(打印)分式复习
分式-复习课件-(共34张PPT)
x2
1 x2
2
9
变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x2+
x
x
的1x2值. 的1x2 值.
变:已知 x+ 1=3 ,求
x
x2 /x2 的值. x4+x2+1 /x2
1
x2
1 x2
1
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达： a c ac b d bd
27xy2
-2(a-b)2 -8(b-a)3
关键找出分子和 分母的公因式
m2+4m+4
(3)
m2 - 4
关键找出分母的
2.通分
最简公分母
(1) x 与 y (2)
6a2b
9ab2c
a-1
6
a2+2a+1 与 a2-1
约分与通分的依据都是: 分式的基本性质
整体代入法化简思想：
【【例例11】】已已知知：：1x
a0 1
an
1
an
(a 0)
(1)(3)3 1 (3)3
1 27
(2)(3a)2 b2 (a2b2 )3 解：原式= 32 a2b2 a6b6
6、用科学记数法表示：
例： 0.00065 6.5104
(1) 0.000030
3.0 105
7、约分
:
例(1)
6x2y 12 xy 2
(2) x 1 2x 1 3x 2 x 1 1 x x 1
复习回顾一:
1.解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
2.解分式方程的一般步骤
八年级(下)数学期中专题复习(分式)
（一）分式的加减1．计算：x x y ++yy x+=________． 2.计算：32b a -32a a =________．3．计算：32ab +214a=________． 4．计算：2129m -+23m -+23m +．5．计算：21a -+21(1)a -=________． 6．当分式211x --21x +-11x -的值等于零时，则x=_________． 7．已知a+b=3，ab=1，则a b +ba的值等于________ 8．化简1x +12x +13x 等于（ ） A ．12x B ．32x C ．116x D ．56x9．计算34x x y -+4x y y x +--74yx y-得（ ）A ．-264x y x y +- B ．264x yx y+- C ．-2 D ．210．计算a-b+22b a b+得（ ）A ．22a b b a b -++B ．a+bC ．22a b a b ++ D ．a-b11.计算：222x x x +--2144x x x --+． 12.计算：21x x --x-1．13.先化简，再求值:3a a --263a a a +-+3a，其中a=32（二）分式乘除一、选择题1、计算（2x y）2·（2y x ）3÷（-y x ）4得（ ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 152、计算（2x y）·（y x ）÷（-y x ）的结果是（ ）A ．2x yB ．-2x y C ．x y D ．-x y3、化简：（3x y z ）2·（xzy）·（2yz x ）3等于（ ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z4、（-3ab）÷6ab 的结果是（ ） A ．-8a 2B ．-2a bC ．-218a bD ．-212b5、-3xy ÷223y x的值等于（ ）A ．-292x yB ．-2y 2C ．-229y xD ．-2x 2y2二、计算：1、（-223a b c）3． 2、（2b a ）2÷（b a -）·（-34b a ）3．3、2223x y mn ·2254m n xy÷53xym n ． 4、22121a a a -++÷21a a a -+．5、2216168m m m -++÷428m m -+·22m m -+．（三） 分式方程1．在有理式2x ，13（x+y ），53π-，21x a -，36x y +中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果分式43311x x +-无意义，则x 的值是（ ）A ．x ≠0B ．x ≠113C ．x=113D ．x ≠-343．分式214x -，42xx-的最简公分母为（ ）A ．（x+2）（x-2）B ．-2（x+2）（x-2）C ．2（x+2）（x-2）D ．-（x+2）（x-2） 4．•在解方程43x -+254x +=•1•时，•需要去分母时，•可以把方程两边都乘以_______，•根据是______． 5.下列方程中①35x -=1，②3x =2，③15x x ++=12，④2x +2x =5中是分式方程的有（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 6.把分式方程224x -=32x化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ） A ．2x B ．2x-4 C ．2x （x-2） D ．2x （2x-4）7.解方程：10．（拓展题）如果解分式方程242x x --2xx -=-2出现增根，则增根为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．1 8.（拓展题）若关于x 的方程211k x ---21x x -=25k x x-+有增根x=-1，那么k 的值为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．9 二、解方程： （1）27x x ++23x x -=261x -； （2）25x x --1=552x-．三、若关于x 的方程21x x x +--13x =33x kx +-有增根，求增根和k 的值．（四）分式专项训练（1）1．若分式x yx y+-中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值 （ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的13 D 、是原来的162．某校学生暑假乘汽车到外地参加夏令营活动，目的地距学校120km 。
分式知识点总复习含答案
