江西财大概率论与数理统计课件(王平平) (1)

这个公式被称为乘法公式或乘法定理
例题：课本P39 例2
说明：条件概率的三种解法：
1、试验法:根据条件概率的直观意义求概率
2、缩减样本空间法：在缩减后的样本空间中
求事件的概率
3、公式法：条件概率公式
例1.甲乙两个城市都位于长江下游，根据100多年 来的气象记录，知道一年中的雨天的比例甲市占 20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%.若以事件A 记甲市出现雨天，事件B记乙市出现雨天. 求已知某市下雨，另一城市下雨的概率和至少 一个城市下雨的概率. 解: 根据已知条件,有 P(A)=0.2 P(B)=0.18 P(AB)=0.12 已知甲市下雨时乙市下雨的概率
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称事件A,B,C相互独立
注意:
事件的两两相互独立和相互独立的区别
例10.有一个质地均匀的正四面体的骰子,四面颜色分 别为红色、黑色、白色、红黑白三色,随机将骰子抛 出,试分析朝下一面的结果. 分别表示骰子朝下的一面有红 解: 设A、B、C 白色和黑色. 色、 . 则 P(A)= 1/2 P(AB)= 1/4 P(B)= 1/2 P(AC) 1/4 = P(C)= 1/2 P(BC) 1/4 P(ABC) = 1/4 = P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
乘法公式 P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 也可推广到有限多个事件的情形： 定理1. 广义乘法公式
P 若A1 , A2 ,L, An是一个有限事件序列， ( A1 A2 L An-1 ) 0, 则
P ( A 1 A 2 L A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 | A1 ) P ( A 3 | A1 A 2 ) L P ( A n | A1 A 2 L A n - 1 )
因而 P(B|A)=P(AB)/P(A)=0
但 P(B)>0 所以 P(B|A)=P(B)
故,事件A,B不相互独立
在例9中,如果没有条件P(A)>0,P(B)>0,情况会怎样? 如果P(A)=0， P(A)P(B)=0 P(AB)=P(B)P(A|B)=0 所以,P(AB)=P(A)P(B)=0
A,B互不相容且相互独立 一般来说,互不相容和相互独立不是一回事
二、条件概率的性质 首先，不难验证条件概率P(A|B)具有概率的三个 基本性质，即三条公理：
(1 ) 非负性 ( 2 ) 正规性 P(A | B) 0 P ( | B ) 1
( 3 ) 完全可加性 P ( B ) 0, 则

