第五章.一元一次方程总结

1 认识一元一次方程1．方程有关的概念(1)方程定义：含有未知数的等式叫做方程．如：2x＋1＝0，x＋y＝3.谈重点方程的两个条件①含有未知数，未知数可以是一个也可以是几个，一般用x，y，z等字母表示；②必须是等式．(2)方程的解和解方程方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．谈重点方程的解的判断判断一个数是不是方程的解，可以将这个数代入原方程验证，只要左、右两边的值相等就是该方程的解．解方程：求方程解的过程，叫做解方程．区别：方程的解是一个数值，而解方程是求方程解的过程．(3)一元一次方程定义：只含有一个未知数(元)，且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程．一般形式可表示为：ax＋b＝c(a≠0)，其中x 是未知数，a，b，c表示常数．判断一个方程是不是一元一次方程，关键看方程是否满足三个条件：(1)方程中含未知数的式子必须是整式；(2)只含有一个未知数(元)；(3)未知数的次数是1.如，x－2＝3x不是一元一次方程，因为方程中的分母中含有未知数；2x＋y＝1不是一元一次方程，因为方程中含有两个未知数；x＋12x2＝2不是一元一次方程，因为方程中未知数的最高次数是2.【例1】已知下列方程：①x＋1x＝2；②0.3x－2＝1；③3x2＝x－1；④3x2－2x＝1；⑤x＝2；⑥x－5y＝2，其中一元一次方程的个数是( )．A．2 B．3 C．4D．5解析：方程①中的分母中含有未知数x，所以它不是一元一次方程；方程④中未知数x的最高次数是2，不是1，所以它也不是一元一次方程；方程⑥中含有两个未知数，它们分别是x和y，所以也不是一元一次方程；由于方程②③⑤同时满足一元一次方程的三个条件，所以一元一次方程的个数是3，故选B.答案：B2．等式的基本性质(1)等式用等号“＝”表示相等关系的式子叫等式．(2)等式的基本性质等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．若A＝B，则A〒C＝B〒C.等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．若A＝B，且C≠0，则A〓C＝B〓C，AC＝BC.①运用等式的基本性质1时，等式两边要同时加上(或减去)同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系．比如，在等式2x－6＝0中，等式两边同时加上6，得2x－6＋6＝0＋6，即2x＝6；要防止在等式的一边加(或减)一个代数式，而在等式的另一边没有加(或减)这个代数式的情况发生．②运用等式的基本性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母．如，(a－5)x ＝7，等式两边同除以a－5，所得的等式x＝7a－5就不一定成立，因为当a＝5时，7a－5没有意义．【例2－1】下列各选项中，根据等式的性质变形正确的是( )．A．由－13x＝23y，得x＝2yB．由3x＝2x＋2，得x＝2C．由2x－3＝3x，得x＝3D．由3x－5＝7，得3x＝7－5解析：选项A中，等式两边同乘以3可得，－x＝2y，故选项A错误；选项B中，等式两边都减去2x，得x＝2，故选项B正确；选项C中，等式两边都减去2x，得－3＝x，即x＝－3，故选项C 错误；选项D中，等式两边都加5，得3x＝7＋5，故选项D错误．故选B.答案：B【例2－2】若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是( )．A．a＝b B．ma－6＝mb－6 C．－12ma＝－12mb D．ma＋8＝mb＋8 解析：仔细观察分析原等式与各选项中的等式的结构、系数有何变化，从而确定是应用了等式的哪条性质．显然选项B和D应用了等式的性质1；选项C是运用了等式的性质2；选项A中，只有当m≠0时，选项A才能成立，故选项A中的等式不一定成立．答案：A3．利用等式的基本性质解方程方程是含有未知数的等式，所以可以利用等式的基本性质解方程．利用等式的基本性质解一元一次方程，也就是通过正确的变形，将方程化成未知数的系数为1的形式，即x＝a的形式．步骤：(1)利用等式的基本性质1，在方程的两边都加上或减去同一个代数式，使方程左边只含有未知数，右边只含有常数；(2)利用等式的基本性质2，在方程的两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解．