第二章 静电场
第2章静电场
“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2
总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)
高中物理 第二章静电场和恒定电流电场
第二章 静电场和恒定电流电场§2.1 静电场的基本方程1 静电场的定义：场的源－电荷，相对于观察者（坐标系）静止。
2 静电场的基本方程：0=∂∂t，因此有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅∇==⋅∇==⨯∇=⨯∇000B HB D E D E H μρε 可以发现电场量（ε,,D E ）与磁场量（μ,,B H）无耦合，故可以单独研究静电场和静磁场。
于是静电场的基本方程是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇==⨯∇ρεD ED E3 静电场的物理特性；1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，可以定义势能。
2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。
3）与磁场关系：无关。
§2.2 电位1 为什么需要电位：1）电位作辅助量，简化求解过程，矢量变标量。
2）静电场电位有物理意义：电位是单位正电荷的势能。
3）电位比电场易测量。
2 电位定义：前提是旋度为零。
任何标量梯度的旋度恒等于零：0=∇⨯∇ϕ （梯度的物理解释：最陡）因此只要让ϕ-∇=E静电场的旋度方程自然满足。
3 电位的物理意义：任意一点A 的电位等于把单位正电荷从该点移到电位参考点P （零电位点）电场力所做的功，也就是外力克服电场力把单位正电荷从电位参考点（零电位点）移到该点所做的功。
数值上也就是单位正电荷所具有的势能。
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==⋅∇=⋅∇-=⋅→⋅=⋅=PAA PA PA P A PAP AP AAP d l d l d l d E l d E q l d F W ϕϕϕϕϕϕ上式结果与A 点到P 点的具体路径无关，这是因为⎰=⋅=+=-AMPNAANPAMP ANP AMP l d E W W W W 0AMNP所以 A N P A M P W W =因此我们才可以说（在静电场条件下）电位是单位正电荷的势能。
势能本身就意味着它只与状态有关，与过程无关。
4 电位参考点的选择：1）电荷在有限区域，无穷远点为参考点。
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
第二章 静电场中的导体和电介质：电容器的电容
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
第二章-静电场与导体
第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
第二章 静电场
（a） 单个点电荷产生的电场强度
F q E p ( R) e 2 R qt 4π 0 R
V/m
一般表达式为 q r r' E p (r ) 2 4π 0 r r ' r r '
图1.1.2 点电荷的电场
q
4 π 0 r r '
3
(r r ' )
上 页 下 页
dEz dE cos
dE dE sin
dE
dE z
z z2 2
dE
z2 2
返 回
dE
下 页
上 页
第 二 章
L2
静 电 场
z 1 1 ( ) Ez 3 dz 2 2 2 2 L1 4π ( z ) 2 2 2 4 π o L L o 2 1
dq dl
1 E 4 π 0
dl
R
2
l
eR
上 页 下 页
返 回
第 二 章
静 电 场
例2.1.1 真空中有一长为L的均匀带电直导线，电
荷线密度为 ,试求P 点的电场。 解: 轴对称场，圆柱坐标系。
dE ( z , )
x
图1.1.5 带电长直导线的电场
dz
4π o ( z 2 2 )
第 二 章
第二章 静电场
Steady Electric Field
静 电 场
序 电场强度和电位
环路定律、高斯定律 基本方程、分界面上的衔接条件 边值问题、惟一性问题 分离变量法 有限差分法 镜像法和电轴法 电容和部分电容 静电能量与力 静电场的应用
第2章 静电场(8) 静电场的能量
2
400 R 5Q
2
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We Q 80 R
400 R
35
均匀带电球体
We 6Q
2
400 R
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We 5Q
2
400 R
36
[结论] 将“带电金属球”改为同样大小的 “均匀带电球面”，结果？
