最新人教版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》温故知新(第2课时)
高中数学新课标人教A版选修1-1《2.2.2双曲线的简单几何性质》教案
上课时间第周星期第节课型课题 2.2.2双曲线的几何性质（一）
教学目的理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征
教学设想教学重点：双曲线的几何性质及初步运用．教学难点：双曲线的几何性质的理解撑握。
教学过程一、复习准备：
1.回顾双曲线的定义、标准方程（焦点在分别在x、y轴上）、,,
a b c间的关系？
2.写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①3,4
a b
==，焦点在x轴上；②焦点在y
轴上，焦距为8，2
a=；
3．前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、讲授新课：
1. 双曲线的几何性质：
由椭圆的哪些几何性质出发，引导学生类
比探究双曲线的几何性质；
①范围：标准方程可变为
22
22
1
x y
a b
-=，得知
2
2
1
x
a
≥，即x a x a
≥≤-
或；
双曲线在不等式x a x a
≥≤-
与所表示的区域内。
②对称性：如图2-25可知，双曲线关于x轴、y轴及原点都对称，原点是双曲线的对称中心。
③顶点：标准方程中，当0
y=时x a
=±，当0
x=时方程无实根；曲线与x轴的
交点
12
(,0),(,0)
A a A a
-叫做双曲线的顶点。
12
A A
叫做双曲线的实轴，以
12
(0,),(0,)
B b B b
-为端点
的线段
12
B B叫做双曲线的虚轴。
实轴与虚轴
等长的双曲线叫等轴双曲线。
人教新课标版数学高二A版选修1-1课件双曲线的简单几何性质
离心率 e=c∈(1,+∞)
a
渐近线 y=±bax
y=±ba x
-4-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
-5-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
-21-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究一
探究二
探究三
(2)依题意得 e=ac = 5,所以ac22=5,
即a
2 +b a2
2
=5,解得ba =2.
若双曲线焦点在 x 轴上,则其渐近线方程为 y=±bax,即
2.2.2 双曲线的简单几何性质
-1-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
学习目标
思维脉络
1.掌握双曲线的范围、对称性、 双曲线的几何性质
顶点、渐近线、离心率等几何性 范围
质. 2.能够利用双曲线的标准方程画 出双曲线的图形.
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究三双曲线的渐近线与离心率问题
【例 3】(1)过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,F1 是另一焦点,若∠PF1Q=π2,则双曲线的离心率等于( )
选修1-1课件2.2.2 双曲线的简单几何性质
b b 2 2 解得y1 25 12 481 12 12 b 5 2 2 y2 13 12 b. 12 12 又塔高为 米, 所以y2 y1 55.即 55 5b b 481 55. 12 12 解得 : b 24.5(米).所以双曲线的 方程为 x y 1. 2 2 12 24.5
2
2
2 ; 渐近
线方程x y; 准线方程y 2 .
练习题:
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的 长、顶点和焦点坐标、离心率、 渐近线方程和准线方程：
x y 4 1 49 25
2
2
y x 4 方程化为 1, 于是a 5, b 7, 25 49 c 25 49 74 , 2a 10, 2b 14; 顶 点坐标0, 5 , 0,5 ; 焦点坐标 0, 74 ,
叫做等轴双曲线 .
x
双曲线虚轴的变化对双曲线的影响：
性质4—渐近线
y B2
N x ,Y Q M(x,y)
b
A1
o a A2
x
b y x a
B1
b y x a
在第一象限内 双曲线方程化为 , b 2 2 y x a x a a 设M x , y 是双曲线上的任意一 b 点, N x ,Y 是直线y x上与M a b 有相同横坐标的点则Y x . , a
1 x
2
8 y 32
2
x y 1方程化为 1, 于是a 4 2 , 32 4 b 2, c 32 4 6, 2a 8 2 , 2b 4; 顶点坐标 4 2 ,0 , 4 2 ,0 ; 焦点坐 3 标6,0 , 6,0 ; e 2 ; 渐近线方程 4 2 16 y x; 准线方程x . 4 3
高中数学2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线几何性质的应用学案含解析新人教A版选修1_1
第2课时 双曲线几何性质的应用学习目标 1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？ 答案 不能．梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( × ) 2．直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．( √ )类型一 直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，且过点(6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 (1)由e ＝233，可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b2＝1.将点P (6，1)代入双曲线C 的方程， 解得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0，消去y ，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－－3k2－，1－3k 2≠0，解得－1<k <1且k ≠±33. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 当直线l 的斜率不存在时， 直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0时，k ＝±2，直线l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点； 当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二 弦长公式及中点弦问题 例2 双曲线的方程是x 24－y 2＝1.(1)直线l 的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为8311，求直线l 的方程；(2)过点P (3,1)作直线l ′，使其被双曲线截得的弦恰被P 点平分，求直线l ′的方程． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，代入双曲线方程，得3x 2＋8mx ＋4(m 2＋1)＝0， Δ＝(8m )2－4×3×4(m 2＋1)＝16(m 2－3)>0， ∴m 2>3.设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－83m ，x 1x 2＝m 2＋3.由弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，得 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m 2－m 2＋3＝8311， ∴42×m 2－33＝8311，即m ＝±5，满足m 2>3，∴直线l 的方程为y ＝x ±5.(2)设直线l ′与双曲线交于A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)两点， 点P (3,1)为A ′B ′的中点，则x 3＋x 4＝6，y 3＋y 4＝2. 由x 23－4y 23＝4，x 24－4y 24＝4，两式相减得(x 3＋x 4)(x 3－x 4)－4(y 3＋y 4)(y 3－y 4)＝0， ∴y 3－y 4x 3－x 4＝34，∴l ′的方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2－10y ＋114＝0，满足Δ>0，∴所求直线l ′的方程为3x －4y －5＝0.反思与感悟 (1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k 要保证满足相交，即验证Δ>0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法．跟踪训练2 设双曲线的顶点是椭圆x 23＋y 24＝1的焦点，该双曲线又与直线15x －3y ＋6＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)． (1)求此双曲线的方程； (2)求|AB |.考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)已知椭圆的焦点为(0，±1)， 即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y 2－mx 2＝1(m >0)，① 又直线15x －3y ＝－6，②A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①②组成的方程组的两个解．由⎩⎨⎧y 2－mx 2＝1，15x －3y ＝－6，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53－m x 2＋4153x ＋3＝0， 当m ＝53时，显然不满足题意．当m ≠53时，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－415353－m ，x 1x 2＝353－m ，又OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝83x 1x 2＋2153(x 1＋x 2)＋4＝0，∴83×353－m ＋2153×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－415353－m ＋4＝0，∴m ＝13，经验证，此时Δ>0.∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝94，∴|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1532×－152－4×94＝4.类型三 由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值)例3 已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2，所以b ＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，可得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，故k 2≠13且k 2<1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2. 又因为y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝－9k 21－3k 2＋12k21－3k2＋2＝3k 21－3k2＋2. 所以－91－3k 2＋3k 21－3k 2＋2>2，所以3k 2－91－3k 2>0.又因为k 2≠13且k 2<1，所以13<k 2<1.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪－1<k <－33或33<k <1. 反思与感悟 当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解． 跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.∴当双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)．由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线上的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD＝12(|x 1|＋|x 2|) ＝12|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜2B ．－1＜k ＜1C ．0＜k ＜2D ．