高考数学三角函数练习题及答案解析
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2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R .（ 1）求函数 yf ( x) 的对称中心；6（ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且f (B6 ) b c， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 22a【解析】f ( x) 1 cos2 x1 cos2( x) cos(2 x) cos2 x6313 sin 2x cos 2xcos2x223sin 2x1cos2x sin(2 x 6 ) . 22（1）令 2xk （ k Z ），则 xk（ kZ ），6212所以函数 yf ( x) 的对称中心为 (k,0) k Z ；212（2）由 f (B)b c，得 sin( B ) bc ，即 3 sin B 1cos B b c ，262a6 2a 2 2 2a整理得 3a sin B a cos B b c ，由正弦定理得：3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，又因为 sin B0 ，所以 3 sin A cos A1，即sin( A1 ，6 )2由 0A，得A5 ，6 66所以 A，即 A3 ，6 6又 ABC 的外接圆的半径为3 ，所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得222222232(b c) 2abc2bc cos A bcbc (b c)3bc (b c)(b c)44，即 ，当且仅当 bc 时取等号，所以周长的最大值为 9.2.【河北衡水】 已知函数 f x2a sin x cosx2b cos 2 x c a 0,b 0 ，满足 f 0 ，且当 x0,时， f x 在 x 取得最大值为 5.26 2（ 1）求函数 f x 在 x0, 的单调递增区间；（ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且2 22 f C3，求a2b 2c 2 的取值范围 .2ab c【解析】（1）易得 f x5sin 2x 5，整体法求出单调递增区间为0, ， 2 ,；3 666 3 （2）易得 C，则由余弦定理可得 a2b 2c 2 2a 2 2b 2 ab2 b a 1，3a 2b 2c 2aba bbsin 2 A3 1 1由正弦定理可得sin B 3，所以asin Asin A2tan A2 ,22a 2b 2c 23,4 .a2b2c2rcos x, 1 r( 3 sin x,cos 2x) ， xR ，设函数3.【山东青岛】 已知向量 a， b 2r rf ( x) a b .（ 1）求 f(x)的最小正周期；（ 2）求函数 f(x)的单调递减区间；（ 3）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值 . 2【解析】f (x) cos x, 1( 3 sin x,cos 2x) 23 cos x sin x 1cos2x 23sin 2 x 1cos 2x2 2cos sin 2x sin cos 2x6 6sin 2x.6（1）f ( x)的最小正周期为T 2 2，即函数f ( x) 的最小正周期为.2（2）函数y sin(2 x ) 单调递减区间：62k 2x 32k ， k Z ，2 6 2得：k x 5 k ， k Z ，63∴所以单调递减区间是3 k ,5k ， k Z .6（3）∵0 x ，2∴2x 5.6 6 6 由正弦函数的性质，当 2x6 2 ，即 x 时， f (x) 取得最大值1.3当x x 0 f (0) 1，即时，，6 6 2当 2x6 5 ，即 x2时， f21 ，6 2∴ f (x) 的最小值为1. 2因此， f (x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是1 .2 224.【浙江余姚】已知函数 f ( x) sin x sin x cos( x ) .（ 1）求函数 f(x)的最小正周期；（ 2）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值．2【解析】（ 1） 由题意得 f ( x) sin 2 x sin x cos x6sin 2 xsin x( 3 cos x 1sin x)2 23sin 2x3sin x cos x223(1 cos 2x)3sin 2x443 ( 1sin 2x3cos2x)3 2 2243sin( 2x) 32 34f (x) 的最小正周期为（ 2） x0, ，22x23 3 3当 2x，即 x0时， f ( x) min0 ；33当 2x5 时， f ( x) max2 3 33，即 x4212综上，得 x0时， f ( x) 取得最小值，为 0；当 x5 2 3 3时， f ( x) 取得最大值，为4125.【山东青岛】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b cos A 3a c ．3（ 1）求 cosB ；（ 2）如图， D 为 △ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中， D 2 B ，且 AD 1， CD3 ， BC 6 ，求 AB 的长．【解析 】解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A3sin Asin C ，3又 C( A B) ，所以 sin B cos A3sin Asin( A B) ，3故 sin B cos A3sin Acos B cos Asin B ，sin A3所以 sin Acos B3sin A ，3又 A(0, ) ，所以 sin A30 ，故 cos B3（2） QD 2 B ， cos D2cos 2 B 113又在ACD 中， AD 1， CD 3∴由余弦定理可得 AC2AD2CD22AD CD cosD 19 2 3 ( 1) 12 ，3∴ AC2 3 ，在 ABC 中， BC6 ， AC 2 3 ， cosB3，3∴由余弦定理可得 AC2AB 2 BC 2 2 AB BCcosB ，即 12 AB 2 6 2 AB63 ，化简得 AB 2 2 2 AB 6 0 ，解得 AB 3 2 ．3故 AB 的长为 32 ．6. 【江苏泰州】如图，在△ABC 中，ABC，2ACB， BC 1.P 是△ ABC 内一点，且BPC.3 2（1）若ABP，求线段AP的长度；6（2）若APB 2，求△ ABP 的面积 .3【解析】（1）因为PBC ，所以在 Rt PBC 中，6BPC ， BC 1，PBC3 ，所以 PB 1 ，2 2在 APB 中，ABP ， BP 13 ，所以， AB6 2AP2 AB 2 BP2 2AB BP cos PBA3 1 2 13 37，所以 AP 7 ；4 2 2 4 2（2）设PBA ，则PCB ，在 Rt PBC 中，BPC ， BC 1，2PCB ，所以 PB sin ，在 APB 中，ABP ， BP sin ， AB 3 ，APB 2，3由正弦定理得：sin 3 1sin3cos1sinsin sin 2 2 2 23 3sin 3 cos ，又 sin 2 cos2 1 sin2 32 7SABP 1AB BP sin ABP 1 3 sin 2 3 3 .2 2 148.【辽宁抚顺】已知向量m sin x,1 ， n cos x,3， f x m n4 4（ 1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；（ 2）令 h xf x6，求 h(x)的单调递减区间；（ 3）若 m // n ，求 f(x)的值．【解析】（1） f xm nsin x4cos x341sin 2 x4 3 1sin 2x231cos2x 3222所以 f x 的最小正周期 T ，对称轴为 xk , kZ2对称中心为k ,3 , kZ42（2） h xf x1 cos2 x 32 36令2k2x32k , kZ 得k x6k ,k Z3所以 h x 的单调减区间为3k ,k ,k Z6（3）若 m // n ，则 3sinxcos x即 tan x13444tan x 2f x1cos2x 3 1sin 2 x231 sin2 x cos 2 xcos x2 sin 2 xcos 2 322 x1 tan2 x 1 332 tan 2 x 31109.【辽宁抚顺】已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ， x R ．（ 1）求函数 f x 的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（ 2）若 f x 06，x 0, 2 ，求 cos 2x 0 的值．54【解析】（ 1） 由 f(x)＝ 2 3 sin xcos x ＋ 2cos 2x － 1，得 f(x)＝ 3 (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3 sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x ，6所以函数 f(x)的最小正周期为π0 x , 2 x6 7 , 1 sin 2 x 12 6 6 2 6所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为2，最小值为－ 12（ 2）由（1）可知f(x0)＝2sin 2 x6又因为 f(x0 )＝6，所以 sin 2 x6＝3 .5 5由 x0∈, ，得 2x0＋∈ 2,74 2 6 3 6从而 cos 2 x0 ＝ 1 sin 2 2 x06 ＝－46 5所以 cos 2x0＝ cos 2 x06 6 ＝ cos 2x0 cos ＋ sin 2x06sin6 6 6＝3 4 31010.【广西桂林】已知f x 4sin 24 x sin x cosx sin x cosx sin x 1 . 2（ 1）求函数 f x 的最小正周期；（ 2）常数0 ，若函数 y f x 在区间, 2上是增函数，求的取值2 3范围；（ 3）若函数 g x 1 f 2 x af x af x a 1在,的最大值为2 2 4 22，求实数的值 .【解析】（1）f x 2 1 cos x sin x cos2 x sin 2 x 1 22 2sin x sin x 1 2sin 2 x 1 2sin x .∴ T 2 .（2） f x 2sinx .由 2kx 2k2kx2k2 得, k Z ，222 ∴ fx 的递增区间为2k2, 2k, k Z2∵ fx 在,2上是增函数，23∴当 k0 时，有2, 22,.320,∴, 解得 03242 22 ,3∴ 的取值范围是0,3.4（3） gx sin 2x a sin xa cos x 1 a 1.2 令 sin xcos x t ，则 sin 2x1 t2 .112a21 2att2aa∴ y 1 ta 1at2 t4a .222∵ t sin x cos x2 sin x，由x 得x，4 42244∴ 2 t 1 .①当a2 ，即 a2 2 时，在 t2 处 y max2 1 a 2 .22由21 a2 2 ，解得 a8 8 2 2 12 2 （舍去 ).22 2 1 7②当2 a 1，即2 2 a2 时， y maxa 21 a ，由 a 21a 22424 2得 a 2 2a 8 0 解得 a2 或 a 4 （舍去） .③当a1，即a 2 时，在 t 1处y max a 1 ，由a1 2 得a 6.2 2 2综上， a 2 或 a 6 为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ ABC 是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖．．．．．（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民3营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .（1）若水上观光通道的端点 E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道 EF 的长度最短？并求出其最短长度 .【解析】（1）在等腰ABC 中，过点 C 作 CH AB 于 H ，在 Rt ACH 中，由 cosAH AH 240 ， AB 80 ，CAB ，即，∴ AHAC 60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等.∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ，∴AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C ），∴ AE 40， AF 60，在AEF 中，EF 2 AE 2 AF 2 2 AE AF cos CAB 402 602 2 40 60 2 200 ，3∴ EF 2000 20 5 米.即水上观光通道EF 的长度为20 5米.（2）由（ 1）知，AE AF 100 ，设 AE x ，AF y ，在AEF 中，由余弦定理，得EF 2 x2 y2 2x y cos CAB x2 y 24xy x y10xy .23 3∵ xy x y 2 1002 10 502 2 502 .502，∴EF22 3 350 6∴EF，当且仅当x y取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为50 6米.312.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3 ， AD4 .点P为材料ABCD 内部一点，PE AB 于 E ， PF AD 于 F ，且 PE1 ，PF 3 .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN 150 ，点M、N分别在边AB，AD上.（ 1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最小值 .【解析】（1）在直角NFP 中，因为 PF 3 ，FPN ，所以 NF 3 tan ，所以 S NAP 1NA PF 1 1 3 tan 3 ，2 2在直角 MEP 中，因为 PE 1，EPM3，所以MEtan，3所以 S AMP1AM PE 1 3 tan31，2 2所以 SSNAPSAMP3tan1tan33 ，0, .2 23（2）因为S 3 1 tan33 tan3，tan2 33tan2 13 tan22令 t 13 tan，由0, ，得 t1,4，3所以S3 3t24t 4 3 t 43 3 t4 3 23 ，2 3t 2 3t 323t33当且仅当t2 3233 时，即 tan时等号成立，3此时，AN 2 3233，Smin3 ，答：当AN 2 3AMPN 的面积 S 最小，最小值为 233 时，四边形材料.313.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中， ABC3AD ，， AB4AB=1.uuur uuur3 ，求 △的面积；（ 1）若 AB BCABCg（ 2）若 BC 2 2 ， AD 5 ，求 CD 的长度 .【解析】uuur uuur3 ，所以 uuur uuur，（1）因为 AB BCBAgBC 3guuur uuurABC3 ，即 BA BC cosABC 3 ， AB 1 ，所以 1 uuur3 uuur3 2 ，又因为BC cos 3，则 BC44 1 uuur uuur ABC 3所以 S ABC AB BC sin .2 2（2）在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2AB 2 BC 2 2 AB BC cos31 8 21 2 22 13 ，42解得： AC 13 ，在ABC 中，由正弦定理得：ACBC2 13sin ABC sin，即sin BAC，BAC13所以 cos CADcosBACsin BAC2 13 ，213在ACD 中，由余弦定理得：CD 2AD 2 AC 2 2AD AC cos CAD ，即 CD3 2 .14.【山东栖霞】 已知函数 f xA sin xA 0,0,的部分图象222如图所示， B ， C 分别是图象的最低点和最高点，BC4 .4（1）求函数 f(x)的解析式； （2）将函数y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到3原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 yg x 的图象，求函数 yg 2 x 的单调递增区间 .13【解析】（1）由图象可得：3 T 5 ( ) ，所以 f (x) 的周期 T .4 12 3于是2，得2 ，C 524 A 22又 B， A ， ， A ∴ BC 4 ∴ A 1，12 1224又将 C (5,1) 代入 f (x)sin(2 x) 得， sin(2 5) 1，1212所以 25=2k，即=2k( k R ) ，1223由2 得， ，23∴ f (x)sin(2 x) .3（2）将函数 yf (x) 的图象沿 x 轴方向向左平移个单位长度，3得到的图象对应的解析式为：y sin(2 x) ，3再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为 g( x)sin( x3 ) ，cos(2x2 )22(x13y g ( x) sin 3 )22由 2k22k， kZ 得, kx k ， k Z ,2x336∴函数 yg 2 ( x) 的单调递增区间为 k,k (kZ ) .3615.【山东滕州】 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A 0, 0,) 的部分图象如 2图所示 .（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）把函数 y f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y g (x) 的图象，求611关于 x 的方程 g ( x) m(0 m 2) 在 x [,] 时3 3所有的实数根之和 .【解析】2（1）由图象知，函数 f ( x) 的周期T，故 2 .T点 (, A) 在函数图象上，6∴ Asin(26) A，∴ sin(3) 1，解得：3 2k2， k Z ，即2k6， k Z ，又2 ，从而.6点 (0,1) 在函数图象上，可得：Asin(2 0 ) 1 ，6∴ A 2 .故函数 f (x) 的解析式为： f ( x) 2sin(2 x ) .6 （2）依题意，得g (x) 2sin( x ) .3∵ g( x) 2sin( x ) 的周期T ，3∴ g( x) 2sin( x ) 在 x [11] 内有2个周期. ,3 3 3令x3 k ， k Z ，2解得 x k ， k Z ，6即函数 g (x) 2sin( x ) 的对称轴为 x k ， k Z .3 6又 x [3 ,11 ] ，则 x3[0,4 ] ，3所以 g(x) m(0 m 2) 在 x [ , 11 ] 内有4个实根，3 3不妨从小到大依次设为x i (i 1,2,3, 4) .则x1x2 ， x3 x4 13 ，2 6 2 6故 g( x) m(0 m 2) 在x [3 ,11 ] 时所有的实数根之和为：3x1 x2 x3 x4 14. 3。
高考数学-三角函数及解三角形(含22年真题讲解)
高考数学-三角函数及解三角形（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为y =sin [ω(x +π2)+π3]=sin(ωx +ωπ2+π3)，又C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=13+2k,k ∈Z ，又ω>0，故当k =0时，ω的最小值为13. 故选：C.2．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB ⌢是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在AB ⌢上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB ⌢的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA．当OA =2,∠AOB=60°时，s =（ ）A ．11−3√32B ．11−4√32C ．9−3√32D ．9−4√32【解析】【分析】连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，即OD=OA=OB=2，又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2，则OC=√3，故CD=2−√3，所以s=AB+CD2OA =2+(2−√3)22=11−4√32.故选：B.3．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[53,136)B．[53,196)C．(136,83]D．(136,196]【答案】C 【解析】由x 的取值范围得到ωx +π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得ω>0，因为x ∈(0,π)，所以ωx +π3∈(π3,ωπ+π3)，要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y =sinx ，x ∈(π3,3π)的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈(136,83]． 故选：C ．4．【2022年全国乙卷】函数f (x )=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（ ） A ．−π2，π2 B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2 D ．−3π2，π2+2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得f (x )的单调区间，从而判断出f (x )在区间[0,2π]上的最小值和最大值. 【详解】f ′(x )=−sinx +sinx +(x +1)cosx =(x +1)cosx ，所以f (x )在区间(0,π2)和(3π2,2π)上f ′(x )>0，即f (x )单调递增； 在区间(π2,3π2)上f ′(x )<0，即f (x )单调递减， 又f (0)=f (2π)=2，f (π2)=π2+2，f (3π2)=−(3π2+1)+1=−3π2， 所以f (x )在区间[0,2π]上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.5．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.故选：A6．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则（）A．tan(α−β)=1B．tan(α+β)=1C．tan(α−β)=−1D．tan(α+β)=−1【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即：sin(α−β)+cos(α−β)=0,所以tan(α−β)=−1,故选：C7．【2022年北京】已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则（）A．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C．f(x)在(0,π3)上单调递减D．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出f(x)=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为f(x)=cos2x−sin2x=cos2x.对于A选项，当−π2<x<−π6时，−π<2x<−π3，则f(x)在(−π2,−π6)上单调递增，A错；对于B选项，当−π4<x<π12时，−π2<2x<π6，则f(x)在(−π4,π12)上不单调，B错；对于C选项，当0<x<π3时，0<2x<2π3，则f(x)在(0,π3)上单调递减，C对；对于D选项，当π4<x<7π12时，π2<2x<7π6，则f(x)在(π4,7π12)上不单调，D错.故选：C.8．【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为sin2x+cos2x=1可得：当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立；所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.故选：A.9．【2022年浙江】为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为y =2sin3x =2sin [3(x −π15)+π5]，所以把函数y =2sin (3x +π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y =2sin3x 的图象．故选：D.10．【2022年新高考2卷】（多选）已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则（ ） A ．f(x)在区间(0,5π12)单调递减B ．f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点 C ．直线x =7π6是曲线y =f(x)的对称轴D ．直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：f (2π3)=sin (4π3+φ)=0，所以4π3+φ=k π，k ∈Z ， 即φ=−4π3+k π,k ∈Z ，又0<φ<π，所以k =2时，φ=2π3，故f(x)=sin (2x +2π3)． 对A ，当x ∈(0,5π12)时，2x +2π3∈(2π3,3π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)在(0,5π12)上是单调递减；对B ，当x ∈(−π12,11π12)时，2x +2π3∈(π2,5π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)只有1个极值点，由2x +2π3=3π2，解得x =5π12，即x =5π12为函数的唯一极值点； 对C ，当x =7π6时，2x +2π3=3π，f(7π6)=0，直线x =7π6不是对称轴； 对D ，由y′=2cos (2x +2π3)=−1得：cos (2x +2π3)=−12，解得2x +2π3=2π3+2k π或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z ,从而得：x =k π或x =π3+k π,k ∈Z , 所以函数y =f(x)在点(0,√32)处的切线斜率为k =y′|x=0=2cos2π3=−1，切线方程为：y −√32=−(x −0)即y =√32−x ．