数学知识点苏教版必修5高中数学1.2《余弦定理》word教学设计1-总结

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1.2余弦定理(3)教案高中数学必修五苏教版(word版)

听课随笔第6课时余弦定理（3）【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状平面几何中的某些问题余弦定理学习要求1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B ac c a b cos 2222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=.(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，ac2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】【例1】在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CBA c b a +=+ （2）)cos cos cos (2222C abB ca A cb c b a ++=++ 分析：【解】（1）根据正弦定理，可设 Aa sin = Bb sin = Cc sin = k显然 k ≠0，所以左边=C k Bk A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =CBA 222sin sin sin +=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bc a c b 2222-++ca cab ac 2222-++ababc b a 2222-+) =(b 2+c 2-a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2) =a 2+b 2+c 2=左边【例2】在ABC ∆中，已知acosA = bcosB用两种方法判断该三角形的形状. 分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。

【解】方法1o（余弦定理）得a ⨯bc a cb 2222-+=b ⨯cab ac 2222-+∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+∴22222b a c b a +==或∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.方法2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B,或2A+2B=180︒ ∴A=B 或A+B=90︒∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。

数学知识点苏教版高中数学(必修5)1.2《余弦定理》word学案2篇-总结

余弦定理（一）一自主学习阅读教材第13到15页练习前的内容。

1理解用向量的数量积证明余弦定理的方法。

，2.掌握并熟记余弦定理。

3.能运用余弦定理及其推论解三角形。

学习重点：余弦定理的理解及应用难点：由数量积证明余弦定理二、学法指导1.余弦定理揭示了任意三角形的边角关系，其证明的方法有向量法，解析法和几何法。

2.余弦定理适用的题型：（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理必有一解3.余弦定理适用于判断三角形的形状。

三、课前预习1余弦定理：222____________________________________________________________________________________a b c ===2余弦定理的推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C ===3用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题已知三边，求已知和它们的，求第三边和其他两个角。

4 （1）已知060,1,3===A c b ，求a ；（2）已知6,5,4===c b a ，求cosA.四深入学习例1（教材14P 例2应用题）例２用余弦定理证明：在ABC 中，当C ∠为锐角时，222a b c +>；当C ∠为钝角时，222a b c +<五当堂检测1. 在ABC ∆中，（1）已知60A =,4,7b c ==，求a ；（2）已知7,5,3a b c ===，求A2．在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小.３若三条线段的长分别为５，６，７，则用这三条线段可以组成＿＿＿三角形．六基础达标1．在ABC ∆中，)())((c b b c a c a +=-+，则=A ______2. 在ABC ∆中，已知1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦值是______３a 7b c ==已知，_________.４用余弦定理证明：在a bcos ccos .ABC C B =+中，课后研究题：已知三角形的两边和其中一边的对角，能不利用余弦定理求出其余的边和角？给出一个令你自己满意的结论。

高中数学 1.2《余弦定理(2)》教案苏教版必修5

第 4 课时： §1.2 余弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=- 例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。

四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a r ,=−→−AC b r ，且|a r |2=,|b r |3=,a r •b r 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则a c b c b a +++的值等于________3.已知a b a ,6,13=+=边上的中线，2338-=a m ,则_____=c 4.已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形ABCD 的面积五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。

苏教版高中数学必修五余弦定理教案(2)

听课随笔第2课时余弦定理【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状航运问题中的应用余弦定理学习要求1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；3．初步利用定理判断三角形的形状。

【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)_______________________，_______________________，_______________________. (2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）_______________________________；（２）______________________________．【精典范例】【例1】在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN u u u r为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？【解】【例2】在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．【解】【例3】如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．【证明】追踪训练一1. 在△ＡＢＣ中，如果C B A sin :sin :sin ＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（）．Ａ．32Ｂ．32- Ｃ．31- Ｄ．41- 2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上听课随笔６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．【选修延伸】【例4】在△ABC中，设3332a b cca b c+-=+-，且3sin sin4A B=，请判断三角形的形状。

