高考数学难点突破_难点02__充要条件
高考数学难题突破的思维方法
数学综合题思维方法的突破教学设计案例江苏省涟水中学叶顺亚§1.教学设计的说明一设计的背景目前我国数学教学主要是应试教学，而现在的应试教学主要停留在双基教学，还有就是通过题海战术使学生对学过的知识以及题型方法在遇到刺激时产生条件反射，这就是所谓的熟练掌握基础知识和基本方法。
这种教学的后果就是：学生只会根据学过的知识方法，直接利用他们解决问题，学生没有探究的意识，不知如何探究，更不会创新，就是从应对高考的角度来看遇到难题也是无从下手。
针对这种情况，笔者曾经过多年的思考，如何能突破？今年有幸参加中学数学教学参考编辑部组织由罗增儒教授主讲的解题教学研讨班，从中获得一些启发，笔者想根据自己的想法做一些尝试，希冀在学生探究能力培养方面获得有益的突破，既能使学生在高考中在应对难题方面的能力能有所提高，也能在今后他们个人的发展中给予有益的帮助，更希望通过这种方法能对中国的数学教学走出现在的填鸭式和题海战术有所帮助，也同时希望为中国能培养出更多具有探究能力和创新能力的人才做出贡献；当然这只是我个人的想法，是否能起到预期的目的还要通过实践的检验，更需要得到专家和同仁们的帮助。
本专题就是基于这样的想法，在高考题的基础上设计出让学生通过自己的思考探究初步感受如何探究问题的思维过程，希望以后再通过多次的思维训练能对他们思维能力的提高以及探究能力的提高有较大的帮助。
二设计的目的和依据为了使学生在解决难题的能力方面能有一个较大的提高，使学生学会思考和探究，使学生走出刺激——反射的怪圈，升华到能自主探究和科学地探究的层面。
笔者根据罗增儒教授的解题教学的理论和波利亚的如何解题的理论，进行相关的设计。
§2.教学设计探究课题：导数的几何意义在不等式中的应用探究研究内容导数的几何意义在不等式中的应用探究教学目标1．知识目标：使学生通过探究掌握导数的几何意义与函数性质及图像之间关系，熟悉利用几何意义转化问题的方法；2．能力目标：使学生通过探究掌握数形结合方法在数学中的运用，逐渐形成自觉使用数形结合解决数学问题的习惯，还要让学生通过探究增强转化与化归的意识；3．情感目标使学生通过探究感受研究过程，体验科学研究过程，逐渐形成自觉探究意识、尊重科学的品格，为今后人生发展奠定良好的基础。
11招!破解高考数学难题
11招！破解高考数学难题数学难，大家都知道，特别是后面的大题，没有几个是送分的，但一题十几分，真不敢随意舍去啊，怎么办？一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
二、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。
三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
四、“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。
就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
2. 先熟后生。
通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。
高考数学难点突破与解题方法
高考数学难点突破与解题方法随着高考日益逼近，数学作为一门重要的科目，成为许多考生头疼的难题。
其中，存在着一些难点，对于许多考生来说是必须要突破的难关。
本文将介绍一些高考数学难点的突破方法和解题技巧，帮助考生在考试中取得更好的成绩。
一、代数与函数代数与函数是高考数学中的一大难点，其中包括方程、函数和不等式。
首先，要熟练掌握基本的代数知识，比如一元二次方程、分式方程等，切忌死记硬背，要通过大量的练习来加深理解。
其次，要了解各类函数的性质，包括基本初等函数的图像、性质和变化规律等。
高考中常见的函数类型有线性函数、二次函数和指数函数等，掌握它们的性质和变化规律能够解决不少难题。
最后，对于不等式的解法，要掌握常见的不等式性质，比如绝对值不等式、二次式不等式等，通过画图或代入法来解决。
二、立体几何立体几何也是高考数学中的难点之一。
在解题时，要注重对图形性质的理解和几何关系的把握。
了解常见几何图形的特征和性质，包括正方体、正四面体和圆锥等，会对解题有很大帮助。
同时，还需要掌握立体几何的投影问题，如求柱体、圆柱和圆锥的截面面积和体积等。
通过多做一些相关的题目进行练习，能够提高解决立体几何难题的能力。
三、概率与统计概率与统计在高考数学中占有一定的比重，也是一些考生容易忽视的部分。
在解题时，要注意理解概率与统计的基本概念和原理。
掌握概率计算的方法，包括排列组合、事件的计算和条件概率等。
对于统计的问题，要熟悉常见统计量的计算，如均值、中位数和标准差等。
此外，还要注意对数据的分析与解读，包括直方图和折线图的解读，以及数据的比较和推断分析。
四、解题技巧在考试时，掌握一些解题技巧对于突破数学难点是非常有效的。
首先，要学会研读题目，理解题目所给的条件和要求，抓住关键信息。
其次，学会尝试多种解题方法，从不同的角度入手，比较其优劣并选择最合适的方法。
此外，要善于归纳总结，在做题过程中，记录解题思路和方法，方便日后进行复习和总结。
高考数学难点突破数论与排列组合的多重综合应用
高考数学难点突破数论与排列组合的多重综合应用在高考数学中，数论和排列组合是考生们经常遇到的难点，而这两个知识点经常会在一道题目中进行综合应用。
本文将探讨如何突破这些难点，以及如何应对多重综合应用的题目。
一、数论的难点及突破方法数论在高考数学中属于相对较难的部分，主要包括整数性质、最大公约数、最小公倍数等内容。
其中，常见的难点包括同余、递推关系和整数解的判断等。
首先，我们来看同余的应用。
同余是数论中一个重要的概念，它可以解决一些复杂的问题。
在解题过程中，我们可以通过找规律、列方程或者利用性质等方式进行推导。
另外，还要注意掌握同余运算的特性，例如两个数同余于一个数的倍数时，它们的差也是这个倍数。
其次，递推关系是另一个数论的难点。
递推关系的表达形式有多种，例如：Sn = Sn-1 + a(n)，其中Sn表示数列的第n项，a(n)为与前面几项相关的式子。
要解决这类问题，关键是找到递推关系的规律，并利用递推公式进行推导和计算。
最后，整数解的判断也是数论的难点之一。
当遇到非常复杂的问题时，我们可以利用最大公约数和最小公倍数的性质进行求解。
同时，还需要注意题目中可能出现的取模运算和质因数分解等技巧。
总之，要突破数论的难点，我们需要掌握各种性质和公式，并进行大量的练习和思考，提高解题能力和思维灵活性。
二、排列组合的难点及突破方法排列组合是高考数学中另一个常见的难点，主要包括排列、组合、重复排列、多重集合等内容。
其中，常见的难点包括计数原理、容斥原理和应用题的解答等。
首先，计数原理是排列组合中的基础知识，涉及到阶乘、乘法原理、加法原理等概念。
在解题时，我们要根据题目的情况选择适用的计数原理，并灵活运用。
其次，容斥原理是排列组合中的一个重要工具。
它可以解决一些重叠计数的问题，例如某些事件同时满足或者互斥的情况。
在应用容斥原理时，我们要注意构造事件的表达式，并进行交集和并集的计算。
最后，应用题的解答是排列组合的难点之一。
高中数学必修二 专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积(重难点突破)(含答案)
专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积一、考情分析二、题型分析(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ）A ．B ．C ．D ．12(1,2),(2,4)e e ==12(3,1),(1,3)e e =-=-12(2,1),(2,1)e e ==--121(,0),(3,0)2e e ==【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与 【答案】C【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项C ：与不共线，能作为基底.故选：C ．A 114220,e ⨯-⨯=∴2eB ()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴2eC ()()121120,e ⨯--⨯-=∴2eD 110030,2e ⨯-⨯=∴2e 12,e e 21e e -12e e -1223e e +1246e e --12e e +12e e -121128e e -+1214e e -12,e e 1e 2e 21e e -()12e e =--1223e e +()121462e e =---121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e e +12e e -（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得. 设内切圆在边上的切点为，则，有，，故. 