2013年海淀区高三年级数学第二学期期中练习

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北京2013届海淀高三二模数学文科试题及答案(修正版)

海淀区高三年级第二学期期末练习数学〔文科〕 2013.5—、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0-∞）B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞2 已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，假设撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外表积为A.180B.240C.276D.3005 、以下函数中，为偶函数且有最小值的是A. 2()f x x x =+ B. ()|ln |f x x = C. ()sin f x x x = D. ()xxf x e e-=+6 、在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点.设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，假设12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.11D.28. 假设数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a+->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则以下结论中错误的选项是．．．．．． A. 假设45m =，则53a = B 假设32a =，则m 可以取3个不同的值俯视图C.假设m ={}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9、复数ii-12=______10 、甲、乙两名运发动在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11 、已知数列{}n a 是等比数列，且134a a ⋅=,48a =, 则5a 的值为____.12、直线1y x =+被圆22230x x y -+-=所截得的弦长为_____13 、已知函数()sin(2)(01)6f x x πωω=-<<的图象经过点(,0)6π ，则ω= ，()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间为________.14 、设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(10401x k y y x y 其中k ,k 0∈>R .(I)当1k =时，2yx 的最大值为______； (II)假设2yx 的最大值为1，则实数k 的取值范围是_____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15 、(本小题总分值13分〕已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .(I)假设11a =，10100S =，求{}n a 的通项公式;(II)假设26n S n n =-，解关于n 的不等式2n n S a n +>.16 、(本小题总分值13分〕已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ADB ∠=750，∠ACD =30°,AD =2. (I)求CD 的长； (II)求ΔABC 的面积17、 (本小题总分值14分〕如图1，在直角梯形ABCD 中，AD//BC, ADC ∠=900，BA=BC .把ΔBAC 沿AC 折起到PAC ∆的位置,使得P 点在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点,E F 分别为线段PC ，CD 的中点．(I) 求证：平面OEF//平面APD ； (II)求直线CD ⊥与平面POF ；(III)在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点P,O,C,F 四点的距离相等？请说明理由.18 、(本小题总分值13分〕已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==->. (1)当1a =时，假设曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线与曲线()y g x =在点00(,())P x g x 处的切线平行，求实数0x 的值；(II)假设(0,]x e ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+，求实数a 的取值范围.19、 (本小题总分值丨4分〕已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.(I)求椭圆C 的方程；(II)假设直线y kx =交椭圆C 于A ，B 两点，在直线:30l x y +-=上存在点P,使得 ΔPAB 为等边三角形,求k 的值.20 、(本小题总分值13分〕设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行〔或某一列〕各数之和为负数，则改变该行〔或该列〕中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A 如表1所示，假设经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表〔写出一种方法即可〕；(Ⅱ) 数表A 如表2所示，假设经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的值；(Ⅲ)对由m n ⨯个整数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.222212122a a a a a a a a ------表海淀区高三年级第二学期期末练习数学〔文科〕参考答案及评分标准 2013．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕二、填空题〔本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分〕9． 1i -+；10．乙；11. 16-或 16；12．． 1π2π;(,)233-；14． 1;02k <≤注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕设{}n a 的公差为d因为11a =，11010101002a a S +=⨯= ……………………2分所以1101,19a a == ……………………4分所以2d = 所以 21n a n =- ……………………6分〔II 〕因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以 27n a n =- ……………………10分所以247n n S a n n +=-- 所以2472n n n -->，即2670n n -->所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：〔I 〕因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，AD =sin45sin30CD AD= ……………………4分所以2CD = ……………………6分〔II 〕所以4BD = ……………………7分又在ABD ∆中，75ADB ∠=，6sin75sin(4530)4+=+= …………………9分所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅= ……………………12分所以32ABC ABD S S ∆∆== ……………………13分法2：同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD=而 6sin105sin(4560)4+=+= ……………………8分所以1AC = ……………………10分又4BD =，6BC = ……………………11分所以133sin302ABC S AC BC ∆=⋅⋅=……………………13分 17.解：〔I 〕因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分同理//OF AD 又,OEOF O PA AD A ==所以平面//OEF 平面PDA …………………6分〔II 〕因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ …………………7分又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC 所以PO ⊥CD …………………8分又OFPO O = 所以CD ⊥平面POF …………………10分(III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC =…………………12分同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：〔I 〕当因为1a =, 211'(),()f x g x x x== …………………2分假设函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x 处的切线平行，所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = …………………4分〔II 〕假设(0,e]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+ 记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-，只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x aF x x x x-=-= …………………6分则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：…………………8分当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e2a ≥ 所以e a ≥ …………………10分当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得a e a ≤< ………………12分 a ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点,所以1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += ………………4分(II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为|||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x +=所以1||x =||AO == ………………8分设AB 的垂直平分线为1y x k =-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则||PO =………………10分因为PAB ∆为等边三角形，所以应有|||PO AO =代入得到=0k =〔舍〕，1k =-……………13分此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分20.解：〔I 〕法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列〔写出一种即可〕 …………………3分 (II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==. …………………6分② 如果操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a解得1a = …………………9分综上1a = …………………10分 (III) 证明：按要求对某行〔或某列〕操作一次时，则该行的行和〔或该列的列和〕由负整数变为正整数，都会引起该行的行和〔或该列的列和〕增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只是改变数表中某行〔或某列〕各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||mnij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。

2013海淀二模数学理科(word版含答案)

