人教8年级上册1 因式分解的六种常见方法

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因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．4．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．5．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．6．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。

初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用

因式分解的六种方法及其应用因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法一提公因式法题型1 公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x【解析】B2．分解因式：2mx－6my＝__________．【解析】2m(x－3y)3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．方法二公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.题型2 先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.题型3 先局部再整体法7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)．题型4 先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.方法三分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．方法四拆、添项法10．分解因式：x 4＋14. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)．方法五整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．题型2 “当”整体12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．方法六换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解析】(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.因式分解的7种应用因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．应用一用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.应用二用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.应用三用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．应用四用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．应用五用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.应用六用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.应用七用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。

初中生因式分解

因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。

对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。

例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。

例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。

例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。

例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。

例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。

例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。

因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。

因式分解的十二种方法(已整理)

因式分解的十二种方法(已整理)1. 提取公因式：将多项式中的公因子提取出来。

例如：4x^2 + 8x = 4x(x + 2)2. 平方差公式：将两个平方数的差表示为乘积形式。

例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 完全平方公式：通过平方根将平方项表示为乘积形式。

例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^24. 平方三项式：将三项式表示为两个平方的和或差。

例如：x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^25. 相异平方差公式：将两个相异的平方根相乘，并加上或减去乘积的两倍。

例如：4x^2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5)6. 完全立方公式：通过立方根将立方项表示为乘积形式。

例如：x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)7. 立方和：将两个立方数的和表示为乘积形式。

例如：x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)8. 左移、右移公式：通过改变变量的指数来分解多项式。

例如：x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)9. 分组法：通过将多项式中的项分成组，然后分别进行分解。

例如：2x^3 + 3x^2 + 6x + 9 = x^2(2x + 3) + 3(2x + 3) = (x^2 + 3)(2x + 3)10. 精简法：通过合并多项式中的相似项来分解多项式。

例如：3x^2 + 2x + 5x + 1 = x(3x + 2) + 1(5x + 1) = (x + 1)(3x + 2)11. 求和公式：将多个项相加，并使用求和公式进行分解。

例如：2x + 3y + 4x + 6y = (2x + 4x) + (3y + 6y) = 6x + 9y12. 配方法：对于二次多项式，使用配方法将其分解为两个一次多项式的乘积。