故选：DABCD O ABC ∆AO xAB yAD =+xy 1434-1412OB AC HABCD 122BH BD ==ABC ∆r)1BH OH OB r r =+=+==r =ABC ∆AB E ()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222112222AB AD AB AD ⎛⎛⎫-=-+=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x =1y =-11222xy ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，，，，则 .（用表示） 【答案】 【解析】如图：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋ ＝.故本题答案为. 【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此1AB e =2AC e =14NC AC =12BM MC =MN =12,e e 1225312e e -+MN CN CM CN BM CN 23BC 14AC 23AC AB 214e 212()3e e -1225312e e -+1225312e e -+ABC ∆2AB AC AD +=0AE DE +=EB xAB y AC =+3y x =3x y =3y x =-3x y =-2AB AC AD +=D BC 0AE DE +=E AD 11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，故本题选D. 31,344x y x y =-=⇒=-(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )．(4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以, 解得: ,.所以.故选D. （2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（ ） A ．2 BC ．4 D．【答案】C 【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C(5,2),(4,3)a b =-=--230a b c -+=c 8(1,)3138(,)33-134(,)33134(,)33--(,)c x y =230a b c -+=(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=(583,263)(0,0)x y ++-++=1330,430x y +=+=133x 43y =-134(,)33c =--()0,1A -()0,3B ||AB =AB ||04AB =+=【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2），∵与共线，∴∴【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.(1) 求向量的坐标及；(2) 若，求与同向的单位向量的坐标． 【答案】(1) ，；（2）.【解析】 （1）,.（2）,, 与同向的单位向量. ()1,2a =()3,2b =-2a b -k ka b +2a b -()7,2-12k =-()()()21,223,27,2a b -=--=-()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+()()()21,223,27,2a b -=--=-ka b +2a b -()()72223k k +=--12k =-(3,4),(5,10)A B ---O AB AB OC OA OB =+OC ()8,6AB =-10AB =21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭()8,6AB =-2810AB ∴==()()()3,45,102,14OC OA OB =+=--+-=-22OC ==∴OC 21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|.特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(3)cos θ＝a·b |a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.【解析】依题意，故与方向相反的单位向量为. （2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则= A ．-3B ．-2C ．2D ．3 【答案】C 【解析】 由，，得，则，．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( ) ()3,4a =()1,2b =-2a b +=a c =34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭()21,8a b +=2218a b +=+=a c ()()()3,43,434,5553,4a a -----⎛⎫===-- ⎪---⎝⎭AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=-211BC ==3t =(1,0)BC =(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=a b c a b 60()(2)c a c b +⋅-A ．BC ．2D ． 3【答案】B 【解析】设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以.故选：B ．【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________. 【答案】0 0【解析】∵，∴，∵，∴，解得． 故答案为．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若，则的值是_____. 32c 2a b -θ222|2|443a b a a b b -=-⋅+=|2|3a b -=2()(2)(2)21|||2|cos 1c a c b cc a b a b c a b θ+⋅-=+⋅--⋅=+⋅--()(2)3cos c a c b θ+⋅-=max =cos 1θ=()()1,3,1,2a b ==-0a b λμ+=λμ()()1,3,1,2a b ==-()()()1,31,2,32a b λμλμλμλμ+=+-=+-0a b λμ+=0320λμλμ+=⎧⎨-=⎩0λμ=⎧⎨=⎩0,0λμ==ABC O 6AB AC AO EC ⋅=⋅ABAC. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .， 得即故. 【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭2213,22AB AC =3,AB AC =AB AC=,a b 12a b ⋅=2a b +2a b +b θ【答案】（1；（2）.【解析】由题得； 由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1；（2.7222=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅2a b +b θ(2)2cos |2|||7a b b a b a b b θ+⋅⋅====+(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】向量，，且，，解得. 故选：D.(2)．(多选题)已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为钝角()1,a m =()2,5b =//a b m =152-25-52()1,a m =()2,5b =//a b 25m ∴=52m =B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 【答案】CD对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.【答案】【解析】因为，所以（1）×m 4=0,所以m= 4.所以故答案为：(1). (2).【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;(1) 若，求的值；,a b (1,2),(2,)a b m =-=//a b m =||b =4-//a b ---2||=2+b =（4-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b aR ∈θ)0,2(=+b a θθθcos sin 2sin 2+（2）若，，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】（1），∴， ……1分∴ ； ……3分∴. ……7分（2）， ……8分∴，两边平方得， ……10分 ，且， ∴∴， ……12分 ∴. ……分)51,0(=-b a(,2)θππ∈θθcos sin +12-75-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a)0,2()cos sin ,2(=+=+θθb asin cos 0,tan 1θθθ+=∴=-1tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222++=++=+θθθθθθθθθθθ21-=)51,0()cos sin ,0(=-=-θθb a51cos sin =-θθ2512cos sin =θθ(,2)θππ∈02512cos sin >=θθ⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ23,0cos sin <+θθ57cos sin 21cos sin -=+-=+θθθθ14。