一元一次方程的几种形式及求解方法：①x＋a＝b：方程两边都减去a，得x＝b－a；②ax＝b(a≠0)：方程两边都除以a，得x＝b a ；③ax＋b＝c(a≠0)：方程两边都减去b，得ax＝c－b.再在方程的两边都除以a，得x＝c－b a.【例3－1】在解方程3x－3＝2x－3时，小华同学是这样解的：方程两边同加3，得3x－3＋3＝2x－3＋3.(1) 于是3x＝2x.方程两边同除以x，得3＝2.(2)所以此方程无解．小华同学的解题过程是否正确？如果正确，请指出每一步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正．分析：第(1)步符合等式的基本性质1，是正确的；第(2)步不符合等式的基本性质2，是错误的．因为根据等式的基本性质2，方程两边同除以一个数时，要在这个数不为0的前提下进行，事实上，x 是等于0的！解：小华同学的解题过程有错误．第(1)步是正确的，他是根据等式的基本性质1进行变形的；第(2)步是错误的，应改为：方程两边同减去2x，得3x－2x＝0.于是x＝0.【例3－2】解方程：(1)5x－8＝12；(2)4x－2＝2x.分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1，将方程变形为左边只含有未知数的项，右边只含有常数项，再利用等式的基本性质2，将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x＝20.方程的两边同时除以5，得x＝4.(2)方程的两边同时减去2x，得2x－2＝0.方程的两边同时加上2，得2x＝2.方程的两边同时除以2，得x＝1.4.方程与代数式及有关概念的综合运用方程常与代数式等有关知识结合来解决问题．(1)利用方程的解求代数式的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看成关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的值．【例4－1】已知x＝2是方程3x－a＝x＋1的解，试求代数式a＋5的值．分析：根据方程的解的定义可知，x＝2一定使方程左、右两边的值相等，可将x＝2代入方程3x －a＝x＋1，得到关于a的方程，解方程求出a，再求代数式的值．解：把x＝2代入方程3x－a＝x＋1，得6－a ＝2＋1，两边同时减去6，得－a＝－3，两边同时除以－1，得a＝3，当a＝3时，a＋5＝3＋5＝8.【例4－2】若方程23x3a＋2－4＝1是一元一次方程，则a＝__________.解析：由一元一次方程中未知数的指数是1，可知方程23x3a＋2－4＝1中x的指数3a＋2等于1，得到关于a的方程3a＋2＝1，再根据等式的基本性质解方程，得a＝－13.答案：－135．列简单的方程解决实际问题利用方程解决实际问题，关键是正确地列出方程．列方程就是根据题目中的等量关系列出一个含有未知数的等式．列方程的一般步骤：①设未知数(通常用x，y，z等字母表示)，分直接设和间接设两种，一般求什么就设什么；②分析已知量与未知量之间的关系，找出相等关系(或等量关系)；③列方程，即用含有未知数的代数式表示相等关系中左、右两边的量；④解答．【例5】育才中学七年级共有328名师生，十一黄金周组织秋游，需要租车．已知有2辆校车可乘坐64人，还需要租用44个座位的客车多少辆？分析：先找出题目中的相等关系，再根据相等关系列方程求解．本题的相等关系是：乘坐校车的人数＋乘坐客车的人数＝师生总人数．解：设还需要租用44个座位的客车x辆，则客车可坐44x人．根据题意列方程，得44x＋64＝328.方程的两边同时减去64，得44x＝264.方程两边同时除以44，得x＝6.答：还需要租用44个座位的客车6辆．2 求解一元一次方程1．移项法则(1)定义把原方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．例如：(2)移项的依据：等式的基本性质1.辨误区移项时的注意事项①移项是将方程中某一项从方程的一边移到另一边，不是左边或右边某些项的交换；②移项时要变号，不能出现不变号就移项的情况．【例1】下列方程中，移项正确的是( )．A．方程10－x＝4变形为－x＝10－4B．方程6x－2＝4x＋4变形为6x－4x＝4＋2C．方程10＝2x＋4－x变形为10＝2x－x＋4D ．