海淀二模高三数学(理科) 试题第1页(共6页)海淀区高三年级第二学期期末练习数学 (理科) 2013.5本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤,B ={}0x x <,则A B = A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[1,2]D .[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,且134a a ?=,48a =,则1a q +的值为 A .3 B .2 C .3或2- D .3或3-3. 如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A.180 B.240C.276D.3005.在四边形ABCD 中,“λ?∈R ,使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位,2,4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为A.32B. 36C. 42D.487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ?是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为 A. 2 B.12+ C.13+ D.23+8. 若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>,11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->???<≤??,则下列结论中错误..的是 A. 若34a =,则m 可以取3个不同的值 B. 若2m =,则数列{}n a 是周期为3的数列C.T ?∈*N 且2T ≥,存在1m >,{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ?∈且2m ≥,数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在极坐标系中,极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===,则,,a b c 按照从大到小....排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30 ,直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直,则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.12.在ABC ?中,30,45,2A B a ∠=∠== ,则_____;b =C _____.AB S ?=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ?的取值范围是______________.666左视图5俯视图主视图Ω14.在平面直角坐标系中,动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论: ①曲线W 关于原点对称; ②曲线W 关于直线y x =对称;③曲线W 与x 轴非负半轴,y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12; 其中,所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数cos2()1π2sin()4x f x x =--.(Ⅰ)求函数()f x 的定义域; (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间. 16.(本小题满分13分)福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该福利彩票中奖率为50%;(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元,50元和150元三种;(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ,获得50元奖金的概率为2%.(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II )为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围. 17. (本小题满分14分)如图1,在直角梯形ABCD 中,90ABC DAB ∠=∠= ,30CAB ∠= ,2BC =,4AD =. 把DAC ?沿对角线AC 折起到PAC ?的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上,连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点.(I) 求证:平面//EFH 平面PBC ; (II)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值;(III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等?请说明理由.18.(本小题满分13分)已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ?的面积为()S t .(I )当0a =时,求函数()S t 的单调区间;(II )当2a >时, 若0[0,2]t ?∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60 的菱形的四个顶点.(I )求椭圆M 的方程;(II )直线l 与椭圆M 交于A ,B 两点,且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-,求AOB ?(O 为原点)面积的最大值. 20.(本小题满分13分)设A 是由m n ?个实数组成的m 行n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);CDBA图1H E CPBAF图21 2 3 7-2-1 01表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数..a 的所有可能值;22221212a a a a a a a a ------(Ⅲ)对由m n ?个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A , 表2能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.海淀区高三年级第二学期期末练习数学 (理科) 参考答案及评分标准 2013.5说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCBCABD二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分, 共30分) 9. 2 10.c b a >>11. (1,3) 12.312;2+ 13.[0,1]14.②③;22-三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.(本小题满分13分)解:(I )因为πsin()04x -≠所以ππ,4x k -≠Z k ∈ …………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠Z}k ∈……………………4分(II )因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x-=-- …………………6分= 1(cos sin )x x -+1sin cos x x =++π= 12()4x ++ …………………8分又sin y x =的单调递增区间为ππ(2π,2π)22k k -+ ,Z k ∈令πππ2π2π242k x k -<+<+解得 3ππ2π2π44k x k -<<+ ………………11分又注意到ππ+,4x k ≠所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+, Z k ∈ …………………13分16. 解:(I )设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-= …………………4分(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ则ξ可以取5,0,45,145-- ………………6分ξ的分布列为ξ5 0 45- 145-P50%50%2%p --2%p…………………8分所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p pξ=?+?--+-?+-?2.590%145p =-- …………………11分所以当 1.61450p ->时,即8725p < …………………12分所以当80725p <<时,福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分 17.解:(I )因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上所以PH ⊥平面ABC ,所以PH ⊥AC ………………1分因为在直角梯形ABCD 中,90ABC DAB ∠=∠= ,30CAB ∠= ,2BC =,4AD =所以4AC =,60CAB ∠= ,所以ADC ?是等边三角形,所以H 是AC 中点,…………2分所以//HE PC …………………3分同理可证//EF PB ,又,HE EF E CP PB P == 所以//EFH PBC 平面PBC …………………5分 (II )在平面ABC 内过H 作AC 的垂线如图建立空间直角坐标系,则(0,2,0)A -,(0,0,23)P ,(3,1,0)B …………………6分因为(0,1,3)E -,(0,1,3)HE =-设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z = 因为(3,1,0)HB = ,(0,0,23)HP = 所以有00HB n HP n ??=???=??,即300x y z ?+=??=??,令3,x =则3,y =- 所以 (3,3,0)n =-…………………8分 33cos ,4||||223n HE n HE n HE ?<>===??…………………10分所以直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值为34..................11分 (III)存在,事实上记点E 为M 即可 (12)分因为在直角三角形PHA 中,122EH PE EA PA ====, …………………13分在直角三角形PHB 中,点4,PB =122EF PB == 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等…………………14分 18.解: (I) 因为1()||e 2t S t t a =-,其中t a ≠ ………………2分当0a =,1()||e 2t S t t =,其中0t ≠ 当0t >时,1()e 2t S t t =,1'()(1)e 2t S t t =+,所以'()0S t >,所以()S t 在(0,)+∞上递增, ……………4分当0t <时,1()e 2t S t t =-,1'()(1)e 2t S t t =-+,令1'()(1)e 02t S t t =-+>, 解得1t <-,所以()S t 在(,1)-∞-上递增令1'()(1)e 02t S t t =-+<, 解得1t >-,所以()S t 在(1,0)-上递减……………7分综上,()S t 的单调递增区间为(0,)+∞,(,1)-∞-()S t 的单调递增区间为(1,0)-(II )因为1()||e 2t S t t a =-,其中t a ≠ 当2a >,[0,2]t ∈时,1()()e 2t S t a t =-因为0[0,2]t ?∈,使得0()e S t ≥,所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---,令'()0S t =,得1t a =- …………………8分当12a -≥时,即3a ≥时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立,()S t 单调递增所以当2t =时,()S t 取得最大值21(2)(2)e 2S a =-令21(2)e e 2a -≥ ,解得 22ea ≥+ , Fz yxHECP BA所以3a ≥ …………………10分当12a -<时,即3a <时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立,()S t 单调递增1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立,()S t 单调递减所以当1t a =-时,()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=令11(1)e e 2a S a --=≥ ,解得ln 22a ≥+所以ln 223a +≤< …………………12分综上所述,ln 22a +≤ ………13分19.解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60 的菱形的四个顶点,所以3,1a b ==,椭圆M 的方程为2213x y += ………………4分 (II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1(0,)2-, 显然直线AB 有斜率,当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以22222111111111111=|2|||||||||1(1)(3)2333AOB x x S x y x y x x x x ?==-=-=-因为22221111(3)3(3)22x x x x +--≤=, 所以32AOB S ?≤,当且仅当16||2x =时,AOB S ?取得最大值为32……………7分当直线AB 的斜率不为0时,则设AB 的方程为y kx t =+所以2213y kx tx y =+???+=??,代入得到222(31)6330k x kt t +++-= 当224(933)0k t ?=+->, 即2231k t +>①方程有两个不同的解又122631kt x x k -+=+,1223231x x ktk +-=+ …………………8分所以122231y y t k +=+,又12121 12202y y x x k ++=-+-,化简得到2314k t += ②代入①,得到04t << ………………10分又原点到直线的距离为2||1t d k =+22221224(933)||1||131k t AB k x x kk +-=+-=++所以222224(933)11||=||||122311AOB k t t S AB d k k k ?+-=+++ 化简得到21=3(4)4AOB S t t ?- ……………12分因为04t <<,所以当2t =时,即73k =±时,AOB S ?取得最大值32综上,AOB ?面积的最大值为32……………14分 20.(I )解:法1: 21012101-?????→?????→----改变第列改变第行法2:21012101--?????→?????→----改变第行改变第列法3:21012101----?????→?????→--改变第列改变第列。