专题2.1复数的概念(七个重难点突破)高考数学
故答案为：④.
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试卷讲评课件
2 + 2i/2i + 2
6.以2 + i的实部为虚部，2i + 1的虚部为实部的复数为_____________.
【分析】依题意分别确定实部与虚部，即可得解.
【详解】因为 + 的实部为2， + 的虚部为2，故所求复数为 + .
及正切型函数的值域，即可求得参数的范围.
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试卷讲评课件
【详解】∵ 是实数， ∈ , ，�� ≠ ，∴ + − = ，
即 =
−
恒成立.
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又
∴
=
【详解】由
，解得 = −，故 = −.
+≠
故答案为： = −
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试卷讲评课件
8.已知x是实数，则“复数x x − 1 + i是纯虚数”的充分不必要条件是“
x = 0(或x = 1)
_______________”.
【分析】根据复数的概念、复数的代数形式以及复数的分类即可求解.
高三数学知识考点整理集锦
高三数学知识考点整理集锦有很多的同学是非常想知道，高考数学必备知识点及公式有哪些?接下来是小编为大家整理的高三数学知识考点整理集锦，希望大家喜欢!高三数学知识考点整理集锦一高考数学常考难点：必修二第一章：空间几何三视图和直观图的绘制不算难，但是从三视图复原出实物从而计算就需要比较强的空间感，要能从三张平面图中慢慢在脑海中画出实物，这就要求学生特别是空间感弱的学生多看书上的例图，把实物图和平面图结合起来看，先熟练地正推，再慢慢的逆推(建议用纸做一个立方体来找感觉)。
在做题时结合草图是有必要的，不能单凭想象。
后面的锥体、柱体、台体的表面积和体积，把公式记牢问题就不大。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系这一章除了面与面的相交外，对空间概念的要求不强，大部分都可以直接画图，这就要求学生多看图。
自己画草图的时候要严格注意好实线虚线，这是个规范性问题。
关于这一章的内容，牢记直线与直线、面与面、直线与面相交、垂直、平行的几大定理及几大性质，同时能用图形语言、文字语言、数学表达式表示出来。
只要这些全部过关这一章就解决了一大半。
这一章的难点在于二面角这个概念，大多同学即使知道有这个概念，也无法理解怎么在二面里面做出这个角。
对这种情况只有从定义入手，先要把定义记牢，再多做多看，这个没有什么捷径可走。
第三章：直线与方程这一章主要讲斜率与直线的位置关系，只要搞清楚直线平行、垂直的斜率表示问题就错不了。
需要注意的是当直线垂直时斜率不存在的情况是考试中的常考点。
另外直线方程的几种形式所涉及到的一般公式，会用就行，要求不高。
点与点的距离、点与直线的距离、直线与直线的距离，只要直接套用公式就行，没什么难点。
第四章：圆与方程能熟练地把一般式方程转化为标准方程，通常的考试形式是等式的一边含根号，另一边不含，这时就要注意开方后定义域或值域的限制。
通过点到点的距离、点到直线的距离、圆半径的大小关系来判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。
高考第一轮复习集合与常用逻辑用语
年级高三学科数学版本通用版课程标题高考第一轮复习——集合与常用逻辑用语编稿老师孙丕训一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破考纲解读:1. 集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。
2．对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。
这些内容大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性。
3. 常用逻辑用语高考以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主。
命题预测：1. 根据考试大纲的要求,结合近几年高考的命题情况,可以预测集合这部分内容在选择、填空和解答题中都有可能涉及.高考命题热点有以下两个方面:一是对集合的运算、集合的有关陈述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型常以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现. 2. 作为高中数学的基础知识,命题、量词与逻辑联结词、四种命题及充要条件是每年高考的必考内容,题量一般为1~2道,多以选择题或填空题的形式出现,难度不大,重点考查命题真假的判断,全称命题与特称命题的否定, 与函数、直线与平面、圆锥曲线等知识联系很紧密,要求考生理解命题的四种形式、充分条件、必要条件、充要条件的意义,能够判断给定的两个命题的逻辑关系.题目内容和思想方法涉及或渗透到高中数学的各个章节,有一定的综合性.二、重难点提示重点：理解集合的表示，能准确进行集合间的交、并、补的运算；正确地对含有一个量词的命题进行否定。
难点：集合的表示及充分必要条件的判定。
一、知识脉络图二、知识点拨1. 集合与元素（1）集合元素具有三个特征：、、。
（2）元素与集合的关系是属于或不属于的关系，用符号∈或∉表示。
（3）集合的表示法：、、、。
（4）常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N＋）；整数集Z；有理数集Q；实数集R;复数集C。
高中数学充要条件的教案
高中数学充要条件的教案
教学内容：充要条件在数学中的应用
教学目标：
1. 了解充要条件的概念及其在数学中的应用
2. 能够正确运用充要条件解题
3. 培养学生逻辑思维和推理能力
教学重点和难点：
重点：充要条件的概念和应用
难点：能够准确理解充要条件，并将其运用到实际问题中
教学准备：
1. 教师准备充要条件的概念讲解及相关例题
2. 准备教学用具、课件等辅助教学工具
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入充要条件概念，通过生活中的例子引发学生对充要条件的思考。
二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解充要条件的定义和特点
2. 介绍充要条件在数学中的应用及相关定理
三、例题分析（20分钟）
通过一些具体的例题，让学生理解充要条件的运用方法，并引导他们进行讨论和分析。
四、练习训练（15分钟）
布置一些练习题目，让学生独立完成并相互交流讨论，并及时纠正错误。
五、总结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调充要条件在数学中的重要性，并鼓励学生加强实践训练。
六、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生认真完成并及时交卷。
教学心得：
本节课通过实例讲解、分析解题方法等多种途径，让学生更容易理解和掌握充要条件的概念和应用方法。
通过丰富的练习和讨论，学生逐渐提高了解题的能力和逻辑推理能力。
希望学生能够在今后的学习中，善于灵活运用充要条件解决问题，提高数学学习的深度和广度。
高考数学有哪些应试技巧
高考数学有哪些应试技巧高考数学有哪些应试技巧_高频考点学好数学的关键是方法的掌握，数学不仅是一门科学，而且是一种普遍适用的技术。
它是科学的大门和钥匙，学数学是令自己变的理性的一个很重要的措施，数学本身也有自身的乐趣。
下面是小编为大家整理的高考数学有哪些应试技巧，希望能帮助到大家!高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
可以说是学好数学的两种最基本能力，在数学试卷中的考查无处不在。
并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。
高考数学难点突破难点(集合思想及应用-充要条件)