苏教版高中数学必修5同步讲义 1.2余弦定理

§1.2 余弦定理情景引入我们在社会生活中经常会遇到一些工人在开山、凿路、铺桥等，由于某些实际情况不好去直接测量，如开隧道，想知道隧道的长度；如铺桥，河很宽又要知道桥的长度，等等．就象隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A ，量出A 到山脚B 、C 两点间的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC （即线段BC ）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC ．知识技能详解知识点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- 余弦定理的推论：222os 2b c a c A bc +-=，222cos 2c a b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-= 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角．温馨提示：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．知识点2 余弦定理的证明教材中给出了用向量证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的作用，另外，还可以用解析法、三角法等证明余弦定理．证明1：如图1-2-1，以A 点为原点，以△ABC 的边AB 所在直线为x 轴，以过A 与AB 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则(0,0)A ，(cos ,sin )C b A b A ，(,0)B c ，由两点间的距离公式得222(cos )(sin 0)BC b A c b A =-+-，222222cos 2cos sin a b A bc A c b A =-++即2222cos a b c bc A =+-同理可证2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- 证明2：如图1-2-2，当△ABC 为锐角三角形时，过C 作CD AB ⊥于D ，则sin CD b A =，cos BD AB AD c b A =-=- 在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+即2222sin (cos )a b A c b A =+-整理得2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b ac ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- A BD C b a c 1-2-1当△ABC 为钝角三角形时，如图1-2-3,sin CD b A =，cos BD b A c =-在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+ 2222(cos )a b sin A b A c =+-，即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-证明3：由正弦定理，得2sin 2sin()a R A R B C ==+，∴2224sin ()a R B C =+224(sin R B =2cos C 22cos sin 2sin sin cos cos )B C B C B C ++24R =2222sin (1sin )(1sin )sin 2sin sin cos cos B C B C B C B C ⎡⎤-+-+⎣⎦2224sin sin 2sin sin cos()R B C B C B C ⎡⎤=+++⎣⎦ 22224sin 4sin R B R C =+2(2sin )(2sin )cos R B R C A -222cos b c bc A =+-，同理可证：2222cos ,b a c ac B =+-2222cos c b a ba C =+-方法点拨：对于余弦定理的证明方法可以由正弦定理的证明来类比，由正弦定理的证明思路（通过向量）来推导出余弦定理的证明，其中关键是如何将向量等式BC BA AC =+ 转化为数量关系，实际上除了向量方法以外，我们还有好多种方法，如以上的几种方法，所以在解决问题的时候要多注意方法和思路的总结．知识点3 利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．例如：在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c a c b a +++=，求ABC ∆的最大内角．解：设4b c k +=，5a c k +=，6b a k +=(0)k >，则7.5a b c k ++=，解的 3.5a k =，2.5b k =， 1.5c k =所以a 是最大的边，即角A 是ABC ∆的最大角．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==- ，000180A << ，0120A ∴=即最大角为0120．温馨提示：(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．(2)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．知识点4 利用余弦定理判断三角形的形状．利用余弦定理可以确定三角形每个内角的范围，因此很快就能判断三角形是锐角三角形或是直角三角形或是钝角三角形．在判断的过程中我们一般先找到最大角，（即最大边所对应的角），再判断这个最大角AB DC b ac 1-2-3是锐角，直角还是钝角．例如：在ABC ∆中，已知7a =，10b =，6c =，判断ABC ∆的形状．解：因为ABC ∆中最大边为b ，所以我们先确定角B 的范围，由余弦定理2225cos 228a cb B ac +-==-可知：在ABC ∆中，000180B <<；0090180B <<，所以ABC ∆为钝角三角形．规律总结：（1）由余弦定理还可以推得：若222a b c +>，C 为锐角，若222a b c +<，C 为锐角．这是判断三角形形状的方法之一．（2）在2222cos c a b ab C =+-中，若090C =，则222c a b =+，所以勾股定理可以看成是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．知识点5 三角形中最值的求法解决三角形中的有关最值问题的关键在于：利用正弦定理或余弦定理，三角恒等变换思想将有关问题转化为某一个角的三角函数，或某一边的函数，进而求出其最值．例如：已知圆O 的半径为R ，它的内接△ABC 满足222(sin sin )R A C -)sin b B =-，求△ABC 面积的最大值．分析：先可将已知等式转化为边的关系式，再由边的关系式的结构特征联想到正余弦定理可求角C ，最后利用三角函数的有界性确定面积的最大值．解：利用正弦定理可将已知等式变为22)a c b b -=-即222a b c +-=∴222cos 2a b c C ab +-== ∴4C π=∴1sin 2S ab C = 12sin 2sin 2R A R B =⋅⋅2sin sin A B =2[cos()]22R A B =----∴当A ＝B 时，S 有最大值212R +．警示区：在运用正、余弦定理求解最值问题时，有时要注意三角函数的有界性，否则会导致范围的变化；有时还要用到函数的单调性、不等式的基本性质等．知识点6 余弦定理的综合应用把余弦定理与正弦定理、三角形的面积相结合可解决三角形、四边形中的证明和计算问题．技能应用导引题型一：余弦定理的简单应用1．解三角形例1 在△ABC 中，已知2,22,15a b C ===︒，求角A 、B 和边c 的值．【分析】：由条件角C 为边a ，b 的夹角，故应由余弦定理来求c 的值．【解】62cos15cos(4530)4+︒=︒-︒=由余弦定理知，2222cos c a b ab C =+-4822(62)=+-⨯+843=-∴2843(62)62c =-=-=- 由正弦定理得sin sin a c A C= sin sin a C A c =sin15a c ︒=62214262-⨯==- ∵b a > ∴A 为锐角 ∴30A =︒ ∴180135B A C =︒--=︒【评注】利用余弦定理可以解决两类解斜三角形的问题：⑴已知三边，求三个角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．变式练习1. 在△ABC 中，已知20,10,45a b C ===︒，解三角形（边长精确到1，角度精确到1︒）．变式练习2．在ABC ∆中，已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．例2、在四边形ABCD 中，,2BC a DC a ==，四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求AB 的长．【分析】如图1-2-4，要求AB 的长，需把AB 放到三角形中处理，为此连结BD ，由题设可求出角A 、B 、C 、D 的值，在△BCD 中，由余弦定理可求出BD ，进而解△BCD ，求AB ．【解】设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3,7,4,10(0)x x x x x >，则由四边形的内角和定理，有37410360x x x x +++=︒，解得15x =︒．∴45A =︒，105ABC ∠=︒，60C =︒，150ADC ∠=︒ 连结BD ，在△BCD 中，由余弦定理，得 2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅222142232a a a a a =+-⋅⋅= ∴3BD a = 此时，222BC BD CD +=，∴△CBD 为直角三角形，90CBD ∠=︒，30BDC ∠=︒在△ABD 中，45A =︒，120ADB ∠=︒由正弦定理知sin sin AB BD ADB A =∠，sin 32sin 2BD ADB AB a A ∠== ∴AB 322a ABCD 1-2-4【反思】本题要求在四边形ABCD 中求边AB 的长，需构建三角形，通过解三角形解决，本题中求ADB ∠的度数是关键，要善于挖掘隐含条件222BC BD CD +=，如果不能发现这一条件，也可通过余弦定理求出BDC ∠的度数．变式练习3．在四边形ABDC 中，3CD =，75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，求AB 的长．变式练习4．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，求a.例3．在△ABC 中，A 最大，C 最小，且2A C =，2a c b +=，求此三角形三边之比．【分析】要求三边之比，已知角A 与角C 的关系，可由正弦定理求cos 2a C c=，再由余弦定理得出a 、b 、c 的关系，结合2a c b +=的条件，使问题解决．【解】在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a c A C =，sin 2cos sin a A C c C ==，即cos 2a C c= 由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-= ∵2b a c =+ ∴2221()4222a c a c a a c c a -++=+⋅ 整理得，222530a ac c -+=，解得a c =或32a c = ∵A C > ∴a c >，∴a c =不合题意．当32a c =时，15()24b ac c =+= ∴35::::6:5:424a b c c c c == 故此三角形的三边之比为6:5:4 【评注】在应用正、余弦定理解三角形时，常用到三角函数的有关公式，体现了它们之间的联系，本题中通过解方程求a 、c 的关系，体现了余弦定理与方程的联系．变式练习５．已知三角形的三边长为三个连续自然数，且最大角为钝角，求三边的长．变式练习６．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0，求这个三角形的最大内角．2．判断三角形的形状例4 在△ABC 中，已知7,10,6a b c ===，判断ABC 的形状．【分析】△ABC 的最大边由b 和角B 的范围决定，故问题转化为求角B 的范围．【解】由余弦定理知222cos 2c a b B ac+-=2227610276+-=⨯⨯528=-在△ABC 中，0180B ︒<<︒∴90180B ︒<<︒ ∴△ABC 为钝角三角形．【评注】对于判断三角形的形状，一般从两个方面：一是角化边，通过余弦定理来判断；二是边化角，结合三角形的内角和定理，判断其中的最大角。