－2＜k ＜0考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 A解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k ＜2.2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，将x ＝－1代入直线方程y ＝x －1得y ＝－2，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的其他问题 答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0， ∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34，此时Δ>0，符合题意，∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 答案 3解析 当直线l 交双曲线于左右两支时，因为2a ＝2，而|AB |＝4，故可有两条．若直线l 交双曲线于同支，当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1D ．y 2－x 24＝1 考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 B2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A.2B.3C ．2D ．3 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， ∴直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2， ∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a .依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3．双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1(a >b >0)的一条渐近线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1交于点M ，N ，则|MN |等于( )A ．a ＋b B.2aC.a 2＋b 2 D.a 2－b 2考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 C解析 双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1的一条渐近线方程为y ＝ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝±22a . 所以|MN |＝1＋b 2a 2|x 2－x 1|＝a 2＋b 2a 2·2a＝a 2＋b 24．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( ) A.14B.35C.34D.45 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.|F 1F 2|＝2c ＝2 a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34. 5．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B解析 由双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，点P (1,0)是双曲线的右顶点，则直线x ＝1与双曲线只有一个公共点，过点P (1,0)且平行于渐近线y ＝±2x 时，直线l 与双曲线只有一个公共点，有2条，故满足题意的直线共3条． 6．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 26－y 23＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1， 两式相减可得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2.∵线段AB 的中点坐标为N (－12，－15)， ∴－x 1－x 2a 2＝－y 1－y 2b 2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2.∵直线的斜率为－15－12－3＝1， ∴4b 25a 2＝1. ∵右焦点为F (3,0)，∴a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 25＝1. 7．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 考点 双曲线的几何性质题点 双曲线范围的应用答案 A解析 由题意知a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0，所以－33<y 0<33. 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B ．4 C.233 D. 3考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，A 为双曲线上一点，|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，B 为双曲线上一点，则|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由用余弦定理，得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°，得c 2＝7a 2，则e 2＝7，即e ＝7.二、填空题 9．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝54，则其两条渐近线方程为________． 考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 y ＝±34x 解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1，∴b ＝3， 又双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋9a 2＝54， 解得a ＝4， ∴双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x .10．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 3215 解析 双曲线右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是43，则直线FB 的方程是y ＝43(x －5)，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为－3215，故△AFB 的面积为12×|AF ||y B |＝12×2×3215＝3215. 11．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (1，5]解析 由题意可得，双曲线的渐近线的斜率ba≤2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤ 5. 又e >1，则离心率e 的取值范围是(1，5]．12．过P (8,3)作双曲线9x 2－16y 2＝144的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 3x －2y －18＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P (8,3)为弦AB 的中点，可得x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝6，又9x 21－16y 21＝144,9x 22－16y 22＝144，两式相减，可得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即为9(x 1－x 2)－6(y 1－y 2)＝0，可得k AB ＝y1－y 2x 1－x 2＝32，则直线AB 的方程为y －3＝32(x －8)，即3x －2y －18＝0.三、解答题13．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且双曲线过点(－3,42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，则设双曲线的方程为x 2－y24＝λ(λ≠0)，把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，解得λ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －6＝0，x 2－y24＝1，整理得3x 2－12x ＋10＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103， 由弦长公式可知|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42－4×103＝21023， ∴|AB |的值为21023. 四、探究与拓展 14．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作一条与其渐近线平行的直线l ，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，求双曲线C 的离心率． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ， 又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b2＝1， 化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)， 故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a ＝2＋ 3.15．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？ 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.由题意可得3－a 2≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.(1)|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋a 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 22＋83－a 2＝2＋a 2－a 2|3－a 2|.(2)由题意知，OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0.即x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，∴(1＋a 2)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1.经检验当a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的简单几何性质》教学设计
