静电场的能量(精)
第十章静电场中的能量
第十章静电场中的能量1电势能和电势一、静电力做功的特点1．静电力做功：在匀强电场中，静电力做功W＝qEl cos θ.其中θ为静电力与位移方向之间的夹角．2．特点：在静电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关．(1)静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似．(2)无论是匀强电场还是非匀强电场，无论是直线运动还是曲线运动，静电力做功均与路径无关．二、电势能1．电势能：电荷在电场中具有的势能，用E p表示．2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：W AB＝E p A－E p B.(1)静电力做正功，电势能减少；(2)静电力做负功，电势能增加．3．电势能的大小：电荷在某点(A点)的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功E p A＝W A0.4．电势能具有相对性电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为零．(1)电势能E p是由电场和电荷共同决定的，是电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能．(2)电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关。
确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。
(3)电势能是标量，有正负但没有方向。
在同一电场中，电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能。
5．静电力做功与电势能变化的关系(1)W AB＝E p A－E p B.静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．(2)在同一电场中，正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小．三、电势1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．2．公式：φ＝E p q。
(1)φ取决于电场本身；(2)公式中的E p 、q 均需代入正负号。
3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V ,1 V ＝1 J/C.4．电势高低的判断：(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低．(2)电势能判断法：由φ＝E p q知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高．5．电势的相对性：只有规定了零电势点才能确定某点的电势，一般选大地或离场源电荷无限远处的电势为0.6．电势是标量，只有大小，没有方向，但有正、负之分，同一电场中电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．7．电场中某点的电势是相对的，它的大小和零电势点的选取有关．在物理学中，常取离场源电荷无限远处的电势为零，在实际应用中常取大地的电势为零．8．电势虽然有正负，但电势是标量．在同一电场中，电势为正值表示该点电势高于零电势，电势为负值表示该点电势低于零电势，正负号不表示方向．2 电势差一、电势差1．定义：电场中两点之间电势的差值，也叫作电压．U AB ＝φA －φB ，U BA ＝φB －φA ，U AB ＝－U BA .2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．U AB >0，表示A 点电势比B 点电势高．3．单位：在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为伏特，符号是V .4．静电力做功与电势差的关系(1)公式：W AB ＝qU AB 或U AB ＝W AB q. (2)U AB 在数值上等于单位正电荷由A 点移到B 点时静电力所做的功．二、电势差的理解1．电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关．2．电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低，且U AB ＝－U BA ，与零电势点的选取无关．3．电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差．三、静电力做功与电势差的关系1．公式U AB＝W ABq或W AB＝qU AB中符号的处理方法：把电荷q的电性和电势差U的正负代入进行运算，功为正，说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明静电力做负功，电荷的电势能增大．2．公式W AB＝qU AB适用于任何电场，其中W AB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功．3．电势和电势差的比较1．定义：电场中电势相同的各点构成的面．