故选：AD ．11．【2022年全国甲卷】已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120°,AD =2,CD =2BD ．当AC AB取得最小值时，BD =________．【答案】√3−1##−1+√3 【解析】 【分析】设CD =2BD =2m >0，利用余弦定理表示出AC 2AB 2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD =2BD =2m >0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅ADcos∠ADB =m 2+4+2m ， 在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2−2CD ⋅ADcos∠ADC =4m 2+4−4m ， 所以AC 2AB 2=4m 2+4−4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m)−12(1+m)m 2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥42√(m+1)⋅3m+1=4−2√3，当且仅当m +1=3m+1即m =√3−1时，等号成立，所以当ACAB 取最小值时，m =√3−1. 故答案为：√3−1.12．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T)=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3 【解析】 【分析】首先表示出T ，根据f (T )=√32求出φ，再根据x =π9为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解； 【详解】解： 因为f (x )=cos (ωx +φ)，（ω>0，0<φ<π） 所以最小正周期T =2πω，因为f (T )=cos (ω⋅2πω+φ)=cos (2π+φ)=cosφ=√32， 又0<φ<π，所以φ=π6，即f (x )=cos (ωx +π6)，又x =π9为f (x )的零点，所以π9ω+π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=3+9k,k ∈Z ， 因为ω>0，所以当k =0时ωmin =3； 故答案为：313．【2022年北京】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________．【答案】 1 −√2 【解析】 【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x −π3)，代入自变量x =π12，计算即可.【详解】∵f(π3)=√32A−√32=0，∴A=1∴f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sinπ4=−√2故答案为：1，−√214．【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=√2,b=√3,c=2，则该三角形的面积S=___________．【答案】√234.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，所以S=√14[4×2−(4+2−32)2]=√234．故答案为：√234.15．【2022年浙江】若3sinα−sinβ=√10,α+β=π2，则sinα=__________，cos2β=____ _____．【答案】3√10104 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】α+β=π2，∴sinβ=cosα，即3sinα−cosα=√10，即√10(3√1010sinα−√1010cosα)=√10，令sinθ=√1010，cosθ=3√1010，则√10sin(α−θ)=√10，∴α−θ=π2+2kπ，k∈Z，即α=θ+π2+2kπ，∴sinα=sin(θ+π2+2kπ)=cosθ=3√1010，则cos2β=2cos2β−1=2sin2α−1=45．故答案为：3√1010；45．16．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)= sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．17．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求△ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.(1)证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，所以ac⋅a2+c2−b22ac −2bc⋅b2+c2−a22bc=−ab⋅a2+b2−c22ab，即a2+c2−b22−(b2+c2−a2)=−a2+b2−c22，所以2a2=b2+c2；(2)解：因为a=5,cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，则50−5031bc=25，所以bc=312，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.18．【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA =sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．【答案】(1)π6； (2)4√2−5． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B 化成cos (A +B )=sinB ，再结合0<B <π2，即可求出； （2）由（1）知，C =π2+B ，A =π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将a 2+b 2c 2化成4cos 2B +2cos 2B−5，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为cosA1+sinA =sin2B1+cos2B =2sinBcosB 2cos 2B=sinBcosB ，即sinB =cosAcosB −sinAsinB =cos (A +B )=−cosC =12，而0<B <π2，所以B =π6； (2)由（1）知，sinB =−cosC >0，所以π2<C <π,0<B <π2， 而sinB =−cosC =sin (C −π2)， 所以C =π2+B ，即有A =π2−2B ． 所以a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22B+1−cos 2Bcos 2B=(2cos 2B−1)2+1−cos 2Bcos 2B=4cos 2B +2cos 2B −5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos 2B =√22时取等号，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．19．【2022年新高考2卷】记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3，已知S 1−S 2+S 3=√32,sinB =13．(1)求△ABC 的面积； (2)若sinAsinC =√23，求b ．【答案】(1)√28(2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出S 1,S 2,S 3，再由S 1−S 2+S 3=√32求得a 2+c 2−b 2=2，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得b 2sin 2B=acsinAsinC ，即可求解. (1)由题意得S 1=12⋅a 2⋅√32=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2，则S 1−S 2+S 3=√34a 2−√34b 2+√34c 2=√32， 即a 2+c 2−b 2=2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得accosB =1，则cosB >0，又sinB=13，则cosB =√1−(13)2=2√23，ac =1cosB=3√24，则S △ABC =12acsinB =√28； (2)由正弦定理得：bsinB =asinA =csinC ，则b 2sin 2B =asinA ⋅csinC =acsinAsinC =3√24√23=94，则b sinB =32，b =32sinB =12.20．【2022年北京】在△ABC 中，sin2C =√3sinC ． (1)求∠C ；(2)若b =6，且△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)π6 (2)6+6√3 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得△ABC 的周长. (1)解：因为C ∈(0,π)，则sinC >0，由已知可得√3sinC =2sinCcosC ，可得cosC =√32，因此，C =π6.(2)解：由三角形的面积公式可得S △ABC =12absinC =32a =6√3，解得a =4√3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =48+36−2×4√3×6×√32=12，∴c =2√3，所以，△ABC 的周长为a +b +c =6√3+6.21．【2022年浙江】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4a =√5c,cosC =35． (1)求sinA 的值；(2)若b =11，求△ABC 的面积．【答案】(1)√55；(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sinC ，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论cosC =a 2+b 2−c 22ab以及4a =√5c 可解出a ，即可由三角形面积公式S=12absinC 求出面积．(1)由于cosC =35， 0<C <π，则sinC =45．因为4a =√5c ， 由正弦定理知4sinA =√5sinC ，则sinA =√54sinC =√55．(2)因为4a =√5c ，由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+121−165a 222a=11−a 252a=35，即a 2+6a −55=0，解得a =5，而sinC =45，b =11， 所以△ABC 的面积S =12absinC =12×5×11×45=22．1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知点12P ⎛- ⎝⎭在角θ的终边上，且[)0,2πθ∈，则角θ的大小为（ ）． A ．π3B ．2π3C ．5π3D ．4π3【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定角θ的范围，再利用三角函数定义求解作答. 【详解】依题意，点12P ⎛- ⎝⎭在第二象限，又[)0,2πθ∈，则ππ2θ<<，而tan θ=所以2π3θ=. 故选：B2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π[0,]4上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据平移法则求出函数()g x 的解析式，进而求出()g x 的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系即可解出. 【详解】依题意，()2sin[()]2sin 33g x x x ππωωω=+-=，由ππ22x ω-≤≤，0>ω得：ππ22x ωω-≤≤，于是得()y g x =的一个单调递增区间是ππ,22[]ωω-，因()y g x =在π[0,]4上为增函数，因此，ππ[π[0,]2]24,ωω-⊆，即有ππ24ω≥，解得02ω<≤，即ω最大值为2． 故选：A.3．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】 【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈.【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin 16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，则()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.4．（2022·全国·模拟预测）已知α，()0,πβ∈，πtan 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ-=（ ）A． B．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据待求式的结构，πππ22362αβαβ⎛⎫⎛⎫-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】解：因为πππππcos(2)cos 2sin 236236αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=ππsin 2()cos()36αβ++-ππcos 2()sin()36αβ++.222πππ2tan 2sin()cos()πππ333sin 22sin()cos()πππ333sin ()cos ()tan 1333ααααααααα⎛⎫+++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=++=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭，22222222π1tan cos ()sin ()π1333cos 2cos ()sin ()π3333cos ()sin ()tan 1333ππαααππαααππααα⎛⎫-++-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=+-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭；πcos 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ0,62β⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭故cos(2)αβ-=． 故选：D.5．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小正整数值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据题意可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πϕωπ=+，1k Z ∈，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调可得()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解，所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，最终可得23k x ππωπ+=+，k Z ∈，取值即可得解.【详解】由函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πωϕπ-+=，1k Z ∈，13k πϕωπ=+，1k Z ∈，()()cos f x x ωωϕ'=+，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调， 所以()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以122()32x k k k Z ππωωππ++=+∈，所以23k x ππωπ+=+，21k k k Z =-∈，又5,6x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以74(,)363x πππ+∈， 所以36362(,)873k k k x ππωπ+++=∈+， 当2k =时，1515(,)87ω∈，此时ω的最小正整数为2.6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知π02θ<<，若πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭和角正弦求得3sin 25θ=，从而求得()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，根据角的范围确定符号，开方即可得结果. 【详解】 因为π02θ<<，所以ππ3π2444θ-<-<，又πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ2044θ-<-<，所以πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以ππππππ3sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 4444445θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，又sin cos 0θθ+>，sin cos θθ+= 故选：B ．7．（2022·全国·模拟预测（理））函数()f x 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的12；②向左平移23π个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，则()f x 的解析式为（ ）A ．()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()11sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()12sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的性质逆推求解即可 【详解】由题意，④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，故④变换前为1sin 2y x =；③向上平移一个单位长度，故③变换前为1sin 12y x =-；②向左平移23π个单位长度，故②变换前为1si 123n 2y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；①横坐标变为原来的12，故①变换前为211si 3n 122y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()f x 的解析式为()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A8．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x ，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象求得()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据图象变换可得()g x 的解析式，结合()()129g x g x =，1x ，[]20,4x π∈，求得21,x x 的值，可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可知372433T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得4T π=，则212T πω==，所以()1sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由题图可知()f x 图象的一个对称中心为点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭， 故1223k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，故3k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()1sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1323f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故131135sin sin sin 2323322f A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象；因为()()129g x g x =，所以12,x x 同时令()g x 取得最大值3，由()2sin 2133g x x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得()11212k x π+=，Z k ∈，又[]12,0,4x x π∈，要求21x x -的最大值，故令0k =，得112x π=；令3k =，得23712x π=，所以21x x -的最大值为3731212πππ-=， 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移712π个单位长度 B ．向左平移76π个单位长度 C ．向右平移712π个单位长度 D ．向右平移76π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可. 【详解】由题意，由于函数477sin(2)sin(2)sin 2()366126y x x x πππππ⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦， 观察发现可由函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移712π个单位长度，得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 故选：A.10．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图是函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数()2cos2g x x x -的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】先由图像求得()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由辅助角公式化简()g x ，最后由三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由题图知：712,1234T T ππππω-=∴==，又()()0,2,sin 2f x A x ωωϕ>∴=∴=+，20,sin 0,0332f A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∴+=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得(),sin 233f x A x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，又()()()0sin2,2sin 2,cos233f A A f x x g x x x ππ⎛⎫=∴==∴=+=-= ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()g x 向左平移4π得()2sin 22sin 22sin 246263x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.11．（2022·青海西宁·二模（文））在①6a =；②8a =；③12a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求cos A 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且2224a b c S +-=，c =________？【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C 的值，若选①6a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 只有一解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选②8a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 有两解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选③12a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，因为sin 1A >，则三角形无解. 【详解】由题意可知在ABC 中， 因为2224a b c S +-=，且in 12s S ab C =， 所以222sin 2a b c C ab+-=， 由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=， 所以cos sin C C = 因为(0,)C π∈， 所以4Cπ；若选①6a =，由正弦定理可得sin sin a cA C=，解得3sin sin5a A C c ==，在ABC 中，因为c a >，所以C A >， 又因为4Cπ，则角A 只有一解，且0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5A ==．若选②8a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得4sin sin5a A C c ==， 在ABC 中，因为c a <，所以C A <， 又因为4Cπ，则角A 有两解，所以3cos 5A ==±．若选③12a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得6sin sin5a A C c ==， 因为sin 1A >，所以ABC 无解，即三角形不存在．12．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B Cb a B +=. (1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边中点，且2AD =，求a 的最小值. 