第七章 假设检验与方差分析
梁前德《统计学》(第二版)学习指导与习题训练答案：07第七章 假设检验与方差分析 习题答案
旗开得胜1第七章 假设检验与方差分析 习题答案一、名词解释用规范性的语言解释统计学中的名词。
1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。
2. 原假设：又叫零假设或无效假设，是待检验的假设，表示为 H 0，总是含有等号。
3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。
4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。
5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。
6. 方差分析：是检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。
二、填空题根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。
1. u ，nx σμ0-，标准正态； ),(),(2/2/+∞--∞nz nz σσααY2. 参数检验，非参数检验3. 弃真，存伪4. 方差旗开得胜25. 卡方， F6. 方差分析7. t ，u8. nsx 0μ-，不拒绝9. 单侧，双侧10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r18. 正态，独立，方差齐三、单项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。
1．B 2．B 3. B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C四、多项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。
1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD五、判断改错对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。
1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。
( ×)样本量一定时2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t检验均可使用，且两者检验结果一致。
六西格玛绿带：假设检验与方差分析课后测试
六西格玛绿带：假设检验与方差分析课后测试1、运用方差分析的方式对一个母集团的平均检定，样品大，并且知道西格玛时，需要使用哪种检验（10分）A Z检验B T检验C双样本t检验D成对数据t检验正确答案:A1、基础统计学中的描述性统计可以分为（10分）A图表法B参数估计C数量表示法D假设检验正确答案:A C2、关于假设检验存在的错误之一，即错杀,下列说法正确的是（10分）A原假设为真时拒绝原假设B错误的概率记为α，被称为显著性水平C原假设为假时未拒绝原假设D错误的概率记为β正确答案:A B3、在假设检验中，按P值进行决策规则，下列说法正确的是（10分）A将检验统计量的值与α水平的临界值进行比较。
B在原假设为真的条件下，检验统计量的观察值大于或等于其计算值的概率。
C反映实际观测到的数据与原假设之间不一致的程度。
D被称为观察到的（或实测的）显著性水平。
正确答案:B C D4、运用方差分析的方式对两个以上母集团的平均检定，需要使用哪种检验（10分）A单因子方差分析B双因子方差分析C双样本t检验D成对数据t检验正确答案:A B5、下列关于方差分析中的群内变动和群间变动的说法正确的是（10分）A群内变动是同一条件或者子组内的变动B群间变动是不同条件或者子组间的变动C群内变动又叫组内变动D组间变动又叫群间变动正确答案:A B C D1、在方差分析的应用中，如果P小于0.05，而且R-sq大于80%，说明原假设一定是正确的。
（10分）A正确B错误正确答案:错误2、在假设检验中，原假设和备择假设必须设置为一致的。
（10分）A正确B错误正确答案:错误3、方差分析的实质是双样本T测试的扩展，是找出几个样本平均差异的方法。
（10分）A正确B错误正确答案:正确4、均值检验的应用条件是样本含量N较大，或总体标准差已知。
（10分）A正确B错误正确答案:正确。
统计分析中的假设检验与方差分析
统计分析中的假设检验与方差分析统计分析是一种科学的方法，通过对数据进行收集、整理、分析和解释，帮助我们了解现象背后的规律和关系。
在统计分析中，假设检验和方差分析是两个重要的概念和工具。
本文将介绍这两个概念的基本原理和应用。
一、假设检验假设检验是统计学中的一种常用方法，用于判断样本数据是否能够反映总体的特征。
在假设检验中，我们首先提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后通过对样本数据的分析，判断是否拒绝原假设。
在假设检验中，我们需要进行以下几个步骤：1. 确定原假设和备择假设：原假设通常是我们要证伪的观点，备择假设则是我们要支持的观点。
例如，我们想要检验某个新药物是否有效，原假设可以是“该药物无效”，备择假设可以是“该药物有效”。
2. 选择显著性水平：显著性水平（α）是我们在进行假设检验时所允许的错误概率。
通常情况下，我们选择的显著性水平为0.05或0.01。
如果计算得到的p值小于显著性水平，则我们拒绝原假设。
3. 计算检验统计量：检验统计量是根据样本数据计算得到的一个数值，用于判断样本数据是否支持备择假设。
常见的检验统计量包括t值、F值等。
4. 判断拒绝或接受原假设：根据计算得到的检验统计量和显著性水平，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果p值小于显著性水平，则我们拒绝原假设，否则我们接受原假设。
