2015年高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计新人教A版必修1

3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计）教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．一、复习回础，新课引入：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(x f y =的零点（即0)(=x f 的根），对于)(x f 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）． 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel ）和伽罗瓦（Galois ）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．二、师生互动，新课讲解：1、二分法：上节（P88例1）课我们已经知道，函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．我们知道，函数)(x f 的图象与直角坐标系中x 轴交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；（2）用计算器计算084.0)5.2(-≈f ，因为0)3()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)3,5.2(内；（3）再取区间)3,5.2(中点2.75，用计算器计算512.0)75.2(≈f ，因为0)75.2()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)75.2,5.2(内．（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．当精确度为0.01时，由于0078125.053125.25390625.2=-01.0<，所以，我们可将53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 根的近似值．对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）．给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下：1）确定区间],[b a ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε；2）求区间),(b a 的中点c ；3）计算)(c f ；4）判断：（1）若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若0)()(<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；（3）若0)()(<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）．5）判断：区间长度是否达到精确度ε？即若ε<-b a ，则得到零点近似值；否则重复2——5． 说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x的近似解（精确到1.0）．小结：1） 结论：图象在闭区间a [，]b 上连续的单调函数)(x f ，在a (，)b 上至多有一个零点．2） 函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．3） 用二分法求函数的变号零点二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．变式训练1：求方程x 2＝2x ＋1的一个近似解(精确度0.1)．解 设f (x )＝x 2－2x －1.∵f (2)＝－1<0，f (3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x 2－2x －1＝0有一解，记为x 0.取2与3的平均数2.5，∵f (2.5)＝0.25>0，∴2<x 0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f (2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x 0<2.5；再取2.25与2.5的平均数为2.375，f (2.375)＝－0.109 4<0，∴2.375<x 0<2.5，再取2.375与2.5的平均数为2.437 5，f (2.437 5)＝0.066 4>0.∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x 2＝2x ＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.点评 对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．例2：已知函数()f x 在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是① 若()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内有且只有一个零点② 若()()0f a f b ⋅>，则函数()f x 在(,)a b 内无零点③ 若()f x 在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<④ 若()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在(,)a b 内有零点⑤ 若()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内有零点【解析】①有条件()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内可能不止一个零点，如3()4f x x x =-有（－3，3）内有三个零点；②在()()0f a f b ⋅>下函数()f x 在(,)a b 内未必没有零点，如2()4f x x =-在（－3，3）内有两个零点；③()f x 在(,)a b 内有零点，()()0f a f b ⋅<未必成立，如2()4f x x =-在（－3，3）内有零点，但(3)(3)0f f ->；④注意端点问题，可能,a b 恰好使得()f x ＝0．本题从多角度、多侧面考查对定理的理解，对培养学生思维的严密性很有帮助．答案：⑤变式训练2：（课本P92习题3.1 A 组：NO ：1）例3：已知函数2()21f x kx x =-+，当k 为何值时，函数()f x 在R 上有一个零点？两个零点？无零点？【解析】 当k ＝０时，()f x 是一次函数，在R 上有且只有一个零点；当0k ≠时，()f x 是二次函数，其零点个数由∆的符号决定．又44k ∆=-，当1k >时，0∆<，()f x 无零点；当1k =时，0∆=，()f x 有一个零点；当1,0k k <≠时，0∆>，()f x 有两个零点．综上所述，当k ＝０或1k =时，函数有一个零点；当1,0k k <≠时，函数有两个零点；当1k >时，函数没有零点．变式训练3：函数2()f x x ax b =++的零点是－１和２，求函数3()g x ax bx =+的零点． 解：由已知得1,2-是方程20x ax b ++=的两根, 10420a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩,解得:1,2a b =-=- 由320x x --=得:2(2)0x x +=,即0x =.故函数()g x 的零点是0.三、课堂小结，巩固反思：1．二分法的理论依据是什么？二分法的理论依据是：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续不断，且0)()(<⋅b f a f ，那么一定存在),(b a c ∈，使0)(=c f ．2．二分法的实施要点是什么？二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间],[b a 平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n 次的平分、判断，使零点存在于一个长度na b l 2-=的小区间．当n 适当大时，l 满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值． 四、布置作业：A 组：1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )A ．f (x )＝3x －1B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x答案 C解析 对于选项C 而言，令|x |＝0，得x ＝0，即函数f (x )＝|x |存在零点；当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>0，∴f (x )＝|x |的函数值非负，即函数f (x )＝|x |有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点．2．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点( B )．A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1＞0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 答案 C4.若函数f (x )=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x 3+x 2-2x -2=0的一个近似根为 。