【答案】(1)π3【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. (1)△sinsin 2B C b a B +=，△πsin sin 2A b aB -=，即cos sin 2Ab a B =.由正弦定理得cos sin sin 2sin AB A B ⋅=⋅. △sin 0B ≠，△cos sin 2sin cos 222A A A A ==. △cos02A ≠，△1sin 22A =，又△π022A <<, △π26A =，△π3A =；(2)△D 为BC 边中点，△2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+, △2AD =，△22162cos c b bc A =++，△2216b c bc +=-,△22216bc b c bc ≤+=-，即163≤bc , 当且仅当b c ==, △222222cos 162a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-，△2161616233a ≥-⨯=，即a .故a . 13．（2022·山东聊城·三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6b Cc B π=-.(1)求角B ；(2)若b =4，求ABC 周长的最大值. 【答案】(1)3B π=；(2)12. 【解析】 【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答. （2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a +c 的最大值 (1)因为sin cos()6b C c B π=-，则1sin sin )2b Cc B B =+，在ABC 中，由正弦定理得，1sin sin sin sin )2B C C B B =+，而(0,π)C ∈，即sin 0C >，整理得sin B B =，即tan B =()0,πB ∈，解得π3B =， 所以π3B =. (2)在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2216a c ac =+-，即()2163a c ac +-=， 而2()2a c ac +≤，于是得()264a c +≤，当且仅当a =c =4时取“=”， 因此，当a =c =4时，a +c 取最大值8，从而a +b +c 取最大值12， 所以ABC 周长的最大值为12.14．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(cos )2b a b c a B -=-．(1)求角A 的大小；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上的高． 【答案】(1)3A π=【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b 值，由余弦定理可得a 值，结合面积公式可得高. (1)22cos 2b a b c a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222()2cos a b ca B bc -=-．222222()a b c a b bc ∴-=+--，222b c a bc ∴+-=，2221cos =22b c a A bc +-∴=．又(0,)A π∈，3A π∴=．(2)11sin 8sin 223S bc A b π==⨯⨯==2b ∴=．故由余弦定理可知a ==而1122S ah h ==⨯=解得h =，所以BC ． 15．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos A A +=b =①：2a =，222sin sin sin B A C >+；条件②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+．这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)tan 2A 的值； (2)c 和面积S 的值．【答案】(1)条件选择见解析，tan 2A =(2)条件选择见解析，2c =，S =【解析】 【分析】（1）若选①，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，若选②，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，（2）若选①，由正弦定理得sin B =222sin sin sin B A C >+得222b a c >+，再由余弦定理得cos 0B <，则2π3B =，求得π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得1cos 2B =-，从而可得2π3B =，则π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果， (1)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3， 则π6A =或π2，△2a b =<=π6A =，△πtan 2tan3A == 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3，则π6A =或π2，由a b <，得：π6A =，△πtan 2tan 3A ==(2)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，由正弦定理得：sin sin a b A B =，2πsin 6=sin B =， 由222222sin sin sin B A C b a c >+⇒>+知：222cos 02a c b B ac+-=<，故2π3B =， 则π6C =，△2c a ==，11πsin 2sin 226S ab C ==⨯⨯= 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+由正弦定理得：21sin cos cos sin sin sin 2A A C C A A =+，△sin 0A ≠△1cos cos sin sin 2A C A C -=，即()1cos 2A C +=，1cos 2B =-， △0πB <<，故2π3B =，则π6C =， △a c =△由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，22211222c c c ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，得2c =，△11πsin 2sin 226S bc A ==⨯⨯=。
高考数学三角函数试题及解析
三角函数与解三角形一．选择题1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．二．填空题11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________ ．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）= _________ ．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于_________ ．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ= _________ ．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________ ．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= _________ ．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________ ．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= _________ ；sinA= _________ ．三．解答题19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．三角函数与解三角形一．选择题1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0考点：三角函数值的符号专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．4．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为．考点：三角函数的最值专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）= ．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换专题：三角函数的图像与性质．分析：哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x=，或x=，∴+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ= ．考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tan θ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= ．考点：余弦定理专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于．考点：余弦定理；正弦定理专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ．考点：余弦定理专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性专题：三角函数的求值．分析：（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）•（sinα﹣cosα），即（sinα﹣cosα）=•（cosα﹣sinα）2•（sinα+cosα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA 与a的值．考点：余弦定理的应用专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含答案
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．数学家欧拉通过研究，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到著名的欧拉公式i e cos isin x x x =+(i 为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，3i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数22()cos 3sin 1f x x x =-+的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（ ） A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称4．sin 480︒的值是（ ）A ．12B ．12-C D ． 5．下列各角中与60︒角终边相同的角是( ) A ．－300°B ．－60°C ．600°D ．1 380°6．一架直升飞机在300m 高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60︒，则塔高为（ ）A ．200mB ．C ．D ．100m7．已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =1a =，23B π=，则c =（ ）A B ．2CD ．38．为了得到函数2cos ,y x x R =∈的图像，只需把cos ,y x x R =∈图像上所有点（ ） A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍 C ．横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 D ．横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12倍9．把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-10．设sin160a ︒=，则cos340︒的值是（ ）A ．21a - BC ．D ．11．已知,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且24sin225α=-，则sin cos αα+=（ ）A ．15B ．15- C ．75- D ．7512．已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 2cos 1cos 2ααα-=+（ ） A．56- B ．75- C ．2- D ．13．已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是 A ．2πB ．76πC ．56π D ．π14．已知曲线21:C y x =，曲线2:sin 2cos 2C y x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线1C 关于原点对称B ．4x π=是曲线2C 的一条对称轴C ．曲线1C 向右平移8π个单位长度，得到曲线2C D ．曲线2C 向左平移4π个单位长度，得到曲线1C15．函数3sin 2x y x =的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．16．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()5c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ）A ．3B C D ．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c =，b ，则ABC 的面积最大值为（ ）AB ．CD ．18．已知sin()0,cos()0θπθπ+<->，则θ是第象限角. A ．一 B ．二 C ．三D ．四19． 若，且,42x ππ<<则cos sin x x -的值是A ．B ．C ．D ．20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =（ ） A ．513B ．6365C ．2113D ．31021． E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan△ECF=A ．B ．C ．D ．22．已知θ为第四象限角，sin cos θθ+=sin cos θθ-=（ ）A ．B ．C D23．在数列{}n a 中,()*1153n n a a a n n N +==-+∈，，若该数列的前三项可作为三角形的三边长,则此三角形最小角与最大角之和为 A ．150°B ．135°C ．120°D ．90°24．将函数()π2sin +36x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 的解析式为 A ．()π2sin +134x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()π2sin 134x g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C ．()π2sin 1312x g x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．()π2sin 1312x g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭25．某船在岸边A 处向正东方向航行x 海里后到达B 处，然后向南偏西60︒方向航行3海里达到C 处，若A 与Cx 的值是（ ）A ．3BC ．D ．26．一艘船航行到点B 处时，测得灯塔C 在其北偏东15°的方向，如图，随后该船以25海里/小时的速度，沿西北方向航行两小时后到达点A ，测得灯塔C 在其正东方向，此时船与灯塔C 间的距离为（ ）A ．(253海里B ．25海里C ．(253海里D ．(25海里27．北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽、如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为（ ） （参考数据：sin16.280.28︒≈，sin47.430.74︒≈，sin31.150.52︒≈）A ．65.46kmB ．74.35kmC ．85.09kmD ．121.12km28．已知定义域为[1,1]-函数3()sin f x x x =+，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+->的解集是（ ）A．(3,2)-B ．2)C ．D ．29．某学习小组的学习实践活动是测量图示塔AB 的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得3BCD π∠=，4BDC π∠=，且基点C ，D 间的距离为(30m CD =+，同时在点C 处测得塔顶A 的仰角为6π，则塔高AB 为（ ）A ．20mB ．C ．40mD ．30．若tan()74πα+=，则2cos 2sin 2αα+=（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．162531．已知sin α＋cos αα△(0，π)，则tan α＝( )A ．－1 BC D ．132．要得到函数2sin 2y x =的图象，只需将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度33．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）为偶函数B ．g （x ）的一个单调递增区间为51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．g （x ）为奇函数D ．函数g （x ）在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个零点34．在ABC 中，如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=C ∠的大小为（ ） A ．30B ．150︒C ．30或150︒D ．60︒或120︒35．已知()2cos f x x =，[],x m n ∈，则“存在[]12,,x x m n ∈使得()()124f x f x -=”是“πn m -≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件36．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，点P 是ABC 的重心，且AP =若2b =，(()cos 24sin 1A B C ++=，则=a （ ）A ．B ．C ．D ．37．把函数y= sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移3π个单位，所得图象对应的函数为（ ）A ．y=sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．y=sin2xC ．y=sin 126x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．y=sin 12x38．将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．再把()g x 图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到函数()h x 的图象，则下列叙述正确的是（ ）A ．当6πθ=时，,012π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()h x 图象的对称中心B ．当6πθ=时，若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()h xC ．当2πθ=时，函数()g x 与()h x 的图象关于x 轴对称D ．当2πθ=时，函数()()g x h x -的最小值为039．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45︒方向，距离的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北(045)θθ︒<<︒方向的C 处，且4cos .5θ=已知A ，C 之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（ ）A ．/小时B ．/小时C ．/小时D ．/小时40．中，角的对边分别为，且满足，则A ．B ．C ．D ．41．已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．BCD ． 42．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度43．把函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭)图象向左平移4π个单位后所得图象与y 轴距最近的称轴方程为 A ．x 3π=B ．x -6π= C ．x -24π= D ．11x 24π=44．已知点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（ ）A ．（2π，34π）△（54π，32π）B ．（0，4π）△（54π，32π）C ．（2π，34π）△（74π，2π）D ．（2π，34π）△（π，32π）45．已知点()00,P x y 是圆22:124390C x y x y ++++=上的一点，记点P 到x 轴距离为1d ，到原点O 的距离为2d ，则当212d d +取最小值时，x y =（ ） A ．167B ．187C ．227D ．24746．函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3π()2cos(2)110f x x =+- B ．3π()1cos(2)10f x x =-+C ．π()1sin 25f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭D ．π()1sin 25f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭47．把函数sin 2y x =的图象沿着x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：（1）该函数的解析式为2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；（3）该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；（4）若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a =其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题48．已知角α与180α︒-的顶点均在原点，始边均在x 轴的非负半轴上，终边相同，且450720α︒<<︒，则α=__________．（用角度表示）49．已知cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，0<α<2π，则sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.50．已知 tan 02παα⎫=<<⎪⎝⎭，则α=___________. 51．用“五点法”画2sin(2)3y x π=+在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是(,0)6π-，(,2)12π，(,0)3π，7(,2)12π-，_______．52．如果角θ始边为x 轴的正半轴，终边经过点(，那么tan θ=______． 53．计算：10cos3π=________．54．在ABC 中，已知22,3BC AC B π==，那么ABC 的面积是______． 55．已知函数()2sin cos 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，给出以下四个命题：△函数()f x 的最小正周期为2π；△函数()f x 的图象的一个对称中心是82π⎛- ⎝⎭；△函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数；△若()()12f x f x =，则()1211Z 4x x k k ππ+=+∈或()1222Z x x k k π-=∈．其中真命题的序号是__________．（请写出所有真命题的序号） 56．已知()()4sin cos cos sin 5αβαβαα---=，β是第三象限角，则sin 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值___________.57．已知sincos22θθ+=cos2θ=______. 58．如果1cos 5α=-，且α是第三象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．59．函数tan()34y x ππ=+的对称中心是__________．60．若18090α-︒<<-︒，且()1cos 753α︒+=，则()cos 15α︒-=__________.61．已知1sin cos 2αα+=-，则tan cot αα+=__________62．已知1tan 3α= ，则sin 2α= ________.63．已知角α的终边经过点(3,4)P ，则tan α=____________ 64．y cos 25sin x x =+的最小值为________________．65．若角α的终边经过点()P y ，且sin (0)y y α=≠，则cos α=______.66．设a ＞0，角α的终边经过点P （﹣3a ，4a ），那么sinα+2cosα的值等于______． 67．已知tan 2α，则3sin 2cos 5sin 4cos αααα-=+__________．68．函数sin 22y x x =的图象可由函数sin 22y x x =的图象至少向右平移_______个长度单位得到．69．已知函数()sin2f x x x =，给出下列四个结论：△函数()f x 的最小正周期是π；△函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数；△函数()f x 的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；△函数()f x 的图像可由函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到；其中正确结论是_________________.70．