6.2 随机变量及分布

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6.2数理统计中几种常用的分布.

性质3. 设T～t(n),则:T ～F(1,n) .
2
证明:
由t分布定义 T
2
X Y /n
其中X∼N(0,1),Y～χ (n),且X与Y相互独立. 2 2 (1) / 1 X /1 2 F T 2 Y /n ( n) / n
且 2 (1)与 2 ( n)相互独立.
由F分布定义, ∴ F = T2～F(1,n) .
2
条件: 的点χ

P ( n)
2 2

2
( n )
f ( x)dx
2
(n)为χ 2(n)分布的上分位点.
χ (n)分布的上分位点图形如右图.
χ2(n)分布的上分位点可以查附表5.
2Hale Waihona Puke 13例1:求2 2 0 ( 10 ) ， )。 .05 0.1 (20
1.) 因为
P X z0.05 1 P X z0.05 1 0.05 0.95.
P X 1.64 0.9495.
P X 1.65 0.9505.
z0.05 1.64 1.65 1.645. 2
4
2.)
P X z0.005 1 PX z0.005 1 0.005 0.995.

i 1 n i 1
n
EX i2 n.
2 DX i
D D(

2n.
10
4.应用中心极限定理可得，若若 X ~ 2 (n) ，则当n充分大时， X n 2n 的分布近似正态分布N(0,1).
11
2 (n)
分布的密度函数的图形如右图.

随机变量及其分布

随机变量及其分布随机变量是概率论和统计学中的重要概念，它是描述随机现象结果的数学量。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

在统计学中，我们通常用随机变量来描述随机试验的结果。

随机变量的分布则是描述随机变量可能取值的概率规律。

本文将介绍随机变量及其分布的基本概念，以帮助读者更好地理解这一重要的统计学概念。

**随机变量的定义**随机变量是一个函数，将样本空间中的每个事件映射到实数上。

简而言之，随机变量就是能够描述随机现象结果的一个变量。

例如，投掷一枚硬币，正面朝上可以用随机变量X=1表示，反面朝上可以用随机变量X=0表示。

在这个例子中，随机变量X的取值只能是1或0，因此X是一个离散的随机变量。

**随机变量的分类**根据随机变量的取值范围不同，可以将随机变量分为离散随机变量和连续随机变量两类。

离散随机变量的取值是有限个或可列无穷个，例如上面提到的投硬币问题；而连续随机变量的取值是连续的，通常对应于实数轴上的某个区间，例如一个人的身高、体重等。

在统计学中，我们常常使用概率密度函数（probability density function）来描述连续随机变量的分布。

**随机变量的分布**随机变量的分布是描述随机变量取各种值的概率规律。

对于离散随机变量，我们可以通过概率质量函数（probability mass function）来描述其分布。

概率质量函数给出了随机变量取每个可能值的概率。

例如，对于一个掷骰子的随机变量，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中X是随机变量，x是取值。

而对于连续随机变量，我们则使用概率密度函数来描述其分布。

概率密度函数在某一区间内的取值越大，该区间的概率越大。

常见的连续分布包括正态分布、均匀分布等。

**常见的随机变量分布**1. **离散分布**- 伯努利分布：伯努利分布是最简单的离散分布，只有两个可能的取值，例如抛硬币的结果。

- 二项分布：二项分布描述了n次独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布，例如n次抛硬币后正面朝上的次数。

[课件]概率与统计 6.2 常用统计分布

2 Y = ∑Xi , 1 i =1 n 1
2 Y = ∑ Xi 2 i =n +1 1
电子科技大学
n +n2 1
常用统计分布
则
Y +Y = ∑ 1 2
n +n2 1 i =1
2 Xi
相互独立, 且Xi , i=1,2,…,n1+n2 相互独立,Xi～N(0,1), 从而 Y1+Y2～ χ2 (n1+n2).
电子科技大学
常用统计分布
总体, 总体,个体简单随机样本正态总体的 2个抽样定理个抽样定理
统计量
样本均值样本方差样本矩(样本相关系数) 样本矩(样本相关系数)
统计量的分布
χ2分布
t 分布 F分布分布
分位数结构定理
电子科技大学
常用统计分布
设随机变量X 服从正态分布N(0,1), 对给例6.2.1 设随机变量服从正态分布定的α(0<α<1),数uα满足 , 定的 , P{X > uα} = α
电子科技大学
T～t(n) ～
又称学生氏分布--第一个研究者以又称学生氏分布--第一个研究者以Student --第一个研究者
常用统计分布
定理6.2.2 设随机变量 Y 相互独立 X 设随机变量X, 相互独立, 定理 ~N(0,1),Y～ χ2(n),则 , ～ ,
X T= ~ t(n) Yn
即随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布服从自由度为分布.
电子科技大学
常用统计分布
χ2分布的三条性质: 分布的三条性质三条性质:
性质1. 数字特征数字特征) 性质 (数字特征设 χ2 ~ χ2(n) ,则有 E( χ2 ) = n , 证明 D( χ2 ) = 2n

