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全国2020版中考数学复习提分专练 全套试题

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2020中考数学专题训练真题(含答案)

2020中考数学专题训练真题(含答案)

２、在π，－
1 7
，
(－3)2，3.14 ，
2，sin30 °，0
各数中，无理数有 （
）
A、2 个 B、 3 个
C、 4 个
D、5 个
4
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３、绝对值大于 1 小于 4 的整数的和是（
）
A、0
B、 5
C、－ 5
D、10
４、下列命题中正确的个数有（
3
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实数专题训练
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、－ 2 的倒数是＿＿＿＿。 ２、 4 的平方根是＿＿＿＿。 ３、－ 27 的立方根是＿＿＿＿。 ４、 3－ 2 的绝对值是＿＿＿＿。 ５、2004 年我国外汇储备 3275.34 亿美元， 用科学记数法表示为＿＿＿＿ 亿美元。
－7，＋ 4，＋ 8，－ 3，＋ 10，－ 3，－ 6， 问最后一次行驶结束离家里有多远？若每千米耗油 0.28 升，则一天共 耗油多少升？
５、已知实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示： b
0a
试化简： (a－ b)2 －｜ a＋b｜
五、（ 8 分）若 (2x ＋ 3) 2 和 y＋ 2互为相反数，求 x －y 的值。
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实数专题训练答案 ：
一、1、－
1 2
2、± 2
3、－ 3
4、2－ 3
5、 3.27534 × 103
6、＜
7、千分 两 8、 0
二、 1、 B
9、－ 1 10、0 或－ 3 2、 A 3、A 4、B
11、3.6cm 12、40 11 5、C 6、 D

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][三角形和四边形]+答案

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][三角形和四边形]+答案

三角形和四边形一、选择题1．（2020·门头沟二模）将284231︒′″保留到“′”为（ ） A ．2842︒′ B ．2843︒′C ．2842︒′30″D ．2900︒′ 2．（2020·平谷二模）用直角三角板，作△ABC 的高，下列作法正确的是（ ）3. (2020·朝阳二模)如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为（ ） A ．45° B ．55° C ．135° D ．145°4．(2020·海淀二模)如图，用圆规比较两条线段A B ''和AB 的长短，其中正确的是（ ） A ．A B AB ''> B ．A B AB ''= C ．A B AB ''<D ． 不确定5．（2020·顺义二模）能与60︒的角互余的角是（ ）A B CDA B()6．(2020·海淀二模)如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是( )A B C D7．（2020·平谷二模）下面所给几何体的俯视图是（）8. （2020·门头沟二模）如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）A.B.C.D.9.（2020·房山二模）下面的四个展开图中，是右图所示的三棱柱纸盒的展开图的是（）10. （2020·东城二模）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能．．围成正方体的位置是（）A．①B．②C．③D．④11．（2020·通州二模）下列图形中，正方体展开后得到的图形不可能．．．是（）12．（2020·怀柔二模）如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是（）正面看13．（2020·昌平二模）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是A B C D 14．（2020·顺义二模）图1是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是15．（2020·丰台二模）如图是几何体的三视图，该几何体是A．圆锥B．圆柱C．正三棱锥D．正三棱柱16．（2020·昌平二模）钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是A B C D 17．（2020·通州二模）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为DCBA图1A．B．C．D．18．（2020·丰台二模）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A． B. C. D. 19．（2020·石景山二模）在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）20. （2020·房山二模）在我国传统的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，它不仅具有功能性作用，而且具有高度的艺术价值. 下列窗棂的图案中，不是．．中心对称图形的是（）21.(2020·朝阳二模)下列图标中，是轴对称的是A B C D 22．（2020·通州二模）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4// l1，若∠1=∠2=36°,则∠3的度数为A．60°B．90°C．108°D．150°23.（2020·石景山二模）如图，直线a△b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC△b于点C，若1=50∠°，则2∠的度数为（）l2l3l1l4123A ．130°B ．50°C ．40°D ．25°24．（2020·丰台二模）如图，AB △CD ，△B =56°，△E =22°，则△D 的度数为 A ．22° B ．34° C ．56°D ．78°25.