例如：2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)。

因式分解的方法有哪些

因式分解的方法有哪些因式分解是数学中常用的计算方法，因式分解包括提公因式法、公式法、十字相乘法、待定系数法、换元法等。

因式分解常见方法提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法、双十字相乘法、对称多项式等等。

1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。

3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

5、双十字相乘法是一种因式分解方法。

对于型如Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。

这种方法运算过程较繁。

对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。

6、一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。

x²+y²+z²，xy+yz+zx都是关于元x、y、z的对称多项式。

因式分解定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解常用的六种方法详解

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。

1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。

下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。

因式分解的16种方法

因式分解的16种方法
因式分解是将一个多项式或整数表达式分解为不可再分的乘积的过程。

在因式分解的方法中，常见的有以下16种方法：
1.公因式法：根据多项式的各项之间的最大公因式进行因式分解。

2.差平方公式：利用两个完全平方数的差可以分解成两个因数的平方差。

3.完全平方公式：利用两个因数的平方和可以分解成两个完全平方数
的和。

4.配方法：将多项式按照公式进行配方分解，然后进行因式分解。

5.一元两次方程法：对于一元二次方程，可以通过二次方程的解，将
方程进行因式分解。

6.和差化积：将多项式中的和差进行化积，然后进行因式分解。

7.分组法：将多项式中的项进行分组，然后进行因式分解。

8.提公因式法：将多项式的各项提取公因式，然后进行因式分解。

9.代入法：将因式分解的结果代入方程，通过求方程的解，验证因式
分解的正确性。

10.根式法：将多项式转化为根式表达式，然后进行因式分解。

11.差因式公式：利用一个完全平方数与一个差的因式的乘积可以表
示为两个因数的差的平方。

12.和因式公式：利用一个完全平方数与一个和的因式的乘积可以表
示为两个因数的和的平方。

13.二次齐次因式分解：对于二次齐次方程，可以通过齐次方程的解，将方程进行因式分解。

14.辗转相除法：对于整数表达式，可以利用辗转相除法，将整数进
行因式分解。

15.因数分解法：将整数进行因数分解，找出所有的因数，然后进行
因式分解。

16.文氏因式分解法：将多项式的各项按照文氏图进行排列，然后进
行因式分解。

因式分解的几种常用方法

因式分解的几种常用方法因式分解是数学中的一个重要概念，常被用于简化复杂的表达式、解方程等。

在进行因式分解时，我们需要找到一个表达式的因式，使其能够被写成几个较小的乘积形式。

以下是几种常用的因式分解方法。

1.提取公因式法提取公因式法是因式分解的最基本方法，适用于多项式中存在公共因子的情况。

该方法的关键在于找到给定多项式中的最大公因子，然后将其提取出来。

例如，对于表达式3x^2+6x，我们可以提取公因式3x，得到3x(x+2)。

2.公式法公式法是利用一些常见的代数公式进行因式分解的方法。

常见的公式包括平方差公式、平方和公式、差的平方等。

根据需要，选择适当的公式进行因式分解。

例如，对于表达式x^2 + 5x + 6，我们可以应用平方和公式(x +a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab，找到使得a + b = 5，ab = 6的解，得到表达式(x + 2)(x + 3)。

3.分组法分组法是常用的因式分解方法之一，适用于多项式中存在多项式因子的情况。

该方法通过对多项式中的项进行分组，然后进行提取公因式和合并同类项的操作，最终得到因式分解后的表达式。

例如，对于表达式x^3+x^2+2x+2，我们可以将其进行分组为(x^3+x^2)+(2x+2)，然后对每个组进行公式法或提取公因式法等方法进行因式分解，得到表达式x^2(x+1)+2(x+1)，再次提取公因式(x+1)，得到(x+1)(x^2+2)。

4.换元法换元法是一种较为高级的因式分解方法，适用于一些特定的表达式。

该方法通过将表达式中的变量进行换元，将原本复杂的表达式转化成较简单的形式，然后进行因式分解。

例如，对于表达式x^2+4x+4，我们可以通过换元y=x+2，将其转化为y^2，然后得到因式分解后的表达式(x+2)^25.核心变换法核心变换法是一种较为特殊的因式分解方法，适用于一些特殊的表达式。

该方法通过对表达式进行变量变换，使得原本复杂的表达式可以转化为核心部分与一些较简单的额外项的和。

八年级数学(上册)_因式分解的方法汇总.ppt

(3)原式=
9x2 6x 1 y2 4y 4 (3x 1)2 ( y 2)2 (3x y 1)(3x y 1)
(4)原式= (x 2)3 ( y 2)3 [(x 2)3 (y 2)3]
3(x y)(x 2)(y 2)
(5)原式=
x 2 x y 2 y 2xy (x y)2 (x y) ( x y)(x y 1)
方法五、分组分解法
（1）形如：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
(2)形如：
x2 y2 2x 1
(x2 2x 1) y 2
(x 1)2 y 2
(x y 1)(x y 1)
把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能运用公式，这样的因式分解的方法
( y z)[x2 ( y z)x yz]
(y z)(x y)(x z)
例题2（重庆市竞赛题）分解因式：
4x2 4x y2 4y 3
解：原式= (4x2 4x 1) (y 2 4y 4) (2x 1)2 (y 2)2 (2x y 3)(2x y 1)
方法六、拆项、添项法
知识回顾 Knowledge Review
1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式； 2.利用怛等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程； 3.解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，
得到需求问题的解。
例题1：如果 x3 ax2 bx 8 有两个因式x+1和
x+2，则a+b=
例题2：如果多项式 x2 (a 5)x 5a 1 能分解成两个因式（x+b）、(x+c)的乘积（b、c 为整数），则a的值是应为多少？（第17届江苏省竞赛题）

八年级数学(上册)-因式分解的方法汇总

（3）原式=
x4 2x2 1 2x(x2 1) x2 (x2 1)2 2x(x2 1) x2 (x2 x 1)2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
解法三：将三次项 x3 拆成 9x3 8x3
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
分解因式：
（1）x9 x6 x 3 3
（2）(m2 1)(n2 1) 4mn
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。配方法的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式。
(1999x 1)(x 1999)
（5）原式= (x y)2 2(x y) 2xy(x y) 4xy (xy)2 2xy 1
(x y xy)2 2(x y xy) 1 (x y xy 1)2 (x 1)2 ( y 1)2
因式分解的方法
一、提公因式法；二、公式法；三、十字相乘法；四、换元法；五、分组分解法；六、拆项、添项法；七、配方法；八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本的方法。在分解因式时一定要首先认真观察等分解的代数式，尽可能地找出它们的分因数（式）
方法二：公式法

=a(m+n)+b(m+n)

=(a+b)(m+n)

