2015年各区数学一模28题汇集

(丰台)28．在△ABC 中，CA =CB ，CD 为AB 边的中线，点P 是线段AC 上任意一点（不与点C 重合），过点P 作PE 交CD
于点E ，使∠CPE =1
2
∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G.
（1）如果∠ACB =90°，①如图1，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形；②如图2，当点P 不与点A 重合时，求
CF
PE
的值； （2）如果∠CAB =a ，如图3，请直接写出
CF
PE
的值.（用含a 的式子表示）
（石景山）28．在△ABC 中，90BAC ∠=︒．
（1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A C ，B A '，'A C 与
AB 交于点E ；
（2）将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC 交于点F ，过点F 作直线AB 的
垂线，垂足为点H ．
①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系．
，点P 是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC ．
（1）如图1，若∠BAC=60°，点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA=2，求PB 的长； （2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA ，PB ，PC 的数量关系，并证明； （3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA ，PB ，PC 的数量关系．
图3
图1
图2
A
C
P
A
B
C
P
A
B
C P
（大兴）28.已知：如图，在四边形ABCD 中 ，AD ∥BC ，∠ABC=90°.点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿直线BE 折叠，使点A 落在四边形对角线BD 上的点G 处，EG 的延长线交直线BC 于点F. （1）点E 可以是AD 的中点吗？请说明理由； （2）求证△ABG ∽△BFE ；
（3）设AD=a ，AB=b ，BC=c.当四边形EFCD 为平行四边形时，
图1
图2
图3
G F
E
D
C
B
A
求a ，b ，c 应满足的关系.
（平谷）28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射
线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；
（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋
1
2
ABC ∠，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是 ；
（3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN 的周长为2，则△MBN 的面积最小值为 ．
（东城）28. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ． （1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（海淀）28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点BC 绕点B
逆时针旋转50︒（1E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
备用图
（2）求证：EG BC =；
（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．
图2 图3 图1 A C
图1 图2 图3
（通州）28．在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF =AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，易证BE =EF .
（2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： .
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予
证明；若不成立，请说明理由．
（房山）28．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE .依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；
(1) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′.
①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；
②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''
C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？
＝45°，AH 绕点H 的对应点为点D ，直线
，连接EH
（1）如图1，当∠
BAC 为锐角时，
①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝
角时，请依题意用实线
补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．
（怀柔）28．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD,CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数； （3）如图2，若60°<∠PAB <120°， 判断由线段AB,CE,ED 可以构成一个 含有多少度角的三角形，并证明.
（门头沟）28．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ． （1）如图1，如果∠A =30°，那么DE 与CE 之间的数量关系是 ．
图1 图1
图2
A
B H C
A
B
H
C
E
D A
B
C
P
A
B
C
P
（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，
连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，如果∠A =α（0°＜α＜90°），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D
逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．
D
B
F
E D
A
B E D
A
B C C C
P A
E。