2013年海淀区数学高三年级第二学期期中练习

2013年海淀区数学高三年级第二学期期中练习（文科）2013.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 集合，则A. B. C. D.2.等差数列中, 则的值为A. B. C. 21 D.273. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的值为5，则输出的值为Ａ. B. C. D.4. 已知，下列函数中，在区间上一定是减函数的是Ａ. B.C. D.5. 不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则的值为A. B. 1 C. 2 D.36. 命题；命题双曲线的离心率为.则下面结论正确的是A. 是假命题B. 是真命题C. 是假命题D. 是真命题7.已知曲线在点处的切线经过点，则的值为Ａ. B. C. D.8. 抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为A. B. 4 C. 6 D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在复平面上，若复数（）对应的点恰好在实轴上，则=_______.10.若向量满足，则的值为______.11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______.12.在中，若，则13.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.14.已知函数，任取，定义集合:，点，满足. 设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则(1) 若函数，则=______;（2）若函数，则的最小正周期为______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求的值和的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.17. （本小题满分14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设平面平面= ，试问直线是否与直线平行，请说明理由.18. （本小题满分13分）函数,其中实数为常数.(I) 当时，求函数的单调区间；(II) 若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围.19. （本小题满分14分）已知圆：,若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为.（I）求椭圆的方程；（II）已知直线：，若直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点（其中点在线段上），且，求的值.20. （本小题满分13分）设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：.（Ⅰ）请问：点的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；（Ⅱ）已知点，若点满足，求点的坐标；（Ⅲ）已知为一个定点，点列满足：其中，求的最小值.。

2013北京市海淀区高三年级第二学期二模数学理科试题及其答案

2013北京市海淀区高三年级第二学期期末练习1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则AB =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ． [1,2]D ．[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A. 32B. 36C. 42D. 487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 A. 2 B.12+ C.13+ D.23+666左视图5俯视图主视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B. 若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b = C _____.AB S ∆=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题:15. 已知函数cos2()1π2sin()4x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.(I) 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.17. （本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． (I) 求证：平面//EFH 平面PBC ；(II) 求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；(III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.CDBA图1H E CPBAF图218. 已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （I ）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（II ）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆M 的方程；（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求A O B ∆（O 为原点）面积的最大值.。