高中数学随机变量及其分布内容简介

高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。

在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。

首先，我们要了解离散随机变量及其分布。

离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。

在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。

二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。

另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。

连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。

在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。

正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。

而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。

在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。

通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。

总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。

希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。

随机变量及其分布知识点

随机变量及其分布知识点
随机变量是概率论的重要概念，它是指一个随机试验中的某个数值特征。

随机变量可分为离散型和连续型两种类型。

离散型随机变量只能取有限的几个或无限个可数值，例如掷骰子所得点数就是一个离散型随机变量。

离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，它指定了每个可能取值的概率。

连续型随机变量可以取任意实数值，例如一个人的身高就是一个连续型随机变量。

连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述，它指定了每个可能取值的概率密度。

常见的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等，常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

这些分布函数具有特定的形式和性质，可以用于描述和分析各种随机现象的概率分布。

随机变量及其分布是概率论和数理统计的基础知识，它们在实际应用中具有广泛的应用，例如金融、统计学、物理学、工程学等领域。

对于学习和掌握这些知识点，需要熟悉概率论的基本概念、运算法则和常用的分布函数，同时还需要具备一定的数学基础和逻辑思维能力。

- 1 -。

2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册6.2.1-2.2离散型随机变量及其分布列(带答案)

§2离散型随机变量及其分布列2．1 随机变量2．2 离散型随机变量的分布列必备知识基础练知识点一随机变量的概念1.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是( )A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数2．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)白炽灯的寿命X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.知识点二随机变量表示的结果和取值3.写出下列随机变量可能的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1个球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X.4．[多选题]如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数B．ξ取所有可能值的概率之和是1C．ξ的取值与自然数一一对应D．ξ的取值是实数知识点三离散型随机变量的分布列5.某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列．6．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．注：若三个数a ，b ，c 满足a≤b≤c，则称b 为这三个数的中位数．知识点四离散型随机变量分布列的性质7.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q ＝( )A .1B ．1±22 8．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝i2a(i ＝1，2，3)，则P(X ≥2)＝( )A ．16B ．56C ．13D ．239．已知离散型随机变量X 的分布列P(X ＝k)＝k15，k ＝1，2，3，4，5，令Y ＝2X －2，则P(Y ＞0)＝________．关键能力综合练一、选择题1．[多选题]下列随机变量是离散型随机变量的是( )A ．从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数B ．一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数C ．某林场树木最高达30 m ，则此林场中树木的高度D ．某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差2．某人进行射击训练，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝10”表示的试验结果是( )A ．第10次击中目标B ．第10次未击中目标C ．前9次均未击中目标D ．第9次击中目标3．已知随机变量X 的概率分布为P(X ＝n)＝an （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P(12 ＜X ＜52 )＝( )A ．12B ．23C ．13D ．56 4．设随机变量X 的分布列为则P(|X －3|＝1)A ．712 B ．512 C ．14 D ．16 5．[易错题]若离散型随机变量X 的分布列为则常数c 的值为( A ．23 或13 B ．23 C ．13 D ．1 二、填空题6．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示1次试验的成功次数，则P(ξ`＝0)＝________．7．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck （1＋k ），k ＝1，2，3，其中c 为常数，则P(ξ≥2)＝________．8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则P(X<2)＝________．三、解答题 9．[探究题]某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23 ，34 ，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．学科素养升级练1.[多选题]下列说法正确的是( )A ．某网站中某歌曲一天内被点击的次数X 是离散型随机变量B ．一天内的温度X 是离散型随机变量C ．若随机变量X 服从两点分布，且P(X ＝1)＝0.2，Y ＝3X －2，则P(Y ＝－2)＝0.8D ．