2016秋九年级数学下册27相似小专题(四)相似三角形的判定与性质练习(新版)新人教版

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人教版数学九年级下册数学：第27章相似专题练习(附答案)

专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似．理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ，要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO，即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ，而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ，即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC，即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF . ∴DF ＝FA2FE＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB∥PD，∴OD⊥PD.∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，∴∠PAD＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，∴△PAD∽△DBC.5．证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.∵PC是⊙O的切线，∴∠BCP＝∠CAN.∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA.∴CBAM ＝CPAN，即AM·CP＝AN·CB.6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC. 又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。

人教新版数学九年级下册《相似》习题含答案

人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。

人教九下数学第27章相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)

人教九下数学第27章相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ；（3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。

九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定同步练习新版新人教版

相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图第2题图第3题图4．如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝．第5题图第6题图第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是；若6DE =，则BC =第9题图第10题图第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。

九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质拓展练习(pdf)(新版)新人教版

△煸‫ک‬䁠的周长=1,∴△DEF 的周长为 7.5;如果 2 与 5 是对应边,则△DEF 的周长∶△ABC 的周长
4+5+6 2
=2∶5,即△煸‫ک‬䁠的周长=2,∴△DEF 的周长为 6;如果 2 与 6 是对应边,则△DEF 的周长∶△ABC
4+5+6 5
的周长=2∶6,即△煸‫ک‬䁠的周长=1,∴△DEF 的周长为 5.故选 D.
核心素养全练
拓展训练
1.答案 C ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∵点 E 是 AB 的中
点,∴BE=1AB=1CD.∵AB∥CD,∴△BEF∽△DCF,∴‫ک‬䁠= 䁠=
22
䁠煸䁠
煸‫=ک‬12.∵S△BEF=1,∴S△DEF=2,∴S△BDE=3,
∴S△ABD=6,∴S▱ABCD=12.故选 C. 2.答案 y=4.8x-0.48x2 解析如图,作 AH⊥BC 于点 H,交 DG 于点 P.
份,则图中阴影部分的面积与△ABC 的面积的比是
.
4.(2019 江苏镇江丹阳一模,10,★★☆)如图,在△ABC 中,AC>AB,点 D 在 BC 上,且 BD=BA,∠ABC 的平
分线 BE 交 AD 于点 E,点 F 是 AC 的中点,连接 EF.若四边形 DCFE 和△BDE 的面积都为 3,则△ABC
果△ABC,△EBD,△ADC 的周长分别记为 m,m1,m2,则 1+ 2的最大值是
.
三年模拟全练
拓展训练
1.(2019 黑龙江哈尔滨道里期末,5,★★☆)如图,△ABC∽△ADE,且 BC=2DE,则 △ 煸‫ ک‬的值为
四边形 ‫ک‬煸

