静电场的能量...
第十章静电场中的能量
第十章静电场中的能量1电势能和电势一、静电力做功的特点1．静电力做功：在匀强电场中，静电力做功W＝qEl cos θ.其中θ为静电力与位移方向之间的夹角．2．特点：在静电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关．(1)静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似．(2)无论是匀强电场还是非匀强电场，无论是直线运动还是曲线运动，静电力做功均与路径无关．二、电势能1．电势能：电荷在电场中具有的势能，用E p表示．2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：W AB＝E p A－E p B.(1)静电力做正功，电势能减少；(2)静电力做负功，电势能增加．3．电势能的大小：电荷在某点(A点)的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功E p A＝W A0.4．电势能具有相对性电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为零．(1)电势能E p是由电场和电荷共同决定的，是电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能．(2)电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关。
确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。
(3)电势能是标量，有正负但没有方向。
在同一电场中，电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能。
5．静电力做功与电势能变化的关系(1)W AB＝E p A－E p B.静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．(2)在同一电场中，正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小．三、电势1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．2．公式：φ＝E p q。
(1)φ取决于电场本身；(2)公式中的E p 、q 均需代入正负号。
3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V ,1 V ＝1 J/C.4．电势高低的判断：(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低．(2)电势能判断法：由φ＝E p q知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高．5．电势的相对性：只有规定了零电势点才能确定某点的电势，一般选大地或离场源电荷无限远处的电势为0.6．电势是标量，只有大小，没有方向，但有正、负之分，同一电场中电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．7．电场中某点的电势是相对的，它的大小和零电势点的选取有关．在物理学中，常取离场源电荷无限远处的电势为零，在实际应用中常取大地的电势为零．8．电势虽然有正负，但电势是标量．在同一电场中，电势为正值表示该点电势高于零电势，电势为负值表示该点电势低于零电势，正负号不表示方向．2 电势差一、电势差1．定义：电场中两点之间电势的差值，也叫作电压．U AB ＝φA －φB ，U BA ＝φB －φA ，U AB ＝－U BA .2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．U AB >0，表示A 点电势比B 点电势高．3．单位：在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为伏特，符号是V .4．静电力做功与电势差的关系(1)公式：W AB ＝qU AB 或U AB ＝W AB q. (2)U AB 在数值上等于单位正电荷由A 点移到B 点时静电力所做的功．二、电势差的理解1．电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关．2．电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低，且U AB ＝－U BA ，与零电势点的选取无关．3．电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差．三、静电力做功与电势差的关系1．公式U AB＝W ABq或W AB＝qU AB中符号的处理方法：把电荷q的电性和电势差U的正负代入进行运算，功为正，说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明静电力做负功，电荷的电势能增大．2．公式W AB＝qU AB适用于任何电场，其中W AB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功．3．电势和电势差的比较1．定义：电场中电势相同的各点构成的面．2．等势面的特点(1)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．(2)等势面一定跟电场线垂直，即跟电场强度的方向垂直．(3)电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．3．等势面的特点及应用(1)在等势面上移动电荷时静电力不做功，电荷的电势能不变．(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面，由此可以绘制电场线，从而可以确定电场的大致分布．(3)等差等势面密的地方，电场强度较强；等差等势面疏的地方，电场强度较弱，由等差等势面的疏密可以定性确定场强大小．(4)任意两个等势面都不相交．4．几种常见电场的等势面(如图1所示)图1(1)点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．