北京市海淀区2013届高三第二学期期末考试(二模)数学理科带解析

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2013．5本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一个． 1、集合()(){}|120A x x x =-+≤，{}|0B x x =<，则A B = （）A ．(]0-∞，B ．(]1-∞，C ．[]12，D ．[)1+∞，2、已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为（） A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3、如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（） A ．ma n B ．namC ．2ma nD ．2na m4、某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（）A ．180B ．240C ．276D ．3005、在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得AB DC λ= ，AD BC λ=”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（） A ．32 B ．36 C ．42 D ．487、双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，且2F 恰好为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F △是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（） AB．1 C．1+ D．2 8、若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足1a m =（0m >），111101n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<⎪⎩，，≤．则下列结论中错误的是（）A ．若34a =，则m 可以取3个不同的值 B．若m {}n a 是周期为3的数列C ．*T ∀∈N 且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列D ．m ∃∈Q 且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．俯视图10、已知1ln 2a =，1sin 2b =，122c -=，则a ，b ，c 按照从大到小排列为________．11、直线1l 过点()20-，且倾斜角为30︒，直线2l 过点()20，且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为________．12、在ABC △中，30A ∠=︒，45B ∠=︒，a b =________；ABC S =△________．13、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是________．14、在平面直角坐标系中，动点()P x y ，到两条坐标轴的距离之和等于它到点()11，的距离，记点P 的轨迹为曲线W ．⑴给出下列三个结论：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是________．⑵曲线W 上的点到原点距离的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、（本小题满分13分）已知函数()cos 21π4xf x x =-⎛⎫- ⎪⎝⎭．⑴ 求函数()f x 的定义域； ⑵ 求函数()f x 的单调递增区间．16、（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖金额有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%．⑴ 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； ⑵ 为了能够筹得资金资助福利事业，求p 的取值范围．17、（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=︒，30CAB ∠=︒，2BC =，4AD =，把D A C △沿对角线AC 折起到PAC △的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点E ，F 分别为线段PA ，AB 的中点．⑴ 求证：平面EFH ∥平面PBC ；⑵ 求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；⑶ 在棱PA 上是否存在一点M ，使得M 到P ，H ，A ，F 四点的距离相等？请说明理由．DCBAAP HFE图1 图218、（本小题满分13分）已知函数()e x f x =，()0A a ，为一定点，直线x t =（t a ≠）分别与()f x 的图象和x 轴交于点M ，N ，记AMN △得面积为()S t ． ⑴ 当0a =时，求函数()S t 的单调区间；⑵ 当2a >时，若[]002t ∃∈，，使得()0e S t ≥，求a 的取值范围．19、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b+=（0a b >>）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60︒的菱形的四个顶点．⑴ 求椭圆M 的方程；⑵ 直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点102⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求A O B △（O为原点）面积的最大值．20、（本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．⑴ 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；⑵ 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，求整数a 的所有可能值；⑶ 对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．参考答案一、选择题【解析】 C ；对于A ，当34a =时，21,54a =，151,,645a m ==；m 可取3个不同的值，正确．对于B ，数列{}n a ,1,1,1,1,...于是{}n a 周期为3，正确．对于C ，为构造这样的数列，仅需()11m m T =--即可，解得1m =>，满足题意，C 正确．对于D ，若为周期数列，则存在,,,p q p q m ∈Z ≤，有1m q m p=--．化简得 ()()210m p q m pq -++-=．解得m =()24p q -+不是完全平方数（任意两个平方数的差不是4），于是m ∉Q ．D 错误．二、填空题【解析】 ②③，2不妨设(),P x y，有x y +=，化简得曲线方程为：1,0,011,01,01,0,01x y x y x y x x y xy x y x -⎧=⎪+⎪=⎪⎨=⎪⎪-=<<⎪+⎩≥≥≤≤，图像如下：其余过程略．三、解答题 15、【解析】 ⑴π04x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭知ππ,4x k k -≠∈Z ，于是函数的定义域为ππ,4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．⑵22cos 2cos sin ππ111πsin cos 44x x x y x x x x -⎛⎫=-=-=++ ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭．于是()f x 的单调递增区间为πππ3π2π2ππ2π,2π,24244k x k x k k k ⎡⎤+++⇒∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z -≤≤由因为ππ4x k ≠+，知单调增区间为3ππ2π,2π,44k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ．16、【解析】 ⑴考虑反面的情形，两张彩票均不中的概率为211124⎛⎫-= ⎪⎝⎭．于是至少有一张彩票中奖的概率为13144-=． ⑵不妨设顾客购买一张彩票中奖所得钱数为X ，于是X 的分布列如下：()800.550.48500.021505725p p p ⋅+-+⋅+⋅<⇒< 于是，p 的取值范围为80,725⎛⎫ ⎪⎝⎭．17、【解析】 ⑴EH PC FH BC ⎫⇒⎬⎭∥∥平面EFH ∥平面PBC⑵由PC EH ∥，知EH 与面PHB 所成角即PC 与面PHB 所成角，不妨设为α，设点C 到平面PHB 的距离为d ，则sin 4d dPC α==．而1133C PHB PHB BCHV S d S -=⋅⋅=⋅⋅△△而1122BCH ABC PHB S S S PH HB ==⋅⋅=△△△d所以sin α．即EH 与平面PHB ．⑶不妨设这样的点M 存在，则PM MH =，于是M 在线段PH 的垂直平分线与PA 的交点处，于是M 位于PA 的中点．由PHA △为直角三角形，此时有MP MH MA ==．又122MF PB MA ==，有MP MH MA MF ===．18、【解析】 ()1,2t S t t a e t a =-≠． ⑴当0a =时，()1,021,02t t te t S t te t ⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，于是()()()11,0211,02t t t e t S t t e t ⎧+>⎪⎪'=⎨⎪-+<⎪⎩．则在(),1-∞-，()0,+∞上，有()0S t '>，此时()S t 单调增；在()1,0-上，()0S t '<，此时()S t 单调减． ⑵当2a >时，若[]00,2t ∃∈，有()00012t S t t a e e -=≥，即存在[]00,2t ∈，有0102t a t e ->+．设()12t g t t e -=+，仅需()min a g t >，[]0,2t ∈即可．由()112t g t e -'=-，知min 于是a 的取值范围是()2ln 2,++∞．19、【解析】 ⑴2213x y +=．⑵易知直线l 斜率存在．①当直线l 斜率为0时，不妨设:l y m =，则22111222m m S AB m -+=⋅=⋅，当且仅当m = ②当直线l 斜率不为0时，不妨设:l y kx b =+，联立直线与椭圆方程，有 2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有()22212103k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，l 与x 轴交于H ，线段AB 的中点为M ．则 122213kb x x k -+=+，2122113b x x k -=+，2213,1133b kb M k k ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭．且22110033k b ∆>⇒+->线段AB 的垂直平分线方程为221131133bkb y x k k k ⎛⎫ ⎪-=-+ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭，由其过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，知21433k b +=，由0∆>知1,44b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 12121122AOB bS OH y y k x x k =⋅-=⋅⋅⋅-△22142333b b b k k b=⋅===++于是当2b =时，max S 由①②知，AOB △，此时直线AB的方程为y =或2y =+．20、【解析】 ⑴⑵ 原数表第一行与第三列和为负数．一次操作后数表变为①或②①不满足题意，仅需1a ≠即可；对于表②，仅需210a -<或520a -<即可，解得12a <或52a >．所以，为使一步调整不能到位，仅需0a ≤或3a ≥．由题意知，表①或者表②再进行一次调整后即可满足题意．对于表①，由第二列和非负，知[)1,1a ∈-，此时第一列非负，第二次调整必须为第三列，表①变为0,520a -≥，知0,1a =-．对于表②，第二步调整不能为第二行（否则第4列和第2列至少一个为负），调整第一行后表②变为1,0-．综上有，1,0a =-．⑶ 能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数．设数表中第i 行第j 列的数为ij a ，行和分别为12,,,m a a a ，列和分别为12,,,n b b b ，数表中所有数的和1212m n S a a a b b b =+++=+++记集合{}{}112212|,,,1,1,1,2,,i i n in n M a a a i m λλλλλλ=+++∈-= {}{}112212|,,,1,1,1,2,,j j m mj m N a a a j n μμμμμμ=+++∈-=δ为集合()(){}|,0x x M x N x ∈∨∈≠中的最小数．则① 每次操作必然使得S 增加2δ；② S 有上界（最初数表中所有数的绝对值之和）．因此经过有限次操作后必然停止，此时所有行和和列和均为非负数．。

2013年北京市海淀区高三二模文科数学试卷及答案(B版)