部编数学九年级下册27.2相似三角形同步练习新人教版含答案

27.2　相似三角形专题一相似形中的开放题1．如图，在正方形网2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a ，弧长为m ，另一个半径为2a ，则它的弧长为；(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图1 图2专题五相似形中的操作题7．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ．请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．2158．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= DB，请给予证明．专题六相似形中的综合题9．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．（1）求证：是的中点；（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ；（3）若，且AC =4，求CF 的长. 【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】21=∆∆OCD CEF S S1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1．或【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC ， ∵∠A=∠A ，∴若△ADE∽△ABC 时，，即，解得AE =.若△ADE∽△ACB 时，，解得AE=.∴当AE =或时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．2．解：（1）△ADE∽△ACB ，△CEF∽△DBF ，△EFB∽△CFD (不唯一). （2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A ，∴△ADE∽△ACB ; ∴=.∵ ∠A=∠A ， ∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BCE =180°，∠BCE+∠ECF =180°，∴∠ECF=∠BDF ，又∠F=∠F ，∴△CEF∽△DBF ;∴=，而∠F=∠F ，∴△EFB∽△CFD .3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB ＝∠COD,∴△AOB∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2＝a －nb 2.4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm ，．设矩形纸条的长边分别与AC 、AB 交于点M 、N ，因为△AMN ∽△ACB ，所以．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26． 5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5．因为×5CN=×3×4，所以CN=．224226AC AE AB AD =2631AE =22AB AE AC AD =3AE =422242AC AD ABAE BF EF DFCF 40(cm)BC ==BC MN AC AM =4053030≥-n 2121512因为GF∥AB ，所以∠CGF=∠A ，∠CFG=∠B ，所以△CGF∽△CAB ，所以．设正方形的边长为x ，则，解得．所以正方形的边长为．（2）同（1），有，解得．（3）同（1），有，解得．（4）同（1），有，解得． 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则=,∴x =2m.(3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°.设新做扇形的半径为，则=，=15，即新做扇形的半径为15㎝.7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N为BC 的中点，∴.在Rt△DNC 中，∵NE=ND ，∴.∴，故矩形DCEF 为黄金矩形.8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，∴∠B =∠D . ∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，∴BF =DF .∵∠HFG =∠B ，∴∠GFD =∠BHF ，∴△BFH∽△DGF ，∴ ，∴BH•GD =BF 2.（2）证明：∵AG∥CE ，∴∠FAG∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=DB ，9．210．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵OD ∥BC ，∴AE ⊥OD ，∴D 是⌒A E 的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC .ABGF CN CM =1251255x x -=3760=x 376012251255x x -=4960=x 12351255x x -=6160=x 1251255x nx -=nx 122560+=a a 2xm γ230γæöç÷èø21γ2212NC BC a ==.ND ==1)CE NE CN a =-=-2152)15(-=-=a a CD CE BF BH DG DF=∴∠AGD=∠B .∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO . ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 方法二：证明：如图，延长AD 交BC 于H ，则∠ADO=∠AHC .∵∠AHC=∠B +∠BAD ，∴∠ADO =∠B +∠BAD . ∵OA=OD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD .（3） ∵AO=OC ，∴.∵，∴. ∵∠ACD=∠FCE ，∠ADC=∠FEC =90°，∴△ACD∽△FCE . ∴，即，∴CF =2. 12OCD ACD S S ∆∆=12CEF OCD S S ∆∆=14CEF ACD S S ∆∆=2CEF ACD S CF S AC ∆∆æö=ç÷èø2144CF æö=ç÷èø。

相似三角形的性质与判定练习题含答案

和
相似．
，点 p 在 BD 上移动，
【答案】或 12cm 或 2cm
【解析】解：由
，
，
，
设
，则
，
若
∽
，
则
，
即
，
变形得：
，即
，
因式分解得：
，
解得：
，
，
所以
或 12cm 时，
∽
；
若
∽
，
则
，
即
，解得：
，
，
综上，
或 12cm 或时，
∽
．
故答案为：或 12cm 或 2cm．
设出
，由
表示出 PD 的长，若
．
综上所述，当
或时，
与
相似．
故答案为或．
19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，AC
与 DE 相交于点 F，若
，
，则
等于_____．
20.
21.
【答案】11
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形
的相似条件，然后利用其性质即可求解由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以得到
根据对称性可知：
，
∽
，根据相似的性质可得出：
，又，
，所以，在
中，由勾股定理可求得 AC 的值，
，
【解答】
解：设 BE 的长为 x，则
、
在
中，
，将这些值代入该式求出 BE 的值．
，
∽
两对对应角相等的两三角形相似
，故选：C．
，
，

九年级数学下册第27章相似27-2相似三角形1-4用两角的相等关系判定三角形相似新版新人教版

2 [2023·东营]如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°，若BD＝4DC，DE＝ 2.4，则AD的长为( ) A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【点拨】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°. ∴∠CAD＋∠ADC＝120°. ∵∠ADE＝60°， ∴∠BDE＋∠ADC＝120°.∴∠CAD＝∠BDE. ∴△ADC∽△ DEB．∴ADDE＝DACB.
6 [2023·邵阳]如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6， DE＝4.
(1)证明：△ABC∽△DEB．【证明】∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°. ∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°. ∴∠C＝∠DBE. 又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEB．
又∵CN＝CN，∴△NCG≌△NCM(SAS)，
∴∠MNC＝∠GNC．
∵∠CNA＝∠CEF，∴∠CNM＝∠CEF.
又∵∠ECF＝∠NCM，
∴△ECF∽△NCM，∴NEMF ＝NECC.
∵NECC＝
22，∴NEMF ＝
2 2.
(2)求线段BD的长. 【解】∵△ABC∽△DEB， ∴BADC＝DABE，即B6D＝84，解得 BD＝3.
7 [2022·东营]如图，点 D 为△ABC 的边 AB 上任一点，DE
∥BC 交 AC 于点 E，连接 BE，CD 相交于点 F，则下列
等式中不成立的是( )
A．ADDB＝AEEC C．DBCE＝AEEC
【点拨】
由旋转的性质得到∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE， AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，得出 ∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判断结论② 正确；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出 △AFE∽△DFC，可判断结论①正确；由∠BAC＝ ∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的性质得出∠FAE＝∠CDF，进而得出 ∠BAD＝∠CDF，可判断结论③正确．【答案】D