教学设计2．3.2 双曲线的简单几何性质整体设计教材分析学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感．课时分配本节内容分两课时完成. 第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中．第1课时教学目标知识与技能1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质．2．了解双曲线的中心、实轴、虚轴、渐近线、等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e 的关系及其几何意义．过程与方法通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力．情感、态度与价值观使学生在合作探究活动中体验成功，激发学习热情，感受曲线美、数学美．重点难点教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．教学难点：渐近线的性质．教学过程引入新课提问：(1)双曲线是如何定义的？ (2)双曲线的标准方程是什么？(3)前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？－a≤x≤a －b≤y≤b x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)，(0，±b)设计意图：回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决． 探究新知探究1.类比椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的几何性质，借助x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)图象探讨双曲线有哪些几何性质？提出探究要求：(1)先通过焦点在x 轴上的标准方程来研究．(2)类比椭圆的性质从范围、对称性、顶点、离心率四个角度思考． (3)要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲．设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生沿着一定的目标去自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评．活动成果： 1.－a≤x≤a －b≤y≤b x≥a 或x≤－ax 轴、y 轴、原点对称轴、y 轴、原点对称2．双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)．3．线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ，a 叫做实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长．探究2.双曲线的这些性质和椭圆有什么异同？ 从范围看，椭圆是封闭的，双曲线是“开放”的．从对称性看，都关于x 轴、y 轴、原点对称，这是缺一次项的二次方程的共性． 从顶点看，椭圆有四个，双曲线有两个，都是与坐标轴的交点，轴的概念的异同． 从离心率看：椭圆e ＝ca＝1－b 2a 2∈(0,1)，双曲线e ＝c a＝1＋b2a2∈(1，＋∞)． 设计意图：通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，进而培养学生观察问题、解决问题的能力．探究3. 渐近线的发现与论证： 思考：双曲线x 29－y24＝1：①在位于第一象限内的双曲线上找一点M ，点M 的横坐标x M 与它到直线 x 3－y2＝0的距离d 有什么关系？(几何画板演示，学生回答)②d 能否为0?若d ＝0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M(x 0，y 0)， 则x 03－y 02＝0，又x 209－y 204 ＝ (x 0 3 ＋ y 0 2)(x 03－y 02) ＝ 0≠1， ∴点M 不在双曲线上．∴d≠0.归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．(几何画板演示引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系)结论：①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为x a ±yb＝0.②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． 设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合讲授法“说明双曲线上的点越来越接近于直线y ＝ba x”，采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征．探究4.离心率的几何意义：思考：渐近线、e 、双曲线张口有什么关系？活动成果：借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识：e 越大，开口就越大．理解新知学生独立完成焦点在y 轴上的双曲线的几何性质、完善表格：x≥a 或x≤－a x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)运用新知1求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程． 解：把方程化为标准方程y 242－x232＝1.可得实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3; 半焦距c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5. 焦点坐标是(0，－5)，(0,5); 离心率：e ＝c a ＝54；渐近线方程：y ＝±43x.2求双曲线x 2－y 2＝a 2的实轴和虚轴长、离心率、渐近线方程． 解：把方程化为标准方程x 2a 2－y2a2＝1.可得实半轴长为a ，虚半轴长为a; 实轴长为2a ，虚轴长为2a. 半焦距c ＝a 2＋a 2＝2a ; 离心率：e ＝c a ＝2；渐近线方程：y ＝±x.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．变练演编提出问题：已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为16，____________，求双曲线的标准方程．(在横线上填上一个条件，并做出相应解答．)活动设计：学生分组献计献策，本组内就形成多个小题进行解答，允许互相交流成果．然后，每组选出代表进行解答，并要求各组出的题目不相同．设计意图：本题为开放性问题，意在增加问题的多样性，使知识得到充分的巩固，各组之间无形中形成良性竞争，增加学习新知的主动性，趣味性，锻炼学生的发散思维．达标检测课堂小结1．知识点x2 a2－y2b2＝1(a>b>0) －x2b2＝1(a>0，b>0)x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈x轴、y轴、原点对称2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法．3．渗透了类比、数形结合等重要的数学思想．作业布置课本习题2.3 A组第3、4题．补充练习基础练习1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y24＝1 2．双曲线与椭圆x 216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．x 2－y 2＝80 D ．y 2－x 2＝24 3．双曲线x 25－y24＝1的( )A ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±255xB ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±55x C ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±25x D ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±52x 4．曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y 答案：1.B 2.D 3.A 4.B 拓展练习求以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程．解：椭圆x 28＋y25＝1的焦点坐标为(±3，0)，长轴上的顶点为(±22，0),由题可知焦点在x 轴上，所以方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．∵a＝3，c ＝22， ∴b 2＝8－3＝5.∴所求双曲线方程为x 23－y25＝1.点评：有些学生会考虑过多，认为椭圆长轴和短轴上的顶点都可以作为双曲线的焦点，却忽略了“以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点”这句话所隐含的内容，因为双曲线的顶点与焦点在一条直线上，所以这句话实质已经交代了焦点位置，不必再分类讨论了．设计说明本节为双曲线性质的第一节，内容在设计上以基础为主．从椭圆的简单几何性质类比过度，让学生学得更为轻松，且较容易体会到成就感，但在双曲线的渐近线这一性质的讲解中，我们要从特殊到一般，充分借助几何画板这一有利工具，让学生更充分、更直观地体会渐近线这一性质，让它在今后的解题、绘图上发挥更大的作用．备课资料备选例题：求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P ( 1, －3 ) 且离心率为2的双曲线标准方程．分析：此题仅是知道“对称轴为坐标轴”，所以在解答的过程中首先对双曲线“定位”．但从离心率马上可以发现，此双曲线为等轴双曲线，所以方程简单地设为x 2m －y 2m ＝1(m≠0)，再代入点P 的坐标进行计算，非常简单，且将两种标准方程合二为一． 解：∵c a ＝2，∴c＝2a.∴c 2＝2a 2.则b 2＝c 2－a 2＝2a 2－a 2＝a 2.∴双曲线方程可设为x 2m －y2m ＝1(m≠0)．又∵双曲线经过点P( 1, －3 )， ∴1m －9m ＝1，解得m ＝－8. ∴所求双曲线方程为y 28－x28＝1.点评：对于双曲线方程，我们一定要注意先“定位”再“定量”．(设计者：刘薇)第2课时教学目标 知识与技能1．能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；2．应用双曲线知识解决生产中的实际问题. 过程与方法培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力，培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．情感、态度与价值观激发学生学习新知，运用新知的热情；体会数学的魅力；从解题的过程体会成功感，培养良好的数学学习品质．重点难点教学重点：利用双曲线的性质求双曲线的标准方程． 教学难点：由渐近线求双曲线方程．教学过程引入新课 复习回顾(1)9y 2－16x 2＝144；(2) y 225－x2144＝－1.方程(1)的焦距为______；虚轴长为______；渐近线方程是________________；方程(2)的焦点坐标为__________；实半轴长为______；渐近线方程是________________．活动设计：学生独立完成．活动成果：10 6 y ＝±43x (±13,0) 12 y ＝±512x设计意图：由题带出相应的知识点，既可以复习相关知识，又可以增加学生的成就感．达到了检测的目的，节省了时间，提高了课堂效率．例题研讨，变式精析1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．解：如图，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上下口的直径CC′，BB′都平行于x 轴，且|CC′|＝13³2, |BB′|＝25³2.设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B ，C 在双曲线上，所以由方程②得y ＝5b12(负值舍去)，代入方程①，得252122－5b 12－552b2＝1， 化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③ 用计算器解方程③，得b≈25. 所以，所求双曲线方程为x 2144－y2625＝1.点评：此题既说明了双曲线的应用，同时又学习了如何根据条件确定双曲线标准方程中的a ，b ，从而得到双曲线的标准方程．2点M(x ，y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求点M的轨迹．解：设d 是点M 到直线l ：x ＝165的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|d ＝54}，由此得x －5＋y 2|165－x|＝54.将上式两边平方，并化简，得9x 2－16y 2＝144， 即x 216－y29＝1. 所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线．变式：动点M(x ，y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和它到定直线l ：x ＝a2c 的距离的比是常数c a (ca>1)，求点M 的轨迹方程． 解：∵点M(x ，y)到定直线l ：x ＝a 2c 的距离d ＝|x －a2c |，|MF|＝x －c 2＋y 2，依题意|MF|d ＝c a ，∴x －c 2＋y 2|x －a 2c|＝ca.① 方程①两边平方化简整理得x 2a 2－y2c 2－a2＝1②令c 2－a 2＝b 2，方程②化为x 2a 2－y2b2＝1，这就是所求的轨迹方程．∴点M 的轨迹是实轴长为2a 、虚轴长为2b 的双曲线．点评：与课本2.2.2节例6对应，此题是通过一个具体的例题说明双曲线的另一种定义，通过变式得以升华推广，教学过程可以与椭圆的例6类比．3如图所示，过双曲线x 23－y26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB|.分析：求弦长问题有两种方法：法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长； 法二：为了简化计算，常设而不求，运用韦达定理来处理． 解：法一：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)， 与双曲线方程联立解得A 、B 的坐标分别为(－3，－23)，(95，－235)．由两点间的距离公式得|AB|＝165 3.