上海市闵行区中考数学一模试卷含答案解析

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上海市闵行区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析

上海市闵行区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．研究表明某流感病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数是（）A．0.156×10－5B．0.156×105C．1.56×10－6D．1.56×1062．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x–h）2+k（a<0）的图象可能是A．B．C．D．3．若()292mm--=1，则符合条件的m有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是（）A．两点之间的所有连线中，线段最短B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直5．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（）A．0.86×104B．8.6×102C．8.6×103D．86×1026．如图，四边形ABCD是正方形，点P，Q分别在边AB，BC的延长线上且BP=CQ，连接AQ，DP 交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②△OAE∽△OPA；③当正方形的边长为3，BP＝1时，cos∠DFO=35，其中正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．37．在数轴上表示不等式组10240xx+≥⎧⎨-<⎩的解集，正确的是（）A．B．C．D．8．9的值是()A．±3 B．3 C．9 D．819．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．35B．725C．45D．242510．在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A．中位数不变，方差不变B．中位数变大，方差不变C．中位数变小，方差变小D．中位数不变，方差变小11．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB，AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠DEA=（）A．40°B．110°C．70°D．140°12．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是()A．8 B．9 C．10 D．12二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．从长度分别是3，4，5的三条线段中随机抽出一条，与长为2，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是_______．14．方程3x2﹣5x+2=0的一个根是a，则6a2﹣10a+2=_____．15．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=10，AC=6，则DF的长为__．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A （﹣2，1），B （1，0），将线段AB 绕着点B 顺时针旋转90°得到线段BA′，则A′的坐标为_____．17．如图放置的正方形ABCD ，正方形11DCC D ，正方形1122D C C D ，…都是边长为3的正方形，点A 在y 轴上，点12,,,B C C C ，…，都在直线33y x 上，则D 的坐标是__________，n D 的坐标是______.18．图，A ，B 是反比例函数y=k x图象上的两点，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，AC 交OB 于点D ．若D 为OB 的中点，△AOD 的面积为3，则k 的值为________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有,A B 两种型号的挖掘机,已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A 型和7台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180元．分别求每台A 型, B 型挖掘机一小时挖土多少立方米?若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?20．（6分）如图，已知AB 是⊙O 上的点，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD=∠BAC ．求证：CD 是⊙O 的切线；若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．21．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC 于点F，求证：AE＝AF．22．（8分）某纺织厂生产的产品,原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.53m的污水排出,现在为了保护环境,需对污水净化处理后再排出.已知每处理13m污水的费用为2元,且每月排污设备损耗为8000元.设现在该厂每月生产产品x件,每月纯利润y元：（1）求出y与x的函数关系式.(纯利润=总收入-总支出)（2）当y=106000时,求该厂在这个月中生产产品的件数.23．（8分）(1)计算：3tan30°+|2﹣3|+（13）﹣1﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018.(2)先化简，再求值：（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+，其中x=2，y=2﹣1.24．（10分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数ayx=的图象交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，连接OA，且OA＝OB．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）过点P（k，0）作平行于y轴的直线，交一次函数y＝2x＋n于点M，交反比例函数ayx=的图象于点N，若NM＝NP，求n的值．25．（10分）已知一次函数y＝x+1与抛物线y＝x2+bx+c交A（m，9），B（0，1）两点，点C在抛物线上且横坐标为1．（1）写出抛物线的函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q的坐标，如果不存在，说说你的理由．26．（12分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．求∠APB的度数；已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？．27．（12分）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.求每台电脑、每台电子白板各多少万元?根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】解：，故选C.2．B【解析】【分析】根据题目给出的二次函数的表达式，可知二次函数的开口向下，即可得出答案.【详解】Q二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＜0）∴二次函数开口向下.即B成立.故答案选:B.【点睛】本题考查的是简单运用二次函数性质，解题的关键是熟练掌握二次函数性质.3．C【解析】【分析】根据有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法得出两个有关m的等式，即可得出.【详解】Q()29-=1m-2m∴m2-9=0或m-2= ±1即m= ±3或m=3,m=1∴m有3个值故答案选C.【点睛】本题考查的知识点是有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法.4．B【解析】【分析】本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答．【详解】根据两点确定一条直线．故选：B．【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中．5．C【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n 次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n 表示整数．n 为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂．【详解】数据8 600用科学记数法表示为8.6×103 故选C ．【点睛】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a ：a 是只有一位整数的数；（2）确定n ：当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．6．C【解析】【分析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ；故①正确；根据勾股定理求出5,AQ ==,DFO BAQ ∠=∠直接用余弦可求出．【详解】详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=o ，∵BP=CQ ，∴AP=BQ ，在△DAP 与△ABQ 中, AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAP ≌△ABQ ，∴∠P=∠Q ，∵90Q QAB ∠+∠=o，∴90P QAB ∠+∠=o ，∴90AOP ∠=o ，∴AQ ⊥DP ；②无法证明，故错误．∵BP=1，AB=3，∴4BQ AP ==，5,AQ ==,DFO BAQ ∠=∠ ∴3cos cos .5AB DFO BAQ AQ ∠=∠== 故③正确，故选C ．【点睛】考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高．7．C【解析】【分析】解不等式组，再将解集在数轴上正确表示出来即可【详解】解1＋x≥0得x≥﹣1，解2x －4＜0得x ＜2，所以不等式的解集为﹣1≤x ＜2，故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，求出题中不等式组的解集是解题的关键.8．C【解析】3=3故选C.9．A【解析】【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE ∥BC 知AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD ，再根据正弦函数的概念求解可得．【详解】∵△ABC 中，AC ＝BC ，过点C 作CD ⊥AB ，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝63105 BDBC==，故选：A．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质等知识点．10．D【解析】【分析】根据中位数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的中位数和方差，从而做出判断．【详解】∵原数据的中位数是=3，平均数为=3，∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=；∵新数据的中位数为3，平均数为=3，∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2；所以新数据与原数据相比中位数不变，方差变小，故选：D．【点睛】本题考查了中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义．11．B【解析】【分析】先由平行线性质得出∠ACD与∠BAC互补，并根据已知∠ACD=40°计算出∠BAC的度数，再根据角平分线性质求出∠BAE的度数，进而得到∠DEA的度数．【详解】∵AB∥CD，∴∠ACD+∠BAC=180°，∵∠ACD=40°，∴∠BAC=180°﹣40°=140°，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=12∠BAC=12×140°=70°，∴∠DEA=180°﹣∠BAE=110°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．12．A【解析】试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x=180，解得x=45，这个多边形的边数：360°÷45°=8，故选A．考点：多边形内角与外角．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2 3【解析】共有3种等可能的结果，它们是：3，2，3；4, 2, 3；5, 2, 3；其中三条线段能够成三角形的结果为2，所以三条线段能构成三角形的概率=23.故答案为23.14．-1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程3x1-5x+1=0，列出关于a的一元二次方程，通过变形求得3a1-5a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【详解】解：∵方程3x1-5x+1=0的一个根是a，∴3a1-5a+1=0，∴3a1-5a=-1，∴6a1-10a+1=1（3a1-5a）+1=-1×1+1=-1．故答案是：-1．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．15．1【解析】【详解】试题分析：如图，延长CF交AB于点G，∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG≌△AFC（ASA）．∴AC=AG，GF=CF．又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线．∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）=1．16．(2，3)【解析】【分析】作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，证明△ABC≌△BA′C′，可得OC′=OB+BC′=1+1=2，A′C′=BC=3，可得结果．【详解】如图，作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，∵点A、B的坐标分别为（-2，1）、（1，0），∴AC=2，BC=2+1=3，∵∠ABA′=90°，∴ABC+∠A′BC′=90°，∵∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC=∠A′BC′，∵BA=BA′，∠ACB=∠BC′A′，∴△ABC≌△BA′C′，∴OC′=OB+BC′=1+1=2，A′C′=BC=3，∴点A′的坐标为（2，3）．故答案为（2，3）．【点睛】此题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标的确定．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．17．33,2 2⎛⎫+⎪⎪⎝⎭3333,222n n⎛⎫+++⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】先求出OA的长度，然后利用含30°的直角三角形的性质得到点D的坐标，探索规律，从而得到nD的坐标即可．【详解】分别过点12,,D D D L作y轴的垂线交y轴于点12,,E E E L，∵点B在33y x=上设3(,)3B mtan333AOBm∴∠==∴60AOB∠=︒3AB=Q2sin 60AB OA ∴===︒ 90AOB OAB ∠+∠=︒Q30OAB ∴∠=︒90,90EAD OAB EAD EDA ∠+∠=︒∠+∠=︒Q30EDA OAB ∴∠=∠=︒同理，1122,n n AD E AD E AD E V V L V 都是含30°的直角三角形∵32ED AD ==,12AE AD ==22OE OA AE ∴=+=+∴3(,2)22D +同理，点n D的横坐标为31)(1)2n n n x E D AD n n ===+=+纵坐标为1122(1)21)22n n AO AE AD n n +=+=++=+ 故点n D的坐标为3322222n n ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：3,222⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；33,22222n n ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查含30°的直角三角形的性质，找到点的坐标规律是解题的关键．18．1．【解析】先设点D 坐标为（a ，b ），得出点B 的坐标为（2a ，2b ），A 的坐标为（4a ，b ），再根据△AOD 的面积为3，列出关系式求得k 的值．解：设点D 坐标为（a ，b ），∵点D 为OB 的中点，∴点B 的坐标为（2a ，2b ），∴k=4ab ，又∵AC ⊥y 轴，A 在反比例函数图象上，∴A 的坐标为（4a ，b ），∴AD=4a ﹣a=3a ，∵△AOD 的面积为3， ∴×3a×b=3，∴ab=2，∴k=4ab=4×2=1．故答案为1“点睛”本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD 的面积为1列出关系式是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米；（2）共有三种调配方案．方案一: A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二: A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三: A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．当A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．【解析】分析：（1）根据题意列出方程组即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．详解：(1)设每台A 型,B 型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米,根据题意,得35165,47225,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得30,15.x y =⎧⎨=⎩所以,每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米．(2)设A 型挖掘机有m 台,总费用为W 元,则B 型挖据机有()12m -台．根据题意,得43004180W m =⨯+⨯ ()124808640m m -=+，因为()()430415121080430041801212960m m m m ⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得69m m ≥⎧⎨≤⎩，又因为12m m ≠-,解得6m ≠,所以79m ≤≤．所以,共有三种调配方案．方案一:当7m =时,125m -= ,即A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二:当8m =时,124m -= ,即A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三:当9m =时,123m -= ,即A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．4800Q >,由一次函数的性质可知,W 随m 的减小而减小,当7m =时，=4807+8640=12000W ⨯最小，此时A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．20．（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为43π【解析】【分析】（1）连接OC ，易证∠BCD=∠OCA ，由于AB 是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，AB=2r ，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：△OAC 的面积以及扇形OAC 的面积即可求出阴影部分面积.【详解】（1）如图，连接OC ，∵OA=OC ，∴∠BAC=∠OCA ，∵∠BCD=∠BAC ，∴∠BCD=∠OCA ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC 是半径，∴CD 是⊙O 的切线（2）设⊙O 的半径为r ，∴AB=2r ，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r ，∠COB=60°∴r+2=2r ，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=23，易求S△AOC=12×23×1=3S扇形OAC=12044 3603ππ⨯=，∴阴影部分面积为43 3π-.【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.21．见解析【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠ABF=∠CBF，由已知条件可得∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，根据余角的性质可得∠AFB=∠BED，即可求得∠AFE=∠AEF，由等腰三角形的判定即可证得结论．【详解】∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，∴∠AFB=∠BED，∵∠AEF=∠BED，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，根据余角的性质证得∠AFB=∠BED是解题的关键．22．（1）y=19x-1(x>0且x是整数) （2）6000件【解析】【分析】（1）本题的等量关系是：纯利润=产品的出厂单价×产品的数量-产品的成本价×产品的数量-生产过程中的污水处理费-排污设备的损耗，可根据此等量关系来列出总利润与产品数量之间的函数关系式；（2）根据（1）中得出的式子，将y的值代入其中，求出x即可．【详解】（1）依题意得：y=80x-60x-0.5x•2-1，化简得：y=19x-1，∴所求的函数关系式为y=19x-1．（x＞0且x是整数）（2）当y=106000时，代入得：106000=19x-1，解得x=6000，∴这个月该厂生产产品6000件．【点睛】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，可根据题意找出等量关系，列出函数式进行求解．23．(1)3；(2) x﹣y，1．【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（1）3tan30°（13）-1-（3-π）0-（-1）2018+3-1-1，=，=3；（2）（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+，=()()() 222•x x yx xy yx x y x y+-++-，=()()()()2•x y x x yx x y x y-++-=x-y，当，-1时，原式+1=1．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．24．20（1）y＝2x－5, y=12x；（2）n＝－4或n＝1【解析】【分析】（1）由点A坐标知OA=OB=5，可得点B的坐标，由A点坐标可得反比例函数解析式，由A、B两点坐标可得直线AB的解析式；（2）由k=2知N（2，6），根据NP=NM得点M坐标为（2，0）或（2，12），分别代入y=2x-n可得答案．【详解】解：（1）∵点A的坐标为（4，3），∴OA=5，∵OA=OB，∴OB=5，∵点B在y轴的负半轴上，∴点B的坐标为（0，-5），将点A（4，3）代入反比例函数解析式y=ax中，∴反比例函数解析式为y=12x，将点A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b中，得：k=2、b=-5，∴一次函数解析式为y=2x-5；（2）由（1）知k=2，则点N的坐标为（2，6），∵NP=NM，∴点M坐标为（2，0）或（2，12），分别代入y=2x-n可得：n=-4或n=1．【点睛】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论思想的运用．25．（1）y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由见解析；（3）符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．【解析】【分析】（1）先利用一次函数解析式得到A（8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先利用抛物线解析式确定C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，证明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝，BN＝，从而得到∠ABC ＝90°，所以△ABC为直角三角形；（3）利用勾股定理计算出AC＝，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到Rt△ABC的内切圆的半径＝，设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，则AI、BI为角平分线，BI⊥y轴，PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI×＝4，则I（4，1），接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y＝2x﹣7，直线AP的解析式为y＝﹣12x+13，然后分别求出P、Q、G的坐标即可．【详解】解：（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，则A（8，9），把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得64+8+91b cc=⎧⎨=⎩，解得-71bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y＝x2﹣7x+1；故答案为y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由如下：当x＝1时，y＝x2﹣7x+1＝31﹣42+1＝﹣5，则C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，∵B（0，1），A（8，9），C（1，﹣5），∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝1，∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝，BN＝，∴∠ABC＝90°，∴△ABC为直角三角形；（3）∵AB＝BN＝，∴AC＝，∴Rt△ABC设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，∵I为△ABC的内心，∴AI、BI为角平分线，∴BI⊥y轴，而AI⊥PQ，∴PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，∴点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点，它们到直线AB、BC、AC距离相等，BI×＝4，而BI⊥y轴，∴I（4，1），设直线AI的解析式为y＝kx+n，则41 89k nk n+=⎧⎨+=⎩，解得27 kn=⎧⎨=-⎩，∴直线AI的解析式为y＝2x﹣7，当x＝0时，y＝2x﹣7＝﹣7，则G（0，﹣7）；设直线AP的解析式为y＝﹣12x+p，把A（8，9）代入得﹣4+n＝9，解得n＝13，∴直线AP的解析式为y＝﹣12x+13，当y＝1时，﹣12x+13＝1，则P（24，1）当x＝0时，y＝﹣12x+13＝13，则Q（0，13），综上所述，符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键．26．（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．【解析】【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；（2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°∴∠APB=180°-30°-120°=30°（2）过点P作PH⊥AB于点H在Rt△APH中，∠PAH=30°，3PH在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=33PH∴AB=AH-BH=33PH=50解得325，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全. 考点：解直角三角形27．（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）见解析【解析】解：（1）设每台电脑x 万元，每台电子白板y 万元，根据题意得：x 2y 3.5{2x y 2.5+=+=，解得：x 0.5{y 1.5==。