设f(x)=kx －|sin x | (x >0，k >0)，若f(x)恰有2个零点，记较大的零点为t ，则2(1)sin 2t tt+= ____71．计算：23456coscoscos cos cos cos 777777ππππππ+++++=__________．72．若2tan 3α=-，则sin(2)4πα+=____________．73．已知3ππ4αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，()4cos 5αβ+=，π5cos 413α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πcos 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____74．已知集合{}22(,)(cos )(sin )4,0P x y x y θθθπ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：△“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为； △在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为4；△阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则||3CD =+△白色“水滴”图形的面积是116π 其中正确的有___________.75．设0a ≥____________．76．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过点(0,B ，且在ππ,183⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图像向左平移π个单位长度后与原来的图像重合，当124π2π,,33x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=__________.77．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角4B π=且4sin 4sin sin 4sin a A c C ac B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为_____________.三、解答题78．设函数()sin(2)2sin cos 3f x x x x π=++．(1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)若[,]123x ππ∈-，求函数()f x 的最大值和最小值． 79．若角α的终边与60︒角的终边关于直线y x =对称,且360360α-︒<<︒,求角α的值. 80．已知函数()()21cos ,1sin2.2f x xg x x ==+（1）设0x x =是函数()y f x =的图象的一条对称轴，求()02g x 的值； （2）求函数()()(),0,4h x f x g x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域.81．已知()()()()()3sin 3cos 2sin 2cos sin f παππαααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----. （1）化简()f α； （2）若313πα=-，求()f α的值. 82．如图，一艘船以32.2nmile/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°方向上，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东60°方向上，求灯塔S 到B 处的距离（精确到0.1nmile ，参考数据：sin 200.342︒≈，sin 400.643︒≈）．83．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC且sin cos 0a C A =. （1）求a ；（2）若b c +=ABC 的面积.84．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><图象经过点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫⎪⎝⎭，且在区间7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增． （1）求函数()f x 的解析式；（2）当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．85．若向量(3sin ,sin )a x x ωω=，(cos sin )b x x ωω=，，其中0>ω.记函数1()2f x a b =⋅-，若函数()f x 的图象上相邻两个对称轴之间的距离是2π. （1）求()f x 的表达式；（2）设ABC 三内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，若3a b +=，c =()1f C =，求ABC 的面积.86．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，)cos sin 0a c B b C --=． （1）求角C 的大小；（2）若2c =，AB 边上的中线CD ABC 的周长． 87．如图4，在平面四边形中，,(1)求的值；(2)求的长88．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos 3A =，3c b =，且△ABC 的面积ABCS=(1)求边,b c ；(2)求边a 并判断△ABC 的形状.89．已知函数2()cos cos 1f x x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若5()6f θ=，2(,)33ππθ∈，求sin 2θ的值. 90．如图，某圆形海域上有四个小岛，小岛A 与小岛B 相距为5nmile ，小岛A 与小岛C相距为，小岛B 与小岛C 相距为2nmile ，CAD ∠为钝角，且sin CAD ∠=(1)求小岛A ，B ，C 围成的三角形的面积； (2)求小岛A 与小岛D 之间的距离.91．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且222a c b ac +-=． （1）求B ；（2）若cos sin a C c A b +=，b =a ．92．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos b A c= （1）证明：ABC ∆是直角三角形： （2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1BM=，6c =，求cos ABM ∠．93．为迎接冬奥会，石家庄准备进行城市绿化升级，在矩形街心广场ABCD 中，如图，其中400m AB =，300m BC =，现将在其内部挖掘一个三角形空地DPQ 进行盆景造型设计，其中点P 在BC 边上，点Q 在AB 边上，要求3PDQ π∠=．(1)若100m AQ CP ==，判断DPQ 是否符合要求，并说明理由； (2)设CDP θ∠=，写出DPQ 面积的S 关于θ的表达式，并求S 的最小值．94．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin A =B 2A =，b 4=． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 中点，求AD 的长．95．已知函数()cos cos )f x x x x =+，x ∈R ．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设0t >，关于x 的函数()2tx g x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，求实数t 的取值范围．96．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 的单调递增区间； (3)先将()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，求()g x 在区间[]2ππ，上的值域.97．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-． (1)求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及()f x 的最小正周期；(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值．参考答案：1．B 【解析】 【分析】由题可知3i e 对应在复平面的点为()cos3,sin3，由32ππ<<可判断cos3和sin3的正负，进而得到答案. 【详解】由题，3i e cos3isin3=+，其对应点为()cos3,sin3, 因为32ππ<<知，cos30<，sin30>，所以点()cos3,sin3在第二象限， 故选：B 2．B 【解析】 【分析】先利用余弦的二倍角公式化简()f x ，再利用余弦函数的周期公式即可求解. 【详解】因为()()22222()cos 3sin 1cos sin 12sin f x x x x x x =-+=-+-cos2cos22cos2x x x =+=，所以最小正周期2ππ2T ==， 故选：B. 3．C 【解析】 【分析】根据角θ与角θ-的终边关于x 轴对称即可得解. 【详解】解：因为角θ与角θ-的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边一定也关于x 轴对称． 故选：C 4．C【解析】结合诱导公式化简即可 【详解】()sin 480sin 360120sin120︒=︒+︒=︒=故选：C 【点睛】本题考查三角函数值的化简，属于基础题 5．A 【解析】 【详解】与60︒角终边相同的角为：60360k,k Z ︒+︒∈. 当k 1=-时，即为－300°. 故选A. 6．A 【解析】 【分析】由题设，画平面示意图，利用三角形内边角关系，列方程求塔高即可. 【详解】如图，O 、A 分别为塔底、塔顶，C 为飞机位置，△300,30,60OB BCA BCO =∠=︒∠=︒， 若设OA x =，则300AB x =-，有tan tan AB OBBCA BCO =∠∠，=200x =.故选：A. 7．B 【解析】 【分析】由余弦定理列方程即可求解. 【详解】由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，即211722c c+--=，整理得260c c +-=，解得2c =．故选：B. 8．C 【解析】 【分析】根据坐标变换求解即可得答案. 【详解】为了得到函数2cos ,y x x R =∈的图像，只需把cos ,y x x R =∈图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍. 故选：C 9．B 【解析】 【分析】由37515360-=-︒-︒︒结合弧度制求解即可. 【详解】△37515360-=-︒-︒︒，△π3752πrad 12⎛⎫-︒=-- ⎪⎝⎭故选：B 10．B 【解析】根据题中条件，先由诱导公式，得到sin 20a ︒=，再根据诱导公式化简所求式子即可. 【详解】因为sin160a ︒=，所以()sin 18020sin 20a ︒-︒=︒=，而()()cos340cos 36020cos 20cos 20︒=︒-︒=-︒=︒= 故选：B. 11．A 【解析】 【分析】由题意得242sin cos 25αα∴=-，由,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得sin cos αα+=，代入即可求值得解. 【详解】 24sin 225α=-， 242sin cos 25αα∴=-， ,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴+>，1sin cos 5αα∴+=. 故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，常用公式2(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x +=+=+，属于基础题. 12．A 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】△1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，△1tan tan 11442tan tan 1443111tan tan 244ππαππααππα⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-===- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+⨯++ ⎪⎝⎭， 则222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 11cos 22cos 2αααααααα---==+ 1115tan 2326α=-=--=-.故选：A 【点睛】本题以三角正切函数值为依托，考查了正切的两角差公式和倍角公式的运用，此题以考生最熟悉的知识呈现，面向考生，试题注重基础，针对性强，同时考查了考生的运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题. 13．A 【解析】 【详解】试题分析：因为函数的最大值取不到2,所以b a T -<,即02b a π<-<．故A 正确． 考点：三角函数的图像,值域． 14．C 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据余弦函数、正弦函数的性质判断即可； 【详解】解：曲线21:C y x x ==关于y 轴对称，故A 错误；曲线2:sin 2cos 224C y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令242x k πππ+=+，解得82k x ππ=+，Z k ∈，即曲线2C 的对称轴方程为82k x ππ=+，Z k ∈，则4x π=不是曲线2C 的一条对称轴，故B 错误；曲线1:222C y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移8π个单位长度得到24i 28n 2y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即得到曲线2C ，故C 正确．将曲线2C 向左平移4π个单位长度得到42242i 4n 24y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦++，故D 错误；故选：C 15．D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <判断选项.【详解】3xy =是偶函数，sin 2y x =是奇函数，()3sin 2xf x x =是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ，当(,)2x ππ∈时，30x y =>，sin 20y x =<3sin 20xy x ∴=<，排除C.故选D . 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项. 16．C 【解析】 【分析】先根据题意以及余弦定理求出ab ，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：2222()525c a b a ab b =-+=-++， 即22225a b c ab +-=-，由余弦定理得：222251cos 3222a b c ab ab ab π+--===， 解得：5ab =，则ABC的面积为：11sin 522ab C =⨯=故选：C. 17．B 【解析】 【分析】根据题意，先由余弦定理，得到28cos 8b A b +=，求出sin A积公式，得到1sin 2ABCSbc A ==，根据三角形的性质，确定b 的范围，进而可求出三角形面积的最值. 【详解】因为b =，2c =，所以222221482cos 248b c b a b A bc b b++-+===，所以sin A =因此1sin 2ABCSbc A == 由三角形性质可得：a b c b a c +>⎧⎨-<⎩，即22b b +>⎨⎪<⎪⎩，解得：44b -<+又44-<+因此当224b =，即b =ABC的面积最大，为ABCS ==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求三角形面积的最值问题，熟记余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型. 18．B 【解析】 【详解】试题分析：由sin()sin 0sin 0θπθθ+=-⇒，cos()cos 0cos 0θπθθ-=->⇒<，由sin 0{cos 0θθ><可知θ是第二象限角，选B.考点：诱导公式及三角函数在各个象限的符号. 19．C 【解析】 【详解】 试题分析：42x ππ<<，cos sin x x ∴<，cos sin 0x x ∴-<，()22213cos sin cos sin 2sin cos 1284x x x x x x -=+-⋅=-⨯=，cos sin x x ∴-=C 正确． 考点：1同角三角函数基本关系式；2正弦函数余弦函数比较大小问题． 20．C 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可. 【详解】因为A ，C 是ABC ∆的内角，所以,(0,)A C π∈. 因为4cos 5A =，5cos 13C=，所以3sin 5A ==，12sin 13C ===，因此有：3541263sin sin()sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C A C π=--=+=+=⨯+⨯=，由正弦定理可知：121363sin sin 13565a b b b A B =⇒=⇒=. 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.21．D 【解析】 【详解】 略 22．B 【解析】 【分析】将sin cos θθ+=2sin cos θθ，再求出()2sin cos θθ-，即可得到sin cos θθ-，最后根据θ的范围，即可得解；【详解】解：因为sin cos θθ+=()2sin co 1s 5θθ+=，所以221sin 2sin cos cos 5θθθθ++=，所以42sin cos 5θθ=-，所以()2229sin cos sin 2sin cos cos 5θθθθθθ-=-+=，所以sin cos θθ-=θ为第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，所以sin cos θθ-= 故选：B 23．C 【解析】根据数列的递推关系求出前三项即为三角形边长，根据余弦定理求出从小到大第二大的角，即可求得最大角与最小角之和. 【详解】由题：数列{}n a 中,()*1153n n a a a n n N +==-+∈，，所以12357,8a a a ===，，作为三角形三边长， 由余弦定理：边长为7的边所对角的余弦值为25644912582+-=⨯⨯，角的大小为60°，所以最大角与最小角之和为120°. 故选：C 【点睛】此题考查根据递推关系求数列中的项，根据余弦定理求三角形的角的大小，涉及三角形三内角和的关系进行转化. 24．A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，即可求解. 【详解】将函数()π2sin()36x f x +＝的图象向左平移 π4个单位，得到函数()πππ2sin +2sin 312634x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，再向下平移1个单位，得到函数()π2sin +134x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则解析式为()π2sin +134x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选:A ． 25．D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，在ABC 中利用余弦定理建立方程求解即得. 【详解】如图，ABC 中，依题意，30ABC ∠=，,3AC AB x BC ===，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得，222323cos30x x =+-⋅，即260x -+=，解得x =x =所以x 的值是 故选：D 26．D 【解析】 【分析】根据三角形ABC 的边和角，利用正弦定理，即可求解. 【详解】由题意可知，60ABC ∠=︒，45A ∠=︒，75C ∠=︒，50AB =海里，由正弦定理可得sin sin AB ACC ABC=∠，所以(25AC =海里. 故选：D 27．A 【解析】 【分析】由题意可得46km AC =，16.28ACB ∠=︒，132.57BAC ∠=︒，然后在ABC 中利用正弦定理求解即可 【详解】如图所示，由题意可得46km AC =，16.28ACB ∠=︒，132.57BAC ∠=︒， 由正弦定理可得sin sin BC ACA B =，即46sin132.57sin31.15BC =︒︒， 解得4646sin132.570.7465.46sin31.150..52BC =⋅︒≈⨯≈︒．故选：A28．C 【解析】 【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的奇偶性和单调性，进而根据函数的性质和定义域，将不等式2(2)(4)0f a f a -+->化为2(2)(4)f a f a ->-，解不等式组即可求解. 【详解】解：因为函数3y x =和函数sin y x =均为奇函数，且在[1,1]-上均为增函数， 所以函数3()sin f x x x =+是奇函数，且在[1,1]-为增函数， 由2(2)(4)0f a f a -+->， 得2(2)(4)f a f a ->-， 所以2224121141a a a a ⎧->-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得2a <≤2a ∈（. 故选：C. 29．A 【解析】 【分析】设,AB x =则BC =，利用正弦定理即得解. 【详解】解：设,AB x =则BC . 由题得53412CBD ππππ∠=--=.51sinsin()12642πππ=+==在△BCD20x ∴=. 所以塔高20m. 故选：A 30．A 【解析】 【分析】先计算出tan α的值，然后构造齐次式，将分子分母同除以2cos α即可计算出结果. 【详解】因为tan()74πα+=，所以tan 171tan A A +=-，所以3tan 4α=，又222222314cos 4sin cos 14tan 644cos 2sin 2sin cos tan 125314ααααααααα+⨯+++====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以264cos 2sin 225αα+=. 故选：A. 【点睛】本题考查两角和的正切公式与同角三角函数的基本关系的综合应用，难度一般.已知tan α，求解22sin cos m n αα+的值，可变形为求解222222sin cos tan sin cos tan 1m n m nαααααα++=++的结果；求解sin cos sin cos n n n n a b c d αααα++的值，可变形为求解tan tan n n a b c dαα++的结果.31．D 【解析】 【详解】 由sin α＋cos α＝得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，又因为α△(0，π)，则当cos α＝0时，sin α＝1，不符合题意，所以cos α≠0，所以＝＝1，解得tan α＝1，故选D. 32．D 【解析】 【详解】分析：利用诱导公式，()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得到答案详解：222sin 236y sin x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦要得到函数22y sin x =的图象，只需要将函数223y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度即可故选D点睛：本题考查了三角函数图像的性质，根据图像的平移来确定结果，掌握由sin y x =图像到()y Asin x ωϕ=+图像的变换过程． 33．B【分析】先根据函数的部分图象和性质求出f （x ）解析式，再根据图象的变换规律求得g （x ），最后根据余弦函数性质得出结论． 【详解】因为函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以A =3，46T π=-（12π-）4π=；所以T ＝π所以ω＝2；所以f （x ）＝3cos （2x +φ）； 又因为f （12π-）＝3cos[（2×（12π-）+φ]＝3，所以6π-+φ＝K π；△0＜φ＜π； △φ6π=，△f （x ）＝3cos （2x 6π+）； 因为将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象， 所以g （x ）＝3cos[2（x 6π-）6π+]＝3cos （2x 6π-）；是非奇非偶函数；令﹣π+2k π≤2x 6π-≤2k π，所以512π-+k π≤x ≤k π12+π，k △z ； 当k ＝0时，g （x ）的一个单调递增区间为：51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；令2x 6π-=k π2π+， 解得x 23k ππ=+，k △z ， △函数g （x ）在[0，2π]上只有一个零点． 故选：B ．本题主要考查由三角函数部分图象求解析式，图象变换以及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 34．A 【解析】 【分析】对4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=再相加得出30C ︒=或150︒，再由三角函数的性质验证150C ︒=，即可得出答案. 