(2)等量异种点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，两点电荷连线的中垂线是一条等势线．(3)等量同种点电荷的等势面①等量正点电荷连线的中点电势最低，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．②等量负点电荷连线的中点电势最高，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高．(4)匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．3 电势差与电场强度的关系一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．2．公式：U AB ＝Ed .二、公式E ＝U AB d的意义 1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比．2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．3．电场强度的另一个单位：由E ＝U AB d可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V /m.1 V/m ＝1 N/C.三、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．公式E ＝U AB d及U AB ＝Ed 的适用条件都是匀强电场． 2．由E ＝U d可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势． 式中d 不是两点间的距离，而是两点所在的等势面间的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离．3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．4．电势差的三种求解方法(1)应用定义式UAB ＝φA －φB 来求解．(2)应用关系式UAB ＝WAB q来求解． (3)应用关系式UAB ＝Ed(匀强电场)来求解．5．在应用关系式UAB ＝Ed 时可简化为U ＝Ed ，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断．四、利用E ＝U d定性分析非匀强电场 U AB ＝Ed 只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．(1)在非匀强电场中，公式U ＝Ed 中的E 可理解为距离为d 的两点间的平均电场强度．(2)当电势差U 一定时，场强E 越大，则沿场强方向的距离d 越小，即场强越大，等差等势面越密．(3)距离相等的两点间的电势差：E 越大，U 越大；E 越小，U 越小．五、用等分法确定等势线和电场线1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U ＝Ed ，其中d 为两点沿电场方向的距离． 由公式U ＝Ed 可以得到下面两个结论：结论1：匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势φC ＝φA ＋φB 2，如图1甲所示． 图1结论2：匀强电场中若两线段AB ∥CD ，且AB ＝CD ，则U AB ＝U CD (或φA －φB ＝φC －φD )，同理有U AC ＝U BD ，如图乙所示。
大学物理,静电场中的导体和电介质8-5 静电场的能量
2
R1
r
dr
Q R2 dWe wedV dr 2 8 π εr 2 2 R Q Q 1 1 2 dr We dWe ( ) 2 8 π ε R1 r 8 π ε R1 R2 9
8.5 静电场的能量
2
第8章 静电场中的导体和电介质
第8章 静电场中的导体和电介质
例：同轴电缆由内径为 R1、外径为 R2的两无限长金属圆柱 面构成，单位长度带电量分别为 +、 -，其间充有 r 电介 质。求： 1）两柱面间的场强 E；2）电势差 U；3）单位长 度电容 ；4）单位长度贮存能量。
介质中高斯定理： D dS q 0
5
8.5 静电场的能量
第8章 静电场中的导体和电介质
二、静电场的能量 能量密度 以平行板电容器为例，将电能用电场的量表示。
1 1 1 1 εS 2 2 2 2 ( Ed ) εE Sd εE V We CU 2 2 2 d 2
电场中单位体积的能量 称为电场能量密度：
d
S
εr
We we V
8.5 静电场的能量
第8章 静电场中的导体和电介质
静电场的能量 ( Electrostatic Energy ) 一个带电系统包含许多的电荷。电荷之间 存在着相互作用的电场力。 任何一个带电系统在形成的过程中，外力 必须克服电场力做功，即要消耗外界的能量。 外界对系统所做的功，应该等于系统能量 的增加。 因此，带电系统具有能量。
第8章 静电场中的导体和电介质
1 We QU 2
R1
1 λ R2 λh ln 2 2πε0 εr R1 2 λh R2 ln 4πε0 εr R1
2.10 静电场能量 静电力要点
c
第二章
对某体积元 dV , 电荷密度： d( )
则电源向 dV 送入电荷：
电源做功：dW 电源做功
dq d( ) dV
dq d( ) dV
对整个电荷系统所在空间：
dW d ( ) dV
故静电场中是储存有能量的。其能量来源 于带电系统的建立过程中外界所做的功。
2018/10/7 1
第二章
1、电荷系统的能量： 在静电场中，电场力做功与路径无关， E dl 0
即静电场中的能量为势能——只与电荷分布有关， 而与形成这种电荷分布的过程无关。
设在各向同性、线性且均匀的媒质中，其最终 电荷分布为 ，电位为 。由于静电能与电荷 系统的建立过程无关，故可选一简单的电荷建 立过程。设电荷系统各点的电荷密度按 的 增加（0 1 ），各点电位也 同一比例因子 按同一比例因子 变化。即在某时刻，当各点 的电荷分布为 时，其相应电位为 。
1 f g dg dW dWe 2 We fg k const g
（2-10-10）
由（2-10-9）与（2-10-10）计算的结果应是一致的。
2018/10/7
17
第二章
例:如图,面积为Ａ的平行板电容器,一个极板上电荷为+Ｑ, 另一个则为-Ｑ,极板间充满空气,计算两极板之间的作用力.
1 We ( D)dV 2V