因式分解的十二种方法

因式分解的十二种方法1. 公因式提取法：当代数表达式中的各项含有公共因子时，可以将公因式提取出来，从而简化计算。

例如，对于表达式2x+4xy，可以将2x提取出来得到2x(1+2y)。

2.公式法：当代数表达式满足特定的公式时，可以直接应用公式进行因式分解。

例如，表达式a^2-b^2满足差平方公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

3.平方差公式法：当代数表达式为两个数的平方差时，可以应用平方差公式进行因式分解。

例如，表达式a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。

4. 完全平方公式法：当代数表达式满足完全平方公式时，可以直接应用公式进行因式分解。

例如，表达式a^2+2ab+b^2满足完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^25.因式定理法：当代数表达式是两个或多个一次式的乘积时，可以应用因式定理进行因式分解。

例如，表达式x^2-4可以分解为(x-2)(x+2)。

6. 分组分解法：对于一些多项式，可以通过分组的方式拆分为若干个因式的乘积形式。

例如，对于表达式ax+ay+bx+by，可以将ax+ay和bx+by进行分组，得到a(x+y)+b(x+y)，再将公因式(x+y)提取出来，得到(x+y)(a+b)。

7. 十字相乘法：对于形如ab+ad+cb+cd的多项式，可以应用十字相乘法进行因式分解。

这种方法主要适用于四项的多项式。

例如，对于表达式ab+ad+cb+cd，可以通过十字相乘法将其分解为(a+c)(b+d)。

8. 二次三项全图算法：对于二次三项的多项式，可以通过这种算法进行因式分解。

例如，对于表达式ax^2+bx+c，通过这个算法可以找到其因式分解形式。

9. 因数分解法：对于一些特殊的多项式，可以通过因式分解法进行因式分解。

例如，对于表达式x^3+y^3，可以通过因式分解法将其分解为(x+y)(x^2-xy+y^2)。

10.配方法：对于一些高次多项式，可以应用配方法来进行因式分解。

八年级上册分解因式

八年级上册分解因式
在八年级上册，分解因式是一个重要的数学概念。

在这个阶段，你将开始学习如何将多项式进行因式分解。

下面是一些常见的分解因式的方法和示例：
1.公因式提取法：
当一个多项式中的每一项都有一个公共因子时，可以使用公因式提取法来分解因式。

例如：
将多项式2x+4分解为公因式2和多项式x+2：2(x+2)。

将多项式3x^2+6x分解为公因式3x和多项式x+2：3x(x+2)。

2.二次因式分解法：
当一个二次多项式可以被分解为两个一次因式的乘积时，可以使用二次因式分解法来分解因式。

例如：
将多项式x^2+5x+6分解为两个一次因式的乘积：(x+2)(x+3)。

将多项式x^24x5分解为两个一次因式的乘积：(x5)(x+1)。

3.特殊因式分解法：
在特定情况下，我们可以使用特殊因式分解法来分解因式。

例如：
将差平方公式应用于多项式x^24：(x2)(x+2)。

将平方差公式应用于多项式x^2y^2：(xy)(x+y)。

这些是分解因式的一些常见方法。

在八年级上册，你将继续学习更多的分解因式的技巧和方法。

记住，在处理多项式时要仔细观察其中的模式和规律，以便找到
正确的分解因式的方法。

初二上册数学因式分解

初二上册数学因式分解
因式分解是将一个整数或一元多项式表示成它的因数的乘积的形式。

下面是初二上册数学因式分解的相关知识点：
1. 分解一个整数的因数。

例如，将整数28进行因式分解，可以得到28=2×2×7，即28的因式分解式为2^2×7。

2. 分解一元多项式的因式。

例如，将多项式x^2+5x+6进行因式分解，可以得到x^2+5x+6=(x+2)(x+3)，即多项式x^2+5x+6的因式分解式为(x+2)(x+3)。

在进行因式分解时，需要注意以下一些原则和方法：
1. 先从最简单的情况开始，例如分解整数时，可以先将其分解为素数的乘积。

2. 对于一元多项式，可以使用因式分解公式或因式分解法则进行分解。

常见的一元多项式因式分解公式有二次差法、平方差法等。

3. 除了使用公式和法则，还可以使用试除法进行因式分解。

试除法是指从可能的因数开始，一次尝试是否能够整除给定的整数或多项式。

如果能够整除，则将因数作为一部分因式，并继续对商进行因式分解。

以上是初二上册数学因式分解的相关知识点和方法。

具体的题目和练习可以参考教材。

初二数学上册：因式分解常见八种解题方法

初二数学上册：因式分解常见八种解题方法常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。

在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。

下面通过例题一一介绍。

一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂。

注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc 十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=、七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如: 14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。