方程3－4x ＝x ＋8变形为x －4x ＝8－3 解析：选项A 中应变形为－x ＝4－10；选项C 中不是移项，只是交换了两项的位置，正确的移项是－2x ＋x ＝4－10；选项D 中应变形为－4x －x ＝8－3，只有选项B 是正确的．答案：B2．解一元一次方程的一般步骤 (1)解一元一次方程的步骤去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数的系数化为1.上述步骤中，都是一元一次方程的变形方法，经过这些变形，方程变得简单易解，而方程的解并未改变．(2)解一元一次方程的具体做法【例2－1】 解方程：4x ＋5＝－3＋2x .解：移项，得4x －2x ＝－3－5. 合并同类项，得2x ＝－8. 系数化为1，得x ＝－4.【例2－2】 解方程65100(y －1)＝37100(y ＋1)＋0.1.分析：方程中既含有分母，又含有括号，根据方程的形式特点，还是先去分母比较简便．解：去分母，得65(y －1)＝37(y ＋1)＋10. 去括号，得65y －65＝37y ＋37＋10. 移项，得65y －37y ＝37＋10＋65. 合并同类项，得28y ＝112. 系数化为1，得y ＝4.点评：解一元一次方程，要注意根据方程的特点灵活运用解一元一次方程的一般步骤，不一定非按这个“一般步骤”的顺序，适合先去分母的要先去分母，适合先去括号的要先去括号，去分母、去括号时，注意不要出现漏乘，尤其是注意不要漏乘常数项，移项时要注意变号．3．分子、分母中含有小数的一元一次方程的解法当分子、分母中含有小数时，一般是先根据分数的基本性质，将分数的分子、分母同乘以一个适当的整数，将其中的小数化为整数再解方程．需要注意的是这一步变形根据的是分数的基本性质，而不是等式的基本性质；变形时是分数的分子、分母同乘以一个适当的整数，而不是在方程的两边同乘以一个整数．【例3】 解方程0.4x ＋0.90.5－0.03＋0.02x0.03＝1.分析：原方程的分子、分母中都含有小数，利用分数的基本性质，方程中0.4x ＋0.90.5的分子、分母都乘以10，0.03＋0.02x0.03的分子、分母都乘以100，就能将方程中的所有小数化为整数．解：原方程可化为4x ＋95－3＋2x3＝1.去分母，得3(4x ＋9)－5(3＋2x )＝15. 去括号，得12x ＋27－15－10x ＝15. 移项、合并同类项，得2x ＝3.系数化为1，得x ＝32.4.带多层括号的一元一次方程的解法一元一次方程，除个别题外，一般都有几层括号，一般方法是按照“由内到外”的顺序去括号，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号．每去一层括号合并同类项一次，以简化运算．有时可根据方程的特征，灵活选择去括号的顺序，从而达到快速解题的目的．在解具体的某个方程时，要仔细观察方程的特点，根据方程的特点灵活选择解法．【例4】 23⎩⎨⎧⎭⎬⎫32⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x －1)－3－3＝3.分析：若先去小括号，再去中括号，再去大括号，然后再运算比较麻烦．注意到32〓23＝1，因而可先去大括号，在去大括号的同时也去掉了中括号，这样既简化了解题过程，又能避开一些常见解题错误的发生．解：去大括号，得12(x －1)－3－2＝3.去小括号，得12x －12－3－2＝3.移项，得12x ＝12＋3＋2＋3.合并同类项，得12x ＝172.系数化为1，得x ＝17.5．含有字母系数的一元一次方程的解法 含有字母系数的一元一次方程的解法与一般一元一次方程的解法步骤完全相同：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1.要特别注意的是系数化为1时，当未知数的系数是字母时，要分情况讨论．关于x 的方程ax ＝b 的解的情况：①当a ≠0时，方程有唯一的解x ＝b a；②当a＝0，且b＝0时，方程有无数解；③当a＝0，且b ≠0时，方程无解．【例5】解关于x的方程3x－2＝mx.分析：本题中未知数是x，m是已知数，先通过移项、合并同类项把方程变形为ax＝b的形式，再讨论．解：移项，得3x－mx＝2，即(3－m)x＝2.当3－m≠0时，两边都除以3－m，得x＝23－m.当3－m＝0时，则有0·x＝2，此时，方程无解．点评：解含有字母系数的方程要不要讨论，关键是看解方程的最后一步，在系数化为1的时候，当未知数的系数是数字时，不用讨论，当未知数的系数含有字母时，必须分情况讨论．