2013年北京市海淀区高三二模文科数学试卷及答案(B版)海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科） 2013.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2. 已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A.a b c<< B.a c b << C.b a c <<D.b c a <<3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为 A.manB.na mC.2ma nD.2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为6665俯视图A.180B.240C. 276D.3005.下列函数中，为偶函数且有最小值的是 A.2()f x xx=+ B.()|ln |f x x =C.()sin f x x x =D.()e e xxf x -=+ 6.在四边形ABCD 中，“R λ∃∈，,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为A.2B.12C.13D.238.若数列{}na 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tnaa +=成立，则称数列{}na 为周期数列，周期为T . 已知数列{}na 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A.若45m =，则53a =B.若32a=，则m 可以取3个不同的值三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知等差数列{}na 的前n 项和为nS .(I) 若1101,100a S==，求{}na 的通项公式；(Ⅱ)若26nS n n=-，解关于n 的不等式2nn Sa n+>.16.（本小题满分13分）已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，且2BD DC =，75,30ADB ACD ∠=∠=，2AD =（I ）求CD 的长；（II ）求ABC ∆的面积.17.（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，BA BC=. 把BAC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置，使得P 点在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上, 如图2所示. 点,E F 分别为棱,PC CD 的中点. （I ）求证：平面//OEF 平面APD ；（Ⅱ）求证：CD ⊥平面POF ；(Ⅲ) 在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P O C F四点距离相等？请说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数()ln ,()(0)a f x x g x a x==->. （I ）当1a =时，若曲线()y f x =在点0(,())M x f x 处的切线与曲线()y g x =在点0(,())P x g x 处的切线平行，求实数0x 的值；（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f x g x ≥+，求实数a 的取值范围.图2EOADPCDBA 图119. （本小题满分14分）已知椭圆:C22221(0)x ya ba b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点. （I）求椭圆C的方程；（II）若直线y kx=交椭圆C于,A B两点，且在直线:30l x y+-=上存在点P，使得PAB∆为等边三角形，求k的值.20.（本小题满分13分）设A是由m n⨯个整数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行1 2 37-2-1 0 1的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若经过任意．．一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的值；表2(Ⅲ) 对由m n ⨯个整数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准 2013．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）22221212a a a a a a a a ------题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D C B D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）设{}na 的公差为d因为11a=，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分所以1101,19a a == ……………………4分所以2d =9． 1i -+ 10．乙 11. 16-或 16 12．2213．1π2π;(,)233-14．1;02k <≤所以21n a n =-……………………6分（II ）因为26nS n n=-当2n ≥时，21(1)6(1)n Sn n -=---所以27nan =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以27n a n =- ……………………10分所以247n n S a n n +=--所以2472nn n-->，即2670nn -->所以7n >或1n <-，所以7n >，Nn ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，2AD =根据正弦定理有sin45sin30CD AD=……………………4分所以2CD = ……………………6分（II ）所以4BD = ……………………7分又在ABD ∆中， 75ADB ∠=，62sin75sin(4530)+=+= (9)分所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅= ……………………12分所以33332ABC ABD S S ∆∆+== ……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin105sin30ACAD=而62sin105sin(4560)+=+=……………………8分所以31AC =……………………10分又4BD =，6BC = ……………………11分所以1333sin302ABC S AC BC ∆+=⋅⋅= ……………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC，所以PO ⊥AC…………………2分因为AB BC =，所以O是AC中点，…………………3分所以OE PA//…………………4分同理//OF AD又,OE OF O PA AD A==所以平面//OEF平面PDA…………………6分（II）因为//⊥OF AD，AD CD所以⊥OF CD…………………7分又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC所以PO⊥CD…………………8分又OF PO O=所以CD⊥平面POF…………………10分(III)存在，事实上记点E为M即可 (11)分因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC = …………………12分同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分所以点E到四个点,,,P O C F的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =,211'(),()f x g x x x==…………………2分若函数()f x 在点0(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点0(,())P x g x处的切线平行，所以211x x =，解得01x=此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x =…………………4分（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f x g x ≥+记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-，只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x aF x x x x-=-=…………………6分则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：x (0,)a a (,)a +∞ '()F x - 0+ ()F x 极大值…………………8分当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥所以ea ≥…………………10分当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得ea ≥所以e ea ≤<………………12分综上，e a………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点, 所以3,1a b ==,椭圆C的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x += 所以123||31x k =+，则2222333||13131k AO kk k +=+=++………………8分设AB 的垂直平分线为1y xk=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为0(,)P x y所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则2299||(1)k PO k +=-………………10分因为PAB ∆为等边三角形，所以应有||3|PO AO =代入得到222299333(1)31k k k k ++-+解得0k =（舍），1k =-……………13分此时直线AB 的方程为y x =- 综上，直线AB的方程为y x=-或y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列（写出一种即可）…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==. …………………6分② 如果操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a 解得1a =…………………9分综上1a =…………………10分(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于11||mniji j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。