若离散型随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝m k ＋1 (k ＝0，1，2，3)，则m ＝12252．[学科素养——逻辑推理]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．§2 离散型随机变量及其分布列2．1 随机变量2．2 离散型随机变量的分布列必备知识基础练1．解析：∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件， ∴出现7点的次数不能作为随机变量．答案：A2．解析：(1)白炽灯的寿命X 的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．3．解析：(1)X 的可能取值为1，2，3，…，10，X ＝k (k ＝1，2，…，10)表示取出第k 号球．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.X ＝k 表示取出k 个红球，4－k 个白球，其中k ＝0，1，2，3，4.4．解析：根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A 正确； ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B 正确；ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C 错误，D 正确．故选ABD. 答案：ABD5．解析：由题设知，X 的可能取值为10，5，2，－3，且P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.所以X 的分布列为6.解析：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 4 ＋C 33 C 39 ＝584 . (2)X 的所有可能取值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24 C 15 ＋C 34 C 39 ＝1742， P (X ＝2)＝C 13 C 14 C 12 ＋C 23 C 16 ＋C 33 C 39 ＝4384 ， P (X ＝3)＝C 22 C 17 C 39 ＝112 ，故X 的分布列为7.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.5＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤0.5，q 2≤0.5，解得q ＝1－22 .故选C.答案：C8．解析：由概率和为1可知，12a ＋22a ＋32a ＝1，解得a ＝3，则P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝26 ＋36 ＝56.故选B.答案：B9．解析：由已知得Y 的取值为0，2，4，6，8，且P (Y ＝0)＝115 ，P (Y ＝2)＝215 ，P (Y＝4)＝315 ，P (Y ＝6)＝415 ，P (Y ＝8)＝515.则P (Y ＞0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415 .答案：1415关键能力综合练1．解析：A 项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B 项，从10个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正品，2个正品和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C 项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D 项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．答案：AB2．解析：射击次数ξ＝10，说明前9次均未击中目标，故选C. 答案：C3．解析：根据分布列的性质，得P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a (11×2＋12×3 ＋13×4 ＋14×5 )＝1，解得a ＝54 .由12 ＜X ＜52 ，知X ＝1，2，所以P (12 ＜X ＜52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54 ×11×2 ＋54 ×12×3 ＝56. 答案：D4．解析：由13 ＋m ＋14 ＋16 ＝1，得m ＝14 .由|X －3|＝1，得X ＝2或X ＝4，所以P (|X－3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14 ＋16 ＝512.答案：B5．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1， ∴c ＝13 .答案：C6．解析：由题意知该分布为两点分布，又P (ξ＝1)＝2P (ξ＝0)且P (ξ＝1)＋P (ξ＝0)＝1，∴P (ξ＝0)＝13 .答案：137．解析：根据分布列中所有概率的和为1，得c 1×2 ＋c 2×3 ＋c 3×4 ＝1，解得c ＝43，即P (ξ＝k )＝43 ·1k （1＋k ），所以P (ξ≥2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝43 ×(12×3 ＋13×4 )＝13. 答案：138．解析：P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 15 C 15 C 15 C 16 C 16 C 16 ＋C 23 C 15 C 15 C 16 C 16 C 16 ＝200216 ＝2527 .答案：25279．解析：(1)记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ，则P (D )＝1－P (A ̅̅̅ A ̅̅̅ A ̅̅̅̅̅)＝1－(1－23 )×(1－34 )×(1－35 )＝1－13 ×14 ×25 ＝2930 .(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，∴P (ξ＝0)＝13 ×14 ×25 ＝130 ；P (ξ＝1)＝23 ×14 ×25 ＋13 ×34 ×25 ＋13 ×14 ×35 ＝1360 ；P (ξ＝2)＝23 ×34 ×25 ＋23 ×14 ×35 ＋13 ×34 ×35 ＝920 ；P (ξ＝3)＝23 ×34 ×35 ＝310. ∴ξ的分布列为学科素养升级练1．解析：A 中X 满足离散型随机变量的四个特征，而B 中一天内的温度X 变化的范围是连续的，无法逐一列出，它不是离散型随机变量，故A 正确，B 错误；因为Y ＝3X －2，所以X ＝13 (Y ＋2)，当Y ＝－2时，X ＝0，所以P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝0.8，故C正确；因为离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝mk ＋1(k ＝0，1，2，3)，所以m0＋1＋m1＋1＋m2＋1＋m3＋1＝1，解得m ＝1225，故D 正确．故选ACD.答案：ACD 2．解析：(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1”为事件M ，则P (M )＝C 48 C 510 ＝518. (2)由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，则 P (X ＝0)＝C 56 C 510 ＝142 ，P (X ＝1)＝C 46 C 14 C 510 ＝521 ，P (X ＝2)＝C 36 C 24 C 510 ＝1021 ，P (X ＝3)＝C 26 C 34 C 510 ＝521 ，P (X ＝4)＝C 16 C 44 C 510 ＝142 .因此X 的分布列为。