【详解】4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=2216sin 16sin cos 4cos 1A A B B ∴++=△224sin 16sin cos 16cos 27B B A A ∴++=△△+△得2016sin()28A B ++=即1sin()sin()sin 2A B C C π+=-==()0,180C ︒︒∈ 30C ︒∴=或150︒当150C ︒=时，则030,030A B ︒︒︒︒<<<<12sin 212B ∴<⨯=，4cos 4A <2sin 4cos 5B A ∴+<5∴<150C ︒∴=不满足题意故选：A 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式，平方关系，三角函数的性质，属于中档题. 35．A 【解析】 【分析】由三角函数的性质可知()2cos f x x =在R 上的最大值为2，最小值2-，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为π，结合充分、必要条件的定义即可判定. 【详解】由于()2cos f x x =在R 上的最大值为2，最小值2-，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为半个周期，即π，所以若存在[]12,,x x m n ∈使得()()124f x f x -=，则必有πn m -≥，但反之不成立,比如2π2,33m n π=-=时，4=>π3n m π-，但()f x 在[],m n 上的最大值为2，最小值为1-，[]12,,x x m n ∈时()()12f x f x -的最大值为3，不可能等于4，△“存在[]12,,x x m n ∈使得()()124f x f x -=”是“πn m -≥”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及三角函数的性质，属基础题，关键是认真审题，理解存在性命题的意义，掌握三角函数的性质和充分、必要条件的意义. 36．C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换的应用化简已知恒等式可得(22sin 4sin 0A A -+=，解方程即可求出sin A ，进而求出角A ，由三角形的重心的性质可得()13AP AB AC =+，两边同时平方结合平面向量的数量积的运算即可得到24cos 240c c A +⋅-=，分类讨论求出边c ，进而求出结果. 【详解】因为(()cos 24sin 1A B C ++=，所以(212sin 4sin 1A A -+=,因此(22sin 4sin 0A A -+=，解得sin A =或sin 2A =， 又因为()0,A π∈，则(]sin 0,1A ∈，所以sin A =，因此3A π=或23A π=，又因为点P 是ABC 的重心，所以()13AP AB AC =+,因此()22212cos 9AP AB AC AB AC A =++⋅⋅, 即()22212cos 9AP AB AC AB AC A =++⋅⋅，又因为AP =2b =，所以()228144cos 99c c A =++⋅，即24cos 240c c A +⋅-=,当3A π=时，22240c c +-=，因为0c >，所以4c =，此时214162242a =+-⨯⨯⨯，所以a =当23A π=时，22240c c --=，因为0c >，所以6c =，此时214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，所以a =综上：a =a = 故选：C. 37．A 【解析】 【分析】直接利用三角函数图象的“伸缩变换”与“平移变换”法则求解即可. 【详解】把函数3y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，所得图象对应的函数为22333y sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.38．C 【解析】 【分析】利用图象的变换规律，可求出函数()g x 与()h x 的的解析式， 再由三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍， 纵坐标不变，得到函数()sin 2g x x =的图象，再把()g x 图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到函数 ()sin()h x x θ=+的图象 ,当6πθ=时，()sin(2),3h x x π=+ 当12x π=时，()sin(2)112123h πππ=⨯+=，则12x π=为函数()h x 图象的对称轴，故 A 错误；当6πθ=时，()sin(2)3h x x π=+，若0,,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦则1sin(2),132x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故()h x 的最大值为 1，故B 错误； 当2πθ=时，函数()sin 2g x x =与()sin 2h x x =-的图象关于x 轴对称，故C 正确； 当2πθ=时，()()2sin 2g x h x x -=最小值为 -2 , 故D 错误. 故选：C. 39．A 【解析】 【分析】根据所给条件求出cos BAC ∠，再借助余弦定理即可作答. 【详解】因4cos 5θ=，则3sin 5θ=，由题意得45BAC θ∠=︒-， 即()43cos cos 4555BAC θ⎛⎫∠=︒-=+= ⎪⎝⎭， 在ABC中，AB =10AC =，由余弦定理2222BC AB AC AB ACcos BAC =+-⋅∠得：即22210210340BC =+-⋅=，解得BC = 设船速为x，则12x =x =所以货船的速度大小为/小时. 故选：A 40．C 【解析】 【详解】 设，则，则，故选C.考点：正弦定理与余弦定理. 41．A 【解析】 【详解】2222221sin tan 14sin 1sin cos tan 1514αααααα====+++，由于角为第三象限角，故sin α=πcos sin 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭. 42．C 【解析】 【分析】先将函数()f x 的化为正弦型函数，在将函数()f x 的解析式表示为()()sin 23f x x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，并结合ϕ的符号与绝对值确定平移的方向与长度．【详解】由诱导公式可得()cos 2sin 2sin 232343f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，只需在将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，即可得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】在考查两个三角函数平移的过程中，需注意以下两个问题； △两个函数的名称一定要一致；△左右平移法则中的“左加右减”指的是在自变量x 上变化了多少． 43．B 【解析】 【分析】先求出把函数()f x 的图象向左平移4π个单位后所得图象对应的解析式，然后求出该图象对应函数的对称轴，最后结合四个选项进行判断即可． 【详解】把函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭)图象向左平移4π个单位后所得图象对应的解析式为sin 2?cos 2433y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由2,k Z 3x k ππ+=∈，得对称轴方程为,k Z 62k x ππ=-+∈．当0k =时，可得对称轴为6x π=-，此时对称轴离y 轴距最近． 故选B ． 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换以及函数图象对称轴的求法，对于图象的平移变换，解题时要注意平移只是对自变量x 而言的，同时要注意平移的单位的大小；在求图象的对称轴方程时，将4x π+看作一个整体进行求解，属于基础题．44．C【解析】 【分析】由点P 的横坐标大于0且纵坐标小于0解三角不等式求解α的范围． 【详解】△点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，△00sin cos tan ＞＜ααα+⎧⎨⎩， 由sinα+cosα=（α4π+）， 得2kπ＜α4＜π+2kπ+π，k△Z ，即2kπ4π-＜α＜2kπ34π+π，k△Z ． 由tanα＜0，得kπ2π+＜α＜kπ+π，k△Z ． △α△（2π，34π）△（74π，2π）．故选C ． 【点睛】本题考查了三角函数的符号，考查了三角不等式的解法，是基础题． 45．D 【解析】 【分析】利用圆的参数方程，表示出212d d +并求最值，利用三角函数求出0x y . 【详解】22:124390C x y x y ++++=化为标准方程：22(6)(2)1x y +++=，点()00,P x y 是圆上一点，不妨设006sin 2cos x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则22212(6sin )(2cos )(2cos )d d t t t +=-++-+--+(12sin 5cos )43t t =-++)43t ϕ=++ 13sin()43t ϕ=-++其中5tan 12ϕ= 当2t πϕ+=时，212sin()1,t d d ϕ+=+可取得最小值30此时001266sin 6cos 221352cos 2sin 7213x t y t ϕϕ-+-+-+====-+-+-+ 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据圆的方程，可设点()00,P x y 满足006sin 2cos x t y t=-+⎧⎨=-+⎩，代入212d d +化简求最值，是解决本题的关键，属于中档题. 46．D 【解析】 【分析】由函数图象知,,A T B ，利用周期公式即可解得ω，又πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭7020，解得ϕ，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】设函数()()sin f x A x B ωϕ=++，则 由图可知,A B =-=11，πππT =-=7420104，解得πT =, 所以2π=πT ω=，解得2=ω，将点π,⎛⎫⎪⎝⎭7020代入函数()()sin 21f x x ϕ=-++中，即7π7π()sin 2102020f ϕ⎛⎫=-⨯++= ⎪⎝⎭，解得ππ,k k Z ϕ=-∈25当0k =时，π5ϕ=-. ()f x 的解析式为：π()1sin 25f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.故选：D.47．B 【解析】 【分析】利用正弦型函数的图象变换规律求得函数()y f x =的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得出结论. 【详解】把函数sin 2y x =的图象沿着x 轴向左平移6π个单位，可得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，对于函数()2sin 23x y f x π=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故（1）错误；由于当3x π=时，()0f x =，故该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故（2）正确；在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，22,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故函数()y f x =该函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故（3）错误；在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当4233x ππ+=时，函数()y f x a =+在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最小值为a =a ∴=4）正确，故选：B. 【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题. 48．630° 【解析】 【分析】根据题目条件得到(180)360,k Z k αα=-+⋅︒︒∈，求出()2190,k k Z α=+⋅︒∈，列出不等式组，求出3,630k α==︒. 【详解】由题意得，(180)360,k Z k αα=-+⋅︒︒∈， 即()2190,k k Z α=+⋅︒∈，。
2023-2024学年高考数学三角函数专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
2023年高考数学真题分训练 三角函数定义与三角函数恒等变换(含答案含解析)
专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点 考查内容理 5 三角函数定义 文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限 的符号及两角和的正切公式 卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、 三角函数性质等根底知识 卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式 三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换 三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、 卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式 值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与 转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系． 同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归 与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式 理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷 三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化 与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化 归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函 数值求角，运算求解能力 二倍角公式，平方关系 二倍角公式，三角函数的符号 二倍角公式 卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换 理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换 理 9 三角恒等变换 文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式 两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三 角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍 为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析） 角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1， 解 得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知， 在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角 满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角 的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角 的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ， 可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， 解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得 ，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知 是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析） 是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设 为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵， ，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论． （解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设 为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当 时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由 在第四象限可得： ，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析） 理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答 案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数， 即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1， （解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2， 可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜ ＜ ，- ＜ ＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而 ， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为： ；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ， 两 边 平 方 可 得 ： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ， 由 ① ② 得 ：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )， 则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为 ． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知 的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得 ，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系 中，角与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k， 所 以（ 解 析 ） ∵ 角与 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 所 以 ；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设 为锐角，假设cossin 2 ，则 ．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析） 因为 为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以 ， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数 ，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ， 的值；，其中a R ， 0， ． 44 2 23(2)假设 f ，， ，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以 〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又 ， ，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数 ． 3 f (1) 求 的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。
高考数学三角函数典型例题
三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C ,∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21. ∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π) 设sin A =t ,那么t ∈]1,0(.那么m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值.依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. 3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++CB A . I.试判断△ABC 的形状;II.假设△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-.4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,43cos =A, (1)求B C cos ,cos 的值; (2)假设227=⋅BC BA ,求边AC 的长｡ 【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=625169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.5 ．在ABC ∆中,A B >,且A tan 及B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值; (Ⅱ)假设AB 5=,求BC 的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯(Ⅱ)∵180=++C B A ,∴)(180B A C +-=.由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,∵C 为三角形的内角,∴sin C =∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A =, 由正弦定理得:sin sin AB BCC A=∴2BC ==6 ．在ABC ∆中,内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1)//m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴a c≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 37 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a =-+ (1)求B CA 2cos 2sin 2++的值; (2)假设b =2,求△ABC 面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=142sin 2A C ++cos2B= 41-(2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3158 ．)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值｡ 【解析】aa -12;9 ．()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)化简()fα(II)假设α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()f α的值｡ 【解析】10．函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)1cos 23()2(1cos 2)2x f x x x -=+++132cos 22223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度, 就得到3sin(2)62y x π=++的图象｡11．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)假设函数)(x g y =及)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f ∴当]223,22[34ππππππk k x ++∈-时,)(x f 单调递减 解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡(2)∵函数)(x g y =及)(x f y =关于直线1=x 对称 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ∴0=x 时,23)(max =x g12．cos 2sin αα=-,求以下各式的值; (1)2sin cos sin 3cos αααα-+; (2)2sin2sin cos ααα+【解析】:1cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-(1)1212sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532αααααα⎛⎫⨯-- ⎪--⎝⎭===-++-+(2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos αααααααα++=+ 2222112tan 2tan 322tan 15112ααα⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+(I)求函数()f x 的最大值及最小正周期; (II)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集合｡ 【解析】14．向量)1,32(cos --=αm ,)1,(sin α=n ,m 及n 为共线向量,且]0,2[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求αααcos sin 2sin -的值.｡【解析】:(Ⅰ) m 及n 为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =⨯--⨯-∴αα, 即32cos sin =+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,972sin -=∴α 2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,916)32(2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[πα-∈ ,0cos sin <-∴αα,34cos sin -=-αα 因此, 127cos sin 2sin =-ααα15．如图,A,B,C,D 都在同一个及水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,030,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=｡试探究图中B,D 间距离及另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果准确到,2≈1.414,6≈2.449)【解析】:在ACD ∆中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°,又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ∆中,ABCACBCA AB ∠=∠sin sin , 即AB=2062351sin 60sin +=︒︒AC因此,km 33.020623≈+=BD故 B ．D 的距离约为｡16．函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象及x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ∈,求()f x 的值域.【解析】： (1)由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故(2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=即2x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进展测量,50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值｡【解析】:作//DMAC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=, 2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯18．51cos sin =+θθ，),2(ππθ∈，求〔1〕sin cos θθ-〔2〕33sincos θθ-〔3〕44sin cos θθ+【解析】：〔1〕3344791337sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625θθθθθθ-=-=+=19．函数)sin(ϕω+=x A y 〔0>A ， 0ω>，πϕ<||〕的一段图象如下图，〔1〕求函数的解析式；〔2〕求这个函数的单调递增区间。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。