2013北京市海淀区高三二模文科数学Word版含答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2013.5本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =U A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞ 2 已知a =ln21,b=sin 21,c=212-，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2 +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e x +e -x6 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.1+1+2俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若m=54，则a 5＝3 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C. 若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 复数ii-12=______ 10 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11 已知数列{a n }是等比数列，且a 1 .a3 =4,a 4=8,a 3的值为____. 12 直线y= x+1被圆x 2-2x +y 2-3 =0所截得的弦长为_____ 13 已知函数f(x)=sin()10)(62<<-ωπωx 的图象经过点[0, π]上的单调递增区间为________14 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(10401x k y y x y 其中k 0,>∈k R(I)当k=1时的最大值为______； (II)若2x y的最大值为1，则实数a 的取值范围是_____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15 (本小题满分13分）已知等差数列{a n }的前n 项和为 S n (I)若a 1=1，S 10= 100，求{a n }的通项公式; (II)若S n =n 2-6n ，解关于n 的不等式S n +a n >2n16 (本小题满分13分）已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ADB ∠=750，ACB ∠=30°,AD =2.(I)求CD 的长； (II)求ΔABC 的面积17 (本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD//BC, ADC ∠=900，BA=BC 把ΔBAC 沿AC 折起到PAC∆的位置,使得点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点,E F 分别为线段PC ，CD 的中点．(I) 求证：平面OEF//平面APD ； (II)求直线CD 与平面POF(III)在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点P,O,C,F 四点的距离相等？请说明理由.18 (本小题满分13分）已知函数f(x) =lnx g(x) =-)0(>a ax(1)当a=1时，若曲线y=f(x)在点M (x 0,f(x 0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x 0, g(x 0））处的切线平行，求实数x 0的值；(II)若∈∀x (0,e]，都有f(x)≥g(x) 23，求实数a 的取值范围.19 (本小题满分丨4分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点.(I)求椭圆C 的方程；(II)若直线y =kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB 为等边三角形,求k 的值.20 (本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1 (Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.数学（文科）22221212a a a a a a a a ------参考答案及评分标准 2013．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分所以1101,19a a == ……………………4分所以2d =所以 21n a n =- ……………………6分（II ）因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以 27n a n =- ……………………10分所以247n n S a n n +=--所以2472n n n -->，即2670n n --> 所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=o ，所以45DAC ∠=o在ACD ∆中，AD =，根据正弦定理有sin45sin30CD AD=o o……………………4分所以2CD = ……………………6分（II ）所以4BD = ……………………7分又在ABD ∆中，75ADB ∠=o ，sin75sin(4530)=+=o o o ……………………9分所以1sin7512ADB S AD BD ∆=⋅⋅=o ……………………12分所以3322ABC ABD S S ∆∆== ……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD=o o而 sin105sin(4560)=+=o o o ……………………8分所以1AC ……………………10分又4BD =，6BC = ……………………11分所以 ……………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分同理//OF AD又,OE OF O PA AD A ==I I所以平面//OEF 平面PDA …………………6分（II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ …………………7分又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………8分又OF PO O =I所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC =…………………12分同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x x x== …………………2分若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行，所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = …………………4分（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+ 记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-，只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x aF x x x x-=-= …………………6分则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：…………………8分当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e2a ≥ 所以e a ≥…………………10分当e a <时，函数()F x 在(0,)a上单调递减，在(,e)a 上单调递增，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得a ≥ e a< ………………12分 a ≤ ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点, 所以1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为|||3AB PO ==，所以60PAO ∠=o ，所以PAB∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为ykx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x +=所以 1||x =||AO ==………………8分设AB 的垂直平分线为1y x k =-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则||PO =………………10分因为PAB ∆为等边三角形，所以应有|||PO AO =代入得到=0k =（舍），1k =-……………13分此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列（写出一种即可） …………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==. …………………6分② 如果操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a解得1a = …………………9分综上1a = …………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||mnij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。

2013北京市海淀区高三二模文科数学Word版含答案

2013北京市海淀区高三二模文科数学Word版含答案海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2013.5本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则AB =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞2 已知a =ln 21,b=sin 21,c=212-，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为 A.ma nB.na mC.2ma nD.2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何Ω体的表面积为A.180B.240C.276D.3005 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2+x B.f(x) = |lnx| C.f(x)=xsinx D.f(x) =e x +e -x6 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 A.2B.12C.13+D.238. 若数列{}na 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tnaa +=成立，则称数列{}na 为周期数列，周期为T . 已知数列{}na 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，6665俯视图则下列结论中错误．．的是 A. 若m=54，则a 5＝3B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C. 若2m =，则数列{}na 是周期为3的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}na 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 复数ii -12=______10 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11 已知数列{a n }是等比数列，且a 1 .a3 =4,a 4=8,a 3的值为____.12 直线y= x+1被圆x 2-2x +y 2-3 =0所截得的弦长为_____13 已知函数f(x)=sin()10)(62<<-ωπωx 的图象经过点[0, π]上的单调递增区间为________14 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(10401x k y y x y 其中k 0,>∈k R(I)当k=1时的最大值为______；y的最大值为1，则实数a的取值范围(II)若2x是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 (本小题满分13分）已知等差数列{a n}的前n项和为 S n(I)若a1=1，S10= 100，求{a n}的通项公式;(II)若S n=n2-6n，解关于n的不等式S n+a n>2n16 (本小题满分13分）已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ADB∠=30°,AD =2.∠=750，ACB(I)求CD的长；(II)求ΔABC的面积17 (本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ADC∠=900，BA=BC 把ΔBAC 沿AC 折起到PAC ∆的位置,使得点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点,E F 分别为线段PC ，CD 的中点．(I) 求证：平面OEF//平面APD ； (II)求直线CD 与平面POF(III)在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点P,O,C,F 四点的距离相等？请说明理由.18 (本小题满分13分）已知函数f(x) =lnx g(x) =-)0(>a ax(1)当a=1时，若曲线y=f(x)在点M (x 0,f(x 0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x 0, g(x 0））处的切线平行，求实数x 0的值；(II)若∈∀x(0,e]，都有f(x)≥g(x) 23，求实数a的取值范围.19 (本小题满分丨4分）已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.(I)求椭圆C的方程；(II)若直线y =kx交椭圆C于A，B两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得ΔPAB为等边三角形,求k的值.20 (本小题满分13分）设A是由m n⨯个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. 1 2 3 7-2-1 0 1(Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.数学（文科）参考答案及评分标准 2013．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题22221212a a a a a a a a ------分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D C B D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）设{}na 的公差为d因为11a=，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分所以1101,19a a == ……………………4分9． 1i -+ 10．乙 11. 16-或 16 12．2213．1π2π;(,)233-14．1;02k <≤所以2d = 所以21n a n =- ……………………6分（II ）因为26nS n n=-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27na n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以27n a n =- ……………………10分所以247nn S a n n +=--所以2472nn n-->，即2670nn -->所以7n >或1n <-，所以7n >，Nn ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，2AD =根据正弦定理有sin45sin30CD AD=……………………4分所以2CD = ……………………6分（II ）所以4BD = ……………………7分又在ABD ∆中， 75ADB ∠=，62sin75sin(4530)+=+= (9)分所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅= ……………………12分所以33332ABC ABD S S ∆∆+== ……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD=而62sin105sin(4560)+=+=……………………8分所以AC=31……………………10分又4BD=，BC=……6………………11分所以……………………13分17.解：（I）因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AC…………………2分因为AB BC=，所以O是AC中点，…………………3分所以OE PA//…………………4分同理//OF AD又,OE OF O PA AD A== 所以平面//OEF 平面PDA…………………6分（II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD⊥…………………7分又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC 所以PO ⊥CD…………………8分又OF PO O=所以CD ⊥平面POF…………………10分(III)存在，事实上记点E为M即可 …………………11分因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥ 又E为PC中点，所以12EF PC = (12)分同理，在直角三角形POC中，12EP EC OE PC ===， …………………13分所以点E到四个点,,,P O C F的距离相等 …………………14分18.解：（I）当因为1a =,211'(),()f x g x x x== (2)分若函数()f x 在点0(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点0(,())P x g x处的切线平行，所以20011x x =，解得01x=此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x =…………………4分（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-，只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x a F x x x x-=-=…………………6分则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：x (0,)a a (,)a +∞ '()F x - 0+ ()F x 极大值…………………8分当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥所以ea ≥…………………10分当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得e a所以e ea ≤<………………12分综上，e a≤………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点, 所以3,1a b ==,椭圆C的方程为2213x y += ………………4分(II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3kx +=所以123||31x k =+，则2222333||13131k AO kk k +=+++………………8分设AB的垂直平分线为1y xk=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为0(,)P x y所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则2299||(1)k PO k +=-………………10分因为PAB ∆为等边三角形，所以应有||3|PO AO =代入得到222299333(1)31k k k k ++=-+解得0k =（舍），1k =-……………13分此时直线AB 的方程为y x =- 综上，直线AB的方程为y x=-或y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列（写出一种即可） …………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==. …………………6分② 如果操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a 解得1a = …………………9分综上1a =…………………10分(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于11||mniji j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。

