大学物理习题--8.静电场和稳恒电场

习题八

8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系

? 解: 如题8-1图示

(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷

2

220)3

3(π4130cos π412a q q a q '=︒εε

解得 q q 3

3-

=' (2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2

图所示．设小球的半径和线的质量都可

解: 如题8-2图示

⎪⎩

⎪

⎨⎧

===220)sin 2(π41

sin cos θεθθl q F T mg T e

解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2

04r

q E πε=

，当被考察的场点距源点电荷很近(r

→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解

解: 02

0π4r r q E

ε=

仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电

荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =

2

024d q πε,又有人

说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 02

ε．试问这两种说法对吗?为什么?

f 到底应等于多少

?

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S

q

E 0ε=

看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S

q E 02ε=

，另一板受它的作用

力S

q S q

q f 02

022εε=

=，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r

与l

的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为

r E =

302cos r p πεθ, θ

E =304sin r p πεθ

证: 如题8-5所示，将p

分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r

的分量

θsin p ．

∵ l r >>

∴ 场点P 在r 方向场强分量

30π2cos r p E r εθ

=

垂直于r 方向，即θ方向场强分量

3

00π4sin r

p E εθ

=

题8-5图 题8-6图

8-6 长l =15.0cm AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m

-1

正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强． 解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为

2

0)

(d π41d x a x

E P -=

λε 2

22

)

(d π4d x a x

E E l l P P -=

=⎰

⎰-ελ

]2

12

1[π40

l a l a +

--=

ελ

)

4(π2

2

0l a l

-=

ελ

用15=l cm ，9100.5-⨯=λ1

m C -⋅, 5.12=a cm 代入得

21074.6⨯=P E 1C N -⋅ 方向水平向右

(2)

22

20d d π41d +=

x x

E Q λε 方向如题8-6图所示

由于对称性⎰=l

Qx E 0d ，即Q E 只有y 分量，

∵ 2

2

2

222

20d

d d d π41d ++=

x x x

E Qy

λε

2

2π4d d ελ⎰==l

Qy

Qy E E ⎰

-+22

2

3

222)

d (d l l x x

22

2

0d

4π2+=

l l

ελ

以9

10

0.5-⨯=λ1cm C -⋅, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得

21096.14⨯==Q y Q E E 1C N -⋅，方向沿y 轴正向

8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强．

解: 如8-7图在圆上取ϕRd dl =

题8-7图

ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为

2

0π4d d R

R E εϕ

λ=

方向沿半径向外