a +)2(-n f ,=2a 1a +)1(f …,各式相加，得 =n a 1a +∑-=1
1)(n k k f (n ≥2)
4．形如=n a )1(-n f 1-n a 的递推式，利用迭代法，将=n a )1(-n f 1-n a ，1-n a =)2(-n f 2-n a ，…
=2a )1(f 1a ，相乘得=n a 1a )1(f )2(f …)1(-n f
5．形如1-n a －n a =p 1-n a n a （P 为常数且P ≠0）的数列 可化为n
n n a p a a 1,111求出=--的表达式，再求n a . 6．形如1a =a ，1+n a =q n a +r(q 、r 为常数，q 0≠,1 0≠r )，求n a 的数列：待定系数法
7．形如n n n q pa a +=+1（p,q 为常数，且q ≠0）的数列，可化为q
q a q p q a n n n n 111+∙=++求解。

8．形如10-+=>()()n n a pa f n p 型的数列，可以通过一是利用迭代法；
二是由)(1n f pa a n n =+-和)1(1+=++n f pa a n n ，消去n a .得)()1(121n pf n f a p a n n -+=--+，再构
造辅助数列来解.但这两种方法都要讨论n 的奇偶性，这样给解题带来不方便. 另外，这类型的数列通项公式也可直接 利用构造辅助数列法来求解.
9．形如1()()n n a f n a g n +=+的递推式：设辅助数列{()}h n 使()()(1)
h n f n h n =+，则 1()()(1)
n n h n a a g n h n +=++即：1(1)()()(1)n n a h n a h n g n h n ++=++，令()n n b a h n =可求n b ，n a 10．形如11-++=n n n qa pa a {)2(≥n }求通项的方法：
(1) 若1p q += 时，1p q =-,则11)1(-++-=n n n qa a q a ，即)(11-+--=-n n n n a a q a a
知11
21()()n n n a a a a q -+-=-- (2) 若1≠+q p 时，存在1x `2x 满足)(11211-+-=-n n n n a x a x a x a ，整理得
121211)(-+-+=n n n a x x a x x a ，有+1x q x x p x -==212, 把2,1x x 看成方程02=--q px x 的两个根，容易求出2,1x x 。

从而数列}{11n n a x a -+是等比数列，进而可求n a 。

解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，当αβ≠时，n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,；
当αβ=时，1()n n a n x αβ=+，代入初始值求得B A ,；当12(cos sin ),(cos sin )x r i x r i θθθθ=+=-时
(cos sin )n n a r n n αθβθ=+，代入初始值求得B A ,。

注：把方程02=--q px x 叫做递推式11-++=n n n qa pa a 的特征根方程，其中2,1x x 是特征根方程02=--q px x 的两个根。

11．已知1a 及1n n n a a a αβγ
++=
+(其中,,αβγ为实常数，且αγβ≠，求数列{}n a 的通项公式。

方法：作如下运算：1()()n n n n n n n a a a a a a a αβαλβγλαλλγβλλγγγαλ
++-+----=-==-+++-(λα≠) 令λγβλαλ-=-，(这说明λ是函数()x f x x αβλ
+=+的不动点，当1a λ=时，显然n a λ=(*n N ∈)
这时可求出1,2λ=(由αγβλα≠≠知) 当2()40γαβ-+≠时，有12111122(),()n n n n n n a a a a a a αλαλλλλλγγ++---=--=-++ 所以
11111222n n n n a a a a λλαλλαλλ++---=--- ，即12n n
a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为12αλαλ--的等比数列，从而 1111112122
()n n n a a a a λλαλλλαλ++---=--- ，由此不难求出n a 当2()40γαβ-+=时，上述方法失效，这时()12
λαγ=-但下式仍成立：即 1()()n n n a a a αλλλγ
+---=+ 故仍有12()111(1)n n n n a a a a λλγλγλαλλαλλ+-+++==+----- (λγαλ+=- ) 11n a λαλ=+--即1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1αλ-的等差数列，由此可求出n a 的表达式. 12．归纳、猜想:如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

1、数列{}n a 中，1a =1，且a 2k =a 2k －1+(－1)k ，a 2k+1=a 2k +3k
，其中k=1，2，3，…。

求数列{}n a 的通项公式n a 。

2、数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1a =1，n S =n 2n a (n ∈N *
),求数列{}n a 的通项公式. 3、数列{}n a 中，1a =1,当n ≥2时其前n 项和n S 满足),2
1(2-=n n n S a S 求{}n a 的通项公式。

4、数列{}n a 中，)(32,1*11N n a a a n n n ∈+==+，求数列{}n a 的通项公式。

5、已知数列{n a }中，1a =1，n a +1-n a =2
n (n ≥2，n∈N).求通项公式n a . 7、已知数列{n a }中，1a ＝1，1+n a ＝n 2＋2n a (n ∈N *)，求通项公式n a ．
8、已知数列{a n }定义如下：1a =1，n a +21-n a =3ｎ·2n
(n ≥2，n∈N).求通项公式n a . 9、己知数列{}n a 中，a 1=0a ，1+n a =n
n ka a +1(k ≠0)，求n a 10．在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a。