假设检验在实际应用中具有广泛的应用，例如医学研究、市场调查、工程设计等。
通过假设检验，我们可以对研究结果进行客观的评估和判断，从而做出更准确的决策。
二、方差分析方差分析是一种用于比较多个样本均值是否存在显著差异的统计方法。
在方差分析中，我们将总体分为若干个独立的组，然后通过计算组间方差和组内方差的比值，来判断不同组之间的均值是否存在显著差异。
方差分析的基本原理是利用方差的性质来比较样本均值之间的差异。
具体步骤如下：1. 确定独立变量和因变量：独立变量是我们要比较的不同组别，而因变量是我们要研究的特征或指标。
07 假设检验
2=02
202
2
2=()02 2>02 2=()02 2<02
2 n 1 S
2 0
单个正态总体均值已知的方差检验——2检验
问题：总体 X~N（，2），已知 假设
H0 : ; H1 : ;
2 2 0 2
构造2统计量 2
概率论与数理统计
第七章 假设检验
主要内容
假设检验的基本概念 正态总体参数的假设检验 *多个正态总体均值的比较——单因素方差 分析 *2拟合优度检验
§7.1 假设检验的基本概念
一、统计假设与统计假设检验 统计假设：通过实际观察或理论分析对总体分布形式 或对总体分布形式中的某些参数作出某种假设。 同一问题中的统计假设有两个：原假设和备择假设
基本原则——小概率事件在一次试验中是不可能发生的。 思想：如果原假设成立，那么某个分布已知的统计 量在某个区域内取值的概率应该较小，如果样本的观 测数值落在这个小概率区域内，则原假设不正确，所以， 拒绝原假设；否则，接受原假设。
• 假设检验的推理用到概率性质的反证法：先假设
H0正确，看由此可以推出什么结果。如果样本观 测值导致了一个不合理现象的出现，则有理由否 定原假设H0，而接受备择假设H1；否则，只能将 原假设H0当做真的保留下来。
故T统计量的观测值为
x 99.978 100 T 0.0545 S n 1.212 9
因为0.0545<1.86 ，即观测值落在接受域内 所以接受原假设，即可认为这天的包装机工作正常。
单边检验
H0：=0；H1：0
拒绝域为
X 0 P t (n 1) S n
X
7假设检验方法方差齐性检验方差分析
•
一般我们会采用公式
（拒绝区在右测）。
进行单侧检验
• 决策如下：
•
若
，则拒绝原假设，即两总体方差
差异显著；
•
若
，则接受原假设，即两总体方差
差异不显著（方差具有齐性）
•
•
7假设检验方法方差齐性检验方差分析
4
两个独立样本方差间差异的显著性检验
• 例 某次教改后，从施行两种不同教学方法的班级 中随机各抽出10份和9份试卷，得到如下的成绩数 据：
14
单因素完全随机设计方差分析的过程
• 实验中的自变量称为因素，只有一个自变
量的实验称为单因素实验；有两个或两个以上 自变量的实验称为多因素实验。
统计假设检验方法(二)
统计假设检验是统计推断的重要方法, 一般需要对平均数的差异 显著性进行检验,分单总体和双总体两种情况(用Z检验或t检验).若 比较三个或三个以上均数差异用方差分析.若对方差(统计量)差异进 行检验,用F检验;对分类计数变量的统计推断用卡方检验.本章主要 研究:
1、F检验—方差齐性检验（即检验总体方差是否相等）； 2、方差分析—三个或三个以上均数差异分析；
7假设检验方法方差齐性检验方差分析
7
二、单因素完全随机设计方差分析
•
检验两个总体之间平均数差异
显著性用Z检验或t检验;检验两个总
体方差差异显著性用F检验;检验三
个或三个以上均数之间的差异性用
方差分析.这部分主要介绍:
1、方差分析的基本原理 2、方差分析的一般步骤 3、单因素完全随机设计方差分析过程
方差分析的基本原理:
方差分析就是将总体变异分解为组间变异( ) 和由抽样误差等其他原因产生的组内变异( ), 然后分析组间变异与组内变异的关系.若样本组 间变异比组内变异显著地大,则认为组间有本质 性差异,否则不认为组间有显著性差异.
假设检验方差分析
方差分析是通过比较不同组别之间的差异来检验假设
的一种统计方法。
02
它通过将总变异性分解为组间变异性和组内变异性，
来评估组间差异是否显著。
03
方差分析的基本思想是，如果各组之间存在显著差异
，那么组间变异性应该大于组内变异性。
方差分析的应用场景
01 比较不同组别之间的平均值是否存在显著差异。 02 检验一个或多个分类变量对连续变量的影响。 03 在实验设计中，用于评估不同处理或条件下的结
进行统计检验
根据样本数据和选择的统计量， 计算相应的值并进行统计检验。
提出假设
根据研究问题和数据情况，提 出原假设和备择假设。
确定显著性水平
确定一个合适的显著性水平， 用于判断假设是否成立。
做出推断
根据统计检验的结果，做出拒 绝或接受原假设的推断。
03 方差分析的原理及应用
方差分析的基本思想
01
提高数据分析的全面性和准确性。
04
加强假设检验和方差分析的理论研究，深入探讨其数 学原理和理论基础，为方法的改进和创新提供理论支 持。
THANKS FOR WATC
多因素方差分析用于比较多个分类变量与一个连续变量的关系。
详细描述
例如，比较不同品牌、不同型号、不同生产年份手机的使用寿命，通过多因素方差分析可以判断这些 因素对手机使用寿命的影响是否有显著差异。
05 结论
假设检验和方差分析的重要性
假设检验是统计学中一种重要的统计推断方法，通过检验假设是否成立，可以判断样本数据是否支持 或拒绝原假设，从而得出科学可靠的结论。
04 实际应用案例
单因素方差分析
总结词
单因素方差分析用于比较一个分类变 量与一个连续变量的关系。
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
假设检验与方差分析的作业