2019-2020学年上海市闵行区部分学校初三数学第一学期中考一模试卷及解析

2019-2020学年上海市闵行区部分学校初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（4分）下列各数中，无理数是( ) A ．4-B ．129C ．39D ．2272．（4分）不等式23x ->的解集是( ) A ．23x >-B ．23x <-C ．32x >-D ．32x <-3．（4分）下列方程中，有实数根的是( ) A ．1x x -=- B ．10x x -+= C ．22111x x x =-- D ．2202010x x +-=4．（4分）已知反比例函数ky x=，当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数22y kx x k =--图象的选项是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是( ) A ．测量对角线是否相互平分 B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量对角线是否互相垂直D ．测量其中三个角是否是直角6．（4分）如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是( ) A ．内含B ．内切C ．外切D ．相交．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：23a a ⋅= ．8．（4分）在实数范围内分解因式：222x x --= ． 9．（4分）已知2()21f x x =-，且f （a ）3=，那么a = ．10．（4分）如图．函数(y kx b k =+、b 为常数，0)k ≠的图象如图，则关于x 的不等式0kx b +>的解集为．11．（4分）某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表．中码CHN 220 225 230 ⋯250 255 260 ⋯美码USA4.555.5⋯ 7.588.5⋯如果美码()y 与中码()x 之间满足一次函数关系，那么y 关于x 的函数关系式为．12．（4分）一个不透明的袋子中装有8个大小、形状、都一样的小球，其中有3个红球与5个黄球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：．13．（4分）如果一段斜坡的坡角是30︒，那么这段斜坡的坡度是．（请写成1:m 的形式） 14．（4分）如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a =，AC b =，如果用向量a ，b 表示向量AD ，那么向量AD 可以表示为．15．（4分）已知正三角形的边长为2，那么该三角形的半径长为．16．（4分）如果两点(2,)A a 和(,)B x b 在抛物线24y x x m =-+上，那么a 和b 的大小关系为：a b ．（从“>”“”“<”“”中选择）．17．（4分）平移抛物线224y x x =-，可以得到抛物线224y x x =+，请写出一种平移方法． 18．（4分）如果三角形的两个内角α∠与β∠满足290αβ+=︒，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，3BC =，4AC =（如图所示），点D 在AC 边上，联结BD ．如果ABD ∆为“准互余三角形”，那么线段AD 的长为（写出一个答案即可）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：231|31|26823--⨯+--20．（10分）解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩21．（10分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =，点D 在边AC 上，且45DBC ∠=︒，求sin ABD ∠的值．22．（10分）某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？23．（12分）已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 在斜边AB 上，DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ．（1）当ACD BCD ∠=∠时，求证：四边形DECF 是正方形；（2）当BCD A ∠=∠时，求证：CD CFCA AD=．24．（12分）如图，已知一个抛物线经过(0,1)A ，(1,3)B ，(1,1)C -三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）联结AB 、BC 、CA ，求tan ABC ∠的值；（3）如果点E 在该抛物线的对称轴上，且以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是梯形，直接写出点E 的坐标．25．（14分）在圆O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，且弧AC 与弧BD 相等．点D 在劣弧AB 上，联结CO 并延长交线段AB 于点F ，联结OA 、OB ．当5OA =，且1tan 2OAB ∠=．（1）求弦CD 的长；（2）如果AOF ∆是直角三角形，求线段EF 的长；（3）如果4CEF BOF S S ∆∆=，求线段AF 的长．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【解答】解：.2A =-，是整数，属于有理数； 12.93B =，是整数，属于有理数；C 是无理数；22.7D 是分数，属于有理数．故选：C ．2．【解答】解：不等式的两边同时除以2-得，32x <-．故选：D ． 3．【解答】解：10，10x -，1x ∴，0x ∴-<，∴x ≠-，A ∴不正确；100x ，当1x =有最小值1，∴1x ，B ∴不正确；22111x x x =--两边同时乘以21x -，得1x =，经检验1x =是方程的增根，∴方程无解；C ∴不正确；2202010x x +-=，△2202040=+>，∴方程有两个不相等的实数根，D ∴正确；故选：D ．4．【解答】解：反比例函数ky x=，当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大， 0k ∴<，∴二次函数22y kx x k =--中，20k <，则图象开口向下，0k ->，则图象与y 轴交在正半轴上，又10b =-<，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y 轴左侧，符合题意的只有选项D ．故选：D ．5．【解答】解：三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D ，故选：D ．6．【解答】解：一个圆的半径R 为4，另一个圆的半径r 大于1，41R r ∴-<-，5R r +>即：3R r -<，圆心距为3，∴两圆不可能外切，故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．【解答】解：23235a a a a +⋅==．故答案为：5a ．8．【解答】解：原式2(1)3(11x x x =--=-+--故填：(11x x ---． 9．【解答】解：2()21f x x =-，f （a ）3=，f ∴（a ）2213a =-=， 2213a ∴-=时，2a =±，故答案为2±．10．【解答】解：函数y kx b =+的图象经过点(2,0)，并且函数值y 随x 的增大而减小，所以当2x <时，函数值大于0，即关于x 的不等式0kx b +>的解集是2x <．故答案为：2x <．11．【解答】解：设y 关于x 的函数关系式为：y kx b =+，由题意可得：52258255k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：0.117.5k b =⎧⎨=-⎩y ∴关于x 的函数关系式为0.117.5y x =-，故答案为：0.117.5y x =-．12．【解答】解：在口袋中放有3个红球与5个黄球，共8个，这两种球除颜色外完全相同，随机从口袋中任取一个球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：38．故答案为：38．13．【解答】解：3tan tan 301:33i α==︒==，故答案是：1:3．14．【解答】解：如图，延长AD 到E ，使得DE AD =，连接BE ，CE ．AD DE =，BD CD =，∴四边形ABEC 是平行四边形， ∴BE AC b ==，AE AB BE a b =+=+，∴111222AD AE a b ==+．故答案为1122a b +．15．【解答】解：如图所示：连接OA 、OB 、OC ，过O 作OD BC ⊥于D ， ABC ∆是边长为2的等边三角形， 2AB AC BC ∴===，60ABC ∠=︒， 30OBD ∴∠=︒， OD BC ⊥，90ODB ∴∠=︒，112BD CD BC ===， 33tan30133OD BD ∴=︒=⨯=， 2323OB OD ∴==， ∴该三角形的半径长为233，故答案为：233．16．【解答】解：抛物线24y x x m =-+的对称轴为2x =，∴当2x =时函数有最小值，b a ∴，故答案为．17．【解答】解：22242(1)2y x x x =-=--，22242(1)2y x x x =+=+-，∴两抛物线的顶点坐标分别为(1,2)-和(1,2)--，∴将抛物线224y x x =-先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线224y x x =+．故答案为：向左平移2个单位．18．【解答】解：过点D 作DM AB ⊥于M ．设ABD α∠=，A β∠=．①当290αβ+=︒时，90DBC αβ++∠=︒， DBC DBA ∴∠=∠，DM AB ⊥，DC BC ⊥，DM DC ∴=，90DMB C ∠=∠=︒，DM DC =，BD BD =，Rt BDC Rt BDM(HL)∴∆≅∆， 3BM BC ∴==，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，225AB BC AC ∴=+，532AM ∴=-=，设AD x =，则4CD DM x ==-，在Rt ADM ∆中，则有222(4)2x x =-+，解得52x =． 52AD ∴=． ②当290αβ+=︒时，90DBC αβ++∠=︒， DBC A β∴∠==∠， C C ∠=∠， CBD CAB ∴∆∆∽，2BC CD CA ∴=， 94CD ∴=， 97444AD AC CD ∴=-=-=．故答案为52或74．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．【解答】解：23|31|26823--3123234=--++-3=-20．【解答】解：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩①②，由②得：60x y +=，0x y -=，原方程组可化为2860x y x y +=⎧⎨+=⎩或280x y x y +=⎧⎨-=⎩，故原方程组的解为11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．21．【解答】解：如图，过点D 作DM AB ⊥于M ，在BA 上取一点H ，使得BH DH =，连接DH ．设DM a =．90C ∠=︒，30A ∠=︒， 903060ABC ∴∠=︒-︒=︒， 45DBC ∠=︒，604515ABD ∴∠=︒-︒=︒，HB HD =，15HBD HDB ∴∠=∠=︒，30DHM HBD HDB ∴∠=∠+∠=︒，2DH BH a ∴==，3MH a =，23BM a a =，2222(23)(26)BD DM BM a a a a ∴=+=++， 62sin (26)DM ABD DB a -∴∠===+． 22．【解答】解：从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x ，根据题意可得：280040%(1)2880x ÷+=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意舍去），则80040%(120%)2400÷⨯+=（万元），答：2020年预计经营总收入为2400万元．23．【解答】证明：（1）DE AC ⊥，DF BC ⊥，90DEC DFC ∴∠=∠=︒，又90ECF ∠=︒，∴四边形DECF 为矩形．ACD BCD ∠=∠，CD ∴平分ACB ∠，DE DF ∴=，∴四边形DECF 是正方形．（2）90BCD ACD ACB ∠+∠=∠=︒，BCD A ∠=∠，90A ACD ∴∠+∠=︒，1809090ADC ∴∠=︒-︒=︒．DCF A ∠=∠，90DFC ADC ∠=∠=︒，CDF ACD ∴∆∆∽， ∴CD CF CA AD=．24．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．由题意可得：311a b c a b c c =++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩解得：111a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =++，22131()24y x x x =++=++， ∴顶点D 的坐标1(2-，3)4；（2）如图，过点B 作BF x ⊥轴于F ，延长CA 交BF 于点D ，过点A 作AM BC ⊥于M ，3BF ∴=， (0,1)A ，(1,1)C -，//AC x ∴轴，CD BF ∴⊥，2CD BD ∴==，1AD =，1CA =，22BC ∴=，45BCD CBD ∠=∠=︒，AM BC ⊥，45MAC MCA ∴∠=∠=︒，CM AM ∴=，22CM AM ∴===， 32BM BC CM ∴=-=， 1tan 3AM ABC BM ∴∠==；（3）(0,1)A ，(1,3)B ，(1,1)C -，∴直线AC 解析式为：1y =，直线AB 解析式为：21y x =+，直线BC 解析式为：2y x =+，若//BE AC ，则点E 的纵坐标为3，且点E 在对称轴上， ∴点1(2E -，3)；若//CE AB ，则CE 的解析式为；23y x =+，点E 在对称轴上，12x ∴=-， 2y ∴=，即点1(2E -，2)；若//AE BC ，则AE 解析式为：1y x =+，点E 在对称轴上，12x ∴=-， 12y ∴=，即点1(2E -，1)2，综上所述：点E 的坐标为1(2-，3)或1(2-，2)或1(2-，1)2． 25．【解答】解：（1）如图，过点O 作OH AB ⊥于点H ， 1tan 2OH OAB AH∠==， ∴设OH a =，2AH a =，2225AO OH AH =+=，1a ∴=，1OH ∴=，2AH =，OH AB ⊥，24AB AH ∴==，弧AC =弧BD∴AB CD =，4AB CD ∴==；（2）OA OB =，OAF OBA ∴∠=∠，OAF ECF ∴∠=∠，①当90AFO ∠=︒时， 5OA =1tan 2OBA ∠=，OC OA ∴==，1OF =，4AB =， 5tan tan 2EF CF ECF CF OBA ∴=∠=∠= ②当90AOF ∠=︒时，OA OB =，OAF OBA ∴∠=∠， 1tan tan 2OAF OBA ∴∠=∠=，5OA = tan OF OA OAF ∴=∠=52AF ∴=， OAF OBA ECF ∠=∠=∠，OFA EFC ∠=∠， OFA EFC ∴∆∆∽，∴EF OC OF OF AF +==， 32EF∴==，即：32EF =或（3）如图，连接OE ， ECB EBC ∠=∠，CE EB ∴=，OE OE =，OB OC =，OEC OEB ∴∆≅∆，OEC OEB S S ∆∆∴=，4CEF BOF S S ∆∆=，4()CEO EOF BOE EOF S S S S ∆∆∆∆∴+=-，∴53CEO EFO S S ∆∆=，∴53CO FO =，33555FO CO ∴==， 221OH OA AH ∴=-=， 22255HF OF OH ∴=-=，2525AF AH HF ∴=+=+．。

上海市闵行区2022—2023年初三一模数学试卷

上海市闵行区2022—2023年初三一模数学试卷明或计算的主要步骤．3．本次练习不可以使用科学计算器作答，在草稿纸、本练习纸上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出（练习时间：100分钟，满分：150分）1．本练习含三个大题，共25题．答题时，学生务必按答题要求在答题纸规定的位置上证．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组图形一定相似的是（▲）（A ）两个直角三角形；（B ）两个菱形；（C ）两个矩形；（D ）两个等边三角形．2．如图，已知AB //CD //EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ，如果AC ∶CE =3∶1，BF =10，那么DF 等于（▲）（A ）310；（B ）320；（C ）25；（D ）215．3．如图，已知在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，B β∠=，CD AB ⊥，垂足为点D ，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是（▲）（A ）AD BD ；（B ）AC AB ；（C ）AD AC ；（D ）CDBC．4．下列说法正确的是（▲）（A ）如果e 为单位向量，那么a a e =；（B ）如果a b =- ，那么a //b；（C ）如果a 、b 都是单位向量，那么a b =；（D ）如果a b =，那么a b = ．5．抛物线22y x =向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（▲）（A ）（﹣3，0）；（B ）（3，0）；（C ）（0，﹣3）；（D ）（0，3）．6．如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果3==ODBDOC AC ，且量得4CD cm =，则零件的厚度x 为(▲)（A ）2cm ；（B ）1.5cm ；（C ）0.5cm ；（D ）1cm ．BAC（第3题图）DOA CBD x10（第6题图）DA C F（第2题图）l 2l 1B E二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果30（）a b b =≠，那么a bb+=▲．8．化简：22(3)33a b b -+-=▲．9．已知f （x ）=x x 2+2，那么f （1）的值为▲．10．抛物线22y x =在对称轴的左侧部分是▲的（填“上升”或“下降”）．11．已知两个相似三角形的相似比为2︰3，那么这两个三角形的面积之比为▲．12．设点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），AB =2，那么线段AP 的长是▲．13．在直角坐标平面内有一点A （5，12），点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么sin θ的值为▲．14．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点（不与端点重合），要使得△ADE 与△ABC 相似，那么添加一个条件可以为▲（只填一个）．15．已知一斜坡的坡角为30°，则它坡度i =▲．16．如图，一艘船从A 处向北偏西30°的方向行驶5海里到B 处，再从B 处向正东方向行驶8千米到C 处，此时这艘船与出发点A 处相距▲海里．17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB =9，cot A ＝2，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，将△ABC 沿着折痕DE 翻折后，点A 恰好落在线段BC 的延长线上的点P 处，如果∠BPD ＝∠A ，那么折痕DE 的长为▲．18．阅读：对于线段MN 与点O （点O 与MN 不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线OP 与线段MN 交于点Q ，且12OQ OP =，那么称点P 为点O 关于线段MN 的“准射点”．问题：如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，点E 在边AD 上，且AE =2，联结BE ．设点F 是点A 关于线段BE 的“准射点”，且点F 在矩形ABCD 的内部或边上，如果点C 与点F 之间距离为d ，那么d 的取值范围为▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）)113o 11cos308-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．（第18题图）BACDEB西东北A（第16题图）PED CBA（第17题图）C20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，DE ∥BC ，且DE 经过△ABC的重心，设AB a = ，AC b =．（1）DE =▲（用向量a ，b表示）；（2）求作：13a b +．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点A ，其顶点坐标为B ．（1）求直线AB 的表达式；（2）将抛物线223y x x =-++沿x 轴正方向平移m (0)m >个单位后得到的新抛物线的顶点C 恰好落在反比例函数16y x=的图像上，求∠ACB 的余切值．22．（本题满分10分）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD=10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A 处测得飞船底部D 处的仰角45°，顶部B 处的仰角为53°，求此时观测点A 到发射塔CD 的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）AB CD（第22题图）A BCDE （第20题图）O1xy1-1-123．（本题共2小题，每第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：∠ABD =∠ACE ；（2）求证：BD DG CD •=2．24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线线2y ax bx =+经过A （-1，3）、B （2，0），点C 是该抛物线上的一个动点，联结AC ，与y 轴的正半轴交于点D ．设点C 的横坐标为m ．（1）求该抛物线的表达式；（2）当32DC AD =时，求点C 到x 轴的距离；（3）如果过点C 作x 轴的垂线，垂足为点E ，联结DE ，当23m <<时，在△CDE中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．（第23题图）A BCDEF G25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图1，点D 为△ABC 内一点，联结BD ，CBD ∠=BAC ∠，以BD 、BC 为邻边作平行四边形DBCE ，DE 与边AC 交于点F ，90ADE ∠=︒．（1）求证：△ABC ∽△CEF ；（2）延长BD ，交边AC 于点G ，如果CE =FE ，且△ABC 的面积与平行四边形DBCE面积相等，求AGGF的值；（3）如图2，联结AE ，若DE 平分AEC ∠，5AB =，2CE =，求线段AE 的长．（第25题图1）BFEACD（FEACDB（第25题图2）。

闵行初中数学一模试卷答案

一、选择题1. 下列数中，是质数的是（）A. 17B. 18C. 19D. 20答案：A解析：17是质数，因为它只能被1和它本身整除。

2. 下列等式中，正确的是（）A. 5 + 3 = 8B. 5 × 3 = 15C. 5 ÷ 3 = 1D. 5 - 3 = 2答案：B解析：5乘以3等于15，这是一个基本的乘法等式。

3. 如果一个长方形的周长是24厘米，其中一边长是8厘米，那么另一边的长是（）A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米答案：B解析：长方形的周长是两倍的长加两倍的宽，即2(长+宽)=周长。

代入已知条件得2(8+宽)=24，解得宽=6厘米。

4. 在直角坐标系中，点P(3,4)关于x轴的对称点是（）A. (3, -4)B. (3, 4)C. (-3, 4)D. (-3, -4)答案：A解析：点P关于x轴对称，意味着它的y坐标取相反数，所以对称点是(3, -4)。

5. 一个数的平方根是±2，这个数是（）A. 4B. 8C. 16D. 64答案：A解析：一个数的平方根是±2，那么这个数平方后等于4，即这个数是4。

二、填空题6. 如果a > b，那么a - b的值（）答案：大于0解析：a大于b，减去b后a的值仍然大于0。

7. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，腰长是8厘米，那么这个三角形的周长是（）答案：22厘米解析：等腰三角形的两腰相等，所以周长是底边长加上两倍的腰长，即6 + 2×8 = 22厘米。

8. 下列图形中，是轴对称图形的是（）答案：圆解析：圆是轴对称图形，任何一条直径都可以作为对称轴。

三、解答题9. 解方程：2x - 5 = 3x + 1答案：x = -6解析：将方程两边的x项移到一边，常数项移到另一边，得到2x - 3x = 1 + 5，简化后得到-x = 6，所以x = -6。

10. 一个长方形的长是12厘米，宽是5厘米，求这个长方形的面积。

2020年上海市闵行区中考数学一模试卷(解析版)

2020年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝厘米．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为cm．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是米．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为cm．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为．（用含三角比的代数式表示）18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．2020年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP 是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP是AB和BP的比例中项，即AP2＝AB•BP，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上【分析】求出抛物线的顶点为（k，﹣k），可以得到顶点在y＝﹣x直线上．【解答】解：∵y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0），∴抛物线的顶点为（k，﹣k），∵k为任意实数，∴顶点在y＝﹣x直线上，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法，和一次函数的性质是解题的关键．4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．【解答】解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；∵∠A为公共角，∴△AED∽△CBD；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【分析】利用确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题；C、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题；D、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差．错误，是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系，属于基础题，难度不大．6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向对①进行判断；利用对称轴的位置得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对②进行判断；利用自变量为﹣1对应的函数值为负数可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号，即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以③正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝6厘米．【分析】根据比例中项的定义得到a：b＝b：c，然后利用比例性质计算即可．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（负值舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝4【分析】根据锐角三角函数的定义得出sin A＝＝，代入求出即可．【解答】解：∵sin A＝＝，SB＝10，∴BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律是解题的关键．10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为40cm．【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算．【解答】解：设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴＝，解得，x＝40，故答案为：40．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝﹣6．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵为单位向量，与的方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是50米．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【解答】解：∵坡度为i＝1：，∴设离地面的高度为x，那么水平距离为x．∵x2+（x）2＝1002解得x＝50．即这时他离地面的高度是50米．【点评】本题考查了坡度＝垂直距离：水平距离．它们与斜边构成直角三角形．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．【分析】由正方形ABCD中四个内角为直角，四条边相等，求出BC与DC的长，利用勾股定理求出BD的长，由旋转的性质可求BE的长，即可求解．【解答】解；如图，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△BCD中，DC＝BC＝2，根据勾股定理得：BD＝＝＝2，∵将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，∴BE＝BD＝2，∴tan∠BAE＝＝＝，故答案为：．【点评】此题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S＝AC•BC＝AB•r，△ABC∴r＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式y＝﹣x2+1．【分析】先根据抛物线的解析式求出其顶点D和抛物线与y轴的交点C的坐标．然后根据C的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将D点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，属于新定义题，难度适中，关键是正确理解题意再用待定系数法求函数解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为2或4cm．【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题．【解答】解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要分类讨论，以防漏解．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°．（用含三角比的代数式表示）【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1＝36°，然后利用勾股定理和解直角三角形即可得解【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，设这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，∴＝2tan36°，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°，故答案为：2tan36°．【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE 的长为1．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．【分析】根据二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），可以求得该函数的解析式，然后令y＝0，求出相应的x的值，即可得到点C和点D的坐标，从而可以求得△BCD的面积．【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），把B（0，3）代入得3＝a（0﹣1）2+4解得：a＝﹣1，令y＝0，那么﹣（x﹣1）2+4＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（3，0），∴CD＝4，∵点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，∴△BCD的面积是：＝6．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝﹣；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．【点评】此题考查了角平分线的作图以及向量的运算，熟练掌握，即可解题．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，于是得到结论；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，∴（千米），答：台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时25千米；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，∴∠SHZ＝90°，∵∠NZD＝30°，∠CZN＝7°，∴∠CZD＝∠CZN+∠NZD＝7°+30°＝37°，在Rt△SHZ中，sin∠CZD＝．∵∠CZD＝37°，SZ＝250千米，∴SH＝SZ•sin∠CZD＝250×sin37°≈250×0.60≈150（千米），∵150千米＜170千米，∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响到F处影响结束．即SE＝SF＝170（千米）．∵在Rt△SEH中，∠SHE＝90°，SE2＝SH2+HE2，∴，∴EF＝2EH≈160（千米），∴上海遭受这次台风影响的时间为（小时），答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．【分析】（1）由已知得出，证明Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD＝∠OCD，证出∠OEB＝90°，即可得出结论；（2）证明△ADB∽△AEC，得出，即，证明△DAE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AD•OC＝AB•OD，∴，∵BD是AC边上的高，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，△ADB和△ODC是直角三角形，∴Rt△ADB∽Rt△ODC，∴∠ABD＝∠OCD，又∵∠EOB＝∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC＝180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB＝180°．∴∠OEB＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△ADB和△AEC中，∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠OCD，∴△ADB∽△AEC，∴，即，在△DAE和△BAC中∵∠DAE＝∠BAC，．∴△DAE∽△BAC，∵AF是∠BAC的平分线，∴，即AF•DE＝AG•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点E坐标时需注意可在x轴的正半轴，也可在负半轴．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH＝AD，那么AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，即CG＝2，点G为△ABC的重心，∴，∴AB＝2CF＝6，∴，∴；综上所述，AD＝1或．【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．。

2024年上海市闵行区初三数学一模试卷

2024年上海市闵行区初三数学一模试卷选择题：1. 下列哪个等式是恒等式？A. 3x + 5 = 2x + 7B. 4(x + 3) = 4x + 12C. 2(x + 4) = 2x + 8D. 5x - 3 = 2(2x + 1)2. 若一次函数y = 2x - 3，求当x = 4时，y的值为多少？A. 5B. 7C. 8D. 93. 若直角三角形的斜边长为10，其中一条直角边长为6，则另一条直角边长为多少？A. 4B. 6C. 8D. 104. 解方程组{2x + 3y = 7, x - y = 1}，求x和y的值。

A. x = 2, y = 1B. x = 3, y = 2C. x = 1, y = 2D. x = 2, y = 35. 若正方形的周长为20cm，求其面积是多少平方厘米？A. 25B. 36C. 49D. 64填空题：6. 解方程3x - 7 = 8。

7. 若一个三角形的底边长为6cm，高为4cm，求其面积。

8. 在等差数列7, 11, 15, ...中，第6项是多少？9. 某商店的商品原价为120元，打七折后的价格是多少元？10. 若一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，3小时后行驶的距离是多少公里？应用题：11. 一个矩形花坛的长为12米，宽为8米，围绕花坛一圈宽2米的小路，求小路的面积。

12. 一个三角形的底边长为10cm，高为8cm，求其面积。

13. 解简单线性规划问题：某厂生产两种产品，A产品每件利润20元，B产品每件利润30元，A、B各需要1个员工，每天共有30个员工可用，如果每天最多生产160件产品，则每种产品最多生产多少件？14. 一个圆形花园的直径为16米，围绕花园修建一条宽2米的小路，求小路的面积。