九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形的性质作业4新版新人教版(含参考答案)

九年级数学下册第二十七章相似:相似三角形应用举例1．利用标杆测物体的高度时，标杆要与地面垂直，观察者的眼睛必须与标杆的顶端和物体的顶端“三点一线”．需要测出的量有________，________，________，________．2．利用镜子测物体的高度时，要用到光线的反射角等于入射角的知识，这可以作为一个已知条件，需要测量的量有________，________，________．3．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙1.6米，梯上的点D距离墙1.4米，BD 的长是0.55米，则梯子的长为( )A．3.85米B．4米C．4.4米D．4.5米4．如图，甲、乙两楼相距20m，甲楼高20m，小明站在距甲楼10m的A处目测到点A与甲、乙两楼楼顶B.C刚好在同一直线上．若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是________m．5．如图，零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量零件的内孔直径AB，量得CD＝10mm．若OC︰OA＝1︰2，则零件的厚度x＝________mm．6．小敏用以下方法来测量教学楼AB的高度(如图)．在水平地面上放一面平面镜，与教学楼的距离AE＝21m，当她与镜子之间的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜中看到教学楼的顶端B，已知她眼睛距地面的高度DC＝1.6m．请帮助小敏计算出教学楼的高度AB．7．某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时的影长为1.5m，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，还有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21m，落在墙上的影长为2m(如图)，求旗杆的高度．8．如图，小明在C处看到甲、乙两楼楼顶上的点A和点E．C.E.A三点在同一直线上，点B.D分别在点E.A的正下方，且D.B.C三点在同一直线上，B.C两点相距20米，D.C两点相距40米．乙楼的高BE为15米，则甲楼的高AD为( )A．40米B．20米C．15米D．30米9．如图，有一个测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为18cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对应量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE的长度是________．10．如图，甲、乙两盏路灯相距20m，一天晚上，当小刚(CD)从路灯甲走到距路灯乙底部4m 处时，发现自己的影子顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小刚的身高为 1.6m，那么路灯甲的高为________m．11．如图，为了测量学校旗杆AB的高度，班长小颖带领兴趣小组的同学在距离旗杆20m的D处竖立了一根长3m的标杆CD，然后后退5m到F处，看见标杆恰好完全遮住了旗杆．若小颖的眼睛E距地面的高度为1.5m，求旗杆的高度．12．我们知道，当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观看装饰画时的示意图．此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画的中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的长度AD为0.66米，求装饰画顶部到墙壁的距离DC(结果精确到0.01米)．13．如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲、乙在操场上C处竖立了一根3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，测得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5m．丙在C1处也竖立了一根3m高的竹竿C1D1，乙从E处后退6m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，测得C1E1＝4m，求旗杆AB的高．参考答案1．观察者眼睛距地面的高度标杆的高度观察者到标杆的水平距离标杆到物体的水平距离2．观察者眼睛距地面的高度观察者到镜子的距离镜子到物体的距离3．C4．605．2.56．由题意，得∠BEF＝∠DEF，∠AEF＝∠CEF，∴∠BEA＝∠DEC．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴∠BAE＝∠DCE＝90°．∴△BAE∽△DCE．∴AE ABCE CD=．又∵AE＝21m，CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴AB＝13.44m．∴教学楼的高度AB是13.44m7．如图，设旗杆为AB，落在墙上的影子为CD，AC.BD的延长线交于点E．由题意，得11.5 CDDE=，CD＝2m，解得DE＝3m．∴BE＝BD＋DE＝24m．∵△ABE∽△CDE，∴AB BE CD DE=，即11.5AB CDBE DE==．AB＝16m．∴旗杆的高度为16m8．D9．12cm10．811．过点E作EG∥BF，交CD于点H，交AB于点G，则EH＝FD＝5m，HG＝BD＝20m，GB＝HD ＝EF＝1.5m，CH＝3－1.5＝1.5(m)．∵CH∥AG，∴∠EHC＝∠EGA．∵∠CEH＝∠AEG，∴△EHC ∽△EGA．∴EH CHEG AG=．∴1.5(205)7.55CH EGAGEH⨯+===(m)．∴AB＝AG＋BG＝7.5＋1.5＝9(m)．∴旗杆的高度为9m12．由题意，得AD＝0.66米，且E是AD的中点，∴10.332AE AD==米．∵∠CAD＋∠BAE＝90°，∠B＋∠BAE＝90°，∴∠CAD＝∠B．又∵∠DCA＝∠AEB＝90°，∴△ACD∽△BEA．∴CD ADEA BA=，即0.660.33 1.60CD=．∴CD≈0.14米．∴装饰画顶部到墙壁的距离DC约为0.14米13．连接F1F，并延长F1F与AB.CD.C1D1分别交于点G、M、N．设BG＝xm，GM＝ym．∵MD ∥GB，∴△FDM∽△FBG．∴MD MFGB GF=，即3 1.533x y-=+①．又∵ND1∥GB，∴△F1D1N ∽△F1BG．∴111ND F NGB F G=，即3 1.5463x y-=++②．由①、②组成的方程组，解得9,15.xy=⎧⎨=⎩∴AB＝BG＋AG＝9＋1.5＝10.5(m)，即旗杆AB的高为10.5m。