管理工程学院硕士生《应用统计方法》课程作业I 假设检验与方差分析一、假设检验：(配对均值检验)1、某药厂最近研制出一种新的降压药，为了验证其疗效，选择15个高血压病人进行实验。
数据表是服药前后的血压值。
选用适当的统计方法验证该药是否有效。
patient 1 2 3 4 5 6 7 8 before 115 135 127 130 103 90 101 104 after 109 120 125 130 105 94 90 100patient 9 10 11 12 13 14 15before 109 89 120 113 118 130 120after 90 90 110 103 100 121 108二、方差分析：1、对于硅酸盐水泥的抗折强度，用四种不同的配方方法收集了以下数据：配方法抗折强度1 3129 3000 2865 28902 3200 3300 2975 31503 2800 2900 2985 30504 2600 2700 2600 2765（1）检验配方法影响水泥砂浆强度的假设。
（2）选择一种比较方法对均值进行比较。
2、纺织厂有很多织布机，设每台机器每分钟织出同样的布，为了研究这一假设，随机选取5台织布机并测定它们在不同时间的产量，得出数据：织布机产量1 14.0 14.1 14.2 14.0 14.12 13.9 13.8 13.9 14.0 14.03 14.1 14.2 14.1 14.0 13.94 13.6 13.8 14.0 13.9 13.75 13.8 13.6 13.9 13.8 14.0（1）说明为什么这是一种随机效应实验。
织布机的产量相等吗？（2）估计织布机间的变异。
（3）估计实验的误差方差。
3、电视机厂感兴趣于对彩色显像管四种不同的涂层对显像管的电导率是否有影响。
测得电导率的数据如下：涂层电导率1 143 141 150 1462 152 149 137 1433 134 136 132 1274 129 127 132 129 （1）涂层使电导率有差异吗？（2）估计总均值与处理效应。
假设检验与方差分析
参数检验
不依赖于总体参数的假设，而是直接对样本数据进行统计分析，例如中位数、众数等。
非参数检验
假设检验的类型
做出推断
根据样本数据和临界值的比较结果，做出关于总体参数的推断。
计算临界值
根据选择的统计量和显著性水平，计算临界值。
确定显著性水平
选择一个合适的显著性水平，用于判断样本数据是否具有统计学上的意义。
03
2. 收集数据
收集不同肥料处理下的农作物产量数据。
04
3. 数据整理
对数据进行整理，分组并计算各组的均值和总体均值。
05
4. 计算方差分析表
包括组间方差、组内方差和总方差。
06
5. 做出决策
根据组间方差和组内方差的比较，判断是否拒绝原假设。
方差分析案例
06
总结与展望
总结
01
假设检验与方差分析是统计学中常用的方法，用于研究不同组别之间的差异和比较不同数据集之间的关系。
假设检验与方差分析
目录
contents
引言 假设检验的基本概念 方差分析的基本概念 假设检验与方差分析的关联 案例分析 总结与展望
01
引言
是一种统计推断方法，通过检验样本数据是否符合某一假设，从而对总体做出推断。
是一种统计方法，用于比较不同组数据的均值是否存在显著差异。
主题介绍
方差分析
假设检验
对未来研究的展望
随着大数据时代的到来，数据量越来越大，对于高维数据的处理和分析成为未来研究的热点。如何利用假设检验与方差分析等方法处理高维数据，揭示其内在结构和规律，是未来研究的重要方向。
THANKS FOR
假设检验方差分析
• 假设检验概述 • 方差分析概述 • 独立样本T检验 • 配对样本T检验 • 单因素方差分析 • 多因素方差分析
目录
Part
01
假设检验概述
定义与原理
定义
假设检验是一种统计方法，用于根据 样本数据对总体参数做出推断。
原理
基于样本数据和适当的统计量，对总 体参数做出接受或拒绝的决策。
适用条件
数据正态分布
两个样本的数据应符合正 态分布，这是配对样本T 检验的前提条件。
独立性
两个样本之间应相互独立， 不存在相互影响的关系。
方差齐性
两个样本的方差应具有齐 性，即方差相等。
实例分析
数据收集
收集两个相关样本的数据，例如 比较两种不同类型运动对心率的 影响。
结果解释
若P值小于显著性水平（如0.05），则 认为两个样本的均值存在显著差异； 若P值大于显著性水平，则认为两个样 本的均值无显著差异。
数据处理
计算两个样本的差值，并计算差 值的均值和标准差。
数据分析
利用T检验公式计算T值和自由度， 并查表得到对应的P值。根据P值 判断两个样本的均值是否存在显 著差异。
Part
05
单因素方差分析
定义与原理
定义
单因素方差分析（One-way ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多 独立样本组的均值是否存在显著差异。
THANKS
感谢您的观看
计算样本数据
收集样本数据并计算统计 量值。
确定显著性水平
确定一个合适的显著性水 平，用于判断原假设是否 被拒绝。
Part
02
方差分析概述
方差分析的定义
方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间的平均值差异，以确 定这些差异是否由随机误差引起，还是由于处理因素或自变量引起的。
第七章 假设检验(F检验与卡方检验)
• 例子：一次英语考试后，从两个学校分别随机抽 取试卷数量n1=10，n2=9，求得的样本修正方差 即总体方差估计值为S12=236，S22=63.36。问两校 这次考试离散程度是否有显著差异？（α=0.05）
解答
2 (1)假设离散程度无显著性差异，即H 0 : 12 2
236 (2)计算统计量F 2 3.74 S 2 63.36 (3)df 1 n1 1 10 1 9 df 2 n2 1 9 1 8
• • 若自由度df=1，α=0.900，查2分布表可知P(2>0.02)=0.900 记20.900(1)=0.02