15. 一个长方体容器的底面积为30平方厘米，高为10厘米，求其体积。

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题一、选择题1.下列各数中，无理数是（）A. B. 912C.D.227【答案】C 【解析】【分析】根据无理数的概念及其三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项解答即可．【详解】解：A ．2=-，是整数，属于有理数； B ．192，是分数，属于有理数；C D ．227是分数，属于有理数．故选：C ．【点睛】本题主要考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 2.不等式﹣2x ＞3的解集是（） A. 23x >-B. 23x <-C. 32x >-D. 32x <-【答案】D 【解析】【分析】直接把x 的系数化为1即可．【详解】解：不等式的两边同时除以﹣2得，x ＜﹣32．故选：D ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 3.下列方程中，有实数根的是（）xC.22111x x x =-- D. x 2+2020x ﹣1＝0【答案】D 【解析】【分析】A ，﹣x ＜0，则方程无实数根；B 选项中，当x ＝11，则方程无实数根；C 选项中，解得x ＝1是方程的增根，则方程无实数根；D 选项中，△＞0，则方程有两个不相等的实数根．【详解】解：，x ﹣1≥0， ∴x ≥1， ∴﹣x ＜0，﹣x ， ∴A 不正确；，当x ＝11，≥1， ∴B 不正确；22111x x x =--两边同时乘以x 2﹣1，得x ＝1，经检验x ＝1是方程的增根， ∴方程无解； ∴C 不正确； x 2+2020x ﹣1＝0， ∵△＝20202+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根， ∴D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查分式方程、无理方程、一元二次方程；熟练掌握分式方程解法、一元二次方程根的判别式、掌握二次根式成立的条件是解题的关键．4.已知反比例函数y＝kx，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的符号，再利用二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵反比例函数y＝kx，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，∴k＜0，∴二次函数y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，则图象开口向下，﹣k＞0，则图象与y轴交在正半轴上，又∵b＝﹣1＜0，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧，符合题意的只有选项D．故选：D．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键．5.要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量对角线是否互相垂直D. 测量其中三个角是否是直角【答案】D【解析】【分析】由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：∵对角线相互平分的四边形是平行四边形，故A错误；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B错误；∵对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故C错误；∵三个角是直角的四边形是矩形，故D正确；∴在这四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定；熟记三个角是直角的四边形为矩形是解题的关键．6.如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A. 内含B. 内切C. 外切D. 相交【答案】C【解析】【分析】首先利用一个圆的半径为4，另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围，然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可．【详解】解：∵一个圆的半径R为4，另一个圆的半径r大于1，∴R﹣r＜4﹣1，R+r＞5即：R﹣r＜3，∵圆心距为3，∴两圆不可能外切，故选：C．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据两圆的半径的大小或取值范围求得两圆的半径之差，然后根据圆心距与半径的关系确定本题的答案．二、填空题（共12题）7.计算：a2•a3=_____．【答案】a5．【解析】【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【详解】a2•a3=a 2+3 =a 5，故答案为a 5．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键． 8.在实数范围内分解因式：222x x --=______. 【答案】()()1313x x ---+【解析】【分析】可将x 2-2x 先配成一个完全平方式，再应用平方差公式进行分解即可.【详解】原式=2(1)3x --(13)(13)x x =-+-- 故填：(13)(13)x x -+--【点睛】本题考查配方法的应用，用平方差公式因式分解.能想到分组因式分解是解决此题的关键. 9.已知f （x ）＝2x 2﹣1，且f （a ）＝3，那么a ＝_____．【答案】±2 【解析】【分析】由已知可得f （a ）＝2a 2﹣1＝3，解出a 即可．【详解】解：∵f （x ）＝2x 2﹣1，f （a ）＝3， ∴f （a ）＝2a 2﹣1＝3， ∴2a 2﹣1＝3时，a ＝±2，故答案为±2．【点睛】本题考查函数值；理解题意，能够将所求问题转化为一元二次方程求解是关键． 10.已知一次函数y=kx+b 的图象如图，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是______.【答案】2x <【解析】【分析】直接利用一次函数图象，结合式kx+b ＞0时，则y 的值＞0时对应x 的取值范围，进而得出答案．【详解】如图所示：关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是：x ＜2．故答案为：x ＜2．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合是解题关键． 11.某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表．中码CHN220225230…250255260…美码USA 4.5 55.5…7.588.5…如果美码（y ）与中码（x ）之间满足一次函数关系，那么y 关于x 的函数关系式为_____．【答案】y ＝0.1x ﹣17.5 【解析】【分析】设y 关于x 的函数关系式为：y ＝kx +b ，利用待定系数法求解析式．【详解】解：设y 关于x 的函数关系式为：y ＝kx +b ，由题意可得：52258255k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：0.117.5k b =⎧⎨=-⎩∴y 关于x 的函数关系式为y ＝0.1x ﹣17.5，故答案为：y ＝0.1x ﹣17.5．【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，理解题意是本题的关键．12.一个不透明的袋子中装有8个大小、形状、都一样的小球，其中有3个红球与5个黄球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：_____．【答案】38【解析】【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．【详解】解：在口袋中放有3个红球与5个黄球，共8个，这两种球除颜色外完全相同，随机从口袋中任取一个球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：38．故答案为：38．【点睛】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n． 13.如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是_______．（请写成1︰m 的形式）．【答案】1:3．【解析】【详解】试题分析：因为斜坡的坡角是30°，所以这段斜坡的坡度=tan30°=3：3=1︰3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查坡度与坡角．14.如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB u u u r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ，如果用向量a r ，b r 表示向量AD u u u r ，那么向量AD u u u r可以表示为_____．【答案】12a r +12b r【解析】【分析】如图，延长AD 到E ，使得DE ＝AD ，连接BE ，CE ．证明四边形ABEC 是平行四边形，利用三角形法则求出AE u u u r即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD 到E ，使得DE ＝AD ，连接BE ，CE ．∵AD ＝DE ，BD ＝CD ， ∴四边形ABEC 是平行四边形， ∴BE AC b ==u u u r u u u r r ， ∵AE AB BE a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，∴111222AD AE a b ==+u u u r u u u r r ．故答案为：12a r +12b r．【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型． 15.已知正三角形的边长为2，那么该三角形的半径长为_____． 23 【解析】【分析】根据题意作出图形，构造直角三角形求得外接圆的半径即可求得本题的答案．【详解】解：如图所示：连接OA 、OB 、OC ，过O 作OD ⊥BC 于D ， ∵△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ＝2，∠ABC ＝60°， ∴∠OBD ＝30°， ∵OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°，BD ＝CD ＝12BC ＝1， ∴OD ＝BD •tan30°＝1×33＝33，∴OB ＝2OD ＝233， ∴该三角形的半径长为233，故答案为：23．【点睛】本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．16.如果两点A （2，a ）和B （x ，b ）在抛物线y ＝x 2﹣4x +m 上，那么a 和b 的大小关系为：a _____b ．（从“＞”“≥”“＜”“≤”中选择）．【答案】≤ 【解析】【分析】由已知可得当x ＝2时函数有最小值，则可求b ≥a ．【详解】解：∵抛物线y ＝x 2﹣4x +m 的对称轴为x ＝2， ∴当x ＝2时函数有最小值， ∴b ≥a ，故答案为：≤．【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 17.平移抛物线y ＝2x 2﹣4x ，可以得到抛物线y ＝2x 2+4x ，请写出一种平移方法_____．【答案】向左平移2个单位【解析】【分析】把y ＝2x 2﹣4x 和y ＝2x 2+4x 改写成顶点式，进而解答即可．【详解】解：∵y ＝2x 2﹣4x ＝2（x ﹣1）2﹣2，y ＝2x 2+4x ＝2（x +1）2﹣2， ∴两抛物线的顶点坐标分别为（1，﹣2）和（﹣1，﹣2），∴将抛物线y ＝2x 2﹣4x 先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线y ＝2x 2+4x ．故答案为：向左平移2个单位．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．18.如果三角形的两个内角∠α与∠β满足2α+β＝90°，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4（如图所示），点D在AC边上，联结BD．如果△ABD为“准互余三角形”，那么线段AD的长为_____（写出一个答案即可）．【答案】52或74【解析】【分析】作DM⊥AB于M．设∠ABD＝α，∠A＝β．分两种情形：①当2α+β＝90°时．②当α+2β＝90°时，分别求解即可．【详解】解：过点D作DM⊥AB于M．设∠ABD＝α，∠A＝β．①当2α+β＝90°时，∵α+β+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠DBA，∵DM⊥AB，DC⊥BC，∴DM＝DC，∵∠DMB＝∠C＝90°，DM＝DC，BD＝BD，∴Rt△BDC≌Rt△BDM（HL），∴BM＝BC＝3，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB22BC AC5，∴AM ＝5﹣3＝2，设AD ＝x ，则CD ＝DM ＝4﹣x ，在Rt △ADM 中，则有x 2＝（4﹣x ）2+22，解得x ＝52． ∴AD ＝52． ②当α+2β＝90°时，∵α+β+∠DBC ＝90°，∴∠DBC ＝β＝∠A ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴BC 2＝CD •CA ，∴CD ＝94， ∴AD ＝AC ﹣CD ＝4﹣94＝74．故答案为：52或74．【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．三、解答题（共7题）19.2318- 【答案】-3.【解析】【分析】根据绝对值的性质，二次根式的混合运算，进行运算即可1243-+=-【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则20.解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】1112 2x y =⎧⎨=-⎩，228383xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】先将第2个方程变形为x+6y＝0，x﹣y＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：2228560x yx xy y+=⎧⎨+-=⎩①②，由②得：x+6y＝0，x﹣y＝0，原方程组可化为2860x yx y+=⎧⎨+=⎩或28x yx y+=⎧⎨-=⎩，故原方程组的解为11122xy=⎧⎨=-⎩，228383xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D在边AC上，且∠DBC＝45°，求sin∠ABD的值．【答案】624【解析】【分析】如图，作DM⊥AB于M，BA上取一点H，使得BH＝DH，连接DH．设DM＝a．解直角三角形求出BD 即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH＝DH，连接DH．设DM＝a．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DBC＝45°，∴∠ABD＝60°﹣45°＝15°，∵HB＝HD，∴∠HBD＝∠HDB＝15°，∴∠DHM＝∠HBD+∠HDB＝30°，∴DH＝BH＝2a，MH3，BM＝2a3，∴BD2222(23)(26)DM BM a a a a+++=，∴sin∠ABD＝62(26)DMDB a-==+【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．22.某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？【答案】2400万【解析】【分析】设从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据等量关系：2019年经营总收入×（1+增长率）2＝2021年经营总收入，列出方程求解即可．【详解】解：从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据题意可得：800÷40%（1+x）2＝2880，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合题意舍去），则800÷40%×（1+20%）＝2400（万元），答：2020年预计经营总收入为2400万元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2＝后来的量，其中增长用+，减少用﹣．23.已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 在斜边AB 上，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ．（1）当∠ACD ＝∠BCD 时，求证：四边形DECF 是正方形；（2）当∠BCD ＝∠A 时，求证：CD CF CA AD=．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得出∠DEC ＝∠DFC ，结合∠ECF ＝90°可得出四边形DECF 为矩形，由∠ACD ＝∠BCD 可得出CD 平分∠ACB ，利用角平分线的性质可得出DE ＝DF ，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF 是正方形；（2）由∠BCD +∠ACD ＝∠ACB ＝90°，∠BCD ＝∠A 可得出∠A +∠ACD ＝90°，利用三角形内角和定理可求出∠ADC ＝90°，由∠DCF ＝∠A ，∠DFC ＝∠ADC ＝90°可证出△CDF ∽△ACD ，再利用相似三角形的性质可证出CD CF CA AD=．【详解】证明：（1）∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DFC ＝90°，又∵∠ECF ＝90°，∴四边形DECF 为矩形．∵∠ACD ＝∠BCD ，∴CD 平分∠ACB ，∴DE ＝DF ，∴四边形DECF 是正方形．（2）∵∠BCD +∠ACD ＝∠ACB ＝90°，∠BCD ＝∠A ，∴∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ADC ＝180°﹣90°＝90°．∵∠DCF ＝∠A ，∠DFC ＝∠ADC ＝90°，∴△CDF ∽△ACD ， ∴CD CF CA AD=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定，解题的关键是：（1）利用“邻边相等的矩形是正方形”，证出四边形DECF 是正方形；（2）利用“两角对应相等两三角形相似”证出△CDF ∽△ACD ．24.如图，已知一个抛物线经过A （0，1），B （1，3），C （﹣1，1）三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）联结AB 、BC 、CA ，求tan ∠ABC 的值；（3）如果点E 在该抛物线的对称轴上，且以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是梯形，直接写出点E 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2+x +1，顶点D 的坐标（﹣12，34）；（2）tan ∠ABC ＝13；（3）点E 的坐标为（﹣12，3）或（﹣12，2）或（﹣12，12）【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，将A （0，1）、B （1，3）、C （﹣1，1）代入，求a 、b 、c 的值，可得结果；（2）如图，过点B 作BF ⊥x 轴于F ，延长CA 交BF 于点D ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM 和BM 的长，即可求解；（3）分三种情况讨论，由梯形的性质可求解．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．由题意可得：311a b c a b c c =++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩解得：111 abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+1，∵y＝x2+x+1＝213()24x++，∴顶点D的坐标（﹣12，34）；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，∴BF＝3，∵A（0，1），C（﹣1，1），∴AC∥x轴，∴CD⊥BF，∴CD＝BD＝2，AD＝1，CA＝1，∴BC＝2∠BCD＝∠CBD＝45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝∠MCA＝45°，∴CM＝AM，∴CM＝AM22=，∴BM＝BC﹣CM＝322，∴tan∠ABC＝AMBM＝13；（3）∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1），∴直线AC解析式为：y＝1，直线AB解析式为：y＝2x+1，直线BC解析式为：y＝x+2，若BE∥AC，则点E的纵坐标为3，且点E在对称轴上，∴点E（﹣12，3）；若CE∥AB，则CE的解析式为；y＝2x+3，∵点E在对称轴上，∴x＝﹣12，∴y＝2，即点E（﹣12，2）；若AE∥BC，则AE解析式为：y＝x+1，∵点E在对称轴上，∴x＝﹣12，∴y＝12，即点E（﹣12，12），综上所述：点E的坐标为（﹣12，3）或（﹣12，2）或（﹣12，12）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，梯形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA＝5，且tan∠OAB＝12．（1）求弦CD的长；（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；（3）如果S△CEF＝4S△BOF，求线段AF的长．【答案】（1）4；（2）3251；（3）25【解析】【分析】（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，由锐角三角函数可求OH＝1，AH＝2，由垂径定理可得AB＝4，即可求CD＝4（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）先利用面积关系得出53COFO=，进而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出结论．【详解】解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，∵tan∠OAB＝12OHAH =，∴设OH＝a，AH＝2a，∵AO2＝OH2+AH2＝5，∴a＝1，∴OH＝1，AH＝2，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝4，∵弧AC＝弧BD∴¶¶AB CD=，∴AB＝CD＝4；（2）∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴∠OAF＝∠ECF，①当∠AFO＝90°时，∵OA tan∠OBA＝12，∴OC＝OA OF＝1，AB＝4，∴EF＝CF•tan∠ECF＝CF•tan∠OBA；②当∠AOF＝90°时，∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴tan ∠OAF ＝tan ∠OBA ＝12， ∵OA∴OF ＝OA •tan ∠OAF， ∴AF ＝52， ∵∠OAF ＝∠OBA ＝∠ECF ，∠OF A ＝∠EFC ，∴△OF A ∽△EFC ，∴EF OC OF OF AF +==， ∴EF32=，即：EF ＝32；（3）如图，连接OE ，∵∠ECB ＝∠EBC ，∴CE ＝EB ，∵OE ＝OE ，OB ＝OC ，∴△OEC ≌△OEB ，∴S △OEC ＝S △OEB ，∵S △CEF ＝4S △BOF ，∴S △CEO +S △EOF ＝4（S △BOE ﹣S △EOF ）， ∴53CEO EFO S S ∆∆=， ∴53CO FO =， ∴FO＝35CO ， ∵△OF A ∽△EFC ， ∴53CE AO OC EF FO OF ===， ∴BF ＝BE ﹣EF ＝CE ﹣EF ＝23EF ， ∴AF ＝AB ﹣BF ＝4﹣23EF ， ∵△OAF ∽△EFC ，∴CF EF FA FO=，∴85523543EF=-，∴EF＝3﹣35，∴AF＝4﹣23EF＝2+25．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出53CE AO OCEF FO OF===是解本题的关键．。

2022年上海市闵行区九年级上学期期末中考数学一模试卷含详解

1.在Rt 中，各边长度都扩大4倍．那么锐角的正切值（）
A.扩大4倍B.扩大2倍C.保持不变D.缩小4倍
2.在Rt 中，，那么三角比值为的是（）
A. B. C. D.
3.下列二次函数与抛物线的对称轴相同的函数是知在中，点在边上，那么下列条件中不能判定的是（）
23.如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．
求证：
（1）；
（2）．
24.如图，在平面直角坐标系中，直线与牰交于点，与轴交于点．点C为拋物线的顶点．
（1）用含的代数式表示顶点的坐标：
（2）当顶点在内部，且时，求抛物线的表达式：
21.如图，已知在Rt 中，，点坐标为，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．
（1）求经过两点的直线的表达式．
（2）求图像经过三点的二次函数的解析式．
22.为了维护南海的主权，我国对相关区域进行海空常态化立体巡航．如图，在一次巡航中，预警机沿方向飞行，驱护舰沿方向航行，且航向相同．当预警机飞行到处时，测得航行到处的驱护舰的俯角为，此时距离相关岛屿恰为60千米；当预警机飞行到处时，驱护舰恰好航行到预警机正下方处，此时千米，当预警机继续飞行到处时，驱护舰到达相关岛屿且测得处的预警机的仰角为求预警机的飞行距离．（结果保留整数）（参考数据：．）
【详解】∵ ，
∴设x=5k，y=2k，
∴ =（5k+2k）：2k=7：2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质，并灵活解题是解题的关键．
8.已知线段的长为2厘米，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是_________厘米．

