2018年秋八年级数学上册第2章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算
北师大版八年级上册数学 2.7 第3课时 二次根式的混合运算优质教案
2.7 二次根式第3课时二次根式的综合运算复习引入1、什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答）可以化简为．继续提问：，可以化简吗？，可以化简吗？这就是本节课研究的内容——二次根式的加减法．2、复习整式的加减运算：计算：（1）；（2）；（3）。
小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算。
自主探究（一）探究新知问题中的化简 1、2、点拨：如果把二次根式当成x、y，不就转化为上面的问题了吗？（学生在教师的指导下完成）解： 1、2、小结：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算。
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算。
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
3、例题解析例1 ：下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，解：略例2 计算解：例3 计算解：二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变。
（可对比整式的加减法则）例4 计算：（1）解：（2）解：（二）随堂练习：课本练习1、2题计算：（1）；（2）；（3）（三）总结、扩展1、同类二次根式的定义2、二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题（四）布置作业：课本习题7.2 A组1、2题B组1题（五）板书设计标题1．复习题2．整式的加减例题3．例题（1）、（2）4．同类二次根式5．例题（1）、（2）、（3）、（4）6．练习题7．小结（六）达标训练：本节课开始时，首先由一个要在一块长方形木板上截出两块面积不等的正方形，引导学生得出两个二次根式求和的运算。
从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算?这样通过问题指向本课研究的重点，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。
本节课是二次根式加减法，目的是探索二次根式加减法运算法则，在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则。
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.教材：确保每位学生都提前准备好北师大版《数学》八年级上册教材，翻到第二章实数7二次根式相关内容，以便课堂上随时翻阅和标注。
2.辅助材料：
-准备与二次根式混合运算相关的教学图片，如含有二次根式的实际应用题目图片，以直观展示数学在生活中的运用。
-制作动态图表，展示二次根式乘除运算的过程，帮助学生理解运算规则。
-设计课堂小测验，测试学生对二次根式混合运算规则的理解程度和运算能力，根据测试结果调整教学策略，针对性地进行辅导。
-利用课堂反馈表，让学生自我评价学习效果，反思学习过程，促进学生的自我管理和自我提升。
2.作业评价：
-对学生的课后作业进行认真批改，点评作业中的亮点和不足，及时反馈学生的学习效果，帮助学生明确自己的学习进步和需要改进的地方。
简要回顾本节课学习的二次根式混合运算内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握二次根式混合运算的规则，包括二次根式的乘除法运算，以及与整数、分数的混合运算。
-学生通过对比、归纳等学习方法，加深了对二次根式混合运算规则的理解，提高了逻辑思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观：
-学生在学习过程中，逐渐消除了对二次根式混合运算的恐惧和畏难情绪，增强了自信心和耐心。
-学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养了学以致用的意识，增强了学习数学的兴趣和动力。
-学生通过拓展知识的学习，拓宽了知识视野，激发了探索学科前沿的兴趣，培养了创新精神和探索意识。
核心素养数学学习后，已具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们在知识层面，对二次根式的概念和基本性质有初步了解，但混合运算的掌握程度参差不齐。在能力方面，学生的运算能力和问题解决能力有待提高，特别是将二次根式与整数、分数结合进行混合运算时，需要加强练习以提升熟练度和准确性。
北师版八年级数学上册第二章 实数7 二次根式
二次根式
乘、除法
运算
最后结果
加、减法
C. 2 2
D. 2
感悟新知
知识点 4 二次根式的乘除法
语言叙述
知4－讲
符号表示
a · b= ab ( a ≥
乘法 两个二次根式相乘，把被开
法则 方数相乘，根指数不变
0，b ≥ 0)
a
a
除法 两个二次根式相除，把被开
= (a≥0，
b
b
法则 方数相除，根指数不变
b ＞ 0)
感悟新知
知4－讲
法则
推广
9
9
9 3
122×(32＋中，正确的是(
A. ( － 6) 2= － 6
B.
4
9
3
=2
16
4
C. 21 ÷ 7 =3
D. 25a4 =5a2
D )
感悟新知
知识点 3 最简二次根式
概念
满足的条件
知3－讲
化简二次根式的一般方法
(1)如果被开方数是分数
(包括小数和分式)，先利
A. － 1
B.0
C.2
D.6
知1－练
例2
9
若y＝ x－3＋ 3－x＋2， 则xy＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a ≥ 0，
a ≥ 0”进行解答.