• 如df=5， α=0.05，查2分布表20.05(5)=？ • 如df=5， α=0.01，查2分布表20.01(5)=？ • 如df=10， α=0.05，查2分布表20.05(10)=？ p{2 > 2 tα(n)}= α
对平均数差异的显著性检验的理论前提是假设两 个总体的方差是相同，或至少没有显著性差异。 Z检验和t检验 对两个总体的方差是否有显著性差异所进行的检 验称为方差齐性检验，即必须进行F检验。
F分布
• 若有两个服从正态分布的总体N1(μ1，σ1),N2(μ2，σ2)。检 验σ1和σ2是否有显著性差异？ • 在方差分析中，需要检验某个因素是否对指标有显著 的作用时需要F分布来解决。 • 设有两个总体X，Y，已知X~2(n1)，Y~2(n2)，并且 X与Y相互独立，则称随机变量F，所服从的分布为第 一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记为F~F (n1,n2)。
• (4)设X~ 2(n)，则2分布的期望值E(X)=n，D(X)=2n • (5) 2分布是连续型分布，但有些离散型的分布也近似于 2分布。
统计学中的方差分析与假设检验
统计学中的方差分析与假设检验方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中一种常用的假设检验方法，用于比较两个或多个样本的均值是否存在显著差异。
方差分析通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值是否有统计学上的差异。
本文将介绍方差分析的基本原理和假设检验的步骤。
一、方差分析的基本原理方差分析是一种多个总体均值比较的方法，它通过计算组间离散度与组内离散度的比值来判断样本均值是否有显著差异。
方差分析的基本原理可以用以下公式表示：$$F=\frac{MS_{\text{between}}}{MS_{\text{within}}}$$其中，F为方差比值，$MS_{\text{between}}$为组间均方，$MS_{\text{within}}$为组内均方。
方差比值F的值越大，说明组间差异相对于组内差异的贡献越大，即样本均值之间的差异越显著。
通过查找F分布表，可以确定F值对应的显著性水平，从而判断样本均值是否有显著差异。
二、假设检验的步骤方差分析的假设检验可以分为以下几个步骤：1. 建立假设- 零假设（H0）：各组样本的均值相等，即$\mu_1=\mu_2=...=\mu_k$- 备择假设（H1）：至少有两个组样本的均值不相等，即$\mu_i\neq\mu_j$2. 计算组间均方- 组间均方$MS_{\text{between}}$的计算公式为：$MS_{\text{between}}=\frac{SS_{\text{between}}}{df_{\text{between}}}$ - 其中，$SS_{\text{between}}$为组间平方和，$df_{\text{between}}$为组间自由度。
3. 计算组内均方- 组内均方$MS_{\text{within}}$的计算公式为：$MS_{\text{within}}=\frac{SS_{\text{within}}}{df_{\text{within}}}$ - 其中，$SS_{\text{within}}$为组内平方和，$df_{\text{within}}$为组内自由度。
第七章 方差分析
15
三、方差分析的原理
所有数据的误差称总平方和（
sum of squares for total），或总变异，记为SST。
SST xij x
c j 1 i 1
nj
2
例如：所抽取的20家专卖市场销售额之间的误差 平方和称总变异，反映全部观测值的离散程度。
SST=SS因子+SSE
商业区
超市位置
居民小区
写字楼
3个以上 470 500 390 430 420 530 240 270 320
2
第七章 方差分析
你是一名研究人员，会考虑从哪几方面进行分析呢？
你可以考虑单独分析超市位置的影响、竞争者数量的 影响，或是超市位置和竞争者数量搭配在一起的影响。
如果只考虑超市位置对销售额是否有显著的影响，实 际上也是要判断不同位置超市的销售均值是否相同。 若它们的均值相同，就意味着超市位置对销售额没有 显著影响；若均值不相同，则意味着超市位置对销售 额有显著的影响。 在这里超市位置和竞争者数量是定性自变量，销售额 售额是定量因变量。
2
…
N r ,
2
x11 , x12 ,...,x1n j x21 , x22 ,...,x2n j
…
xr1, xr 2 ,...,xrn j
x1 , s
2 1
x2 , s
2 2
…
xr , s
2 r
Back 20
二、单因素方差分析的步骤
Step1：建立假设
H0 : 1 2
r
16
三、方差分析的原理
将各类误差除以自身的自由度，以消除观测值对 其影响，得到均方（mean square），分别称为组 间方差或因子均方(MS因子)、组内方差或残差均方 (MSE)。 如果因子中不同水平对因变量没有影响，则组间 方差只有随机误差而没有系统误差，此时，组间 误差和组内误差应该很接近，两个比值接近1。 当H0为真时，两个比值可建构检验统计量F 进行 假设检验。
统计学中的假设检验与方差分析
统计学是一门研究收集、分析、解释和展示数据的学科，它在科学研究、商业分析、政府决策以及医学等领域中发挥着重要作用。
其中，假设检验与方差分析是统计学中常用的两种方法。
假设检验是通过对数据进行统计分析，来验证研究者提出的关于总体特征的假设是否成立的方法。
假设检验分为参数检验和非参数检验，其中参数检验是根据总体参数的已知或假设值，利用样本观测值计算检验统计量，并对其进行显著性检验；非参数检验则在不考虑总体参数的情况下，利用样本观测值直接进行显著性检验。