随机变量及其分布知识点总结

圆梦教育中心随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+= 1．两点分布如果随机变量X 的分布列为 X1P 1-p p则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：(),0,1,2,3,...,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下： X1… mP00n M N MnNC C C -- 11n M N MnNC C C -- …m n m M N MnNC C C -- {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。

()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 四、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式：n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n kn n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()(1)0,1,2,,k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，X 01… k … nP00nn C p q111n n C p q -…k k n kn C p q - …n n n C p q此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为 Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若Y aX b =+，其中a ，b 为常数，则Y 也是变量 Y 1ax b + 2ax b + … i ax b + … n ax b +P p 1 p 2 … p i … p n则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+ 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=即若X 服从两点分布，则()E X p =3．若~(,)X B n p ，则()E X np =七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n221122(())(())((.n DX x E X p x E X p x E X DX X =-+-+⋅⋅⋅+-则称并称为随机变量的标准差1．若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =- 2．若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =- 3．2()()D aX b a D X +=。

6.2概率论与数理统计

~
N (1
2
,
2
n
2
m
)
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 2 2
nm
(n 1)S12
2
~
2(n 1)
(m
1)S22
2
~
2(m
1)
(n 1)S12
2
(m
1)S22
2
~ 2(n m 2)
X Y
与
(n
1)S12
2
(m
1)S22
2
相互独立
( X Y ) (1 2 ) 2 2
(3)样本方差的分布
定理2 X1,
iid
, X n ~ N (, 2 ),
(1) X与S 2
相互独立；(2) 2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1);
说明:本定理是统计学的核心定理,其证明也是统计学比较经典的证明.
三. 样本均值与样本方差适当比值的分布
1.t分布的定义
设 X ~ N(0,1) , Y ~ 2 (n), X ,Y相互独立,
§6.2 统计量及分布
一、统计量
1.定义：设X1， … ，Xn是取自于总体X的样本
称样本X1， … ，Xn 的函数g(X1， … ，Xn )且不含未知参数,则称g(X1， … ，Xn )是总体X的一个统计量.
例：设X1， … ，Xn是取自于总体X～N , 2 的样本,
其中, 2未知
这里
1 n
n i 1
(Xi
X
)
2
1E n 1
n i 1
(Xi
X )2
1
n
E
n 1 i1

§6.2抽样分布定理

查表完成 F0.02(57,8) 4.5285,62
F0.05(14,30)2.0374. 2
F分布的上分位点具有
如下性:F 质 1(n1,n2)F(n 12,n1).
F0.95(12,9)
1 F0.05(9,
12)
1 2.796375
0.35760. 6
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二、抽样分布定理
当总体为正态分布时，我们简单地叙述几个抽样分布定理.
S/ n
(3)X与S2独立 .
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2. 两个正态总体
定理3 X1, X2, , Xn1与Y1,Y2, ,Yn2 分别是具有相同
方差的两正态总N体 (1,2), N(2,2)的样本, 且这
两个样本互
相
独, 设立X
1 n1
n1
Xi
i1
,Y
1 n2
n2
Yi
i1
分别是
这两个样本的均,S值 12
当 n 充分 2(大 n )1 2 (z时 2 n ， 1 )2
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2. t 分布 (1). 定义:
设X~N(0,1) , Y~ 2(n), 且相互独立，
则称随机变量 T X Yn
服从自由度为 n的 t 分布，也称为t 变量. 记为 T~t(n). t 分布又称学生氏(Student)分布. 经过计算 :t(得 n)分布的概率密度函数为
§6.2 抽样分布定理
一、常用分布二、抽样分布定理
一、常见分布
统计量是样本的函数，它是一个随机变量，
统计量的分布称为抽样分布.
1. 2分布
(1). 定义若 X ~ N ( 0 ,1 ),则 X 2 ~2 ( 1 ).