上海市闵行区中考一模数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc

上海市闵行区中考一模数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）lA．sinA= B．cosA= C ．tanA= D．cotA=【答案】B．【解析】试题分析：因为sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，故选B．考点：锐角三角函数的定义．【题文】将二次函数y=2x2﹣1的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A ．y=2（x﹣3）2﹣1 B．y=2（x+3）2﹣1C．y=2x2+4 D．y=2x2﹣4【答案】D．【解析】试题分析：∵原抛物线的顶点为（0，﹣1），二次函数y=2x2﹣1的图象向下平移3个单位，∴新抛物线的解析式为（0，﹣4），∴二次函数y=2x2﹣1的图象向下平移3个单位后所得函数的解析式是 y=2x2﹣4．故选D．考点：二次函数图象与几何变换．【题文】已知，那么下列判断错误的是（）A． B． C．∥ D．≠【答案】B．【解析】试题分析：A．||=1，2||=2，则，故该选项判断正确；B．由=﹣2得到∥，且，故该选项判断错误；C．由=﹣2得到∥，故该选项判断正确；D．由=﹣2得到||=2||，则≠，故该选项判断正确；故选B．考点：*平面向量．【题文】一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（）A．1米 B．2米 C．4米 D．5米【答案】C．【解析】试题分析：令y=3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5=3.05，解得：x=4或x=1.5（舍去）．所以运行的水平距离为4米．故选C．考点：二次函数的应用．【题文】如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F ，那么下列结论中错误的是（）A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BECC．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE【答案】A．【解析】试题分析：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故C正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确，∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF ∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．故选A．考点：相似三角形的判定．【题文】已知：3a=2b，那么=．【答案】．【解析】试题分析：∵3a=2b，∴，∴可设a=2k，那么b=3k，∴==．故答案为：．考点：比例的性质．【题文】计算：=．【答案】．【解析】试题分析：==．故答案为：．考点：*平面向量．【题文】如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，那么实际距离500km的两地在地图上的图距是 cm．【答案】100．【解析】试题分析：设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，则4：2000000=x：50000000，解得x=100．故答案为：100．考点：比例线段．【题文】二次函数的图象的顶点坐标是．【答案】（0，5）．【解析】试题分析：∵，∴抛物线顶点坐标为（0，5），故答案为：（0，5）．考点：二次函数的性质．【题文】已知抛物线y=x2﹣4x+3，如果点P（0，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q的坐标是．【答案】（4，5）．【解析】试题分析：∵y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴点P（0，5）关于该抛物线的对称轴对称点Q的坐标为（4，5），故答案为：（4，5）．考点：二次函数图象与几何变换．【题文】已知两个相似三角形的面积之比是1：4，那么这两个三角形的周长之比是．【答案】1：2．【解析】试题分析：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴这两个相似三角形的相似比是1：2，∴它们的周长比是1：2．故答案为：1：2．考点：相似三角形的性质．【题文】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AB=．【答案】9．【解析】试题分析：∵sinA=，∴AB==9，故答案为：9．考点：解直角三角形．【题文】已知一斜坡的坡度i=1：2，高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为米（精确到0.1米）【答案】44.7．【解析】试题分析：如图，∵斜坡的坡度i=1：2，∴设BC=x，则AC=2x，∴AB===，∴．∵BC=20米，∴=，解得x=≈44.7（米）．故答案为：44.7．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【题文】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE，交对角线AC于点F，如果，CD=6，那么AE=．【答案】4．【解析】试题分析：∵，∴AF：FC=2：3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴△AEF∽△CDF，∴，∵CD=6，∴AE=4，故答案为：4．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．【题文】如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E 也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是．【答案】△CDB．【解析】试题分析：与△OPQ相似的是△BCD；理由如下：连接BC、BD，如图所示：则∠BCD=90°+45°=135°=∠QOP，由勾股定理得：OP=BC=，∵OQ=2，CD=1，∴，∴△OPQ∽△CDB；故答案为：△CDB．考点：相似三角形的判定．【题文】2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是22.3°．已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为米（精确到1米）．（参考数据：sin22.3°≈0.38，cos22.3°≈0.93．tan22.3°≈0.41）【答案】632．【解析】试题分析：如图所示，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠CAE=22.3°，AE=900，∴CE=AE×tan22.3°=900×0.41≈369米，∵AB=DE=263米，∴CD=CE+DE=369+263=632（米）．故答案为：632．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【题文】如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D在边BC上，将△ABD沿着直线AD翻折，点B落在点B1处，如果B1D⊥AC，那么BD=．【答案】．【解析】试题分析：作DE⊥AB于E，由折叠的性质可知，∠B′=∠B=60°，∵B1D⊥AC，∴∠B′AC=30°，∴∠B′AC=90°，由折叠的性质可知，∠B′AD=∠BAD=45°，在Rt△DEB中，DE=BD×sin∠B=BD，BE=BD，∵∠BAD=45°，DE⊥AB，∴AE=DE=BD，则BD+BD=2，解得，BD=，故答案为：．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．等边三角形的性质．【题文】已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）（1）求抛物线的表达式；（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）．【解析】试题分析：（1）把A，B，C三点坐标代入解析式求出a，b，c的值，即可求出函数解析式；（2）把x=﹣2代入抛物线解析式求出y的值，确定出D坐标，由OA为底，D纵坐标绝对值为高，求出三角形AOD面积即可．试题解析：（1）把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得：，解得：，则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5），∵A（3，0），即OA=3，∴S△AOD=×3×5=．考点：待定系数法求二次函数解析式．【题文】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，设=，=．（1）填空：向量=．（用向量，的式子表示）．（2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】试题分析：（1）首先利用平面向量三角形法则求得，然后由“E是边AC的中点”来求向量；（2）利用平行四边形法则，即可求得向量，方向上的分向量．试题解析：（1）∵在△ABC中，=，=，∴=-=-．又∵E是边AC的中点，∴=．故答案为：；（2）如图，过点E作EM∥AB交BC于点M．、即为向量在向量，方向上的分向量．考点：*平面向量．【题文】如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．（1）如果，DE=6，求边BC的长；（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．【答案】（1）9；（2）9．【解析】试题分析：（1）由DE与BC平行，得到两对同位角相等，进而得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例求出BC的长即可；（2）由两直线平行得到一对同位角相等，再由已知角相等等量代换得到∠FAE=∠ADF，根据公共角相等，得到三角形AEF与三角形ADF相似，由相似得比例求出DF的长即可．试题解析：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DE=6，∴BC=9；（2）∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∵∠B=∠FAE，∴∠FAE=∠ADE，∵∠F=∠F，∴△AEF∽△DAF，∴，∵FA=6，FE=4，∴DF=9．考点：相似三角形的判定与性质．【题文】如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B ，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据≈1.41，≈1.73．【答案】6.2．【解析】试题分析：过点A作AM⊥CD于点M，可得四边形ABDM为矩形，根据A处测得电线杆上C处得仰角为23°，在△ACM中求出CM的长度，然后在Rt△CDE中求出CE的长度．试题解析：过点A作AM⊥CD于点M，则四边形ABDM为矩形，AM=BD=6米，在Rt△ACM中，∵∠CAM=30°，AM=6米，∴CM=AM•tan∠CAM=6×=（米），∴CD=+1.5≈4.96（米），在Rt△CDE中，ED=6﹣2.3=3.7（米），∴CE=≈6.2（米）．考点：1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．矩形的性质．【题文】如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2=DG•DE，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到，等量代换即可得到结论．试题解析：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∵，∴，∴AB∥CD ；（2）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∴，∴，∵AD2=DG•DE，∴，∵AD∥BC ，∴，∴．考点：相似三角形的判定与性质．【题文】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），且与y轴相交于点C．（1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；（2）求∠CAD的正弦值；（3）设点P在线段DC的延长线上，且∠PAO=∠CAD，求点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，顶点D（1，4）；（2）；（3）（，），（﹣6，﹣3）．【解析】试题分析：（1）根据二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），求得m和n的值即可；（2）根据A，C，D三点的坐标，求得CD=，AC=，AD=，得到CD2+AC2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，据此求得∠CAD的正弦值；（3）先求得直线CD为y=x+3，再设点P的坐标为（a，a+3），然后分两种情况进行讨论：当点P在x轴上方时，过点P作PE⊥x轴于E；当点P在x轴下方时，过点P作PF⊥x轴于F，分别判定△ACD∽△AEP，△ACD∽△AFP，列出比例式求得a的值即可．试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），∴，解得：，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图所示，在y=﹣x2+2x+3中，当x=0时，y=3，∴C（0，3）．∵A（3，0），D（1，4），∴CD=，AC=，AD=，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∴sin∠ACD==；（3）∵直线CD经过C（0，3），D（1，4），∴设可设直线CD为y=kx+b，则，解得：，∴直线CD为y=x+3，设点P的坐标为（a，a+3），①如图所示，当点P在x 轴上方时，过点P作PE⊥x轴于E，则PE=a+3，AE=3﹣a，∵∠AEP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，∴△ACD∽△AEP，∴，即，解得a=，∴a+3=，∴此时P的坐标为（，）；②如图所示，当点P在x轴下方时，过点P作PF⊥x轴于F，则PF=﹣（a+3），AF=3﹣a，∵∠AFP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，∴△ACD∽△AFP，∴，即，解得a=﹣6，∴a+3=﹣3，∴此时P的坐标为（﹣6，﹣3）；综上所述，点P的坐标为（，），（﹣6，﹣3）．考点：1．二次函数综合题；2．勾股定理的逆定理；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题；5．分类讨论．【题文】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC=．点E为线段BD上任意一点（点E 与点B，D不重合），过点E作EF∥CD，与BC相交于点F，连接CE．设BE=x，y=．（1）求BD的长；（2）如果BC=BD，当△DCE是等腰三角形时，求x的值；（3）如果BC=10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）8；（2）；（3）（0＜x＜8）．【解析】试题分析：（1）过A作AH⊥BD于H，再根据AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根据tan∠ABD= tan∠DBC=，计算出BH=DH=4，进而得到BD=8；（2）分两种情况用锐角三角函数计算即可得出结论．（3）首先利用平行线的性质得出△FEB∽△CDB，即可得出y与x的函数关系式；试题解析：（1）如图1，过A作AH⊥BD于H，∵AD∥BC，AB=AD=5，∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，在Rt△ABH中，∵tan∠ABD=tan∠DBC=，∴cos∠ABD=，∴BH=DH=4，∴BD=8；（2）∵△DCE是等腰三角形，且BC=BD=8，∴①如图2，当CD=DE时，即：CD=DE=BD﹣BE=8﹣x，过点D作DG⊥BC于G，在Rt△BDG中，tan∠DBC=，BD=8，∴DG=BD=，BG=BD=，∴CG=8﹣BG=，在Rt△CDG中，根据勾股定理得，DG2+CG2=CD2，∴，∴x=（舍）或x=；②如图3，当CE=CD时，过点C作CG⊥BD，∴DG=EG=DE，在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC=，∴BG=，∴DG=BD﹣BG=，∴x=BE=BD﹣DE=BD﹣2DG=．（3）∵BF=x，BC=10，∴FC=10﹣x，∴==，∵EF∥DC，∴△FEB∽△CDB，∴=，∴==（0＜x＜8），∴（0＜x＜8）．考点：1．四边形综合题；2．分类讨论．。

【2023年上海市初中一模数学卷】2023年上海市闵行区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案

九年级数学练习（测试时间：100分钟，满分：150分）1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次考试不可以使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列各组图形一定相似的是（）（A ）两个直角三角形；（B ）两个菱形；（C ）两个矩形；（D ）两个等边三角形． 2．如图，已知AB // CD // EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ，如果AC ∶CE =3∶1，BF =10，那么DF 等于（）（A ）310；（B ）320；（C ）25；（D ）215． 3．如图，已知在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，B β∠=，CD AB ⊥，垂足为点D ，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是（）（A ）AD BD ；（B ）AC AB ；（C ）AD AC ；（D ）CDBC．4．下列说法正确的是（）（A ）如果e 为单位向量，那么a a e = ；（B ）如果a b =- ，那么a //b；（C ）如果a 、b 都是单位向量，那么a b = ；（D ）如果a b =，那么a b = ．5．抛物线22y x =向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（）（A ）（﹣3，0）；（B ）（3，0）；（C ）（0，﹣3）；（D ）（0，3）．6．如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果3==ODBDOC AC ，且量得4CD cm =，则零件的厚度x 为( ) （A ）2cm ；（B ）1.5cm ；（C ）0.5cm ；（D ）1cm ．B AC （第3题图） D（第6题图） D A C F （第2题图） l 2 l 1 BE二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果30（）a b b=≠，那么a bb+=．8．化简：22(3)33a b b-+-=．9．已知f（x）=xx2+2，那么f（1）的值为．10．抛物线22y x=在对称轴的左侧部分是的（填“上升”或“下降”）．11．已知两个相似三角形的相似比为2︰3，那么这两个三角形的面积之比为．12．设点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP），AB=2，那么线段AP的长是．13．在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么sinθ的值为．14．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点（不与端点重合），要使得△ADE与△ABC相似，那么添加一个条件可以为（只填一个）．15．已知一斜坡的坡角为30°，则它坡度i = ．16．如图，一艘船从A处向北偏西30° 的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距海里．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=9，cot A＝2，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ABC沿着折痕DE翻折后，点A恰好落在线段BC的延长线上的点P 处，如果∠BPD＝∠A，那么折痕DE的长为．18．阅读：对于线段MN与点O（点O与MN不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线OP与线段MN交于点Q，且12OQOP=，那么称点P为点O关于线段MN的“准射点”．问题：如图，矩形ABCD中，AB =4，AD=5，点E在边AD上，且AE=2，联结BE．设点F是点A关于线段BE的“准射点”，且点F在矩形ABCD的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）)113o11cos308-⎛⎫+--+⎪⎝⎭．（第18题图）BACDE（第16题图）20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和 AC 上，DE ∥BC ，且DE 经过△ABC的重心，设AB a = ，AC b =．（1）DE = （用向量 a ，b表示）；（2）求作：13a b +．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点A ，其顶点坐标为B ．（1）求直线AB 的表达式；（2）将抛物线223y x x =-++沿x 轴正方向平移m (0)m >个单位后得到的新抛物线的顶点C 恰好落在反比例函数16y x=的图像上，求∠ACB 的余切值．22．（本题满分10分）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD=10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A 处测得飞船底部D 处的仰角45°，顶部B 处的仰角为53°，求此时观测点A 到发射塔CD 的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）A B C D （第22题图）（第20题图）23．（本题共2小题，每第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：∠ABD =∠ACE ；（2）求证：BD DG CD •=2．24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线线2y ax bx =+经过A （-1，3）、B （2，0），点C 是该抛物线上的一个动点，联结AC ，与y 轴的正半轴交于点D ．设点C 的横坐标为m ．（1）求该抛物线的表达式；（2）当32DC AD =时，求点C 到x 轴的距离；（3）如果过点C 作x 轴的垂线，垂足为点E ，联结DE ，当23m <<时，在△CDE中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．（第23题图）25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图1，点D 为△ABC 内一点，联结BD ，CBD ∠=BAC ∠，以BD 、BC 为邻边作平行四边形DBCE ，DE 与边AC 交于点F ，90ADE ∠=︒．（1）求证：△ABC ∽△CEF ；（2）延长BD ，交边AC 于点G ，如果CE =FE ，且△ABC 的面积与平行四边形DBCE面积相等，求AGGF的值；（3）如图2，联结AE ，若DE 平分AEC ∠，5AB =，2CE =，求线段AE 的长．（第25题图1）BFEACDFACDB（第25题图2）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ； 2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．C ； 6．D ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4； 8．a-2； 9．3； 10．下降； 11．4∶9； 12．1-5； 13．1312； 14．∠ADE =∠B ；（∠ADE =∠B ，DE ∥BC 等） 15．1∶3； 16．7； 17．22； 18．17≤≤556d．三、解答题（本大题共8题，满分78分） 19.（本题满分10分）解：原式12=++…………………………………………………（8分）=．………………………………………………………………（2分）20.（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分，满分10分）解：（1）2233b a -；…………………………………………………………（5分）（2）画图正确………………………………………………………（4分）写结论．………………………………………………………（1分）21. （本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）解：（1）∵抛物线223y x x =-++与y 轴交于点A ．∴A （0，3）．…………………………………………………………（1分）由223y x x =-++，得2(1)4y x =--+．……………………………（1分） ∴B （1，4）．……………………………（1分）设直线AB 的表达式为(0)y k x b k =+≠．∴34b k b =⎧⎨+=⎩……………………………（1分）∴1k =， b =3…………………………………………………………（1分） ∴直线AB 的表达式为3y x =+………………………………………（1分）（2）由B （1，4）沿x 轴正方向平移m 个单位，得C （m +1，4）．……（1分）又∵顶点C 恰好落在反比例函数的图像16y x=上， ∴4(1)16m +=．∴3m =，即C （4，4）…………………………………………………（1分）延长CB 交y 轴的正半轴于点D ，得BD =4，AD =1，……………………（1分）在Rt △ADC 中，∠ADC = 90°，∴cot 4CDEFD AD∠==．………………（1分）22. （本题满分10分）解：设此时观测点A 到发射塔CD 的水平距离为x 米．………………………（1分）由题意，得 BD = 10.6，∠DAC = 45°，∠BAC =53°，∠C = 90°，AC = x ．…（2分）在Rt △ACD 中，由∠C = 90° ,∵tan CDDAC AC∠=；∴CD =AC ×tan ∠DAC =x tan45°=x ………………………………………………（2分）在Rt △ACB 中，由∠C = 90°，∵tan BCBAC AC∠=∴BC =AC ×tan ∠BAC =x tan53°=1.33x ……………………………………………（2分） ∵BD = 10.6∴10.6BC CD -= 即1.3310.6x x -= ； 32.1x ≈（米）．……………………………………………………………………（2分）答：此时观测点A 到发射塔CD 的水平距离为32.1米．……………………… （1分）23.（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）（1）证明：∵ 点D 、E 分别是边 AC 、AB 的中点；∴ 12AD AC =，12AE AB =．…………………………………（1分）∵ AB =AC ；∴ AD =AE ． …………………………………（1分） ∵ AD =AE ，∠DAB=∠EAC ，AB =AC ；∴ △BAD ≌△CAE ；……………………………………………（2分） ∴ ∠ABD =∠ACE ．………………………………………………（1分）（2）证明：∵ 点D 是边AC 的中点，DF ⊥AC ；∴ FA =FC ， AD =CD ；………………………………………（2分） ∴ ∠FAD =∠ACE ． …………………………………………（1分） ∵ ∠ABD =∠ACE ； ∴ ∠ABD =∠FAD ． ∵ ∠ADB =∠GDA ；∴ △BAD ∽ △AGD ；…………………………………………（2分）∴ BD AD AD GD =； ∴ 2AD DG BD =⋅．……………………………………………（1分）∵ AD =CD ；∴ 2CD DG BD =⋅．……………………………………………（1分）24.（本题共3小题，每小题4分，满分12分）解：（1）∵抛物线2y ax bx =+经过A （-1，3）和B （2，0）．∴3420a b a b -=⎧⎨+=⎩……………………………………………………………（2分）∴1a =， 2b =-…………………………………………………………（1分）∴该抛物线的表达式为22y x x =-………………………………………（1分）（2）过点C 作y 轴的垂线，垂足为点H ，过点A 作CH 的垂线，垂足为点G ，由题设得GH =1． ∵AG //y 轴，32DC AD =，得32DC CH AD GH ==，……………………………（1分）∴CH =32，即点C 的横坐标为32…………………………………………（1分）令x =32，由22y x x =-得，34y =-，…………………………………（1分）即点C 到x 的距离为34．…………………………………………………（1分）（3）方法一：存在，∠DEC = 45°．………………………………………………………（1分）过点C 作y 轴的垂线，垂足为点P ，过点A 作CP 的垂线，垂足为点Q ，由题设得PQ =1，点C 的坐标为（m ，2m -2m ） ∵AQ //y 轴，得CP DPCQ AQ=， ∴213(2)m DPm m m =+--， ∴23DP m m =-+， …………………………………………………（1分）由DO =DP +PO ，22PO m m =-，得DO m =，……………………（1分）由EO m =，得EO DO =，在Rt △DOE 中，∠DOE = 90°，tan 1EOEDO DO∠==， ∴∠EDO = 45°…………………………………………………………（1分）由CE //y 轴，得∠DEC =∠EDO = 45°．方法二：存在，∠DEC = 45°．……………………………………………………（1分）由A （-1，3）、（m ，2m -2m ）设直线AC 的表达式为(0)y k x b k =+≠，∴232k b mk b m m-+=⎧⎨+=-⎩ ∴3k m =-， b m =，∴直线AC 的表达式为(3)y m x m =-+………………………………（1分）∴点D 的坐标为（0，m ），即DO m =．………………………………（1分）由EO m =，得EO DO =，在Rt △DOE 中，∠DOE = 90°，tan 1EOEDO DO∠==， ∴∠EDO = 45°………………………………………………………………（1分）由CE //y 轴，得∠DEC =∠EDO = 45°．25.（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）解：（1）在平行四边形ABCD 中，BC // DE ，∠CBD =∠E ．又∵∠CBD =∠BAC ，∴∠BAC =∠E ．………………………………………………………（1分）∵BC // DE ，∴∠BCA =∠EFC ，……………………………………（1分）∴△ABC ∽△CEF ．…………………………………………………（1分）（2）延长AD 交BC 于点H ，过点A 作AQ // BC ，交射线BG 于点Q ，∵△ABC ∽△CEF ，∴AB ACCE EF=．…………………………………（1分）又∵CE =FE ，∴AB =AC ， ……………………………………………（1分）由BC // DE ，得∠ADE =∠AHC =90°，即AH ⊥BC ．由△ABC 的面积与平行四边形的面积相等，得：12BC AH BC DH ⋅=⋅，即2AH DH =，∴AD DH =．………………………………………………………（1分） ∵AB =AC ，AH ⊥BC ． ∴BH =CH ．由AQ // BC ，得AQ ADBH DH=，由DE // BC ，得DF ADCH AH=，设BH =2x ，则HC =2x ，进一步得AQ =2x ，DF =x ．………………（1分）由AQ // BC ， DE // BC ，得DE // AQ ， ∴2AQAG GF DF==．……………………………………………………（1分）（3）延长BD ，交AC 于点M ，交边AE 于点P ．由△ABC ∽△CEF ，∴52AB AC BC CE EF CF ===．设5BC m =，5AC n =，得2CF m =，2EF n =．由BD // CE ，得∠PDE =∠DEC ．又∠AED =∠DEC ，∴∠PDE =∠AED ，∴PD =PE ．在Rt △ADE 中，∠ADP +∠PDE = 90°，∠DAE +∠AED = 90°，∴∠DAE =∠ADP ，∴PD =P A ，∴PE =P A ，2AE DP =．…………（1分）由BD //CE ，得DM FM DF CE CF EF ==，12AM PM AP AC CE AE ===由CE =2，PM =1．……………………………………………………………（1分）由522FM n m =-，52DF m n =- ， ∴52522222n mm n DM m n --==．……………………………………………（1分）∴n =，……………………………………………………………（1分）∴2DM =-，………………………………………………………（1分）由21DP =-+，得2AE =-．………………………………（1分）。