苏教版高三数学必修五《余弦定理》教案及教学反思

#苏教版高三数学必修五《余弦定理》教案及教学反思##引言高中数学教育是学生数学思维和能力的重要基础。

而教学过程的品质对学生的学习结果影响重大。

本教学反思主要讨论苏教版高三数学必修五《余弦定理》的教学案例以及反思。

##教学目标1.知道余弦定理的基本形式。

2.掌握余弦定理的应用。

3.掌握斜三角形的三角函数计算。

##教学资源1.课程教材：苏教版高三数学必修五。

2.教学媒体：教师机、投影仪等。

3.学习工具：学生课本、笔记本等。

##教学过程###引入在讲解余弦定理之前，首先让学生自己找规律，相信大家都会欣赏这种探索的方式。

引导学生发现的过程就是下面这个问题：假设在一个直角三角形中，斜边的长度为10，斜边上一点到直角边的距离是6。

现在让你求出斜边上另一个点到直角边的距离。

这个问题一出来，很多同学可能不知道怎么做，或者说觉得这个问题根本没有办法解决。

这时教师可以引导学生分析，将问题分解成多个子问题，经过不断的思维，最终得出答案。

###主体余弦定理的公式是很简单的：$c^2=a^2+b^2-2ab\\cos C$。

然而，在讲解公式时，我们经常可以发现学生的 confusion和疑惑。

这时就可以采用借助图形的方式来帮助学生理解。

例如，让同学绘制出图1-1：图1-1A/|\\b / | \\/ | \\B------- Ca c然后，提出假设题目为：“在一个斜边长度为c=10、夹角为 $C=120^\\circ$ 的三角形中，若分别以a,b表示另外两个边长，则 $\\cos C=$ ？”，然后按照如下步骤引导学生思考：•如何求a和b；•带入公式求 $\\cos C$。

这种联系结合了以图形帮助学生理解公式的方法、以问题引导学生思维的方法，最终能够让学生更详细地理解余弦定理的应用。

###总结在教学过程中，我们通过组织学生自己探索规律的方式引出问题，在图形化的帮助下让学生更加深入地理解了余弦定理。

此外，在教材中补充其他的实例，不断强化和巩固学生对余弦定理公式的记忆和应用。

苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理的应用要点解读文字素材

高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理要点解读一、正弦定理1．正弦定理及其证明在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==．课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：当ABC △为锐角三角形时（如图所示），过点A 作单位向量i 垂直于AB ，因为AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以()AC AB BC AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ····i i i i ，cos(90)0cos(90)b A a B -=+-°°，即sin sin b A a B =，得sin sin a b A B=．当ABC △为钝角或直角三角形时也可类似证明．2．正弦定理常见变形公式（1）sin sin sin sin b A c A a B C ==，sin sin sin sin c B a B b C A ==，sin sin sin sin a C b C c A B==；（2）::sin :sin :sin a b c A B C =；（3）2sin 2sin a R A b R B ==，，2sin c R C =（R 为ABC △外接圆的半径）；（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（5）sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++．注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．3．正弦定理的运用利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．二、余弦定理1．余弦定理及表达式三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-．注：余弦定理反映了a b c A B C ，，，，，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．2．余弦定理的另一种表达形式222cos 2b c a A bc+-=； 222cos 2c a b B ac+-=；222cos 2a b c C ab+-=；注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．3．余弦定理的运用利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．注：这两类问题在有解时都只有一个解．4．勾股定理和余弦定理的区别与联系勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．三角形形状的判定根据条件判断三角形的形状，是一类常见的解斜三角形问题．本文介绍几种常用解法，以供参考．一、利用向量的模，或利用向量的夹角来判定例1 在ABC △中，设BC CA AB ===u u u r u u u r u u u r ，，a b c ，若==ab bc ca ，判断ABC △的形状．解：∵++=0a b c ，∴ +=-a b c ，22()()+=-a b c ，即2222++=a b a b c ·，同理有：2222++=b c b c a ·，两式相减有：22222()-+-=-a c ab bc c a ··， ∵=a b b c ··，∴22=a c ．即=a c ，同理：=a b ，即==a b c ，故ABC △为等边三角形．注：我们还可以利用向量的夹角来判断．提示：以BA BC ，为平行四边形的两邻边，作ABCD Y ，由=a b b c ··知()0-=ba c ·，即0CA BD =u u u r u u u r ·，即CA BD ⊥，所以ABCD Y 为菱形，故BA BC =，同理可得AB AC =．二、利用正、余弦定理来判断边或角的关系一般地，对于给出的边、角关系混合在一起的问题，利用正、余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系，再利用三角形的有关知识及三角恒等变形等来解决．例2 在ABC △中，若2cos sin sin C A B =，则ABC △的形状一定是（）（A ）等腰直角三角形（B ）直角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形解析：∵2cos sin sin C A B =，∴ cos 2b C a =．又由余弦定理，知222cos 2a b c C ab +-=．∴a c =，故选（C ）．三、利用三角变换例3 在ABC △中，若sin sin cos cos A B A B <，则此三角形是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）等腰三角形解析：由条件知cos cos sin sin 0A B A B ->，即cos()0A B +>，所以π02A B <+<，所以ππ2C <<，故选（C ）．那么可不可以利用三角变换来解决例2呢？提示：∵π()B A C =-+，∴sin sin()B A C =+． ∴2cos sin sin cos cos sin C A A C A C =+．故sin()0A C -=，即A C =．例4 在ABC △中，若sin sin sin cos cos sin cos cos 2A B A B A B A B +++=，则ABC △是（）．（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形解析：由已知，得cos()sin()2A B A B -++=，又cos()1A B -≤，sin()1A B +≤，故cos()1A B -=且sin()1A B +=，即A B =且90A B +=°，故选（C ）．评注：本题是利用了正、余弦函数的有界性来解决．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.2.1 余弦定理》5

