01第一章 函数

π π
π π
为反正弦函数，记为 y arcsin x ． 由此可见， 反正弦函数 y arcsin x 的定义域为 [ 1,1] ， 值域为 [ 2 , 2 ] ． （２）反余弦函数 当 y [0, π ] 时，称余弦函数 x cos y 的反函数 为反余弦函数，记为 y arccos x ． 由此可见， 反余弦函数 y arccos x 的定义域为 [1,1] ， 值域为 [0, π ] ．
三、反函数
定义３（反函数）设定义在非空数集 D 上的函数 y f ( x) 的 值 域 为 A ， 若 对 任 意 的 y A ， 由 y f ( x) 可 得 唯 一 的 x ( y ) D ，则称 x ( y ) 为函数 y f ( x) 的反函数，记为 x f 1 ( y ) , y A ．
－3≤x ≤4 ，
例5 下列函数是否相同,为什么? x ; (1) y = ln x 2 与y = 2ln (2) = u 与y = x ．
x 不是相同的函数,因为定 解 (1) y = ln x 2 与y = 2ln 义域不同.
(2) = u 与y = x 是相同的函数 , 因为对应规 律与定义域均相同.
解
离家距离
王先生离家的距离关于时间的函数图形见左下图．
离家距离
6 3
9
O
时间
O
1 2 3 4 5
时间
如果给上页左图标明具体的数值如上页右图， 则可由解析表 达式表示为
3 x , f ( x) 3, 3 x 6,
0 x 1, 1 x 3, 3 x 5.
所以
f ( x ) = x 2 5 x 4.
（２）定义域
2x 1 例 4 求函数y = x x 6 +arcsin 定义域． 7 解 这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函 数的定义域, 然后求其公共部分即可．
2
使 x 2 x 6 有定义,必须满足 x 2 － x －6≥0，即
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第一章
函
数
第一节 函数及其性质 第二节 初等函数 第三节 数学模型方法简述
第一节 函数及其性质
一、 函数的概念 二、 函数的几种特性 三、 反函数
第一节 函数及其性质
一、 函数的概念
若对于确定的 x0 D ， 通过对应规律 f ， 函数 y 有惟一 确定的值 y0 相对应，则称 y0 为 y f ( x) 在 x0 处的函数 值，记作 y
x x0
或 f ( x0 ) . 函数值的集合，称为函数的值
域，记作 M ，即 M { y y f ( x ), x D} .
奇偶性 设函数 f ( x) 在某区间 I 上有定义， I 为关于原点对
称的区间， 若对于任意 x I ， 都有 f ( x) = f ( x) ， 则称 f ( x )为偶函数； 若 f (- x )= - f ( x) ， 则称 f ( x) 为奇函数.
若存在不为零的数 周期性 设函数 f ( x ) 在某区间 I 上有定义， T , 使 得 对 于 任 意 x I , 都 有 f ( x T ) f ( x) ， 则 称 f ( x ) 为周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它 的最小正周期．
例 17（反三角函数）大家知道正弦函数 sin x ( x ) ，余弦 函数 cos x ( x ) ，正切函数 tan x
π ( x (, ) \{ kπ k为整数}) ，余切 2
函数 cot x ( x (, ) \{kπ k为整数}) 等三角函数是都是周期函数，它们 在其定义域上都不是单调的．所以， sin x ， cos x ， tan x ， cot x 等三 角函数在其各自的定义域上都不存在函数． 由三角函数的图像不难发现，三角函数有许多单调子区间， 因此，可以在这些单调子区间上讨论各自的反函数．
该函数 f ( x )的定义域为 D=［0，5］ ，但它在定义域的 不同范围内是用不同解析式来表示的，这样的函数称为分 段函数．分段函数是定义域上的一个函数,不要理解为多个 函数，分段函数需要分段求值，分段作图．
例8
作出下面分段函数的图形：
f(x)
2 1
0, 1 x 0 , 2 f ( x) x , 0 x 1 , 3 x, 1 x 2 .
例 15 指数函数 y e 的定义域是区间 (, ) ，值域是区间 (0, ) ，按照 y e x ，对应 (0, ) 中的每一个 y 都有 (, ) 中唯一 x 的 x 与之对应，则这个函数就是指数函数 y e 的反函数，即对数 函数 x ln y, y (0, ) ．
2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应规律
例 1 f ( x) =2 x +3 x 1 就是一个特定的函数， f 确定的对应规律为： 2 f （ ）=2( ) +3( )－1 .