（2020·门头沟二模）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上一点且CD CA =，过点A 作MN BC ∥，48CAN ∠=︒， 41B ∠=︒，BAD ∠=A ．23°B ．24°C ．25°D ．26°26．（2020·昌平二模）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =55°，点D 是斜边AB 的中点，那么∠ACD 的度数为 A ．15°B ． 25°C ． 35°D ．45°27．（2020·顺义二模）如图，△ABC 中，∠A =60︒，BD ，CD 分别是∠ABC ，∠ACB 的 平分线，则∠BDC 的度数是A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒aDC BAECDBA28．（2020·东城二模）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则△1的度数为（ ）A ．75°B ．65°C ．45°D ．30° 29．（2020·门头沟二模）以下是关于正多边形的描述①正多边形的每条边都相等； ②正多边形都是轴对称图形； ③正多边形的外角和是360°；④正多边形都是中心对称图形. 其中正确的描述是A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 30.（2020·房山二模） 在四边形ABCD 中，如果∠A ＋∠B ＋∠C=260°，那么∠D 的度数为（ ）A. 120°B. 110°C. 100°D. 90° 31.(2020·朝阳二模)内角和与外角和相等的多边形是A B C D32.（2020·怀柔二模）如图，在五边形ABCDE 中，△A+△B+△E=300°，DP ，CP 分别平分△EDC 、△BCD ，则△P 的度数是（ ）(A)60° (B)65° (C)55° (D)50° 33．（2020·通州二模）右图多边形ABCDE 的内角和是A ．360°B ．540°A BCDEC ．720°D ．900°34．（2020·丰台二模）五边形的内角和是 A ．180°B ．360°C ．540°D ．600°35．（2020·顺义二模）内角和为540︒的多边形是A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形36．（2020•西城区二模）如图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形，若∠1+∠2+∠3+∠4=225°，ED ∥AB ，则∠1的度数为（ ）A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°37．（2020·平谷二模）如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量学校旗杆CD 的高度，标杆BE 高1.5m ，测得AB=2m ，BC=14m ，则旗杆CD 高度是（ ）A ． 9mB ．10.5mC ．12mD ．16m 38．（2020·石景山二模）如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2km AC =，3km BD =，这两条小路相距5km .现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处 C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处 39．(2020·海淀二模)如图，ABCD 中，AD =5，AB =3，∠BAD 的平分线AE 交BC 于E 点，则EC 的长为 A ．4B ．3B E CA DC ．2D ．1二、填空题1．（2020•西城区二模）如图，长方体中所有与棱AB 平行的棱是 ．2．（2020•西城区二模）如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE=AB ，则∠BED 的度数是 度．3．（2020·丰台二模）三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH 组成的．已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD 的面积是 ．4.（2020·昌平二模）如图，阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE ，已知亮区DE 到窗口下的墙角距离CE =5米，窗口高AB =2米，那么窗口底边离地面的高BC =_________ 米.G ABC DEFH5.（2020·丰台二模）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图，他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向建筑物AB 前进10m 到达点D 处，又测得点A 的仰角为60°，那么建筑物AB 的高度是（ ） m ．6．（2020·通州二模）如图，Rt △ABC ≌Rt △DCB ，两斜边交于点O ，如果AC =3，那么OD 的长为____________．7．(2020·海淀二模)下图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10mm ”刻度线，点A 正对“30mm ”刻度线，DE ∥AB ．若量得AB 的长为6mm ，则内径DE 的长为 mm ．8.(2020·朝阳二模)在某一时刻，测得一根高为1.2m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为45m ，那么这栋楼的高度为 m ．9．（2020·顺义二模）小明的爸爸承包了一个鱼塘，小明想知道鱼塘的长（即A ，B 间的距离）．他通过下面的方法测量A ，B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测得MN 的长为20m ，由此他就知道了A ，B 间的距离．请你回答A ，B 间的距离是60°30°CDBABCD10. （2020·怀柔二模）如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，如果12AE EC ，DE =7，那么BC 的长为 ．11.（2020·顺义二模）如图，在正方形ABCD 和正方形AEFG 中，顶点E 在边AD 上，连接DG 交EF 于点H ，若FH ＝1，EH ＝2，则DG 的长为NMCAA B EDH G F EDCBA12．