又 ∵
2018/10/7
(D) D D
5
第二章
1 1 We (D)dV D dV 2V 2V
1 dV 而 We 2V
1 1 (D) dS D EdV 2S 2V
静电场的能量(精)
静电场的能量静电场的能量一个物体带了电是否就具有了静电能？为了回答这个问题，让我们把带电体的带电过程作下述理解：物体所带电量是由众多电荷元聚集而成的，原先这些电荷元处于彼此无限离散的状态，即它们处于彼此相距无限远的地方，使物体带电的过程就是外界把它们从无限远聚集到现在这个物体上来。
在外界把众多电荷元由无限远离的状态聚集成一个带电体系的过程中，必须作功。
根据功能原理，外界所作的总功必定等于带电体系电势能的增加。
因为电势能本身的数值是相对的，是相对于电势能为零的某状态而言的。
按照通常的规定，取众多电荷元处于彼此无限远离的状态的电势能为零，所以带电体系电势能的增加就是它所具有的电势能。
于是我们就得到这样的结论：一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成该带电体系的过程中，外界所作的功。
那么带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还是由电荷激发的电场所携带？也就是，能量定域于电荷还是定域于电场？在静电学范围内我们无法回答这个问题，因为在一切静电现象中，静电场与静电荷是相互依存，无法分离的。
随时间变化的电场和磁场形成电磁波，电磁波则可以脱离激发它的电荷和电流而独立传播并携带了能量。
太阳光就是一种电磁波，它给大地带来了巨大的能量。
这就是说，能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。
既然静电能是定域于电场的，那么我们就可以用场量来量度或表示它所具有的能量。
,式中C是电容器的电容。
电容器所带电量从零增大到Q的整个过程中，外力所作的总功为.外力所作的功A等于电容器这个带电体系的电势能的增加，所增加的这部分能量，储存在电容器极板之间的电场中，因为原先极板上无电荷，极板间无电场，所以极板间电场的能量，在数值上等于外力所作的功A，即. (9-77)若电容器带电量为Q时两极板间的电势差为U AB ，则平行板电容器极板间电场的能量还可以表示为,(9-78)和(9-79)设电容器极板上所带自由电荷的面密度为s，极板间充有电容率为e的电介质，电场强度可以表示为,极板上的电量可以表示为Q = s S = e E S , (9-80)式中S是电容器极板的面积。
静电场的能量5
W球面 <W球体 e e
课堂讨论
13.5 静电场的能量 (electrostatic energy)
定义： 定义： 把系统从当前状态无限分裂到彼此相距无 限远的状态中静电场力作的功， 限远的状态中静电场力作的功，叫作系统 在当前状态时的静电势能。简称静电能。 在当前状态时的静电势能。简称静电能。 或： 把这些带电体从无限远离的状态聚合到当 前状态过程中，外力克服静电力作的功。 前状态过程中，外力克服静电力作的功。
r
比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。 比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
q
0 E = q 4 r2 πε0
R
R
r <R r >R
q
R
r q 4 ε R π0 3 E = q 4 ε0r2 π
∞
r <R r >R
1 1 2 2 2 2 W = ∫ ε0E ⋅ 4 r dr +∫ ε0E ⋅ 4 r dr π π e 2 2 0 R
3.电容器储存的能量 电容器储存的能量
K
a
b
开关倒向a，电容器充电。 开关倒向 ，电容器充电。 开关倒向b，电容器放电。 开关倒向 ，电容器放电。
灯泡发光
←电容器释放能量
←电源提供
计算电容器带有电量Q，相应电势差为U 计算电容器带有电量 ，相应电势差为 时所 具有的能量。 具有的能量。
电容器中的能量是在充电过 程中建立起来的。 程中建立起来的。 充电过程， 充电过程，使电容器的两极 板分别带上等量的正负电荷， 板分别带上等量的正负电荷，这 相当于将某一极板上的电荷拉到 另一极板上。 另一极板上。这是电荷在两极板 间的搬迁过程。 间的搬迁过程。 搬迁过程中， 搬迁过程中，随着极板上电 荷的累积，要做的功越来越大， 荷的累积，要做的功越来越大， 这就像粮仓中粮食的囤积过程， 这就像粮仓中粮食的囤积过程， 粮越来越高，再往上倒， 粮越来越高，再往上倒，就越来 越困难。 越困难。
静电场的能量--能量密度
dr R3
-q1
r
q1 o
R1
R2
r
We
R2 R1
1 2
o
r
E2
2
4r
2
dr
R1 r R2 :
q12 ( 1 1 )
8 or R1 R2
电场能量也可用下式求得：We
1 2
E2
q12 C
q1
4 o r r 2
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例10-9 如图，半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒内
半径为b，导线与圆筒间充以介电常量为的 均匀介质。沿轴线单位
A We
Q q dq 1 Q2
0C
2C
利用Q=CV,可以得到电容器的储能公式为
We
1 2
Q2 C
1 CV 2 2
1 QV 2
三、静电场的能量 能量密度
电容器储存的电能等于两极板间的电场的能量，用 描述场的量来改写上式有（以平行板电容器为例）
We
1 2
S
d
E2d 2
1 2
E 2Sd
1 E 2V
O R3
r R3 E 0
R3
uo
Edr Edr
0
R3
4 0 R3
r R3
E
4 0r 2
u
r
Edr
4 0r
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2
(V Sd :电容器体积)
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电场的能量密度(即单位体积内储存的电能):
e
1 E 2
2
1 2
ED
表明：电场能量是储存在电场中的。就是说场是 能量的携带者。
第五讲 静电场中的能量
r
Q2
U1 为 Q1 , Q2 1球面处电势的代数和 Q1 Q 1 Q1 在1球面处电势： Q1在2球面处电势： 4 0 r 4 0 R1
U1
4 0 R1
Q1
4 0 r