在假设检验中，我们假设一个“原假设”（H0），通常是认为不存在任何关系或差别，以及一个“备择假设”（H1），通常是认为存在某种关系或差别。
然后，利用样本数据计算检验统计量，根据统计学原理和假设检验的显著性水平，计算P值（P-value），P值小于显著性水平时，我们会拒绝原假设，否则接受原假设。
方差分析（ANOVA）是一种用于比较两个或多个样本均值是否存在显著差异的统计方法。
方差分析通过计算组间差异与组内差异的比值来判断均值之间的差异是否显著。
在方差分析中，我们将总平方和分解为组间平方和和组内平方和，然后计算组间平方和与组内平方和的比值（F值），根据F值与显著性水平的比较来判断均值是否存在显著差异。
假设检验与方差分析在数据分析中有着广泛的应用。
举一个例子来说明。
假设我们想研究不同年龄段的人的身高差异。
我们可以做一个假设，即不同年龄段的人的身高是相同的（H0）。
然后我们收集不同年龄段的人的身高数据，并计算样本均值和样本标准差。
通过假设检验和方差分析，我们可以比较不同年龄段的身高是否存在显著差异，并得出结论。
在实际应用中，假设检验和方差分析也需要注意一些问题。
首先，需要选择适当的统计方法，确保数据的分布符合所选方法的假设。
其次，需要确定显著性水平，通常选择0.05或0.01作为界限。
最后，需要进行假设检验和方差分析的正确解读，避免错误地推断结果。
综上所述，假设检验与方差分析是统计学中重要的方法，可以用于研究不同总体特征之间的差异。
假设检验与方差分析
决策:
拒绝H0
拒绝 H0
.025
结论:
有证据表明新机床加工的零件 的椭圆度与以前有显著差异
-1.96
0
1.96
Z
总体均值的检验
(2未知小样本)
• 1. 假定条件
– 总体为正态分布 2未知，且小样本
• 2. 使用t 统计量
t
X 0 S n
~ t (n 1)
2 未知小样本均值的检验
t 检验
（单尾和双尾）
Z 检验
（单尾和双尾）
2检验
（单尾和双尾）
总体均值检验
总体均值的检验
(检验统计量)
是
总体 是否已知 ？
否
小 样本容量 n
用样本标 准差S代替
大
z 检验
z 检验
t 检验
Z
X 0
Z
X 0 S n
t
X 0 S n
n
总体均值的检验
(2 已知或2未知大样本)
独立样本 配对样本
比例
方差
Z 检验
(大样本)
t 检验
(小样本)
t 检验
(小样本)
Z 检验
F 检验
两个独立样本的均值检验
两个独立样本之差的抽样分布
总体1
1
1
2 2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1
计算每一对样本 的X1-X2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
所有可能样本 的X1-X2
决策:
拒绝 H0
. 205
在 = 0.05的水平上不能拒绝H0
结论:
不能否定研究者的估计
第7章 假设检验与方差分析(统计学-湖北经济学院,李智)
样本统计量
观察到的样本统计量
左侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
拒绝域 置信水平
a
1-a 接受域 H0值 样本统计量
临界值
右侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
置信水平 拒绝域 1-a
a
接受域
H0值
观察到的样本统计量
临界值
样本统计量
右侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
置信水平 拒绝域 1-a
均值的单尾U检验
（计算结果）
H0: 1000 H1: < 1000 a = 0.05 n = 100 临界值(s):
拒绝域 a
检验统计量:
x 0 960 1000 U= = = 2 n 20 100
决策:
在 a = 0.05的水平上拒绝H0
结论:
-1.645
0
均值的双尾 U 检验 （计算结果）
H0: = 0.081 H1: 0.081 a = 0.05 n = 200 检验统计量:
x 0 0.076 0.081 U= = = 2.83 n 0.025 200
决策:
拒绝H0
临界值(s):
拒绝 H0
.025
拒绝 H0
.025
关于总体平均数的假设有三种情况： (1) H0: μ =μ 0； H1: μ ≠μ 0 (2) H0: μ ≥μ 0； H1: μ <μ 0 (3) H0: μ ≤μ 0； H1: μ >μ 0
以上三种类型，对第一种类型的检验，称双边 检验，因为μ ≠μ 0，包含μ >μ 0和μ <μ 0。而 对第二、三种类型的检验，称单边检验。
统计学第七章 假设检验与方差分析
提出假设(例题分析)
【例2】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽 车的比例超过30%。为验证这一估计是否正确， 该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试 陈述用于检验的原假设与备择假设。 解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城 市中家庭拥有汽车的比例超过30%”。建立的 原假设和备择假设为：
二、假设检验的基本原理
（一）假设检验的基本思想与小概率原理（则）
1、假设检验的基本思想
是先对所研究的命题提出假设-----无显著性 差异的假设，然后利用“小概率原理”和“概率反 证法”来论证假设是否成立的一种统计分析方法。
2、小概率原理（则）/显著性水平
小概率原理：也就是实际推断原理，它认为在一 次实验中，概率很小的事件，实际上是不可能发生 的；或者说如果在一次观察中出现了小概率事件， 那么应该否定原有事件具有小概率的说法或者假设。
3. 第Ⅰ类错误(错误)
原假设为正确时拒绝原假设 第Ⅰ类错误的概率记为，被称为显著性水平
2.