若 A1 , A 2 , L , A n , L 两两互斥，
A=“该家庭有一男一女” (男,女),(女,男) B=“该家庭至少有一个女孩” (男,女),(女,男),(女,女)
P(A)=1/2
P(B)=3/4
若已知该家庭至少有一个女孩,即B已发生,此时A 发生的概率?
满足条件即B发生的样本空间:
(男,女),(女,男),(女,女) 已知B发生的条件下A发生的有利场合: (男,女),(女,男) 已知B发生的条件下A发生的概率(记为P(A|B))为 P(A|B)=2/3 P(A)=1/2 =2/3 P(B)=3/4
这类概率问题称之为条件概率
巧合吗？
一、条件概率
定义1. 对任意两个事件A,B,若P(B) >0,则称
P(A|B)= P(AB) P(B) 为已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 同样，若P(A)>0,则有 P(B|A)= P(AB) P(A)
因而，可以得到 P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
则A,B相互独立
定理1.如果事件A与事件B相互独立,则下列三对事 件 A 与 B , A与 B , A与 B 也分别相互独立 四对有一对相互独立，则其余三对也相互独立
证明:
只证 " A 与 B 相互独立
"
P ( A B ) P ( A - B ) P ( A - AB )
P ( A ) - P ( AB ) P ( A ) - P ( A ) P ( B ) P ( A )( 1 - P ( B )) P ( A ) P ( B ) 所以 A 与 B 相互独立
另外,不可能事件 与任意事件相互独立并且互 斥 必然事件 与任意事件相互独立但不互斥
定义4. 设A,B,C为随机事件,若 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 则称事件A,B,C两两相互独立 定义5. 设A,B,C为随机事件,若
P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
例9.
已知P(A)>0,P(B)>0,
(1)如果事件A,B相互独立，那么A,B是否互不相容? (2)反之，如果A,B互不相容,那么AB是否相互独立? 解:
(1)如果A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)>0
所以A,B不是互不相容的,即A,B相容. (2) 反之,如果A,B互不相容,则P(AB)=0
所求事件为
A1 A 2 L A m A m 1 A m 2 L A n
根据广义乘法公式
P ( A1 A 2 L A m A m 1 A m 2 L A n )
P ( A1 ) P ( A 2 | A1 ) P ( A 3 | A1 A 2 ) L P ( A m | A1 A 2 L A m - 1 )
( 7 ) 如果 A1 A 2 , 则 P ( A 2 - A1 | B ) P ( A 2 | B ) - P ( A1 | B )
课本：P40 例题4 注意：问题（2）第一次检测到正品后，第二 次 检测是正品的概率。 区别于问题：第二次检测到正品的概率？
例2.一袋中有同样大小的硬币10枚,其中7个面值为1 角,3个面值为5角.采用不放回取样（即每次取一枚, 取后不放回),求: (1) 第三次才取到面值为5角的硬币的概率; (2) 前三次中至少有一次取到面值为5角的硬币 的概率. 硬币10枚,其中7枚面值为1角,3枚面值为5角,取3次 解:
实际问题中,往往从事件的实际关系去分析独立性.
例8.甲乙两人同时独立向同一目标射击,已知甲乙击 中目标的概率分别为0.8和0.7,求目标被击中的概率. 解: 设A为甲击中目标
B为乙击中目标
C为目标被击中 显然，两人是否击中目标的概率不受对方影响 所以,A与B相互独立 所以 P(C)
P ( A B ) =P(A)+P(B)-P(AB)
所以事件A,B,C两两独立,但不相互独立
两个、三个事件的相互独立也可推广到n个事 件的情形 定义5.
设 A 1 , A 2 , L , A n ( n 2 ) 是 n 个事件，若 1 i j n 1 i j k n
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ai A j Ak ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ak )

7 10

6 9

3 8

7 40
0 . 175
(2) 根据对偶律
A1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3
P ( A1 A 2 A 3 ) 1 - P ( A 1 A 2 A 3 )
1 - P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A 3 | A1 A2 )
L a ( n - m - 1) c a b ( n - 1) c
a c a b ( m 1) c
a b mc
注:
c=0即为有放回取球模型;c=-1即为不放回取求模型
思考:
从一副扑克中(52张)依次随机抽取3张,已知其 中有一张A，求其中恰有2张A的概率
三、事件的独立性
设 A i 表示 " 第 i 次取到面值为 5 角的硬币 " , i 1, 2 , 3
第三次才取到5角的硬币为
A1 A 2 A 3
前三次中至少有一次取到面值为5角的硬币为
A1 A 2 A 3
(1) 根据乘法公式
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )

P ( An | B )
n 1

n 1
P ( An | B )
同样,类似于概率，对条件概率也可以由三条 公理推导出其余的一些性质:
(4 ) P ( | B )
=0
(5 ) P ( A | B ) 1 - P ( A | B )
( 6 ) P ( A1 A 2 | B ) P ( A 1 | B ) P ( A 2 | B ) - P ( A 1 A 2 | B )
从条件概率可知，在一般情况下 P(B|A)=P(B) 但在一定条件下，它们也可以相等，即 P(B|A)=P(B) 事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
两个事件相互独立的定义 定义3.对任意两个事件A,B,如果 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与事件B相互独立. 事实上 如果P(B|A)=P(B)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
0 . 8 0 . 7 - 0 . 8 0 . 7 0 . 94
根据不同的概率公式，本问题还有许多种解法
P (C ) 1 - P (C ) 1 - P ( A B ) 1 - P ( A B ) 1 - P ( A)P (B ) 1 - 0 . 2 0 . 3 0 . 94
概率论与 数理统计
Probability & Mathematical Statistics