3 应用一元一次方程——水箱变高了1．几何图形中常用的公式(1)常用的体积公式长方体的体积＝长〓宽〓高；正方体的体积＝棱长〓棱长〓棱长；圆柱的体积＝底面积〓高＝πr2h；圆锥的体积＝13〓底面积〓高＝13πr2h.(2)常用的面积、周长公式长方形的面积＝长〓宽；长方形的周长＝2〓(长＋宽)；正方形的面积＝边长〓边长；正方形的周长＝边长〓4；三角形的面积＝12〓底〓高；平行四边形的面积＝底〓高；梯形的面积＝12〓(上底＋下底)〓高；圆的面积＝πr2；圆的周长＝2πr.【例1】用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽是x米，可列方程为( )．A．x＋(x＋1.2)＝7.8 B．x ＋(x－1.2)＝7.8C．2[x＋(x＋1.2)]＝7.8D．2[x＋(x－1.2)]＝7.8解析：根据长方形的周长公式列方程即可．长方形的周长＝2〓(长＋宽)，故可列方程为2[x＋(x ＋1.2)]＝7.8.答案：C2．形积变化问题中的等量关系形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系．分以下几种情况：(1)形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积．(2)形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．(3)形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系．【例2】有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高．分析：圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”，底面直径和高度都发生了变化，在不计损耗的情况下不变量是它们的体积，抓住这一不变量，就得到等量关系——锻造前的体积＝锻造后的体积．解：设锻造成“矮胖”形圆柱的高为x cm，根据题意，得π·52·80＝π·202·x.解这个方程，得x＝5.答：“矮胖”形圆柱的高为5 cm.3．等长变形问题等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程．面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键．【例3】如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少？分析：根据“梯形的周长＝长方形的周长”列方程求解．解：设长方形的宽为x，则长为2x.由题意，得2(x＋2x)＝5＋6＋9＋13，解这个方程，得x＝5.5，所以2x＝11.答：该长方形的长和宽分别为11,5.54 应用一元一次方程——打折销售1．商品销售中与打折有关的概念及公式(1)与打折有关的概念①进价：也叫成本价，是指购进商品的价格．②标价：也称原价，是指在销售商品时标出的价格．③售价：商家卖出商品的价格，也叫成交价．④利润：商家通过买卖商品所得的盈利，一般以“获利”、“盈利”、“赚”等词语表示所得利润．⑤利润率：利润占进价的百分比．⑥打折：出售商品时，将标价乘十分之几或百分之几卖出即为打折．打几折，就是以原价的百分之几十或十分之几卖出．如打8折就是以原价的80%卖出．(2)利润问题中的关系式①售价＝标价〓折扣；售价＝成本＋利润＝成本〓(1＋利润率)． ②利润＝售价－进价＝标价〓折扣－进价． ③利润＝进价〓利润率；利润＝成本价〓利润率；利润率＝利润进价＝售价－进价进价.【例1】 (1)某商品成本100元，提高40%后标价，则标价为__________元；(2)500元的9折是__________元，__________元的八折是340元；(3)一件商品的进价是40元，售价是70元，这件商品的利润率是__________．解析：(1)成本〓(1＋提高率)＝标价，即100〓(1＋40%)＝140(元)；(2)九折即原价的十分之九，所以500元打9折，就是500〓0.9＝450(元)，设x 的八折是340，所以有0.8x ＝340，解得x ＝425；(3)利润率＝利润进价＝售价－进价进价＝70－4040＝75%.答案：(1)140 (2)450 425 (3)75% 2．