根据因式分解常用的六种方法详解分数的化简

根据因式分解常用的六种方法详解分数的化简一、因式分解法以最简形式表达分数是数学中一项重要的操作。

因式分解是一种常用的方法，通过将分子和分母分别因式分解，来求得分数的最简形式。

1. 公因式因式分解法公因式因式分解法适用于分子和分母都可以有公因式的情况。

首先，将分子和分母的公因式提取出来，然后约去公因式的部分。

示例：将分数$\frac{12}{16}$化简为最简形式。

首先，分解12和16的质因数：$12 = 2^2 \times 3$$16 = 2^4$公因式为2，将分子和分母都除以2，得到最简形式为$\frac{3}{4}$。

2. 相差平方因式分解法相差平方因式分解法适用于分子和分母之间存在差平方关系的情况。

通过差平方公式的应用，将分子和分母分别因式分解，然后约去相同因式的部分。

示例：将分数$\frac{a^2 - b^2}{a - b}$化简为最简形式。

根据差平方公式，展开分子的差平方，得到$(a + b)(a - b)$。

因此，最简形式为$a + b$。

3. 全部约去因式分解法全部约去因式分解法适用于分子和分母都可以被同一因式整除的情况。

将分子和分母都因式分解，并约去分子和分母中相同的因式。

示例：将分数$\frac{8x}{12}$化简为最简形式。

首先，分解8和12的质因数：$8 = 2^3$$12 = 2^2 \times 3$公因式为$2^2$，将分子和分母都除以$2^2$，得到最简形式为$\frac{x}{3}$。

二、其他常用方法除了因式分解法，还有其他几种常用的方法可以用来化简分数。

4. 换元法换元法适用于分子和分母中存在相同的变量的情况。

通过进行换元，将分子和分母中的相同变量用新的未知数代替，然后进行约去。

示例：将分数$\frac{x + 1}{x^2 + x}$化简为最简形式。

可以进行换元，令$y = x + 1$，则原分数变为$\frac{y}{y^2 - y+ 1}$。

最简形式无法继续约去，因此最简形式为$\frac{x + 1}{x^2 +x}$。

八年级数学上册-因式分解的方法汇总.ppt

方法五、分组分解法
（1）形如：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
(2)形如：
x2 y2 2x 1
(x2 2x 1) y 2
(x 1)2 y 2
(x y 1)(x y 1)
把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能运用公式，这样的因式分解的方法
课堂练习：用你喜欢的方法分解下列多项式。
(1) a2 b2 4a 2b 3 (2) 9x2 6x y2 4 y 3 (3) x2 5xy x 3y 6 y2
(4) (x 2)3 ( y 2)3 (x y)3 (5) x(x 1) y( y 1) 2xy (6) x3 5x2 3x 9
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，整理、化简将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。
a4 b4 (a b)4 2(a2 ab b2 )2
(1)原式=
a2 4a 4 b2 2b 1 (a 2)2 (b 1)2 (a b 1)(a b 3)
（2）原式= x2 5xy 6 y2 (x 3y)
(x 3y)(x 2y) (x 3y)
(x 3y)(x 2 y 1)
= a2 2ab b2 1
(a b 1)(a b 1)
(4)原式= 1999x2 1999x2 x 1999
1999x(x 1999) (x 1999)

人教版数学八年级上册因式分解常见题型汇总 (2)

因式分解题型汇总把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用,)(2),)((22222b a b ab a b a b a b a ±=+±-+=-三、分组分解法. 分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。

四、十字相乘法. 十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，主要用于对多项式的因式分解。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分解。

题型一：直接提公因式1. 因式分解：xy －y ＝2．分解因式：2x x += .3. 分解因式：24_________.x x -=4. 分解因式：2a 2－4a= ．5. 因式分解:2x 3－x 2=______________.6. 分解因式：ax+ay= .7. 分解因式：23x x += ．题型二：直接用公式平方差公式：))((22b a b a b a -+=-完全平方公式：222)(b ab a b a ++=+ 222)(b ab a b a +-=-1. 分解因式:225x -= .2. 分解因式:24x -=______.3. 因式分解：21a -= ，4. 分解因式：x 2－9=______．5. 因式分解：229x y -=_______________．6. 分解因式：=-142x ____________________．7. 分解因式：41242++x x = . 题型三：先提公因式，再套平方差或者完全平方公式。

人教8年级上册1 因式分解的六种常见方法

因式分解常用的六种方法详解

初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用

初中生因式分解

因式分解的十二种方法(已整理)

因式分解的方法有哪些

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解

因式分解的16种方法

因式分解的几种常用方法

八年级数学(上册)_因式分解的方法汇总.ppt

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人教版数学八年级上册 因式分解常见题型汇总 (2)

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