“余弦定理〞教学设计方案镇江市实验高级中学杨勇一、课题：余弦定理〔苏教版必修5第一章第2节〕二、教学内容分析余弦定理是“纵横〞知识网络上的一个重要结点，纵向开展的知识：勾股定理——余弦定理——秦九韶公式——海伦公式；横向联结的知识：和角公式、正弦定理及三角形面积公式．余弦定理承前的根底知识有勾股定理、向量根底知识、三角函数定义、诱导公式、和角公式、正弦定理及三角形面积公式，这些都是建立余弦定理的知识储藏，后续的知识有正余弦定理的应用及其拓展内容秦九韶公式与海伦公式．同时，余弦定理可推导证明和角公式、正弦定理等，使三角内容紧密联结成一个完整的知识体系．余弦定理是三角函数模块和平面向量模块在三角形中的具体运用，是解决生产、生活实际问题及可转化为三角形计算问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值．本节课是“解斜三角形〞教学的第二课时，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课〞．三、教学目标1知识与技能〔1〕通过两颗星之间的距离，感受余弦定理来自于现实世界、从实际生活中提炼出数学的过程，以此培养学生的数学应用意识；〔2〕通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析几何和三角方法等多种途径证明余弦定理；2过程与方法〔1〕理解余弦定理的两种表示形式，初步了解余弦定理的两种形式之间的关系；〔2〕通过学生动手操作、提出问题、解决问题的过程，提高学生运用余弦定理解决问题的能力；3情感态度价值观体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，让学生获得发现的成就感，在质疑、交流、合作中形成良好的数学思维品质．三、教学重点与难点对于三角形边角关系的探索过程，是学生在问题引导下，尝试问题解决，提升自信的心理历程，本节课的终结点是余弦定理纳入学生的知识结构之中，培养学生的数学应用意识，因此课堂教学的重点确立为：余弦定理的发现与证明．要获取余弦定理的关键是引入向量或建立适当的直角坐标系，这从学生的认知能力来讲，是一个较难的问题，因而，本堂课的难点确立为：余弦定理的建立．在突破难点上，采用探究式提问策略，通过解直角三角形、向量及建立直角坐标系的根底知识〔注：建立直角坐标系的方法根据学生的接受能力而定〕，使难点在学生递进式的解答过程中，层层突破，并领悟数学知识的内在联系．四、教学过程：〔一〕创设情境1 牵牛星A和织女星B分别距离地球C约17光年和26光年，从地球上观测这两颗星的张角为340，求牵牛星和织女星之间的距离〔精确到光年,其中COS340=〕设计意图：通过问题情境的创设，激发学生的兴趣，在学生发现AB无法具体测量后，转而想到正弦定理，进而发现该问题不符合正弦定理能解决的两种类型，一时激起强烈的认知冲突。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.2 余弦定理》

第29课余弦定理与解三角形1教学目标: 1能运用正，余弦定理解三角形重点：正，余弦定理的应用难点：在解决实际问题时，两种定理的灵活选取是难点教学过程一：激活思维1在△ABC中，若a∶b∶c=2∶3∶4，则co C=2在△ABC中，若a=2，b=2，c=2，则角A=3在△ABC中，已知abcbc-a=3bc，那么角A=4在△ABC中，已知c=2a co B，那么△ABC的形状为三角形5在△ABC中，若a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积为二．分类解析结合余弦定理判断三角形的形状例1在△ABC中，已知ab co B-c co C=b2-c2co A，试判断它的形状【思维引导】已知条件等式中既有边又有角，因此考虑将边与角的混合关系转化为只含有边或者只含有角的关系，再作判断本题向边转化较容易变式在△ABC中，已知a co Ab co B=c co C，试判断△ABC的形状结合余弦定理解三角形例22021·宿迁一模已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=1若a=2，b=2，求c的值；2若tan A=2，求tan C的值【思维引导】1有关三边一角问题，首先考虑到余弦定理，求出边c；2利用两角和的正切公式求tan C变式在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a>c若·=2，co B=，b=3 1求a和c的值；2求co B-C的值结合正、余弦定理解三角形的面积问题例32021·陕西卷已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=a，b与n=co A，in B平行1求角A的大小；2若a=，b=2，求△ABC的面积变式2021·安徽卷设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求co A和a的值三．课堂作业1 2021·福建卷在△ABC中，若A=60°，AC=2，BC=，则AB=2 2021·苏北四市期末在△ABC中，已知AB=3，A=12021且△ABC的面积为，那么BC边的长为3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，=a，2in B=3in C，则co A=4 2021·广东卷设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，=2，c=2，co A=，且b<c，则b=5 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc=81若a=2，b=，求co C的值；2若in A co2in B co2=2in C，且△ABC的面积S=in C，求a和b的值四：小结高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式五．作业课堂作业第5题六．板书设计七．教后感。

2013高二数学必修五1.2《余弦定理》教案(苏教版)

1.2 余弦定理教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．教学重点：重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．教学过程：创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A ，B 两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．1. 构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C ，然后量出AC ，BC 的长度，再测出∠ACB ．△ABC 是确定的，就可以计算出AB 的长．接下来，请三位板演其解法．法1：（构造直角三角形）如图2，过点A 作垂线交BC 于点D ，则｜AD ｜＝｜AC ｜sin C ，｜CD ｜＝｜AC ｜cos C ，｜BD ｜＝｜BC ｜－｜CD ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜cos C ，所以， 22||||||BD AD AB += C BC AC BC AC cos ||||2||||22⋅⋅-+=．法2：（向量方法）如图3，因为AB AC CB =+，C所以，22()AB AC CB =+222cos(),AC CB AC CB C π=++⋅⋅- 即 C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．法3：（建立直角坐标系）建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC ｜cos C , ｜AC ｜sin C ），B （｜BC ｜, 0），根据两点间的距离公式，可得22)0sin |(||)|cos |(|||-+-=C AC BC C AC AB ，所以，C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．活动评价：师生共同评价板演．2. 追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边长，则有C ab b a c cos 2222-+=成立．类似的还有其他等式， A cb b c a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C 进行分类讨论，即分角C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等．探幽入微，深化理解．C问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？学生活动：勾股定理是余弦定理的特例．反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 222c b a >+，222c b a <+；C ab b a c cos 2222-+=是边长a 、b 、c 的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会 “正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=． 3. 学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，求角C ．2．（1）在△ABC 中，若045,6,13==+=A c b ，解这个三角形．（2）在△ABC 中，1,60,30===c B b ，求a ．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式abc b a C 2cos 222-+=；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决．思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．。

