6.5%20线性子空间

§6.5 线性子空间
§6.5 线性子空间
一、子空间的定义及判别 二、子空间的构成
第六章 线性空间
一、子空间的定义及判别 定义1：设W是线性空间V的一个非空子集，如果W中元 素对于V的加法和数乘也作为F上的线性空间，则称W是V的 一个子空间。
W 例6.5.1：W1 = {( a , 0 ) a ∈ F }， 2 = {( 0, b ) b ∈ F } 都是 F 2 的
L ( α1 , α 2 , ,α n )
L ( α1 , α 2 ,
, α n ) = {α α = k1α1 + k2α 2 +
+ knα n , ki ∈ F }
向量α 1 , α 2 ,
第六章 线性空间
, α n 称为 L (α 1 , α 2 ,
, α n )的生成元。
V中任一组向量 α 1 , α 2 ,
例6.5.2 求线性空间 F n 生成元并表示之。 解：F n 的一个生成元是： ε 1 , ε 2 ,
,ε n
F n = L (ε1 ,ε 2 ,
,ε n )
, x n −1
例6.5.4 求线性空间 F [ x ]n 生成元并表示之。 解：F [ x ]n 的一个生成元是： 1, x ,
第六章 线性空间 F [ x ]n = L(1, x ,
, α n ，使
α1 , ,
, α m , α m +1 ,
, α n 成为V的一个基。
证明：（对维数差 n − m 利用归纳法证明） 当 n − m = 0 时，结论显然成立。 假设当 n − m = k 时，结论成立。即当 n − m = k 时，能在 V中找出k个向量 α n− k +1 , , α n 使 α1 , , α n− k , α n− k +1 , , α n 构成 V的一个基。 现考虑 n − m = k + 1 的情况，这时 α1 , α 2 ,
, α r )不是零空间，则总
可以找出一组线性无关的向量，使之由这组极大线性无关组生 成。特别地当 α 1 , α 2 , , α n是线性空间V的一个基时，总有
V = L ( α1 , α 2 ,
,α n ) 。
第六章 线性空间
定理6.5.3：设W是数域F上n维线性空间V的一个m维子空 α 间， 1 , α 2 , , α m 是W的一个基，则 α1 , α 2 , , α m 可扩充为整个 空间V的基，即可在V中找出 n − m向量：α m +1 ,
第六章 线性空间
二、子空间的构成 先考虑V中一组向量的所有可能的线性组合是不是V的子 空间。
α 设V是数域F上的线性空间， 1 , α 2 ,
考虑 α1 , α 2 ,
, α n 是V中一组向量， + knα n 的全体
, α n的一切线性组合 k1α 1 + k2α 2 +
所成的集合，这个集合是非空的，且该集合中元素对加法和 数乘是封闭的，因而它是V的一个子空间，这个子空间是由 向量组 α1 , α 2 , , α n 生成的子空间。记为
k ( lα ) = ( kl )α ,
8） 1α
= α.
这就完成定理的证明。
第六章 线性空间
推论：数域F上线性空间V的一个非空子集W作为V的子 空间的充要条件是对W中任意向量 α , β 及F中任意数 k , l ， 都有
kα + l β ∈ W 。
充分性：对 ∀α , β ∈ W , ∀k , l ∈ F , 有 kα + l β ∈ W 取 k = 1, l = 1 ⇒ α + β ∈ W ; 取 k = 1, l = 0 ⇒ kα ∈ W .
, α n 可生成V的一个子空间，
那么V中任一个子空间是否一定可由一组向量生成？ 对有限维线性空间V，答案是肯定的。 设W是有限维空间V的子空间，则W也是有限维的。设 α1 , α 2 , , α n 是Ｗ的一个基。由于Ｗ中任一向量可由这个基 线性表示，故有 W = L (α1 , α 2 ,
,α n )
, α r ) 的维数等于
, βs )
向量组 α 1 , α 2 , 证明：若 因为 α i ∈ L ( β 1 , 同理 β 1 ,
, α r 的秩。
L ( α1 , α 2 ,
, β s ) , 故 α i 可由 β 1 ,
, β s 线性表示， = 1, i
, α r 线性表示，故
,r
, β s 中每个向量可由 α1 ,
3）取 k = 0 ⇒ kα = θ ∈ W , st α + θ = α , ∀α ∈ W 4）取 k = −1 ⇒ kα = −α ∈ W , st α + ( −α ) = θ , ∀α ∈ W 5） 7）
k (α + β ) = kα + k β , 6）( k + l )α = kα + lα ,
子空间。零空间 {0}, V 本身也是线性空间V的子空间，通常把 它们称为平凡子空间，V中其他子空间称之为真子空间。 由定义知，要判别数域F上线性空间V的一个非空子集W 是不是V的子空间，既要验证W中任两个元素的和以及F中任 一数与W中任一向量的数乘是否封闭，还要验证加法是否满 足四条运算律，数乘是否满足四条运算律。实际上是否要这 样做呢？
第六章 线性空间
定理6.5.1：设W是线性空间V的非空子集，W作为V的一 个子空间的充要条件是：对 ∀α , β ∈ W , ∀k ∈ F ，必有
α + β , kα ∈ W
证明：必要性显然。 下证充分性。 若对 ∀α , β ∈ W , ∀k ∈ F ，必有 α + β , kα ∈ W . 由于W中 向量必是V中向量，故对 ∀ α , β , γ ∈ W , k , l ∈ F α 1） + β = β + α , 2）(α + β ) + γ = α + ( β + γ ),
, α m 还不是V的
一个基，但它们是线性无关的。于是可以在V中找到向量 α m +1 使 α m +1 不能被 α1 , 2 , , α m 线性表示。
第六章 线性空间
第六章 线性空间
设 α1 , α 2 ,
, α r的秩为s，α i 1 , α i 2 ,
, α is ( s ≤ r )是它的一个极
, α r )} = s
大线性无关组，由上面知 L (α1 , , α r ) = L (α i 1 , α i 2 , , α is ) 因为 dim{ L(α i 1 , , α is )} = s, 所以 dim{ L(α1 , 由这个定理知，只要子空间 L(α1 ,
, x n −1 )
生成元与由它生成的子空间有以下关系：
定理6.5.2 L (α1 , α 2 , , α r ) = L ( β 1 , β 2 , , β s ) 的充要条件是：
α1 , α 2 ,
,α r 与 β1 , β 2 ,
, β s 等价。 L (α1 , α 2 ,
,α r ) = L ( β1 , β 2 ,
α1 ,
反之，若α1 ,
, α r 与 β 1 , , β s 等价。对∀α ∈ L (α1 , , α r )
, α r 与 β 1 , , β s 等价。
α
可由 β 1 , , β s 表示，即 L ( α1 , , α r ) ⊂ L ( β 1 , , β s ) 。同理 L ( β 1 , , β s ) ⊂ L ( α1 , , α r ) , 故 L ( α1 , , α r ) = L ( β 1 , , β s )