分式知识点总复习含答案一、选择题1．下列各式从左到右变形正确的是（ ）A ．13(1)223x y x y ++=++ B ．0.20.03230.40.0545a b a d c d c d --=++ C ．a b b a b c c b--=-- D ．22a b a b c d c d --=++ 【答案】C【解析】【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．【详解】 A 、该式子不是方程，不能去分母，故A 错误；B 、分式中的分子、分母的各项没有同时扩大相同的倍数，故B 错误；C 、a-b b-a =d-c c-d故C 正确； D 、分式中的分子、分母的各项没有同时除以2，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用性质.2．若2250(0)a ab b ab ++=≠，则b a a b +=（ ） A ．5B ．-5C ．5±D ．2± 【答案】B【解析】【分析】根据题意，先得到225a b ab +=-，代入计算即可.【详解】解：∵2250(0)a ab b ab ++=≠，∴225a b ab +=-， ∴2255b a a b ab a b ab ab+-+===-； 故选：B.【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确得到225a b ab +=-.3．如果分式||11x x -+的值为0，那么x 的值为（ ） A ．-1B ．1C ．-1或1D ．1或0【答案】B【解析】【分析】 根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【详解】根据题意，得|x|-1=0且x+1≠0，解得，x=1．故选B ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4．在等式[]209()a a a ⋅-⋅=中，“[]”内的代数式为（ ）A ．6aB ．()7a -C ．6a -D ．7a【答案】D【解析】【分析】 首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ⋅=，由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案.【详解】()01a -=Q ，则原式化简为：[]29a a ⋅=，∴[]927a a -==，故选：D ．【点睛】本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算，熟练掌握相关概念是解题关键.5．化简21644m m m+--的结果是( ) A ．4m -B ．4m +C ．44m m +-D ．44m m -+ 【答案】B【解析】【分析】根据分式的加减运算法则计算，再化简为最简分式即可.【详解】21644m m m+-- =2164m m -- =(4)(4)4m m m +-- =m+4.故选B.【点睛】 本题考查分式的加减.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.熟练掌握运算法则是解题关键.6．人的头发直径约为0.00007m ，这个数据用科学记数法表示（ ）A ．0.7×10﹣4B ．7×10﹣5C ．0.7×104D ．7×105【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00007m ，这个数据用科学记数法表示7×10﹣5．故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7．若a ＝－0.22，b ＝－2－2，c ＝（－12）－2，d ＝（－12）0，则它们的大小关系是（ ） A ．a<c<b<dB ．b<a<d<cC ．a<b<d<cD ．b<a<c<d【答案】B【解析】【分析】根据正整数指数幂、负整数指数幂以及零次幂的意义分别计算出a ，b ，c ，d 的值，再比较大小即可.【详解】∵a ＝－0.22=-0.04，b ＝－2－2=14-，c ＝（－12）－2=4，d ＝（－12）0=1， -0.25＜-0.04＜1＜4∴b ＜a ＜d ＜c故选B.【点睛】此题主要考查了负整数指数幂，正整数指数幂、零次幂，熟练掌握它们的运算意义是解题的关键.8．生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ）A ．0.432×10-5B ．4.32×10-6C ．4.32×10-7D ．43.2×10-7【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，这里1＜a ＜10，指数n 是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解： 0.00000432=4.32×10-6，故选B ．【点睛】本题考查科学记数法．9．已知24111P Q x x x =+-+-是恒等式,则（ ） A ． 2, 2P Q ==- B ．2, 2P Q =-= C ．2P Q == D ．2P Q ==- 【答案】B【解析】【分析】 首先利用分式的加减运算法则，求得()()2111Q x x x P Q x Q P P ++-=-++-，可得方程组04P Q Q P +=⎧⎨-=⎩，解此方程组即可求得答案． 【详解】 解：∵()()()()()()22111411111P x Q x P Q x Q P P Q x x x x x x -++++-=+==+-+---， ∴()()4P Q x Q P ++-=，∴04P Q Q P +=⎧⎨-=⎩，解之得：22P Q =-⎧⎨=⎩， 故选：B ．【点睛】此题考查了分式的加减运算、二元一次方程的解法以及整式相等的性质，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．10．0000005=5×10-7故答案为:B.【点睛】本题考查的知识点是科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法.11．若115a b =，则a b a b -+的值是（ ） A ．25 B ．38 C ．35 D ．115【答案】B【解析】【分析】直接根据已知用含x 的式子表示出两数，进而代入化简得出答案．【详解】 解：∵115a b = ∴设11a x =，5b x = ∴11531158a b x x a b x x --==++ 故选：B【点睛】 此类化简求值题目，涉及到的字母a 、b 利用第三个未知数x 设出，代入后得到关于x 的式子进行约分化简即可．将两个字母转化为一个字母是解题的关键．12．化简（a ﹣1）÷（1a ﹣1）•a 的结果是（ ） A ．﹣a 2B ．1C ．a 2D ．﹣1 【答案】A【解析】分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．详解：原式=（a ﹣1）÷1a a-•a=（a ﹣1）•()1a a --•a =﹣a 2，故选：A ． 点睛：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．13．若代数式1y x =-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．0x ≥且1x ≠C ．0x >D ．0x >且1x ≠【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【详解】 根据题意得：010x x ≥⎧⎨-≠⎩ ， 解得：x≥0且x≠1．故选：B ．【点睛】此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．14．下列各分式中，是最简分式的是（ ）.A ．22x y x y++ B ．22x y x y -+ C ．2x x xy + D ．2xy y 【答案】A【解析】【分析】 根据定义进行判断即可．