北京市海淀区高三第二学期期中练习数学(文科)

北京市海淀区高三第二学期期中练习数学（文科）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生除需将学校、班级、姓名写在试卷上，还务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，除需答在试卷上，还需用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案号.3.考试结束，考生将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}M N M ax x N a x x M ==-==-= 且01|,0|，那么实数a 等于（）（A ）1（B ）–1 （C ）1或–1 （D ）1或–1或0 （2）二项式6)12(xx -展开式中的常数项是（）（A ）20 （B ）–20 （C ）160 （D ）–160 （3）若ππ<<=x x 2,212cos 其中，则x 的值是（）（A ）6π （B ）65π （C ）32π （D ）35π（4）到定点的距离与到定直线的距离之比等于3log 2的点的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线（5）已知命题甲：“x >2”、命题乙：“x ≥2”，那么命题甲是命题乙成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件（6）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若10173=+a a ，则19S 的值（）（A ）是55 （B ）是95 （C ）是100 （D ）不能确定（7）如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点.则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是（）（8）过定点P （0，2）作直线l ，使l 与曲线)1(42-=x y 有且仅有1个公共点，这样的直线l 共有（）（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条（9）已知点P （x ，y ）在直线x +2y =3上，那么y x 42+的最小值（）（A ）是22 （B ）是24 （C ）是16 （D ）不存在（10）函数x y 2log =与x y 21log 2+-=的图象（）（A ）关于直线x =1对称（B ）关于直线y =x 对称（C ）关于直线y =–1对称（D ）关于直线y =1对称（11）若l 是过椭圆一个焦点且与长轴不重合的一条直线，则此椭圆与l 垂直且被l 平分的弦（）（A ）有且只有1条（B ）有且只有2条（C ）有3条（D ）不存在（12）某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是8、2、5、3、7、1参加抽奖的每位顾客从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个号码中任意抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖.一位顾客可能抽出的不同号码组共有m 组，其中可以中奖的号码共有n 组.则mn的值为（）（A ）71 （B ）301 （C ）354 （D ）425 第Ⅱ卷二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.（13）已知52)(,2-=-=βαtg tga ，那么=βtg .（14）不等式2)31(32-<x x 的解集为 .（15）函数)4(log 22x x y -=的递增区间是 .（16）一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为（写出一个可能值）. 三、解答题：本大题共74分. （17）（本小题满分12分）已知复数z 满足2,2||z z =的虚部为2. （Ⅰ）求argz ，并写出z 的三角式；（Ⅱ）设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积.（18）（本小题满分12分）已知边长为a 的正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G （如图），将此三角形沿DE 折成二面角B DE A --'.（Ⅰ）求证：平面A ′GF ⊥平面BCED ；（Ⅱ）当二面角B DE A --'的余弦值为多少时，异面直线A ′E 与BD 互相垂直？证明你的结论.（19）（本小题满分12）已知数列{}1,1=a a n 中，前n 项和为n S ，对于任意232,,43,21---≥n n n S a S n 总成等差数列. （Ⅰ）求432,,a a a 的值；（Ⅱ）求通项;n a （Ⅲ）计算n n S ∞→lim .（20）（本小题满分12分）已知函数y =f （x ）是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f （x ）（–1≤x ≤1）是奇函数，且在[1，4]上是二次函数，在x =2时函数取得最小值–5.（Ⅰ）证明：f （1）+f （4）=0 （Ⅱ）试求y =f （x ），x ∈[1，4]的解析式. （21）（本小题满分12分）某港口水的深度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作y =f （t ），下面是经长期观察，y =f （t ）的曲线可近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象.（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数b t A y +=ωsin 的最小正周期、振幅和表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）. （22）（本小题满分14分）已知圆C ：4)4(22=++y x .圆D 的圆心D 在y 轴上，且与圆C 外切.圆D 与y 轴交于A 、B 两点，点P 为（–3，0）.（Ⅰ）若点D 坐标为（0，3），求∠APB 的正切值；（Ⅱ）当点D 在y 轴上运动时，求tg ∠APB 的最大值.。