目录高考数学难点突破_难点01__集合思想及应用2高考数学难点突破_难点02__充要条件7难点1集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围.●案例探究［例1］设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值.解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+bkx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5②由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.［例2］向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B .设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3x+1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .依题意(30－x )+(33－x )+x +(3x+1)=50,解得x =21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则()A.M =N B.M N C.M N D.M ∩N =∅2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则()A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4二、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|bya x -=1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,n S n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.7.(★★★★)已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值.8.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }.(1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .参考答案难点磁场解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠∅∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.故所求m 的取值范围是m ≤－1.歼灭难点训练一、1.解析：对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }.答案：C2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4.答案：D 二、3.a =0或a ≥894.解析：由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线b ya x -=1相切，则1=22ba ab +,即ab =22b a +.答案：ab =22b a +三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩B ∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩B ∅，∴a =－2.6.解：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,nS n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n ,n S n )均在直线y =21x +21a 1上.(2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解.∴A ∩B 至多有一个元素.(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠∅,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的.7.解：由w =21zi +b 得z =ib w 22-,∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|ibw 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含.因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2.8.(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A .∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B .(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=⨯---=+-313)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根.将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0解得x =1,3,3,－3.故B ={－3，－1，3，3}.难点2充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集.又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9，∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件.命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p ,∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1(p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是()A.ab =0 B.a +b =0 C.a =b D.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n+++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b )又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b (2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b )=－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p(2)为证明pq ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立.综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.dn a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1)32d =32d 为常数.故{b n }是等差数列，公差为32d .②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ①b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n ②①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列.综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性：当3＜x ≤310时，x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >03216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310.8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.。
(参考答案)2023高考数学难点突破2(2)：解析几何