【详解】解：A 、22x y x y++分子、分母不含公因式，是最简分式； B 、22x y x y-+＝()()x y x y x y +-+＝x －y ，能约分，不是最简分式； C 、2x x xy+＝(1)x x xy +＝1x y +，能约分，不是最简分式；D 、2xy y ＝x y，能约分，不是最简分式． 故选A ．【点睛】本题考查分式的化简，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．15．计算211a a a ---的正确结果是( ) A ．11a -- B ．11a - C ．211a a --- D ．211a a -- 【答案】B【解析】【分析】 先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．【详解】 原式()211a a a =-+- 22111a a a a -=--- 11a =-. 故选B ．【点睛】 本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．16．一次抽奖活动特等奖的中奖率为150000,把150000用科学记数法表示为（ ） A ．4510⨯﹣B ．5510⨯﹣C ．4210⨯﹣D ．5210⨯﹣【答案】D【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】150000=0.00002=2×10﹣5． 故选D ．【点睛】 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．17．已知1112a b -=，则ab a b -的值是 A ．12 B ．－12 C ．2 D ．－2 【答案】D【解析】分析：观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数即可． 解答：解：∵， ∴a ab -=， ∴=， ∴=-2．故选D ．18．把分式a a b+中的,a b 的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．缩小为原来的110C ．扩大为原来的10倍D ．扩大为原来的100倍【答案】A【解析】【分析】 根据分式的基本性质，把分式a a b+中的x 、y 的值同时扩大为原来的10倍得：1010=101010()a a a a b a b a b=+++，即可得到答案． 【详解】把分式a a b+中的x 、y 的值同时扩大为原来的10倍得：1010=101010()a a a a b a b a b=+++， 即分式a a b+的值不变， 故选：A ．【点睛】 本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．19．已知23x y =，那么下列式子中一定成立的是 ( ) A ．5x y +=B ．23x y =C ．32x y =D ．23x y = 【答案】D【解析】【分析】 根据比例的性质对各个选项进行判断即可.【详解】A. ∵23x y =，∴3x =2y ，∴ 5x y += 不成立，故A 不正确； B. ∵23x y =，∴3x =2y ，∴ 23x y =不成立，故B 不正确； C. ∵23x y =，∴23x y =y ，∴ 32x y =不成立，故C 不正确； D. ∵23x y =，∴23x y =，∴ 23x y =成立，故D 正确； 故选D.【点睛】本题考查的是比例的性质,掌握内项之积等于外项之积及更比性质是解题的关键. 更比性质：在一个比例里，更换第一个比的后项与第二个比的前项的位置后，仍成比例，或者更换第一个比的前项与第二个比的后项的位置后，仍成比例，这叫做比例中的更比定理.对于实数a ，b ，c ，d ，且有b ≠0，d ≠0，如果a c b d=，则有a b c d =.20．测得某人一根头发的直径约为0.000 071 5米，该数用科学记数法可表示为（ ） A ．0.715×104B ．0.715×10﹣4C ．7.15×105D ．7.15×10﹣5【答案】D【解析】。
分式综合复习(三)
《分式》综合复习（三）一、填空题：1、当x ＝_______时，分式412-+x x 的值等于零。
2、对于分式3322---x x x ，当x=_______时，分式无意义；当x=_______时，分式值为零。
3、x 的2倍除以x 与y 的平方差，用分式表示是______________。
4、不改变分式的值，使分式的分子和分母里次数最高的项的系数是正整数。
（1）23.02.015.01.0xx x -+-=______________（2）322323121x x x -+-=______________。
5、当31,21==y x 时，分式2224233yxy x yx +--的值为_______。
6、a 克盐溶解在b 克水中，所得盐水的含盐量是_______％，这种盐水c 克中含盐_____克。
7、已知b a a =+-11，用b 的代数式表示a ，得_______________。
8、一个分数的分子是1，分子和分母同加上5，这个分数的值是21，原分数的分母是__________。
9、分式231,12122+-+-x x x x 的最简公分母是__________。
10、计算：xy y y x xy -+-222=__________. 11、计算：1112-+++x x x =__________. 12、设()()22222-+-=-x Bx A x x ，则A=__________，B=__________。
13、小王驾车从A 地去B 地，每小时40千米，用了t 小时，返回时少用了1小时，那么，小王从B 地返回A 的，比从A 地去B 地，每小时多行驶__________千米。
二、选择题1、如果分式2122-+-x x x 有意义，那么（ ）（A ）1≠x （B ）1±≠x （C ）1≠x 或2-≠x （D ）1≠x 且2-≠x2、与分式1222-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+x b a 相等的分式是（ ）（A ）xb a 222+ （B ）222b a x +- （C ）222b a x + （D ）x b a 222+- 3、如果分式0122=-+x xx ，那么x=（ ） （A ）–1 （B ）1或–1 （C ）0 （D ）1 4、下列运算中正确的是（ ）（A ）b a b a b a -=--22（B ）b a b a b a +=++22（C ）b a b a b a +=+-22（D ）b a ba b a -=+-22 5、已知31=+x x ，那么=+221xx （ ） （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 6、计算：=⋅÷--1211a a a（ ） （A ）1 （B ）2a （C ）a （D ）41a 7、分式acc b a abc b a 22222222-+--++化简后等于（ ） （A ）c b a c b a +--+（B ）c b a c b a -+--（C ）c b a c b a +++-（D ）cb a cb a -++-8、若一个矩形的面积是22252b ab a ++，它的一条边是b a 2+，则这个矩形的周长是（ ） （A ）b a 66+ （B ）b a 33+ （C ）b a 42+ （D ）b a 24+ 