苏教版高中数学必修五余弦定理学案(1)(1)

§1.2 余弦定理（1）一、学习目标：1.理解用向量的数量积证明余弦定理的方法；2.掌握并熟记余弦定理；3.能运用余弦定理及其推论解三角形。

二、学法指导1.余弦定理揭示了任意三角形的边角关系，其证明的方法有向量法，解析法和几何法。

三、课前预习（1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于的积的两倍，即222____________________________________________________________________________________a b c ===（2）余弦定理的推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C ===（3）用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题①已知三角形的三边，求② 已知和它们的，求第三边和其他两个角。

四、课堂探究余弦定理的证明及理解：想一想：(1)余弦定理与勾股定理有什么关系？(2)直接应用余弦定理可解决什么样的问题？五、数学应用题型1已知三角形的三边解三角形【例1】已知△ABC 中，（1）6,5,4===c b a ，求A ；（2）边长为875，，的三角形中，求最大角与最小角的和（3）a ：b ：c ＝2：6：(3＋1)，求△ABC 各角的度数．规律归纳此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)．题型2已知三角形的两边及夹角解三角形【例2】在△ABC 中，（1）已知060,1,3===A c b ，求a ；（2）已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A.规律归纳已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)方法一：①利用余弦定理求出第三边；②利用正弦定理求出一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角．方法二：①利用余弦定理求出第三边；②利用余弦定理求出一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角．此时方法一中②通常需要分类讨论，因此建议应用方法二解三角形．题型3已知三角形的两边及一边对角解三角形【例3】在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求边a.规律归纳用正弦定理解三角形时要注意解的个数，往往需要讨论边角关系，而用余弦定理求角时，结果是钝角、直角还是锐角从余弦值的正负情况便可以判断出来；如果求边则类似于本题，一般可借助一元二次方程求解，它的根的个数即是三角形解的个数．特别地，已知三角形一角，往往利用余弦定理建立等量关系，利用方程解决较方便，如本题解法二．六、巩固训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.下列等式不成立的是( )A ．2a ＝2b ＋2c －2bccosAB ．2b ＝2c ＋2a －2accosBC ．cosA ＝bc a c b 2222-+D ．cosC ＝aba cb 2222++2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，则cosB 等于( )A.58B.6524C.1920 D ．－7203．在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，B ＝60°，则AC ＝________.4．在△ABC 中，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝6，则边BC 上的中线AD 的长为________．5．在△ABC 中，(1)若b ＝3，c ＝1，A ＝60°，试求a ；(2)若a ＝3，b ＝1，c ＝2，试求A.6.用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222a b c +>；当C ∠为钝角时，222a b c +<七、反思总结1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边。

高中数学第一章解三角形 1.2 余弦定理教案1 苏教版必修5(2021年整理)

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余弦定理学过程设计一、自学评价1．余弦定理:（1）2a，，（2) 变形：Acos，，思考：利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题(１）_______________________________；（２）_______________________________．已知2=a，6=b，31+=c，求A、B、C．你能用向量的有关知识证明这组公式吗？练习：学案1，2，3教教学二次备课学过程设计例题剖析例1. 在ABC∆中，（1)已知3b=,1c=，060A=，求a；例2、用余弦定理证明：在ABC∆中,当C∠为锐角时，222cba>+；当C∠为钝角时，222cba<+．例3、,A B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C,mCA180=，mCB120=060=∠ACB，求,A B两地之间的距离（精确到1m）．三、课堂小结1、余弦定理及其证明;2、能初步运用余弦定理解斜三角形．学生练习：学案：5，76，9板演，课外作业见学案教学小结。

高中数学 (余弦定理)教案5 苏教版必修5 教案

余弦定理教案教学目的1．使学生掌握余弦定理及其证明方法．2．使学生初步掌握余弦定理的应用．教学重点与难点教学重点是余弦定理及其应用；教学难点是用解析法证明余弦定理．教学过程设计一、复习师：直角△ABC中有如下的边角关系(设∠C=90°)：(1)角的关系A+B+C=180°．A+B=90°．(2)边的关系c2=a2+b2．二、引入师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．如图1，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2．如图2，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2＞a2+b2．经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2，那么c2与a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考．如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．所以，AB2=AD2+BD2化为c2=(b－acosC)2+(asinC)2，c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2－2abcosC．我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系．从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．下面请同学们自己动手推导结论．如图4，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D．△ACB是两个直角三角形之差．在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．所以AB2=AD2+BD2化为c2=(AC+CD)2+BD2=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)=b2+2abcos(π－C)+a2．因为cos(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC．这里∠C为钝角，cosC为负值，－2abcosC为正值，所以b2+a2－2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．从以上我们可以看出，无论∠C是锐角还是钝角，△ABC的三边都满足c2=a2+b2－2abcosC．这就是余弦定理．我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到a2=b2+c2－2bccosA．b2=c2+a2－2accosB．三、证明余弦定理师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．我们仍就以∠C为主进行证明．如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．请同学们分析B点坐标是怎样得来的．生：∠ACB=∠C，CB为∠ACB的终边，B为CB上一点，设B的坐标为(x，师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：a2=b2+c2－2bccosA．c2=a2+b2－2abcosC．b2=a2+c2－2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为四、余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．解由余弦定理可知Bc2=Ab2+Ac2－2AB×AC·cosA所以BC=7．以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用．五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．六、应用举例例1 在△ABC中，求证c=bcosA+acosB．师：请同学们先做几分钟．生甲：如图6，作CD⊥AB于D．在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．而c=AD+DB，所以c=bcosA+acosB．师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论．生乙：他的证法有问题，因为作CD⊥AB时垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延长线上时，c≠AD+DB，而c=AD－DB．师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？生丙：还不够．因为作CD⊥AB时，垂足D还可以落在B处．师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的延长线上；A点或B点处．我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了．请大家借用余弦定理证明．生：因为acosB+bcosA所以c=acosB+bcosA．师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论．你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？生：因为余弦定理本身适用于各种三角形．例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面积．师：我们通常求三角形的面积要用公式这个题目，我们应该如何下手呢？生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式．解因为a=4，b=3，c=2，所以由sin2A+cos2A=1，且A为△ABC内角，得例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长．请同学们先设计解题方案．生甲：我想在△ABC中，已知三边的长可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD．师：这个方案很好．请同学很快计算出结果．解设D为AB中点，连CD．在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解决．已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解决，但我不知怎样求cos∠CBE．师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点．(学生开始议论．)生丙：连接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边形，可得AC ∥BE，∠CBE与∠ACB互补．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互补关系解出cos ∠CBE．师：大家看看他讲得好不好．请大家用第二套方案解题．解延长CD至E，使DE=CD．因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形．所以BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得在△CBE中，这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的．七、总结本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法．它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数．余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题．注意在(0，π)X围内余弦值和角的一一对应性．若cos A＞0，则A 为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法．请大家解决问题时要考虑全面．如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等．八、作业5．已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状．课堂教学设计说明1．余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视．本内容安排两节课适宜．第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用．2．当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性．。