2013北京市海淀区高三二模理科数学Word版含答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2013.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0Ax x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q+的值为A ．3B ．2C ．3或2-D ．3或3- 3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为 A.m a nB.n a mC.2m a nD.2n a m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形A B C D 中，“λ∃∈R ，使得,A B D C A D B Cλλ==”是“四边形A B C D为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A.32 B. 36 C. 42 D.487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12A F F ∆是以1A F 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.1+1+D.2+俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tna a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值B.若m={}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在极坐标系中，极点到直线c o s 2ρθ=的距离为_______. 10.已知1211ln,sin,222ab c -===，则,,a b c 按照从．大到小．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30 ，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____. 12.在A B C ∆中，30,45,A B a ∠=∠==，则_____;b=C _____.A B S ∆=13.正方体1111A B C D A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1B D 上运动，则DC A P⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W .(I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数c o s 2()1π()4x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.17. （本小题满分14分）如图1，在直角梯形A B C D 中，90A B CD A B ∠=∠=，30C A B∠=，2B C =，4AD =. 把D A C∆沿对角线A C 折起到P A C ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面A B C 上的正投影H 恰好落在线段A C 上，连接P B ,点,E F 分别为线段,P A A B 的中点． (I) 求证：平面//E F H 平面P B C ； (II)求直线H E 与平面P H B 所成角的正弦值；(III)在棱P A 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.CDBA图1H E CPBAF图218.（本小题满分13分）已知函数()exf x =,点(,0)A a 为一定点,直线()xt t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记A M N ∆的面积为()S t . （I ）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（II ）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆M 的方程；（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段A B 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求A O B ∆（O 为原点）面积的最大值.20.（本小题满分13分）设A 是由mn⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值； (Ⅲ)对由mn⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.22221212a a a a aaa a------海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准 2013．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为πsin ()04x-≠所以ππ,4xk -≠Zk ∈ ……………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4xx k ≠Z }k ∈ ……………………4分（II ）因为22c o s sin ()1sin c o s x x f x x x-=-- ……………………6分= 1+(c os sin )x x +π= 1()4x ++……………………8分又sin y x=的单调递增区间为ππ(2π,2π)22k k -+，Z k ∈令 πππ2π2π242k x k -<+<+解得 3ππ2π2π44k x k -<<+ ……………………11分又注意到ππ+,4xk ≠9． 2 10．c b a >>11.12．2213．[0,1]14．②③;2-所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+， Z k ∈ …………………13分16. 解：（I ）设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-= …………………4分(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ则ξ可以取5,0,45,145-- …………………6分 ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p pξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =-- …………………11分所以当 1.61450p ->时，即8725p<…………………12分所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面A B C 上的正投影H 恰好落在线段A C 上所以P H ⊥平面A B C ，所以P H ⊥A C …………………1分因为在直角梯形A B C D 中，90A B CD A B ∠=∠=，30C A B∠=，2B C =，4AD =所以4A C =，60C A B ∠=，所以A D C ∆是等边三角形，所以H 是A C 中点， …………………2分所以//H E P C …………………3分同理可证//E F P B 又,H EE F E C P P B P==所以//E F H P B C 平面P B C …………………5分（II ）在平面A B C 内过H 作A C 的垂线如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，(0,0,P ，0)B …………………6分因为(0,E -，(0,H E =-设平面P H B 的法向量为(,,)nx y z =因为0)H B =，(0,0,H P =所以有00H Bn H Pn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =- 所以3,0)n =-…………………8分c o s ,4||||n H E n H E n H E ⋅<>===⋅…………………10分所以直线H E与平面P H所成角的正弦值为4…………………11分(III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………12分因为在直角三角形P H A 中，122E H P E E A P A ====， (13)分在直角三角形P H B 中，点4,P B =122E F P B ==所以点E到四个点,,P O C F 的距离相等 …………………14分 18.解: (I) 因为1()||e2tS t t a =-，其中t a ≠ …………………2分当0a =，1()||e 2tS t t =，其中0t ≠ 当0t >时，1()e2tS t t =，1'()(1)e2tS t t =+，所以'(S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增， …………………4分当0t <时，1()e2tS t t =-，1'()(1)e2tS t t =-+，令1'()(1)e 02tS t t =-+>，解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增令1'()(1)e 02tS t t =-+<，解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减 ……………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞- ()S t 的单调递增区间为(1,0)-（II ）因为1()||e2tS t t a =-，其中t a ≠当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()eS t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e 1'()[(1)]e2tS t t a =---，令'S t =，得1t a =- …………………8分当12a -≥时，即3a ≥时1'()[(1)]e 02tS t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e2S a =-令21(2)e e2a -≥ ，解得22ea ≥+ ，所以3a ≥…………………10分当12a -<时，即3a <时1'()[(1)]e 02tS t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增 1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a∈-成立，()S t 单调递减所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e2a S a --=令11(1)ee2a S a --=≥ ，解得ln 22a ≥+所以la+≤…………………12分综上所述，ln 22a+≤…………………13分19.解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点, 所以,1a b ==,椭圆M的方程为2213xy+= …………………4分(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为A B 的垂直平分线通过点1(0,)2-，显然直线A B有斜率，当直线A B 的斜率为0时,则A B 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以111111=|2|||||||||2A OB S x y x y x ∆====2211(3)322x x +-≤=，所以2A OB S ∆≤1||2x =时，A O B S ∆2………………6分当直线A B 的斜率不为0时,则设A B 的方程为y k x t=+所以2213y k x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x k t t +++-=当224(933)0kt ∆=+->, 即2231k t +>①方程有两个不同的解又122631k t x x k-+=+，1223231x x k t k+-=+ …………………9分所以122231y y t k+=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t+=②代入①，得到04t <<…………………10分又原点到直线的距离为d =12|||A B x x =-=所以1=||||2A OB S A B d ∆=化简得到=A OB S ∆…………………12分因为04t <<，所以当2t =时，即k =A O B S ∆2综上，A O B∆面积的最大值为2…………………14分20.（I ）解：法1：42123712371237211211211-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：24123712371237211211211--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法3：14123712371237211211211----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果首先操作第三列，则22221212a a a a aaaa-----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以12a ≤或52a≥当12a≤时，则接下来只能操作第一行，22221212a a a a aaaa------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a---必有2220a-≥，解得0,1a =-当52a≥时，则接下来操作第二行22221212a a a a a a a a------ 此时第4列和为负，不符合题意. …………………6分② 如果首先操作第一行22221212a a a a aaa a-----则每一列之和分别为22a -，222a-，22a -，22a当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a-≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =-经检验，0a =或1a =-符合要求综上：0a =-…………………9分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。

北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)试卷

北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）试卷2014.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -== ”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为A.1B.2C.3D.48. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则 A ．0a = B ．1a = C ．2a = D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.11.如图，AB 切圆O 于B，AB =，1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______．13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠= ，45CAD ∠= ，3,2AB AC ==，则BDDC=_____________.14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n = ）.ABC俯视图主视图侧视图若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sin cos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t . （Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围.16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.BF18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值； (Ⅱ)对任意实数a ，曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；（Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =- ，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由；（Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.1图图 2海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

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