9、下列等式中正确的是（ ） （A ）ac d b c d a b +=+ （B ）aa b a b 11=+- （C ）()()01122=-+-a b b a （D ）()()01133=-+-a b b a 10、=+--b a a b 11（ ) （A ）222b a a -- （B ）222b a a - （C ）222b a b -- （D ）222b a b-11、化简：⎪⎭⎫⎝⎛--÷x x 111=（ ） （A ）2x （B ）x （C ）x 1 （D ）21x12、若yx 11+=，x y 11+=，则x 等于（ ）（A ）y （B ）y - （C ）1-y （D ）y13、A 、B 两地相距s 千米，小明从A 地到B 地每小时走a 千米，从B 地到A 地每小时走B千米，则他往返的平均速度是（ ） （A ）2b a + （B ）b a s +2 （C ）b a ab +2 （D ）ba ab+ 三、解答题：1、计算：（1）222343c ab b a c ⋅ （2）y x xy 252÷- （3）22132---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a （4）()22y x y x y x -÷-+（5）b b a 1⋅÷ （6）x a b bx ay by ax 228932÷⋅ （7）()1322342-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅x y xy（8）b b a ab b b a 224222+÷-- （9）4184244422322-÷-+⋅++++x x x x x x x（10）()()()222442222232222b ab a b a b ab a b a b a ++-⋅++÷+-（11）xy y x y x xy y x +++⋅-2122 （12）22422-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a a（13）()()()()()()b a bc ac a c b a c b c b c a b a ---+--+---+ （14）()y x x y x y x x y y x+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1112、b a b ab a ba b a b ab a b a a b a +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅-+-32233222233，其中21,2-=-=b a 。
(完整)整式和分式复习
3、1ab a b -+-
4、 bm ma b a -+-33
(三）错题练习： 错例1
错因：受干扰，负迁移产生了的错误． 错例2
错因:未把3y 看作一个整体，平方时没给系数3平方． 错例3
错因：未掌握完全平方公式的结构特征,没给结果的第二项2倍． 错例4
错因:（1）受符号变化的影响，把两个完全平方公式混淆,结果第二项符号出错． （2）完全平方公式与平方差公式混淆． 错例5
错因：未掌握完全平方公式的结构特征，错用了平方差公式． （四）小结：
在应用完全平方公式运算之前注意以下几点:
1、使用完全平方公式首先要熟记公式和公式的特征,不能出现222)(b a b a ±=±的错误或
222)(b ab a b a +±=±（漏掉2倍）等错误.
2、在公式()222
2b ab a b a ++=+中，左边是一个二项式的完全平方,右边都是一个二次三项式，本公式
可用语言叙述为:首平方，尾平方，两倍之积在中央。
3、公式中a 、b 的既可以代表具体的数，也可以代表单项式或多项式.
4、要能根据公式的特征及题目的特征灵活选择适当的公式计算。
5、用加法结合律，可为使用公式创造条件。
利用这种方法，可以把多项式的完全平方转化为二项式的完全平方.。
(完整版)分式复习课教案
分式复习课学案教学目标1. 理解分式定义，掌握分式有意义的条件。
2. 掌握分式的加减乘除运算及混合运算。
3. 掌握分式方程的解法，会列分式方程解决实际问题。
教学重点： 分式加减乘除混合运算及分式方程 教学难点：列分式方程解决实际问题 、预习作业1. 分式的概念:2. 分式的基本性质:(1) 分式的分子分母同乘(或除以)一个 _________________________ ，分式的值 _________ (2) 分子，分母的公因式，系数的 __________ 与各 ______ 因式的 __________ 的积(3) ___________________________________________ 各分式的最简公分母，各分母系数的_____________________________________________________ 与 _______ 因式 ____________ 的积 3•分式的运算法则：(1) 乘法法则 ____________________________________________ (2) 除法法则 ____________________________________________ (3) 分式的乘方 _____________________________________ (4) 加减法则同分母分式相加减 ____________________________________________ 异分母分式相加减 ____________________________________________(5) 分式加、减、乘、除、乘方的混合运算法则 __________________________________________mn“m 、n“・、nm n“a 、n(6) a a ________ (a )____ (ab) _________ a a _________ (_) ____b(7) 当n 是正整数时 a -n = ______________ ( __________ ) 4.解分式方程的步骤(1) ___________________________________________ 去分母，方程两边同乘 化成整式方程(1) 分式的定义：一般地 (2) 分式有意义的条件是 (3) 分式无意义的条件是 (4) 分式为零的条件是 A , B 是两个 ________ ，且 ___________ 不等于0 ___________ 等于0 ______ 不等于0，且 _____A中含有字母，那么-叫分式B等于0(2)解出整式方程的解(3) _____________________________________ 将整式方程的解代入进行检验，若不为零，则整式方程的解就是_______________________ ，若等于零，则这个解 ___________ 原方程的解(3)二、预习交流三、展示探究例1.填空1.下列代数式中:2x2xx 1-，2X1-------- 2 2va b x y a 1曰八卡砧若y, , ,, 是分式的有、a b x y x m yx 12 .当x满足时，分式(x 1)(x 2)有意义。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。
