解偏微分方程(研究生课程)

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解偏微分方程(研究生课程)

在右侧热量以恒定速率降低到周围空气中，其它边界独立。即： ⑴ u=100 左侧（dirichilet条件） ⑵ u’=-10 右侧（Neumann条件） ⑶ u’=0 其它边界（Neumann条件）
Rcdao.m
wk.baidu.com
差分法解热传导方程
一维热传导方程是： ut a2uxx
由导数差分公式有： ut
3.选定方程的类型 Elliptic 椭圆型 f=0 Parabolic 抛物线 Hyperbolic 双曲线 Eigenmodes 特征值 4.将网格初始化和精细化 5.求解方程 6.将结果画图 7.放大视图
（抛物线型）受热金属块的热传导
一块受热的有矩形裂纹的金属块，金属块的左侧被加热到100摄氏度，
波动方程可以写成差分形式：
u( x, t

t )
2u( x, t) （t）2

u( x, t

t )

a2
u( x

x, t)

2u( x, t) (x)2

u( x

x,
t)
令: x

ix, t

jt, c

(t )2 (x)2
a2,
i, j 0,1,2,...n 1
u( x, t

t )

第8章偏微分方程数值解(教育研究)

内的结点称为内部结点。
章节课堂
33
8.3.2．古典差分格式
于平面区域 G (x, t) 0 x 上1,考0虑 t传导T方程：
U
u t
a
2u x2
f (x,t)
a 为正常数（3）
u(x,0) (x)
u(0,t) u(1,t) 0
0 x1 0 t T
(4)
章节课堂
34
于结点（j, k）处偏导数与差商之间有如下近似的关系：
热传导方程:在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
u a 2u f (x,t), t x2
t 0, 0 x L
其中a是常数。
它表示长度为L的细杆内，物体温度分布的规律
章节课堂
0
其中 u0k ui0 ui4 0 (k, i 1,2,3)
0.707
u4; k sin k 4 1
用迭代法来解方程组 0.707
k 1 k 2 k 3
uik
1 4
ui1;k
ui1;k
ui;k 1 ui;k 1
章节课堂
13
简单迭代法
u (n1) ik
1 4
u (n) i 1;k
h12 2!
2u x 2

偏微分方程的解法

偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。

在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。以下是本文的主要内容：

1. 一阶线性偏微分方程的解法

1.1 分离变量法

1.2 特征线方法

2. 二阶线性偏微分方程的解法

2.1 分离变量法

2.2 特征值法

2.3 Green函数法

3. 非线性偏微分方程的解法

3.1 平移法

3.2 线性叠加法

3.3 变换法

4. 数值方法解偏微分方程

4.1 有限差分法

4.2 有限元法

4.3 谱方法

5. 偏微分方程的应用领域

5.1 热传导方程

5.2 波动方程

5.3 扩散方程

在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式

求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。特征线方法则是

将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简

化求解过程。

对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将

方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。特征值法则利

用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的

问题。Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。

《偏微分方程数值解》课件

常见的数值解方法
离散化方法
通过将连续的偏微分方程转化为离散形式，如有限差分法和有限元法，从而进行数值计算和求解。
迭代法
通过迭代更新初始猜测值，不断逼近真实解，如雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
有限差分法
1
一维泊松方程的数值解
通过将一维泊松方程离散化为差分方程，
二维泊松方程的数值解
2
利用数值计算方法求解。
未来发展方向
展望偏微分方程数值解领域的未来发展，如高性能计算、机器学习等的应用。
结束语
感谢各位的聆听！偏微分方程数值解是一个充满挑战和发展机遇的领域。如果有任何问题，请随时提问交流。
对流-扩散方程的数值解
通过离散化和插值方法，求解对流-扩散方程的数值解。
迭代法
1
雅可比迭代法的实现
利用矩阵分块对称的性质，通过迭代更
高斯-赛德尔迭代法的实现
2
新猜测值来求解偏微分方程。
进一步改进雅可比迭代法，通过利用最新的更新结果来加速迭代收敛。
总结与展望
各种数值方法的比较
总结离散化方法、迭代法在不同情况下的优缺点，帮助选择合适的数值方法。
3 有限差分法
详细讲解一维和二维泊松方程的数值解以及对流-扩散方程的数值解。
4 有限元法
讨论一维和二维泊松方程以及对流-扩散方程的数值解。

偏微分方程的几种解法

偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。解决PDEs的问题是科学研究和工程实践中的一个关键任务。本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。