法二：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 与双曲线方程联立消去y 得5x 2＋6x －27＝0. 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1) 、(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－65，x 1²x 2＝－275.由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1x 22－4x 1x 2＝1＋13－652－4－275＝1633. 提出问题：你能求出△AF 1B 的周长吗？ 解：|AF 1|＝－3＋32＋－232＝23， |BF 1|＝95＋32＋－2532＝1453，又|AB|＝1653， 所以△AF 1B 的周长是|AB|＋|AF 1|＋|BF 1|＝1653＋23＋1453＝8 3.变练演编1．8＜k ＜17，双曲线x 217－k ＋y28－k＝1的焦点坐标为__________．2．与双曲线y 216－x29＝1有相同渐近线，且经过点A(－3,23)的双曲线方程为______________．3．双曲线的离心率为52，且与椭圆x 29＋y24＝1有公共焦点，则双曲线方程为______________．答案：1.(±3,0) 2.x 294－y 24＝1 3.x 24－y 2＝1达标检测1．过双曲线x 29－y 216＝1的左焦点F 1作倾角为π4的直线与双曲线交于A 、B 两点，则|AB|＝__________.2．双曲线的两条渐近线方程为x±2y＝0，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833，则该双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 24－y 2＝13．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64有公共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，双曲线的方程为____________．4．已知双曲线 x 2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的斜率为____________．答案：1.1927 2.D 3.x 236－y212＝1 4.±2课堂小结1．求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点的位置很重要． 2．由例2及其变式可以简单给学生介绍第二定义．3．注意解决实际问题时条件的转化，建立好适当的数学模型． 作业布置 课本习题2.3 B 组第4题． 补充练习 基础练习1．过点P(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y24＝1 2．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．双曲线x 2m 2＋12－y24－m2＝1的焦距是________________．4．双曲线x 2－y24＝1截直线y ＝x ＋1所得弦长是________________________．答案：1.A 2.C 3.8 4.83 2拓展练习当渐近线的方程为y ＝±b a x 时，双曲线的标准方程一定是：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)吗？如果不一定，举出一个反例．解析：不一定是．反例：双曲线x 22a 2－y 22b 2＝1的准线方程为y ＝±bax.点评：本题反例很多，可以让学生任意举出，然后分组讨论举出例子的共性，教师结合备选例题，归纳出共渐近线的双曲线系问题．设计说明本节主要还是解决课本上的例题，结合练习，重实际，重归纳，重提升，例题和练习的设计循序渐进注重提升．由于高考考纲对这部分的要求较低，对于直线与双曲线牵涉较少，只是课本上的例6涉及弦长．后续的习题课应以求双曲线方程及相应的几何性质，尤其是离心率为主．备课资料备选例题求与双曲线x 29－y216＝1有共同渐近线，且焦点在x 轴上，过点(－3,23)的双曲线方程．解：法一：因为焦点在x 轴上，所以所求双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．又因为双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为：y ＝±43x.所以b a ＝43，即b ＝43a.则所求双曲线方程为x 2a 2－y243a 2＝ 1.又因为双曲线过点(－3,23)，所以，9a 2－12169a 2＝1.解得a 2＝94，所以b 2＝4.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.法二：与双曲线x 29－y 216 ＝ 1有共同渐近线的方程可设为x 29－y216＝λ(λ≠0)．又因为双曲线过点(－3,23)， 所以99－1216＝λ，解得λ＝14.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.点评：两种方法相比较，明显法二要简单，这就需要先了解与x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程的设法为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)．形如x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的双曲线渐近线方程是x a ±yb ＝0；反之，若已知双曲线的渐近线方程是x a ±yb ＝0；则可设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y2b 2＝λ具有相同的渐近线．(设计者：姜华)。
人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》
双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。
2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。
(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。
5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。
【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。
人教课标版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》教案-新版
2.2.2双曲线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数,,,a b c e 间的关系 （3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题． （4）了解直线与双曲线的位置关系 3.学习重点双曲线的几何性质． 4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1预习教材4953P P - ，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的哪些性质?如何研究这些性质? 任务2 完成53P 的练习 2.预习自测1.已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点为()2,0，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．1 B ．3C ．2D ．23 答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2. .已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2 B ．62C ．52D ．1 答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则双曲线的离心率为（ ） A ．415B ．53C ．43D ．不能确定 答案：B解析：考查双曲线简单几何性质. （二）课堂设计 1.知识回顾1.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =+；2.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，焦点()()120,,0,F c F c -其中222c a b =+.3.()0l y kx b C F x y 直线:,与圆锥曲线:,=+=相交于1122()()A x y B x y ,,,两点,则：222121212114AB k x x k x x x x =+-=+(+)-或21212122211114AB y y y y y y k k=+-=+(+)- 2.问题探究问题探究一 双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程()222210,0x y a b a b-=>>研究它的性质1．（1）从形的角度看：双曲线位于直线x a =和x a =-的外侧，即在不等式x a ≤-与x a ≥所表示的平面区域内.（2）从数的角度看：利用方程研究，双曲线上点的坐标满足222210x y a b -=≥，故22x a ≥，即x a ≤-或x a ≥；这说明双曲线在不等式x a ≤-或x a ≥与所表示的平面区域内.2. （1）从形的角度看：双曲线与椭圆一样，既是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在双曲线方程中，以－x 、－y 代替x 、y 方程不变，因此双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图象；也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心叫做双曲线的中心.3．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的顶点是(,0)a ±，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ,同时在另一条对称轴上作点()()120,,0,B b B b -，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，a 、b 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．4. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>各支向外延伸时，与两条直线y ＝±b a x 逐渐接近，但永不相交，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，方程为y ＝±ba x. 5．双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1,)+∞．问题探究二 能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题例1.求双曲线22194x y -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【知识点：双曲线的几何性质】详解：222229,4,13,3,2,13a b c a b a b c ===+====， 顶点()()123,0,3,0A A -，焦点()()1213,0,13,0F F -，实轴长26a =，虚轴长24b = 离心率133c e a ==， 在方程22194x y -=中将1换成0，得22094x y -=，即032x y ±=． ∴23y x =±为双曲线的渐近线方程．变式引伸：已知双曲线的渐近线方程为43y x =±，并且焦点都在圆22100x y +=上，求双曲线方程．解法一：（1）当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22221x y a b -=，因为渐近线方程为43y x =±，则43b a =．又由焦点在圆22100x y +=上知10c =，所以222100a b c +==，可求得6a =，8b =．所求双曲线方程为2213664x y -=．（2）当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22221y x a b-=．由题设得22210043a b c a b ⎧+==⎪⎨=⎪⎩，解得：8,6a b ==．焦点在y 轴上时，双曲线方程为2216436y x -=．综上所述，所求双曲线方程为2213664x y -=或2216436y x -=． 解法二：因为双曲线的渐近线方程为43y x =±．设双曲线方程为222234x y λ-=(0)λ≠． 又焦点都在圆22100x y +=上，所以2100c =．则22(3)(4)100λλ+=．解得4λ=±．所求双曲线方程为2222434x y -=±．