概率论与数理统计 6.2 中心极限定理

则X～B(n,0.005), 近似地，X ~ N(0.005n,0.005 0.995n)
PX 5 1 PX 5
1
P
X 0.005n
5 0.005n
0.005 0.995n 0.005 0.995n
1
5 0.005n 0.005 0.995n
0.005n 5
0.005
近似地，X ~ N(10000 0.005,10000 0.0050.995)
即 X ~ N(50,49.75), 设死亡人数超过k人的概率小于0.003,
PX k 1 PX k
1
P
X
50
49.75
k 50 49.75
1
k 50 49.75
0.003
k 50 49.75
( x)
2
n
Xi n
定理表明，n足够大时，r.v. i1
近似服从N (0,1)，
n
注意到E n X i n, D n X i n 2 ,
i1
i1
n
从而 X i近似服从 N (n , n 2 ). i 1
中心极限定理是概率论中最重要的一类极限定理，此定理告诉我们，在一定条件下，相互独立的随机变量之和在个数很多时近似服从正态分布，揭示了为什么正态分布是最
P( i1 n/3
3n) 2( 3n ) 1
(2)当n 36, 1时，所求概率为
6
P(
1 36
36 i 1
Xi
a
1) 2(1.732) 1 0.92 6
(3)要求n，使得
P(
1 n
n i 1
Xi
a
) 2(
3n ) 1 0.95

第2章 6.1 连续型随机变量 6.2 正态分布

＝( )
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)，求正态总体 X 在(－1,1)
内取值的概率．【精彩点拨】 (1)根据正态曲线的对称性性质进行求解；(2)题可先求出 X
在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于 x＝1 对称知，X 在(－1,1)内取值
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(2)如图 2-6-2 是三个正态分布 X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量 X，Y，Z 对应的曲线分别是图中的______，______，______.(填写序号)
图 2-6-2
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(3)如图 2-6-3 所示是一个正态曲线，试根据该图像机变量的均值为________，方差为________．
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[探究共研型]
正态分布的实际应用探究 1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径 ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为 μ＝4，标准差 σ＝0.5. 探究 2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径 ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问 1 000 件这种零件中约有多少件一等品？【提示】 P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.683 0，所以 1 000 件产品中大约有 1 000×0.683 0＝683(件)一等品．
阶
阶
段
段
一
三
*§6 正态分布
6.1 连续型随机变量

第六章随机变量的函数及其分布

定理1 正态分布的线性函数仍服从正态分布
设X ~ N ( , ), Y aX b(a 0), 则
2
Y ~ N (a b, (a ) )
2
推论正态分布的标准化方法 X 2 若X ~ N ( , ), 则 ~ N (0, 1)
定理2 若随机变量X及其函数Y = g(X)的密度函数分别为fX (x), fY (y), 且g(x)是严格单调函数，则： fY ( y) f X [(G( y)] G( y) 其中x = G(y)为y = g(x)的反函数.
例：设(X, Y)的联合分布律为： Y 0 1 2 X 1 1 3 1 12 12 12 1 1 2 0 2 12 12 2 2 3 0 12 12 请求出：(1) X+Y的分布律； (2) X-Y的分布律； (3) X2+Y-2的分布律.
解：由(X, Y)的联合分布律可得如下表格
1 1 ( , 2) ( , 1) (3, 2) ( X , Y ) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1, 0) 2 2
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 X-Y 1 0 -1 5/2 3/2 5 3
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12
X2+Y-2
-3
-2
-1
-15/4 -11/4
5
7
概率
1/12 1/12 3/12 2/12 1/12
2/12 2/12

或

两个独立随机变量的和的分布如果X与Y相互独立，则： X P (1 ) (1) X Y P (1 2 ) Y P ( 2 )

随机变量及其分布PPT课件

35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考：古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说，二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布

随机变量及其分布知识点总结

随机变量及其分布知识点总结随机变量是概率论中的基础概念之一，是描述随机事件的数学模型。

随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量，它们分别对应两种不同的概率分布函数。

随机变量及其分布是概率论和统计学中的重要概念，掌握它们的知识对理解概率和统计学的应用至关重要。

一、随机变量的定义在概率论中，将随机试验中的所有可能结果对应的实数量称为随机变量。

可以通过随机变量的取值和概率分布函数来描述随机试验的结果。

二、随机变量的分类1. 离散随机变量如果随机变量只能取离散的值，则称其为离散随机变量。

离散随机变量的概率分布函数(discrete probability function )可以用概率质量函数(probability mass function，PMF)表示。