一、分离变量法

分离变量法是解偏微分方程最常用的方法之一。其基本思想是将未知函数表示为一系列互相独立的分离变量的乘积，然后将方程两边同时关于这些变量积分。这样就可以得到一系列常微分方程，然后通过求解这些常微分方程得到原偏微分方程的解。

例如，对于二维的泊松方程（Poisson Equation）∇²u = f，可以假设u(x, y) = X(x)Y(y)，将其代入方程后得到两个常微分方程，然后分别求解这两个常微分方程，最后将其合并即可得到泊松方程的解。

分离变量法的优点是简单易行，适用于一些特定的偏微分方程。但也存在一些限制，例如只适用于线性齐次方程、边界条件满足一定条件等。

二、变量替换法

变量替换法是另一种常见的解偏微分方程的方法。通过合适的变量

替换，可以将原方程转化为一些形式简单的方程，从而更容易求解。

例如，对于热传导方程（Heat Equation）∂u/∂t = α∇²u，可以通过变量替换u(x, t) = v(x, t)exp(-αt)将其转化为∂v/∂t = α∇²v，然后再利用分离变量法或其他方法求解新方程。

变量替换法的优点是可以将一些复杂的偏微分方程转化为简单的形式，便于求解。但需要根据具体问题选择合适的变量替换，有时可能会引入新的困难。

微分方程数值解研究生教材

以下是一些关于微分方程数值解的研究生教材推荐：

1. Numerical Solution of Differential Equations by K. W. Morton and D. F. Mayers: 这本教材全面介绍了常微分方程和偏微分方程数值解的基本原理和方法，包括欧拉方法、中点法、龙格-库塔方法等。

2. Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods by J. W. Thomas: 这本教材着重介绍了偏微分方程数值解的有限差分方法，讲解了多种方法如显式法、隐式法、克兰克-尼科尔森法等。

3. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems by R. J. LeVeque: 这本教材从有限差分方法的基础开始，介绍了其在常、偏微分方程中的应用，尤其是在稳态和时变问题方面。

4. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations: Initial Value Problems by J. C. Butcher: 这本教材详细讲解了常微分方程初值问题的数值解方法，包括单步法、多步法和多级法等。

5. A First Course in Numerical Methods by U. M. Ascher and C. Greif: 这本教材综合介绍了各种数值方法在科学与工程领域中的应用，其中也包括对微分方程数值解的讨论。

偏微分方程解析解

偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中研究最广泛的领域之一，它涉及到物理、工程、金融等众多领域中的实际问题。解析解是指通过解析方法得到的能够精确描述偏微分方程解的解析表达式。本文将介绍偏微分方程解析解的求解方法，并通过一些具体的例子进行说明。

一、一阶线性偏微分方程

1.1 一维线性传热方程

考虑一维线性传热方程：

$$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = k\frac{{\partial^2 u}}{{\partial

x^2}}$$

其中，$u(t,x)$表示时间$t$和空间$x$上的温度分布，$k$为传热系数。

为了求解这个方程，我们引入一个新的变量，令$v(t,x) = u(t,x) -

F(x)$，其中$F(x)$是由于边界条件所确定的函数。将$v(t,x)$代入上面的方程得到：

$$\frac{{\partial v}}{{\partial t}} = k\frac{{\partial^2 v}}{{\partial

x^2}}$$

接下来，我们可以使用分离变量法求解这个二阶偏微分方程。假设$v(t,x)$可以表示为$v(t,x) = T(t)X(x)$的形式，则将这个表达式代入上面的方程中，得到：

$$\frac{{T'(t)}}{{T(t)}} = k\frac{{X''(x)}}{{X(x)}}$$

由于左边是关于$t$的表达式，右边是关于$x$的表达式，它们只能等于一个常数，即：

$$\frac{{T'(t)}}{{T(t)}} = \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = -\lambda^2$$

偏微分方程的解法

偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中一

种重要的方程形式，广泛应用于物理、工程、金融等领域。本文将介

绍几种常见的偏微分方程的解法，并对其原理和应用进行详细的讨论。

一、分离变量法

分离变量法是求解偏微分方程中最常用的方法之一。该方法的基本

思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然

后通过分别求解这些单变量函数的常微分方程来得到原方程的解。以

下以一个简单的例子来说明该方法的具体步骤。

考虑一个常见的一维热传导方程：

\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}\]

假设 u(x,t) 可以表示为两个单变量函数的乘积形式：u(x,t) =

X(x)T(t)，将其代入原方程，可以得到如下的形式：

\[\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{X(x)}\cdot\frac{{d^2X}}{{dx^2}} =

\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{{dT}}{{dt}} = -\lambda\]

