1第二章 静电场

n n ——界面上静电势的边值关系
3. 导体表面上的边值关系
导体有它的特殊性，在导体表面上的边值关系有 它特点： ① 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；
② 导体内部电场为零，导体表面上电场必沿法线 方向 ； ③ 导体表面为等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质
其中 Q1
R Q 1 1 R1 R R3
1 3 1 2
利用这些值，得电势的解
Q Q1 1 ， ( R R3 ) 40 R Q1 1 1 2 ， ( R2 R R1 ) 40 R R1
第二章 静电场
本章内容：
电磁场的基本理论应用到最简单的情 况：电荷静止，相应的电场不随时间而变
化的情况。
本章研究的主要问题： 在给定的自由电荷分布以及周围空间 介质和导体分布的情况下，求解静电场。
本章具体内容：
1. 引入标势及其微分方程和边值关系 2. 唯一性定理
3. 分离变量法
4. 镜像法 5. 格林函数法
r (Cn sin n Dn cos n） ]
nБайду номын сангаасn
若二维问题又具有轴对称性，则电势与θ 无关
A B ln r
3. 分离变量法的解题步骤
① 根据界面的形状选择适当坐标系。 ② 建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通 解。 ③ 写出边界条件和衔接条件(即：不同区域分界面 上的边值关系)。 ④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际 问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
n
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。 若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为
bn (an R n 1 )Pn (cos ) R n
n
其中
P0 cos 1 ， P1 cos cos，
b a R
若问题具有球对称性
电容率为ε，导体表面的边界条件为 常量 n
三、静电场的能量 场的总能量可以用电荷和电势表示，在线性介
质中静电场的总能量为： 1 W E DdV 2
由 E 和 D 得
P. 31
E D D (D) D (D) 1 1 所以 W dV (D)dV 2 2
E，

2
这就是泊松方程。 其中ρ为自由电荷密度。 泊松方程是静电势满足的基本微分方程。给出 边界条件就可以确定电势 的解。在数学上 这称为边值问题。
2. 边值关系的一般形式 在两介质界面上，电势 必须满足边值关系。 将电场的边值关系 n ( E 2 E1 ) 0 n ( D2 D1 ) 化为用电势表示的边值关系。 如图把电荷沿法线方向移动 时，切线分量不做功。沿法线方向做功也趋于零。
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。 解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内 的电势均满足方程 2 0 ，问题具有球对称 性，电势 不依赖于角度θ和φ。设导体壳外 和壳内的电势分别为 b 1 a ， ( R R3 ) R d 2 c ， ( R2 R R1 ) R
V
( x ) , x V
ds i Vj j
Vi i ds j
S
S ij
已知电势满足：
①在每个均匀区域中满足 i ，即有几 i
2
个区域就是几个泊松方程。
②在各个均匀区域的交界面上，满足：
i j , i ( )i j ( ) j n n
间中没有其他自由电荷分布。
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则 V 内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化 为比较简单的情形：
2 0
这就是拉普拉斯方程。
注意：区域内（ρ＝0）产生电场的电荷全部分布于 V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。 所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界 条件的解。
2. 柱坐标一般用于二维问题 二维问题的解：
( A0 B0 ln r )(C0 D0 )
n n n
( An r Bn r )(Cn cos n Dn sin n ) [r ( An sin n Bn cos n）
n
A0 B0 ln r C0 D0 ln r 或写成：
本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． ① 电容器内部的电场是由作为电极的两个 例如： 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空
§2.1 静电场的标势及其微分方程
B E t D H J t
D
B 0
E 0 D
H J B 0
若场与时间无关
所以静电场的理论基础就是：
E 0 D
至此，要完全确定V内电场，还必须给出区域边界S上的一些 条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的，下面讨论之。
唯一性定理：
设区域V内给定自由电荷分布 ( x ) , 在V 的边界S上给定 （i）电势 S 或
（ii）电势的法向导数
n
，
S
则V内的电场唯一地被确定。
（2）有导体存在的情况 讨论区域是导体外空间V， 即V是由导体外表面S1，S2及S 内表面所围成的空间，当S在无穷
R
dr
Q 40 R
同样，点电荷组产生的电势为：
( P)
i
40 ri
Qi
连续分布的电荷系统：
( x) ( x) dV 40 r
(2) 电势与电场强度的微分关系 由 (P 1) (P 2)

P2
P1
E dl 可得：
而 所以
d ( x dl ) ( x ) E dl d dl dx dy dz
二、分离变量法
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐 标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数乘积的 形式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出 实际问题的的解。 不同坐标系中拉氏方程的通解不同。 1. 球坐标中的通解
bnm ( R, , ) (anm R n 1 )Pnm (cos ) cos m R n,m d nm m n (cnm R n 1 )Pn (cos ) sin m R n,m
P. 277 附录I.19
式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面 积分：

所以

(D)dV D dS 0

1 1 W dV dV 2 2 V
积分区域V为ρ≠0的区域。
注意：
(1) 上式只能用于计算静电场的总能量。 1 (2) 不是能量密度。 2
2. 电势与电场强度的关系
(1) 任意一点P的电势 ( P) 激发的电场强度为

零
P
E dl 给出了电势
与电场强度的积分关系，例如：真空中点电荷
E
电势为：
Qr 4 0 r 3
所以，若取无限远处电势为零。则任意一点的
( P) E dl
P
零

Q 40 r
2
例：求带电量Q 、半径为a的导体球的静电场总 能量。 解：因为球内电场为零，故只须对球外积分
Q2 2 W 4 r dr 2 2 2 (4 0 r ) Q2 8 0 Q2 8 0 a
0


a
1 dr 2 r
1 1 Q2 W dV Q 2 2 8 0 a

C1
E dl E dl
将单位正电荷由P1点移到P2点，电场对它所作的
功为：

P2
P1
E dl
P2
这功就定义为P1和P2两点之间的电势差。即
(P 1) (P 2 ) E dl
P1
分别为P1点和P2点的电势。 (P 1 ) 和 (P 2) 如果
( P2 ) 0 ，则 ( P1 ) P E dl P E dl
边界条件为： （1）内导体接地 2
1 R 0 （2）整个导体球壳为等势体 2 R R 1 R R
R R1
2
3
（3）球壳带总电荷Q，因而 1 2 2 2 Q R d R d R R 0 R R3 R R2 Q Q1 ， 由这些边界条件得 a 0，b 40 40 Q1 Q1 c ，d 40 R1 40
1 1
P2
零
所以任意一点P的电势为
( P) E dl
P
零
注意： (1) 由定义，只有两点的电势差才有物理意义， 某点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。 (2) 某点电势的具体数值与零势点的选择有关，
所以必须指明零势点的位置。
(3) 零势点的选择是任意的，在电荷分布于有限 区域的情况下，可以选无穷远的电势为零。 (4) 一个具体问题中只能选一个零势点。
( D E )
静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋
性，电场强度E可以用一个标量场的梯度来表示，
和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。