秋九年级数学下册 27 相似小专题(四)相似三角形的判定与性质练习 (新版)新人教版-(新版)新人教

小专题(四) 相似三角形的判定与性质1．如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，要使△ABC ∽△CAD ，只要CD 等于( ) A.b 2c B.b 2a C.abc D.a 2c2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是( ) A ．∠BAC ＝∠ADC B ．∠B ＝∠ACD C ．AC 2＝AD ·BC D.DC AC ＝AB BC3．如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB.若NF ＝NM ＝2，ME ＝3，则AN ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，在正方形网格上的三角形①，②，③中，与△ABC 相似的三角形有____________个．5．如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有____________对．6．(某某中考)如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于点M ，交AD 的延长线于N ，则1AM ＋1AN＝ ____________.7．(某某中考)如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为____________．8．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交边BC 于点E ，连接BD. (1)根据题设条件，请你找出图中所有的相似三角形； (2)请选择其中的一对相似三角形加以证明．9．(某某中考)如图，在△ABC 中，点P 是BC 边上任意一点(点P 与点B ，C 不重合)，▱AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．已知BC ＝2，S △ABC ＝1.设BP ＝x ，平行四边形AFPE 的面积为y. (1)求y 与x 的函数关系式；(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．10．平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(0，2)，B(1，0)，点P 是反比例函数y ＝－1x 图象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q.若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似，求满足条件的点P 的坐标．11．如图，在△ABC 中，AB ＝AD ，DC ＝BD ，DE ⊥BC ，DE 交AC 于点E ，BE 交AD 于点F.求证： (1)△BDF ∽△CBA ；(2)AF ＝DF.12．如图，BD 是⊙O 的直径，A 、C 是⊙O 上的两点，且AB ＝AC ，AD 与BC 的延长线交于点E. (1)求证：△ABD ∽△AEB ； (2)若AD ＝1，DE ＝3，求BD 的长．参考答案1．A 2.D 3.B 4.2 5.3 6.1 7.21 8．(1)△DBE ∽△DAB ，△DBE ∽△CAE ， △ABD ∽△AEC.(2)选择△ABD ∽△AEC ，证明如下： ∵DA 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠EAC. 又∵∠D ＝∠C ， ∴△ABD ∽△AEC.9．(1)∵四边形AFPE 是平行四边形， ∴PF ∥CA. ∴△BFP ∽△BAC. ∴S △BFP S △BAC ＝(x 2)2. ∵S △ABC ＝1，∴S △BFP ＝x 24.同理S △PEC ＝(2－x 2)2.∴y ＝1－x 24－4－4x ＋x24.∴y ＝－x22＋x.(2)y ＝－x 22＋x ＝－12(x －1)2＋12.当x ＝1时，y 有最大值，最大值为12.10．∵点P 在反比例函数y ＝－1x 图象上，∴设P(x ，y)．若△PQO ∽△AOB ，则PQ AO ＝OQ BO ，即y 2＝－x1.∵xy ＝－1，∴x ＝±22. ∴点P 的坐标为(22，－2)或(－22，2)．同理，若△PQO ∽△BOA ，求得点P 的坐标为(－2，22)或(2，－22)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(22，－2)，(－22，2)，(－2，22)或(2，－22)． 11．(1)∵BD ＝DC ， DE ⊥BC ，∴EB ＝EC.∴∠EBD ＝∠C. ∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABC. ∴△BDF ∽△CBA.(2)由(1)知，△BDF ∽△CBA ， ∴FD AB ＝BDCB. ∵AB ＝AD ，BD ＝12BC ，∴FD AD ＝12BC CB ＝12. ∴AF ＝DF.12．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵. ∴∠ABC ＝∠ADB. 又∵∠BAE ＝∠DAB ， ∴△ABD ∽△AEB.(2)∵△ABD ∽△AEB ，∴AB AE ＝ADAB .∵AD ＝1，DE ＝3，∴AE ＝4. ∴AB 2＝AD ·AE ＝1×4＝4.∴AB ＝2. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DAB ＝90°.在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝22＋12＝5，∴BD＝ 5.。