（2020·昌平二模）如图，已知钝角△ABC ，老师按照如下步骤尺规作图：步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H . 小明说：图中的BH ⊥AD 且平分AD . 小丽说：图中AC 平分∠BAD . 小强说：图中点C 为BH 的中点.他们的说法中正确的是__________.他的依据是_ __. 13．（2020·通州二模）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：小亮的作法如下：ABCDH老师说：“小亮的作法正确”，请回答：小亮的作图依据是__ 14．(2020·朝阳二模)阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小强的作法如下：老师表扬了小强的作法是对的．请回答：小强这样作图的主要依据是 ．如图：（1） 作射线CE ；（2） 以C 为圆心，AB 长为半径作弧交CE 于D .则线段CD 就是所求作的线段.D ABC E尺规作图：经过直线外一点作这条直线的平行线．已知：直线l 和直线l 外一点A ． 求作：直线l 的平行线，使它经过点A ．如图,（1）过点A 作直线m 交直线l 于点B ；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交直线m 于点C ； （3）在直线l 上取点D （不与点B 重合）,连接CD ； （4）作线段CD 的垂直平分线n ，交线段CD 于点E ； （5）作直线AE . 所以直线AE 即为所求．15．（2020·石景山二模）下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.16．（2020·顺义二模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小丽的作法如下：三、解答题1．(2020·海淀二模)如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ．请你添加一条线把它分成两个全等三角形，并给出证明．2．（2020·通州二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B ，CB =CE . 求证：CE //AD .3.（2020·房山二模） 已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，连接EF . 求证：AE=AF4．（2020·丰台二模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，过点 A 作 AD ⊥BC 于点D ，过点 D 作AB 的平行线交AC 于点E ．求证: DE =EC =AE ．BA ABCE F ABCE DC5.（2020·平谷二模）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ⊥BD 于点F ．求证：∠BEF=∠DEF ．6．（2020•西城区二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，BF ∥DE 交CD 于点F ． 求证：DE=BF ．7.(2020·朝阳二模)如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高, 过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E. 求证:CE =ABB8．（2020·怀柔二模）如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，且DC =DB ．点E 在CD 的延长线上，且AD =DE ． 求证：∠EBC =∠ACB ．9. （2020·昌平二模）如图，在等边△ABC 中，点D 为边BC 的中点，以AD 为边作等边△ADE ，连接BE .求证：BE=BD10．（2020·石景山二模）如图，在ABC △中，CDCA =，CE AD ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．求证：ACE DBF ∠=∠BCAEDDB E CA F11．（2020·顺义二模）如图，△ABC 中，点D 在AB 的延长线上，BE 平分∠CBD ，BE ∥AC ．求证：AB=BC ．12．（2020·丰台二模）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边三角形ACD 及等边三角形ABE .已知∠BAC = 30º，EF ⊥AB 于点 F ，连接 DF .（1）求证：AC =EF ；（2）求证：四边形 ADFE 是平行四边形.13．(2020·海淀二模)如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，线段AC 的垂直平分线交AC 于D 点，交BC 于E 点，过点A 作BC 的平行线交直线ED 于F 点，连接AE ，CF ． （1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若AB =10，∠ACB =30°，求菱形AECF 的面积．ABCDEF ABDCE14．（2020•西城区二模）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC ，BD 交于点O ，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB=2，求△OEC 的面积．15．（2020·东城二模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°. 以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D . 若CD =4，AB =15，求△ABD 的面积.16．（2020·东城二模）如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC于点E ，F ，G ，连接ED ，DG ．（1）请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由； （2）若∠ABC =30°，∠C =45°，ED =2，求GC 的长.17. (2020·朝阳二模)如图，在ABCD 中，BC =2AB ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点， AE ，BF 交于点O ，连接EF ，OC .（1）求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若BC =8， 60ABC ∠=︒，求OC 的长.18.