第第二章静电场与恒电场

q (1 1) 4 0 r1 r2
r1
(r 2
l2 4
rl cos )1/ 2
r2
(r 2
l2 4
rl cos )1/ 2
r1 P
+q
r
θ
l r2
O
-q
图2-10 切向边界 条件
由于r l ，所以将 r1, r2 展开并略去高阶项，得
r1
r(1
l r
cos )
r2
r (1
l r
cos )
❖ 导体内净电荷密度，任何净电荷只能分布在导体表 面上（包括空腔导体的内表面）。静电平衡条件还 要求导体表面上场强的切向分量 Et 0 ，否则，电荷
将在的 Et作用下沿导体表面运动。
因此，导体表面只可能有电场的法向分量，即电场
E必垂直于导体表面。其中导体表面的场强与导体
表面的面电荷密度的关系为
En
❖ 体电荷密度的定义为
(r) lim q
V 0 V
体电荷密度的单位为：C / m3 。
❖ 电荷面密度为：
S
(r
)
lim
S 0
q S
（2-7） （2-8）
其单位为C：/ m2 。
❖ 电荷线密度为：
l
(r
)
lim
l 0
q l
其单位为：C / m 。
（2-9）
❖ 引入连续分布电荷概念后，也可将点电荷当作分布 电荷看待，其体密度为无穷大，
S' 4 0 R2
（2-11）
E(r) l (ri ')l'eRi l (r')eR dl'
i1 4 0 Ri 2
l' 4 0 R 2
（2-12）
【例2-1】 已知一个半径为a的均匀带电圆环，求轴
线上任意一点的电场强度。
【解】选择圆柱坐标系，如图2-3，圆环位于xoy平 面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为l 。 则
❖ 3. 电偶极子
在极化了的电介质中，每个分子都起着电偶极子的 作用。因此从微观上讨论电偶极子的场是很有必要 的。电偶极子是指由间距很小的两个等量异号点电 荷组成的系统，如图2-6所示。
❖ 电偶极子的远区场
取电偶极子的轴与z轴重合，
电偶极子的中心在坐标原点。
则电偶极子在空间任意点P的
电位为 ❖ 其中：
V 0 V
（2-29）
❖ 若p是体积中的平均偶极矩，是分子密度，则极化 强度也可表示为
PNp
（2-30）
5. 极化介质产生的电位
❖ 当介质极化后，可等效为真空中一系列电偶极子。 极化介质产生的附加电场，实质上就是这些电偶极 子产生的电场，如图2-8所示。
❖ 在极化强度为P的电介质中取一体积元 dV' ,则 dV'中的
变换为
(r) 1 ' P(r')dV ' 1 'P(r') dV '
4 0 V '
R
4 0 V ' R
1 P(r') dS' 1 'P(r') dV '
4 0 S ' R
4 0 V ' R
1
SP dS' 1
P dV '
4 0 S ' R
4 0 V ' R
（2-31）
❖ 将上式与自由电荷和 s等效面电荷密度分 别为
cE dl 0
（2-14）
❖ 表明静电场是无旋场（保守场），电场强度E沿任 一闭合曲线的线积分均恒为零，静电场中不存在旋 涡源。
二、电位
Q dl
❖ 由于静电场的无旋性，电场 强度可用标量函数完整的描 述静电场的特性，即
E C
E(r) (r)
(2-15)
❖ 该标量函数称为电位（电势），
P
图2-4 静电场中的电 位
n
s 0
（2-24）
二、静电场中的电介质
❖ 1. 电介质
电介质与导体不同，它的原子核与周围的电子之间 相互作用力很大，所有的电子均被束缚在原子核周 围，没有可自由运动的自由电荷。因此在电场的作 用下，唯一可能存在的运动，就是正负电荷向相反
方向产生微小位移，从而形成极化电荷。这些极化
电荷构成了新的附加场源，使原电场的分布发生变 化。因而有必要单独加以讨论。
0
1 36
10 9
8.854 1012 (F
/ m)
◆库仑定律揭示的意义
❖ 真空中两个静止点电荷之间的相互作用力F的大小 与它们的电量和的乘积成正比；与它们之间的距离 的平方成反比；力的方向沿着它们的连线，同号电 荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。