九年级数学下册知识讲义-27相似三角形的判定与性质(附练习及答案)-人教版

一、考点突破1. 理解相似三角形的定义，掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定方法和性质，能够运用三角形相似的条件和性质解决简单的问题。

2. 全等是相似的特例，是相似比为1的情况，因此在学习相似三角形时，应对照全等三角形来学，从而发现知识的内在结构、区别与联系，这对学透、学活知识是有很大帮助的。

二、重难点提示重点：掌握相似三角形的判定方法，会利用相似三角形解决简单的问题。

难点：准确运用两个三角形相似的条件，来判定三角形是否相似。

考点精讲一、平行线分线段成比例定理（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

如下图，直线l1∥l2∥l3，则：a b l1 l2l3A BC DEFABBCDEEF上下ABACDEDF上全BCACEFDF下全ABDEBCEF左右＝＝＝＝＝＝＝＝上下上全下全左右【核心归纳】常见类型：井型A型X型倒A型畸形思考：结合上图，说明定理和推论之间的关系。

二、相似三角形的判定和性质判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简单说：两角对应相等，两三角形相似。

若则（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

若：则（4）三边对应成比例，两三角形相似。

若：则（5）两个直角三角形，如果斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。

若：则性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

【规律总结】特殊三角形的相似：①所有的全等三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似。

典例精讲例题1在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似。

九年级数学下册第二十七章相似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质同步练习 (新版)新人教版

《27.2.2相似三角形的性质》分层练习一．基础题1.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，且C A AC ''=23，B ′D ′=4，则BD 的长为。

2.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，且AD=8 cm, A ′D ′=3 cm.，则△ABC 与△A ′B ′C ′对应高的比为。

3.两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________，这两个三角形的面积比为。

4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍。

5.已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为。

6.已知ABC A B C '''△∽△且1:2ABC A B C S S '''=△△:，则:AB A B ''= 。

7.在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（） A ．8，3 B ．8，6 C ．4，3 D ．4，68.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则DO AO等于（）A ．352B ．31C ．32D ．219.已知△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（） A.1：2 B.1：4 C.2：1 D.4：110.两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少？二．能力题11.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB=4，BC=5，AC=6，△A ′B ′C ′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A ′B ′C ′的周长是________。

秋九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质练习 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级下