2023高考数学难点突破专题训练（2）解析几何★应知应会椭圆的基本量1. 如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．图(1)图(2)2. 如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3. 椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．4. 设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线P A与PB的斜率之积为定值________．1. 2b2a 2. b2·tanθ2 3. a＋c a－c 4. －b2a2直线与椭圆1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1) 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ>0直线与圆锥曲线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线________；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2. 圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．1. (1) ①相交②相切③相离2. 1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|双曲线的基本量运算1. 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2. 如图，P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为________．3. 焦点到渐近线的距离为________．4. 设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，则直线P A 与PB 的斜率之积为________．1. 2b 2a2. b 2tan θ2 3. b 4. b 2a 2 抛物线设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1) x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2) AF ＝p 1－cos α ，BF ＝p 1＋cos α ，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3) 1F A ＋1FB ＝2p； (4) 以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5) 以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6) 过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．直线与圆锥曲线1. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x 轴交于P ，Q 两点，O 为椭圆的中心，则OP ·OQ ＝a 2.2. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝－b 2a 2 . 3. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. 4. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 过定点(2p ，0).。
高考数学复习知识点：充要条件
高考数学复习知识点：充要条件充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件，是高考数学的重要知识点，一起来复习下吧：（1）先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。
这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。
它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。
这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。
（2）再看“充要条件”若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。
“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。
也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立；同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
（3）定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。
如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。
“仅当”表示“必要”。
（4）一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，*质定理中的“结论”都可作为必要条件。
高中专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题02命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.基础知识融会贯通1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念【知识拓展】从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⊆B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A⊇B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⊊B且A⊊B，则p是q的既不充分也不必要条件．重点难点突破【题型一】命题及其关系【典型例题】原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个【解答】解：原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．故选：C．【再练一题】下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③命题“”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，则命题p∧¬q是真命题．其中真命题只有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：不等式x2+2x＞4x﹣3可化为x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0由实数的性质我们易得该不等式恒成立，故①为真命题；log2x+log x2≥2，则log2x＞0，即x＞1，故②为真命题；根据不等式的性质，成立，由原命题和其逆否命题真假性一致，故③为真命题；根据实数的性质，命题p：∀x∈R，x2+1≥1为真命题，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0也为真命题，则¬q是假命题则命题p∧¬q也是假命题，故④为假命题；综上，①②③为真命题故选：A．思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【题型二】充分必要条件的判定【典型例题】“a＝2”是“复数z（a∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：复数z a﹣2+（a+2）i（a∈R）为纯虚数，则a﹣2＝0，a+2≠0．∴“a＝2”是“复数z（a∈R）为纯虚数”的充要条件．故选：C．【再练一题】已知命题p：“”，命题q：2019x＞2019，则p是q的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：解分式不等式得：x＜0或x＞1，即命题p：x＜0或x＞1，解指数不等式2019x＞2019得：x＞1，即命题q：x＞1，即p是q的必要不充分条件，故选：B．思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【题型三】充分必要条件的应用【典型例题】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．（1）当m＝0时，求A∩B；（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，…B＝{x|（x+1）（x﹣1）≥0}＝{x|x≥1或x≤﹣1}．…∴A∩B＝{x|1≤x＜3}．…（2）由于命题p为：（﹣1，3），…而命题q为：（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，…所以m+1≤﹣1或m﹣1≥3，解得m≥4或m≤﹣2即实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．…【再练一题】．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，设A＝{x|￢p}，B＝{x|￢q}，则A⊊B，又A＝{x|￢p}＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|￢q}＝{x|x≥4或x≤2}，则0＜a≤2，且3a≥4∴实数a的取值范围是．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．基础知识训练1．有如下命题：①函数中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题①函数中，根据函数的单调性易知，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；②令函数=0化简：=x+2，作出图像有两个交点，故由两个零点；②正确；③若，因为为单调递减函数，所以故③正确.