(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2 余弦定理(第1课时)教案苏教版必修5

1.2余弦定理第1课时余弦定理(1)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；(2)能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；(3)通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一．2.过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．3．情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；(2)通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．●重点、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用．难点：向量方法证明余弦定理．为了突出重点、分解难点，可引导学生把两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角．再由边长的几种求法引出向量(向量的模就是线段的长度)．(教师用书独具)●教学建议1．本节课教学时应始终注意培养学生的问题意识．课题引入中提出在三角形中两边及夹角时，如何解三角形．随着问题的解决而引出本节研究的余弦定理，然后再通过向量知识给予证明，引起学生对应用向量知识解决问题的兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处．2．在运用向量的方法证明余弦定理的同时，还应注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第6页)课标解读1.了解向量法证明余弦定理的过程．(难点)2．掌握余弦定理，会用余弦定理解决一些简单的三角形问题．(重点)余弦定理[问题导思] △ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，C ＝60°. 1．能否直接利用正弦定理求AB? [提示] 不能．2．能否利用平面向量求边AB ？怎么求？ [提示] 能．因AB →＝AC →＋CB →，∴|AB →|2＝|AC →|2＋|CB →|2＋2AC →·CB →＝|AC →|2＋|CB →|2－2|AC →||CB →|cos ∠ACB ＝4＋9－2×2×3 cos 60°＝7. ∴|AB →|＝7.3．根据问题2的推导方法，能不能用b ，c ，A 表示a? [提示] 能． 1．余弦定理(1)三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)余弦定理也可以写成如下形式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)三边，求三个角；(2)两边和它们的夹角，求第三边，进而求出其他两角.(对应学生用书第7页)三角形三边，解三角形△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．[思路探究] 判断最大内角→利用余弦定理求余弦→由余弦求角 [自主解答] ∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－3722×3×4＝－12，∴C ＝120°，∴△ABC 的最大内角为120°.1．三角形三边求三内角，应用的是余弦定理的变形形式，本例中“求最大内角〞，应依据“大角对大边〞确定．2．应用余弦定理求三角形内角时，与利用正弦定理有所不同，由于y ＝cos x 在(0，π)内单调，因此角由余弦值惟一确定，不需要分类讨论．△ABC 中，假设sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为________． [解析] ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，∴a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴角C 为最大内角，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴C ＝120°. [答案] 120°两边及其夹角，解三角形在△ABC 中，a ＝2，b ＝22，C ＝15°，解此三角形．[思路探究] 15°＝45°－30°→求cos 15°，sin 15°→余弦定理求c →正弦定理求A →求角B[自主解答] cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝6－24. 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22(6＋2)＝8－43， ∴c ＝8－43＝6－ 2. 由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°. ∵b ＞a ，∴B ＞A .∴A ＝30°，B ＝180°－(A ＋C )＝135°.1．本例解法不只一个，求出边长c 后，也可利用余弦定理求角A ，避免角的取舍． 2．两边及其夹角，三角形惟一确定，不存在解的个数的讨论．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A .[解] 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos 45°＝8， ∴b ＝2 2.下面用两种方法求A . 法一由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A ＝60°. 法二由正弦定理，得sin A ＝a b sin B ＝2322sin 45°＝32，∵(6＋2)2＝8＋43，(23)2＝12，∴6＋2＞23，∴c ＞a ，∴0＜A ＜90°，∴A ＝60°.余弦定理的变形及应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，角B ，角C 所对的边，b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc.[思路探究] 对条件进行转化，对cos A 的表达式进行整体代换，求角A . [自主解答] 由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc 得b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa，又∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.1．当条件中出现关于边的二次式时，经常对条件转化变形，以便于利用余弦定理求解三角形．2．利用等式时，应注意对原式变换，整体代换，简化运算．(2013·某某高二检测)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，那么A 的取值X 围是________．[解析] 由及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc . 由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，即cos A ≥12.又0＜A ＜π，所以角A 的取值X 围为(0，π3]．[答案] (0，π3](对应学生用书第8页)忽略构成三角形的条件而致误在△ABC 中，三边的长为连续的自然数，且最大角为钝角，求这个三角形的三边的长．[错解] 设a ＝k ，b ＝k ＋1，c ＝k ＋2(其中k ∈N *)，由题意知cos C ＜0. 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＜0，即k 2＋(k ＋1)2－(k ＋2)2＜0. ∴k 2－2k －3＜0，解得－1＜k ＜3. 又∵k ∈N *，∴k ＝1或k ＝2. 当k ＝1时，三边长分别为1,2,3；当k ＝2时，三边长分别为2,3,4.∴这个三角形的三边的长分别为1, 2,3或2,3,4.[错因分析] 由于三边的长为连续的自然数，所以三边长分别用k ，k ＋1，k ＋2(k ∈N *)来表示，但解题时忽略了k，k＋1，k＋2能否构成三角形，只考虑到大边对大角，用余弦定理求解，从而产生错误．[防X措施] 在三角形中隐含条件较多，可能会因为不用心而导致错误，在利用余弦定理求三角形的三边时，先要判断一下三边能否构成三角形．[正解] 设a＝k，b＝k＋1，c＝k＋2(k∈N*)．由a＋b＞c，知k＋(k＋1)＞k＋2，即k＋1＞2，得k＞1，①由cos C＜0，得a2＋b2－c2＜0，即k2－2k－3＜0.解得－1＜k＜3，②由①②知1＜k＜3，又k∈N*，∴k＝2，∴a＝2，b＝3，c＝4，∴这个三角形的三边的长分别为2,3,4.1．基础知识：(1)余弦定理；(2)利用余弦定理解三角形．2．基本技能：(1)三边解三角形；(2)两边及其夹角，解三角形；(3)余弦定理的变形及应用．3．思想方法：(1)转化与化归思想；(2)三角代换；(3)边角互化.(对应学生用书第8页)1．在△ABC 中，假设a ＝c ＝2，B ＝120°，那么边b ＝________. [解析] b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝2 3. [答案] 2 32．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .a 2＝b 2－bc ＋c 2，那么A ＝________. [解析] ∵a 2＝b 2－bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°. [答案] 60°3．三角形的三边分别为4,6,8，那么此三角形为________． [解析] 设边长为8的边所对角为θ，那么cos θ＝42＋62－822×4×6＜0，∴θ为钝角，∴此三角形为钝角三角形．