Q2
U 2 为 Q1 , Q2 2球面处电势的代数和
U j 是由 Q j 和 Q j 以外的全部电荷在 Q j 处产生的
电势，该式是导体系的总静电能。
1 n W qiVi 2 i 1
u i 是由 q i 以外的电荷在 q i处产生的电势，该式是
点电荷系总静电能的一部分------相互作用能。
4、带电电容器的储能
电容器静电能：充电过程将元电荷dq从一板搬到另一 u(t ) 板，电场力做元功：
导体球总能量
W
Q2 8 0 R
解2： 利用带电体系静电场能量公式
r R, E 0 r r, E Q 4 0 r 2
R
r
dr
作厚度为 dr 的球壳，球壳内的电场能量：
1 dW dV 0 E 2 dV 2 dV 4r 2 dr
球的总电场能量
W
R
设 带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中 外界反抗电场力做元功：
dA udq
A dA udq
0 Q
电场力的功转化成带电体系的静电自能
W udq
0
Q
自能本质：各部分电荷之间的相互作用能，这是带电体自身 有的能量。
3、电荷连续分布的带电体系的静电能：自能&元以外的全部电荷共同产生带电导体组的总静电能
第五讲 静电场中的能量
静电场的能量
ϕa =
Q 4πε 0 a
因此静电场总能量为
W=
Q2 8πε 0 a
方法之二:
1 v v W = ∫ E ⋅ Dd V 2 ∞
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 Q 2 drdQ = W= ∫ r 2 2 2 (4πε 0 r ) 8πε 0
ε0
Q2r = . 2 8πε 0 a r
式中右边第二项散度体积分化为面积分
v v v r →∞ → 0 ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD ⋅ dS
所以
1 W = ∫ ρϕdV 2
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。 解 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球 面上，方法之一:
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕ a 2 2
第一项是设想体系的电 荷集中于原点上时在外 场中的能量 第二项是体系的电 偶极矩在外电场中 的能量 第三项是四极 子在外电场中 的能量
W (0 ) = Qϕ e (0 )
W
(2 )
(1)
v v = p ⋅ Ee (0 )
只有在非均匀场 中四极子的能量 才不为零
W
v 1 t = − D : ∇Ee 6
六、静电场的能量 电荷体系与 外电场的相互作用
1、静电场能量
1 v v W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
由E=-∇ϕ和∇⋅D=ρ得 v v v v v E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇ ⋅ (ϕD) + ϕ ∇ ⋅ D v = −∇ ⋅ (ϕD) + ρϕ 因此
v 1 1 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇ ⋅ (ϕD )dV 2 2
代入得
3 1 3 ∂ ∂2 W = ∫ ρ ϕ e (0 ) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L dV 2! i , j =1 ∂xi ∂xi ∂x j i =1 1 ∂ ∂2 ϕ e (0 ) + ∑ Dij ϕ e (0) + L = Qϕ e (0 ) + ∑ pi 6 i, j ∂xi ∂xi ∂x j i 1 t v = Qϕ e (0 ) + p ⋅ ∇ϕ e (0 ) + D : ∇∇ϕ e (0 ) + L 6
静电场的能量
静电场的能量嘿，咱今儿来唠唠静电场的能量这档子事儿。
你说这静电场的能量，就好像是一个隐藏在幕后的大力士。
咱平常可能感觉不到它，但它可无时无刻不在发挥着作用呢！你想想看啊，静电场就像是一个神秘的能量宝库。
它里面储存着的能量，虽然看不见摸不着，可一旦有啥情况，它就能猛地蹦出来，给你个大惊喜或者大惊吓。
就好比那天空中的闪电，那可是静电场能量的大爆发呀！那一瞬间的光亮和威力，多吓人，多震撼！咱生活中很多小现象其实都和它有关呢。
比如说，有时候你脱毛衣，噼里啪啦一阵响，还有小火花，这就是静电场在捣鬼啦。
这小小的静电现象背后，可藏着静电场的能量在作祟呢。
再说说那些电子设备，像手机啦、电脑啦，它们能正常工作，可少不了静电场能量的帮忙。
它就像是个默默奉献的幕后工作者，悄无声息地为这些高科技玩意儿提供着动力。
静电场的能量还很奇妙呢，它不是一成不变的哦。
就像咱的心情一样，时好时坏。
静电场的能量也会根据各种条件发生变化。
这多有意思呀！它可以被创造，可以被消耗，还可以在不同的物体之间传递。
你说这像不像咱和朋友之间传递快乐或者烦恼？快乐传递出去，大家都开心；烦恼传递出去，有人分担也会轻松些。
静电场的能量也是这样在各种物体之间跑来跑去的呢。
而且啊，静电场的能量还特别“调皮”。
有时候你想抓住它，还真不容易。
它就像那滑溜溜的小鱼，稍不注意就溜走了。
但科学家们可厉害啦，他们总能想出各种办法来研究它、利用它。
你说要是咱能把这静电场的能量都好好利用起来，那得省多少电呀！那得给咱的生活带来多大的便利呀！说不定以后咱出门都不用带充电宝了，直接从身边的静电场里吸取能量就行，哈哈，那多牛！静电场的能量啊，真的是又神秘又有趣。
它就在我们身边，时时刻刻影响着我们的生活。
咱可得好好琢磨琢磨它，说不定哪天咱也能像科学家那样，发现一些关于它的大秘密呢！这不就是生活中的小惊喜吗？你说是不是呢？反正我是这么觉着的。
高考物理复习：静电场中的能量
(1)在电场中,两点之间电势的差值叫作电势差。
(2)公式:UAB=φA-φB,UAB=-UBA。
(3)静电力做功与电势差的关系: UAB=
。
知识点二
等势面
1.定义:电场中电势相等的各点组成的面。
2.四个特点。
(1)等势面一定与电场线垂直。
(2)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
把一带正电荷的物体C置于A附近,贴在A、B下部的金属箔片都张开,则