离散随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) ≥ 0，即每个值的概率非负。

2) ΣP(X = x) = 1，即所有可能取值的概率和为1。

3) PMF可以用折线图表示。

例如：伯努利试验中，试验的结果只有两种可能性，即成功和失败。

设X为成功的次数，则X是离散随机变量。

成功的概率为p，失败的概率为1-p。

则X的概率分布函数为：P(X = k) = p^k(1-p)^(1-k), k = 0,12. 连续随机变量如果随机变量可以取任意实数值，则称其为连续随机变量。

由于随机变量可以取无限多的值，因此相对于离散随机变量，它的概率分布函数有一些特殊的性质。

连续随机变量的概率密度函数(Probability Density Function，PDF)可以用函数表示。

由于随机变量连续，因此PDF不是一条折线，而是一条连续曲线。

连续随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) = 0，即连续随机变量的每个单独取值的概率为0。

2) ∫f(x)dx = 1，即PDF下的所有面积和为13) 可以用PDF曲线下的面积计算概率。

例如：假设X表示一个信号在某个时间段内的功率，则X是一个连续随机变量。

随机变量及其分布课件

多维随机变量的数学期望与方差
数学期望
多维随机变量的期望值是每个随机变量期望值的线性组合。
方差
多维随机变量的方差是每个随机变量方差和协方差的组合。
协方差
衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
Байду номын сангаас
PART 05
随机变量的变换
REPORTING
WENKU DESIGN
线性变换
1 2
线性变换公式
$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数，$X$是随机变量，$Y$是变换后的随机变量。
超几何分布
当从一个有限总体中不放回地抽取样本时，所得到的离散型随机变量服从超几何分布。
离散型随机变量的数学期望与方差
数学期望
离散型随机变量的数学期望是所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。
方差
离散型随机变量的方差是所有可能取值的概率加权平方和的平均值，表示随机变量取值分散程度的度量。
随机事件的概率计算
在概率论中，随机事件的概率可以通过随机变量的取值来计算，随机变量为随机事件的概率计算提供了具体的方法和手段。
在统计学中的应用
01
样本数据的统计分析
在统计学中，随机变量被广泛用于样本数据的统计分析，如均值、方差、
协方差等统计量都是基于随机变量的计算。
02 03
参数估计与假设检验
线性变换的性质
线性变换保持了均值、方差和线性关系等统计特性。
3
线性变换的应用
在回归分析、时间序列分析和实验设计中广泛使用。
非线性变换
非线性变换公式
$Y = f(X)$，其中$f$是一个非线性函数，$X$是随机变量，$Y$ 是变换后的随机变量。

随机变量及其分布律

随机变量可以看作是样本空间中每一个样本点的一个函数，它将每一个样本点映射到一个实数上。
随机变量的分类
离散随机变量
离散随机变量的取值可以列举出来，如投掷一枚骰子出现的点数。
连续随机变量
连续随机变量的取值范围是连续的，如人的身高、体重等。
随机变量的数学表示
离散随机变量常用概率分布列表示，如二项分布、泊松分布等。
连续随机变量常用概率密度函数表示，如正态分布、指数分布等。
PART 02
离散型随机变量及其分布律
REPORTING
WENKU DESIGN
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，其取值范围称为样本空间，样本空间中的每一个元素称为样本点。
离散型随机变量的取值可以是整数、分数等，但取值范围必须是有限的或者可数的。
协方差的计算公式为： Cov(X,Y) = Σ[(x-E(X))*(yE(Y))*p(x,y)]，其中x、y分别是两个随机变量的取值， p(x,y)是相应的联合概率。
相关系数是协方差与两个随机变量标准差的乘积之比，用于衡量两个随机变量的线性相关程度。
相关系数的计算公式为： ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X)*σ(Y))，其中σ(X)、 σ(Y)分别是X、Y的标准差。
方差
01
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，表示随机变量取值偏离期望值的程度。
02
方差的计算公式为：Var(X) = Σ[(x-E(X))^2*p(x)]，其中x是随机变量的取值，p(x)是相应的概率。
03
方差具有非负性，即Var(X) ≥ 0。
协方差与相关系数
协方差是衡量两个随机变量同时取值的分散程度和趋势的量。

随机变量的函数及其分布

FY(y)=P{Y≤y}=0；当y≥β时， FY(y)=P{Y≤y}=1；当α<y<β时，
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y} =P{X≤h(y)}
hy
f X x dx
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
于是得Y的概率密度
fY
(
y)