2020年中考模拟上海市闵行区中考数学一模试卷含解析

2020年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题）1．如果把Rt ABC ∆的各边长都扩大到原来的n 倍，那么锐角A 的四个三角比值( )A ．都缩小到原来的n 倍B ．都扩大到原来的n 倍C ．都没有变化D ．不同三角比的变化不一致2．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB AP AP BP = B ．AB BP AP AB =C ．BP AB AP BP =D ．512AB AP -= 3．k 为任意实数，抛物线2()(0)y a x k k a =--≠的顶点总在( )A ．直线y x =上B ．直线y x =-上C ．x 轴上D ．y 轴上4．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC =，AE BE =，那么有( )A ．AED BED ∆∆∽B ．BAD BCD ∆∆∽C ．AED ABD ∆∆∽ D ．AED CBD ∆∆∽5．下列命题是真命题的是( )A ．经过平面内任意三点可作一个圆B ．相等的圆心角所对的弧一定相等C ．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D ．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现有以下结论：①0a <；②0abc >；③0a b c -+<；④240b ac -<；其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共12题）7．如果线段4a =厘米，9c =厘米，那么线段a 、c 的比例中项b = 厘米．8．在ABC ∆中，若90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，则BC = 9．抛物线22(1)3y x =--+在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降” )10．如果两个相似三角形的相似比为2:3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 cm ．11．e r 为单位向量，a r 与e r 的方向相反，且长度为6，那么a =r e r ．12．某人从地面沿着坡度为3i =100米，这时他离地面的高度是米．13．已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，那么tan BAE ∠= ．14．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，C e 与斜边AB 相切，那么C e 的半径为．15．设抛物线2:(0)l y ax bx c a =++≠的顶点为D ，与y 轴的交点是C ，我们称以C 为顶点，且过点D 的抛物线为抛物线l 的“伴随抛物线”，请写出抛物线241y x x =-+的伴随抛物线的解析式．16．半径分别为3cm 17cm 的1O e 与2O e 相交于A 、B 两点，如果公共弦42AB cm =，那么圆心距12O O 的长为 cm ．17．正五边形的边长与边心距的比值为．（用含三角比的代数式表示）18．如图，在等腰ABC ∆中，4AB AC ==，6BC =，点D 在底边BC 上，且DAC ACD ∠=∠，将ACD ∆沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知二次函数图象的最高点是(1,4)A ，且经过点(0,3)B ，与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）．求BCD ∆的面积．20．已知：在平行四边形ABCD 中，:3:2AB BC =．（1）根据条件画图：作BCD ∠的平分线，交边AB 于点E ，取线段BE 的中点F ，联结DF 交CE 于点G ．（2）设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么向量CG =u u u r ；（用向量a r 、b r 表示），并在图中画出向量DG u u u r 在向量AB u u u r 和AD u u u r 方向上的分向量．21．如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，4BC =，tan 3B =．以AB 为直径作O e ，交边DC 于E 、F 两点．（1）求证：DE CF =；（2）求：直径AB 的长．22．2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B 岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上(A 点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B 岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30︒的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7︒方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点(A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin230.39︒≈；sin370.60︒≈，︒≈，tan230.42︒≈，cos230.92︒≈，tan370.75︒≈．)cos370.8023．如图，在ABC∆中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且g g，AF是BAC∠的平分线，交BC于点F，交DE于点G．=AD OC AB OD求证：（1）CE AB⊥；（2）AF DE AG BCg g．=24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线2C，与x轴x=-的抛物线经过点(0,2)交于(3,0)A-、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求BCO∠的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且CEO BCO∠=∠，求点P的坐标．25．已知：如图，在Rt ABCADCCD=，∠=︒，90∠=︒，2=，90∆和Rt ACD∆中，AC BCACB（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt ABC∆的重心，射线CG交边AB于点F，AD x=．=，CE y（1）求证：DAB DCF∠=∠；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果CDG∆是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．参考答案一、选择题1．如果把Rt ABC ∆的各边长都扩大到原来的n 倍，那么锐角A 的四个三角比值( )A ．都缩小到原来的n 倍B ．都扩大到原来的n 倍C ．都没有变化D ．不同三角比的变化不一致【解答】解：如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍，锐角A 不变，锐角三角函数值不变，故选：C ．2．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB AP AP BP = B ．AB BP AP AB =C ．BP AB AP BP =D ．AB AP =【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP 是AB 和BP 的比例中项，即2AP AB BP =g ， ∴AB AP AP BP=．故选：A ．3．k 为任意实数，抛物线2()(0)y a x k k a =--≠的顶点总在( )A ．直线y x =上B ．直线y x =-上C ．x 轴上D ．y 轴上【解答】解：2()(0)y a x k k a =--≠Q ，∴抛物线的顶点为(,)k k -，k Q 为任意实数，∴顶点在y x =-直线上，故选：B ．4．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC =，AE BE =，那么有( )A ．AED BED ∆∆∽B ．BAD BCD ∆∆∽C ．AED ABD ∆∆∽ D ．AED CBD ∆∆∽【解答】解：:1:3AD AC =Q ，:1:2AD DC ∴=；ABC ∆Q 是正三角形，AB BC AC ∴==；AE BE =Q ，::1:2AE BC AE AB ∴==::AD DC AE BC ∴=；A ∠Q 为公共角，AED CBD ∴∆∆∽；故选：D ．5．下列命题是真命题的是( )A ．经过平面内任意三点可作一个圆B ．相等的圆心角所对的弧一定相等C ．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D ．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【解答】解：A 、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题； B 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题；C 、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题；D 、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差．错误，是假命题；故选：C ．6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现有以下结论：①0a <；②0abc >；③0a b c -+<；④240b ac -<；其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：Q 抛物线开口向下，0a ∴<，所以①正确；Q 抛物线的对称轴在y 轴的右侧，a ∴、b 异号，即0b >，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，0c ∴>，0abc ∴<，所以②错误；1x =-Q 时，0y <，即0a b c -+<，所以③正确；Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，所以④错误．故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．如果线段4a =厘米，9c =厘米，那么线段a 、c 的比例中项b = 6 厘米．【解答】解：Q 线段a 和c 的比例中项为b ，::a b b c ∴=，即4::9b b =，6b ∴=±（负值舍去）．故答案为：6．8．在ABC ∆中，若90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，则BC = 4【解答】解： 2sin 5BC A AB==Q ，10SB =， 4BC ∴=，故答案为：4．9．抛物线22(1)3y x =--+在对称轴右侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降” )【解答】解：20a =-<Q ，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．10．如果两个相似三角形的相似比为2:3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 40 cm ．【解答】解：设较小的三角形的周长为xcm ，则较大的三角形的周长为(100)x cm -， Q 两个相似三角形的相似比为2:3，∴两个相似三角形的周长比为2:3， ∴21003x x =-，解得，40x =，故答案为：40．11．e r 为单位向量，a r 与e r 的方向相反，且长度为6，那么a =r 6- e r ．【解答】解：Q e r 为单位向量，a r 与e r 的方向相反，且长度为6，∴6a e =-r r ，故答案为6-．12．某人从地面沿着坡度为3i =100米，这时他离地面的高度是 50 米．【解答】解：Q 坡度为3i =∴设离地面的高度为x 3x ．222(3)100x +=Q解得50x =．即这时他离地面的高度是50米．13．已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，那么tan BAE ∠=2 ．【解答】解；如图，Q 正方形ABCD ，90ABC C ∴∠=∠=︒，在Rt BCD ∆中，2DC BC ==，根据勾股定理得：22442BD AD AB =+=+=Q 将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处， 22BE BD ∴==22tan 2BE BAE AB ∴∠=== 214．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，C e 与斜边AB 相切，那么C e 的半径为 5．【解答】解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =；由勾股定理，得：2223425AB =+=，5AB ∴=；又AB Q 是C e 的切线，CD AB ∴⊥，CD r ∴=；1122ABC S AC BC AB r ∆==Q g g ， 125r ∴=，故答案为：125．15．设抛物线2:(0)l y ax bx c a =++≠的顶点为D ，与y 轴的交点是C ，我们称以C 为顶点，且过点D 的抛物线为抛物线l 的“伴随抛物线”，请写出抛物线241y x x =-+的伴随抛物线的解析式 21y x =-+ ．【解答】解：Q 抛物线2241(2)3y x x x =-+=--，∴顶点坐标D 为(2,3)-，与y 轴交点为(0,1)C ，设伴随抛物线的解析式为：21y ax =+，把(2,3)D -代入得1a =-，∴伴随抛物线21y x =-+，故答案为：21y x =-+．16．半径分别为3cm 17cm 的1O e 与2O e 相交于A 、B 两点，如果公共弦42AB cm =，那么圆心距12O O 的长为 2或4 cm ．【解答】解：如图，1O Q e 与2O e 相交于A 、B 两点，12O O AB ∴⊥，且AD BD =；又2AB =Q22AD ∴=∴在Rt △1AO D 中，根据勾股定理知11O D =厘米；在Rt △2AO D 中，根据勾股定理知23O D =厘米，12124O O O D O D ∴=+=厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得123O O =厘米1-厘米2=厘米．故答案是：4或2；17．正五边形的边长与边心距的比值为 2tan 36︒ ．（用含三角比的代数式表示）【解答】解：O Q e 是正五边形ABCDE 的外接圆，1360725BOC ∴∠=⨯︒=︒， 111723622BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒，设这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，222211()24R r a a -==， 1sin 362a R =︒， 2sin 36a R =︒；1tan 362a r =︒， 2tan 36a r ∴=︒，∴2tan 36a r=︒，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan 36︒，故答案为：2tan 36︒．18．如图，在等腰ABC ∆中，4AB AC ==，6BC =，点D 在底边BC 上，且DAC ACD ∠=∠，将ACD ∆沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 1 ．【解答】解：AB AC =Q ，ABC C∴∠=∠，DAC ACD ∠=∠Q，DAC ABC∴∠=∠，C C∠=∠Q，CAD CBA∴∆∆∽，∴CA CD CB AC=，∴464CD =，83CD∴=，103BD BC CD=-=，DAM DAC DBA∠=∠=∠Q，ADM ADB∠=∠，ADM BDA∴∆∆∽，∴AD DMBD DA=，即8310833DM=，3215DM∴=，65MB BD DM=-=，ABM C MED∠=∠=∠Q，A∴、B、E、D四点共圆，ADB BEM∴∠=∠，EBM EAD ABD∠=∠=∠，ABD MBE∴∆∆∽，（不用四点共圆，可以先证明BMA EMD∆∆∽，推出BME AMD∆∽，推出ADB BEM∠=∠也可以！)∴AB BDBM BE=，1BM DBBEAB∴==g．故答案为：1．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知二次函数图象的最高点是(1,4)A，且经过点(0,3)B，与x轴交于C、D两点（点C 在点D的左侧）．求BCD∆的面积．【解答】解：设二次函数解析式为2(1)4(0)y a x a =-+≠，把(0,3)B 代入得23(01)4a =-+解得：1a =-，令0y =，那么2(1)40x --+=，解得：13x =，21x =-，∴点C 的坐标为(1,0)-，点D 的坐标为(3,0)，4CD ∴=，Q 点B 的坐标为(0,3)，3OB ∴=，BCD ∴∆的面积是：43622CD OB ⨯==g ． 20．已知：在平行四边形ABCD 中，:3:2AB BC =．（1）根据条件画图：作BCD ∠的平分线，交边AB 于点E ，取线段BE 的中点F ，联结DF 交CE 于点G ．（2）设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么向量CG =u u u r 1324a b -r r ；（用向量a r 、b r 表示），并在图中画出向量DG u u u r 在向量AB u u u r 和AD u u u r 方向上的分向量．【解答】解：（1）作BCD ∠的平分线，交边AB 于点E ，取线段BE 的中点F ，联结DF 交CE 于点G ．作图如下：（2）CE Q 为BCD ∠的平分线，BCE DCE ∴∠=∠ 又//AB CD QDCE BEC ∴∠=∠GEF GCD ∴∆∆∽:3:2AB BC =Q ∴13EF EG CD CG == 13EF CD ∴=，34CG CE = Q AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，∴DC AB a ==u u u r u u u r r ，BC AD b ==u u u r u u u r rQ EB BC EC +=u u u r u u u r u u u r ，EC CG GE =--u u u r u u u r u u u r ∴33213()()44324CG EB BC a b a b =-+=-+=--u u u r u u u r u u u r r r r r 同理可得，333213()())444324DG DF DA AF a b a b =-=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r DG u u u r 在向量AB u u u r 和AD u u u r 方向上的分向量，如图所示：故答案为：1324CG a b =--u u u r r r ． 21．如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，4BC =，tan 3B =．以AB 为直径作O e ，交边DC 于E 、F 两点．（1）求证：DE CF =；（2）求：直径AB 的长．【解答】（1）证明：过点O 作OH DC ⊥，垂足为H ．//AD BC Q ，90ADC ∠=︒，OH DC ⊥，90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒．////AD OH BC ∴．又OA OB =Q ．DH HC ∴=．OH DC ⊥Q ，OH 过圆心，EH HF ∴=，DH EH HC HF ∴-=-．即：DE CF =．（2）解：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，90AGB ∠=︒，90AGB BCN ∠=∠=︒Q ，//AG DC ∴．//AD BC Q ，AD CG ∴=．2AD =Q ，4BC =，2BG BC CG ∴=-=．在Rt AGB ∆中，tan 3B =Q ，tan 236AG BG B ∴==⨯=g ．在Rt AGB ∆中，222AB AG BG =+ 210AB ∴=．22．2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B 岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上(A 点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B 岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆． “米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30︒的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7︒方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点(A 点）到达B 岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin 230.39︒≈，cos 230.92︒≈，tan 230.42︒≈；sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈．)【解答】解：（1）由题意得，980AB =千米，台风中心到达B 岛的时间是39.5小时， ∴9802539.5v =≈（千米），答：台风中心从生成点(A 点）到达B 岛的速度是每小时25千米；（2）过点S 作SH ZD ⊥，垂足为点H ，90SHZ ∴∠=︒，30NZD ∠=︒Q ，7CZN ∠=︒，73037CZD CZN NZD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，在Rt SHZ ∆中，sin SH CZD SZ∠=． 37CZD ∠=︒Q ，250SZ =千米，sin 250sin 372500.60150SH SZ CZD ∴=∠=⨯︒≈⨯≈g （千米）， 150Q 千米170<千米，∴设台风中心移动到E 处时上海开始遭受台风影响到F 处影响结束．即170SE SF ==（千米）．Q 在Rt SEH ∆中，90SHE ∠=︒，222SE SH HE =+， ∴222217015080HE SE SH -=-≈，2160EF EH ∴=≈（千米）， ∴上海遭受这次台风影响的时间为16082020EF =≈（小时），答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．23．如图，在ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，点E 在边AB 上，联结CE 交BD 于点O ，且AD OC AB OD =g g ，AF 是BAC ∠的平分线，交BC 于点F ，交DE 于点G ．求证：（1）CE AB ⊥；（2）AF DE AG BC =g g ．【解答】证明：（1）AD OC AB OD =Q g g ， ∴AD AB OD OC=， BD Q 是AC 边上的高，90BDC BDA ∴∠=∠=︒，ADB ∆和ODC ∆是直角三角形，Rt ADB Rt ODC ∴∆∆∽，ABD OCD ∴∠=∠，又EOB DOC ∠=∠Q ，180DOC OCD ODC ∠+∠+∠=︒，180EOB ABD OEB ∠+∠+∠=︒． 90OEB ∴∠=︒，CE AB ∴⊥；（2）在ADB ∆和AEC ∆中，BAD CAE ∠=∠Q ，ABD OCD ∠=∠，ADB AEC ∴∆∆∽，∴AD AB AE AC=，即AD AEAB AC=，在DAE∆和BAC∆中DAE BAC∠=∠Q，AD AEAB AC=．DAE BAC∴∆∆∽，AFQ是BAC∠的平分线，∴AG DEAF BC=，即AF DE AG BC=g g．24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线2x=-的抛物线经过点(0,2)C，与x轴交于(3,0)A-、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求BCO∠的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且CEO BCO∠=∠，求点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为2y ax bx c=++，将点(0,2)C、(3,0)A-、对称轴直线2x=-代入，得：229302baa b cc⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩，解得：23a=，83b=，∴这条抛物线的表达式为228233y x x=++；（2）令0y =，那么2282033x x ++=，解得13x =-，21x =-，Q 点A 的坐标是(3,0)-，∴点B 的坐标是(1,0)-，(0,2)C Q ，1OB ∴=，2OC =，在Rt OBC ∆中，90BOC ∠=︒， ∴cot 2OC BCO OB∠==；（3）设点E 的坐标是(,0)x ，得||OE x =．CEO BCO ∠=∠Q ，cot cot CEO BCO ∴∠=∠，在Rt EOC ∆中，∴||cot 22OE x CEO OC ∠===， ||4x ∴=，∴点E 坐标是(4,0)或(4,0)-，Q 点C 坐标是(0,2)， ∴11:2222CE l y x y x =+=-+或， ∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去），或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去）； ∴点P 坐标是13(4-，3)8或19(4-，35)8．25．已知：如图，在Rt ABCADCCD=，∠=︒，90∠=︒，2ACB=，90∆和Rt ACD∆中，AC BC（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt ABC∆的重心，射线CG交边AB于点F，AD x=．=，CE y（1）求证：DAB DCF∠=∠；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果CDG∆是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【解答】（1）证明：Q点G是Rt ABC∆的重心，∆的中线，∴是Rt ABCCF又Q在Rt ABC∠=︒，ACB=，90∆中，AC BCCF AB ∴⊥，即90AFC ∠=︒，DEF ADE DAE EFC ECF ∠=∠+∠=∠+∠Q ，且90ADE EFC ∠=∠=︒， DAB DCF ∴∠=∠；（2）解：如图1，过点B 作BH CD ⊥于点H ，则90CBH BCH ∠+∠=︒，又90BCH ACD ∠+∠=︒Q ，ACD CBH ∴∠=∠，又90ADC CHB ∠=∠=︒Q ，AC CB =，CAD BCH ∴∆≅∆，2BH CD ∴==，CH AD x ==，2DH x =-，90ADC CHB BHD ∠=∠=∠=︒Q ，//AD BH ∴，ADE BHE ∴∆∆∽， ∴AD DE BH EH =， ∴2x DE EH =， ∴22x DE EH DH EH EH++==， ∴422x EH x -=+， ∴2424(02)22x x y CE CH HE x x x x -+==+=+=<++…；（3）解：当GC GD =时，如图21-，取AC 的中点M ，联结MD ，那么MD MC =，联结MG ，MG CD ⊥，且直线MG 经过点B ，那么BH 与MG 共线，又CH AD =，那么112AD CH CD ===；当CG CD =时，如图22-，即2CG =，点G 为ABC ∆的重心，∴332CF CG ==， 26AB CF ∴==， ∴2322AC AB ==， ∴2218414AD AC CD =-=-=；综上所述，1AD =或14．。