◆ 库仑定律只能直接用于点电荷
❖ 点电荷，指当带电体的尺度远远小于它们之间的距 离时，将其电荷集中于一点的理想化模型。实际带 电体分布在一定的区域内，称为分布电荷。
（2-28）
❖ 电偶极子的场图如图2-7所示。
图2-7电偶极子的场图
4．极化强度
z
❖ 为定量地计算介质极化的
dV (r)
影响，引入极化强度矢量 P，以及极化电荷密度的 概念。
r
0 x
R
P
r
y
极化强度P定义为：在介
图2-10 切向边界条件
质极化后，给定点上单位体积内总的电偶极矩，即
P lim pi
(r') dV '
V ' 4 0 R
s (r')dS'
S ' 4 0 R
l (r') dl'
l'4 0 R
（2-19） （2-20） （2-21） （2-22） （2-23）
2.3 静电场中的导体与电介质
一、静电场中的导体
❖ 导体是一种拥有大量自由电子的物质，如金属。在 静电场中，导体内的自由电子会在静电力的作用下， 做反电场方向的运动，直至积累在导体表面的电荷 产生的附加电场在导体内处处与外加电场相抵消， 此时导体内净电场为零（即静电平衡状态）。由 知，E 导体中 0的电位为常数，导体为等位体，导体表 面是等位面。
❖ 按照介质分子内部结构的不同，可将其分为两类： 一类是非极性分子，它的正负电荷的电中心重合， 偶极矩为零。另一类是极性分子，其正负电荷的电 中心不重合而，具有固有偶极矩。但由于分子的热 运动，它们的排列是随机的。在没有外加电场时， 从整体上看呈电中性，即总的偶极矩为零。此外， 还有部分介质是由离子组成的。我们主要讨论由分 子组成的介质。
电偶极矩为PdV，' dV'中的电偶极子在介质外r处产生的
电位是
d(r) P(r')dV 'eR 4 0 R 2
整个极化介质产生的电位是
(r) P(r')dV 'eR P(r') '( 1 )dV '
V ' 4 0 R 2
V ' 4 0
R
❖ 利用矢量恒等式：
'( A) 'A A '
(z2 a2 )3/2
ad'
a l 2 0
(a 2
z z2 )3/2
ez
z
P
z
R
o a
x
y dq
图2-3 带均匀线电荷的圆环
2.2 电位
一、静电场的无旋性
❖ 根据体电荷的场强表达式来推导静电场的旋度。
E(r) (r')eR dV '
V ' 4 0 R 2
1 (r')( 1 )dV '
4 0 V '
R
1 (r')
4
0
V'
R
dV '
(r)
❖ 式中，括号内的函数是一个标量函数，这表明电场 强度E可以用一个标量函数的梯度来表示。对上式 两边同时取旋度
E ()
由矢量分析中的零恒等式 0 知，静电场的旋
度恒为零，即
E 0
（2-13）
❖ 由斯托克斯定理知 cE dl s E·dS 0
叠加。即
E(r)
n i 1
Ei (r)
n i1
qi
4 0
Ri
2
e
Ri
（2-6）
❖ 电子是自然界中最小的带电粒子之一，任何带电体 的电荷量都是以电子电荷量的整数倍数值量出现的。 从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间的。 但从工程或宏观电磁学的观点上看，大量的带电粒 子密集地出现在某空间体积内时，可以假定电荷以 连续分布的形式充满于该体积中。基于这种假设， 我们用电荷体密度（即体电荷密度）来描述电荷在 空间的分布.
1），可以得到位于点处的点电荷在处产生的电场
强度为
z
（2-4） E(r)
q 4 0 R 2
eR
qR 4 0 R3
(x’,y’,z’)
R
r’
(x,y,z)
将电荷所在点称为“源点”，
r
O
y
源点的位置用带撇号的坐标
x
或位置矢量表示
图2-2 场点和源点
❖ 将观察点称为“场点”，场点的位置用不带撇号的
坐标(x, y, z) 或位置矢量表示。则源点到场点的距离矢
若选择Q点为电位参考点，则场域内任一点P的电位
为
Q
p
E dl
P
（2-17）
❖ 当电荷分布在有限区域时，通常取无穷远为参考点，
即
p
E dl
P
（2-18）
由式（2-18）可推导出不同电荷产生的电位的表达 式
❖ 点电荷 ❖ 点电荷系 ❖ 体电荷 ❖ 面电荷 ❖ 线电荷