即：2213664x y -=±． 点拔：双曲线与其渐近线的关系是：以0x ya b ±=为渐近线的双曲线系方程为2222(0)x y a b λλ-=≠；双曲线2222(0)x y a b λλ-=≠的渐近线方程为0x y a b ±=． 例2.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】详解：设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有：22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 点拔：与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠的形式．当λ的值为正时，焦点在x 轴上，为负时焦点在y 轴上．例3.设双曲线22221x y a b-=(0)a b <<的半焦距为c ，直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：由直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，得l 的方程为0bx ay ab +-=． 由点到l 的距离为34c ，得2234ab c a b=+．将22b c a =-代入，平方后整理得：2222216()1630a a c c -⨯+=．令22a x c=，则：2161630x x -+=，解得34x =或14x =． 由c e a =得，1e x=．故233e =或2e =． 因为0a b <<，故222212c a b b e a a a+===+>．所以应舍去233e =． 故所求离心率为2e =．点拔：此题易得出错误答案2e =或233e =，其原因是未注意到题设条件0a b <<，从而离心率2e >，而2323<，应舍去． 问题探究三 直线与双曲线的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，联立方程得22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简()22222222220b a k x a mkx a m a b ----=①当2220b a k -=，即bk a =±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点.②当2220b a k -≠，即bk a ≠±时，0∆>⇔直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有两个公共点； 0∆=⇔直线与双曲线相切⇔直线与双曲线有且只有一个公共点0∆<⇔直线与双曲线相离⇔直线与双曲线无公共点 2.弦长问题设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则()()22121212PP x x y y =-+-()221212121y y x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-+ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22121x x k =-+2121k x x =+-()22121214kx x x x =++-同理可得1212211PP y y k =+-()212122114y y y y k=++-()0k ≠3.双曲线的通径过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦称为双曲线的通径，通径长为22b a.例4.过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】详解一：设A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ．则：221144x y -= ① 222244x y -= ② ①－②得：12121212()()4()()0x x x x y y y y +--+-=． ∵Ｐ是线段AB 的中点， ∴121216,2x x y y +=+= ． ∴1212121224()y y x xx x y y -+==-+．∴直线AB 的斜率为2． ∴直线AB 的方程为12(8)y x -=-． 即2150x y --=．详解二：设A (,)x y ，则B (16,2)x y --． ∵A 、B 为双曲线上的点， ∴2244x y -= ①22(16)4(2)4x y ---= ② ①－②得2321616160x y --+=． 整理得2150x y --=．例5.已知曲线C ：221x y -=及直线l ：1y kx =-． （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】 详解：(1)曲线Ｃ与直线l 有两个不同的交点．则方程组2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩有两个不同的解，整理得：22(1)220k x kx -+-=，此方程必有两个不等的实根1x 、2x ．∴22210△48(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩． 解得22k -<<且1k ≠±时，曲线C 与直线l 有两个不同的交点． (2)设交点A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，直线l 与y 轴交于点D （0,－1）．∴1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪⋅=⎪-⎩． ∵△△△121()2OAB OAD OBD S S S x x =+=+12122x x =-=．∴2212()(22)x x -=， 即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭．解得0k =或62k =±． 又∵22k -<<且1k ≠±，∴0k =或62k =±时，△OAB 的面积为2． 3.课堂总结 【知识梳理】椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下 椭圆双曲线方程()2222+10,0x y a b a b=>> ()222210,0x y a b a b-=>> 图形范围 b y a ≤≤||,|x | R y a x ∈≥,||对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点顶点 轴长 ,0,0(0,)0,a a b b （）、（）、（）--长轴长2a ，短轴长2b,0,0a a （）、（）-实轴长2a虚轴长2b离心率 ,(01)ce e a=<< ,(1)ce e a=> 渐近线无 有两条，其方程为b y x a=±【重难点突破】 1．双曲线的渐近线(1)对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，画双曲线时应先画出它的渐近线．(2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．(3)“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 即b y x a =±；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为22220y x a b-=，即a y x b =±. (5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为n y x m =的双曲线方程可设为：2222(0);x y m nλλ-=≠如果两条渐近线的方程为0Ax By ±=那么双曲线的方程可设为2222(0);A x B y m m -=≠与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线方程可设为.02222）（≠=-λλby a x 2．双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足222c a b =+称为双曲线的特征三角形．(2)焦点,F 过F 作渐近线的垂线，垂足为D ，则||,||,||,O F c F D b O D a O F D Δ===|亦是直角三角形，满足,||||||222OD FD OF +=也称为双曲线的特征三角形． 3．学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率1e >；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中a b c e 、、、的等量关系与椭圆中a b c e 、、、的不同． 4.随堂检测1.已知双曲线221ax y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．14答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．2C．5 2D．2 2答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆2212516x y+=的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A．430x y±=B．340x y±=C．450x y±=D．540x y±=答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】4. 过双曲线2212yx-=的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若4AB=，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条．答案：C解析：【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的标准方程及几何性位置】5. 已知,,,a b c分别为双曲线的半实轴长、半虚轴长、半焦距，且方程20ax bx c++=无实根，则双曲线离心率e的取值范围是()A ． 152e <<-B ．12e <<C ．13e <<D ．152e <<+ 答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】 由已知，04b 2<-=∆ac2222c 40,()4()10,410.c ca ac e e a a∴--<∴--<--<即2525,1,125e e e ∴-<<+><<+又故. （三）课后作业 基础型 自在突破1.双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A.3 B.3 C.4 D.2 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．22148y x -=D ．22184x y -= 答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =-，则双曲线的方程为（ ） A ．2296x y -= B ．22160y x -= C ．2280x y -=D ．2224y x -= 答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质】4．中心在原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.22154x y -=B.22145x y -= C.22136x y -=D.22163x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，圆的几何性质】6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两焦点分别为12F F 、，以12F F 为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】 答案：A 能力型 师生共研7．设12F F 、分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( ) A ．450x y ±= B ．340x y ±= C ．430x y ±= D ．540x y ±= 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】8.双曲线221x y -=与直线y kx =没有公共点，则k 的取值范围是______________． 答案： 11k k ≤-≥或解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】9.设1a >，则双曲线()222211x y a a -=+的离心率的取值范围是_________. 答案：25e <<解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】10.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有： 22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 探究型 多维突破11. 