递推公式求通项公式的几种方

由递推公式求通项公式的常用方法

由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

方法一：累加法

形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。

例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列

（1）求c 的值 （2）求{a n }的通项公式

解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列

2

022)2(2)()

,3,2,1(111113

12

2===++⋅=+∴=+=⋅=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又

（2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入

)

1(2322

2121342312-=-⨯=-⨯=-⨯=--n a a a a a a a a n n

将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2

－n 又a 1＝2,a n ＝n 2

－n ＋2 方法二：累乘法 形如

a n +1

a n

＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例2：设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3…)，求它的通项公式。

解：由题意知a 1=1,a n ＞0(n ＝1,2,3…) 由(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0 得(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0 因为a n ＞0，则a n ＋1＋a n ≠0，所以

a n +1a n = n

n ＋1

,将n ＝1,2, …,n －1,分别代入得 a 2a 1 = 1

2 a 3a 2 = 23

……

a n

a n －1

= n －1n

将上面n －1个式子相乘得，a n a 1 ＝12×2

3×…×n －1n

又a 1=1，则a n ＝1

n

点评：本题先由已知求出递推公式，化成了a n +1

a n

＝g (n )的类型，再利用累乘法求通项公式。

方法三：构造新数列法

构造新数列法：将递推关系经过适当的恒等变形转化为特殊数列的递推关系（等差数列、等比数列、常数列或等差数列和等比数列的求和形式），以下类型均采用这种解法。

类型一: a n ＋1＝A a n ＋B(A,B ∈R,A ≠0) 线性递推关系 当A ≠0，B ＝0时，a n ＋1＝A a n 是以A 为公比的等比数列； 当A ≠0，B ≠0时，a n ＋1＝A a n ＋B 可变形为a n ＋1＋B A －1＝A （a n ＋B A －1

），此时就构造出了{a n ＋B A －1}这样一个以a 1＋B

A －1

为首项，以A 为公比的新的等比数列，从而求出a n 。

例3：（07年全国理科卷）已知数列{a n }中，a 1＝2, a n ＋1＝（ 2 －1）（a n ＋2）n ＝1,2,3,…，求{a n }的通项公式。

解：由题设：a n ＋1＝（ 2 －1）（a n ＋2）变形为a n ＋1－ 2 =（ 2 －1）（a n － 2 ） 所以数列{a n － 2 }是首项为2－ 2 公比为 2 －1的等比数列，则

a n － 2 ＝ 2 （ 2 －1）n 即{a n }的通项公式为a n ＝ 2 [（ 2 －1）n ＋1]

类型二：a n ＋1＝p a n ＋cq n

(其中p,q,c 均为常数)

方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为a n ＋1＋x q

n +1＝p(a n ＋xq n

),将递推关

系a n ＋1＝p a n ＋cq n 待入得p a n ＋cq n ＋x q n +1＝p(a n ＋xq n

)解得x ＝c p －q

,则由原递推公式构

造出了a n ＋1＋c p －q ·q n +1＝p(a n ＋c p －q ·q n )，而数列{a n ＋c p －q

·q n

}是以为首相以为公比

的等比数列。

方法二：将a n ＋1＝p a n ＋cq n

两边分别除以q n +1

,则有a n +1p n +1 ＝a n p n ＋cq n

p

n +1然后利用累加法

求得。

可见对于同一个题型的构造的新数列类型可能不唯一，所以要注意巧妙构造。 例4：（07年唐山二摸）在数列{a n }中，a 1＝16，a n ＝12a n ＋12·1

3n (n ∈n *,n ≥2) ,求{a n }的通项公式。

解：由a n ＝12a n ＋12·13n 可变形为a n +13n ＝12(a n ＋13n-1),则数列{ a n +13

n }是以为a 1+13＝1

2首

项以12为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得a n +13

n ＝（12）n 因此a n ＝12n －1

3

n

类型三：a n ＋2＝p a n ＋1＋q a n (其中p,q 均为常数)

方法：先把原递推公式转化为a n ＋2－s a n ＋1= t(a n ＋1－s a n )，其中s,t 满足⎩⎨⎧s ＋t ＝p

s ·t ＝－q

，

再利用等比数列来求解。

例5：已知数列{a n }中, a 1=1, a 2=2, a n ＋2＝23a n ＋1＋1

3a n , 求{a n }的通项公式。

解：由a n ＋2＝23a n ＋1＋1

3a n 可转化为a n ＋2－s a n ＋1= t(a n ＋1－s a n ) 即a n ＋2＝（s ＋t ）a n ＋1－s · t a n ,