Answer: 改为球面, We不变； 同样大小的“均匀带电球体”？
20
能量体密度：
（定义）
1 we D E 2
we E 2 1
2
（2-103）
对于理想介质： （2-104）
物理意义：
电场是一种物质，它具有能量。
21
注释：
We 1
2
d V
（2-97）
V
★适用范围： 仅适用于静电场
★适用范围：
（反映了：静止电荷所具有的静电位能）
即位移是虚设的，故称为虚位移法。
45
★虚位移法
★原理：能量守恒
外力做的功=静电场能量的变化+电场力做功
d W d We f g d g
d W k dqk
与各带电导体 相连的外电源 提供的能量；
K
第p号导体作dg 位移后电场储 能We的增量；
f 在 g 方向 的分量。
46
★方法：
第二章 静电场
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力
静电场的基本概念
第二章 静电场2.1 静电场的基本概念基本内容和要求：（1）电荷守恒定律；库仑定律。
（2）电场强度的定义；场强迭加原理。
（3）点电荷系、简单带电体的场强计算。
一、 电荷及其量子化 电荷守恒定律二、库仑定律02211221r rq q k F F r r r =−=这里比例系数229/C m N 1000.9⋅×=k041πε=k22120m /N C 1085.8⋅×=−ε 真空介电常数注意：库仑定律只适用于点电荷！三、电场 电场强度1 试验电荷：电量足够小的点电荷注：（1）电场强度反映电场固有性质。
（2）电场强度的单位：N/C 或V/m3 E q F r r 0=四、场强计算 1 点电荷的场强=02004r rqq F r r πε这里是场源到场点．．．．．P ．的单位矢量．．．．．r r 注：点电荷的电场是球对称场。
2 场强迭加原理⇒=∑i F F r r ∑=i E E r r这里i F r是第i 个电荷单独存在时对试验电荷的作用力；i E r是第i 个电荷单独存在时在场点P 产生的场强。
这里是到场点P 的单位矢量。
i r ri q 4 连续带电体的场强体分布：dV dq e ρ= （e ρ电荷体密度） 面分布：dV dq e σ= （e σ电荷面密度） 线分布：dV dq e λ= （e λ电荷线密度）例1 电偶极子在轴线上的场强。
θcos 22++−+−==+=E E E E E x x x x 0=+=−+y y y E E E)4(4220ly q E +=+πε，2/122)4(2cos l y l +=θ所以 2/3220)4(4l y qlE +=πε，沿轴负向x 讨论： 若，则y l <<304yql E πε≈定义电偶极距 l q p r r=，304yp E πεr r −≈例2 均匀带电细棒的场强分布。
204rdydE πελ= θθπsin )sin(dE dE dE x =−= θθπcos )cos(dE dE dE y =−−=因为y r a r =−=−)cos()sin(θπθπ 所以θθctg sin /a y a r −==即，因此 θθd a dy 2csc =ad dE 04πεθλ=最后得到)cos (cos 4sin 4210021θθπελθθπελθθ−===∫∫ad a dE E x x)sin (sin 4cos 4120021θθπελθθπελθθ−===∫∫ad a dE E y x 讨论：（1）P 点在细棒的中垂面上，21θπθ−=所以 10cos 2,0θπελaE E x y == （2）无限长的均匀带电细棒，πθθ==21,0，所以 0=y E（3）P 点在细棒的延长线上。
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第二章 静电场习题2.1真空中有一密度为2πnC/m 的无限长电荷沿y 轴放置，另有密度分别为0.1nC/m 2和-0.1nC/m 2的无限大带电平面分别位于z =3m 和z =-4m 处。
求点P （1,7,2）的电场强度E。
z=-4xyz z=3τO图2.1题意分析： 题目中给出了3个不同类型电荷的位置与大小，计算空间中一点的电场强度E。
可以先分别计算每个电荷在场点产生的电场强度，然后采用叠加原理得出总的场强。
考虑平面电荷与直线电荷的电场共同产生电场，选用用直角坐标系进行计算比较合适，如图2.1所示，对圆柱坐标系中计算出的直线电荷电场，需要转换成直角坐标下的形式，再进行矢量叠加求总电场。