列方程解应用题的一般步骤及注意事项 (1)列方程解应用题步骤①审：审题，分析题中已知的是什么、求的是什么，明确各数量之间的关系．②找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．③设：设未知数(一般求什么就设什么)． ④列：根据相等关系列出方程．⑤解：解所列的方程，求出未知数的值． ⑥验：检验所求出的解是否符合实际意义． ⑦答：写出答案．(2)列方程解应用题应注意①列方程时，要注意方程两边应是同一类量，并且单位要统一．②解、答时必须写清单位名称．③求出的方程的解要判断是否符合实际意义，即必须检验．【例2－1】 在商品市场经常可以听到小贩的叫嚷声和顾客的讨价还价声：“10元一个的玩具赛车打八折，快来买啊！”“能不能再便宜2元？”如果小贩真的让利(便宜)2元卖了，他还能获利20%，那么一个玩具赛车进价是多少元？分析：利润＝销售价〓打折数－让利数－进价．解：设进价是x 元，依题意，得x 〓20%＝10〓0.8－2－x .解得x ＝5.答：一个玩具赛车进价是5元．【例2－2】 某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售，“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服装标价之和为210元．问这两种服装的进价和标价各是多少元？分析：本题的题情稍复杂，需要求四个未知量．可以先求出标价，然后再求进价．解：设甲种服装的标价为x 元，则进价为x1.4元，乙种服装的标价为(210－x )元，进价为210－x1.4元．根据题意，得0.8x ＋0.9(210－x )＝182.解得x ＝70.所以210－x ＝140.x 1.4＝50，210－x1.4＝100.答：甲种服装的进价为50元，标价是70元；乙种服装的进价是100元，标价是140元． 3．利用一元一次方程确定商品的利润与商品的利润有关的实际问题主要有以下三类：(1)确定商品的打折数利用一元一次方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，根据相等关系列出方程．利润中的求最低打折数的问题，要根据与打折有关的等量关系：标价〓打折数－进价＝利润，利润＝进价〓利润率．(2)确定商品的利润根据商品的售价和利润率确定商品的利润，也是一元一次方程的应用之一．用到的等量关系是：进价〓(1＋利润率)＝售价．(3)优惠问题中的打折销售商场中的某些优惠销售是购买数量超过一定的范围才打折或超过的部分打折．要分段分情况计算不同的利润．【例3－1】 某种商品的进价是400元，标价是600元，商店要求以利润不低于5%打折销售，那么售货员最低可以打几折出售此商品？分析：利润问题的相等关系是：商品售价－商品进价＝商品利润．其中商品利润＝进价〓利润率，即400〓5%.而商品售价＝标价〓打折数．解：设最低可以打x 折出售．根据题意，得600〓0.1x －400＝400〓5%.解得x ＝7.答：售货员最低可以打7折出售此商品． 【例3－2】 某书城开展学生优惠售书活动，凡一次购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．李明购书后付了212元，若没有任何优惠，则李明应该付多少元？分析：先判断属于哪一种优惠，再根据情况确定相等关系．当购书是200元时，应该付200〓0.9＝180(元)，李明支付了212元，说明超过了200元，相等关系是：不超过200元的部分应付款＋超过200元部分应付款＝实际付款．解：因为200〓0.9＝180(元)<212(元)， 所以购书超过了200元．设应该付x 元，根据题意，得200〓0.9＋(x －200)〓0.8＝212.解方程，得x ＝240.答：若没有任何优惠，则李明应该付240元． 5 应用一元一次方程——“希望工程”义演1．等量关系的确定列方程解应用题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系．对于复杂问题的等量关系可采用列表法分析数量之间的关系．一般可从以下几个方面确定等量关系：(1)抓住问题中的关键词，确定等量关系．如问题中的“和”、“差”、“倍”、“多”、“少”、“快”、“慢”等都是确定等量关系的关键词．(2)利用公式或基本数量关系找等量关系．(3)从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系．【例1】刘成用150元买了甲、乙两种书，共20本，甲种书单价10元，乙种书单价5元，则刘成买了这两种书各多少本？