求极限的13种方法

求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。

本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。

常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。

例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim na a a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。

常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。

分析 这是含根式的（0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。

解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。

例4、求极限∞→n lim n nn !分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。

解 因为n n n n n n n nn o n1121!≤⋅-⋅⋅=≤， 且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以∞→n lim nn n !=0 五、利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式)(1n n x f x =+的数列极限。

在确定∞→n lim n x 存在的前提下，可由方程A=f(A)解出A ，则∞→n lim nx =A 。

例5、设)3(41,0,0311nn n x ax x x a +=>>+，（n=1,2,…）,求极限∞→n lim n x 。

分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界准则。

解 由)3(41,0,0311nn n x ax x x a +=>>+易知n x >0。

根据算术平均数与几何平均数的关系，有44331)(41a x ax x x x a x x x x nn n n n n n n n =≥+++=+ 所以，数列n x 有下界4a ，即对一切n >1,有n x ≥4a又 1)3(41)3(4141=+≤+=+aax a x x n n n 所以,1n n x x ≤+即数列单调减少。

由单调有界准则知数列n x 有极限。

现设∞→n lim n x =A,则由极限的保号性知A ≥4a >0. 对式子)3(4131n n n x a x x +=+两边同时取极限得)3(413Aa A A += 解得 A=4a ,即∞→n lim n x =4a （已舍去负根） 六、利用等价无穷小求极限利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简便、快捷的方法。

学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵活应用。

同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷小替换。

例6、求极限xx x ln )1sin(sin lim1-→分析 此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx 均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。

解 当1→x 时，1~)11ln(ln ,1~)1sin(~)1sin(sin ,01--+=---→-x x x x x x x 则故原式=111lim1=--→x x x 七、利用导数定义求极限利用导数定义求极限适用于ba b x f a x f b a -+-+→-)()(lim000)(型极限，并且需要满足)('0x f 存在。

例7、求n n an a ]sin )1sin([lim +∞→，其中10<<a 。

分析 初步可判断此题为（∞1）型未定式，先通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，再进一步利用导数定义求得极限。

解 n n an a ]sin )1sin([lim +∞→=]sin )1sin(ln[lim an a n n e +⋅∞→而 n an a an a n n n 1sin ln )1sin(ln lim ]sin )1sin(ln[lim -+=+⋅∞→∞→由导数的定义知，nan a n 1sin ln )1sin(ln lim -+∞→表示函数lnsinx 在x=a 处的导数。

即a x an a n ax n cot ]'sin [ln ]sin )1sin(ln[lim ==+⋅=∞→。

八、利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限适用于∞•∞∞0,,00型未定式，其它类型未定式也可通过恒等变形转化为∞•∞∞0,,00型。

洛必达法则使用十分方便，但使用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。

例8、求极限203cos cos limx xx x -→解 原式=423cos 9cos lim 23sin 3sin lim 00=+-=+-→→xx x x x x x 注：连续两次使用洛必达法则九、利用微分中值定理求极限利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理，即),),(')()(b a f ba b f a f （其中∈=--ξξ。

例9、求极限xx e e xx x sin lim sin 0--→ 分析 若对函数x x f e (=），在区间[]x x ,sin 上使用拉格朗日中值定理 则：),sin ,sin sin x x e xx e e xx （其中∈=--ξξ 解 由分析可知),sin ,sin sin x x e xx e e xx （其中∈=--ξξ 又 0,sin ,0sin 0→<<→→ξξ故时，有x x x x所以x x e e xx x sin lim sin 0--→=1lim 0=→ξe x 十、利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限是求极限的又一极为重要的方法。

与其它方法相比，泰勒公式略显繁琐，但实用性非常强。

例10、求极限xx xx x sin tan arcsin arctan lim0--→分析 若使用洛必达法则，计算起来会相当麻烦；同时分子并非两因式之积，等价无穷小也不适用，此时可以考虑用泰勒公式。

解 )(6arcsin ),(3arctan 03333x o x x x x o x x x x +-=+-=→时，由于当321~)cos 1(tan sin tan x x x x x -=- 故 原式=121)(21lim 21)](6[)](3[lim 3330333330-=+-=+--+-→→x x o x x x o x x x o x x x x 十一、利用定积分的定义求极限由定积分的定义知，如果f(x)在[]b a ，上可积，那么，我们可以对[]b a ，用特殊的分割方法（如n 等分），并在每一个子区间特殊地取点（如取每个子区间的左端点或右端点），所得积分和的极限仍是f(x)在[]b a ，上的定积分。

所以，如果遇到某些求和式极限的问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限。

这里关键在于根据所给和式确定被积函数和积分区间。

例11、求极限))1(sin 2sin(sin 1lim nn n n nn πππ-+++∞→解 从和式))1(sin 2sin (sin 1n n n n n πππ-+++ 看，若选被积函数为x πsin ,则因分点[].101011，，故积分区间为与时分别趋于当与∞→-n nn n[]从而有等分，则有，将,110nx i =∆：原式=))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ-+++∞→ =[]ππππ2cos 1sin 110=-=⎰o x dx x 十二、利用级数收敛的必要条件求极限级数具有以下性质：若级数∑∞=1n u n 收敛，则0lim =∞→n n u 。

所以对于某些极限),(lim n f n ∞→可以将函数f(n)作为级数∑∞=1n f(n)的一般项，只需证明级数∑∞=1n f(n)收敛，便有),(lim n f n ∞→=0.例12、求极限2)!(lim n n nn ∞→解 令有对于正项级数,u ,)!(1n 2∑∞==n nn n n u 01lim 11)11(lim )1()1(lim )!())!1(()1(lim u u lim 2211=+=++=++=⋅++=∞→∞→∞→+∞→+∞→n e n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n 由比值审敛法知，级数,10u ulim 1<=+∞→nn n 收敛。

∑∞=1n u n 故2)!(lim n n n n ∞→=0 十三、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和。

此时常常可以辅助性地构造一个函数在某点的值。

例13、求极限)333321(lim 12-∞→++++n n n 分析 若构造幂级数∑∞=-1n 1n nx ，则所求极限恰好是此级数的和函数在31=x 处的值。

解 考虑幂级数∑∞=-1n 1n nx ，由于 ）时，该级数收敛。