2020-2021学年上海市闵行区初三数学第一学期中考一模试卷及解析

2020-2021学年上海市闵行区初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题（本大共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，是二次函数的是( )A ．223y x x =--B ．22(1)y x x =--+C ．21129y x x =+D ．2y ax bx c =++2．（4分）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，B β∠=，5AB =，那么AC 的长为( ) A ．5cos β B ．5sin β C ．5cos β D ．5sin β3．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是( )A ．0a <B ．0b >C ．0ab >D ．0c =4．（4分）以下说法错误的是( )A ．如果0ka =，那么0a =B ．如果2a b =-，那么||2||a b =C ．如果2(3a b b =为非零向量），那么//a bD ．如果0a 是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =．5．（4分）已知A 与B 的半径分别是6和8，圆心距2AB =，那么A 与B 的位置关系是( )A ．相交B ．内切C ．外切D ．内含6．（4分）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？( )A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果23(0)a b b =≠，那么a b = ． 8．（4分）化简：12(3)33a b b -++= ． 9．（4分）抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是的（填“上升”或“下降”)．10．（4分）将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为．11．（4分）已知两个相似三角形的相似比为4:9，那么这两个三角形的周长之比为．12．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且//DE BC ，如果25DE BC =，那么AE EC= ． 13．（4分）在直角坐标平面内有一点(12,5)A ，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cos θ= ．14．（4分）如果港口A 的南偏东52︒方向有一座小岛B ，那么从小岛B 观察港口A 的方向是．15．（4分）正六边形的边心距与半径的比值为．16．（4分）如图，在ABC ∆中，2AB AC =，点D 在边AB 上，且ACD B ∠=∠，那么ACD ABCS S ∆∆= ．17．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，点P 在边AC 上，P 的半径为1．如果P 与边BC 和边AB 都没有公共点，那么线段PC 长的取值范围是．18．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AB =，1tan 2B =．将ABC ∆绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF = ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：24sin452cos60cot30tan601︒︒-︒+︒-．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC的中点，联结BE 并延长，交边CD于点F．设BA a=，BC b=．（1）填空：向量AE=；（2）填空：向量BF=，并在图中画出向量BF在向量BA和BC方向上的分向量．（注：本体结果用含向量a、b的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（10分）如图，O是ABC∆的外接圆，AB长为4，AB AC=，联结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：（1）边BC的长；（2）O的半径．22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30︒；区间测速的终点为下引桥坡脚点B 处，此时电子眼的俯角为60(A ︒、B 、P 、Q 四点在同一平面）．（1）求路段BQ 的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:23i =时，求电子眼区间测速路段AB 的长（结果保留根号）．23．（12分）如图，点E 为ABC ∆边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A '也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．联结CO 并延长，交该抛物线于点E ，点F 是射线CD 上一点，如果CFE DEC ∠=∠，求点F 的坐标．25．（14分）如图，在矩形ABCD中，2AD=，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），AB=，1联结DE，过点D作DF DE⊥，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE x=．=，DH y（1）求证：ADE CDF∠的正切值；∆∆∽，并求EFD（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG，当BGE∆相似时，求x的值．∆与DEH参考答案与试题解析一、选择题（本大共6题，每题4分，满分24分）1．【解答】解：A 、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；B 、22(1)21y x x x =--+=-，不是二次函数，故此选项不合题意；C 、是二次函数，故此选项符合题意；D 、当0a =时，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C ．2．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，B β∠=，5AB =，sin sin AC B ABβ∴==， sin 5sin AC AB ββ∴=⋅=，故选：B ．3．【解答】解：抛物线开口向上，0a ∴>，故A 错误；02b a->，0a >， 0b ∴<，故B 错误；0a >，0b <，0ab ∴<，故C 错误；图象经过点(0,0)O ，0c ∴=，故D 正确；故选：D ．4．【解答】解：A 、如果0ka =，那么0k =，故本选项符合题意．B 、如果2a b =-，那么||2||a b =，故本选项不符合题意．C 、如果2(3a b b =为非零向量），那么a 与b 方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意． D 、如果0a 是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =，故本选项不符合题意．故选：A ．5．【解答】解：因为862-=，圆心距2AB =，所以d R r =-，所以两圆内切．故选：B ．6．【解答】解：一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，∴她下半身的长度为92cm ，设鞋跟高为x 厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得620.61892x≈+，解得8.3()x cm ≈．经检验8.3x =为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【解答】解：23(0)a b b =≠， ∴32a b =．故答案为：32． 8．【解答】解：原式1233a b b a b =-++=-+．故答案是：a b -+． 9．【解答】解：23y x x =--，∴抛物线开口向下，对称轴为直线332(1)2x -=-=-⨯-， ∴在y 轴右侧，y 随x 增大而减小，∴其图象在y 轴右侧部分是下降，故答案为：下降．10．【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线222(1)1y x x x =+=+-的图象向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为222(1)2y x x x =+=+-，令0x =，则1y =-．所以所得抛物线与y 轴的交点的坐标为(0,1)-．故答案是：(0,1)-．11．【解答】解：两个相似三角形的相似比为4:9，∴它们的周长比等于相似比，即：4:9．故答案为4:9．12．【解答】解：如图，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴25DE AE BC AC ==， ∴23AE EC =，故答案为：23． 13．【解答】解：作AB x ⊥轴于点B ，如右图所示，点(12,5)A ，12OB ∴=，5AB =，90ABO ∠=︒，2212513OA ∴=+=，12cos 13OB AOB OA ∴∠==，即12cos 13θ=，故答案为：1213．14．【解答】解：如图，1252∠=∠=︒，∴从小岛B 观察港口A 的方向是北偏西52︒．故答案为：北偏西52︒．15．【解答】解：设正六边形的半径是r ，则外接圆的半径r ，内切圆的半径是正六边形的边心距，因33． 16．【解答】解：ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽， ∴221()()24ACD ABC S AC AC S AB AC ∆∆===．故答案为：14． 17．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =， 4AC ∴=，当P 与AB 相切时，设切点为D ，如图，连接PD ，则PD AB ⊥，90C ADP ∴∠=∠=︒，A A ∠=∠，ADP ACB ∴∆∆∽， ∴PD PA BC AB =， ∴135PA =， 53PA ∴=， 73PC AC PA ∴=-=， ∴线段PC 长的取值范围是713CP <<，故答案为：713CP <<．18．【解答】解：如图，过点F 作FG AC ⊥于点G ，将ABC ∆绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处， B D ∴∠=∠，1tan tan 2FG B D GD ∴∠=∠==， 90ACB FGA ∠=∠=︒，//BC FG ∴，B AFG ∴∠=∠，1tan tan 2AG B AFG FG ∴∠=∠==，设AG x =，则2FG x =， ∴2132x x =+，解得1x =，1AG ∴=，2FG =，2222215AF FG AG ∴+=+35BF AB AF ∴=-=- 故答案为：35．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：原式224()1223231⨯=⨯-+- 1421331⨯=-+- 21331=-+-1331=-++2=．20．【解答】解：（1）AC AB BC =+，BA a =，BC b =．∴AC b a =-，四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OE EC =，34AE AC ∴=， ∴3344AE b a =-．故答案为：3344b a -．（2）//CF AB ，::1:3CF AB EC AE ∴==，13CF BA ∴=， ∴13CF a =，∴13BF BC CF a b =+=+． BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量分别为BT 和BC ．故答案为：13a b +．21．【解答】解：（1）E 点为AB 的中点，CE 为直径，CE AB ∴⊥， AD BD ∴=，即CD 垂直平分AB ，4CB CA ∴==；（2）连接OB ，如图，AB BC AC ==，ABC ∴∆为等边三角形，60A ∴∠=︒，2120BOC A ∴∠=∠=︒，60BOD ∴∠=︒，在Rt BOD ∆中，122BD AB ==， 32333OD BD ∴==， 4323OB OD ∴==，即O 的半径为433．22．【解答】解：（1）由题意，60PBQ TPB ∠=∠=︒， 90PQB ∠=︒，30BPQ ∴∠=︒，3tan30933BQ PQ ∴=⋅︒==)．（2）如图，过点A 作AM QB ⊥于M ，AH PQ ⊥于H ．由题意，30PAH TPA ∠=∠=︒，设AM a =米，则23BM a =米，90AHQ HQM AMQ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHQM是矩形，(3323)AH QM a∴==+米，QH AM a==米，(9)PH PQ HQ a=-=-米，在Rt APH∆中，tanPH PAHAH∠=，∴3933323aa-=+，解得2a=，2AM∴=（米)，43BM=（米)，22222(43)213AB AM BM∴=+=+=（米)．23．【解答】证明：（1）AF CD BC AD⋅=⋅，∴AF BC AD CD=，设AF BCk AD CD==，AF kAD∴=，BC kCD=，2221DF AF AD k AD∴=-=-，2221BD BC CD k CD--，∴DF AD BD CD=，又ADF BDC∠=∠，ADF CDB∴∆∆∽，F B∴∠=∠，90B BCD∠+∠=︒，90F BCD∴∠+∠=︒，AE BC∴⊥；方法2:AF CD BC AD⋅=⋅，∴AF BC AD CD=，又90ADF BDC ∠=∠=︒，FAD BCD ∴∆∆∽，B F ∴∠=∠，90B BCD ∠+∠=︒，90F BCD ∴∠+∠=︒，AE BC ∴⊥；（2）BE CE =，AE BC ⊥，AB AC ∴=，ABE DBC ∠=∠，90BDC AEB ∠=∠=︒，ABE CBD ∴∆∆∽， ∴AB BE BC BD=， 12BC BC AB BD ∴⋅=⋅， 22BC BD AC ∴=⋅．24．【解答】解：（1）抛物线224y x x =-++是回归抛物线，理由如下：点M 在抛物线224y x x =-++上，4444y ∴=-++=，∴点(2,4)M ，∴点M 关于坐标原点O 的对称点(2,4)M '--，当2x =-时，4444y =--+=-，∴点M '在抛物线上，∴抛物线224y x x =-++是回归抛物线；（2）点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点， ∴点(1,1)C c -+，∴点C 关于原点O 的对称点(1,1)C c '--，点C 是这条抛物线的回归点，112c c ∴--=--+，1c ∴=，∴抛物线解析式为：221y x x =--+；（3）抛物线221y x x =--+，∴对称点为1x =-，∴点(1,0)D -，点(1,2)C -，∴直线CO 解析式为2y x =-，联立方程组2212y x x y x⎧=--+⎨=-⎩，∴1212x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =-⎧⎨=⎩，点(1,2)E -，在CEF ∆和CDE ∆中，CFE CED ∠=∠，FCE ECD ∠=∠， CEF CDE ∴∆∆∽， ∴CF CE CE CD=， 2CE CD CF ∴=⋅，22(11)(22)2CF ∴--++=，10CF ∴=，(1,8)F ∴--．25．【解答】解：（1）90ADE CDE ∠+∠=︒，90CDF CDE ∠+∠=︒， ADE CDF ∴∠=∠，在Rt EAD ∆与Rt DCF ∆中，90ADE CDF EAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， EAD FCD ∴∆∆∽， ∴12DE AD DF CD ==，1tan 2DE EFD DF ∴∠==，（2）由（1）可知22FC EA x ==，四边形ABCD 是矩形， //AB CD ∴，FCH FBE ∴∆∆∽， ∴FC CH FB BE =， ∴22212x y x x-=+-，可得：222(02)21x y x x +=<<+；（3）2BE x =-，DH y =，DE =EH ∴EG AE GH CH=， AE EG EH AE CH ∴=⋅+， BEG DHE ∠=∠，若BEG ∆与DHE ∆相似，则有两种情况，第一种：EGB HED ∠=∠， ∴BE EG DH HE =， ∴BE AE DH AE CH=+，即2(2)212x x x x x -+=，解得：)x =舍去，第二种： EGB HDE ∠=∠， ∴BE EG HE HD=， ∴2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+，即2(2)[1()]2x x y y x x y -=⋅+-+-，解得： 1.5x =．综上所述，x或1.5．。

2022年上海市闵行区中考一模数学试卷

2022年上海市闵行区中考一模数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 在中，各边的长度都扩大倍．那么锐角的正切值A. 扩大倍B. 扩大倍C. 保持不变D. 缩小位2. 在中，，，，那么的三角比值为的是A. B. C. D.3. 下列二次函数与抛物线的对称轴相同的函数是A. B.C. D.4. 如图，已知在中，点在边上，那么下列条件中不能判定的是A. B.C. D.5. 如果，，且，下列结论正确的是B.C. 与方向相同D. 与方向相反6. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论：（）：（）；（），（）；（）；其中正确的结论有A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共12小题；共60分）7. 如果，那么的值为．8. 已知线段的长为厘米，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是厘米．9. 在中，，，，则．10. 两个相似三角形的面积之比是，其中较大的三角形一边上的高是厘米，那么另一个三角形对应边上的高为厘米．11. 为单位向量，与的方向相同，且长度为，那么．12. 如果抛物线的顶点是坐标轴的原点，那么的值是．13. 已知二次函数图象的对称轴为直线，则．（填“”或“”）14. 如图所示，用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．如果，，米，米，米，那么该古城墙的高度是米．15. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为厘米，宽度为厘米，那么斜面的坡度为．16. 如图，已知在中，，，，是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，那么．17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与反比例函数的图象交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接，，那么的值是．18. 如图，在中，，，，点是边上一点，将沿着过点的一条直线翻折，使得点落在边上的点处，连接，如果，那么的长为．三、解答题（共7小题；共91分）19. 已知四边形是菱形，，点在射线上，点在射线上，且．（1）如图，如果，求证：；（2）如图，当点在的延长线上时，如果，设，，试建立与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）连接，，当是等腰三角形时，请直接写出的长．20. 计算：．21. 如图，，是的中线，交于点．（1）直接写出向量关于，．（2）在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）22. 如图，已知在中，，，点的坐标为，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．（1）求经过，两点的直线的表达式．（2）求图象经过，，三点的二次函数的解析式．23. 为了维护南海的主权，我国对相关区域进行海空常态化立体巡航．如图，在一次巡航中，预警机沿方向飞行，驱护舰沿方向航行，且航向相同．当预警机飞行到处时，测得航行到处的驱护舰的俯角为，此时距离相关岛屿恰为千米；当预警机飞行到处时，驱护舰恰好航行到预警机正下方处，此时千米，当预警机继续飞行到处时，驱护舰到达相关岛屿，且测得处的预警机的仰角为．求预警机的飞行距离．（结果保留整数）（参考数据：，，．）24. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．求证：（1）；（2）．25. 如图，在平面直角坐标系，中，直线与轴交于点，与轴交于点．点为抛物线的顶点．（1）用含的代数式表示顶点的坐标；（2）当顶点在内部，且时，求抛物线的表达式；（3）如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移个单位后，平移后的抛物线的顶点仍在内，求的取值范围．答案第一部分1. C【解析】如图，在中，，则，，在中，各边的长度都扩大倍．那么锐角的正切值保持不变，故选：C．2. B【解析】在中，，，，，．故选：B．3. D【解析】抛物线的对称轴为直线，选项A中抛物线对称轴为直线，不符合题意，选项B中抛物线对称轴为直线，不符合题意，选项C中抛物线对称轴为直线，不符合题意，选项D中抛物线对称轴为直线，符合题意．4. A【解析】，而，不一定相等，不能判断，故A符合题意；，，而，，故B不符合题意；，，，故C不符合题意；，，，故D不符合题意；故选A．5. D【解析】将代入，计算得：（方向相反）．6. C【解析】（）函数开口向下，，对称轴在轴的右边，，，故命题正确；（），，，，故命题正确；（）当时，，，故命题错误；（）当时，，，故命题正确；（）抛物线与轴于两个交点，，故命题正确．第二部分7. 或【解析】，设，，．【解析】根据题意，，厘米，厘米，故答案为：．9.【解析】，，，故答案为．10.【解析】两个三角形面积比为，两个三角形相似比为，设：另一三角形对应边上的高为，，解得．11.【解析】因为长度为，长度为，二者方向相同，所以做线性运算可得．故答案为：．【解析】该函数顶点是坐标轴的原点，，解得．13.【解析】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，当的取值越靠近函数值就越小，反之越大，．14.【解析】入射角反射角，入射角的余角反射角的余角，又；，，，．故答案为：．15.【解析】斜面的坡度为：．或【解析】翻折可知：，，，，，，在中，，，．，．是等腰三角形．．．17.【解析】设的解析式为，，，，联立解得，过点作交于点，交于点，，，，，，，，，．或【解析】由题意知，和关于过点的直线对称，如图所示，在中，，，，，，，，，在利中，，，又，，，，，，．故答案为：第三部分19. （1）四边形是菱形，，菱形是正方形，，，，，．（2）如图，在上截取，四边形是菱形，，，是正三角形，，，，，，，，．（3）如图，当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，，，，，，四边形是菱形，，，，，，，，由①②得，，如图，当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，作于，，，由得，，，，由第一种情形知：，，，，由①②得，，，，，即．综上所述：．20.21. （1）【解析】，是的中线，交于点，，，，，．（2）是向量在向量和方向上的分向量．22. （1），点的坐标为，，，则，，，，，，，，，，设直线为：，解得：直线为：．（2）设过，，的抛物线为：，，解得：，抛物线为：．23. 过作于，过作交延长线于，则，由题意，，，千米，，千米，在中，，千米，千米，在中，，千米，，（千米）．答：预警机的飞行距离为千米．24. （1），，，，，，，．（2），点是边上的中点，，，，，，，，，，，，，即．25. （1）抛物线，顶点的坐标为．（2）对于，当时，，当时，，，，顶点在内部，且，，，抛物线的表达式为．（3）由题意，平移后的抛物线的顶点的坐标为，平移后的抛物线的顶点仍在内，解得：，即的取值范围为．。