分析：本题的两个等量关系是：甲种书款＋乙种书款＝150元，甲种书量＋乙种书量＝20本．本题有两个未知数：甲种书的数量和乙种书的数量．因此既可以设甲书的数量为未知数，又可以设乙书的数量为未知数．解：(方法1)设刘成买了甲种书x本，则买了乙种书(20－x)本，根据题意，得10x＋5(20－x)＝150，10x＋100－5x＝150,5x＝50，x＝10，20－10＝10(本)．答：刘成买了甲、乙两种书各10本．(方法2)设买了乙种书x本，则甲种书有(20－x)本．根据题意，得10(20－x)＋5x＝150，200－10x＋5x＝150，－5x＝－50，x＝10，20－10＝10(本)．答：刘成买了甲、乙两种书各10本．2．未知数的设法较复杂的问题，未知量可能有两个或两个以上，选择一个适当的未知量设为未知数非常重要．未知数设的适当，能给列方程带来简便．未知数的设法大致有两种：直接设未知数和间接设未知数．另外还可以根据解决问题的需要设出辅助未知数帮助解答．(1)直接设未知数直接设未知数，就是题目中问什么就设什么．对于只有一个相等关系的问题，直接设未知数就能解决问题．而对于较复杂的问题，直接设未知数时列方程可能会较困难．(2)间接设未知数，就是所设的未知数不是问题中最后所要求的未知数，而是设另外的量为未知数，这样做的好处是便于理顺数量关系、易于列方程．(3)设辅助未知数在列方程解应用题时，有时为了解题的需要，将某些量之间的关系说得更清晰，我们引入一些辅助未知数．这些未知数在解方程的过程中，往往是约掉了或者抵消了，最后求出的问题的解与这些未知数无关，因此，被称为辅助未知数．【例2－1】一位老人立下遗嘱：把17头牛按1 2，13，19分给他的大儿子、二儿子、三儿子，问三个儿子各分得多少头牛？分析：解答本题，若直接设三个儿子分别分得多少头牛来求解比较困难，因为遗嘱中规定的大儿子、二儿子、三儿子应分得牛的头数的比例为12∶13∶19＝9∶6∶2，所以可设一份为x，然后根据“大儿子所分得的牛的头数＋二儿子所分得的牛的头数＋小儿子所分得的牛的头数＝17”列方程求解．解：因为12∶13∶19＝9∶6∶2，所以设每一份为x头牛，则三人所分得的牛的头数分别为9x,6x,2x.根据题意，得9x＋6x＋2x＝17.解这个方程，得x＝1.所以9x＝9,6x＝6,2x＝2.答：三个儿子分别分得9头、6头、2头牛．【例2－2】高一某班在入学体检中，测得全班同学的平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%，而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重．分析：本题中的未知量有四个——男、女同学的平均体重和男、女同学的人数，可以设女同学的平均体重为x千克，男同学有y人两个未知数，根据本题中的相等关系“男女同学的总体重＝全班同学的平均体重〓总人数”列出一个方程，其中的未知数y在解方程的过程中被约掉了，这里的y就是辅助未知数．解：设女同学平均体重为x千克，则男同学平均体重为1.2x千克，设男同学为y人，则女同学为1.2y人．根据题意，得1.2xy＋1.2xy＝48(y＋1.2y)．合并同类项，得2.4xy＝48〓2.2y.∵y≠0，∴方程两边同除以2.4y，得x＝44.∴1.2x＝1.2〓44＝52.8(千克)．答：男同学的平均体重为52.8千克，女同学的平均体重为44千克．3．几种复杂的应用问题含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下三种：(1)按比例分配问题按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分别求几个未知量的问题．比例分配问题中的相等关系是：不同成分的数量之和＝全部数量．(2)工程问题工程问题中的相等关系是：工作量＝工作效率〓工作时间；甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率；甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量．解答工程类问题时，常常把总工作量看成整体1.找出工作效率(即单位时间内的工作量)是解答的关键．(3)资源调配问题资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，利用表格，可以很清晰地表达出各个数量之间的关。