27.2.2 相似三角形的性质基础题知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．(某某A 卷)已知△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为4∶1，则△ABC 与△DEF 对应边上的高之比为____________ .2．如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，AD ，A ′D ′分别是边BC ，B ′C ′上的中线，则AD∶A′D′＝____________.3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是____________，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm ，则另一个三角形对应角平分线长为____________．4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A′B′边上的中线，CD ＝4 cm ，C ′D ′＝10 cm ，AE 是△ABC 的一条高，AE ＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．知识点2 相似三角形周长的比等于相似比5．(西双版纳中考)如图，AB ∥CD ，AO OD ＝23，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是( )A.25B.32C.49D.236．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm ，且较小三角形的周长为15 cm ，那么较大三角形的周长为____________cm.7．已知△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的周长分别为20 cm 和25 cm ，且BC ＝5 cm ，DF ＝4 cm ，求EF 和AC 的长．知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．(某某中考)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A′B′C′面积的比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4 D ．4∶1 9．(某某中考)如图，在▱ABCD 中，点 E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( )A ．3∶4B ．9∶16C ．9∶1D ．3∶110．(某某中考)如图，点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶1中档题11．(某某中考)如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是( )A ．1∶16B ．4∶4C ．1∶6D ．1∶212．(某某中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，ADDB ＝12，则下列结论中正确的是( )A.AEAC ＝12B.DEBC ＝12C.△ADE的周长△ABC的周长＝13D.△ADE的面积△ABC的面积＝1313．(某某中考)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B，如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为( )A ．15B ．10 C.152D ．514．(某某中考)如图，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距离的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于点B ，E 和C ，F.若BC ＝2，则EF 的长是____________．15．(凉山州中考)在▱ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ∶S △COB ＝____________.16．如图，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积．综合题17．(某某中考)如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E 、H 分别在AB 、AC 上，已知BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm.(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．参考答案1．4∶1 2.3∶43.8∶9 274cm 4．∵△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A′B′边上的中线，∴AE A′E′＝CD C′D′.∴ 4.8A′E′＝410.∴A′E′＝12 cm.5．D 6.257．∵相似三角形周长的比等于相似比， ∴EF BC ＝2520.∴EF ＝54BC ＝54×5＝254(cm)．同理AC DF ＝2025，∴AC ＝45DF ＝45×4＝165(cm)．∴EF 的长是254cm ，AC 的长是165cm.8．C 9.B 10.B 11.D 12.C 13.D 14.5 15.19或4916.(1)证明：∵DC＝AC ，CF 平分∠ACB， ∴AF ＝DF.又∵点E 是AB 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线．∴EF ∥BD ，即EF∥BC.(2)由(1)知，EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴S △AEFS △ABD ＝(AE AB)2.又∵点E 是AB 的中点，∴AE AB ＝12.∴S △AEFS △ABD ＝14.∴S △AEF ＝14S △ABD .∴S △ABD －6＝14S △ABD .∴S △ABD ＝8.17．(1)证明：∵四边形EFGH 是正方形， ∴EH ∥BC ，∴∠AEH ＝∠B，∠AHE ＝∠C，∴△AEH ∽△ABC.(2)设AD 与EH 交于点M.∵∠EFD ＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM 是矩形，∴EF ＝DM ，设正方形EFGH 的边长为x. ∵△AEH ∽△ABC ，∴EH BC ＝AM AD ， ∴x 40＝30－x 30，∴x ＝1207， ∴正方形EFGH 的边长为1207cm ，面积为14 40049cm 2.。

九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质同步练习(新版)新人教版

27.2.2 相似三角形的性质1．若△ABC ∽△A`B`C`，则相似比k 等于（）A ．A`B`:AB B ．∠A: ∠A`C ．S △ABC ：S △A`B`C`D ．△ABC 周长：△A`B`C`周长2．把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的（）A ．10000倍B ．10倍C ．100倍D ．1000倍3．两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（）A ．2:3B ．3：2C ．9：4D ．不能确定4．把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的（）A ．49倍B ．7倍C ．50倍D ．8倍5．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积和为78cm 2，那么较大多边形的面积为（）A ．46.8 cm 2B ．42 cm 2C ．52 cm 2D ．54 cm 2 6．两个多边形的面积之比为5，周长之比为m ，则m5为（） A ．1 B ．55 C ．5 D ．5 7．在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为6cm 2，则这块多边形地区的实际面积为（）A ．6m 2B ．60000m 2C ．600m 2D ．6000m 28．已知△ABC ∽△A`B`C`，且BC ：B`C`＝3：2，△ABC 的周长为24，则△A`B`C`的周长为_______.9．两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为2，则较小三角形的对应边上的高为_______.10．两个相似多边形最长的的边分为10cm 和25cm ，它们的周长之差为60cm ，则这两个多边形的周长分别为_______.11．四边形ABCD ∽四边形A`B`C`D`，他们的面积之比为36：25，他们的相似比_____,若四边形A`B`C`D`的周长为15cm ，则四边形ABCD 的周长为________.12．如图，矩形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝2，S 矩形ABCD ＝3S 矩形ECDF 。