例如，式子 1/x 就是一个分式，其中 x 是分母；而 2 就不是分式，因为它没有分母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
例如，对于分式 3/（x 1)，要使其有意义，分母 x 1 不能等于 0，即 x 不能等于 1。
三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零。
比如，对于分式（x ＋ 2)／（x 3)，当分子 x ＋ 2 ＝ 0 时，x ＝－2，此时分母 x 3 ＝－2 3 ＝－5 ≠ 0，所以当 x ＝－2 时，该分式的值为零。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于零的整式）例如，分式 2/3 的分子和分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：系数取分子和分母系数的最大公因数，字母取分子和分母共有的字母，相同字母的指数取最低次幂。
例如，对于分式 6x²y/8xy²，分子和分母的公因式是 2xy，约分后得到 3x/4y。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母。
例如，分式 1/2x 和 1/3y 的最简公分母是 6xy，通分后分别为 3y/6xy 和 2x/6xy 。
七、分式的乘除法分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习分式是数学中一个重要的概念，也是许多人在学习数学时感到困惑的内容之一。
本文将对分式的基本概念、运算法则以及应用进行总结与复习，帮助读者更好地理解和掌握分式知识。
一、基本概念分式由分子和分母两部分组成，分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。
分数的值可以是整数、小数或者其他分数。
下面是分式的基本概念：1. 真分数：分子小于分母的分数称为真分数，例如1/2、3/4等。
2. 假分数：分子大于或等于分母的分数称为假分数，例如5/2、7/3等。
3. 常分数：分子为0的分数称为常分数，其值为0。
二、分式的四则运算分式的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面是各种运算的规则和注意事项：1. 加法与减法：- 分式加减法的前提是分母相同，如果分母不同，则需要找到它们的最小公倍数来进行通分。
- 计算分子时，加法取分子相加，减法取分子相减。
- 结果的分子不一定能被整除，可能需要进行约分。
2. 乘法：- 分式乘法直接将分子相乘，分母相乘。
- 结果的分子和分母都需要化简，即约分。
3. 除法：- 分式除法可以转化为乘法求逆的问题，即将被除数的分子和除数的分母互换位置，然后进行乘法运算。
- 运算结束后需化简结果。
三、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 比例问题：当我们需要比较两个量的大小、计算比例或者解决比例问题时，常常会使用到分式。
2. 混合运算：在一些复杂的算术题中，可能会出现含有分式的运算，我们需要根据题目要求进行正确的计算和化简。
3. 高等数学中的应用：在微积分、线性代数等高等数学中，分式经常用于表示函数、方程组等，是一种重要的数学工具。
四、分式知识点的复习为了更好地巩固分式的知识，建议读者可以通过以下方法进行复习：1. 多做练习题：选择一些分数相关的练习题，分情况进行分类练习，逐步提高解题能力。
2. 总结归纳：将每个知识点进行总结和分类，形成自己的知识框架，并根据实际问题进行思考和应用。
分式复习大全
分式一、分式的概念定义：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A 的形式。
如果B 中含有字母，式子BA 叫做分式。
基中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
二、分式的基本性质 一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分式复习教案(经典)
分式（一）：【知识梳理】 1．分式有关概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。
对于一个分式来说：①当____________时分式有意义。
②当____________时分式没有意义。
③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。
（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。
将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。
（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的___________ 。
（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。
2．分式性质： （1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 ．即：(0)A A M A M M BB MB M⨯÷==≠⨯÷其中（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。
即：a a a ab bbb--==-=---3.分式的运算：注意：为运算简便，运用分式的基本性质及分式的符号法则：()nn a b a b c ca c ad bc d bd a c ac d bd a c a d ad dbc bc a a n b⎧±⎧±=⎪⎪⎪⎪⎨±⎪⎪±=⎪⎪⎩⎪⎧⎪⋅=⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪÷=⋅=⎪⎪⎩⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n 同分母c 加减异分母b 乘b 分式运算乘除除b 乘方()为整数b①若分式的分子与分母的各项系数是分数或小数时，一般要化为整数。
分式单元复习
x2
y2 x2
x2 xy
y2
0
同步练习
把分式 3x 中的字母x、y的值都扩大为原来的5倍， x y
则分式的值（ C ）
（ A）扩大5倍 （ C）不变
（ B）扩大15倍 1
5
（ D）是原来的
x2
思考：如果把分式 x y 中x、y都扩大5 倍，则分式的值如何变化？
例4：解方程
x x
1 1
4 x2 1
满足什么条件？ a b且a 1
2、若分式
x 1
无意义，则x
3 _____2___;
2x 3
1 •••
若分式
x x2
1 1
有意义，则x
x
y2
x x y x2 xy
x y x
y2
解： x x y x2 xy
( x y)( x y) x2 y2 x(x y) x(x y) x(x y)
3、解题过程注意画图或列表帮助分析题 意找等量关系。
4、注意不要漏检验和写答案。
1.通过本节课的学习，你在知识上有 什么收获？还有哪些困惑？
2.在思想方法上有哪些收获？
3.你对自己本节课的表现满意吗？为 什么？
1、分式：形如 A ,其中 A ,B 都是整式,
B 且 B 中含有字母.