故选D2．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C．命题“，使得”的否定是“，均有”D．“若的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；B,当a=2>1时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正确；D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.3．下列命题中真命题的是A．若为假命题，则p，q均为假命题B．“”是“”的充要条件C．命题：若，则的逆否命题为：若，则D．对于实数x，y，p：，q：，则p是q的充分不必要条件【答案】D【解析】若为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故A错误；若，则，可得，反之不成立，故B错误；命题：若，则的逆否命题为：若，则，故C错误；对于实数x，y，p：，q：，由，可得，即p可得q，反之由q推不到p，则p是q的充分不必要条件，故D正确．故选：D．4．下列有关命题的叙述错误的是A．命题“”的否定是“”B．已知向量，则“”是“”的充分不必要条件C．命题“若，则的逆否命题为“若，则”D．“”是的充分不必要条件【答案】B【解析】命题“”的否定是“”，故正确；向量，则，则“”是“”的必要不充分条件，故错误；“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故正确；，可得的充分不必要条件，故正确．故选B．5．设是方程的两个不等实根，记.下列两个命题：①数列的任意一项都是正整数；②数列第5项为10. ( )A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误【答案】A【解析】因为是方程的两个不等实根，所以1，，因为，所以，即当时，数列中的任一项都等于其前两项之和，又1，，所以，以此类推，即可知：数列的任意一项都是正整数，故①正确；②错误；因此选A6．下面命题正确的是A．若，则B．命题“”的否定是“”C．若向量满足，则的夹角为钝角D．“”是“”的必要不充分条件【答案】D【解析】对于A选项，当为负数时，不成立，故为假命题.对于B选项，特称命题的否定是全称命题，故B 选项错误.对于C选项，当两个向量可能反向，夹角为，不是钝角，故C选项错误.“”不能推出“”，“”则一定满足“”，故“”是“”的必要不充分条件，故D选项是真命题.故选D.7．下列命题中正确的是（）A．在中，为等腰三角形的充要条件B．“”是“”成立的充分条件C．命题“”的否定是“”D．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”【答案】B【解析】当时，三角形为等腰三角形，但是，排除A选项.构造函数，故函数上单调递增，所以当时，，即，故B选项正确.特称命题的否定是全称命题，不需要否定，故C选项错误.“”的否定应该是“”，故D选项错误.综上所述，本小题选B.8．“是“直线与圆相切的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与圆，则圆心到直线得距离，即，即，即，即是“直线与圆相切的充分不必要条件，故选：A．9．函数上不单调的一个充分不必要条件是A．B．C．D．【答案】A【解析】所以令因为函数上不单调即上由实数根a=0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得即a∈它的充分不必要条件即为一个子集所以选A10．“”是“对任意恒成立”的A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：对任意恒成立，推不出，，”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．故选：C．11．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是A．B．C．D．【答案】B【解析】方程表示双曲线，选项是的充分不必要条件，选项范围是的真子集，只有选项符合题意，故选B．12．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，则，所以，即“”不能推出“”，反之也不成立，因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D13．设：关于的方程有解；：函数在区间上恒为正值，则的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意知：即方程有解，，所以，上恒成立，则，解得，所以的必要不充分条件.故选C.14．设，直线，直线，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，当时，两直线，此时两直线不平行，当时，若，则满足，由，解得，当时，成立，当时，成立，即两直线是重合的（舍去），故所以的充要条件，故选C.15．若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由，由，若“”是“”的充分而不必要条件，则，得.故选：B．16．已知其中a为常数，且若p为真，求x的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】，得，即命题p是真命题是x的取值范围是，，若，则，若，则，若p是q的必要不充分条件，则q对应的集合是p对应集合的真子集，若，则满足，得，若，满足条件．即实数a的取值范围是．17．已知命题；命题（1）若的必要条件，求实数的取值集合；（2）当时，若为真，为假，求实数的取值集合【答案】（1）（2）【解析】（1）时，舍时，舍时，得实数的取值集合为（2）由题意可知一真一假时，真时对应集合为假时对应集合为，真时对应集合为假时对应集合为假时得真时得综上得实数的取值集合18．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足.(Ⅰ) 若命题中椭圆的长轴长为短轴长的2倍，求实数的值；(Ⅱ) 命题是命题的什么条件？【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）充分不必要条件【解析】(Ⅰ)若命题A为真命题，则，解得：，若椭圆的长轴长为短轴长的2倍，即，解得：，又，∴实数的值为.（Ⅱ）命题成立的条件为.由，得，∴命题成立的条件为，，∴命题是命题的充分不必要条件.19．已知.（1）是否存在实数，使的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数，使的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在实数，使的充要条件（2）当实数时，的必要条件【解析】（1）.要使的充要条件，则，即此方程组无解，则不存在实数，使的充要条件；（2）要使的必要条件，则，当时，，解得；当时，，解得要使，则有，解得，所以，综上可得，当实数时，的必要条件．20．已知命题对数式）有意义；命题实数满足不等式.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）若的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）由对数式有意义得：，解得：，即实数的取值范围是.（2）∵的充分不必要条件，∴是不等式解集的真子集.令，∴，故只需，即，解得.即的取值范围是能力提升训练1．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合题意可知,而,得到解得,故可以推出结论,而当得到,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.2．给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②定义在上的偶函数的最大值为30；③命题“”的否定形式是“”.其中正确说法的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】对于①，当时，一定有，但是当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以②正确；对于③，命题“”的否定形式是“”，所以③是错误的；故正确命题的个数为2，故选C. 3．角是△的两个内角.下列六个条件中，“”的充分必要条件的个数是 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】逐一考查所给的条件： 由正弦定理可知；在△ABC 中，故；函数在区间上单调递减，故； 当时，易知，则， 当时，由于，故，据此可得：，据此可得：，综上可得：；当时，无意义，则⑤⑥均不是“”的充分必要条件.综上可得：“”的充分必要条件的个数是4.本题选择D 选项.4．