2．等势面的特点(1)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．(2)等势面一定跟电场线垂直，即跟电场强度的方向垂直．(3)电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．3．等势面的特点及应用(1)在等势面上移动电荷时静电力不做功，电荷的电势能不变．(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面，由此可以绘制电场线，从而可以确定电场的大致分布．(3)等差等势面密的地方，电场强度较强；等差等势面疏的地方，电场强度较弱，由等差等势面的疏密可以定性确定场强大小．(4)任意两个等势面都不相交．4．几种常见电场的等势面(如图1所示)图1(1)点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．(2)等量异种点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，两点电荷连线的中垂线是一条等势线．(3)等量同种点电荷的等势面①等量正点电荷连线的中点电势最低，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．②等量负点电荷连线的中点电势最高，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高．(4)匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．3 电势差与电场强度的关系一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．2．公式：U AB ＝Ed .二、公式E ＝U AB d的意义 1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比．2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．3．电场强度的另一个单位：由E ＝U AB d可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V /m.1 V/m ＝1 N/C.三、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．公式E ＝U AB d及U AB ＝Ed 的适用条件都是匀强电场． 2．由E ＝U d可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势． 式中d 不是两点间的距离，而是两点所在的等势面间的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离．3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．4．电势差的三种求解方法(1)应用定义式UAB ＝φA －φB 来求解．(2)应用关系式UAB ＝WAB q来求解． (3)应用关系式UAB ＝Ed(匀强电场)来求解．5．在应用关系式UAB ＝Ed 时可简化为U ＝Ed ，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断．四、利用E ＝U d定性分析非匀强电场 U AB ＝Ed 只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．(1)在非匀强电场中，公式U ＝Ed 中的E 可理解为距离为d 的两点间的平均电场强度．(2)当电势差U 一定时，场强E 越大，则沿场强方向的距离d 越小，即场强越大，等差等势面越密．(3)距离相等的两点间的电势差：E 越大，U 越大；E 越小，U 越小．五、用等分法确定等势线和电场线1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U ＝Ed ，其中d 为两点沿电场方向的距离． 由公式U ＝Ed 可以得到下面两个结论：结论1：匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势φC ＝φA ＋φB 2，如图1甲所示． 图1结论2：匀强电场中若两线段AB ∥CD ，且AB ＝CD ，则U AB ＝U CD (或φA －φB ＝φC －φD )，同理有U AC ＝U BD ，如图乙所示。
静电场的能量
【解】带电球形电容器的电场分布是对称的，由有介质中 的高斯定理可求其电场强度的大小为
E
Q
40 rr 2
则电场能量密度为
we
1 2
0
r
E
2
Q2
322 0 r r 4
现取半径为r、厚为dr的球壳为一体积元，则该体积元的体积为
dV 4r2dr
因此，球壳中储存的电场能量为
于是总能量为
dWe
wedV
Q2
8 0 r r 2
U Ed
将平行板电容器的电容公式（7-38）带入式（7-43），可得
We
=
1 2
CU
21 20r Sd(Ed )21 2
0r E2Sd
1 2
E 2V
上式说明了电场能量的携带者是电场本身。
由上式可得单位体积电场内所具有的电场能量为
we
We V
=
1 E2
2
上式表明，电场的强度越大，电场的能量密度也越大。上 式虽然是从平行板电容器中求得的，但可以证明，对于任意电 场，这个结论也成立。