上海市闵行区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析

上海市闵行区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（）A．6B．5C．4D．32．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，所得直线的解析式为()A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－23．在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞54．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．5．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是()A．B．C．D．6．某区10名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如上表：那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是（）人数 3 4 2 1分数80 85 90 95A．85和82.5 B．85.5和85 C．85和85 D．85.5和807．若a与5互为倒数，则a=（）A．15B．5 C．-5 D．158．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，已知△ADE的面积为1，那么△ABC的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．59．下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．10．下列运算中，正确的是（）A．（a3）2=a5B．（﹣x）2÷x=﹣xC．a3（﹣a）2=﹣a5D．（﹣2x2）3=﹣8x611．如图是测量一物体体积的过程：步骤一：将180 mL的水装进一个容量为300 mL的杯子中；步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm3)().A．10 cm3以上，20 cm3以下B．20 cm3以上，30 cm3以下C．30 cm3以上，40 cm3以下D．40 cm3以上，50 cm3以下12．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）．A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在轴、轴上，点B 在第一象限，点D 在边BC 上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称（点A′和A ，B′和B 分别对应），若AB=1，反比例函数(0)k y k x=≠的图象恰好经过点A′，B ，则的值为_________．14．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是13，则n ＝_____． 15．已知关于x 的一元二次方程（a-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______________．16．2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，用含有m 、n 的式子表示AB 的长为______．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，将ABE △沿AE 折叠得到AFE △，点F 落在对角线AC 上．若AB AC ⊥，3AB =，5AD =，则CEF △的周长为________．18．如图，函数y=k x （x<0）的图像与直线3交于A 点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°，交函数y=kx（x<0）的图像于B 点，得到线段OB ，若线段26，则k= _______________________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．20．（6分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数kyx 的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．求k和b的值；求△OAB的面积．21．（6分）已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．求此抛物线的表达式；如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．22．（8分）计算：(1-n)03|+(-13)-1+4cos30°.23．（8分）某校航模小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需10秒，A在地面C的北偏东12°方向，B在地面C的北偏东57°方向．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）24．（10分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．(1)求证：∠DAC=∠DCE；(2)若AB=2，sin∠D=13，求AE的长．25．（10分）计算：（12）﹣2﹣327+（﹣2）0+|2﹣8|26．（12分）如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x＋b的图象交于A(1，8)，B(－4，m)．求k1，k2，b的值；求△AOB的面积；若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝的图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．27．（12分）已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连接CB．（1）直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系；（2）①如图1，猜想AB，BD与BC之间的数量关系，并说明理由；②如图2，直接写出AB，BD与BC之间的数量关系；（3）在MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD时，直接写出BC的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．【详解】综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．故选：B．【点睛】此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形2．A【解析】向左平移一个单位长度后解析式为：y=x+1.故选A.点睛：掌握一次函数的平移.3．D【解析】【分析】先利用勾股定理计算出OP=1，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围．【详解】∵点P的坐标为（3，4），∴OP==1．∵点P（3，4）在⊙O内，∴OP＜r，即r＞1．故选D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．4．A【解析】试题分析：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．故选A．【考点】简单组合体的三视图．5．B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的图形．【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误；B、主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；C、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；D、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题重点考查三视图的定义以及考查学生的空间想象能力．6．B【解析】【分析】根据众数及平均数的定义，即可得出答案.【详解】解：这组数据中85出现的次数最多，故众数是85；平均数=110（80×3+85×4+90×2+95×1）=85.5.故选：B.【点睛】本题考查了众数及平均数的知识，掌握各部分的概念是解题关键. 7．A【解析】分析：当两数的积为1时，则这两个数互为倒数，根据定义即可得出答案．详解：根据题意可得：5a=1，解得：a=15，故选A ．点睛：本题主要考查的是倒数的定义，属于基础题型．理解倒数的定义是解题的关键．8．C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理可得DE ∥BC ，DE BC ＝12，即可证得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得ADE ABC S S ∆∆＝14，已知△ADE 的面积为1，即可求得S △ABC ＝1．【详解】∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE BC ＝12， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABC S S ∆∆＝（12）2＝14， ∵△ADE 的面积为1，∴S △ABC ＝1．故选C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，先证得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得到ADE ABC S S ∆∆＝14是解决问题的关键. 9．B【解析】【分析】A 、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形.【详解】A 、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形;B 、将此图形绕中心点旋转180度与原图重合，所以这个图形是中心对称图形;C 、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形;D 、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形．【点睛】本题考查了轴对称与中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.10．D【解析】【分析】根据同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可．【详解】∵（a3）2=a6，∴选项A不符合题意；∵（-x）2÷x=x，∴选项B不符合题意；∵a3（-a）2=a5，∴选项C不符合题意；∵（-2x2）3=-8x6，∴选项D符合题意．故选D．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，要熟练掌握．11．C【解析】分析：本题可设玻璃球的体积为x，再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可．详解：设玻璃球的体积为x，则有3300180 4300180 xx-⎧⎨-⎩＜＞解得30＜x＜1．故一颗玻璃球的体积在30cm3以上，1cm3以下．故选C．点睛：此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x 的取值范围．12．B试题分析：作点P 关于OA 对称的点P 3,作点P 关于OB 对称的点P 3,连接P 3P 3,与OA 交于点M,与OB 交于点N,此时△PMN 的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出△PMN 的周长就是P 3P 3的长，∵OP=3，∴OP 3=OP 3=OP=3．又∵P 3P 3=3，,∴OP 3=OP 3=P 3P 3,∴△OP 3P 3是等边三角形, ∴∠P 3OP 3=60°，即3（∠AOP+∠BOP ）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选B ．考点：3．线段垂直平分线性质；3．轴对称作图．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．3【解析】【详解】解：∵四边形ABCO 是矩形，AB=1，∴设B （m ，1），∴OA=BC=m ，∵四边形OA′B′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称，∴OA′=OA=m ，∠A′OD=∠AOD=30°，∴∠A′OA=60°，过A′作A′E ⊥OA 于E ，∴OE=12m ，，∴A′（12m ）， ∵反比例函数y=k x （k≠0）的图象恰好经过点A′，B ，∴12，∴，∴【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质，利用数形结合思想解题是关键．14．1【解析】【分析】根据白球的概率公式44n+=13列出方程求解即可．【详解】不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中白球4个，根据古典型概率公式知：P（白球）=44n+=13．解得：n=1，故答案为1．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．15．a＜2且a≠1．【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，即4-4×（a-2）×1＞0，解这个不等式得，a＜2，又∵二次项系数是（a-1），∴a≠1．故a的取值范围是a＜2且a≠1．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．16．3m n n +-【解析】【分析】过点C作CE⊥CF延长BA交CE于点E,先求得DF的长,可得到AE的长,最后可求得AB的长. 【详解】解：延长BA交CE于点E，设CF⊥BF于点F，如图所示．在Rt△BDF中，BF＝n，∠DBF＝30°，∴3tan3DF BF DBF n =⋅∠=．在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝BF＝n，∴3AB BE AE CD DF AE m n n =-=+-=+-．故答案为：3m n n +-．【点睛】此题考查解直角三角形的应用,解题的关键在于做辅助线.17．6.【解析】【分析】先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4，然后根据折叠的性质可得AF=AB=3，EF=BE，从而可求出CEF△的周长.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5,∵AB AC⊥，∴AC=22BCAB - =2253-=4∵ABE △沿AE 折叠得到AFE △， ∴AF=AB=3，EF=BE ，∴CEF △的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF =BC+AC-AF =5+4-3=6 故答案为6. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法，运用转化思想是解题的关键. 18．-33 【解析】【分析】作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，AE ⊥BD 于E 点，设A 点坐标为（3a ，-3a ），则OC=-3a ，AC=-3a ，利用勾股定理计算出OA=-23a ，得到∠AOC=30°，再根据旋转的性质得到OA=OB ，∠BOD=60°，易证得Rt △OAC ≌Rt △BOD ，OD=AC=-3a ，BD=OC=-3a ，于是有AE=OC-OD=-3a+3a ，BE=BD-AC=-3a+3a ，即AE=BE ，则△ABE 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到32-6=2（-3a+3a ），求出a=1，确定A 点坐标为（3，-3），然后把A （3，-3）代入函数y=kx即可得到k 的值．【详解】作AC ⊥x 轴与C ，BD ⊥x 轴于D ，AE ⊥BD 于E 点，如图，点A 在直线3上，可设A 点坐标为（3a ，3a ），在Rt △OAC 中，OC=-3a ，3a ， ∴22AC OC +3，∴∠AOC=30°，∵直线OA绕O点顺时针旋转30°得到OB，∴OA=OB，∠BOD=60°，∴∠OBD=30°，∴Rt△OAC≌Rt△BOD，∴，BD=OC=-3a，∵四边形ACDE为矩形，∴a，，∴AE=BE，∴△ABE为等腰直角三角形，∴AE，即（），解得a=1，∴A点坐标为（3，），而点A在函数y=kx的图象上，∴k=3×（故答案为【点睛】本题是反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用勾股定理、旋转的性质以及等腰直角三角形的性质进行线段的转换与计算．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．(1) 抛物线的解析式为y=13x2-2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是814，点P（92，﹣54）；(3) Q（4,1）或（-3，1）. 【解析】【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，13m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.【详解】解：(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝−2，c＝1，所以抛物线的解析式y＝13x2−2x＋1；(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，∴13x2−2x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)，∵点A(0，1)，点B(9，10)，∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，13m2−2m＋1)，∴E(m，m＋1)，∴PE＝m＋1−(13m2−2m＋1)＝−13m2＋3m.∵AC⊥PE，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝12AC⋅EF＋12AC⋅PF＝12AC⋅(EF＋PF)＝12AC⋅EP＝12×6(−13m2＋3m)＝−m2＋9m.∵0<m<6，∴当m＝92时，四边形AECP的面积最大值是814，此时P(9524，)；(3)∵y＝13x2−2x＋1＝13(x−3)2−2，P(3，−2)，PF＝y F−y p＝3，CF＝x F−x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的点Q，设Q(t，1)且AB＝92，AC＝6，CP＝32，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，CQ:AC＝CP:AB，(6−t):6＝3292t＝4，所以Q(4，1)；②当△CQP∽△ABC时，CQ:AB＝CP:AC，(6−t):9232＝6，解得t＝−3，所以Q(−3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似，Q点的坐标为(4，1)或(−3，1).【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ 的比例，要分类讨论，以防遗漏． 20．（1）k=10，b=3；（2）152. 【解析】试题分析：(1)、将A 点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k 和b 的值；(2)、首先根据一次函数求出点B 的坐标，然后计算面积. 试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=kx，得k==2×5=10 把x=2，y=5代入y=x+b ，得b=3(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=12×3×5=7.5 考点：一次函数与反比例函数的综合问题. 21．（1）y ＝－12(x －3)2＋5（2）5 【解析】【分析】（1）设顶点式y=a （x-3）2+5，然后把A 点坐标代入求出a 即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线的对称性得到B （5，3），再确定出C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【详解】(1)设此抛物线的表达式为y ＝a(x －3)2＋5，将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得12a =-， ∴此抛物线的表达式为21(3) 5.2y x =--+ (2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝3， ∴B(5，3)．令x ＝0，211(3)522y x =--+=，则1(0)2C ，，∴△ABC 的面积11(51)3 5.22⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键. 22．1 【解析】【分析】根据实数的混合计算，先把各数化简再进行合并. 【详解】原式=1 【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是将它们化成最简形式再进行计算. 23．29.8米．【解析】【分析】作AD BC ⊥，BH CN ⊥，根据题意确定出ABC ∠与BCH ∠的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长度，由CD BD +求出BC 的长度，即可求出BH 的长度．【详解】解：如图，作AD BC ⊥，BH CN ⊥，由题意得：MCD 57MCA 12AB CH ∠∠︒︒P ＝，＝，， ACB 45BCH ABC 33∠∠∠∴︒︒＝，＝＝， AB 40Q ＝米，AD CD sin ABC?AB 40sin33m BD AB?cos3340cos33＝＝＝，＝＝∠∴⨯︒︒⨯︒米， BC CD BD 40sin33cos3355.2∴+⨯︒+︒≈＝＝（）米，则BH BC?sin3329.8︒≈＝米，答：这架无人飞机的飞行高度为29.8米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．24．（1）证明见解析；（22．【解析】【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得2，于是可求得2．【详解】解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE．（2）∵AB=2，∴AO=1．∵sin∠D=13，∴OD=3，DC=2．在Rt△DAO中，由勾股定理得22OD OA-=22∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴DC DEAD DC=222ED=．解得：2，∴AE=AD﹣2．25．2【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式以及立方根的运算法则分别化简解：原式＝4﹣3+1+22﹣2＝22．【点睛】本题考查实数的运算，难点也在于对原式中零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式以及立方根的运算化简，关键要掌握这些知识点．26．(1) k1＝1，b＝6(1)15(3)点M在第三象限，点N在第一象限【解析】试题分析：（1）把A（1，8）代入求得=8，把B（-4，m）代入求得m=-1，把A（1，8）、B（-4，-1）代入求得、b的值；（1）设直线y=1x+6与x轴的交点为C，可求得OC的长，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC即可求得△AOB的面积；（3）由＜可知有三种情况，①点M、N在第三象限的分支上，②点M、N在第一象限的分支上，③ M在第三象限，点N在第一象限，分类讨论把不合题意的舍去即可．试题解析：解：（1）把A（1，8），B（-4，m）分别代入，得=8，m=-1．∵A（1，8）、B（-4，-1）在图象上，∴，解得，．（1）设直线y=1x+6与x轴的交点为C，当y=0时，x=-3，∴OC=3∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=（3）点M在第三象限，点N在第一象限．①若＜＜0，点M、N在第三象限的分支上，则＞，不合题意；②若0＜＜，点M、N在第一象限的分支上，则＞，不合题意；③若＜0＜，M在第三象限，点N在第一象限，则＜0＜，符合题意．考点：反比例函数与一次函数的交点坐标；用待定系数法求函数表达式；反比例函数的性质．27．（1）相等或互补；（2）①BD+AB＝2BC；②AB﹣BD2BC；（3）BC3131.（1）分为点C，D在直线MN同侧和点C，D在直线MN两侧,两种情况讨论即可解题,（2）①作辅助线,证明△BCD≌△FCA，得BC＝FC，∠BCD＝∠FCA,∠FCB＝90°,即△BFC是等腰直角三角形,即可解题, ②在射线AM上截取AF＝BD，连接CF，证明△BCD≌△FCA，得△BFC是等腰直角三角形,即可解题,（3）分为当点C，D在直线MN同侧，当点C，D在直线MN两侧，两种情况解题即可,见详解.【详解】解：（1）相等或互补；理由：当点C，D在直线MN同侧时，如图1，∵AC⊥CD，BD⊥MN，∴∠ACD＝∠BDC＝90°，在四边形ABDC中，∠BAD+∠D＝360°﹣∠ACD﹣∠BDC＝180°，∵∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝∠D；当点C，D在直线MN两侧时，如图2，∵∠ACD＝∠ABD＝90°，∠AEC＝∠BED，∴∠CAB＝∠D，∵∠CAB+∠CAM＝180°，∴∠CAM+∠D＝180°，即：∠D与∠MAC之间的数量是相等或互补；（2）①猜想：BD+AB2BC如图3，在射线AM上截取AF＝BD，连接CF．又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC∴△BCD≌△FCA，∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA∵AC⊥CD∴∠ACD＝90°即∠ACB+∠BCD＝90°∴∠ACB+∠FCA＝90°即∠FCB＝90°∴BF＝2BC∵AF+AB＝BF＝2BC∴BD+AB＝2BC；②如图2，在射线AM上截取AF＝BD，连接CF，又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC∴△BCD≌△FCA，∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA∵AC⊥CD∴∠ACD＝90°即∠ACB+∠BCD＝90°∴∠ACB+∠FCA＝90°即∠FCB＝90°∴BF＝2BC∵AB﹣AF＝BF＝2BC∴AB﹣BD＝2BC；（3）①当点C，D在直线MN同侧时，如图3﹣1，由（2）①知，△ACF≌△DCB，∴CF ＝BC ，∠ACF ＝∠ACD ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∵∠ABD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，过点D 作DG ⊥BC 于G ，在Rt △BDG 中，∠CBD ＝45°，BD ＝2， ∴DG ＝BG ＝1，在Rt △CGD 中，∠BCD ＝30°， ∴CG ＝3,DG ＝3，∴BC ＝CG+BG ＝3+1，②当点C ，D 在直线MN 两侧时，如图2﹣1，过点D 作DG ⊥CB 交CB 的延长线于G ，同①的方法得，BG ＝1，CG ＝3， ∴BC ＝CG ﹣BG ＝3﹣1即：BC ＝31+ 或31-，【点睛】本题考查了三角形中的边长关系,等腰直角三角形的性质,中等难度,分类讨论与作辅助线是解题关键.。

闵行区一模初三数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $\sqrt[3]{-8}$D. $\sqrt{3} - \sqrt{2}$2. 如果$a > 0$，$b < 0$，那么下列不等式中正确的是（）A. $a + b > 0$B. $a - b > 0$C. $a \cdot b > 0$D. $a \div b > 0$3. 下列函数中，是二次函数的是（）A. $y = 2x^3 - 3x + 1$B. $y = x^2 + 2x + 1$C. $y = 2x^2 - 3x + 4$D. $y = 3x^2 + 2x - 5$4. 已知一次函数$y = kx + b$，如果$k > 0$，$b > 0$，那么函数图象（）A. 经过第一、二、三象限B. 经过第一、二、四象限C. 经过第一、三、四象限D. 经过第一、二、四象限5. 在$\triangle ABC$中，$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，则$\angle BAC$的度数是（）A. $30^\circ$B. $45^\circ$C. $60^\circ$D. $90^\circ$6. 下列关于不等式$2x - 3 > 5$的解法正确的是（）A. $2x > 5 + 3$B. $2x > 8$C. $x > 4$D. $x > \frac{8}{2}$7. 若$a > b > 0$，则下列不等式成立的是（）A. $a^2 > b^2$B. $a^3 > b^3$C. $a^{-2} > b^{-2}$D. $a^{-3} > b^{-3}$8. 已知一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的解是（）A. $x_1 = 1$，$x_2 = 3$B. $x_1 = 2$，$x_2 = 2$C. $x_1 = -1$，$x_2 = -3$D. $x_1 = -2$，$x_2 = -2$9. 下列关于圆的性质中，正确的是（）A. 圆的半径等于直径的一半B. 圆的直径等于半径的两倍C. 同圆或等圆中，半径相等的弦相等D. 同圆或等圆中，半径相等的弦不一定相等10. 下列各图中，表示函数$y = x^2$的是（）（此处省略图片）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11. 已知$a > 0$，$b < 0$，那么$a + b$的符号是______。