( C )
A.此时A带正电,B带负电
B.此时A电势低,B电势高
C.移去C,贴在A、B下部的金属箔片都闭合
D.先把A和B分开,然后移去C,贴在A、B下部的金属箔片都闭合
解析:由静电感应可知,A带负电,B带正电,A、B的电势相等,选项A、B错误。
训练突破
1.(多选)空间存在如图所示的静电场,a、b、c、d为电场中的四个点,则
( AD )
A.a点的电场强度比b点的大
B.d点的电势比c点的低
C.质子在d点的电势能比在c点的小
D.将电子从a点移动到b点,静电力做正功
解析:a点的电场线比b点的电场线密,根据电场线的疏密程度表示电场强度
的大小,可知a点的电场强度比b点的电场强度大,故A正确。根据沿着电场
的位置如图所示,三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的
是(
)
ABD
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点,静电力做功为9 eV
思维点拨根据a、b、c三点的电势关系可以找出等势面,进而求出等势面
知识点四
物理-静电场的能量
力需克服静电场力作的功dw;
再计算电量由0累积到Q的过程，外力的总功：
Q
dW 0 dW
如：前面例1（均匀带电球面的静电能）
Q
W
q
dq Q2
0 4 0 R
8 0R
++ +
+O
+Q
+ +
+R +
+++
三、连续分布电荷系统的静电能
思路(二)：考察带电体上所电荷元间
的相互作用能 带电体上任到一个电荷元dq，设
4 0r
q1q2
4 0
dr r r2
q1q2
4 0r
一、电荷系统的自能与相互作用能
3、带电体系的总静电能
q2 q3 q1
qi
qn
某电荷系统A
每个带电体的自能 电荷系统的总能
所有带电体的相互作用能
一、电荷系统的自能与相互作用能
例3：求两个半径分别为 R1、R2，电量为 Q1、Q2，相 距为 d(d R1, R2 ) 的两个均匀带电球面的静电能。
Q1 + +
+ +
O1
+ + +
+ R1 +
+++
d( R1, R2 )
+ +
+
+ O2
+ Q2
+ +
+ R2 +
+++
自能：
W1
Q1 8 0R1
W2
Q2 8 0R2
;
相互作用能： W12
第10章静电场中的能量(单元知识清单)高二物理(人教版2019)
第10章必备知识清单§1电势能和电势1、在匀强电场中移动电荷时，静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与电荷经过的路径无关。
计算式：W电＝qEd，其中d为带电体在沿电场方向的位移。
2、电势能（符号E P）：电荷在电场中具有的势能，是标量3、静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即W AB=−∆E p=−(E pB−E pA)=E pA−E pB。
●当W AB＞0，则E pA＞E pB，表明电场力做正功，电势能减小；●当W AB＜0，则E pA＜E pB，表明电场力做负功，电势能增加。
4、电势能是相对的，具体数值与零势能面的选取有关。
通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为0，或把电荷在大地表面的电势能规定为0。
5、电势能具有系统性，为电荷和对它作用的电场组成的系统共有。
●电荷在某点的电势能，等于把它从该点移动到零势能面时静电力所做的功。
●选择不同的零势能面，对于同一个带电体在同一点来说电势能大小是不相同的。
6、电势（符号 φ）：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。
●定义式：φ=E pq●单位：伏特（V），1V＝1J/C。
●电势是标量，有正负，负电势表示该处的电势比零电势低。
7、电势具有相对性，确定某点的电势，应先规定电场中某处电势为零，通常取大地或无穷远处的电势为零。
8、沿电场线方向，电势降低最快。
判断电势高低的基本方法：①沿电场线方向，电势越来越低。
②正电荷在电势能大的地方电势高，负电荷相反。
③静电力对正电荷做正功，则电势降低。
④离带正电的场源电荷越近的点，电势越高。
9、在等量异种点电荷的电场中，①沿点电荷的连线由正电荷到负电荷，电势逐渐降低。
②两点电荷连线中垂线上，电势均相等（若取无穷远处电势为0，则中垂线上电势处处为0）。
10、在等量同种正点电荷的电场中，①两电荷连线上，由正电荷到连线中点O电势逐渐降低，且关于O点对称。
②两电荷连线中垂线上，由中点O向两侧电势到无限远电势逐渐降低，且关于O点对称。
第23讲 静电场中的能量
判断方法
方法解读
做功判断法
电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大
判断方法
方法解读
公式法
，将 、 的大小、正负号一起代入公式， 越大，电势能越大
能量守恒法
在电场中，当只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，则电势能减小，反之，动能减小，则电势能增大
② ，适用于__________.
任何电场
2.电势能
（1）定义：电荷在______中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到________位置时静电力所做的功.
电场
零势能
（2）静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于________的减少量，即 .
电势能
（3）电势能的相对性：电势能是______的，通常把电荷离场源电荷________处的电势能规定为零，或把电荷在大地______上的电势能规定为零.
[解析]两等量正离子在 点的合场强为0，两等量负离子在 点的合场强为0，则四个离子在 点的合场强为0，所以A错误；由于等量异种点电荷的连线的中垂线为等势线，则 、 、 都在同一等势线上，各点电势相同，都为0，所以B错误，D正确； 、 两点电场强度大小相等，方向相反，所以C错误.
变式2 [2021·全国甲卷] （多选）某电场的等势面如图所示，图中 、 、 、 、 为电场中的5个点，则( )
把 三等分， 、 为三等分点则 ，如图所示，连接 ，则电场强度的方向垂直 指向左下方，故B错误；由几何关系知 ，即 ，则 ，故C正确；设 的中点为 ，则 ， ，即电势能增加 ，D正确.