对于非均匀电场，我们可以任取一体积元dV，可以认为dV 内是均匀电场，则在dV内电场所储存的能量为
dWe
wedV
1 E2dV
2
因此，整个电场的能量为
We
V dWe =
V wedV
1 E2dV
V2
【例7-11】一球形电容器，内、外半径分别为R1和R2，所 带电量分别为＋Q和－Q，两球间充满相对电容率为εr的电介 质，如下图所示。求此电容器储存的电场能量是多少？
物理学
静电场的能量
1.1 电容器的静电能
电容器充电时，电源必须做功，才能克服电容器极板上
高中物理精品课件：静电场中的能量
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第十章 静电场中的能量
例2 如图所示，水平地面上方分布着水平向右的匀强电场．一L形的绝缘硬质管竖直固定在 匀强电场中，管的水平部分长为l1＝0.2 m，离水平地面的距离为h＝5.0 m，竖直部分长为l2＝0.1 m．一带正电的小球从管的上端口A由静止释放，小球与管间摩擦不计且小球通过管的弯曲部分(长 度极短，可不计)时没有能量损失，小球在电场中受的静电力大小为重力的一半．求：
(3)判断电场强度的大小(定性)——电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强 度小，进而可判断电荷受静电力大小和加速度的大小．
(4)判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线的方向电势逐渐降低，电
场强度的方向是电势降低最快的方向．
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第十章 静电场中的能量
专题2 带电体(粒子)在静电力作用下的运动
1．力和运动的角度 带电体的运动情况取决于它的受力情况及初始状态，准确分析带电体的受力情 况是解题的关键，通过受力分析可判断带电体的运动性质及运动轨迹．从力和运动 的角度进行分析是解决带电体在电场中运动问题的最基本方法． 2．运动分解的角度 带电体在电场和重力场的复合场中，若做类平抛或其他曲线运动，都可以考虑 运动分解的思想，把它分解为两个分运动，可使问题很快得到解决．
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第十章 静电场中的能量
例1 (多选)如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M 点以相同速度中虚线所示．则( CD )
静电场中的能量知识点总结
静电场中的能量知识点总结静电场是指一系列被静电荷所产生的电场分布。
静电场中的能量是指电荷在电场中所具有的能量。
在静电场中，电荷与电场之间相互作用，电场对电荷有做功的能力，同时电荷也对电场造成了能量耗散，因此静电场中的能量是电场与电荷之间相互转化的结果。
静电场中的能量可以分为两部分：电势能和电场能。
电势能是指电荷在电场中由于位置而具有的能量，与电荷的位置有关，而不依赖于电荷的运动状态。
电势能可以通过电势来表示，电势是描述电场能量分布的物理量。
电势是单位正电荷在某点的电势能，具有标量性质。
在静电场中，电势能与电势之间有如下关系：电势能等于电荷与电势的乘积。
电势能的表达式为U=qV，其中U为电势能，q为电荷量，V为电势。
电场能是指电荷在电场中由于电场而具有的能量，与电荷的位置和运动状态有关。
电场能是电荷在电场力作用下的动能转化而来的。
当一个电荷从一个点移动到另一个点时，由于电场力做功，电场能发生变化。
在静电场中，电场能可以表示为电荷与电场的乘积。
电场能的表达式为E=½mv²=qV，其中E为电场能，m为电荷的质量，v为电荷的速度，q为电荷的电量。
静电场中的电场能可以通过电势差（电压）来描述，电势差是指单位电荷在电场中移动时所获得的电势能的变化量。
电势差等于两点之间的电势差乘以单位正电荷的电量。
静电场中的能量转化伴随着能量守恒定律的成立。
能量守恒定律是指在一个封闭系统中，能量总量保持不变，只能从一种形式转化为另一种形式。
在静电场中，电势能和电场能之间可以相互转化，但总能量保持不变。
静电场中的能量转化还涉及到电场与电荷之间的能量传递。
当一个电荷在电场中运动时，电场对电荷做功，将电势能转化为电场能。
电场能可以继续传递给其他电荷，使其获得动能。
这种电场能的传递导致了电荷之间的相互作用和电场的扩散。
静电场中的能量还与电容器的存储能量有关。
电容器是由两个导体之间通过一种介质进行隔离的器件，具有储存电荷的能力。
高一静电场中的能量知识点
高一静电场中的能量知识点静电场是物理学中的重要概念，研究电荷间相互作用的力和这种力对电荷做的功，就涉及到能量的转换和存储。
本文将介绍高一静电场中的一些重要的能量知识点。
1. 电势能静电场中，电荷的位置决定了它的电势能。
电荷在电场中的位置不同，其电势能也会不同。
对于一个点电荷 q 在电势 V 中，其电势能 E 由 E=qV 给出。
电势能的单位是焦耳（J）。
2. 电场能电场能是指电场本身具有的能量。
电场能密度即单位体积内的电场能，可以用以下公式表示：Ee = 1/2 εE²其中，Ee 表示电场能密度，ε 表示介电常数，E 表示电场强度。
电场能密度的单位是焦耳每立方米（J/m³）。
3. 能量转换在静电场中，能量可以在电荷和电场之间相互转换。
当电荷沿着电场方向移动时，可以将电势能转变为动能。