由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。
2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。
(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。
解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。
又sinA≠0，因此 cosB=1/3。
3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。
(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。
解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。
高考三角函数历年真题汇总以及解析
1.若34cos,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线（ ）上A. 2470x y -=B. 2470x y +=C. 7240x y +=D. 7240x y -=2.已知在△ABC 中，22tan tan A a B b =，判断△ABC 的形状为（ ）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形3.已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线23x π=对称 B. 关于直线6x π=对称C. 关于点2-03π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D. 关于点5-012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 4.已知2sin 1cos αα=+，其中α是第一象限角，则tan2α=（ ）A.12- B. 2C.12D.135.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数，则下列判断正确的是（ ）A. 函数f (x )的最小正周期为2πB. 函数f (x )在区间3[,]4ππ上单调递增 C. 函数f (x )的图象关于直线712x π=-对称 D. 函数f (x )的图象关于点7(,0)12π对称 6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C()sin sin A B A B+=+，3cos 5C =，且4ABCS=，则c =（ ）B. 4C.3D. 57.在△ABC 中，4ABC π∠=，AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）8.将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，再把所得图象上的所有点向右平移4π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3x π=处取得最大值，则函数()f x 的图象（ ）A 关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线512x π=-对称 D. 关于直线6x π=对称9.当[,]33x ππ∈-时，函数2()cos 444x x x f x =+ ）A. C. 110.若1cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A. 78- B.78C. 18-D.1811.函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为2x π=，则a =（ ）A. 1C. 2D. 312.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，4A π=，12B π=，c =，则a =（ ）A. 2B. 22C. 32D. 4213.在直角坐标系xOy 中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点对(A ，B 与B ，A 为同一对).函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上关于原点成中心对称的点对有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对14.将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则m 的最小值为_______． 15.给出下列四个命题正确的是______________： ①函数()ln 2f x x x =-+在区间(1,)e 上存在零点； ②将函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12倍得到函数cos(2)3y x π=-； ③若1m ≥-，则函数22log (2)y x x m =--的值域为R ；④“1a =”是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件； 16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin a B b A c A +=，则△ABC 的形状为_____________. 17.正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，则()f x 的解析式为_______________.18.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则[0,]a M =________；a 的取值范围为________．19.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，22a bc =且sin 2sin A C =，则cos C ________．20.△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin A a cos B +a sin B ． （1）求B ；（2）设b ＝，a ＝4，D 为线段BC 上一点，若S △ABD ，求AD 的长． 21.已知函数()()22sin cos f x x x x =++-（1）求它的单调递增区间； （2）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求此函数的值域. 22.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22sin 30C C -++=． （1）求角C 的大小；（2）若b =，△ABC 的面积为sin 2A B ，求sin A 及c 的值． 23.已知函数()2cos 2sin 2x x f x x πωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为π.（1）求ω的值和函数f (x )的单调增区间； （2）求函数f (x )在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 24.已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 2a c Bb =+. （1）求cos C ；（2）若c =，求+a b 的取值范围.25.已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-（x ∈R ）. （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）若06()5f x =，0[,]42x ππ∈，求0cos2x 的值. 26.已知a ，b ，c 分别为说角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，满足222sin sin sin sin sin 0.A B C B C --+=（1）求A ；（2）若b =2，求△ABC 面积的取值范围. 27.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件中的2个条件：①函数f (x )的周期为π；②6x π=是函数f (x )的对称轴；③04f π⎛⎫=⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调； （Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数f (x )的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f (x )的最值.试卷答案1.B【详解】由条件可知2724cos 2cos1,sin 2sin cos 2252225θθθθθ=-=-==， 24tan 7θ-=．又24tan 7y x θ==-， 所以247x y =-，即2470x y +=. 故选：B ． 2.C 【分析】22tan tan A a B b=左边切化弦，右边用正弦定理化边为角可解 【详解】22tan tan A a B b =，22sin cos sin sin cos sin A B AB A B∴=cos sin cos sin B A A B∴=，sin cos sin cos A A B B ∴= sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=或2+2=A B πA B ∴=或+=2A B πABC 是等腰或直角三角形故选：C ． 3.D 由题意得22ππω=，故1ω=， ∴()cos(2)f x x ϕ=+， ∴()cos[2()]cos(2)cos 263g x x x x ππϕϕ=-+=-+=，∴3πϕ=，∴()cos(2)3f x x π=+．∵2251()cos(2)cos 133332f ππππ=⨯+==≠±，21()cos(2)cos 166332f ππππ=⨯+==-≠±， ∴选项A,B 不正确． 又22()cos(2)cos()10333f ππππ-=-⨯+=-=-≠， 55()cos(2)cos()0121232f ππππ-=-⨯+=-=， ∴选项C,不正确，选项D 正确．选D ． 4.C 【分析】由二倍角公式和平方关系可得22sincoscos 222ααα=，再由商数关系即可得解.【详解】因为2sin 1cos αα=+，所以224sin cos1cos sin 2222αααα=+-，所以22sincoscos 222ααα=，又α是第一象限角，所以cos02α≠，所以2sincos1222cos 2ααα=即1tan 22α=.故选：C.【点睛】本题考查了二倍角公式及同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.B图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，即三角函数的周期为22,,22ππππωω⨯=∴==,所以sin 2sin 212126f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，,62k k Z ππϕπ∴+=+∈,即,3k k Z πϕπ=+∈,又2πϕ<,解得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A项,最小正周期T π=,错误;B 项, 由222,232k x k k Zπππππ-≤+≤+∈,解得单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣∈⎦,k=1时成立,故正确;;C 项, 2,32x k k Z πππ+=+∈,解得对称轴是,212k x k Z ππ=+∈,错误;D 项, 由2,3x k k Z ππ+=∈,解得对称中心是,0,26⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭k k Z ππ,错误;综上所述,应选B. 6.B 【分析】由三角函数的基本关系式和4ABCS=，求得10ab =，再由正弦定理，得到a b =+，根据余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】因3cos 5C =，则(0,)2C π∈，所以4sin 5==C ，又因为4ABCS=，即114sin 4225ab C ab =⨯=，解得10ab =，sin sin C A B =+a b =+， 由余弦定理，可得22222223162cos 2()33255c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-⨯=+-=-，整理得216c =，即4c =.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题． 7.C试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin 4BAC π=∠，解得sin BAC ∠=考点：解三角形. 8.C 【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到sin 2)2(x g x πϕ⎛⎫-+ ⎝=⎪⎭，函数()g x 在3x π=处取得最大值，求得3πϕ=，再求函数()f x 的对称轴和对称中心即可．【详解】由题意得，12sin 2sin (4)222x x x g ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=， 由函数()g x 在3x π=处取得最大值，得max sin 2sin 13326()g x g ππππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，23k πϕπ=+，k Z ∈，∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，∴2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由23x k ππ+=，k Z ∈，得26k x ππ=-，k Z ∈， ∴函数()f x 的图象关于,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈对称， 故A ，B 选项错误； 由232x k πππ+=+，k Z ∈，得212k x ππ=+，k Z ∈， ∴函数()f x 的图象的对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈， 显然当1k =-时，函数()f x 的图象的对称轴为直线512x π=-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，三角函数的最值，三角函数图象的对称性等，考查的数学核心素养是数学运算、直观想象． 9.B【分析】由二倍角公式降幂，然后由两角和的正弦公式化简函数为一个角一个三角函数形式，再利用正弦函数性质可得最小值． 【详解】21()cos sin 4442222223x x x x x x x x f x π⎫⎛⎫=-=+==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,2362x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以236x ππ+=，即3x π=-时，min ()2f x =． 故选：B ．【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，解题关键是利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式． 10.A 【分析】 根据1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，将sin 2α，利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化为2sin 22cos 14παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.【详解】因为1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以27sin 2cos 22cos 1448ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 11. B 【详解】试题分析：()f x 的对称轴是2x π=2f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭cos cos 36a ππ+=a =考点：三角函数性质点评：利用对称轴处取最值求解 12.C 【分析】先求得C ，然后利用正弦定理求得a . 【详解】因为,412A B ππ==，所以23C A B ππ=--=，所以sin sin c Aa C===故选：C【答案】 13.C 【分析】作出函数6log y x =，作出sin ,02y x x π=≤关于原点的对称图像，由图象交点个数即可得到结论.【详解】若()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上有关于原点成中心对称的点， 则6log y x =与sin,02y x x π=≤关于原点对称图像有交点，作出6log y x =，sin(),02y x x π=--≥图象如图，由图象可知，有3个交点，从而()f x 有3对关于原点对称的点. 故选：C【点睛】本题主要考查了对数函数、正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，属于中档题. 14.3π 【分析】利用图象变换求得函数()y g x =的解析式，由函数()y g x =为奇函数，可得出关于m 的代数式，进而可求得正数m 的最小值. 【详解】将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数11sin 3sin 6626y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 再将所得函数图象向右平移()0m m >个单位长度，得到()()111sin sin 26262g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由于函数()y g x =为奇函数，则()162m k k Z ππ-=∈，()23m k k Z ππ∴=-∈， 当0k =时，正数m 取得最小值3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.①③④ 【分析】根据零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义判断各选项．【详解】①()ln 2f x x x =-+，(1)10f =-<，()10f e e =->，由零点存在定理得()f x 在(1,)e 上有零点，①正确；②函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12得到函数cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②错误；③1m ≥-时，440m ∆=+≥，故函数值域为R ，③正确；④()1x x a e f x ae -=+是奇函数，则1()11x x xx x xa e ae a e f x ae e a ae------===-+++，22(1)(1)0xa e --=，1a =±，因此“1a =”是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，④正确． 故答案为：①③④【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义是解题基础． 16. 直角三角形 【分析】利用正弦定理边角互化思想求得sin A 的值，可求得角A 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos cos sin a B b A c A+=，由正弦定理得sin cos cos sin sin sin A B A B A C +=，即()()sin sin sin sin sin A C A B C C π=+=-=，0C π<<，则sin 0C >，sin 1A ∴=，0A π<<，2A π∴=.因此，ABC 为直角三角形. 故答案为：直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基17.()2sin(2)3f x x π=+【分析】由最值求得A ，由周期求得ω，由最高点或零点横坐标及ϕ的范围求得ϕ，得解析式．【详解】由题意1A =，4312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴22πωπ==， 由正弦函数性质得，22122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，∵2πϕ<，∴3πϕ=．∴()2sin(2)3f x x π=+．故答案为：()2sin(2)3f x x π=+【点睛】本题考查求三角函数的解析式，掌握“五点法”作正弦函数的图象是解题关键． 18. 1； 513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数的有界性易得[0,]1a M =，通过作图分析可得a 的取值范围. 【详解】作出函数sin y x =的图象，如图所示：显然，[0,]a M 的最大值为1，[0,][,2]2a a a M M ≥，∴[,2]a a M 的最大值为12， 作出直线12y =与sin y x =相交于,,A B C 三点，且151131(,)(,),(,)626262A B C πππ，由图形可得：5,513613662,6a a a ππππ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≤⎪⎩， 故答案为：513[,]66ππ. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意结合图象进行分析求解. 19.78【分析】根据正弦定理将角化成边得2a c =，结合2b c =，将边统一用c 表示，再利用余弦定理，即可得答案； 【详解】sin 2sin 2A C a c =⇒=，又22a bc =，∴2b c =，∴2222277cos 2248a b c c C ab c +-===⋅⋅， 故答案为：78. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将边统一用c 进行表示，进而求得角的余弦值. 20. （1）3π；（2） 【分析】（1）根据2b sin Aa cos B +a sin B ,利用正弦定理得到sin sin cos B A A B =,再根据sin 0A ≠求解.（2）在△ABC 中，利用余弦定理求得c ，再由S △ABD，求得BD ，然后 在△ABD 中，由余弦定理求解.【详解】（1）因为2b sin Acos B +a sin B ,所以2sin sin sin cos sin sin B A A B A B =+,sin sin cos B A A B =,sin 0A ≠tan B =()0,B π∈ 3B π=（2）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，解得6c =或2c =-（舍去），因为S △ABD ＝1sin 22⨯⨯=BD c B ， 解得 3BD =，在△ABD 中，由余弦定理得：2222cos 27AD BD c BD c B =+-⨯⨯⨯=，解得AD =.