于是Y分布函数为
y, 0 y 1 其他
0,
FY
(
y)

y,
1,
y0 0 y1
其他
因此

fY
(
y)

FY'
(
y)

1, 2y
y0
0, 其他
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机变量函数Y=|X|的密度函数
可导，则Y=g(x)的概率密度为
fY

y

f
X
h
0
y

h y
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
min g , g , max g , g
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+ ∞)严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，
2
因此

fY
(
y)

随机变量及其分布知识点总结(一)

随机变量及其分布知识点总结(一)前言•随机变量及其分布是概率论中的重要概念，是描述随机现象的数值特征的数学工具。

深入理解随机变量及其分布有助于我们对概率和统计的理解，从而更好地应用于实际问题的解决。

•本文将介绍随机变量的定义与分类、随机变量的概率分布函数与密度函数、常见的随机变量分布及其特性。

正文1. 随机变量的定义与分类•随机变量是随机试验结果的实值函数，通常用大写字母表示，如X、Y等。

它可以是离散的（只能取有限或可列个值）或连续的（可以取任意实数值）。

•离散随机变量表示一个事件的可能结果是离散的，例如掷骰子的点数。

•连续随机变量表示一个事件的可能结果是连续的，例如人的身高或温度的测量值。

2. 随机变量的概率分布函数与密度函数•对于离散随机变量，其概率分布函数（Probability Mass Function，PMF）表示随机变量取某个特定值的概率。

•对于连续随机变量，其概率密度函数（Probability Density Function，PDF）表示连续随机变量在某个数值范围内取值的概率密度。

•概率分布函数和概率密度函数都具有以下特点：非负性、归一性和单调性。

3. 常见的随机变量分布及其特性3.1. 离散随机变量分布•伯努利分布：描述两个可能结果的随机试验。

•二项分布：描述多次伯努利试验中成功次数的随机变量。

•泊松分布：描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数的随机变量。

3.2. 连续随机变量分布•均匀分布：在一个区间上的取值是等可能的。

•正态分布：一种常见的连续随机变量分布，呈钟形曲线，常用于自然和社会科学中建模。

•指数分布：描述独立随机事件发生时间间隔的分布。

结尾•随机变量及其分布是概率论中的重要概念，通过对随机变量、概率分布函数、概率密度函数以及常见的分布特性的学习，我们可以更好地理解随机现象，并在实际问题中应用概率和统计的方法。

•随机变量及其分布的深入研究对统计学、机器学习、金融等领域具有重要意义，帮助我们更好地分析数据、建立模型、做出决策。

《随机变量及分布》课件

应用
广泛应用于统计学和实证研究中的抽样分布及模拟实验。
总结
• 随机变量与分布的概念 • 离散型随机变量及其分布 • 连续型随机变量及其分布 • 常见离散型与连续型随机变量分布 • 中心极限定理的应用
次数的概率分布。
3
几何分布
用于描述在成功与失败交替出现的是/
超几何分布
4
非试验中成功首次出现的概率分布。
用来描述无放回抽样实验中成功次数的概率分布。
常见的连续型随机变量分布
均匀分布
在某个区间内取值的概率密度函数恒定的随机变量。
指数分布
描述等待时间的概率分布。
正态分布
钟形曲线，广泛应用于自然科学和社会科学中。
样本空间与事件
样本空间是所有可能的结果的集合，事件是样本空间的子集。
离散型随机变量
概率分布函数
描述离散型随机变量的取值与可能取到的值与其概率乘积的和。
概率质量函数
用来描述离散型随机变量分布的函数。
方差
测量随机变量离其期望值的平均距离。
连续型随机变量
概率密度函数
《随机变量及分布》PPT 课件
欢迎来到《随机变量及分布》PPT课件。本课程将带你深入了解随机变量的概念、离散型和连续型随机变量的分布以及中心极限定理的应用。
随机变量
什么是随机变量
对随机试验结果的数值化描述，并依赖于试验的具体情况。
离散型随机变量
取有限个或可数个数值的随机变量。
连续型随机变量
取连续数值的随机变量。
描述连续型随机变量在某个区间内取值的概率密度。
累积分布函数
描述连续型随机变量在某个数值前取值的概率。
期望
随机变量每个可能取到的值与其概率密度乘积的积分。