而当电荷受到电场力的作用从高电位移动到低电位时，动能会转化为电势能。
4. 电容器的能量电容器是一种能够存储电荷和能量的装置。
当电容器充电时，电荷会从电源流入电容器，此时电容器中存储了电势能。
根据电容器的公式 C=Q/V（C 为电容量，Q 为电荷量，V 为电压），电容器的电势能可以表示为：Ec = 1/2 CV²其中，Ec 表示电容器的电势能，C 表示电容量，V 表示电压。
电容器的电势能单位是焦耳（J）。
5. 平行板电容器的能量平行板电容器是一种常见的电容器，其能量可以通过以下公式计算：Ec = 1/2 εAV²其中，Ec 表示平行板电容器的电势能，ε 表示介电常数，A 表示平行板的面积，V 表示电压。
平行板电容器的电势能单位是焦耳（J）。
6. 极化和能量损耗在电场中，当介质（如绝缘体）遭受到电场的作用时，其原子或分子会发生极化。
极化会耗散电场能量，部分电场能转化为介质中的热能。
这种能量损耗可用来解释介质中的介电损耗现象。
7. 能量守恒定律在静电场中，能量守恒定律依然成立。
即能量既不能被创建也不能被销毁，只能从一种形式转化为另一种形式。
第五讲 静电场中的能量
r
Q2
U1 为 Q1 , Q2 1球面处电势的代数和 Q1 Q 1 Q1 在1球面处电势： Q1在2球面处电势： 4 0 r 4 0 R1
U1
4 0 R1
Q1
4 0 r
Q2
U 2 为 Q1 , Q2 2球面处电势的代数和
U j 是由 Q j 和 Q j 以外的全部电荷在 Q j 处产生的
电势，该式是导体系的总静电能。
1 n W qiVi 2 i 1
u i 是由 q i 以外的电荷在 q i处产生的电势，该式是
点电荷系总静电能的一部分------相互作用能。
4、带电电容器的储能
电容器静电能：充电过程将元电荷dq从一板搬到另一 u(t ) 板，电场力做元功：
导体球总能量
W
Q2 8 0 R
解2： 利用带电体系静电场能量公式
r R, E 0 r r, E Q 4 0 r 2
R
r
dr
作厚度为 dr 的球壳，球壳内的电场能量：
1 dW dV 0 E 2 dV 2 dV 4r 2 dr
球的总电场能量
W
R
设 带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中 外界反抗电场力做元功：
dA udq
A dA udq
0 Q
电场力的功转化成带电体系的静电自能
W udq
0
Q
自能本质：各部分电荷之间的相互作用能，这是带电体自身 有的能量。
3、电荷连续分布的带电体系的静电能：自能&元以外的全部电荷共同产生带电导体组的总静电能
第五讲 静电场中的能量
静电场的能量
ϕa =
Q 4πε 0 a
因此静电场总能量为
W=
Q2 8πε 0 a
方法之二:
1 v v W = ∫ E ⋅ Dd V 2 ∞
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 Q 2 drdQ = W= ∫ r 2 2 2 (4πε 0 r ) 8πε 0
ε0
Q2r = . 2 8πε 0 a r
式中右边第二项散度体积分化为面积分
v v v r →∞ → 0 ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD ⋅ dS
所以
1 W = ∫ ρϕdV 2
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。 解 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球 面上，方法之一:
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕ a 2 2
第一项是设想体系的电 荷集中于原点上时在外 场中的能量 第二项是体系的电 偶极矩在外电场中 的能量 第三项是四极 子在外电场中 的能量
W (0 ) = Qϕ e (0 )
W
(2 )
(1)
v v = p ⋅ Ee (0 )
只有在非均匀场 中四极子的能量 才不为零
W
v 1 t = − D : ∇Ee 6
六、静电场的能量 电荷体系与 外电场的相互作用
1、静电场能量
1 v v W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
由E=-∇ϕ和∇⋅D=ρ得 v v v v v E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇ ⋅ (ϕD) + ϕ ∇ ⋅ D v = −∇ ⋅ (ϕD) + ρϕ 因此
v 1 1 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇ ⋅ (ϕD )dV 2 2
代入得
3 1 3 ∂ ∂2 W = ∫ ρ ϕ e (0 ) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L dV 2! i , j =1 ∂xi ∂xi ∂x j i =1 1 ∂ ∂2 ϕ e (0 ) + ∑ Dij ϕ e (0) + L = Qϕ e (0 ) + ∑ pi 6 i, j ∂xi ∂xi ∂x j i 1 t v = Qϕ e (0 ) + p ⋅ ∇ϕ e (0 ) + D : ∇∇ϕ e (0 ) + L 6
静电场中的能量