通过解这两个单变量函数所满足的常微分方程，可以得到 X(x) 和

T(t) 的解，再将其组合即可得到原方程的通解。

二、变换方法

变换方法是另一种重要的求解偏微分方程的技巧。通过对原方程进行适当的变换，可以将其转化为常微分方程或者其他更容易求解的形式。以下介绍两种常见的变换方法。

1. 傅立叶变换法

偏微分方程数值解讲义教学设计

1. 课程简介

本课程是针对大学数学及计算机专业的高年级本科生或研究生开设的，旨在介绍偏微分方程数值解方法，包括有限差分法、有限元法和

谱方法等。

本课程的学习目标是掌握偏微分方程数值解的基础理论和常用方法，以及了解数值解的数学原理和应用场景，并能够扩展应用所学知识解

决相关实际问题。

2. 教学内容

2.1 引言

•偏微分方程的概念、分类和基本理论；

•数值解的概念和分类，数值解的误差理论。

2.2 有限差分法

•一维抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限差分格式；

•非线性偏微分方程的数值求解；

•高维问题的数值求解。

2.3 有限元法

•一维线性抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限元求解方法；

•二维和三维问题的有限元求解方法；

•有限元法的加权残差方法和变分原理。

2.4 谱方法

•调和方程的分离变量方法和Fourier级数解法；

•Laplace方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法；

•泊松方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法。

3. 教学手段

3.1 讲课

本课程采用讲课和练习相结合的方式，通过讲解理论知识和数值计算实例，并基于MATLAB或Python等数值计算软件进行演示。

3.2 练习

结合课程中的实例，进行数值计算作业和课程项目的设计，以提高学生的理论知识和计算能力。

4. 教材

教材推荐：

•Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods by G. D. Smith •Finite Element Method: A Practical Course by C. S.

偏微分方程的基本分类与解法

偏微分方程的基本分类与解法偏微分方程（Partial Differential Equations）是数学领域中研究函数及其偏导数的方程。它在物理、工程和金融等多个领域中具有广泛的应用。本文将对偏微分方程的基本分类和解法进行介绍。

一、基本分类

偏微分方程可以根据方程中未知函数的阶数、方程中未知函数及其偏导数的最高阶数、方程中出现的独立变量的个数等因素进行分类。下面将介绍几种常见的偏微分方程类型：

1. 线性偏微分方程（Linear PDEs）：线性偏微分方程的未知函数及其偏导数在方程中以线性的方式出现，即未知函数及其偏导数之间没有乘积或除法的项。典型的线性偏微分方程包括波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。

2. 非线性偏微分方程（Nonlinear PDEs）：非线性偏微分方程的未知函数及其偏导数在方程中以非线性的方式出现。非线性偏微分方程的研究更加复杂和困难，因为它们通常没有简单的通解，需要依赖于数值方法或近似解法。

3. 偏微分方程的阶数（Order）：偏微分方程的阶数指的是未知函数及其偏导数的最高阶数。常见的偏微分方程阶数包括一阶、二阶和高阶偏微分方程等。

4. 线性度（Degree of Linearity）：线性度是指方程中未知函数和它的偏导数的最高次数。线性偏微分方程的线性度为一，非线性偏微分方程的线性度大于一。

二、解法

解偏微分方程的方法有很多，下面将介绍几种常见的解法：

1. 分离变量法（Separation of Variables）：分离变量法适用于可以将偏微分方程的未知函数表示为各个独立变量的乘积形式的情况。通过将未知函数表示为各个独立变量的乘积形式，并将方程中的偏导数转化为普通导数，从而将原方程转化为一系列的常微分方程。通过求解这些常微分方程，并将解合并起来，即可得到原偏微分方程的解。

研究生毕业学术论文——求解偏微分方程

简介

本文旨在探讨研究生毕业学术论文中的一个重要课题：求解偏微分方程。偏微分方程在数学和物理学领域具有广泛的应用，它们描述了许多自然现象的行为。本文将介绍偏微分方程的基本概念和求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。

偏微分方程的基本概念

偏微分方程是包含多个变量的方程，其中包含函数及其各个变量的偏导数。它们描述了不同变量之间的关系，以及这些变量随时间的变化。

偏微分方程可分为多种类型，包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。每种类型的方程都具有不同的特征和求解方法。