已知F 1和F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 在双曲线右支上，且124PF PF =，求双曲线的离心率的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】点P 在双曲线右支上，故有1212||||2,||4||,PF PF a PF PF 又-==所以21121228||,||.||||||,33a aPF PF PF PF F F ==+≥当且仅当三点共线时取等号．所以28102,333a a a c +=≥即53c a ≤，双曲线的离心率1e >.所以双曲线离心率的取值范围为]351，（. 12. 设双曲线C ：2221x y a -=（0a >）与直线l ：1x y +=相交于不同的两点A 、B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =．求a 的值． 答案：见解析解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】(1)由C 与直线l 相交于不同的两点A 、B 得方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解．消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-=． ①所以22221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得02a <<且1a ≠． 双曲线的离心率22111a e a a +==+． ∵02a <<且1a ≠，∴62e >且2e ≠． (2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(0,1)P ．∵512PA PB =， ∴11225(,1)(,1)12x y x y -=-由此得12512x x =．由于1x 、2x 是方程①的两根，且210a -≠，所以222172121a x a =--，222252121a x a=--． 消去2x 得222289160a a -=-， 由0a >得1713a =．(四) 自助餐1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ） A ．3y x =±B ．13y x =±C ．3y x =±D ．33y x =± 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2． 已知点P 在双曲线221916x y -=上，则P 到双曲线焦点距离的最小值是（ ）A ．9B ．3C ．2D ．无最大值和最小值 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．经过点1(,2)2P 且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 答案：A解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】4. 若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为（ ）A ．12-B．1 2C．1 2±D．2±答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】5. 双曲线2214x yb+=的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是（）A．012b<<B．102b-<<-C．120b-<<D．80b-<<答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】6．已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的离心率152e+=，A与F分别是左顶点和右焦点，B点的坐标为(0,)b，则∠ABF等于（）A．120B．90C．60D．30答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】7.若过双曲线2213yx-=的右焦点2F，作直线l与双曲线的两支都相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________.答案：233,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭πππ解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】8.双曲线221169x y -=上有点P ，1F 、2F 是双曲线的焦点，且123F PF π∠=，则△12F PF 的面积是__________． 答案：93解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】9．已知PQ 为过双曲线的一个焦点F 且垂直于实轴的弦，F '是另一个焦点，若90PF Q '∠=，则双曲线的离心率为__________． 答案：12+解析：【知识点：双曲线的几何性质】10.若双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为()22094x y λλ-=≠ 分00λλ><与讨论，焦点在x 轴上双曲线标准方程为22194x y -=，焦点在y 轴上双曲线标准方程为2241981y x -= 11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)-．（1）求此双曲线的方程；（2）若直线系30kx y k m --+=（k 为参数）所过定点Ｍ恰在双曲线上，求证：12F M F M ⊥． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】 ①2222222212c a b b e a a a +===+=， ∴1b a=．设双曲线的方程为22x y λ-=． ∵点(4,10)-在双曲线上，∴24106λ=-=．∴双曲线的方程为：226x y -=．②证明：直线系方程为：(3)()0k x m y -+-=过定点(3,)M m ．∵M 在双曲线上，∴2236m -=， ∴3m =±．∴(3,3)M ±． 又∵双曲线的焦点为1(23,0)F -、2(23,0)F ．∴121F M F M k k ⋅=-， ∴12F M F M ⊥．12．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．（1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】（1）由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得： 22(3)220a x ax ---= ①依题意得：230△0a ⎧-≠⎨>⎩，解得：66a -<<且3a ≠± ② 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则：1221222③32④3a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪∙=⎪-⎩∵以AB 为直径的圆过坐标原点．∴OA ⊥OB ． ∴12120x x y y += ⑤2121212()1y y a x x a x x =+++．由③④⑤得：22222(1)1033a a a a a -+⋅+⋅+=--． 解得1a =±满足②∴1a =±(2)假设存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称．则直线1y ax =+与12y x =垂直． ∴112a ⋅=-，即2a =-．直线l 的方程为21y x =-+． 将2a =-代入③得124x x +=．∴A 、B 中点的横坐标为2，纵坐标为2213y =-⨯+=-．但A 、B 中点（2，－3）不在直线12y x =上． 故不存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称． 三、 数学视野回顾椭圆定义的拓展，我们在教材第46页双曲线标准方程的推导过程中，对()()2222x c y x c y a ++--+=±和()()22222222c a x a y a c a --=-分别进行变形整理，类似可以得到.双曲线的第二定义：点P 满足,1,PF e e F l d=>∉，则P 点的轨迹为椭圆.其中F 为定点，l 为定直线，e 为离心率，d 为点P 到直线l 的距离.双曲线的第三定义：点P 满足21,1PA PB k k e e ⋅=->，则P 点的轨迹为椭圆，其中,k k分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离心率. PA PB。
人教版高中数学选修(2-1)-2.3《双曲线的简单几何性质(第2课时)》教学设计
2.3.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.掌握双曲线的几何性质，能利用几何性质解决实际问题；2.掌握直线与双曲线的位置关系的判断.（二）学习重点1.双曲线的几何性质；2.双曲线各元素之间的相互依存关系.（三）学习难点1.双曲线的离心率、渐近线问题；2.直线与双曲线位置关系.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第59页至第61页.（2）想一想：直线与双曲线的问题关系有哪些？如何判定？（3）写一写：与22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线方程：22221()()x y a b λλ-=+-. 与22221(0,0)x y a b a b-=>>共渐近线的双曲线方程：2222x y a b λλ-=≠（0）. 2.预习自测1.下面说法正确的是（ ）A.若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.B.过点(1,0)A 作直线l 与双曲线221x y -=只有一个公共点，这样的直线可作2条.C.直线:l y x =与双曲线22:12y C x -=有两个公共点.D.过双曲线外一点可以作双曲线的两条不同切线.答案：C解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】直线与双曲线交于一点，两者可能是相切，也可能是相交，故A 错误；过(10)A ，且与渐近线平行的直线也与双曲线221x y -=只有一个交点，故B 错误；过原点不能作任何直线与双曲线相切，故D 错误.点拨：直线与双曲线问题需注意考虑特殊情况，比如与渐近线平行的直线等等.（二）课堂设计1.知识回顾复习双曲线的几何性质：（1）范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥.这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；（2）对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；（3）顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；（4）渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； （5）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（e >1）. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.2.新知讲解探究一：方程与几何性质●活动① 师生互动，深入理解问题1：椭圆22464x y +=的焦点是？问题2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？ 问题3：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是。
最新人教版高中数学选修1-1教案：2.3.2 双曲线的简单几何性质
变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
(五)典型例题剖析：
1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．
焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．
板书设计
2.3.2双曲线的几何性质
1．范围、对称性
2．顶点
顶点：
特殊点：
实轴： 长为2a, a叫做半实轴长
虚轴： 长为2b，b叫做虚半轴长
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．
(二)类比联想得出性质(性质1～3)
引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．
(三)问题之中导出渐近线(性质4)
在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计
仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字母对调
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精
再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．
(四)离心率(性质5)
2018年人教版数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》参考教案2
2.2.2 双曲线的简单几何性质教学目标1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．理解数形结合的思想．教学重点双曲线的简单几何性质及其探究过程。
教学难点利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程教学双曲线的性质①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。
即，即双曲线在两条直线的外侧。
②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
策略手段③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式：；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上。
⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
例1. 已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于（）A B C D2. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（）A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1课时练习1. (2011年高考安徽卷文科3)双曲线的实轴长是（）（A）2 (B) (C) 4 (D) 4【答案】C【解析】可变形为，则，，.故选C. 2．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
最新人教版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》主动成长(第2课时)
主动成长夯其达标1.双曲线17922=-y x 的焦点到准线的距离是（ ） A.47B.425C.47或425D.423或49解析：∵a 2=9,b 2=7,∴c=4.∴双曲线的焦点坐标是(±4,0), 准线方程是x =±49. ∴双曲线的焦点到准线的距离为4-49=47和4+49=425. 答案：C2.准线方程为y =±1,离心率为2的双曲线的方程是（ ）A.2x 2-2y 2=11 B.x 2-y 2=2 C.y 2-x 2=2 D.y 2-x 2=-2解析：∵双曲线的准线方程为y =±1,离心率为2,∴双曲线的焦点在y 轴上,方程是标准方程且ca 2=1, a c =2.∴a=2,c=2.∴b 2=2.∴双曲线的方程为-22x +122=y ,即y 2-x 2=2. 答案：C3.双曲线2mx 2-my 2=2的一条准线是y =1,则m 的值为（ ） A.43-B.34-C.-3D.-1解析：可知双曲线的焦点在y 轴上,∴m<0.∴双曲线方程可化为--m y 22112=-mx . 因此a 2=m 2-,b 2=m 1-,c 2=m3-. ∵准线是y =1,∴a 2=c,即m 2-=m3-. 解得m=34-. 答案：B4.(2006天津高考，理2)如果双曲线的两个焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3，0），一条渐近线方程为y =2x ，那么它的两条准线间的距离是（ ） A.36B.4C.2D.1解析：由渐近线方程及焦点可设双曲线方程为12222=-b y a x ,其中一条渐近线的方程为y =x a b ,∴a b =2,b=a 2.又a 2+b 2=c 2=9,∴代入解得a 2=3.则两条准线间的距离d=ca 22=2.答案：C5.已知点P 在双曲线116922=-y x 上，则( ) A.P 到双曲线中心的距离的最小值为9 B.P 到双曲线的准线的最小距离为3 C.P 到双曲线的焦点的最小距离为2D.P 到双曲线的焦点既没有最大值也没有最小值解析：∵a=3,b=4,∴c=5.∴双曲线的一个焦半径公式为|PF |=|3-0x ac |=|035x -3|.∵x 0≥3或x 0≤-3,∴当x 0=3时，|PF |min =2. 答案:C6.（原创题）已知双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A.34B.35 C.2 D.37 解析：设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m-n=2a,m=4n,∴m=a 38,n=a 32. 又m-n<2c≤m+n,即2a<2c≤a 310, ∴1<e=a c ≤35.∴e 的最大值为35.答案:B7.准线方程为x +y =1，相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是 . 解析：等轴双曲线的离心率e=2,由双曲线的第二定义，得方程为()()2211-+-y x =2·21-+y x , 化简得xy =2.答案:xy =28.已知双曲线x 2-3y 2=3上一点P 到左,右焦点的距离之比为1∶2,则P 点到右准线的距离为 .解析：设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=.32,211221PF PF PF PF 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.34,3221PF PF又设点P 到右准线的距离为d ，则3322==a c dPF . ∴d=6，即点P 到右准线的距离为6.答案：69.已知双曲线12222=-by a x (a ＞0,b ＞0),F 1、F 2为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，求|PF 1|·|PF 2|的最小值.解析：设P 点的横坐标为x 0，则x 0≥a 或x 0≤-a.由焦半径公式得|PF 1|·|PF 2|=|a-e x 0||a+e x 0|=|a 2-22a c x 02|=22a c x 02-a 2=222a b a +x 02-a 2.∵|x 0|≥a,∴x 02≥a 2.∴|PF 1|·|PF 2|≥222ab a +·a 2-a 2=b 2. 当|x 0|=a 时，上式“=”成立.∴|PF 1|·|PF 2|的最小值为b 2.10.在双曲线1121322-=-y x 的一支上有不同的三点A （x 1,y 1）、B （x 2,6）、C(x 3,y 3),与焦点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标. （1）解：∵e ca y PF =-2,∴|PF |=e y -a.又A 、B 、C 到F 的距离成等差数列，∴2（e y 2-a ）=(e y 1-a)+(e y 3-a). ∴y 1+y 3=2y 2=12.(2)证明：由题意，得①-②，得121(y 1-y 3)(y 1+y 3)-131(x 1-x 3)·(x 1+x 3)=0. ∴3131x x y y --=()()31311312y y x x ++=1331x x +.若x 1+x 3=0.则k AC =0,y 1=y 3=y 2=6,A 、B 、C 三点共线，这是不可能的. ∴x 1+x 3≠0.则AC 的中垂线方程为y -6=3113x x +-(x -231x x +),即y =2251331++-x x x .因此，AC 的中垂线过定点（0,225）.走近高考11.(2006辽宁高考，理8,文12)曲线161022=-+-m y m x (m <6)与曲线19522=-+-my m x (5<m <9)的（ ）A.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.准线相同解析：161022=-+-my m x (m<6)表示椭圆焦点在x 轴上. 19522=-+-ny n x (5<n<9)表示焦点在y 轴上的双曲线. 故排除B 、C 、D ，选A. 答案：A12.(2005江西高考，16)以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，kk =-,则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点.若=21(+),则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线192522=-y x 与椭圆352x +y 2=1有相同的焦点. 其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）解析：命题①错，它表示的是双曲线的一支；命题②错，它表示的是一个圆；命题③④正确. 答案:③④13.(2005北京高考,理19)已知点M （-2，0）、N （2，0），动点P 满足条件|PM |-|PN |=22.记动点P 的轨迹为W. （1）求W 的方程；（2）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OB OA ⋅的最小值.解法一：（1）由|PM |-|PN |=22知动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=2.又半焦距c=2,故虚半轴长b=22a c -=2.所以W 的方程为12222=-y x ,x ≥2. (2)设A 、B 坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).当AB ⊥x 轴时，x 1=x 2,y 1=-y 2. 从而OB OA ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 12-y 12=2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m,与W 的方程联立，消去y 得（1-k 2）x 2-2k m x - m 2-2=0.故x 1+x 2=212k km -,x 1x 2=1222-+k m .所以OB OA ⋅=x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =（1+k 2）x 1x 2+k m(x 1+x 2)+m 2=()()121222-++k m k +22212kmk -+m 2=12222-+k k =1422-+k . 又因为x 1x 2>0，所以k 2-1>0,从而⋅>2.综上，当AB ⊥x 轴时OB OA ⋅取得最小值2.解法二：（1）同解法一.（2）设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）、(x 2,y 2),则x i 2-y i 2=(x i +y i )(x i -y i )=2(i=1,2). 令s i =x i +y i ,t i =x i -y i ,则s i t i =2,且s i >0,t i >0(i=1,2)，所以⋅=x 1x 2+y 1y 2=41(s 1+t 1)(s 2+t 2)+41(s 1-t 1)(s 2-t 2) =21s 1s 2+21t 1t 2≥s 1s 2t 1t 2=2. 当且仅当s 1s 2=t 1t 2,即⎩⎨⎧-==2121,y y x x 时“=”成立.所以OB OA ⋅的最小值是2.。
人教版高中数学选修一3.2.2双曲线的简单几何性质(二)-课件
a2 x
,
c
c
MF
(x c)2 y2 , 依题意 MF
d
c ,∴ a
( x c)2 y2 c ①,
x a2
a
c
方程①两边平方化简整理得
x2 a2
c2
y2 a2
1②
令 c2
a2
b2 ,方程②化为
x2 a2
y2 b2
1 这就是所求的轨迹方程.
∴点 M 的轨迹是实轴长为 2a、虚轴长为 2b 的双曲线.
3
例题讲解 例1 :求下列双曲线的标准方程：
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为
x2
y2
( 0) ,
9 16
(3)2 (2
y a 或 y a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1(-a,0)，A2(a,0)
A1(0,-a)，A2(0,a)
离心率
e c = 1 b2
a
a2
(e 1)
e c = 1 b2
a
a2
(e 1)
渐进线
y b x
y a x
a
b
2
例题讲解 例1 :求下列双曲线的标准方程：
11
例题讲解
例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕 其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半 径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系， 求出此双曲线的方程(精确到1m).