[答案] 钝角三角形4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a .[解] ∵a 2＋c 2－b 2＝2ac ·cos B ，∴a 2＋2－6＝22a ·(－12)，∴a 2＋2a －4＝0，∵Δ＝2＋16＝18＞0，∴a ＝－2±182，∵a ＞0，∴a ＝ 2.(对应学生用书第81页)一、填空题1．在△ABC 中，b ＝43，c ＝23，角A ＝120°，那么a ＝________. [解析] a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝84，∴a ＝221. [答案] 2212．(2013·如皋检测)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶1∶2，那么B 为________．[解析] cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋32－122×2×3＝32，∴B ＝30° [答案] 30°3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，那么AB →·BC →＝________.[解析] cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝7×5×cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.[答案] －194．(2013·某某高二检测)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．[解析] 设底边长为1，那么每腰长为2，由余弦定理得 cos θ＝4＋4－18＝78.[答案] 785．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，那么sin Bsin C 的值为________．[解析] 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A . 即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.[答案] 356．(2013·某某高二检测)在△ABC 中，B ＝120°.AC ＝7，AB ＝5，那么△ABC 的面积为________．[解析] 由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，∴BC ＝3或BC ＝－8(舍去)，故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝1534. [答案]15347．(2012·某某高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，那么角C ＝________.[解析] ∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴c ＝120°. [答案] 120°8．(2012·高考)在△ABC 中，假设a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，那么b ＝________.[解析] 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝22＋c 2－2ac ×(－14)，∴b 2＝4＋(7－b )2＋(7－b )，∴b ＝4. [答案] 4 二、解答题9．△ABC 中，边AB ＝3，AC ＝5且A ＝60°，求sin B 的值． [解] ∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60° ＝32＋52－2×3×5×12＝19，∴BC ＝19.∵AC sin B ＝BC sin A ，∴sin B ＝53857.10．在△ABC 中，假设c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 的长为72，求边长a .[解] 设BC ＝a ＝2x (x ＞0)，那么由余弦定理知cos ∠ADC ＝x 2＋722－722x ×72， cos ∠ADB ＝x 2＋722－422x ×72.∵∠ADC ＋∠ADB ＝π，∴cos ∠ADC ＋cos ∠ADB ＝0，即x 2＋722－727x ＋x 2＋722－427x＝0. 整理得(2x )2＝81即2x ＝9，故边长a 为9.11．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)假设c ＝3a ，求tan A 的值．[解] (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0＜B ＜π，∴B ＝π3. (2)法一将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714， ∵0＜A ＜π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 法二将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ，由正弦定理，得sin B ＝7sin A .∵B ＝π3，∴sin A ＝2114. 又b ＝7a >a ，∴B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.(教师用书独具)△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，求角C 的取值X 围．[思路探究] 不妨设边AC ＝x ，由余弦定理建立关于x 的二次方程，根据二次方程根的X 围建立不等关系求cos C 的X 围进而求C 的X 围．[自主解答] 设AC ＝x ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1＋2，x ＞2－1，∴1＜x ＜3.由余弦定理得x 2＋4－4x cos C ＝1，即x 2－4x cos C ＋3＝0.①∵方程①在(1,3)内有解，令f (x )＝x 2－4x cos C ＋3， ∴f (1)·f (3)＜0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＞0，f 3＞0，1＜4cos C 2＜3，Δ≥0，② 由①得48(1－cos C )2＜0，无解．由②得cos C ≥32，又0＜C ＜π，∴0＜C ≤π6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求B 的大小；(2)假设b ＝13，a ＋c ＝4，求a 的值．[解] (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴原式化为a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c，整理得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，又0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，13＝a 2＋(4－a )2－2a (4－a )·cos 2π3，即a 2－4a ＋3＝0.解得a ＝1或a ＝3.拓展探究正弦定理、余弦定理的关系正弦定理和余弦定理从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．在同一个三角形中，这两个定理又是等价的命题，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理．(1)由正弦定理推导余弦定理在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，那么 b 2＋c 2－2bc cos A ＝4R 2(sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A )＝4R 2[sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )]＝4R 2[(sin 2B －sin 2B sin 2C )＋(sin 2C －sin 2B sin 2C )＋2sin B cos B sin C cos C ]＝4R 2(sin 2B cos 2C ＋cos 2B sin 2C ＋2sin B cos B sin C cos C )＝4R 2sin 2(B ＋C )＝4R 2sin 2A ＝a 2.其中R 是△ABC 外接圆的半径．同理可证得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)由余弦定理推导正弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么a sin A ＝a1－cos 2A＝a 1－b 2＋c 2－a 224b 2c 2 ＝2abc 4b 2c 2－b 2＋c 2－a 22 ＝2abc a ＋b ＋c b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c. 同理可得bsin B＝2abc b ＋c ＋a b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ， c sin C ＝2abc c ＋a ＋bb ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ，所以asin A ＝b sin B ＝c sin C. 综上所述，正弦定理与余弦定理是等价的命题．因此，在解三角形中，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然．但是在遇到解三角形问题时，应首先分析条件，看该问题究竟属于哪一种类型，以决定采用哪一个定理，这样可以避免解题的盲目性，优化解题过程．所以，熟悉这两个定理所适用的解三角形的类型是很有必要的，这样就可以把解三角形问题解决得很好，在提高自身数学素养的同时更彰显特色．。