偏微分方程的求解方法

在研究生毕业学术论文中，我们关注如何有效地解决偏微分方程。以下是一些常见的求解方法：

1. 分离变量法：通过假设解可分为两个或多个变量的乘积形式，将偏微分方程转化为一系列普通微分方程，然后解决这些普通微分

方程。

2. 特征线法：通过引入特征线，将偏微分方程转化为一组常微

分方程，然后求解这些常微分方程。

3. 数值方法：使用数值算法近似求解偏微分方程，例如有限差

分法、有限元法和谱方法等。

使用适当的求解方法取决于偏微分方程的类型和实际问题的要求。

偏微分方程在实际问题中的应用

偏微分方程在各个领域中都有广泛的应用。以下是一些实际问

题的例子：

1. 热传导方程：描述了热能在物体中传播的行为，可以用于分

析传热问题和温度分布。

2. 波动方程：描述了波动现象的行为，可以用于分析声波、光

波等的传播。

3. 扩散方程：描述了物质扩散的行为，可以用于分析化学反应

和溶质在流体中的传输。

4. 矩阵方程：描述了电路、管道等网络中的电流、液流等行为，可以用于分析电路和流体力学问题。

偏微分方程的解法

偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的重要

分支，在科学和工程领域具有广泛的应用。解决偏微分方程的问题，

可帮助我们理解自然界中的各种现象，如电磁场的传播、流体运动等。本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。

一、分离变量法

分离变量法是解偏微分方程最常见的方法之一。我们以二阶线性偏

微分方程为例，假设其形式为：

A(x,y)u_{xx} + B(x,y)u_{xy} + C(x,y)u_{yy} + D(x,y,u,u_x,u_y) = 0

其中u表示未知函数，A、B、C、D为已知函数。为了使用分离变

量法，我们假设解可以表示为两个函数的乘积形式：

u(x,y) = X(x)Y(y)

将上述形式代入方程，利用变量分离的性质，可将原方程化简为两

个常微分方程。解决这两个常微分方程，即可得到偏微分方程的解。

二、特征线法

特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，其中包含一阶偏导数和高

阶偏导数的混合项。我们以一维波动方程为例，其形式为：u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0

其中c表示波速。特征线法的思想是引入新的变量，使得原方程可以转化为一组常微分方程。对于波动方程，我们引入变量ξ和η，定义如下：

ξ = x + ct

η = x - ct

通过做变量替换后，原方程可以转化为常微分方程：

u_{ξη} = 0

这样，我们可以通过求解常微分方程得到偏微分方程的解。

三、变换方法

变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，通过引入新的变量，将原偏微分方程转化为代数方程，然后利用代数方程的解法解出未知函数。变换方法的优势在于可以将一些常见的偏微分方程转化为代数方程，从而简化解法的步骤。

“偏微分方程数值解”课程教学实践

新镖叢教＜f2020耳第24期

“偏微分方程数值解”课程教学实践

湖南省长沙市国防科技大学文理学院数学系张弘钱旭宋松和

【摘要】本文分析了理工科研究生偏微分方程数值解课程的教学特点和存在的若干问题，针对当前的教学形势，提出了精选教学内容、理论联系实践、完善实践考察的教学改革建议。旨在提升教学质量,激发学生学习热情,提高学生的实践和思维能力，培养他们的应用意识和科研创新精神。

【关键词】偏微分方程数值解开源软件教学方法

量子力学、分子动力学、天体力学、流体力学、生物化学、经济金融、航空航天工程以及人文社科领域的很多问题往往可以归结为偏微分方程模型,随时间的演化构成了复杂的动力系统，并逐渐成为现代数学领域里的研究热点。绝大多数偏微分方程定解问题的解很难用简洁、实用的分析形式来表达，随着高性能计算的飞速发展，数值计算作为_门工具性的新学科得到了快速的发展,偏微分方程数值计算方法也得到了前所未有的重视。随着科学与工程技术的深入发展，当前需要掌握和应用偏微分方程数值解法已不再局限于数学系的学生，大量从事于天文学、力学、物理学、化学、生物学的科研人员，以及航空、航天、电子、机械、油气勘探、地质工程等领域的专业技术从业者也把这门学科作为本领域的重要研究方法。因此，为培养出理论基础扎实、工程应用能力强的理工科研究生,掌握此学科是十分必要的。

一、课程特点和存在的问题

偏微分方程数值解是计算数学专业的重点必修课程,国内外各大学已普遍开设。这门课程的设立对促进学生的科研创新以及提高其实践能力有着非常积极、重要的意义,有利于培养理工科研究生应用数学方法解决工程问题的能力，还可全面提高学生的综合素质。

偏微分方程的几种经典解法

经过一个学期偏微分方程课程的学习,我们掌握了几种求解三种典型方程的方法,如分离变量法、行波法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhanmel 原理灯,此外,我们通过学习还掌握了求解波动方程的'D Alembert 公式,求解位势方程的Green 公式等等.这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程,故而是基本而重要的.