2、最简分式：分子与分母没 有公因式的分式，叫做最简 分式
3、最简公分母：几个分式，取各分母 的系数的最小公倍数与各分母所有因 式最高次幂的积作公分母，这样的公 分母叫最简公分母
4、分式方程：分母中含有未知 数的方程，叫做分式方程。
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
人教版八年级上册数学 第十五章分式同步复习题(含详细答案)
人教版八年级上册数学第十五章分式复习题一．选择题1．关于x的分式方程﹣＝0的解为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．32．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（）A．117元B．118元C．119元D．120元3．使分式的值为0，这时x应为（）A．x＝±1 B．x＝1C．x＝1 且x≠﹣1 D．x的值不确定4．一个圆柱形容器的容积为Vm3，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t 分钟．设小水管的注水速度为x立方米/分钟，则下列方程正确的是（）A．+＝t B．+＝tC．•+•＝t D．+＝t5．春节期间，文具店的一种笔记本8折优惠出售．某同学发现，同样花12元钱购买这种笔记本，春节期间正好可比春节前多买一本．这种笔记本春节期间每本的售价是（）A．2元B．3元C．2.4元D．1.6元6．已知关于x的方程的解是正整数，且k为整数，则k的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或6 D．﹣2或67．已知，则的值为（）A．5 B．6 C．7 D．88．已知关于x的方程＝3的解是负数，那么m的取值范围是（）A．m＞﹣6且m≠﹣2 B．m＜﹣6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜﹣6且m≠﹣29．要使分式有意义，x的取值是（）A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠±1 D．x≠±1且x≠﹣2 10．随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（）A．6.5×107B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣8D．6.5×10﹣711．下列各式中，正确的是（）A．B．C．＝b+1 D．＝a+b12．如果分式方程无解，则a的值为（）A．﹣4 B．C．2 D．﹣213．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1 14．某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时．设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程（）A．＝2B．＝2C．＝2D．＝2二．填空题15．分式的值比分式的值大3，则x的值为．16．若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是．17．已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝．18．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为米．19．对和进行通分，需确定的最简公分母是．20．已知关于x的分式方程+＝．若方程有增根，则m的值为．三．解答题21．计算（1）﹣（2）+﹣（3）（+）÷22．化简求值：，其中x＝．23．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？24．甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．（1）求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？（2）已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是150元和120元，疫情期间，某医院紧急需要3000套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩下任务只能由乙单独完成．如果总加工费不超过6360元，那么甲厂至少要加工多少天？25．新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控工作，某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成．已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？参考答案一．选择题1．解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，故选：B．2．解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+13），根据题意列方程得：＝，解得：x＝117，经检验：x＝117是原方程的解．故选：A．3．解：∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1．故选：B．4．解：设小水管的注水速度为x立方米/分钟，可得：，故选：C．5．解：设这种笔记本节日前每本的售价是x元，根据题意得：，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，∴0.8x＝0.8×3＝2.4（元），答：这种笔记本节日期间每本的售价是2.4元，故选：C．6．解：方程去分母，得9﹣3x＝kx，即kx+3x＝9，∴x＝因为原分式方程的解为正整数，且x≠3．所以x＝＝1、2、4、5、6、7、8、9，又因为k为整数，所以k＝﹣2或6．故选：D．7．解：∵，∴（a+）2＝9，即a2+2+＝9，则＝7，故选：C．8．解：去分母，得2x﹣m＝3x+6，∴x＝﹣m﹣6．由于方程的解为负数，∴﹣m﹣6＜0且﹣m﹣6≠﹣2，解得m＞﹣6且m≠﹣4．故选：C．9．解：要使分式有意义，则x+1≠0，解得：x≠﹣1，故选：B．10．解：0.00000065＝6.5×10﹣7．故选：D．11．解：与在a＝0或a＝b时才成立，故选项A不正确；＝＝，故选项B正确；＝b+，故选项C不正确；不能化简，故选项D不正确；故选：B．12．解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a解得：x＝a+8根据题意得：a+8＝4解得：a＝﹣4．故选：A．13．