高中数学《余弦定理》教案1 苏教版必修5

听课随笔1.2 余弦定理第1课时知识网络三角形中的向量关系→余弦定理学习要求1．掌握余弦定理及其证明； 2．体会向量的工具性；3．能初步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，______________________，______________________.(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，___________________，___________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）_______________________________；（２）_______________________________．【精典范例】【例1】在ABC ∆中，（1）已知3b =，1c =，060A =，求a ；（2）已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．【解】点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【例2】,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测182,CA m =126,CB m = 063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）．【解】【例3】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．【证】点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．追踪训练一１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，求a ；（２）已知a ＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（）Ａ．能组成直角三角形Ｂ．能组成锐角三角形Ｃ．能组成钝角三角形听课随笔Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知222c ab b a =++，试求∠Ｃ的大小．４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？【选修延伸】【例4】在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.2.1 余弦定理》

余弦定理江苏省奔牛高级中学蒋亦【教学目标】知识与技能〔1〕掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；〔2〕理解余弦定理可解的三角形类型.过程与方法（1）通过复习引出问题，经历特殊到一般的过程探究余弦定理；（2）通过对余弦定理结构特征的观察，多角度证明余弦定理；（3）通过数学应用总结出余弦定理可解的三角形类型.情感、态度与价值观经历提出问题、探究问题、解决问题的过程发现余弦定理，在应用余弦定理过程中总结规律.以问题驱动课堂，激发学生学习热情，在探究中培养学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养，激发学生数学兴趣.教学重点：发现、证明和应用余弦定理教学难点：证明余弦定理【教学过程】复习引入前面学习了正弦定理，用正弦定理可以解两类三角形（1）两角一边 AAS,ASA〔唯一〕（2）两边及其一边对角 SSA〔不确定〕根据初中三角形全等的知识，还有那些类型的三角形也是确定的？〔SAA,SSS〕追问：能用正弦定理解吗？仅以SAS为例，比方，用正弦定理无法求解三角形.问题情境（1）在中,求;（2）在中,求.生：〔化归为直角三角形求解…〕追问：一般的，在中,如何表示生：〔化归为直角三角形求解…〕〔师板书〕余弦定理符号：追问1：你能否用文字语言表达上面表达式？文字：三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与他们夹角余弦积的两倍.追问2：仔细观察余弦定理的结构特征，怎样才能既迅速又准确的记住？生：…〔师小结〕等式左边是一边的平方，右边类似另两边差的完全平方展开式，但是乘积项多了这夹角的余弦值.追问3：两边及其夹角余弦的乘积，让你想起了哪个知识？〔数量积〕是哪两个向量的数量积？〔〕如何构造问题2.试用向量数量积知识证明：生：…（3）师：请用余弦定理求解问题情境〔2〕在中,求.〔小结〕余弦定理也可以写成如下形式：小结：余弦定理可以解决哪些类型三角形？生：〔1〕三边，求三个角；〔2〕两边及夹角，求第三边和其他两个角；〔3〕两边及其一边对角.追问：结合上节内容“正弦定理〞常见可解三角形类型及其方法？例1.两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离.练习3.〔1〕在中，，求角〔2〕在中，，求角例2.用余弦定理证明：当是锐角时，；当是钝角时，〔小结〕设是最长的边，那么在中，为直角，是直角三角形；为锐角，是锐角三角形；为钝角，是钝角三角形.课堂小结：这节课学了哪些数学知识和思想方法？1.一个定理，两种证法；一个推论，两种应用〔SAS,SSS〕；2.常见解三角形类型及其解法SSS——余弦定理 SAS——余弦定理 AAS,ASA——正弦定理 SSA——正弦〔或余弦〕定理可解三角形——三要素〔至少一边长〕；3.解三角形方法的本质是方程思想.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.2.1 余弦定理》1

余弦定理〔1〕【教材分析】“余弦定理〞是苏教版普通高中课程实验教科书〔必修5〕第一章“解三角形〞的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理〞内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

本节课是“余弦定理〞教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课〞。

【学情分析】在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。

在此根底上，教师可以创设一个“三角形两边及夹角〞来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。

在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜测，获得命题，再想方设法去证明。

在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。

教学目标：1 掌握余弦定理及其证明方法；2 初步掌握余弦定理的应用；3 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用．教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法：发现教学法．教学过程：一、问题情境在上节中，我们通过等式的两边与〔为中边上的高〕作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．．探索1 还有其他途径将向量等式数量化吗？二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段．因为〔如图1〕，所以即，同理可得，．上述等式说明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学ABC图1对任意三角形，有余弦定理：，，．探索2：回忆正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法．方法一：如图2建立直角坐标系，那么．所以．同理可证：，．方法二：假设是锐角，如图3，由作，垂足为，那么．所以，，即，类似地，可以证明当是钝角时，结论也成立，而当是直角时，结论显然成立．同理可证，．方法三：由正弦定理，得．所以图2 BCAD 图3．同理可证，．余弦定理也可以写成如下形式：，，．探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：〔1〕三边，求三个角；〔2〕两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用1．例题．例1 在中，〔1〕，求；〔2〕求最大角的余弦值．解〔1〕由余弦定理，得，所以．〔2〕因为，所以为最大角，由余弦定理，得．例2 用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．证明：当为锐角时，，由余弦定理得即；同理可证，当为钝角时，．2．练习．〔1〕在中，，求．〔2〕假设三条线段的长分别为5，6，7，那么用这三条线段〔〕A 能组成直角三角形B 能组成锐角三角形C 能组成钝角三角形D 不能组成三角形〔3〕在中，，试求的大小．练习答案：〔1〕〔2〕〔3〕五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：三边，求三个角；两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．。