第Ⅱ类错误(错误)
原假设为错误时未拒绝原假设
第Ⅱ类错误的概率记为(Beta)
（四）假设检验中的两类错误
在统计检验中，不管我们如何选择否定域，都不可能完 全避免第一类错误和第二类错误，也不可能同时把犯两类 错误的危险压缩到最小。对任何一个给定的检验而言，第 一类错误的危险越小，第二类错误的概率就越大；反之亦 然。 一般来讲，不可能具体估计出第二类错误的概率值。第 一类错误则不然，犯第一类错误的概率是否定域内各种结 果的概率之和。
例
关于总体平均数的假设有三种情况： (1) H0: μ =μ 0； H1: μ ≠μ 0 (2) H0: μ ≥μ 0； H1: μ <μ 0 (3) H0: μ ≤μ 0； H1: μ >μ 0
心理统计学基础讲义 第七章 方差分析、统计效力
第七章 方差分析、统计效力方差分析原理：综合的F检验应用：两个以上平均数之间的差异检虚无假设：H0：μ1 = μ2 = μ3方差可分解，实验数据的总变异分解为若干不同来源的分变异，一般分为组内变异和组间变异组内变异：实验误差、被试差异等组间变异：不同实验条件造成的变异考察F = 组间均方/ 组内均方的显著性方差分析的前提总体正态分布变异互相独立各实验条件的方差齐性方差分析的步骤a. 求总和方、组间和方、组内和方b. 求总自由度、组间自由度、组内自由度c. 求组间均方、组内均方d. 计算F观测值e. 列方差分析表f. 查F表求F临界值g. 作判断符号系统K = 处理条件或组的数目n i = 第i 组的被试数目，若每组被试相等，则为n N = Σn i = 总被试数T i = ΣX ij = 每个组分数值的和 G = ΣX ij = 所有分数的总和 P = 每个被试的观察数目 单因素完全随机方差分析例：检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组 方法 A ：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B ：上课,记笔记，不读课本.方法 C ：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记解：虚无假设H 0：μ1 = μ2 = μ3 ，三种方法学习效果没有差异 备择假设：至少有一个组和其他不同G=30, N=15, 215G ==, 2106,3XK ==∑SS 总= ΣX 2 - G 2 / N =106 – 900 / 15 = 106 – 60 = 46 SS 组内= SS 1 + SS 2 + SS 3 = 6 + 6 + 4 = 16SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 –60 = 30实际SS组间可以用SS总- SS组内快速求得，但不推荐df总= N – 1 = 15 -1 = 14df组内= N –K = 15 - 3 = 12df组间= K – 1 = 3 – 1 = 2MS组内= SS组内/ df组内= 16/12 = 1.333MS组间= SS组间/ df组间= 30/2 = 15F obs = MS组间/ MS组内= 15 / 1.333 = 11.25F0.05(2, 12) = 3.88F obs = 11.25 > F0.05(2, 12) = 3.88所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验N-K检验HSD检验Scheffe检验……注意：不能用两两之间t检验，P = 1 - (1 - α)n，例如本例P = 1 - (1 –0.05)3 = 0.143随机区组设计的方差分析又称重复测量方差分析，单因素组内设计，相关组设计，被试内设计解：G = 305.5，N = 32，ΣX2 = 2934.91，K = 4, n = 8SS总= ΣX2 - G2 / N = 2934.91 –305.52 / 32 = 18.33SS组内= SS1 + SS2 + SS3 + SS4 = 2.8 + 3.14 + 1.535 + 1.429 = 8.894SS组内= SS被试间+ SS误差SS被试间=Σ(P2/K) - G2/N = 1544.49/4 + 1482.25/4 + 1584.04/4 + 1310.44/4 + 1303.21/4 + 1444/4 + 1755.61/4 + 1274.49/4 - 305.52/32 = 8.062SS误差= SS组内- SS被试间= 8.894 - 8.062 = 0.832SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 80.82/8 + 79.62/8 + 75.42/8 + 69.72/8 –305.52/32 = 816.08 + 792.02 + 710.645 + 607.261 –2916.57 = 9.436df总= N – 1 = 32 -1 = 31df组内= N –K = 32 - 4 = 28df组间= K – 1 = 4 – 1 = 3df被试= n – 1 = 8 – 1 = 7df误差= df组内–df被试= 28 –7 = 21MS误差= SS误差/ df误差= 0.832/21 = 0.040MS组间= SS组间/ df组间= 9.436/3 = 3.145F obs = MS组间/ MS误差= 3.145 / 0.040 = 78.63F0.01(3, 21) = 4.87F obs = 78.63 > F0.01(3, 21) = 4.87所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验：略协方差分析在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。