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ x－3＋ 3－x ＋2，所以y＝2，
行运算 . 例如： m a ·n b =mn ab
感悟新知
知4－讲
特别提醒
八年级上册数学二次根式混合运算
《八年级上册数学二次根式混合运算》同学们，咱们今天来聊聊八年级上册数学里的二次根式混合运算。
先来说说什么是二次根式。
比如说，根号 2 、根号 5 ，这就是二次根式。
那二次根式的混合运算呢，就是把二次根式和加减乘除这些运算放在一起。
咱们来看个例子，比如根号 3 加上 2 倍的根号 3 ，这就等于 3 倍的根号3 。
再比如，根号 5 乘以根号 2 ，就等于根号10 。
给大家讲个小故事。
小明在做数学作业，遇到了一道二次根式混合运算题：（根号2 + 根号3）乘以（根号 2 -根号3）。
小明一开始有点懵，后来他想到了平方差公式，就把它变成了（根号2）的平方减去（根号3）的平方，也就是2 - 3 = -1 。
咱们再看这道题，根号8 除以根号 2 ，先把根号8 化简成 2 倍的根号 2 ，然后2 倍的根号 2 除以根号 2 ，就等于 2 。
还有像 3 倍的根号 5 减去根号20 ，要先把根号20 化简成 2 倍的根号
5 ，然后3 倍的根号5 减去2 倍的根号5 ，结果就是根号5 。
老师在课堂上会给咱们出很多这样的题目练习。
大家做的时候别着急，一步一步来，先化简，再计算。
多做几道题，咱们就能越来越熟练啦。
相信同学们通过努力，都能把二次根式混合运算掌握好！。
二次根式第3课时课件
二次根混合运算的顺序
我们知道实数的混合运算顺序为：先算乘方和开方，再
算乘法和除法，最后算加减；同级运算按从左到右的顺
序依次运算；有括号的先算括号内的，再算括号外的.
二次根式的混合运算顺序为和实数的运算顺序一样.
教学过程——新知探究
第二章 实数
知识点2 二次根式混合运算的运算法则
加法法则、乘法法则及乘法公式
(−
)
.
= −
(5)原式 = ( ) − × + ( )
= − .
教学过程——典例精析
第二章 实数
听一听
典例2 计算：
−
−
− 273
解：原式 =
− − ( − )
= − − + ).
教学过程——学以致用
第二章 实数
做一做
1. 使式子 − 有意义的的取值范围是（ D ）
A．＞2
B．≥﹣2
C．＜2
D． ≥ 2.
2. 若 + 是整数，则能取的最小整数为（ A ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.若 = − + − − ，则|﹣|的值是（ C ）
A．-1-
B． −1
C． +
D．1-
教学过程——学以致用
做一做
4.视察下列等式：
第1个等式： =
= − ，
+
第2个等式： =
= −
+
第3个等式： =
= − ，
+2
北师大版八级数学上册第章实数二次根式第课时二次根式的混合运算
A．9
B．±3
C．3
D．5
10．对于任意的正数m、n，定义运算※为：m※n＝
m－ m＋
nm≥n nm＜n
，计
算(3※2)×(8※12)的结果为( B )
A．2－4 6
B．2
C．2 5
D．20
11．已知a＝2＋ 3，b＝2－ 3，则a1＋1b＝ 4 .
12．若梯形的上底为 3 cm，下底为 12 cm，高为 3 cm，则这个梯形的面 9
＝ 2
3－
2.
请回答下面的问题；
(1)观察上面的解题过程，请直接写出
1 n＋
n－1的值；
(2)利用上面的规律计算：
(
1 1＋
＋ 2
1 2＋
＋ 3
1 3＋
＋…＋ 4
1 2016＋
＋ 2017
1 2017＋
2018 )×(1＋
2018)．
解：(1)
1 n＋
n－1＝
n－
n－1；
(2)原式＝( 2 －1＋ 3 － 2 ＋ 4 － 3 ＋…＋ 2017 － 2016 ＋ 2018 －
积是 2 cm3. 13．计算：
(1) 45÷ 51× 223； (2)(5 48＋ 12－6 27)÷ 3；
(3)(13 27＋2 32－ 24)×2 3； (4)(4 6－4 12＋3 8)÷2 2. 解：(1)原式＝10 6； (2)原式＝4； (3)原式＝6－8 2； (4)原式＝2 3 ＋2.