[精品]新人教A版选修1-1高中数学2.2.2双曲线的简单的几何性质(2)优质课教案
![[精品]新人教A版选修1-1高中数学2.2.2双曲线的简单的几何性质(2)优质课教案](https://img.taocdn.com/s3/m/a7e62766b307e87101f696ee.png)
§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）【学情分析】：1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；【教学目标】：知识与技能1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；情感态度与价值观通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：双曲线的简单几何性质的运用【教学难点】：直线与双曲线的位置关系的求解技巧【教学过程设计】：练习与测试：1．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.答案：1922=-y x2．双曲线221x y -=的左焦点为F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关） 答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞解析：画出图形，利用数形结合法求解。
3. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________. 解析：双曲线中，a =21=b ，∴F （±1，0），e =ac =2.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为22∴长半轴长为2，短半轴长为1.∴方程为22x +y 2=1.4. （1）试讨论方程（1－k ）x 2+（3－k 2）y 2=4（k ∈R ）所表示的曲线；（2）试给出方程622-+k k x +1622--k k y =1表示双曲线的充要条件.解：（1）3－k 2>1－k >0⇒k ∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆； 1－k >3－k 2>0⇒k ∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；1－k =3－k 2>0⇒k =－1，表示的是一个圆；（1－k ）（3－k 2）<0⇒k ∈（－∞，－3）∪（1，3），表示的是双曲线；k =1，k =－3，表示的是两条平行直线；k =3，表示的图形不存在.（2）由（k 2+k －6）（6k 2－k －1）<0⇒（k +3）（k －2）（3k +1）（2k －1）<0⇒k ∈（－3，－31）∪（21，2）.5. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A 14322=-y xB 13422=-y x C 12522=-y x D 15222=-y x 答案:D 解析设双曲线方程为2222221,7x y a b a b-=+=1122(,),(,)M x y N x y 分别代入双曲线方程并相减即可求解6.过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 答案：２7.已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P满足条件||||PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（1）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0） （1） 当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，B （x 0，OA OB ⋅＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：（1－k 2）x 2－2kbx －b 2－2＝0……………………1︒ 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则222212221224k b 41k b 202kb x x 01k b 2x x 0k 1⎧⎪∆∙≥⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ ＝－（－）（－－）＋＝－＋＝－ 解得|k|>1又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2综上可知OA OB ⋅的最小值为2设中心为O ，正西的观测点为A ，正东的观测点为B ，正北的观测点为C ，以O 为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M 在AC 的中垂线上，且在以A 、B 为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC 的中垂线：y x =- ① 双曲线：2221680578000x y -= ②解①②得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴巨响位于西北方向，距中心为68m 。
高中数学 2.2双曲线的几何性质(2)教案 文 新人教版选修1-1-新人教版高二选修1-1数学教案
课题： 双曲线的几何性质〔2〕[引路课]课时：13 课型：新授课 学习札记〖学习目标及要求〗：1、学习目标：〔1〕能用对比的方法分析双曲线的X 围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；； 〔2〕掌握双曲线的渐近线的概念和证明；〔3〕能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。
2、重点难点：双曲线的X 围、对称性、顶点和渐近线。
3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。
4、表达的思想方法：类比、设想。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗： 一、预习反馈:二、探究精讲:以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明双曲线的顶点、渐近线和离心率。
1、顶点：在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-bya x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1〕注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的〔椭圆有四个顶点〕，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
感悟一：2〕实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上〔为要确定渐进线〕，但要注意他们并非是双曲线的顶点。
2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线12222=-by a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
在初中学习反比例函数xky =时提到x 轴y 轴都是它的渐近线。
高中三角函数tan y x =，渐近线是)(2Z k k x ∈+=ππ。
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。
3、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e =ac，叫双曲线的离心率.说明：①由c >a >0可得e >1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔. 探究二： 课本51页例3双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面〔见课本〕，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高55m ，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程〔精确到1m 〕 探究三：例3．求与双曲线2244x y -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的方程。
人教A版高中数学选修1-1课件2.2.2《双曲线的简单几何性质(2)》
即y- 25 2
x1 x2 y2 y1
x,则AC的中垂线恒过点(0,225 ).
例4.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能
沿AP,BP运到P处,PA=100m,PB=150mAPB=60 ,
M
试证明怎样运土才能最省工.
解 : 设M是沿AP,BP到P同样近的点.
MA AP MB BP A O
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点，求证：| PF1 | a ex0 ，
| PF2
| a ex0
其中e为双曲线的离心率。 l'
y
l
证明：双曲线的左准线为 x a2
P.
c
| PF1 |
由双曲线的第二定义得：
x0 整理得 :| PF1 | ex0 a
a2 c
c a
对于双曲线
x2 a2
y2 b2
1，
.
.
F’ O
F
x
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
a2 x .
c
左焦点 F1 (c，0)对应的左准线方程是
x a2 . c
焦点在y轴上的双曲线的准线方 程是：y a2 c
例2 已知双曲线x2 － y2 a2 b2
1(a
0,b 0)的焦点F（1 c,0）F2 (c,0),
.
F1 O.F2 Nhomakorabeax
由双曲线的第一定义得：|PF2 || PF1 | 2a ex0 a
| PF1 |min c a
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
双曲线第二定义的应用
最新人教版高中数学选修1-1 2.2.2双曲线的几何性质1优质课件
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
e c a
5 4
渐近线方程:
即
y 4x 3
练习题:填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32 程
2a
82
2b
4
9x2 y2 81 x2 y2 4
6
4
18
4
x2
y2
1
49 25
10
14
范围
|x|≥ 4 2 |x|≥3
|y|≥2
|y|≥5
顶点 焦点
离心率 渐进线
4 2,0
6,0
e3 2 2
y 2x 4
(±3,0)
3 10 ,0
e 10
y=±3x
(0,±2)
0,2 2
e 2
x y
(0,5)
0, 74
e 74 5
x7 y 5
5、渐近线方程：y b x
6、离心率：e= c
a
a
Y
B2
X
A2
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程：
双曲线性质：
y2 a2
x2 b2
1
1、 范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）
a
a
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2
1
a2 b2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二课时
温故知新
新知预习
1.双曲线的焦距与实轴长的比e =a
c 叫双曲线的，e 的范围是. 2.双曲线的第二定义:动点M 与定点F (c,0)的距离和它到定直线l:x =c
a 2的距离的比为常数a
c (c>a>0),则动点M 的轨迹是,定直线l 叫做. 3.双曲线的焦半径公式为|PF |=.
4.若双曲线的实轴为2a,焦距为2c,则双曲线上的点到焦点的距离的最小值是 . 基础示例
1.双曲线122
22=-b
y a x 的准线方程为（ ） A.x =±222
b a a + B.y =±222b a a +
C.x =±222
b a b + D.y =±222b a b +
解析:∵双曲线的焦点在y 轴上,
∴双曲线的标准方程为y =±
222b a a +.
答案:B 2.(2006湖南高考，文4，理2)如果双曲线112
132
2=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是…（ ） A.513 B.13 C.5 D.13
5 解析：考查双曲线的基本量的运算. ∵a=13,c=5,由双曲线的第二定义，得
==e d 13a c =13
5,∴d=513. 答案：A。