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– 双侧检验：统计量的绝对值 > 临界值，拒绝H
0
– 左侧检验：统计量 < -临界值，拒绝H0 – 右侧检验：统计量 > 临界值，拒绝H0
用P 值决策
(P-value)
1. 如果原假设为真，所得到的样本结果会像实际观 测结果那么极端或更极端的概率
• P值告诉我们：如果原假设是正确的话，我们
H0 ： m 30%
H1 ： m 30%
提出假设
(结论与建议)
1. 原假设和备择假设是一个完备事件组，而且 相互对立
– 在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一 个成立，而且只有一个成立
2. 先确定备择假设，再确定原假设 3. 等号“=”总是放在原假设上 4. 因研究目的不同，对同一问题可能提出不同
3. P值越小，你拒绝原假设的理由就越充分
多大的P 值合适?
• ☺ 要证明原假设不正确，P值要多小，才能令人 信服呢？
✓ 原假设的可信度又多高？如果H0所代表的假设 是人们多年来一直相信的，就需要很强的证据(
小的P值)才能说服他们
✓ 拒绝的结论是什么？如果拒绝H0而肯定H1 ，你 就需要有很强的证据显示要支持H1。比如，H1 代表要花很多钱把产品包装改换成另一种包装 ，你就要有很强的证据显示新包装一定会增加 销售量(因为拒绝H0要花很高的成本)
2、原假设和备择假设
研究者想收集证据予以反对的假设
又称零假设 原
假
总是有符号=，≤或≥
设
表示为H又称研究假设
择 假
总是有符号≠，＜或＞
设
表示为H1
H1：m＜某一数值，或H1：m＞某一数值
3、假设检验的基本思想
假定原假设为真
错
检验结
果
不拒绝原假设
——Jan Kmenta
一、假设检验的基本问题
（一）假设检验的基本思想 1、什么是假设检验？
对总体的概率分布或分布参数做出某种假设，然后根据抽 样得到的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假 设是否正确，从而决定接受或拒绝假设，这样的统计推断过程 就是假设检验，也称显著性检验。
如：某企业生产的某种导线，按照质量标准，导线的平均 拉力强度为1200公斤。那么事先假设这批导线的平均拉力强度 为1200公斤，在出厂时抽取100根进行检验，测得其平均拉力 强度，以此来检验所作假设的正确性。
第七章 假设检验与方差分析
假设检验的基本问题 单个总体参数的假设检验 两个总体参数的假设检验 方差分析
教学目的与要求
1、熟悉假设检验的基本原理 2、掌握单个总体参数的假设检验方法 3、了解两个总体参数的假设检验方法 4、了解方差分析的方法
统计名言 正如一个法庭宣告某一判决 为 “ 无 罪 (not guilty)” 而 不 为 “ 清 白 (innocent)” ， 统 计 检验的结论也应为“不拒绝” 而不为“接受”。
态度
假设检验中的两类错误
对假设H0
采取的行动
H0为真
不拒绝H0
正确
H0为假
犯第二类错误
态度
否定H0
犯第一类错误
正确
两类错误的控制
1. 一般来说，对于一个给定的样本，如果犯第Ι类错误 的代价比犯第Ⅱ类错误的代价相对较高，则将犯第Ⅰ 类错误的概率定得低些较为合理；反之，如果犯第Ι 类错误的代价比犯第Ⅱ类错误的代价相对较低，则将 犯第Ⅰ类错误的概率定得高些
固定显著性水平是否有意义
1. 有了P值，我们并不需要用5%或1%这类传统的显著 性水平。P值提供了更多的信息，它让我们可以选择 任意水平来评估结果是否具有统计上的显著性，从而 可根据我们的需要来决定是否要拒绝原假设 – 只要你认为这么大的P值就算是显著了，你就可 以在这样的P值水平上拒绝原假设
2. 传统的显著性水平，如1%、5%、10%等等，已经被 人们普遍接受为“拒绝原假设足够证据”的标准，我们 大概可以说：10%代表有“一些证据”不利于原假设； 5%代表有“适度证据”不利于原假设；1%代表有“很 强证据”不利于原假设
2. 一般来说，发生哪一类错误的后果更为严重，就应该 首要控制哪类错误发生的概率。但由于犯第Ι类错误 的概率是可以由研究者控制的，因此在假设检验中， 人们往往先控制第Ι类错误的发生概率
显著性水平
(significant level)
1. 事先确定的用于拒绝原假设H0时所必须的证据 2. 能够容忍的犯第Ⅰ类错误的最大概率(上限值) • 原假设为真时，拒绝原假设的概率
255.8ml。取显著性水平=0.05 ，检验该天生产
的饮料容量是否符合标准要求？
双侧检验
总体均值的检验( 2 已知)
(例题分析－大样本)
•H0 ：m = 255 •H1 ：m 255 已知 = 0.05
•n = 40
•临界值(c):
拒绝 H0
0.025
拒绝 H0