九年级数学下册专项综合全练相似三角形判定与性质试题(新版)新人教版

相像三角形的判断与性质一、选择题1.如图27-5-1,D 是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.假如△ABD的面积为15,那么△ACD的面积为( )图27-5-1C.答案 D ∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∵AB=4,AD=2,∴△ACD的面积∶△ABC的面积=1∶4,∴S△ACD∶S△ABD=1∶3,∵S△ABD=15,S△ACD=5.应选D.2.如图27-5-2, 在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,以下说法中不正确的选项是( )图27-5-2A.DE=BCB. =C.△ADE∽△ABC△ADE∶S△ABC=1∶2答案D∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,∴= = =,△ADE∽△ABC,∴S△ADE∶S△ABC==,∴A,B,C正确,D错误.应选D.3.如图27-5-3,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,BE与CD订交于点F,那么以下结论必定正确的选项是()图27-5-3A. =B. =C. =D. =答案A∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,==,应选项A正确,应选A.4.如图27-5-4,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD订交于点O,假定S△DOE∶S△COA=1∶25,那么S△BDE与S△CDE的比是()图27-5-4∶3∶4∶5∶25答案B∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,∵S△DOE∶S△COA=1∶25,∴=,∵DE∥AC,∴ = =,∴=,∴S△BDE与S△CDE的比是1∶4,应选B.5.如图27-5-5,正方形ABCD中,E为CD的中点,EF⊥AE,交BC于点F,那么∠1与∠2的大小关系为()图27-5-5A.∠1>∠2B.∠1<∠2C.∠1=∠2D.没法确立答案C∵∠1+∠CEF=90°,∠DAE+∠1=90°,∴∠DAE=∠CEF,∵∠ADE=∠ECF=90°,∴△ADE∽△ECF,∵AD=2EC,∴AE=2EF,又∵AD=2DE,∠ADE=∠AEF,∴△ADE∽△AEF,∴∠1=∠2.应选C.6.如图27-5-6,☉O是△ABC的外接圆,AD均分∠BAC交☉O于点D,AD=5,BD=2,那么DE的长为()图27-5-62A. B. C. D.答案D∵AD均分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,∵∠DBC=∠DAC,∴∠DBC=∠BAD,∵∠D=∠D,∴△ABD∽△BED,∴=,DE==.应选D.7.将一张边长分别为a,b(a>b)的矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,那么折痕的长为()A. B.C. D.答案A如图,设折痕EF与对角线AC的交点为G,那么AC⊥EF,AG=GC,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∵AC⊥EF,∴∠AGE=90°,∴∠AGE=∠B.又∵∠GAE=∠BAC,∴△AGE∽△ABC,∴= ,∴GE=,又∵AG=AC=,∴EF=2GE=.应选A.8.如图27-5-7, ?ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE均分∠BCD,交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连结OE.以下结论中:①∠ACD=30°;②S?ABCD=AC·BC;③OE∶AC=∶6;④S△OCF=2S△OEF,正确的有()图27-5-7个个个个答案D∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,∵CE均分∠BCD,交AB于点E,∴∠DCE=∠BCE=60°,∴△CBE是等边三角形,∴BE=BC=CE∵.AB=2BC,∴AE=BC=CE,∴∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CAB=30°,故①正确;∵AC⊥BC,∴S?ABCD=AC·BC,故②正确;在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∴AC= BC,∵AO=OC,AE=BE,∴OE=BC,∴OE∶AC=,∴OE∶AC=∶6,故③正确;∵AO=OC,AE=BE,∴OE∥BC,∴△OEF∽△BCF,∴ = =2,∴S△OCF∶S△OEF==2,∴S△OCF=2S△OEF,故④正确,应选D.3二、填空题9.如图27-5-8,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,假定S△DEC=3,那么S△BCF=.图27-5-8答案4分析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△BCF,∴= ,=,∵E是边AD的中点,∴DE=AD=BC,∴= =,∴S△DEF=S△DEC=1,=,∴S△BCF=4.10.如图27-5-9,在?ABCD中,对角线AC,BD订交于点O,P是BC边的中点,AP交BD于点Q.那么的值为.图27-5-9答案分析连结OP,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,∵PC=PB,∴OP∥AB,OP=AB,∴= =,∴=.11.如图27-5-10,△ABC≌△DEF,AB=AC=5,BC=6,△ABC固定不动,△DEF运动,并知足点E在BC边从B向C挪动(点E不与B、C重合),DE一直经过点A,EF与AC边交于点M,当△AEM是等腰三角形时,BE=.图27-5-10答案1或4分析∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,∴∠AME>∠AEF,∴AE≠AM.当AE=EM时,易知∠BAE=∠MEC,∵∠B=∠C,△ABE≌△ECM,∴CE=AB=5,∴BE=BC-EC=6-5=1,当AM=EM时,∠MAE=∠MEA,∵∠MAE=∠MEC,∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,即∠CAB=∠CEA,又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴=,∴CE= = ,∴BE=6- = .∴BE=1或.12.如图27-5-11,斜边长12cm,∠A=30°的直角三角尺A BC绕点C顺时针方向旋转90°至△A'B'C的地点,再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB上,那么三角尺向左平移的距离为cm.(结果保留根号)图27-5-11答案6-2分析如图,连结B'B″,∵在Rt△ABC中,AB=12,∠A=30°,∴BC=AB=6,AC=6,∴B'C=6,∴AB'=AC-B'C=6-6,∵B'C∥B″C″,B'C=B″C″,∴四边形B″C″CB'是平行四边形,∴B″B'∥BC,B″B'=C″C,∴△AB″B'∽△ABC,∴=,即=,解得:B″B'=6-2.∴C″C=B″B'=6-2.因此三角尺向左平移的距离为(6-2)cm.13.如图27-5-12,点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点,连结CP并延伸,交AD于E,交BA的延伸线于点 F.假定PE=4,EF=5,那么线段PC的长为.图27-5-12答案6分析∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP,∵DP=DP,∴△APD≌△CPD,∴PA=PC,∠DAP=∠DCP,∵CD∥BF,∴∠DCP=∠F,∴∠DAP=∠F,又∵∠APE=∠FPA,∴△APE∽△FPA,∴22∴PC=6.=,∴PA=PE·PF,∵PA=PC,∴PC=PE·PF=4×9,5。

