常见的由递推式求通项公式方法

(a2 a1 ) (a3 a2 ) (a4 a3 ) (an an1 )
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n 1 n 1 所以 a n a1 1 n 1 1 1 3 1 a1 ， a n 1 2 2 n 2 n
a2k 1 a2k 3k a2k 1 (1) k 3k ，即 a2k 1 a2k 1 3k (1) k a3 a1 3 (1) ，
a5 a3 32 (1) 2
…… ……
a2k 1 a2k 1 3k (1) k
变式:（2004，全国 I，个理 22．本小题满分 14 分） 已知数列 {an } 中a1 1，且 a2k=a2k－1+(－1)K, （I）求 a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 解： a2k a2k 1 (1) k ， a2k 1 a2k 3k a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….
an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列
an 1 2n.
即
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下， 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强 的数列问题中， 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 本文总结出几种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型 1
an 1 an f (n)
解法：把原递推公式转化为 an1 an f (n) ，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 an 满足 a1
类型 2
an1 f (n)an
an1 f (n) ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
解法：把原递推公式转化为 例:已知数列 an 满足 a1 解：由条件知 之，即
2 n a n ，求 an 。 ， a n 1 3 n 1
an1 n ，分别令 n 1,2,3, , (n 1) ，代入上式得 (n 1) 个等式累乘 an n 1
解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为： an1 t p(an t ) ，其中 t 换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列 an 中， a1 1 ， an1 2an 3 ，求 an .
q ，再利用 1 p
解：设递推公式 an1 2an 3 可以转化为 an1 t 2(an t ) 即 an1 2an t t 3 . 故递推公式为 an1 3 2(an 3) ,令 bn an 3 ， 则 b1 a1 3 4 ,且
又 a1 解： a n
3(n 1) 1 3(n 2) 1 3 2 1 3 1 a1 3(n 1) 2 3(n 2) 2 3 2 2 3 2
3n 4 3n 7 5 2 6 3 3n 1 3n 4 8 5 3n 1 。
*
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
bn1 bn d ,bn 是等差数列
新疆 源头学子小屋
变式:递推式： an1 pan f n 。解法：只需构造数列 bn ，消去 f n 带来的差异． 类型 4 。 an1 pan q n （其中 p ， q 均为常数， ( pq( p 1)(q 1) 0) ） （或
wxckt@126.com
an 2n 1(n N * ).
3
（II）证法一： 4 1 4 2 ...4 n
k 1 k 1
k 1
(an 1)kn .
4( k1 k2 ...kn )n 2nkn .
2[(b1 b2 ... bn ) n] nbn , 2[(b1 b2 ... bn bn1 ) (n 1)] (n 1)bn1.
a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ... n ( 2 ... n ) (1 n ) , a2 a3 an1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

a n 1 a a n 1 2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an1 2
②－①，得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0,
① ②
nbn2 (n 1)bn1 2 0.
③－④，得 即
nbn2 2nbn1 nbn 0,
bn2 2bn1 bn 0,
bn2 bn1 bn1 bn (n N * ),
bn 是等差数列
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
bn1 an1 3 2. bn an 3
所 以 bn 是 以 b1 4 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 则 bn 4 2n1 2n1 , 所 以
an 2n1 3 .
变式:（2006，重庆,文,14） 在数列 an 中，若 a1 1, an1 2an 3(n 1) ，则该数列的通项 an _______________ （key: an 2 n1 3 ） 变式:（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分） 已知数列 an 满足 a1 1, an1 2an 1(n N * ). （I）求数列 an 的通项公式； （II）若数列{bn}滿足 4 1 4 2 4 n （Ⅲ）证明：
b 1 b 1 b 1
(an 1)bn (n N * ), 证明：数列{bn}是等差数列；
a n 1 a1 a2 n ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an 1 2
（I）解： an1 2an 1(n N * ),
an1 1 2(an 1),
2
a1 1,
类型 3
a a a2 a n! 1, 3 3, 4 4, , n n ，将以上 n 个式子相乘，得 an (n 2) 2 a1 a2 a3 an1
。 an1 pan q （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1) 0) ）
4

a a1 a2 n ... n . a2 a3 an1 2

ak 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 k 1 k . Biblioteka Baidu , k 1, 2,..., n, k 1 k ak 1 2 1 2 2(2 1) 2 3.2 2 2 2 3 2
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
（2）假设当 n k (k 2) 时， bk 2 (k 1)d , 那么
k 2 k 2 bk [2 (k 1)d ] 2 [(k 1) 1]d . k 1 k 1 k 1 k 1 这就是说，当 n k 1 时，等式也成立 bk 1
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
ak 2k 1 2k 1 1 k 1 , k 1, 2,..., n, （III）证明： 1 ak 1 2 1 2(2k ) 2 2
将以上 k 个式子相加，得
3 1 a 2 k 1 a1 (3 32 3k ) [( 1) (1) 2 (1) k ] (3k 1) [( 1) k 1] 2 2
1
将 a1 1 代入，得
a 2 k 1 a2k

变式（ : 2004， 全国 I,理 15． ） 已知数列{an}， 满足 a1=1，an a1 2a2 3a3 (n 1)an1 (n≥2)，则{an}的通项 an
1 ___
n 1 n2
解：由已知，得 an1 a1 2a2 3a3 (n 1)an1 nan ，用此式减去已知式，得 当 n 2 时， an1 an nan ，即 an1 (n 1)an ，又 a2 a1 1，
1 1 ， a n 1 a n 2 ，求 an 。 2 n n
解：由条件知： a n 1 a n
1 1 1 1 n n n(n 1) n n 1
2
分 别 令 n 1,2,3, , (n 1) ， 代 入 上 式 得 (n 1) 个 等 式 累 加 之 ， 即
证法二：同证法一，得
(n 1)bn1 nbn 2 0
令 n 1, 得 b1 2. 设 b2 2 d (d R), 下面用数学归纳法证明 （1）当 n 1, 2 时，等式成立
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
bn 2 (n 1)d .
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com
http://www.xjktyg.com/wxc/
根据（1）和（2） ，可知 bn 2 (n 1)d 对任何 n N 都成立
1 k 1 1 3 (1) k 1 ， 2 2 1 1 a 2 k 1 (1) k 3k (1) k 1 。 2 2
1 n 1 1 n2 1 2 3 (1) 1(n为奇数) 2 2 经检验 a1 1 也适合， a n n n 1 3 2 1 (1) 2 1(n为偶数) 2 2
a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n 1 1 n n n a1 a2 a3 an1 2 3 4 a1 n
2 2 ， a n 3 3n 3n 1 a n (n 1) ，求 an 。 例:已知 a1 3 ， a n 1 3n 2