本文着重总结了偏微分方程的几种经典解法,一次介绍了分离变量法、行波法、幂级数解法、Fourier 变换法以及Green 函数法,通过对典型方程的研究,深入理解集中经典方法.

1.分离变量法

分离变量法：基本思想是设法把偏微分方程的问题转化为解常微分方程的问题.

1.1第一初边值问题

例：利用分离变量法求解下述问题(非齐次0边值双曲方程)

2222sin 2cos 2,u u

x t t x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.1) (0,)(,)0,u t u t π== 0t > (1.2) (,0)sin ,u x x =

0x π<< (1.3)

(,0)sin 2,u

x x t

∂=∂ 0x π<< (1.4) 解：用分离变量法求问题(1.1)—(1.4)的形式解.设该问题有如下形式的非零解

(,)()()u x t X x T t = (1.5)

方程(1.1)对应的齐次方程为

22220,u u

t x

∂∂-=∂∂0,0x t π<<> (1.6) 将(1.5)式代入方程(1.6)得

""()()()(),X x T t X x T t =0,0x t π<<>

研究生数学教案：微分方程的求解方法

1. 引言

微分方程在数学和工程领域有广泛的应用。作为研究生数学课程的一部分，微

分方程的求解方法是非常重要的知识点。本文将介绍常见的微分方程求解方法，并通过实例演示如何运用这些方法来解决实际问题。

2. 常微分方程（ODE）与偏微分方程（PDE）的区别

在开始讨论微分方程的求解方法之前，我们首先需要了解常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）两者之间的区别。简而言之，ODE涉及到一个自变量和一个或多个未知函数及其导数之间的关系，而PDE则涉及到一个或多个自变量以及未知函数及其偏导数之间的关系。

3. 常见的ODE求解方法

3.1 分离变量法

分离变量法是最基础且常见的ODE求解方法。该方法适用于一阶ODE，即只

包含未知函数及其一阶导数。我们将介绍该方法的原理，并通过具体例子进行

演示。

3.2 线性ODE求解法

线性ODE是一类特殊的ODE，它可以表示为未知函数及其导数的线性组合。

我们将介绍如何利用常系数法和变量可分离法来解决线性ODE，并通过示例进一步说明。

3.3 齐次与非齐次ODE的求解

齐次ODE是指可以表示为形如y’(x)=f(y

)的方程，其中f(⋅)是一个已知函数。

非齐次ODE则包含了非零右侧项g(x)。本节将讨论如何求解这两类ODE，并

提供实例应用。

3.4 高阶ODE求解法

除了一阶ODE外，研究生课程还涉及到高阶ODE的求解方法。我们将介绍特征方程、常系数法和变量可分离法等技巧，并通过案例进行详细阐述。

4. 常见的PDE求解方法

4.1 分离变量法

与常微分方程类似，分离变量法在偏微分方程求解中也经常被使用。我们将讨

偏微分方程解法

一、概述

偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。解决偏微分方程的方法有很多种，其中最常用的方法是数值解法和解析解法。本文将重点介绍偏微分方程的解析解法。

二、基本概念

1. 偏微分方程：含有多个自变量和它们的偏导数的方程。

2. 解析解：能够用一定的代数式或函数表示出来的解。

3. 常微分方程：只含一个自变量和它的导数的方程。

4. 偏微分方程分类：

（1）线性偏微分方程：各项次数之和为1或2。

（2）非线性偏微分方程：各项次数之和大于2。

5. 解析解法分类：

（1）可分离变量法

（2）相似变量法

（3）积分因子法

（4）特征线法

（5）变换法

三、可分离变量法

可分离变量法是求解一类特殊形式线性偏微分方程最常用的方法，其基本思想是将未知函数表示成各自变量之积，然后将其带入原偏微分方程中得到一组常微分方程，再求解这些常微分方程，最后将得到的解代回原方程中即可。

以一阶线性偏微分方程为例：

$$\frac{\partial u}{\partial t}+a(t)u=b(t)$$

其中$a(t)$和$b(t)$为已知函数，$u=u(x,t)$为未知函数。

将未知函数表示成各自变量之积：

$$u=X(x)T(t)$$

将其带入原方程中得到：

$$XT'+aXT=bXt$$

将$X$和$T$分离变量并整理得到：

$$\frac{1}{X}\frac{dX}{dx}=\frac{1}{at+b}-\frac{c}{X}$$

其中$c$为常数。

对上式两边同时积分得到：

$$ln|X|=ln|at+b|-ct+D_1,D_1为常数。$$

解偏微分方程(研究生课程)