解：（1）计算无限大平板在P 点产生的电场强度在计算无限大平板在P 点产生的电场强度时，建立图2.1所示的直角坐标系，则位于z =3m 处的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度1σE为：Ze E 021.01εσ-= （1）位于z =-4m 的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度为：Ze E 021.02εσ-= （2）因此，2个无穷大带电板在P点产生的合成场强1E为：Ze E11.0ε-=（3）（2）计算无穷长直电荷产生的电场强度对于圆柱坐标系中位于z 轴上的长直电荷产生的电场强度至于场点的ρ坐标有关，其电场强度的表达式为：ρρπετe E02-=z=-4xyz z=3τO z'ρO'图2.2因此图2.2中所示在沿y 轴放置的无穷长线电荷产生的电场2E 为：ρρπετe E022-= 式中22x z ρ=+z x e zx z e zx x e 2222+++=ρ∴()z x z x e z e x zx e z x ze z x x z x E++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=2202222220211122επεπ所以，P 点(1,7,2)的电场强度E为:()m V e e e e e E E E Z x Z x Z /88.3359.2225111.00021+=++-=+=εε习题2.2如题图2.3所示球形电容器中，对半地填充有介电常数分别为1ε和2ε两种均匀介质，两介质交界面是以球心为中心的圆环面。
在内、外导体间施加电压U 时，试求： （1）采用边值问题计算电容器中的电位函数和电场强度； （2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。
1R U2R 1ε2ε1R图2.3题意分析：题目中要求采用边值问题计算电容器的电位函数与电场强度，需要确定坐标系类型。
分析该球形电容器中电场分布，在同种介质中电场具有球对称性，选用球坐标系，原点位于内导体球心。
解：（1）计算电容器中电场强度与电位函数建立球坐标系，原点位于球心。
在均匀介质1和介质2中，电位分别满足拉普拉斯方程，并且边界面条件相同，所以可判断两个区域的电位函数相同，有1220r R r R U ϕϕϕ==⎧∇=⎪=⎨⎪=⎩（1）在球坐标系中有22222222111()(sin )0sin sin rr rrr r ϕϕϕφθθθθθϕ∂∂∂∂∂∇=++=∂∂∂∂∂ （2）在两种介质中，ϕ都与θ、ϕ无关，所以2221()0rrrrϕϕ∂∂∇==∂∂ （3）式（3）的通解为12C C rϕ=-+ （4）有边界条件解得： 12112R R U C R R =-2212R U C R R =-所以1221211U R R R R r R ϕ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭122211r U R R e R R rE ϕ=-∇=-（2）内导体两部分表面上的自由电荷密度 两种介质中的电位移矢量分别为111D Eε'=， 222E D ε=' （5）根据分界面条件()21ne D D σ∙=-（6）对于本题，设媒质2为介质，媒质1为导体，因此有10D =，2n D e σ∙=则内导体两部分表面上的自由电荷密度为：112•11211()R n U R e R R R E εσε==-122•22211()R n U R e R R R E εσε==-习题2.3图2.3所示为一半径a ，带电量q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，两种介质的介电常数分别为ε1和ε2，分界面可视为无限大平面。
1ε2εaO图2.4试求：（1）两种介质中的电场强度E和电位函数ϕ；（2）球的电容C ； （3）总静电能量W e 。
题意分析：给出带电导体球的电量，不同介电常数的2种介质，要求计算电场、电位、电容、静电能量。
导体球在2种介质中的电场分别呈现球对称性分布，可以用高斯定理方便地求解电场的分布。
2种介质之间电场以介质分界面条件相联系。
因此本题可以首先根据高斯定理计算出导体球所产生的电场，根据电场的积分进而可以计算出电位分布，从而计算出电容与电场。
解：导体球在无限大的介质中产生的电场具有球对称性，选取球坐标系，如图2.5所示，虚线所示为所选高斯面，用于计算两种介质中的电场。
1ε2εaOr图2.5（1）计算介质内电场 在图2.5中根据高斯定理，qS d D S=⋅⎰qD r D r S d D S=+=⋅⎰221222ππ 在介质的分界面上，电场只有切向方向分量，没有法向方向分量，根据介质分界面条件可以得，12E E E ==221222r E r E q πεπε∴+= ()122122r q E E e rπεε∴==+（2）计算电位根据电位的定义可以得()()2121222r r rrq q E dl e dre rr ϕπεεπεε∞∞=⋅=⋅=++⎰⎰（3）电容由已知电量导体球，其周围空间电位分布已知，按定义式可计算其电容()122q C a Uπεε==+（4）静电能量已知电量、电位、电容可以采用下式计算静电能量()222122e qqW qU C UCa πεε====+习题2.4半径为a 的导体球，被内半径为b （b >a ）、外半径为c (c >b )的同心导体球壳所包围，两导体间填充介质，其介电系数为ε（常数），外球壳之外为空气。