上海市闵行区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析

上海市闵行区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知3a ﹣2b=1，则代数式5﹣6a+4b 的值是（） A ．4 B ．3 C ．﹣1 D ．﹣32．五名女生的体重（单位：kg ）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（） A ．2、40 B ．42、38 C ．40、42 D ．42、403．两个一次函数1y ax b =+，2y bx a =+，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．下列计算中，错误的是（） A ．020181=；B ．224-=；C ．1242=；D ．1133-=． 5．将抛物线()2y x 13=-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（） A ．()2y x 2=- B ．()2y x 26=-+ C ．2y x 6=+D ．2y x =6．计算1211x xx x +---的结果是（） A ．1 B ．﹣1C ．1﹣xD ．311x x +- 7．计算111x x x ---结果是( ) A ．0B ．1C ．﹣1D ．x8．关于x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k 值是（） A ．﹣1B ．±2C ．2D ．﹣29．下列几何体中，俯视图为三角形的是( ) A ．B ．C ．D ．10．如图所示是放置在正方形网格中的一个ABC ∆ ,则tan ABC ∠的值为( )A ．25B ．5 C ．2D ．1211．下列4个数：9，227，π，(3)0，其中无理数是( ) A ．9B ．227C ．πD ．(3)012．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（） A ．13∠=∠ B ．11803∠=-∠o C ．1903∠=+∠oD ．以上都不对二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．计算：112a a-＝________． 14．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______． 15．若反比例函数y=1m x-的图象在每一个象限中，y 随着x 的增大而减小，则m 的取值范围是_____． 16．小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，得到的点数为奇数的概率是．17．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，若∠EAC=2∠CAD ，则∠BAE=__________度．18．如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，则△CEF 的面积最大值是____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）武汉二中广雅中学为了进一步改进本校九年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣．校教务处在九年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查：我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为：“A-非常喜欢”、“ B-比较喜欢”、“ C-不太喜欢”、“ D-很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计．现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是，图②中A所在扇形对应的圆心角是；（3）若该校九年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？20．（6分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．21．（6分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．22．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，210==，CE⊥AD于点E．BC CD（1）求证：AE＝CE；（2）若tanD＝3，求AB的长．23．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A 60≤x＜70 17 0.17B 70≤x＜80 30 aC 80≤x＜90 b 0.45D 90≤x＜100 8 0.08请根据所给信息，解答以下问题：(1)表中a=______，b=______；(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．24．（10分）下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式：收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/（元/min）A 30 25 0.05B 50 50 0.05C 120 不限时设上网时间为t小时．（I）根据题意，填写下表：月费/元上网时间/h 超时费/（元）总费用/（元）方式A 30 40方式B 50 100（II）设选择方式A方案的费用为y1元，选择方式B方案的费用为y2元，分别写出y1、y2与t的数量关系式；（III）当75＜t＜100时，你认为选用A、B、C哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）？25．（10分）如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,DE⊥AC．求证: △BDA∽△CED．26．（12分）某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A．B．C，D四个班共提供了100件参赛作品.C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图l和图2两幅尚不完整的统计图中.(1)B班参赛作品有多少件？(2)请你将图②的统计图补充完整； (3)通过计算说明，哪个班的获奖率高？(4)将写有A ，B ，C ，D 四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A ，B 两班的概率 .27．（12分）（1）计算：（12）﹣3×[12﹣（12）3]﹣4cos30°；（2）解方程：x （x ﹣4）=2x ﹣8参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】【分析】先变形，再整体代入，即可求出答案．【详解】 ∵3a ﹣2b=1，∴5﹣6a+4b=5﹣2（3a ﹣2b ）=5﹣2×1=3，故选：B ．【点睛】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键． 2．D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义分别进行求解即可得.【详解】这组数据中42出现了两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是42，将这组数据从小到大排序为：37，38，40，42，42，所以这组数据的中位数为40，故选D.【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.3．B 【解析】【分析】根据各选项中的函数图象判断出a 、b 的符号，然后分别确定出两直线经过的象限以及与y 轴的交点位置，即可得解．【详解】解：由图可知，A 、B 、C 选项两直线一条经过第一三象限，另一条经过第二四象限，所以，a 、b 异号，所以，经过第一三象限的直线与y 轴负半轴相交，经过第二四象限的直线与y 轴正半轴相交， B 选项符合，D 选项，a 、b 都经过第二、四象限，所以，两直线都与y 轴负半轴相交，不符合．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象，一次函数y=kx+b （k≠0），k ＞0时，一次函数图象经过第一三象限，k ＜0时，一次函数图象经过第二四象限，b ＞0时与y 轴正半轴相交，b ＜0时与y 轴负半轴相交． 4．B 【解析】分析：根据零指数幂、有理数的乘方、分数指数幂及负整数指数幂的意义作答即可．详解：A ．020181=，故A 正确； B ．224-=-，故B 错误； C ．1242=．故C 正确；D ．1133-=，故D 正确；故选B ．点睛：本题考查了零指数幂、有理数的乘方、分数指数幂及负整数指数幂的意义，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错． 5．D 【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则，将抛物线()2y x 13=-+向左平移1个单位所得直线解析式为：()22y x 113y x 3=-++⇒=+；再向下平移3个单位为：22y x 33y x =+-⇒=．故选D ． 6．B 【解析】【分析】根据同分母分式的加减运算法则计算可得．【详解】解：原式=121 x x x+--=1-1 x x-=() --11 x x-=-1，故选B．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则．7．C【解析】试题解析：11(1)1 1111x x xx x x x----===-----.故选C.考点：分式的加减法.8．D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可．【详解】设方程的两根分别为x1，x1，∵x1+（k1-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，∴x1+x1，=-（k1-4）=0，解得k=±1，当k=1，方程变为：x1+1=0，△=-4＜0，方程没有实数根，所以k=1舍去；当k=-1，方程变为：x1-3=0，△=11＞0，方程有两个不相等的实数根；∴k=-1．故选D．【点睛】本题考查的是根与系数的关系．x1，x1是一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x1=−ba，x1x1=ca，反过来也成立.9．C 【解析】【分析】俯视图是从上面所看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．【详解】A.圆锥的俯视图是圆，中间有一点，故本选项不符合题意，B.几何体的俯视图是长方形，故本选项不符合题意，C.三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意，D.圆台的俯视图是圆环，故本选项不符合题意，故选C.【点睛】此题主要考查了由几何体判断三视图，正确把握观察角度是解题关键．10．D【解析】【分析】首先过点A向CB引垂线，与CB交于D，表示出BD、AD的长，根据正切的计算公式可算出答案．【详解】解：过点A向CB引垂线，与CB交于D，△ABD是直角三角形，∵BD=4，AD=2，∴tan∠ABC=2142 ADBD==故选：D．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．11．C【解析】9，227是无限循环小数，π是无限不循环小数，31=，所以π是无理数，故选C．12．C【解析】【分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算．【详解】∵∠1+∠2=180°∴∠1=180°-∠2又∵∠2+∠1=90°∴∠1=90°-∠2∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1．故选C．【点睛】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．12a．【解析】【分析】根据异分母分式加减法法则计算即可．【详解】原式211 222a a a =-=．故答案为：12a．【点睛】本题考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则．14．3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】分析：利用关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．详解：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩，∴将解12xy=⎧⎨=⎩代入方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩可得m=﹣1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组()()()()3=526a b m a ba b n a b⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a ba+=⎧⎨=⎩解得：3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．15．m>1【解析】∵反比例函数m1yx-=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，∴m1->0，解得：m>1，故答案为m>1.16．12．【解析】【分析】【详解】根据题意可知，掷一次骰子有6个可能结果，而点数为奇数的结果有3个，所以点数为奇数的概率为12．考点：概率公式．17．22.5°【解析】【详解】Q四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，Q∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，Q AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．18．3【解析】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB．在△ABE和△ACF中，∵∠1=∠3，AC=AC，∠ABC=∠4，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=2，∴S四边形AECF =S△ABC=12BC•AH=12BC•22AB BH-=43，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又∵S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大，∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=43﹣12×23×22(23)(3)-=3．故答案为：3.点睛：本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE≌△ACF，得出四边形AECF的面积是定值是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）答案见解析；（2）B，54°；（3）240人．【解析】【分析】（1）根据D程度的人数和所占抽查总人数的百分率即可求出抽查总人数，然后利用总人数减去A、B、D 程度的人数即可求出C程度的人数，然后分别计算出各程度人数占抽查总人数的百分率，从而补全统计图即可；（2）根据众数的定义即可得出结论，然后利用360°乘A程度的人数所占抽查总人数的百分率即可得出结论；（3）利用960乘C程度的人数所占抽查总人数的百分率即可．【详解】解：（1）被调查的学生总人数为65%120÷=人，C程度的人数为120(18666)30-++=人，则A的百分比为18100%15%120⨯=、B的百分比为66100%55%120⨯=、C的百分比为30100%25%120⨯=，补全图形如下：（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是B、图②中A所在扇形对应的圆心角是36015%54︒⨯=︒．故答案为：B；54︒；（3）该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有96025%240⨯=人答：该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．【点睛】此题考查的是条形统计图和扇形统计图，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息是解决此题的关键．20．证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．试题解析：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．考点：平行四边形的判定与性质．21．（1）距离是70米，速度为95米/分；（2）y=35x﹣70；（3）速度为60米/分；（4）=490米；（5）两机器人出发1.2分或2.1分或4.6分相距21米．【解析】【分析】（1）当x=0时的y值即为A、B两点之间的距离，由图可知当=2时，甲追上了乙，则可知（甲速度-乙速度）×时间=A、B两点之间的距离；（2）由题意求解E、F两点坐标，再用待定系数法求解直线解析式即可；（3）由图可知甲、乙速度相同；（4）由乙的速度和时间可求得BC之间的距离，再加上AB之间的距离即为AC之间的距离；（5）分0-2分钟、2-3分钟和4-7分钟三段考虑.【详解】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，∵1×（95﹣60）=35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；（3）∵线段FG∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；（5）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距21米，由题意得，60x+70﹣95x=21，解得，x=1.2，前2分钟﹣3分钟，两机器人相距21米时，由题意得，35x﹣70=21，解得，x=2.1．4分钟﹣7分钟，直线GH经过点（4，35）和点（7，0），设线段GH所在直线的函数解析式为：y=kx+b，则，，解得，则直线GH的方程为y=x+，当y=21时，解得x=4.6，答：两机器人出发1.2分或2.1分或4.6分相距21米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂图像是解题关键.. 22．（1）见解析；（2）AB ＝4 【解析】【分析】(1)过点B 作BF ⊥CE 于F ，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D ，再利用“角角边”证明△BCF 和△CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE ，再证明四边形AEFB 是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF ，从而得证；(2)由(1)可知：CF=DE ，四边形AEFB 是矩形，从而求得AB=EF ，利用锐角三角函数的定义得出DE 和CE 的长，即可求得AB 的长．【详解】（1）证明：过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，∠1＋∠D ＝90°． ∵∠BCD ＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°， ∴∠2＝∠D ．又BC ＝CD∴△BHC ≌△CED （AAS ）． ∴BH ＝CE ．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE ＝BH ． ∴AE ＝CE ．（2）∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB ＝HE ．∵在Rt △CED 中，tan 3CED DE==，设DE ＝x ，CE ＝3x ，∴CD ==． ∴x ＝2．∴DE ＝2，CE ＝3． ∵CH ＝DE ＝2．∴AB＝HE＝3－2＝4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．23．（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）16．【解析】【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a=30100=0.3，b=100×0.45=45（人）．故答案为0.3，45；（2）360°×0.3=108°．答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°．（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为212=16．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（I）见解析;（II）见解析；（III）见解析．【分析】（I）根据两种方式的收费标准分别计算，填表即可；（II）根据表中给出A，B两种上宽带网的收费方式，分别写出y1、y2与t的数量关系式即可；（III）计算出三种方式在此取值范围的收费情况，然后比较即可得出答案．【详解】（I）当t=40h时，方式A超时费：0.05×60（40﹣25）=45，总费用：30+45=75，当t=100h时，方式B超时费：0.05×60（100﹣50）=150，总费用：50+150=200，填表如下：（II）当0≤t≤25时，y1=30，当t＞25时，y1=30+0.05×60（t﹣25）=3t﹣45，所以y1=30(025){345(25)tt t≤≤->；当0≤t≤50时，y2=50，当t＞50时，y2=50+0.05×60（t﹣50）=3t﹣100，所以y2=50(050){3100(50)tt t≤≤->；（III）当75＜t＜100时，选用C种计费方式省钱．理由如下：当75＜t＜100时，y1=3t﹣45，y2=3t﹣100，y3=120，当t=75时，y1=180，y2=125，y3=120，所以当75＜t＜100时，选用C种计费方式省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答时理解三种上宽带网的收费标准进而求出函数的解析式是解题的关键．25．证明见解析.【解析】【分析】不难看出△BDA和△CED都是直角三角形，证明△BDA∽△CED，只需要另外找一对角相等即可，由于AD是△ABC的中线，又可证AD⊥BC，即AD为BC边的中垂线，从而得到∠B=∠C，即可证相似．∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，又BD=CD，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∠ADB=∠DEC=90°，∴△BDA∽△CED.【点睛】本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用．26．（1）25件；（2）见解析；（3）B班的获奖率高；（4）.【解析】试题分析：（1）直接利用扇形统计图中百分数，进而求出B班参赛作品数量；（2）利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%，结合C班参赛数量得出获奖数量；（3）分别求出各班的获奖百分率，进而求出答案；（4）利用树状统计图得出所有符合题意的答案进而求出其概率．试题解析：（1）由题意可得：100×（1﹣35%﹣20%﹣20%）=25（件），答：B班参赛作品有25件；（2）∵C班提供的参赛作品的获奖率为50%，∴C班的参赛作品的获奖数量为：100×20%×50%=10（件），如图所示：；（3）A班的获奖率为：×100%=40%，B班的获奖率为：×100%=44%，C班的获奖率为：=50%；D班的获奖率为：×100%=40%，故C班的获奖率高；（4）如图所示：，故一共有12种情况，符合题意的有2种情况，则从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A 、B 两班的概率为：=．考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图． 27．（1）3；（1）x 1=4，x 1=1．【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可；（1）先移项，再提取公因式求解即可. 【详解】解：（1）原式=8×（12﹣18）﹣4×33 =8×38﹣33=3；（1）移项得：x （x ﹣4）﹣1（x ﹣4）=0，（x ﹣4）（x ﹣1）=0， x ﹣4=0，x ﹣1=0， x 1=4，x 1=1．【点睛】本题考查了有理数的混合运算与解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算法则与根据因式分解法解一元二次方程.。

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2016年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A． =B． =C． =D． =2．将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2+33．已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A．B．C．D．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=05．在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）A．2000000cm2B．20000m2C．4000000m2D．40000m26．如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么= ．8．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是．9．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是厘米．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD= ．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=2，那么BC= ．12．已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为．13．过△ABC的重心作DE∥BC，分别交AB于点D，AC于点E，如果=， =，那么= ．14．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为．16．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于厘米．17．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．18．将一副三角尺如图摆放，其中在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°．点D为边AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）后得△E′DF′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，那么的值为．三、解答题（本大题共7小题，满分78分）19．如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．20．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．21．如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设=， =．（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量分别在，方向上的分向量．22．如图，一只猫头鹰蹲在树AC上的B处，通过墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F看到老鼠躲在M处（A、D、M、E四点在同一条直线上）．已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠（结果精确到米）（参考数据：sin37°=cos53°=，cos37°=sin53°=，tan37°=c ot53°=，cot37°=tan53°=）．23．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB?BD=BM?AB；（2）求证：AE⊥BE．24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．2016年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A． =B． =C． =D． =【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵=，∴DE∥BC，选项A不符合题意；∵=，∴DE∥BC，选项B不符合题意；∵=，∴DE∥BC，选项C不符合题意；=，DE∥BC不一定成立，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边2．将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的规律，点（0，﹣1）平移后的对应点的坐标为（1，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向右平移一个单位，向下平移2个单位得到对应点的坐标为（1，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣3．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】利用平方关系得到cosα=，然后把sinα=代入计算即可．【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，∴cosα===．故选D．【点评】本题考查了同角三角函数的关系：sin2A+cos2A=1．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．【解答】解：∵抛物线经过原点，∴c=0，∵抛物线经过第一，二，三象限，可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧∴a＞0，∵对称轴在y轴左侧，∴对称轴为x=＜0，又因为a＞0，∴b＞0．故选A．【点评】解决此类题目，可现根据条件画出函数图象的草图再做解答．5．在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）A．2000000cm2B．20000m2C．4000000m2D．40000m2【考点】比例线段．【专题】常规题型．【分析】先根据面积的比等于比例尺的平方求出实际面积，然后再进行单位转化．【解答】解：设实际面积是x，则=（）2，解得x=200 000 000cm2，∵1m2=10000cm2，∴200 000 000cm2=20000m2．故选B．【点评】本题主要考查了比例线段中的比例尺，利用面积的比等于比例尺的平方是解题的关键，本题单位换算容易出错，需要特别注意．6．如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次【考点】直线与圆的位置关系．【专题】分类讨论．【分析】根据题意作出图形，直接写出答案即可．【解答】解：如图，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么= ．【考点】比例的性质．【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．8．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是2：3 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3，∴两个相似三角形相似比是2：3，故答案为：2：3．【点评】本题考查的是相似三角形性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．9．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是﹣1 厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比是进行计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，∴BP=AB=﹣1厘米．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD= 12 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据垂直的定义得到∠BDE=∠ADF=90°，根据三角形的内角和得到∠F=∠B，推出△ADF∽△BDE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵FD⊥AB，∴∠BDE=∠ADF=90°，∵∠ACB=90°，∠CEF=∠BED，∴∠F=∠B，∴△ADF∽△BDE，∴，即，解得：DF=12，故答案为：12．【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=2，那么BC= 4．【考点】解直角三角形．【分析】根据∠C=90°，得出cosA=，再根据AC=2，求出AB，最后根据勾股定理即可求出BC．【解答】解：∵∠C=90°，∴cosA==，∵AC=2，∴AB=6，∴BC===4．故答案为：4．【点评】本题考查了解直角三角形，用到的知识点锐角三角函数、勾股定理，关键是根据题意求出AB．12．已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为1：．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题．【解答】解：如图所示：AC=5米，BC=4米，则AB==3米，则坡比===1：．故答案为：1：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．13．过△ABC的重心作DE∥BC，分别交AB于点D，AC于点E，如果=， =，那么= ﹣．【考点】*平面向量；三角形的重心．【分析】由过△ABC的重心作DE∥BC，可得=，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵过△ABC的重心作DE∥BC，∴=，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形法则的应用．14．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根及两根之和公式来解决此题．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，∵x1+x2=﹣3+1=﹣=﹣2．则对称轴x=﹣=×（﹣）=×（﹣2）=﹣1．【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．（利用二次函数的对称性解答更直接）15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为12＜r＜13 ．【考点】点与圆的位置关系．【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r 时，点在圆内”即可求解，【解答】解：如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞12，点B在圆A外，则r＜13，因而圆A半径r的取值范围为12＜r＜13．故答案为12＜r＜13．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．16．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于5或1 厘米．【考点】圆与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】设⊙O2的半径为r，根据内切的判定方法得到r﹣3=2或3﹣r=2，然后解方程即可．【解答】解：设⊙O2的半径为r，∵⊙O1与⊙O2内切，∴r﹣3=2或3﹣r=2，∴r=5或r=1．故答案为5或1．【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R、r：两圆外离?d ＞R+r；两圆外切?d=R+r；两圆相交?R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切?d=R﹣r（R＞r）；两圆内含?d ＜R﹣r（R＞r）．17．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．【考点】二次函数的应用．【分析】根据二次函数的解析式求得抛物线与x轴的交点坐标的横坐标，即为所求的结果．【解答】解：当y=0时，即﹣x2+4x+=0，解得x1=，x2=﹣（舍去）．答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，注意抛物线的解析式的三种形式在解决抛物线的问题中的作用．18．将一副三角尺如图摆放，其中在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°．点D为边AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）后得△E′DF′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，那么的值为．【考点】旋转的性质．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定义求解．【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=DB，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，∵∠EDF=90°，∴∠CPD=60°，∴∠MPD=∠NC D，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM=∠CDN=α，∴△PDM∽△CDN，∴=，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，∴=tan30°=．故答案是：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．三、解答题（本大题共7小题，满分78分）19．如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形AOB与三角形AOC相似，由相似得比例，求出OC的长，即可确定出C坐标；由B与C坐标设出抛物线的二根式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式即可．【解答】解：∵∠AOC=∠ACB=90°，∴∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠ABC=90°，∴∠ACO=∠ABC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴△ACO∽△CBO，∴=，即OC2=OB?OA，∵OA=1，OC=2，∴OB=4，则B（4，0），∵A（﹣1，0），C（0，2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将C（0，2）代入得：2=﹣4a，即a=﹣，则过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质以及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．20．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，再根据圆周角定理得出∠DOE=60°，由直角三角形的性质可知OD=2OE，由此可得出r的长，在Rt△OED中根据勾股定理求出DE的长，进而可得出结论．【解答】解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，∵∠BAD=30°，∴∠DOE=60°，∵CD⊥AB，∴CD=2DE，∠ODE=30°，∴OD=2OE，即r=2（r﹣2），解得r=4；∴OE=4﹣2=2，∴DE===2，∴CD=2DE=4．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．21．如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设=， =．（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量分别在，方向上的分向量．【考点】*平面向量．【分析】（1）由点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，直接利用三角形中位线的性质，即可求得==﹣， ==，再利用三角形法则求解即可求得答案；（2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，∴==﹣， ==，∴=+=﹣+；（2）如图：与即为所求．【点评】此题考查了平行向量的知识．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．22．如图，一只猫头鹰蹲在树AC上的B处，通过墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F看到老鼠躲在M处（A、D、M、E四点在同一条直线上）．已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠（结果精确到米）（参考数据：sin37°=cos53°=，cos37°=sin53°=，tan37°=cot53°=，cot37°=tan53°=）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，可知∠E=37°，在△DEF中，已知DF的长度即可求得DE的长度，然后证得D是AE的中点，从而求得AE的长度，根据猫头鹰从C点观察M点的俯角为53°，可知∠AMC=53°，进而求得DM，即可求得AM，在△AMC中，根据余切函数求得AC，即可求得BC．【解答】解∵DF=3，∠E=37°，cot37°=，∴DE=3?cot37°，∵DF=3米，AB=6米，AC∥DF，∴D是AE的中点，∴AE=2DE=6?cot37°，∵cot53°=，∴DM=3?cot53°，∴AM=AD+DM=3（cot37°+cot53°），∵cot37°=，∴AC=AM?cot37°，∴BC=AC﹣6≈（米）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．23．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB?BD=BM?AB；（2）求证：AE⊥BE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，由已知条件得到∠EBM=∠C，等量代换得到∠EBM=∠ABC，求得∠ABE=∠DBM，推出△BEA∽△BDM，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论；（2）连接AD，由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，推出△ABD∽△EBM，根据相似三角形的性质得到∠ADB=∠EMB=90°，求得∠AEB=∠BMD=90°，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠EBM=∠C，∴∠EBM=∠ABC，∴∠ABE=∠DBM，∵∠BAE=∠BDF，∴△BEA∽△BDM，∴，∴EB?BD=BM?AB；（2）连接AD，∵AB=AC，点D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∵，∠ABD=∠EBM，∴△ABD∽△EBM，∴∠ADB=∠EMB=90°，∴∠AEB=∠BMD=90°，∴AE⊥BE．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）分类讨论：①当∠PCB=90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；②当∠BPC=90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．【解答】解：（1）将B、C点代入函数解析式，得，解得，这个二次函数y=x2+bx+c的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）四边形POP′C为菱形，得OC与PP′互相垂直平分，得y P=﹣，即x2﹣2x﹣3=﹣，解得x1=，x2=（舍），P（，﹣）；（3）∠PBC＜90°，①如图1，当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得m1=0（舍），m2=1，即P（1，﹣4）；AO=1，OC=3，CB==3，CP==，此时==3，△AOC∽△PCB；②如图2，当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D，BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），CH=﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+2m，PH=m，PD=3﹣m，BD=﹣（m2﹣2m﹣3）．△CHP∽△PDB， =，即=，解得m=，m=（不符合题意，舍），此时， ==≠=3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似；综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出P点的坐标是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键．25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1））根据题意可先求出CD=6，根据BF⊥DE和F为线段BH中点的条件，由等腰三角形三线合一的性质得到△BHD为等腰三角形，从而求出BD=HD=3，再求CH=3﹣6；（2）设BE=x，CM=y，要求y关于x的函数解析式，先利用AB∥CH，得到成比例线段=，得到=，再根据△BCH∽△DCE，得到==，则可以用含x的式子表示CH=，代入=中，整理化简可得y=（根据点E在线段BC上，则可得到0＜x＜3）（3）①如下图2，当GF⊥BC时，此时GF∥AB∥CD，根据平行线等分线段定理得到==，根据题意易证△BCH∽△DCE，根据其相似比得BF=BH=DE，再根据△BFE∽△DCE的相似比=得到=，解方程即可得x=21﹣6（根据x=21+6＞3，舍去）②当E在射线BC上时（图3），GF∥BE，设GF与CD交点为K，先根据①中条件可求出GK=2，DK=4，设KF=a，则可得==，分别用含a的式子表示KH=，HC=，再利用tan∠KDF=tan∠CBH作为等量关系列方程=可解得a=（a=＜0故舍去）易求出CE=a=从而求出BE=CE+3=，再综合①②可知x的值为21﹣6或．【解答】解：（1）∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°∴∠DCB=90°∵AB=BC=3，tan∠BDC=∴CD=6∵BF⊥DE∴当F为线段BH中点时，△BHD为等腰三角形，∴BD=HD==3CH=DH﹣DC=3﹣6（2）∵AB∥CH，∴=又∵AC==3，∴=在△BCH与△DCE中，∠BCH=∠DCE=90°，∠HBC=∠EDC=90°﹣∠DHB，∴△BCH∽△DCE，∴==，则CH=，∴=，化简整理得：y=（0＜x＜3）；（3）①（图2）当GF⊥BC时，此时GF∥AB∥CD， ==此时==∵△BCH∽△DCE∴===∴BF=BH=DE∴△BFE∽△DCE∴=∴=∴DE2=36x=（3﹣x）2+62，解得x=21﹣6（x=21+6＞3，故舍去）②当E在射线BC上时（图3），GF⊥DC即GF∥BE，设GF与CD交点为K，由①可知===，则GK=×3=2，DK=4设KF=a，则==，∴KH=，HC=，∵∠BCD=∠DKF=90°∴∠KDF=∠CBH∴tan∠KDF=tan∠CBH∴=解得a=（a=＜0故舍去）∵==∴CE=a=，BE=CE+3=综上可知：x的值为21﹣6或【点评】本题主要考查了平行线等分线段定理的应用和相似三角形的相似比作为等量关系列方程解方程的方法．（1）中根据条件判断出△BHD为等腰三角形是解题的关键；（2）中则主要是利用了相似三角形和平行线等分线段定理中的成比例线段作为等量关系，得到x与y之间的等量关系，整理即可得到y关于x的函数关系式；（3）中主要是根据线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时的两种情况分类讨论，GF⊥BC和GF⊥DC时分别都有对应的相似三角形，根据相似三角形中的成比例线段作为等量关系列方程解方程即可．。