静电场中的能量静电场是一种由电荷积聚所形成的电场，具有辐射状的特点。
在静电场中，电荷之间会相互作用，并产生电势能和电场能量。
本文将探讨静电场中的能量转化和计算方法。
一、静电场的基本概念静电场是由带电粒子或物体所产生的电场，其特点是电荷不进行移动，所以称为“静电”场。
静电场的强度与电荷的分布有关，通常通过电场强度来描述。
电场强度的方向与电荷的正负性及其位置有关。
二、电静场能量的定义在静电场中，电荷之间由于存在电场而具有势能。
电静场能量是静电场中电荷与电场之间相互作用而具有的能量，用符号U表示。
电静场能量可以用来描述电荷在电场中的粒子之间的相互作用。
三、电势能的计算公式电势能是静电场中电荷所具有的能量，它可以通过电荷的电势差来计算。
根据电势能的定义，可以得到电荷在静电场中的电势能计算公式：U = k * q1 * q2 / r其中，U为电势能，k为电场常数（通常取为 8.99 × 10^9 N·m^2/C^2），q1和q2为两个电荷的大小，r为两个电荷之间的距离。
四、静电场能量的转化静电场能量可以在电荷之间进行转化，也可以转化为其他形式的能量。
例如，当两个电荷之间产生电势差时，静电场能量可以转化为电动势能，从而使电荷发生位移。
静电场能量也可以转化为热能，当电荷在与其他物质接触时，静电场能量的转化会产生热量。
五、电场能量密度电场能量密度是指静电场中单位体积内的能量。
在某一点的电场能量密度可以通过以下公式计算：u = 1/2 * ε * E^2其中，u为电场能量密度，ε为真空介质常数（通常取为 8.85 ×10^-12 C^2/N · m^2），E为电场强度。
六、电场能量的保守性静电场能量是保守的，即不随着电荷的移动而改变。
这是因为在静止的电荷之间，电场是由静电荷产生的，而静电荷的电场是不随时间变化的，所以电场能量保持不变。
七、实际应用静电场的能量在日常生活和工业生产中有着广泛的应用。
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静电场的能量
静电场的能量
一个物体带了电是否就具有了静电能？为了回答这个问题，让我们把带电体的带电过程作下述理解：物体所带电量是由众多电荷元聚集而成的，原先这些电荷元处于彼此无限离散的状态，即它们处于彼此相距无限远的地方，使物体带电的过程就是外界把它们从无限远聚集到现在这个物体上来。
在外界把众多电荷元由无限远离的状态聚集成一个带电体系的过程中，必须作功。
根据功能原理，外界所作的总功必定等于带电体系电势能的增加。
因为电势能本身的数值是相对的，是相对于电势能为零的某状态而言的。
按照通常的规定，取众多电荷元处于彼此无限远离的状态的电势能为零，所以带电体系电势能的增加就是它所具有的电势能。
于是我们就得到这样的结论：一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成该带电体系的过程中，外界所作的功。
那么带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还是由电荷激发的电场所携带？也就是，能量定域于电荷还是定域于电场？在静电学范围内我们无法回答这个问题，因为在一切静电现象中，静电场与静电荷是相互依存，无法分离的。
随时间变化的电场和磁场形成电磁波，电磁波则可以脱离激发它的电荷和电流而独立传播并携带了能量。
太阳光就是一种电磁波，它给大地带来了巨大的能量。
这就是说，能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。
既然静电能是定域于电场的，那么我们就可以用场量来量度或表示它所具有的能量。
,
式中C是电容器的电容。
电容器所带电量从零增大到Q的整个过程中，外力所作的总功为
.
外力所作的功A等于电容器这个带电体系的电势能的增加，所增加的这部分能量，储存在电容器极板之间的电场中，因为原先极板上无电荷，极板间无电场，所以极板间电场的能量，在数值上等于外力所作的功A，即
. (9-77)
若电容器带电量为Q时两极板间的电势差为U AB ，则平行板电容器极板间电场的能量还可以表示为
,(9-78)
和
(9-79)
设电容器极板上所带自由电荷的面密度为s，极板间充有电容率为e的电介质，电场强度可以表示为
,
极板上的电量可以表示为
Q = s S = e E S , (9-80)
式中S是电容器极板的面积。
如果电容器两极板间的距离为d，则电势差U AB 与电场强度的关系可以写为
U
= E d .(9-81)
AB
将式(9-80)和式(9-81)代入式(9-78)，得
,
由此可以求得电容器中静电能的能量密度
.(9-82)
式(9-82)虽然是从平行板电容器极板间电场这一特殊情况下推得的，可以证明这个公式是普遍成立的。
这个公式表明，如果电场中一点的电场强度为E，那么在该点附近单位体积内所具有的电场能量为eE2/2 。
这个公式不仅适用于各向同性电介质中的静电场，也适用于真空中的静电场。
在真空中，e =e0 ，式(9-82)成为
.(9-83)
公式(9-82)既适用于匀强静电场，也适用于非匀强电场，还适用于变化的电场。
对于非匀强电场，空间各点的电场强度是不同的，而在体元d t内可视为恒量，所以体元d t内的电场能量为
,
整个电场的能量可以表示为
,(9-84)
积分在整个电场中进行。
在各向异性电介质中，一般说来D与E的方向不同，这时电场能量密度应表示为
, (9-85)
式(9-84)应由下式代替
. (9-86)。