变式 [2022·北仑中学模拟] （多选）有一匀强电场的方向平行于 平面，平面内 、 、 、 四点的位置如图所示， 、 分别垂直于 轴、 轴，其中 、 、 三点电势分别为 、 、 .一电荷量为 的点电荷从 点开始沿 路线运动，则下列判断正确的是( )
第五讲 静电场中的能量
Vi
除 qi 以外所有电荷在 qi 出激发的电势。
2、自能： 一个孤立带电体系其静电能一般称为自能或固有能。 从功的角度定义：
将带电体系的各部分电荷，从无限远分离的状态，聚集成 带电体状态时，外力反抗电场力所做的功。
设 带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中 外界反抗电场力做元功：
dA udq
－
A dA
0
Q
Q
0
q 1 2 dq Q C 2C
C
dq
dq
U
Q CU
W 1 1 Q CU 2 QU 2 2 2C
2
设电容器正负极板的电荷 +Q，-Q，两极板的电势 代入静电体系的总静电能公式：
1 2 1 1 W Q jU j [(QU ) (QU )] QU 2 j 1 2 2
U2
4 0 R2
Q2
4 0 r
Q1
1、2两球的总静电能：
1 Q1 Q2 1 Q2 Q1 W Q1 ( ) Q2 ( ) 2 4 0 R1 4 0 r 2 4 0 R2 4 0 r Q12 Q2 QQ 1 2 8 0 R1 8 0 R2 4 0 r
2
此式也是1、2两球球面激发的静电场能量。
解2： 带电体系的总静电能等于两球的自能与两球的相互作用 能之和。
W W 12 自 1 W 自2 W
1 Q12 W自1 Q1U1 2 4 0 R1
2 1 Q2 W自2 Q2U 2 2 4 0 R2
可以将两球看成点电荷，求互能：
，
1 W QU 2
结论：该式是电容器的总静电能
10-8-静电场的能量和能量密度
11-5 静电场的能量和能量密度
A2
q2
q1
4 0r12
A3
q3
q1
4 0r13
q3
q1
4 0r23
三个点电荷的系统具有的电势能应等于系统
建立过程中外力所做总功，即
A
A2
A3
q1q2
4 0r12
q3
(
q1
4 0r13
q2 )
4 0r23
1 2
q1U1
1 2 q2U2
( r ) ,那么(1)、(2)的结果如何?
解(1)插入d’,若电容充电,达到静电平衡后,铜板内E=0.相
当于电容器的板间距减少d’.故
C' 0s
d d'
插入位置无影响
(2) U0 时,
W
1 2
CU
2 0
0 SU02
2(d d ')
断开电源抽出铜板
21
11-5 静电场的能量和能量密度
Q2
(d ' d ')
2 0S
0S
2 0 S
r
( 此处 Q C'U0 )
A'
0
SU
2 0
(d
'
d
'/
r
)
2(d d ' d '/ r )2
r ( r 1)0Sd ' 2 rd ( r 1)d '2
U
2 0
23
dr
静电场的能量
的功，把空间区域V用离散的小体积元表示荷。电荷体建立
过程中外力克服电场力对电荷体所做的功，等效为所
有离散的小电荷体集结过程中外力克服电场力做功的
总和。
r1 V 1
r2 V2
静电场的能量
r1V1
第一个小电荷元自从无穷远处移到r1，
外界克服电场力做功为零(电场没有
Q212
静电场的能量
dW2 r2 dV212
1 2
r2
dV212
r1 dV121
dW3 12 r3dV 3 13 r3 dV323 r1 dV131 r2 dV232
dWn
1 2
rndV n 1n rn dVn2n rn dVn n1,n
r1 dV1n1 r2 dV2n2 rn1 dVn 1 n ,n1
r2V2 建立)
第二个小电荷元自从无穷远处移 到r2 点时，外力克服电场力作功 为：
r2
dW2 r2dV2E1 dL r2dV212
静电场的能量
第三个小电荷元自从无穷远处移到r3点时，外力克服电场力作功
为：
dW3 r3 dV313 r3 dV323
第n个小电荷元自从无穷远处移到rn点时，外力克服电场力作功 为：
V
1 2
DrErdV
静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过 电场计算
n
(r1)dV1(21 31 ...n1) (r1)dV1 j1 (r1)dV11
j1( j1)
n
(r2 )dV2 (12 32 ...n2 ) (r2 )dV2 j2 (r2)dV22
j1( j2)
静电场的能量
We
lim n
1 2
n i 1
6静电场的能量
2 a ⎛ 1 1 Q Q 3 r ⎞ 2 We = ∫ ρ udV = ∫ ⎟ ⎜ 4 π r dr − 3 3 ⎟ ⎜ 2 2 0 4 π a 3 8πε 0 ⎝ a a ⎠
3Q 2 = 16 πε 0 a 3
∫
a
0
2 ⎛ ⎞ r 3 2 r ⎜ ⎜ a − a3 ⎟ ⎟dr ⎝ ⎠
Q
a
3Q We = 20 πε 0 a
1 q2 = 2C
4 πε R1 R2 C= R2 − R1
思考: 半径为R、带电量为Q的均匀带电球面, 其静电能与球体 的静电能相比, 哪个大?