0.025
-1.96 0 1.96 z
拒绝H0
1/2 P 值
Z
临界值 0
计算出的样本统计量
右侧检验的P 值
拒绝H0
1/2 P 值
0
Z
临界值
计算出的样本统计量
P值是关于数据的概率
1. P值与原假设的对或错的概率无关 2. 它反映的是在某个总体的许多样本中某一类数据出
现的经常程度，它是当原假设正确时，得到目前这 个样本数据的概率
– 比如，要检验全校学生的平均生活费支出是否等于500元， 检验的假设为H0：m=500；H0：m500 。假定抽出一个样 本算出的样本均值600元，得到的值为P=0.02，这个0.02 是指如果平均生活费支出真的是500元的话，那么，从该总 体中抽出一个均值为600的样本的概率仅为0.02。如果你 认为这个概率太小了，就可以拒绝原假设，因为如果原假 设正确的话，几乎不可能抓到这样的一个样本，既然抓到 了，就表明这样的样本不在少数，所以原假设是不对的
1-
Region of Nonrejecti on
临界值
H0
用统计量决策
(右侧检验 )
抽样分布
置信水平
Region of Rejection
拒绝H0
1-
2
Region of Nonrejecti on
H0
临界值
统计量决策规则
1. 给定显著性水平，查表得出相应的临界值z或z/2
， t或t/2
2. 将检验统计量的值与 水平的临界值进行比较
H0 ： m 10cm H1 ： m 10cm
提出假设
(例题分析)
• 【例】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称 ：平均净含量不少于500克。从消费者的利益出 发，有关研究人员要通过抽检其中的一批产品 来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈述 用于检验的原假设与备择假设
解：研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗涤 剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述 。 建立的原假设和备择假设为
• 抽样分布的拒绝域
• 表示为 (alpha)
• 常用的 值有0.01, 0.05, 0.10
• 由研究者事先确定
依据什么做出决策？
1. 若假设为H0≥500， H1<500。样本均值为49 5，拒绝H0吗？样本均值为502，拒绝H0吗？
2. 做出拒绝或不拒绝原假设的依据是什么？ 3. 传统上，做出决策所依据的是样本统计量，现
代检验中人们直接使用由统计量算出的犯第Ⅰ 类错误的概率，即所谓的P值
检验统计量(test statistic)
1. 根据样本观测结果计算出对原假设和备择假设做 出决策某个样本统计量
2. 对样本估计量的标准化结果
– 原假设H0为真
– 点估计量的抽样分布
3. 标准化的检验统计量
标准化检验统计量
点估计量 — 假设值 点估计量的抽样标准差
P 值决策与统计量的比较
1. 用P值进行检验比根据统计量检验提供更多的信息 2. 统计量检验是我们事先给出的一个显著性水平，以
此为标准进行决策，无法知道实际的显著性水平究 竟是多少
– 比如，根据统计量进行检验时，只要统计量的值落在拒 绝域，我们拒绝原假设得出的结论都是一样的，即结果 显著。但实际上，统计量落在拒绝域不同的地方，实际 的显著性是不同的。比如，统计量落在临界值附近与落 在远离临界值的地方，实际的显著性就有较大差异。而 P值给出的是实际算出的显著水平，它告诉我们实际的 显著性水平是多少
二、单个总体参数的假设检验
（一）总体均值的检验 (大样本) 1. 假定条件
– 大样本(n30) 2. 使用z检验统计量
2 已知：z x m0 ~ N (0,1) n
2 未知：z x m0 ~ N (0,1)
sn
总体均值的检验( 2 已知)
(例题分析—大样本)
•【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐 的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容 量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中 随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为
H0 ： m 500
H1 ： m < 500
提出假设
(例题分析)
• 【例】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有 汽车的比例超过30%。为验证这一估计是否正 确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验 。试陈述用于检验的原假设与备择假设
解：研究者想收集证据予以支持的假设 是“该城市中家庭拥有汽车的比例超过3 0%”。建立的原假设和备择假设为
2. 原假设和备择假设不能同时成立，决策的结果要 么拒绝H0，要么不拒绝H0。决策时总是希望当原 假设正确时没有拒绝它，当原假设不正确时拒绝 它，但实际上很难保证不犯错误
（三）假设检验的两类错误
第一类错误
原假设为真，而拒绝原假设 概率记为，也称显著性水平
第二类错误