九年级数学下册专题训练(四) 相似三角形的判定与性质

答图②
【类型二】一次函数、反比例函数中的相似问题 6.(导学号 40134060)(2017· 衡阳)如图，已知点 A，B 分别在反比例函 1 4 OB 数 y＝x(x>0)，y＝－x(x>0)的图象上，且 OA⊥OB，则OA的值为( B ) A. 2 B.2 C. 3 D.4 点拨：分别过点 A， B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C， D，由 OA⊥OB，可证△AOC∽△OBD.
5.( 导学号 40134059)(2017·大连) 如图①，四边形ABCD 的对角线 AC， BD相交于点O，OB＝OD，OC＝OA＋AB，AD＝m，BC＝n，∠ABD ＋∠ADB＝∠ACB.
图①
图②
∠BAD＋∠ACB＝180° ； (1)∠BAD与∠ACB的数量关系为______________________________
(3)如图②，∵DE＝CE，∠DCA＝∠DCA′，∴DE∥CA′. ∵ AB ∥ DE ， ∴ AB ∥ CA ′ . ∴ ∠ ABC ＋ ∠A′CB ＝ 180 ° ， ∵ △ EAD∽△ABC， ∴∠ DAE ＝∠CBA＝∠DA′C.∴∠DA′C ＋∠BCA′＝ 180 n °.∴A′D∥BC.∴△PA′D∽△PBC.∴PC＝ CD＝1. m＋n
4 9.(导学号 40134063)(2017· 常州)如图，已知函数 y＝－ x＋4 的图象 3 是直线 l，设直线 l 分别与 y 轴，x 轴相交于点 A，B.
(1)求线段AB的长度； (2)设点M在射线AB上，将点M绕点A逆时针方向旋转90°到点N，以点 N为圆心，NA为半径作⊙N. ①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标； ②在①的条件下，设直线 AN 与x 轴交于点 C，与⊙N 的另一个交点为 D ，连接 MD 交 x 轴于点 E. 直线 m 过点 N 分别与 y 轴、直线 l 交于点 P ， Q ，当