2
例2
解
1 2 1 y f ( x ) f 设 = = sin ，求 ( )． x π x
二、 函数的几种特性
有界性
设函数 f ( x) 在某区间 I 上有定义，若存在正数 M ， 使得 f ( x) M ，则称 f ( x) 在 I 上有界.
1 例 10 f ( x) sin x 在 (,) 上有界. ( x) 在 (0,1) 内无界. x
.
单调性
设函数 f ( x) 在某区间 I 上有定义， 对于区间 I 内任 意两点 x 1， x 2，当 x1 x2 时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 称 f ( x) 在 I 上单调增加，区间 I 称为单调增区间； 若 f ( x1 ) f ( x2 ) 则称 f ( x) 在 I 上单调减少，区间 I 称为单调减区间.
( x 3)( x 2) 0 ， x ≥ 3 或 x ≤－ 2 ，即 x 2 x 6 的定义域为 解得 (, 2] [3, ) ;
2x 1 2x 1 而使arcsin 有定义,必须满足∣ ∣≤1，即 7 7
－7≤2 x －1≤7 ，
解得
2x 1 即 arcsin 的定义域为[3, 4] . 7 于是，所求函数的定义域是 ［－3，－2］ [3，4］ .
解
-1
O
1
2
x
该分段函数的图形如上图所示．
定义 2 设 D 与 M 分别是两个数集，存在对应律 f , 若对 D 中的每一个数 x ，通过对应规律 f ，集合 M 中都有 唯一确定的数 y 与之对应 , 则称 y 为从 D 到 M 的函数 （也称为映射）,记作 f : D M ,其中 D 称为函数 f 的 定义域 , D 中的每一个 x 根据对应规律 f 对应于一个 y ， 记作 y = f ( x) , 称为函数 f 在 x 的函数值，全体函数 值的集合 M D w y y f ( x), x D M f 称为函数 f 的值域， x 称为 f 的自变量， y 称为因变量， 如右图所示．
1．函数的定义
定义 1 设有两个变量 x 和 y ， 若当变量 x 在非空 实数集 D 内，任意取定一个数值时，变量 y 按照一定的 规律 f ，有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数, 记作 y = f ( x) ， xD， 其中变量 x 称为自变量， 变量 y 称 为函数（或因变量） ．自变量的取值范围 D 称为函数的定 义域．
x
例 16 对函数 y x 2 ，问（１）该函数在其定义域 ( , ) 上 存在反函数吗？ （２）该函数在其定义域的子区间 [0, ) 上存在反函数吗？ （３）该函数在其定义域的子区间 (, 0] 上存在反函数吗？ 解 （１）由于对任意的 y [0, ) 时， x 在区间 (, ) 上都 有两个值 x y ，所以，函数 y x 2 在其定义域 (, ) 上不存在反 函数； （２）由于对任意的 y [0, ) 时， x 在区间 [0, ) 上有唯一的 值 x y 与其对应，所以，该函数在其定义域的子区间 [0, ) 上存 在反函数，即 x y ， x [0, ) ； （3）由于对任意的 y [0, ) 时， x 在区间 (, 0] 上有唯一的 值 x y 与其对应，所以，该函数在其定义域的子区间 (, 0] 上存 在反函数，即 x y ， x ( , 0] ． 由此可见，并不是每个函数在其定义域上都有反函数．一般 地，单调函数必有反函数．
例 9 设自变量 x 的取值范围为数集 A {4, 6, 3} ， 下列数 学结构给出了变量 y 与 x 的对应关系如下：
x
4 1 6 2 3 5 4 7
y
问该数学结构是否确定了是的函数？ 解 由于在题设所给的数学结构中，时， 变量有两个不同的值 1 和 7 与之对应，所以， 该数学结构不是函数.
f 1 ( f ( x)) x , x D, f ( f 1 ( y )) y , y A.
1
1 [ 例 14．函数 y 3x 1 的定义域是 3 , ) ，值域是 (0, ) ，按 1 [ y (0, ) 照 y 3x 1 ， 对应 中的每一个 都有 3 , ) 中的唯一的 x 与 1 2 x 之对应，即 3 ( y 1) ，则函数 y 3x 1 的反函数是 1 x ( y 2 1) ， y (, ) ． 3
y
x 2 π
f (
2 π π π ) sin( ) . π 2 2 2
例 3 设 f ( x +1)= x 2-3 x ，求 f ( x) .
解 令 x 1 t ，则 x t 1,