设外导体带有电荷Q ，内球接地（假定大地在无限远处）。
Oa cεb a ε0Q图2.6试求：（1）内球上应有的电荷； （2）两个介质区间中的电位与电场强度； （3）求静电独立系统的能量； （4）系统等值电容。
题意分析：本题是一个典型的静电场中导体的静电感应问题，导体球位于静电场中，达到静电平衡后，导体球、外球壳与大地形成一个静电独立系统。
设内球上有电荷+q ，外球上有电荷Q ，则外球壳内表面有感应电荷-q ，外球壳外表面有电荷（Q ＋q ）。
内导体球接地，大地设在无穷远，二处电位同时都应为零，由此可以计算出电荷q ，得出内导体与外球壳间、外导体以外的电场与电位的分布。
进一步，导体球与球壳、大地组成的静电独立系统的能量、系统的等值电容可求。
解：根据导体球与球壳产生的电场的对称性，选取球坐标系，坐标原点位于球心。
做如图2.7中虚线所示的高斯面。
O a c S 1εba ε0Q+q+q -q1E2E S 2图2.7（1）导体球的电量设介质内电场强度为1E ，空气中电场强度为2E，在导体球壳内外做如图2.7中虚线所示的同心高斯球面S 1和S 2。
根据高斯定理可得， qr E S d E s =⋅=⋅⎰21141πεε （1） qQ r E S d E s +=⋅=⋅⎰2202042πεε（2）所以b r a e rq E r<<=214πε （3）c r e rQ q E r >+=224πε （4）选择大地为电位参考点，则导体球的电位为：041144422211=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞cQq b a q dr rQ q dr rqr d E r d E r d E cbacbaaa πεπεπεπεϕ（5）()0a b Qq c b a a bεεε-∴=-+， （6）（2）两个介质区间中的电位函数与电场强度 将（6）分别带入（3）与（4）中可以得出()()b r a e ab a bc r Qab E r<<+--=εεπεε0214 （7）()()()c r e ab a b c r Qa b c E r>+--=εεπεε02024 （8）根据电位的定义，可得()()()()()εεπεεεεπεεπεπεϕab a b c c Q a b c b a ab a b c ab drrQ q dr rq r d E r d E r d E cbrcbrrr +--+⎪⎭⎫⎝⎛-+--=++=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞000022211411444 （a ≤r ≤b ） （9）()()()02200()4cc b a Qr E dr r c b a ab εϕπεεε∞-=⋅=-+⎰（r ≥c ） （10）（3） 内、外导体与大地组成了静电独立系统，其能量为： ()()()2012001112228||e kk r ar cc b a QW q q Q c c b a ab εφφφπεεε==-==⋅+⋅=-+∑（4）系统的等值电容 ()()()200044442ec b a a b cQ Qab C c W Q qb a b aπεεπεπεπε-+====++--或1214b aqab C b aπεφφ==--20240c q QC cπεφ+==-12044ab C C C c b aπεπε=+=+-习题2.5已知板间距离为d ，电压为U 0的两平行电极，浸于介电常数与ε的液态介质中，如图2.8所示。
已知液体升高的高度为h ，电容器极板的宽度为H ，长度为L ，介质液体的质量密度为ρm 。
求：液体在空气与液体分界面上受到的电场力U 0dHhε，ρmU 0dHhε，ρmOz图2.8图2.9题意分析：题目要求计算液体受到的电场力，根据电场力的定义，首先需要计算出电场能量。
题目中给出的是两平行电极，形成一个平板电容，因此可以考虑采用212e W C U=计算其电场能量，然后计算液体所受到的电场力。
选用直角坐标系如图2.9所示。
解选取坐标系如图2.9所示。
液面的面积为S （d ⨯L ），电场强度为d U E x 0=则静电能量密度为22020e12121dU E w xεε==，2202e22121d U E w xεε==静电能量为()2200e 0221122e VU U W w dV z S H z S ddεε==+-⎰将两极板看作电容器，则电容为 ()0C a H za z ddεε-=+电容中储存的能量：()()22200e 002200022111C 2221122U U W U a z a H z ddU U zS H z Sddεεεε==+-=+-液体在空气与液体分界面上的受到的电场力为： ()()2200e 0021z22z u constU W U f S L ddεεεε=-∂==-=∂()200z 2U f Le dεε-=。