已知抛物线C: 24x y =，直线:1l y =−，PA,PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A,B ，则“点P 在直线l 上”是“PA ⊥PB ”的( )条件A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】（1）若PA PB ⊥,设(),P m n ，切线斜率显然存在且不为0，设方程为()y n k x m −=−代入24x y=中得到： 224440,00x kx km n k mk n −+−=∴∆=⇒−+=，所以，由韦达定理可得1PA PB k k n ==−，故P 在直线l 上；（2）若P 在直线l 上，设(),1P m −，切线方程为()1y k x m +=−代入24x y =，可得224440,010x kx km k mk −++=∴∆=⇒−−=，所以1PA PB k k =−，故PA PB ⊥，“点P 在直线l 上”⊥”的充要条件，故选C.是“PA PB5．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”，给出以下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中真命题的个数为（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x²，∴f(x+1)>(x+1)²>x²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C．6．给出以下命题，其中真命题的个数是（）①若“”是假命题，则“”是真命题；②命题“若，则”为真命题；③若，则！④直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有3条；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①命题“”是假命题，所以为真命题，是假命题。
高中数学充要条件知识点总结
稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊高中数学里的充要条件，这可是个挺重要的知识点哟！啥是充要条件呢？简单说就是如果能从 A 推出 B，又能从 B 推出 A，那 A 和 B 之间的关系就是充要条件啦。
比如说，一个三角形是等边三角形，那它的三个角一定都相等；反过来，如果一个三角形的三个角都相等，那它肯定是等边三角形。
这里边等边三角形和三个角相等就是充要条件。
充要条件在解题的时候可有用啦！有时候题目会让咱们判断两个条件之间是不是充要的，这就得仔细分析啦。
像判断函数的奇偶性，就会用到充要条件的知识。
如果一个函数满足 f(x) = f(x) ，那它就是偶函数；反过来，如果一个函数是偶函数，那一定满足 f(x) = f(x) ，这就是充要条件哟。
还有不等式的证明里，也常常会出现充要条件的影子。
总之呀，充要条件这个知识点虽然有点绕，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就一定能掌握好哒！加油哦小伙伴们！稿子二嗨喽，同学们！今天咱们一起唠唠高中数学的充要条件哈。
充要条件呢，就像是一对好兄弟，谁也离不开谁。
比如说，直线垂直于平面的充要条件是直线垂直于平面内的两条相交直线。
再举个例子，两个三角形全等的充要条件是它们的三条边和三个角都对应相等。
是不是还挺好理解的？在做题的时候，一定要分清楚啥是充分条件，啥是必要条件，啥又是充要条件。
可别弄混了哟！有的题目会故意设陷阱，就看咱们能不能识破啦。
比如说，给咱们一个条件，让咱们判断是不是能推出另一个条件，这时候就得小心谨慎。
还有哦，充要条件在方程、几何这些地方都经常出现。
像判断两个圆的位置关系，也会用到相关的充要条件呢。
充要条件的知识点新高考
充要条件的知识点新高考充要条件的知识点新高考随着中国教育改革的推进，高考制度也在不断进行调整和更新。
其中，最受关注的就是新高考改革。
作为一名理科生，我对新高考中的数学知识点特别感兴趣，尤其是充要条件的概念。
在这篇文章中，我将为读者介绍充要条件的相关知识，探讨其在新高考中的应用。
首先，我们来了解一下什么是充要条件。
在数学中，充要条件是指一个命题成立的必要和充分条件。
换句话说，满足该条件的条件下，命题是真实的，并且如果满足其他任何条件，该命题仍然是真实的。
在解决数学问题中，掌握充要条件是非常重要的，尤其是对于考试来说。
在新高考中，充要条件的运用尤为重要。
一方面，新高考的数学考试注重考察学生的综合能力，让学生在问题解决中灵活运用所学知识。
而充要条件正是解决问题时不可或缺的工具。
通过了解充要条件，学生能够更好地理解问题的内涵和规律，从而采取正确的解决方法。
例如，在解决集合问题时，若能运用充要条件，能够简化问题的处理过程，提高解题效率。
另一方面，新高考注重培养学生的创新思维和问题解决能力，而这些能力的培养需要充分挖掘问题的本质和规律。
而充要条件的运用正是提醒学生要关注问题的本质，通过找到问题的特定条件，进而进行分析和推导。
在新高考物理试题中，许多问题需要学生从多个角度思考和分析，通过充要条件的运用，可以迅速找出问题的关键点，提高解题的准确性。
此外，在数学中，充要条件的运用还可以帮助学生理解和掌握其他概念和定理。
例如，在学习三角函数的定义和性质时，能够理解和运用充要条件，就可以更好地掌握三角函数的特性和应用。
通过充要条件的学习，学生能够更深入地理解数学的逻辑和推理，培养出良好的数学思维习惯。
然而，要在新高考中灵活运用充要条件，并不是一件容易的事。
对于一些学生来说，充要条件的理解和应用依然存在困难。
为了取得更好的成绩，学生们应该加强充要条件的学习和反复练习。
可以通过做题集或参加辅导班来提高自己的技巧和能力。
同时，学校和老师也应该创造良好的学习环境，通过启发性的教学和互动式学习，激发学生的学习兴趣和热情。
高考数学复习点拨判定充要条件的四法
判定充要条件的四法充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑理必不可少的基础知识.高考对充要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查：一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明，尤以考查充要条件的判别为主.要正确判断“充分且不必要条件”、“必要且不充分条件”、“充要条件”、“非充分非不必要条件”应该明确：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件.下面就介绍几种充要条件的判定方法.方法一、定义法能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”、“有且仅有”、“必需且只需”等语句.用逻辑符号表示为：(1)若P Q，且Q/P，则P是Q的充分且不必要条件，Q是P的必要且不充分条件；(2)若Q P，且P/Q，则P是Q的必要且不充分条件，Q是P的充分且不必要条件；(3)若P Q，且Q P(或P Q)，则P是Q的充要条件(此时Q也是P的充要条件)；(4)若P/Q，且Q/P，则P是Q的非充分非不必要条件.例1一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.A＜0B.A＞0C.A＜﹣1D.A＞1解析：如果一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根，则两个根的积为负数，即﹣1a＜0，所以A＜0，由此可知“一元二次方程Ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根”/“A＜﹣1”，但“A＜﹣1”一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根”.故选C.二、命题法(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.例2若非空集合M≠N，则“A∈M或A∈N”是“A∈M∩N”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：因为命题“若A∈M或A∈N，则A∈M∩N”为假，它的逆命题：“若A∈M∩N，则A∈M或A∈N”为真，故“A∈M或A∈N”是“A∈M∩N”的必要非充分条件，故选B.三、双箭头表示法由于逻辑联结符号“”、“”、“”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系.例3已知P是R的充分不必要条件，S是R的必要条件，Q是S的必要条件．那么P是Q成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：画出用双箭头符号表示表示P、Q、R、S的关系：P R，S R，Q S，即P R，S R，Q S，∴P R S Q，即P Q，又R/P，则Q/P，故P是Q的充分非必要条件.故选A.四、集合法(1)若A__B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；(2)若A≠B，就是x∈A则x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，则A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件.(3)若A=B，就是A__B且A__B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件.(4)若A B，A/B，则A是B的既不充分也不必要条件.例2也可这样解：由于M≠N，所以M∪N=N，M∩N=M，又由并集的定义知：A∈M或A∈N A∈M∪N A∈N，A∈M∩N=N A∈M，而M≠N，所以“A∈M或A∈N”“A∈M∩N”，所以“A∈M或A∈N”是“A∈M∩N”的必要非充分条件，故选B.例3也可这样解：设条件P、Q、R、S相对应的集合为A、B、C、D，则根据题设条件知：A≠C，C D，D B，又由子集的传递性知A≠B，所以P是Q成立充分不必要条件，故选A.。