解：去分母得：x﹣2（x﹣1）＝k，去括号得：x﹣2x+2＝k，解得：x＝2﹣k，由分式方程的解为正数，得到2﹣k＞0，且2﹣k≠1，解得：k＜2且k≠1，故选：D．14．解：设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩1.5x个，依题意，得：﹣＝2．故选：D．二．填空题（共6小题）15．解：根据题意得：﹣＝3，去分母得：x﹣3﹣1＝3x﹣6，移项合并得：﹣2x＝﹣2，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解，故答案为：1．16．解：，分式方程去分母得：1﹣x﹣3＝a，移项合并得：﹣x＝a+2，解得：x＝﹣a﹣2，∵分式方程的解为负数，∴﹣a﹣2＜0且﹣a﹣2+3≠0，解得：a＞﹣2且a≠1．故答案为：a＞﹣2且a≠1．17．解：把x＝1代入得：，此时分式无意义，∴a﹣3＝0，解得a＝3．故答案为：3．18．解：0.0000084＝8.4×10﹣6，故答案为：8.4×10﹣6．19．解：分式和的分母分别是2（x+y）、（x+y）（x﹣y）．则最简公分母是2（x+y）（x﹣y）．故答案是：2（x+y）（x﹣y）．20．解：若原分式方程有增根，则（x+2）（x﹣2）＝0，所以x＝﹣2 或x＝2，当x＝﹣2 时，﹣2m＝﹣8．得m＝4，当x＝2 时，2m＝﹣8．得m＝﹣4，所以若原分式方程有增根，则m＝±4；故答案为：±4．三．解答题（共5小题）21．解：（1）﹣＝+＝；（2）+﹣＝+﹣＝＝＝﹣；（3）（+）÷＝•＝x﹣1．22．解：原式＝•＝＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x当x＝时，原式＝﹣2﹣．23．解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．24．解：（1）设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，根据题意，得﹣＝4．解得x＝50．经检验：x＝50是所列方程的解．则1.5x＝75．答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；（2）设甲厂要加工m天，根据题意，得150m+120×≤6360．解得m≥28．答：甲厂至少要加工28天．25．解：设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝6．再设应安排两个工厂工作y天才能完成任务，依题意，得：（6+4）y≥100，解得：y≥10．答：至少应安排两个工厂工作10天才能完成任务．。
《分式》期末复习资料
《分式》复习资料一、知识点1.分式概念 ⑴定义：形如BA（A 、B 是整式且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。
简单说就是分母中含有字母的式子叫分式.⑵分式有意义的条件：分母不等于零. ⑶分式无意义的条件：分母等于零.⑷分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. ⑸有理式：整式和分式统称有理式. 2.分式的基本性质⑴内容：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式．．．．．．．．．．，分式的值不变。
⑵分式的基本性质的作用（用途）：用于分式的约分和通分。
⑶分式的约分：①定义：把分式的分子与分母的公因式．．．约去叫做分式的约分。
②约分的根据是：分式的基本性质。
③约分的方法：如果分子、分母是单项式，则约去最大公因式；如果分子、分母是多项式，则应先将其分解因式，再约去公因式。
④约分的注意事项：约分时一定要注意分子、分母是否都是乘积．．形式。
⑤约分的结果：将分式约分后化为最简分式或整式。
⑥最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．．．．。
⑷分式的通分①定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
②通分的根据是：分式的基本性质。
③通分的关键：是确定最简公分母。
④最简公分母：<1>定义：各分母所有因式．．．．的最高次幂．．．．的积．叫做最简公分母。
<2>确定几个分式的最简公分母的步骤：A ．取各分式的分母中系数最小公倍数；B ．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；C ．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；D ．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
⑸分式的变号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变．．其中任何两个．．．．，分式的值不变．．．．．．。
b a b a b a -=-=-；bab a =--。
3.分式的运算 ⑴分式的乘除法：bd ac d c b a =⋅；bcad c d b a d c b a =⋅=÷。
分式复习
【特别提示】 (1)在分式运算中，有整式时，可将整式看 作是分母为1 的分式，然后依照法则进行运算；(2)如果分 子、分母是多项式，那么先将其因式分解，再进行运算．
ห้องสมุดไป่ตู้
考点2 分式的化简及求值 （6年考查3次）
3．分式化简求值的一般步骤 (1)有括号的先计算括号里的． (2)有乘方，将乘方转化到分子、分母上． (3)除法变乘法，再分别对每个乘式中的分子、分母约分． (4)加减运算：分母通分、分子合并同类项． (5)代入数值，求代数式的值．
x( x 1) x ( x 1)( x 1) x 1
1 1 2 1 当x＝－ 时，原式＝ 1 . 2 1 3 2
考查
分式的化简(求值)
2a b b a 2b 2．[2012陕西，17]化简： ( ) . a b a b ab
(2a b)(a b) b(a b) a b 解：原式＝ (a b)(a b) a 2b
3 2 ( ) 3 2 9 当a＝－ 时，原式＝ . 3 10 2 1 2
考点1 分式的相关概念及性质 （6年内未考查）
1．分式满足的条件(两个条件缺一不可) A (1)A÷B可以表示成①________ 的形式(A、B表示两个整 B 式)． (2)B中含有字母． 【特别提示】 (1)分式与整式的区别：分母中是否含有 字母；(2)判断分式是否有意义的条件：当分母B≠0时 A A ，分式 有意义；当分母B＝0时，分式 没有意义； B B (3)分式值为零的条件是分子A＝0，且分母B≠0.
4．分式符号变化法则：
A A A A . B B B B
考点2 分式的化简及求值 （6年考查3次）
1．分式的运算法则
分式的复习(概念及计算)
x ,则
＝ 1 y 。 x y 2 2 17．已知 x 4xy 4 y 0 ，那么分式 的值等 x y 于 3 .