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）(1⎤⎦.【分析】（1）化简()f x ，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可． （2）根据（1）的结果()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出23x π+的范围结合sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的值域为,12⎛⎤-⎥⎝⎦，即可求出结果．【详解】（1）())21sin 22cos 1f x x x =+-1sin 212sin 23x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-+≤+≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.故此函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.（2）由02x π<<，得42333x πππ<+<.sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦.()12sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为(1⎤⎦，故此函数的值域为(1⎤-⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中档题． 22.（1）34C π=；（2）sin 1A c ==. 【分析】（1）由三角恒等变形可得cos 2C =-，0C π<<又，即34C π=．（2）由余弦定理得c =，再由正弦定理及三角形面积公式可得：2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C==，即1c ==，得解.【详解】解：（1）22sin 30C C -++=，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=， cos C ∴=0C π<<，34C π∴=． （2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，c ∴，sin C A ∴，sinA C ∴==，1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C=1c ∴=．【点睛】本题考查了三角恒等变形及正余弦定理，属中档题. 23.（1）1ω=；单调增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）[]0,3. 【分析】（1）先将函数解析式整理，得到()2sin 216f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭πω，根据最小正周期，即可求出1ω=，由正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调增区间； （2）先由3x ππ≤≤，得到7132666x πππ≤+≤，根据正弦函数的性质，即可求出结果. 【详解】（1）()2cos 2sin cos 1cos 22x x x x x f x x ⎛⎫=++=-+- ⎪⎝⎭πωωωωωω2cos 212sin 216x x x ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭πωωω，∵函数()f x 的最小正周期为22T ππω==， ∴1ω=；∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 由3222262k x k πππππ+≤+≤+()k ∈Z ，得263k x k ππππ+≤≤+()k ∈Z ，∴函数()f x 的单调增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . （2）由2x ππ≤≤得7132666x πππ≤+≤， 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[]2sin 210,36f x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭π. 即()f x 的取值范围为[]0,3.【点睛】本题主要考查由正弦型函数的周期求参数，考查求正弦型函数的单调区间，考查求正弦型函数在给定区间的值域，属于常考题型. 24.（1）12；（2）3【分析】（1）利用余弦定理将角转化为边，再利用余弦定理求得结果；（2）由已知结合正弦定理将边转化角，再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的取值范围.【详解】（1）由1cos 2a c Bb =+，可得222222cos a ab ac B a c b -==+-， 整理得222a b c ab +-=，所以222cos 122a b c C ab +-==.（2）由（1）得1cos 2C =，0C π<<,3C π=，,sin 2C =，c = 由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C===， ∴22sin 2sin 2sin 2sin 3a b A B A A π⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵3C π=,∴203A π<<，5666A πππ<+<， 1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴+a b 的取值范围是3.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题. 25.（1）最小正周期是π，增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2 【分析】（1）应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解； （2）由（1）求得0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求出0cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭，然后用两角差的余弦公式求解．【详解】（1）1()2cos 222cos 22sin 2326f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由2662x πππ≤+≤，得06x π≤≤， 由72266x πππ≤+≤得62x ππ≤≤， 所以()f x 的增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）得062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0252,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-+⨯=【点睛】本题考查求三角函数的周期与单调区间，考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是把三角函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解． 26.（1）3A π=；（2）(2【分析】 （1）利用正弦定理的边角互化可得222a b c bc =+-，再利用余弦定理即可求解. （2）利用正弦定理可得2sin sin C c B=，再利用三角形的面积公式可得12sin 2sin 2sin ABC C S A B=⨯⨯，根据三角形的内角和性质以及两角差的正弦公式可将式子312tan B ⨯，结合B 的取值范围即可求解. 【详解】解：（1）由已知及正弦定理得， 222,a b c bc =+- 由余弦定理可得2221cos .22b c a A bc +-== 又0A π<<，.3A π∴=（2） 由已知及正弦定理得， 2sin ,sin C c B =由2,3B C π+=得12sin 2sin 2sin ABC C S A B=⨯⨯2sin()313.sin 2tan B B Bπ-==+⨯ ABC 是锐角三角形，得20,0,232B B πππ<<<-<得.62B ππ<<tan B >∴10tan B ∴<<ABC S <<所以ABC面积的取值范围是,2 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、两角差的正弦公式，属于中档题.27.（Ⅰ）①②成立，理由见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭；（Ⅱ）f (x )的最大值为1；最小值为12.【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域，即可得出最值. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=. 由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈ 由③得，44m m πωπωωπϕπ+=⇒=-，m Z ∈220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤ 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭. 若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意. 若②③成立，则()1266264k m m k ππωπωππω+-=-⇒=--≥，k Z ∈与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立.所以，只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭. （Ⅱ）由题意得，()5102136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤. 所以，当6x π=时，函数()f x 取得最大值1；当0x =或3x π=时，函数()f x 取得最小值12.。
高三数学三角函数经典练习题及答案精析
1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则ϕ的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．12πD ．23π 2．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位 3．若113sin cos αα+=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3π的值为（ ）A ．12B 3C ．12-D ．3 5．记cos(80),tan 80k -︒=︒那么= ( ).A 21k -B ．21k -C 21k -D ．21kk -- 6．若sin a = -45，a 是第三象限的角，则sin()4a π+=（ ） （A ）-7210 （B ）210 （C ）2 -10 （D ）2107．若552)4sin(2cos -=+παα，且)2,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ）A ．34-B ．43- C ．43 D ．34 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ）A ．)(x f 的周期为πB ．)(x f 在)0,2(π-上单调递减C ．)(x f 的最大值为2D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ＜2π的图象，那么A.ω=1110，φ=6π B.ω=1011，φ=-6π C.ω=2，φ=6π D.ω=2，φ=-6π 10．要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()2g π等于（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12- 13．同时具有性质①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在[,]63ππ-上是增函数的一个函数为（ ）A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=- D ．cos()26x y π=- 14．若[]5sin cos ,0,5θθθπ+=∈,则tan θ＝（ ）A ．12- B.12 C ．－2 D ．215．已知1cos(=-cos 2A π+），那么sin 2A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．12- B.12 C ．32- D.3216．已知tan （α﹣）=，则的值为（ ）A ．B ．2C ．2D ．﹣217．200sin 501sin10+的值等于（ ）A ．12 B ．14 C ．1 D ．218．已知角α的终边上一点的坐标为（sin 23π，cos 23π），则角α值为A.56πB.23πC.53πD.116π19．已知1cos 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12± C 3D ．3±20．已知3sin 1cos =+αα，则1sin cos -αα的值为（ ）A ． 33B ． 33- C ．3 D ．3-21．已知锐角,αβ满足()3cos 5ααβ=-=-，则sin β的值为（ ）A ．B ． CD 22．已知α为锐角，若1sin 2cos 25αα+=-，则tan α=（ ） A ．3 B ．2 C ．12 D ．1323．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+等于（ ） A ．1318 B ．1322 C ．322 D ．1624．若[,]42ππθ∈，sin 28θ=，则sin θ等于（ ）A ．35B ．45C ．4D ．3425．钝角三角形ABC 的面积是1,1,2AB BC ==，则AC =（ ）A ．5B ．C ．2D ．126．在∆ABC 中，记角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，角A 为锐角，设向量(cos ,sin )m A A =u r(cos ,sin )n A A r ，且12m n ⋅=u r r ． （1）求角A 的大小及向量m u r 与n r 的夹角；（2）若a =，求∆ABC 面积的最大值．27．已知函数()2sin cos()32f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.28．已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭r r ，记()f x m n =r r g ． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．29．在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若cos cos 2cos b A a B a C +=-．（1）求角C 的大小；（2）若6a b +=，且ABC ∆的面积为c 的长．30．在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-． （1）求角A 的值； （2）若12AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积．31．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，向量)sin sin ,(C A b a -+=，向量)sin sin ,(B A c n -=，且//.（1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D ，且3=AD ，求c a 2+的最大值.32（1（2成立的x 的取值集合.33．已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 取得最大值的所有x 组成的集合.参考答案1．A【解析】试题分析：由题意得552sin 2()22()2()()121226k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ-=⇒-=+∈⇒=-∈，因为02πϕ<<，所以0,6k πϕ==，选A.考点：三角函数求角【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。
高三数学三角函数图象变换试题答案及解析
高三数学三角函数图象变换试题答案及解析1.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，横坐标伸长到原来的2倍，则x变为2x，，向左平移个单位，x变为，，即，对称轴，化简得，当k取1时，故选：A．【考点】三角函数的图象变换．2.若把函数的图象向右平移m个单位（m＞0）后，所得到的图象关于轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，图象向右平移m个单位（m＞0）后，得到，其图象关于轴对称，即是偶函数，所以，解得m的最小值是，选D.【考点】三角函数辅助角公式，三角函数图象的变换.3.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数图象所有的点向右移动个单位长度后所得图象的函数解析式为，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为.故C正确.【考点】三角函数的伸缩平移变换.4.已知函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则()A．ω=1,φ=B．ω=1,φ=-C．ω=2,φ=D．ω=2,φ=-【答案】D【解析】因为=-=,所以T=π,所以ω=2,又×2+φ=,所以φ=-.5.将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为．【答案】【解析】由题意得：函数变为，因为所得图像关于直线对称，所以的最小正值为.【考点】三角函数图像变换6.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像只需将的图像（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【答案】A【解析】由题意知函数的周期为，即；将向右平移个单位，得到.【考点】三角函数的图像平移变换.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】将函数的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，然后向左平移个单位得到函数，选C.8.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：，向左平移1个单位长度得：，再向下平移1个单位长度得：．令x＝0，得：；x＝，得：；观察即得答案．9.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，选D．【考点】图象变换．10.函数的图像经过下列平移，可以得到偶函数图像的是（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】C【解析】由题意，假设向左平移个单位得到偶函数，即为偶函数，则，解得，由选项可知，当时，，即向右平移个单位，故选C.【考点】1.三角函数的平移；2.三角函数的奇偶性.11.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位，得到，再向上平移1个单位，得到，故选C.【考点】三角函数图象变换12.已知函数的图象经过点.（1）求实数的值；（2）设，求函数的最小正周期与单调递增区间.【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递增区间为.【解析】（1）将点代入函数的解析式即可求出实数的值；（2）根据（1）中的结果，先将函数的解析式进行化简，化简为或，再根据周期公式计算函数的最小正周期，再利用整体法对施加相应的限制条件，解出的取值范围，即可求出函数的单调递增区间.试题解析：（1）由于函数的图象经过点，因此，解得，所以；（2），因此函数的最小正周期，由，解得，故函数的单调递增区间为.【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的周期性与单调性13.若ω>0，函数y＝cosωx＋的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值为()A．B．C．3D．4【答案】C【解析】由题意，得＝k (k∈N*)，所以ω＝3k(k∈N*)，所以ω的最小值为3.14.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R) 的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是________．【答案】【解析】y＝cos x＋sin x＝2sin ，向左平移m个单位长度后得到y＝2sin ，由它关于y轴对称可得sin(＋m)＝±1，∴＋m＝kπ＋，k∈Z，∴m＝kπ＋，k∈Z又m>0，∴m的最小值为.15.为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin 的图象()．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】注意到把y＝sin 的图象向右平移个单位长度得到y＝sin [2(x－)＋]＝sin 的图象，故选B.16.函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象()．A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图象可知A＝1，，即T＝＝，所以ω＝3，所以f(x)＝sin (3x＋φ)，又f＝sin ＝sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<所以φ＝，即f(x)＝sin，又g(x)＝sin 3x＝sin＝sin ，所以只需将f(x)的图象向右平移个单位长度，即可得到g(x)＝sin 3x的图象．17.已知的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，要得到的图像，只须把的图像 ( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】由于函数的最大值为1，又函数的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期为.所以.所以函数的解析式为.所以要得到函数只需要将向左平移各单位即可.故选A.【考点】1.三角函数的图像.2.三角函数图像的平移.3.三函数的诱导公式.18.定义＝a1a4－a2a3,若函数f(x)＝，则将f(x)的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是()．A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝π【答案】A【解析】由定义可知，f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将f(x)的图象向右平移个单位得到y＝2sin ＝2sin，由2x－＝＋kπ，k∈Z.得对称轴为x＝，k∈Z，当k＝－1时，对称轴为x＝.19.将函数的图像分别向左、右平移个单位，所得的图像关于y轴对称，则的最小值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为将函数的图像向左平移个单位可得函数为.其图像关于y轴对称，则.所以所以最小的.同理可求出向右平移个单位的图像关于y轴对称的的最小值为.故选A.【考点】1.三角函数的左右平移.2.三角函数的奇偶性.3.待定系数方程的解法.20.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】因为，所以，要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位，选D.【考点】三角函数图象的平移21.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】因为.又因为余弦函数是偶函数.所以.所以为了得到函数的图象可以由函数的图象右平移的单位.即选B.【考点】1.正弦函数与余弦函数的相互转化.2.三角函数的平移问题.22.函数的部分图像如图，其中,且，则f(x)在下列哪个区间中是单调的（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当图像过原点时，即时，，在上为减函数，上为增函数当图像的最高点在轴上时，，在上是减函数，上为增函数，所以在上是单调的.【考点】1.三角函数的单调区间；2.三角函数图像.23.函数（其中＞0，＜的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】A=1，，即T=，所以3，由得，所以=sin （3x+）=，所以把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故选D.【考点】1.正弦型函数的性质和图像；2.函数图像的变换规律.24.如果函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的图像关于直线对称，则在处取得最值，所以，而，所以，故选D.【考点】1.三角函数的性质；2.函数的最值求解.25.要得到一个奇函数，只需将的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【答案】C【解析】，因为是奇函数，所以将的图象向左平移个单位，得到的图象，故答案为：向左平移个单位．【考点】三角函数图像变化，两角和与差的正弦，三角函数的奇偶性．26.将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是 ()．A．sinx B．cosx C．2sinx D．2cosx【答案】D【解析】将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位得,再作关于x轴的对称变换得，，即，令则，所以，，故f(x)可以是2cos x，选D.【考点】三角函数图象平移变换、二倍角公式.27.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,若的一个对称中心是，则的一个可能取值是( )A．B．C．D．【答案】【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，所得到图象的解析式为：.因为的一个对称中心是，所以，即.取得.【考点】三角函数图象的变换.28.设,函数图像向右平移个单位与原图像重合，则最小值是（）A．B．C．D．3【答案】C【解析】图像向右平移个单位，得到，与图像重合，∴，∴，∴.【考点】1.图像的平移变换；2.三角函数的图像.29.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】B【解析】∵，∴只需把函数的图象向右平移个单位，选B.【考点】三角函数的图象.30.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】三角函数图象变换31.已知函数，且当时，的最小值为2.（1）求的值，并求的单调增区间；（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求方程在区间上的所有根之和.【答案】（1）0，；（2）.【解析】（1）首先利用三角函数的和差倍半公式，将原三角函数式化简，根据三角函数的性质，确定得到最小值的表达式，求得；（2）遵循三角函数图象的变换规则，得到，利用特殊角的三角函数值，解出方程在区间上的所有根，求和.试题解析：（1） 2分因为，时，的最小值为2，所以，. 4分6分（2） 9分由，. 11分12分【考点】三角函数的和差倍半公式，三角函数图象的变换.32.函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）.A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由T=,所以=2，因为，故选A.【考点】正弦型函数的性质和图象的平移.33.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选【考点】三角函数图像变换.34.已知的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只须把的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】，，由于函数的图象与的图象的两相邻交点的距离为，即函数的最小正周期为，，，故得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位.【考点】辅助角变换、三角函数周期、三角函数图象变换35.将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为 () A．B．C．D．【答案】A【解析】将图像向左平移个单位，得到.【考点】三角函数图像的平移.36.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则=___________.【答案】【解析】因为原函数解析式为，所以图象平移后的解析式为=，所以，解得.【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的图象变换等基础知识，这两部分知识都是高考的热点内容之一，几乎年年必考，熟练其基础知识是解答好本类题目的关键.37.将函数的图形按向量平移后得到函数的图形，满足，则向量的一个可能值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，则关于直线对称，则是奇函数，图像关于对称，，函数变形为，将其向右平移向上平移3个单位可得对称中心在原点，平移向量为【考点】三角函数平移变换点评：在三角函数中，x轴方向的平移与有关，伸缩与有关，Y轴方向的平移与有关，伸缩与有关38.设的最大值为16，则。