专题二 数列(难点突破 数列的函数特征)2023年高考数学二轮复习(全国通用)
令 ，得 ；令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.因为 ， ，所以当 时， ，即 ，故实数 的取值范围为 .
突破点3 数列的最值
例3 (2022·枣庄二模)在① 是 与 的等差中项，② 是 与 的等比中项，③数列 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知 是公差为2的等差数列，其前 项和为 ， .
因为 ，所以 是首项为 ，公差为4的等差数列．由 的前5项和为65，得 ，解得 ，所以 .（2）不存在 ，使得 .理由如下：由（1）可得 ，因为 ，
所以 ； .所以 ，所以 中的最大项为 .显然 ，所以对任意的 ， ，所以不存在 ，使得 .
提分秘籍 数列作为特殊的函数，数列的周期性可以通过归纳得到.数列的最值问题可利用函数的单调性求解，当然要注意数比较大小一般要求两个数均为正数．
（1）求数列 的通项公式.
（2）设 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
▶思维导图
[解析] （1）若选① 是 与 的等差中项，则 ，即 ，解得 ，所以 .若选② 是 与 的等比中项，则 ，即 ，解得 ，所以 .若选③数列 的前5项和为65，则 .
◎难点精练
1.(2022·湖北模拟)数列 <m></m> 满足 <m></m> 且 <m></m> 是递增数列，则实数 <m></m> 的取值范围是______.
[解析] ∵数列 满足 且 是递增数列，∴需满足 即 解得 ，即实数 的取值范围是 .
高考数学难点突破_难点02__充要条件
难点2 充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1) 211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A.ab =0B.a +b =0C.a =bD.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n +++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b )=－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.d n a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n② ①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 ∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列. 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解. 消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性：当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310. 8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1, 根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0 方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q 综上所述，p 是q 的必要不充分条件.Von Neumann 说过：In mathematics you don't understan d things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。
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难点2 充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件， ∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1 这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件. 当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( ) A.ab =0 B.a +b =0 C.a =b D.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件 二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n+++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4. 设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线. 又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b )又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b (2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线. ∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根. ∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2. 歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b ) =－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )= (－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件. 答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p(2)为证明pq ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件. 6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.dn a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数.故{b n }是等差数列，公差为32d .②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′ ∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ①b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n②①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 ∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列.综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列. 7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3) 由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3) 设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性： 当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310.8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2. 则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p . 反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0 方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.。