x
1 18．已知 a 3 a
1 ， 那么 a 2 a
2
＝
11
．
１.下列变形正确的是
a a2 A b b2
(
B
2 x x2 C x x
a 1 ab 1 a ab 5 25 D 2a 4a
x 3 4、要使分式 ( x 1)( x 3) 有意义，则x的取值范围是
C
A、 x 1 C、 x 1 且
x3
B、 x 3 D、 x 1 或
x3
n na B. m m a a 0 n na n na a 0 a 0 D. C. m ma m ma y 1 6、下列各分式中，与 分式的值相等的是（ C ） 1 x y 1 y 1 y 1 y 1 A. B. C. D. 1 x x 1 x 1 x 1
13. 下列各式中,正确的是( D ) a+b a+m a A. b+m = b B. a-b =0 x-y 1 ab-1 b-1 C. D. = = 2-y2 x+y ac-1 c-1 x
1 3 1 3 2 例1.计算 : x x x x x x 1 例2.化简x x 1 x x 1 1 2 解 : 原式 x x x( x 1) x x x 1 x x 1
1 m 3x 1 2 x 4 1.在代数式 3x , 2 , 2 y , 3 (a b), , x 2 中，分式共有_____个。 3
2
2.当x= - 3 时，则分式
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
初二数学分式章节复习资料含复习资料
第一周 分式复习义⒈分式等于零的条件：分母不等于零时，分子等于零 ⒉分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
⒊最简公分母：数字的最小公倍数，所有因式的次数最高的。
公因式：数字的最大公约数、相同字母次数最低的。
4、分式方程 一、分式方程：1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。
2、解分式方程的基本思想是：“把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解”。
这就是“转化思想”。
3、将分式方程转化为整式方程，转化的条件是“去分母”。
其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。
4、在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的“增根”。
应当舍去。
因此，解得整式方程的根后，要代入原分式方程检验，适合原方程即为分式方程的根，不适合，就说明原方程无解。
也可以代入去分母时乘以的最简公分母中，使公分母≠0时为原方程的解，使公分母=0时为增根舍去。
二、解分式方程时注意以下几个问题：1、方程两边同乘以最简公分母时，每一项都要乘，特别是以一个数或一个整式为一项时，这一项不能漏乘；2、两边都乘以最简公分母去掉方程中的分母，若分式的符号是“-”，去掉分母后，分子应加括号；3、由于分式方程两边同乘以一个含有未知数的整式，方程可能会产生增根，故必须对求得的根进行检验，这一步必不可少；4、当分式方程的分母是多项式，为了找最简公分母，需把分母分解因式。
一、 填空题：1.当x 时，分式1223+-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零.2.分式ab c 32、bc a 3、acb25的最简公分母是 ；3.化简1⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷÷a b b a b a 324923得 4.当x 、y 满足关系式________时，)(2)(5y x x y --=－255.若121-x 与)4(31+x 互为倒数，则x= . 6.已知关于x 的分式方程12-=-+x ax 的根大于零，那么a 的取值范围是 . 7.关于x 的分式方程244212+=---x kx x 有增根x =-2，那么k = . 8.若关于x 的方程2221+-=--x mx x 产生增根，那么m 的值是 . 9.当m = 时，方程1121=--+x m mx 的解与方程34=+x x 的解互为相反数.10.已知M x y xy y x yx y x y 222222-=--+-+，则 M= 二、选择题：1.下列约分正确的是( )A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、214222=y x xy 2.下列各分式中，最简分式是( )A 、()()y x y x +-8534B 、2222xy y x y x ++ C 、y x x y +-22 D 、()222y x y x +- 3.下列分式中，计算正确的是( )A 、32)(3)(2+=+++a c b a c bB 、ba b a b a +=++122C 、1)()(22-=+-b a b a D 、xy y x xy y x -=---12224.下列各式中，从左到右的变形正确的是( )A 、y x y x y x y x ---=--+-B 、yx yx y x y x +-=--+-C 、y x y x y x y x -+=--+-D 、yx yx y x y x +--=--+-5.式325x yxy-中的字母x ，y 都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ）． A ．不变 B ．扩大为原来的4倍C ．扩大为原来的8倍D ．缩小为原来的146．将（16）-1，（-2）0，（-3）2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）．A ．（-2）0<（16）-1<（-3）2B ．（16）-1<（-2）0<（-3）2C ．（-3）2<（-2）0<（16）-1D ．（-2）0<（-3）2<（16）-17.分式方程9431312-=++-x x x 的解是（ ）A.无解B.x=2C. x=-2D. x=2或x=-28.如果关于x 的方程x mx x -=--552无解，则m 等于（ ）A.3B. 4C.-3D.59.解方程35121--=-+x x x 时，去分母得( ) A.（x-1）（x-3）+2=x+5 B. 1+2（x-3）=（x-5）(x-1) C. (x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1) D.(x-3)+2(x-3)=x-5 三、计算：（3）)11(2)2(y x y x xy y x y y x x +÷+⋅+++ （4）222)11(11-+⋅-÷--a a a a a a a(6);61234441222222-++÷++-•+-++a a a a a a a a a a(7)()x x x x x x x x x x -+⋅+++÷--=-11442412222，其中。
分式与分式方程知识点复习 打印
分式与分式方程一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
例3：当x 取何范围内取值时，下列分式有意义？（1）4422+-+x x x ， （2）1222-++x x ．三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个_______的整式，分式的值不变。
四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
类型一 约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-类型二 通分：26x ab ，29y a bc类型三 分式化简求值：（1）168421161814121111a a a a a a --++++++++-； C B C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷=（2）492372252132+++++-++-++x x x x x x x x ；类型四 运用“降次”转化1.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值．2.已知x+1x =3，求2421x x x ++的值．五、分式的运算：分式乘法法则： 分式除法法则： 分式乘方法则： 分式的加减法则：,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
1.当分式211x --21x +-11x -的值等于零时，则x=_________。
2．已知a+b=3，ab=1，则a b +b a的值等于_______。
3.计算：222x x x +--2144x x x --+。
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分式复习【知识网络】第一讲 分式的运算【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x（3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值. 【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值. 3．已知：311=-b a ，求a ab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求b a b a 532+-的值. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2 题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432zy x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222；（3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）ba b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯； （2）3223)102()104(--⨯÷⨯.练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅--（2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab （4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-； （2）0132=--x x ； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）444=++x x ； （2）61097+++=+++x x x x【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ；（3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x xx（5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： （1）b x a 211+=)2(a b ≠； （2）)(11b a xbb x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xbb x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1． 若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。