2 1 q we = ε E 2 = 2 8πε r 2
dWe = we dV
静电场的能量
We = ∫ we dV = ∫
计算电容量:
R2
R1
q2 q2 dr = 2 8πε r 8πε
⎛1 1 ⎞ ⎜ ⎜R −R ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1
q2 1 We = 2 4 πε R1 R2 R2 − R1
2
静电场的能量
解法二:
We = ∫ we dV = ∫0
=∫
a 2
a
∞1 1 2 ε 0 E1 dV + ∫ ε 0 E22 dV a 2 2
2
o
∞1 ⎛ Q ⎞ 1 ⎛ Qr ⎞ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ r r 4 π r dr 4 π d ε0⎜ ε + 0⎜ 3 ⎟ 2 ∫ ⎟ ⎜ a 2 2 ⎝ 4 πε 0 a ⎠ ⎝ 4 πε 0 r ⎠
1 2 We = ε E Sd 2
电容器体积: V = Sd
静电场的能量
Hale Waihona Puke 电场的能量密度: 单位体积电场所具有的能量
第十章 静电场中的能量
第十章静电场中的能量B．A点的电势为，电场强度为；C．B点的电势为，电场强度为；D．A点的电势为，电场强度也为。
答案：ABD二、XXX答题1.静电场中的能量是如何计算的？静电场中的能量可以通过电场中电荷所具有的电势能来计算。
在电场中，电荷由高电势能处移动到低电势能处，电势能的差值就是电荷所具有的动能。
根据能量守恒定律，电荷的动能减少的同时，电场中的能量会增加。
因此，静电场中的能量可以表示为电荷在电场中移动所释放的电势能总和。
2.电势能和电势的区别是什么？电势能是指电荷在电场中由于位置发生变化而具有的能量。
电势是指电场中某一点的电势能与单位正电荷之间的比值，也可以理解为单位电荷在该点所具有的电势能。
电势能是一种物理量，而电势是一种描述电场性质的物理量。
3.什么情况下电势差为零？电势差是指两点间电势的差值。
当两点间的电势相等时，电势差为零。
在静电场中，如果两点间的电场强度和距离都相等，则两点间的电势相等，电势差为零。
此外，在一些特殊情况下，如电荷分布对称、电场中存在等势面等情况下，也可能出现电势差为零的情况。
B。
在点A处，正试探电荷的电势能较高，受到的静电力的方向是向右的。
C。
将正试探电荷从点O移动到点A需要克服静电力做功。
D。
当将同一正试探电荷从点O和点B移动到点A时，后者的电势能变化更大。
8.电子在经过点A时具有4.8×10^-17J的电势能和3.2×10^-17J的动能，在经过点B时，它的电势能降至3.2×10^-17J。
如果电子只受到静电力作用，则：B。
从点A到点B的静电力做功为100eV。
C。
在点B处，电子的动能为1.6×10^-17J。
9.在图中，C点是线段AB的中点，A和B处的等势线分别为30V和10V。
因此，C点的电势φc：A。
φc=20V。
10.在图中，点电荷Q产生了电场，M、N、P和F是四个点，其中M、N、P是直角三角形的三个顶点，F是MN的中点，∠M=30°。
静电场的能量
静电场的能量静电场是由带电粒子或物体周围的电场引起的一种现象。
静电场能量是指由静电场所包含的能量。
一、静电场的基本概念和特性静电场是由电荷之间的相互作用形成的，并且与电荷的位置关系也有关。
在静电场中，电荷会产生电场，而这个电场也会对其他电荷产生作用力。
静电场的特性有以下几点：1. 静电场的力是作用在电荷上的，而非自身的静电场或电荷本身。
2. 静电场的力是由电荷之间的相互作用引起的，其大小与电荷的数量和距离有关。
3. 静电场是一个矢量场，具有方向和大小。
4. 静电场的能量分布不均匀，通常集中在离电荷较近的地方。
二、静电场能量的计算静电场的能量可以通过以下公式进行计算：E = (1/2) * ε * V^2其中，E表示静电场的能量，ε表示真空介电常数，V表示电场的电压。
静电场的能量与电场的电压平方成正比，而与电场的介电常数成正比。
因此，当电场的电压或介电常数增加时，静电场的能量也会增加。
三、静电场能量的应用静电场的能量在现实生活中有广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 静电能量在静电喷涂中的应用：静电喷涂是一种利用静电场将涂料均匀喷涂在物体表面的技术。
通过给喷涂液体带上电荷，使其在喷枪离开物体表面时形成一个带电雾状的状态，然后利用静电场将涂料吸附在物体表面上，从而实现均匀喷涂。
2. 静电能量在电子设备中的应用：静电场能够对微小的物体产生引力或斥力，这一特性被应用在电子设备中，如打印机、复印机等。
通过静电场的作用，可以将墨粉、纸张等粘附在特定位置，实现打印或复印的功能。
3. 静电能量在高压输电中的应用：在高压输电线路中，由于导线带有电荷，会形成强大的静电场。
这种静电场的能量会导致电线周围的空气分子离子化，形成电晕放电现象。
因此，在高压输电线路中需要采取相应的措施来减少静电场的能量损耗，提高输电效率。
综上所述，静电场能量是由静电场所包含的能量。
通过计算静电场能量的公式可以了解到静电场能量与电场的电压平方和介电常数的关系。
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W12q1V112q2V2
状态a
q1 r q2
1
W 2
i
qiVi
点电荷系
Vi
除 q i 以外的电荷在 q i 处的电势
-- 精品--
若带电体连续分布
W 1 dqV 2 Q
dq
V: 所有电荷在dq 处的电势
如均匀 带电球面 带电量 Q半径 R
静电能
W 1 dq Q
2Q 40R
Q2
80 R
-- 精品--
它浸没在相对介电常量为 r 的无限大各向同性
匀电介质中，这时它的静电能量
W =________W__0___r___．
-- 精品--
2. 如图所示, 一球形导体，带有电荷q，置于一任
意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，
