1.4.2球坐标系 课件(人教A选修4-4)

坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐 标，记作 P(r，φ，θ) ，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π .
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(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之 间的变换关系为
cos x＝rsin φ· θ . sin y＝rsin φ· θ z＝rcos φ.
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3．求下列各点的球坐标： (1)M(1， 3，2)；(2)N(－1,1，－ 2)．
解：(1)r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 32＋22＝2 2， z 2 2 由 z＝rcos φ 得 cos φ＝r＝ ＝ . 2 2 2 π ∴φ＝ ， 4 y 3 又 tan θ＝x＝ ＝ 3，x>0，y>0， 1 π ∴θ＝ ， 3 π π ∴它的球坐标为(2 2， ， )． 4 3
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球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意一 点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所 转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组 (r，φ，θ) 表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间 建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球
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(2)由变换公式得： r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2. z 2 由 z＝rcos φ 得：cos φ＝r＝－ . 2 3π ∴φ＝ . 4 y 1 又 tan θ＝x＝ ＝－1.x＜0，y＞0. －1 3π ∴θ＝ . 4 3π 3π ∴它的球坐标为(2， ， )． 4 4
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2．将M的球坐标(π，π，π)化成直角坐标． 解：∵(r，θ，φ)＝(π，π，π)，
∴x＝rsin θcos φ＝0，
y＝rsin θsin φ＝0， z＝rcos θ＝－π. ∴点M的直角坐标为(0,0，π).
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[例 2]
设点 M 的直角坐标为(1,1， 2)，求它的球坐标． 直接套用坐标变换公式求解．
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[例 1]
3π π 已知点 P 的球坐标为(4， ， )求它的直角坐标． 4 4 直接套用变换公式求解．ຫໍສະໝຸດ [思路点拨][解]
由变换公式得：
3π π x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2. 4 4 3π π y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2. 4 4 3π z＝rcos φ＝4cos ＝－2 2. 4 ∴它的直角坐标为(2,2，－2 2)．
[思路点拨]
[解]
由坐标变换公式，可得
r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2. 由 rcos φ＝z＝ 2， 2 2 π 得 cos φ＝ r ＝ ，φ＝ . 2 4 y π 又 tan θ＝x＝1，θ＝ (M 在第一象限)， 4 π π 从而知 M 点的球坐标为(2， ， )． 4 4
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已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求
得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.
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1．求下列各点的直角坐标： π π 3π 7π (1)M(2， ， )；(2)N(2， ， )． 6 3 4 6 解：(1)由变换公式得：
π π 1 x＝rsin φcos θ＝2sin cos ＝ ， 6 3 2 π π 3 y＝rsin φsin θ＝2sin sin ＝ ， 6 3 2 π z＝rcos φ＝2cos ＝ 3. 6 1 3 故其直角坐标是( ， ， 3)． 2 2
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(2)由变换公式得： 3π 7π 6 x＝rsin φcos θ＝2sin cos ＝－ . 4 6 2 3π 7π 2 y＝rsin φsin θ＝2sin sin ＝－ . 4 6 2 3π z＝rcos φ＝2cos ＝－ 2. 4 6 2 ∴它的直角坐标为(－ ，－ ，－ 2)． 2 2
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由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点 M 的球坐标 x＝rsin φcos θ， 为(r，φ，θ)，再利用变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ，
2 2 2 2
求出 r、θ、
y φ 代入点的球坐标即可； 也可以利用 r ＝x ＋y ＋z ， θ＝x， tan z cos φ＝r.特别注意由直角坐标求球坐标时， 和 φ 的取值应首 θ 先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．