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年7月28日 星期三 2021/7/282021/7/282021/7/28
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2021年7月 2021/7/282021/7/282021/7/287/28/2021
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.拓展资源：
（1）数学杂志：《数学通报》、《数学竞赛》等杂志，其中包含了大量的二次根式混合运算的相关文章和题目，适合学生进行深入研究和挑战。
（2）在线教育平台：可汗学院、网易云课堂等平台上有许多关于二次根式混合运算的教学视频和练习题，可以帮助学生巩固知识点。
（3）数学论坛和博客：数学论坛和博客上有许多数学老师和专家分享的关于二次根式混合运算的教学经验和心得，学生可以从中学习和借鉴。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的混合运算的基本概念。二次根式的混合运算是指……（详细解释概念）。它在数学中扮演着重要的角色，特别是在解决实际问题时。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式混合运算在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学活动设计：
（1）角色扮演：学生分组扮演不同角色，如售货员、顾客等，运用二次根式的混合运算规则计算商品价格，解决实际问题。
（2）实验操作：学生在实验室进行有关二次根式的实验，如测量物体长度、面积等，培养他们的实验操作能力和问题解决能力。
（3）数学游戏：设计有关二次根式混合运算的数学游戏，如卡片游戏、竞赛等，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学运算能力。
难点举例：
（1）加法运算：计算-√5 + √3，先化为同号，即-√5 + √3 = -（√5 - √3），再合并得到-√5 + √3 = -（√5 - √3）。
（2）乘法运算：计算√2 × √15，根据乘法运算规则，底数相乘，指数相加，得到√（2×15）= √30。
（3）混合运算：一个正方形的边长为√5，求该正方形的面积。将实际问题转化为二次根式的混合运算，即√5 × √5 = √（5×5）= √25 = 5。
八年级数学上册第2章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算新版北师大版
)
＋1)× (－1＋
＝(2 ＋2) − ＋
＝2(
)
＝( )2－1＝2 023.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
乘 法；也可利用 分配 律，先算 乘 法，再算
减 法，结果是 2 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 计算3 ÷3
1
2
3
－2
4
5
6－2
的结果为
6
7
8
9
10
11
12
13
14
.
15
的结果是(
3. 计算( － )×
A.
B )
B. 1
C.
D. 3
)2＝5＋2 ＋3＋5－2 ＋3＝16，
所以 AB ＝ ＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 观察下列各式：
−
① f (1)＝
，
−
② f (2)＝
，
−
③ f (3)＝
，
−
④ f (4)＝
，
…
利用你观察到的规律解决下列问题：
北师大版八年级上册数学 2.7 第3课时 二次根式的混合运算 优秀教案
第3课时 二次根式的混合运算1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点)一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm 、(3＋2)cm ，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算： (1)ab(a 3b ＋ab 3－ab)(a≥0，b ≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)． 解：(1)原式＝ab(a ab ＋b ab －ab)＝a ab ×ab ＋b ab ×ab －ab ab ＝a 2b＋ab 2－ab ab ；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533； (3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a ＝15－2，b ＝15＋2，求a 2＋b 2＋2的值．解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，最后代入求解．解：∵a＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b ＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a ＋b ＝25，ab ＝ 1.∴a 2＋b 2＋2＝（a ＋b ）2－2ab ＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论． 解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧综合运算化简求值实际应用经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．。
北师大八上数学2.7 第3课时 二次根式的混合运算
解：（3） ( 24 1 ) 3 24 3 1 3
6
6
24 3
1 3 6
8
1 63
42
2 66
2 2 1 2 11 2 .
6
6
2．议一议：
化简
1a－
b· ab，其中 a＝3，b＝2，
你是怎么做的？
小提示：把二次根式中的 被开方数由原来的数字形 式改为字母形式
注：对于被开方数是字母形式的，先进行化简， 再把字母的值代入求值．
随堂练习
2.计算.
（1）
2 5
1 10
；（2）12
3
1 ；（3）( 18
3
1 ) 2
8
解：（1） 2
1
25
110 1 10 1
10
5 10 55 1010 5
10
1 10 ; 10
（2） 12
3
1
43
3
1 3
3
33
2
3
31 3
3 4 3
3;
（3） ( 18 1 ) 8
2 18 8 1 8
不必将它化成最
简二次根式．
(1) 3 2 ; (2) 18 8 1 ; (3)( 24 1 ) 3.
23
8
6
解：（1）
3 2
2
3
32 22
23 1 33 2
61 3
6
(1 1) 6 1 6 ;
23
6
（2） 18 8 1 32 2 22 2 2
8
16
3 22 21 2 5 2 ; 44
解：贺卡的周长为 4 ( 288 338) 4 (12 2 13 2)