则与未连接前相比系统静电场能量将
(A) 增大．
(B) 减小．
(C) 不变．
WW e2 Q C 2 1 2QU 1 2C2 U
-- 精品--
二、静电场的能量
1、讨论：充电电容器所储存的能量谁是其携带者？
We
1 CU 2 2
设此电容器是一个平行平板电容器则有：
W e 1 2 C U 2 1 2d S (E d ) 2 1 2E 2 (S d ) 1 2E 2 V
上述分析表明：电场具有能量。它是静电场本身 所具有的能量。
保持不变，并把它浸没在相对介电常量为 的无r
限大的各向同性均匀液态电介质中，问这时电场总 能量有多大？
解：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电 位移矢量 D保持不变，
又 w 1 2D E 2 1 0rD 21 r2 10D 0 2w r 0
因为介质均匀，∴电场总能量 WW0/r
-- 精品--
1. 一个带电的金属球，当其周围是真空时， 储存的静电能量为W0，使其电荷保持不变，
0 ++++++++++
E0
-0 - - - - - - - - - -
W0
Q2 2C 0
0 + + + + ++ + + + + +
r
E
-0 - - - - - - - - - - -
W
Q2 2C
Q2 2 rC 0
W0 r
-- 精品--
平行板电容器充电后未与电源断开 U 不变
0 ++++++++++
-- 精品--
2. 能量密度
We
1 CU2
2
1 E 2V
2
电场能量密度
we W V1 2E2
1ED 2
电场空间所存储的能量
W eVwedVV1 2E2dV
-- 精品--
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为
和 R 1 ，所R带2 电荷为 ．若 Q在两球壳间充以电容率
为 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？
解：两球壳间的电场强度为
E
1
4π
Q r2
we 1 2E232π Q22r4
-- 精品--
R1 dr
r
R2
we
1
2
E2
32πQ22
r4
变量
dW e wedV8π Q 2r2dr
R1 dr
r
R2
W ed W e8 Q π 2 R R 1 2d rr 28 Q π 2(R 1 1R 1 2)
-- 精品--
K 。a
εC
K 。b
K打到a电容器充电
R K打到b，电容器放电， 灯泡R发出强闪光
-- 精品--
根据功能原理充电后电容
器所储存的能量应等于外力
搬运电荷过程中所做的功。
+ + + + + + + + +
dWUdqqdq C
U
E
+
- - - - - - - - - dq
W
1 C
Q
0 qdq
Q2 2C
r
WAq1 q2E1 dl q2 E1 dl
r
V1q2
q1q 2
4 0 r
q1在q2处产生的电势
-- 精品--
W q2q1
4 0r
1 2q14q20 r1 2q2
q1
40 r
状态a
q1 r q2
1
1
2q1V1 2q2V2
q1在q2处产生的电势
q2在q1处产生的电势
-- 精品--
q
(D) 如何变化无法确定．
-- 精品--
答案B
3. 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后 在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则 电场强度的大小E、电容C、电压U、电场能量W 四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小 (↓)的情形为
(A) E↑，C↑，U↑，W↑． (B) E↓，C↑，U↓，W↓． (C) E↓，C↑，U↑，W↓． (D) E↑，C↓，U↓，W↑．
-- 精品--
0 ++++++++++
E0
-0 - - - - - - - - - -
0 + + + + ++ + + + + + r E
-0 - - - - - - - - - - -
C C0 Q 不变
1 U r U0
E E0 r
We Q 2C2 12QU12CU 2
(B) E↓，C↑，U↓，W↓．
E0
-0 - - - - - - - - - -
0 + + + + ++ + + + + +
r
E
-0 - - - - - - - - - - -
-- 精品--
答案B
3. 一空气电容器充电后切断电源，电容器储能W0，
若此时在极板间灌入相对介电常量为 的煤r 油，
则电容器储能变为W0的________1___r 倍．如果灌煤
油时电容器一直与电源相连接，则电容器储能将是
W0的__________r__倍．
-- 精品--
平行板电容器充电后与电源断开 Q 不变
如均匀 带电球体 带电量 Q半径 R
静电能
W
1 dqV 2 Q
3Q 2
20 0 R
真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半 径和总电量都相等，则带电球面的电场能量W1与 带电球体的电场能量W2相比，W1 ________W2
（填＜ 、＝、＞）。
-- 精品--
§6-4 -2 电容器的能量 一 充电电容器的储能 1 充电电容器储存有能量的实验验证
§6-4 静电场的能量
§6-4-1 点电荷系的静电势能
状态a
以两个点电荷系统为例 想象q1 q2 初始时相距无限远
q1 r q2
第一步 先把q1摆在某处 外力不作功
第二步 再把q2从无限远移过来 使系统处于状态a
-- 精品--
使系统处于状态a，
状态a
外力克服q1的场作功等于该 q1 r q2
带电系统静电能的增加
We 8Q π2(R 11R 12)1 24πQR 22R1
R2R1
讨论
（1）W e
Q 2
2
C
C
4π
R2R1 （球形电容器电容） R2 R1
（2）以上为求电容器电容的第二种方法，即先求 能量，再求真空中充电达某一电势值， 其电场总能量为W0．若断开电源，使其上所带电荷