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;]上的最值.(2)求f(x)在区间[0,π22.(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.(1)求∠A;(2)求BM.3.(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值方案:①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,b cos C+c cos B=4,B=π.请再在下4列三个条件:①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3a sin B;②b=4√2;③√3c sin B=b cos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求△ABC的面积.5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos A cos C=23,求△ABC的面积;(2)试问1a +1c=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c)sinCb+a=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求1tanB +1tanC的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(0<θ<π2).(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.答案与解析1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4√3sin x cos x+4sin2x=1+2√3sin 2x+4·1-cos2x2=2√3sin 2x-2cos 2x+3=4sin(2x-π6)+3.(1)由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z).(2)由于x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,5π6],故当2x-π6=π2即x=π3时,函数f(x)取最大值7;当2x-π6=-π6即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解(1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC, 所以MC=MA.在Rt△AMN中,MA=MNsinA=√3sinA,所以MC=√3sinA.在△MBC中,由正弦定理可得MCsinB=BCsin∠BMC,而∠BMC=2∠A,所以√3sinA·sin45°=√6sin2A,即√3sinA·√22=√62sinAcosA,所以cos A=12,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA=√3sin60°=2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以(√6)2=BM2+22-2BM·2·cos 120°,解得BM=√3-1(负值舍去).3.解过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2√3,当AD=√5时,AD<AE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=√15时,AE<AD<AB<AC ,所以方案②对应△ABD 有两解, 当AD=2√7时,AB<AD<AC ,所以方案③对应△ABD 只有一解. 由方案③知AD=2√7,设BD=x (x>0),所以在△ABD 中由余弦定理得(2√7)2=42+x 2-2×4×x×cos 60°,即x 2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC 中易得BC=8,BD=6<BC ,符合题意, 所以BD 的长为6.4.解 若选择条件①,则(a+b+c )(sin A+sin B-sin C )=3a sin B ,由正弦定理可得(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,所以(a+b )2-c 2=3ab ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,所以cos C=12,故C=π3.又B=π4,所以A=π-π3−π4=5π12. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,即a=4.由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 5π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π3=4(3-√3). 若选择条件②,则b=4√2. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b22ac =4,即a=4.又B=π4,所以由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin A=asinBb=4sin π44√2=12,所以A=π6或A=5π6.由于b>a ,所以B>A ,因此A=5π6不合题意舍去,故A=π6,从而C=π-π6−π4=7π12. 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4√2×sin 7π12=4(√3+1). 若选择条件③,因为b cos C+c cos B=4, 所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,所以a=4.因为√3c sin B=b cos C ,所以√3sin C sin B=sin B cos C ,所以tan C=√33,于是C=π6,从而A=π-π6−π4=7π12,所以由正弦定理可得a sinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 7π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π6=4(√3-1). 5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG ,使H ,G ,B 三点在同一条直线上;②在H ,G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α,β,HG=a ,即CD=a.测得测角仪器的高是h ;③(方法一)在△ACD 中,由正弦定理,得ACsinα=CDsin (β-α), 所以AC=CDsinαsin (β-α)=asinαsin (β-α),在Rt △ACE 中,有AE=AC sin β=asinαsinβsin (β-α), 所以建筑物的高度AB=AE+h=asinαsinβsin (β-α)+h. (方法二)在Rt △ADE 中,DE=AEtanα, 在Rt △ACE 中,CE=AEtanβ, 所以CD=DE-CE=AEtanα−AEtanβ=AE (tanβ-tanα)tanαtanβ,所以AE=atanαtanβtanβ-tanα,所以建筑物的高度AB=AE+h=atanαtanβtanβ-tanα+h. (2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差; ③用身高代替测角仪的高度.6.解 (1)由B=2π3,得A+C=π3,cos(A+C )=cos A cos C-sin A sin C ,即12=cos A cos C-sin A sin C.因为cos A cos C=23,所以sin A sin C=16.因为a sinA =c sinC =√6√32=2√2,所以a=2√2sin A ,c=2√2sin C.所以S △ABC =12·2√2sin A·2√2sin C·sin B=4sin A·sin B sin C=4×16×√32=√33. (2)假设1a +1c =1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以6=a 2+c 2+ac.所以(a+c )2-ac=6,所以(ac )2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3. 不满足a+c ≥2√ac ,所以1a +1c =1不成立.7.解 (1)由(b -c )sinCb+a =sin B-sin A ,可得(b-c )sin C=(sin B-sin A )(b+a ),由正弦定理得(b-c )c=(b-a )(b+a ),即b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0<A<π,可得A=π3.(2)由(1)知A=π3,设△ABC 的外接圆的半径为R (R>0),可得2R=asinA =4√33, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-bc ≥bc , 即bc ≤a 2=4,当且仅当b=c=2时取等号, 又1tanB +1tanC =cosBsinB +cosCsinC =cosBsinC+sinBcosCsinBsinC =sin (B+C )sinBsinC =sinAsinBsinC =2R ·2RsinA 2RsinB ·2RsinC=2R ·abc =8√33bc ≥8√33×4=2√33,所以1tanB +1tanC 的最小值为2√33.8.解 (1)在△POQ 中,因为∠AQC=2π3,所以∠AQO=π3.又OA=OB=3,所以OQ=√3. 设∠OPQ=α,则∠PQO=π2-α+θ. 由正弦定理,得3sin (π2-α+θ)=√3sinα,即√3sin α=cos(α-θ), 整理得tan α=√3-sinθ,其中θ∈(0,π2).当θ=π3时,tan α=√33.因为α∈(0,π2),所以α=π6. 故当θ=π3时,∠OPQ=π6.(2)设f(θ)=√3-sinθ,θ∈(0,π2),则f'(θ)=-sinθ(√3-sinθ)+cos 2θ(√3-sinθ)2=1-√3sinθ(√3-sinθ)2.令f'(θ)=0,得sin θ=√33,记锐角θ0满足sin θ0=√33,当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<π2时,f'(θ)<0, 所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈(0,π2),又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ=√33 .。
高考数学三角函数练习题及答案解析_图文.docx
高考数学三角函数练习题及答案解析(2010 ±海文数)19.(本题满分12分)TT已知Ovxv —,化简：2lg(cos x • tan x +1 - 2 sin 2 + lg[V2 cos(x 一 彳)]一 lg(l + sin 2x). 解析：原式=lg(sin_r+cosx)+lg(cosx+siru)-lg(sinx+cosx)2=0.(2010湖南文数)16.(本小题满分12分) 已知函数 f (x) = sin 2x-2sin 2 x （I ）求函数/（x ）的最小正周期。
（II ）求函数/（X ）的最大值及/（X ）取最大值时X 的集合。
解(I )因为/(x) = sin2x-(l-cos2x)= s/2sin(2r + -J)-l t所以函数/（x ）的最小正周期为卩=夸=兀（II ）由（I ）知，当2x +于=2A 卄号，即+晋（kZ ）时，/（X ）取最大值 7?-1・因此函数/（X ）取址大值时;c 的集合为{职“后+罟”G Z}・O（2010浙江理数）（18）（本题满分14分）®AABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c, 已知 cos2C =4⑴求sinC 的值;（11）当8=2, 2sinA=sinC 吋，求 b 及 c 的长.解析：木题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（I ） 解：因为 cos2C=l-2sin 2C=--,及 0<C< 兀4 所以 sinC=——.4（II ） 解：当 a=2, 2sinA=sinC 吋，由正弦定理一-—=—-—,得sin A sinC c=4/x4 * it口 ■由COS2C=2COS2C-1=一一，J 及0<C<H得4cosC=±由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,得 b 2± V6 b-12=0所以rb=>/6V、c=4 或（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）53 \ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD = 33, sin5 = —, cosZADC = -f 求 AD. 13 5【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形小的 应用，考查考牛对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】3 R由 cosZADeJ? >0,知 B< 2.12 4[fl 已知I 得 cosB=l 13 , sinZADC=5 .从而 sinZBAD=sin ( ZADC-B) =s【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近儿年高考的热点，在高考试题屮频繁出现. 这类题型难度比鮫低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保超, 不会冇太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角 或将边角互化.（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）在AABC 屮，已知B=45° ,。
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含参考答案
（2）求 在 上的单调增区间.
89．已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
90．已知向量 ， ， .
(1)求函数 的最小正周期及 取得最大值时对应的 的值；
(2)在锐角三角形 中，角 、 、 的对边为 、 、 ，若 ， ，求三角形 面积的最大值并说明此时该三角形的形状.
A．90°B．60°C．45°D．30°
39．已知函数 的部分图像如图所示，将 图像上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），所得图像对应的函数 解析式为（）
A． B．
C． D．
40．函数 在 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
41．已知 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
42．已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ， 的面积 ，则 的外接圆的直径为（）
19．如图，在扇形OAB中， ，半径OA=2，在 上取一点M，连接OM，过M点分别向线段OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.设 ，则四边形MEOF的面积为（）
A． B．
C． D．
20．设 ， ， 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 与 不共线，
， ，则 的值一定等于（）
55．在 中， ， ， ，则 ________.
56．在锐角 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 ， ，则 面积的取值范围为______．
57．用列举法写出 __________.
58．在△ABC中，∠B=75°，∠C=60°，c=1，则最小边的边长为______________________ .
高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析
专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。
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c=4 由 cos2C=2cos2C-1=
1
，J 及 0＜ C＜ π 得
4
a sin A
c
，得
sin C
6
cosC=±
4
由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得
b2± 6 b-12=0
解得 b= 6 或 2 6
所以 b= 6
c=4
或
b= 6
c=4
（2010 全国卷 2 理数） （ 17）（本小题满分 10 分）
=
,
2AD DC
2 10 6
2
ADC=120° , ADB=60° 在△ ABD中， AD=10, B=45° ,
ADB=60°，
由正弦定理得
AB
AD ,
sin ADB sin B
AB= AD sin ADB 10sin 60
sin B
sin 45
3 10
2 2 2
5 6.
（2010 辽宁文数） （ 17）（本小题满分 12 分）
即
a2 b2 c2 b c
由余弦定理得
a 2 b 2 c2 2bc cos A
故 c o sA
1
， A=120 °
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
s i nB s iCn sBi n s i n ( 6B0
…… 6 分
3 cosB 1 sin B
2
2
sin(60 B)
故当 B=30 °时， sinB+sinC 取得最大值 1。
BAD 的正弦，在三角
形 ABD 中，由正弦定理可求得 AD 。
（2010 江西理数） 17.（本小题满分 122 x m sin x
sin x
4
4。
f
(1) 当 m=0 时，求
x 在区间
，3 84
上的取值范围；
fa (2) 当 tana 2 时，
3 5 ，求 m 的值。
在 ABC 中， a、 b、 c 分别为内角 A、B、C 的对边，
且 2asin A (2b c)sin B (2c b)sin C
（Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 sin B sin C 1，试判断 ABC 的形状 .
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 2a 2 (2b c)b (2c b)c
即 a 2 b2 c 2 bc
高考数学三角函数练习题及答案解析
（ 2010 上海文数） 19. （本题满分 12 分）
已知 0 x ，化简： 2
lg(cos x tan x
1
2sin
2
x )
lg[
2 cos( x
)] lg(1 sin 2x) .
2
2
解析：原式 lg(sin x cosx) lg(cos x sin x) lg(sin x cosx)2 0．
已知 cos2C
1
4
(I) 求 sinC 的值；
(Ⅱ )当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（Ⅰ）解：因为
cos2C=1-2sin2C=
1
，及 0＜ C＜ π
4
所以 sinC=
10
.
4
（Ⅱ）解：当 a=2， 2sinA=sinC 时，由正弦定理
（2010 陕西文数） 17. （本小题满分 12 分） 在△ ABC中，已知 B=45°,D 是 BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求 AB的长 . 解 在△ ADC中， AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得
AD 2 DC 2 AC 2 100 36 196 1
cos
ABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33 ， sin B
5 ， cos ADC
3 ，求 AD ．
13
5
【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的
应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况
.
【参考答案】
由 cos ∠ ADC= ＞ 0，知 B＜ .
…… 12 分
（ 2010 全国卷 2 文数） （17）（本小题满分 10 分）
ABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33 ， sin B
5 ， cos 13
ADC
3 ，求 AD 。 5
【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由 ADC 与 B 的差求出 BAD ，根据同角关系及差角公式求出
由已知得 cosB= ， sin ∠ADC= .
从而 sin ∠BAD=sin（∠ ADC-B） =sin ∠ADCcosB-cos∠ ADCsinB=
=.
由正弦定理得
，所以
=
.
【点评】 三角函数与解三角形的综合性问题， 是近几年高考的热点， 在高考试题中频繁出现 . 这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留， 不会有太大改变 . 解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角 或将边角互化 .
（ 2010 辽宁理数） （ 17）（本小题满分
12 分）
在△ ABC 中， a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且
2asin A (2 a c)sin B (2 c b)sin C.
（Ⅰ）求 A 的大小；
（Ⅱ）求 sin B sin C 的最大值 .
解：
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 2a2 (2b c)b (2 c b)c
由余弦定理得 a 2 b 2 c2 2bc cos A
故 cos A
1 , A 120
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin B sin C.
又 sin B sin C 1 ，得 sin B sin C 1 2
因为 0 B 90 ,0 C 90 ，
故B C
所以 ABC 是等腰的钝角三角形。
（ 2010 湖南文数） 16. （本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) sin 2x 2sin 2 x （ I ）求函数 f ( x) 的最小正周期。
(II) 求函数 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合。
（ 2010 浙江理数） （ 18） (本题满分 l4 分 )在△ ABC 中 ,角 A 、 B、 C 所对的边分别为 a,b,c，
【解析】考查三角函数的化简、 三角函数的图像和性质、 已知三角函数值求值问题。依托三
角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，
考查基本三角函数变换， 属于中等
题.
解：（ 1）当 m=0 时， f ( x)
(1
cos
x )sin
2
x
sin2 x
sin x cos x