（2020·房山二模） 如图，河的两岸l 1与l 2互相平行，A 、B 是1l 上的两点，C 、D 是2l 上的两点．某同学在A 处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB 方向走20米到达点E （即AE =20），测得∠DEB=60°. 求：C ，D 两点间的距离．119．（2020·平谷二模）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 边上的点，且AE=CF ． （1）求证：四边形BFDE 是平行四边形； （2）若AB =12，AE =5，3cos 5BFE ∠=，求矩形ABCD 的周长．20．（2020·顺义二模）已知：如图，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90︒，AB =AD .（1）求证：BC=CD ；（2）若∠A =60︒，将线段BC 绕着点B 逆时针旋转60︒，得到线段BE ，连接DE ，在图中补全图形，并证明四边形BCDE 是菱形．DCBA21．（2020·石景山二模）如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在AD 边上，点F 在AD 的延长线上，且BE CF =．（1）求证：四边形EBCF 是平行四边形．（2）若90BEC ∠=°，30ABE ∠=°，AB =ED 的长．22．（2020·通州二模）如图，在菱形ABCD 中，CE 垂直对角线AC 于点C ，AB 的延长线交CE 于点E .（1）求证：CD ＝BE ； （2）如果∠E ＝60°，CE=m ，请写出求菱形ABCD 面积的思路．23. （2020·昌平二模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为BC 的中点，AE 与对角线BD 交于点F .（1）求证：DF =2BF ； （2）当∠AFB =90°且tan ∠ABD =21时， 若CD =5，求AD 长.FEDCBAEA24. （2020·怀柔二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AD ∥BC ，∠ADB=45°，∠C=60°，AB=6.求四边形ABCD 的周长.25．（2020·门头沟二模）如图，已知AD 是△ABC 的中线，∠ADC =45°，把△ADC 沿直线AD翻折，使得点C 落在点E 的位置，BC =6； 求线段BE 的长.26.（2020·门头沟二模）如图，在菱形ABCD 中，延长BD 到E 使得BD =DE ,连接AE ，延长CD 交AE 于点F .（1）求证：AD ＝2DF（2）如果FD ＝2，∠C ＝60°，求菱形ABCD 的面积．DCBA27. （2020·房山二模） 数学课上，老师提出如下问题：已知点A ，B ，C 是不在同一直线上三点，求作一条过点C 的直线l ，使得点A ，B 到直线l 的距离相等. 小明的作法如下：①连结线段AB ；②分别以A ，B 为圆心，以大于21AB 为半径画弧，两弧交于M 、N 两点； ③作直线MN ，交线段AB 于点O ； ④作直线CO ，则CO 就是所求作的直线l. 根据小明的作法回答下列问题：（1）小明利用尺规作图作出的直线MN 是线段AB 的 ；点O 是线段AB 的 ；（2）要证明点A ，点B 到直线l 的距离相等，需要在图中画出必要的线段，请在图中作出辅助线，说明作法，并说明线段的长是点A 到直线l 的距离，线段的长是点B 到直线l 的距离；（3）证明点A ，B 到直线l 的距离相等.AB三角形和四边形四、选择题1-5BDCAA6-10DBDDA11-15DCCBD16-20ADAAB21-15DCCBC26-30CCAAC31-35CABCB36-39BCBC五、填空题1．DC，EF，HM ．2．1353． 100 ．4.5 25.3 5 6．1.5 7．2 8.18 9．40 10.2111.ABCE F12．正确的是______小明_____.他的依据是_到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线__. 13．等圆的半径相等.14．同圆半径相等；线段垂直平分线的定义；三角形的中位线平行于第三边. 15．①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②有两条边相等的三角形是等腰三角形．16．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上_． 六、解答题1．(2020·海淀二模)证明：连接AC ，则△ABC ≌ △ADC ．证明如下：在△ABC 与△ADC 中，AB AD AC AC CB CD ===⎧⎪⎨⎪⎩，，， ∴△ABC ≌ △ADC ．2．（2020·通州二模）①∠B =∠CEB ②∠A =∠CEB ③CE //AD 3.（2020·房山二模）证明：方法一：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F∴DE= DF ，∠AED =∠AFD=90° ∴∠DEF =∠DFE ∴∠AEF =∠AFE ∴AE=AF方法二：∵AD 平分∠BAC∴∠DAE =∠DAF∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于FDCBAABCEF∴∠AED =∠AFD=90°又∵AD=AD∴△AED ≌△AFD ∴AE=AF4．（2020·丰台二模）证明：∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD ． 又∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ，∠ADE =∠BAD ． ∴∠EDC =∠C ，∠ADE =∠CAD ． ∴DE =EC ，AE =DE ． ∴DE =EC =AE ．5.（2020·平谷二模）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD . ∵DE ∥BC ， ∴∠EDB =∠CBD . ∴∠EDB =∠ABD . ∴EB=ED . ∵EF ⊥BD 于点F ， ∴∠BEF =∠DEF .6．（2020•西城区二模）ABCDE FBABCEB证明：∵CD 平分∠ACB ， ∴∠1=∠2，∵DE ⊥AC ，∠ABC=90° ∴DE=BD ，∠3=∠4， ∵BF ∥DE ， ∴∠4=∠5， ∴∠3=∠5， ∴BD=BF ， ∴DE=BF ．7.(2020·朝阳二模)证明：∵,AB AC AD BC =是边上的高， ∴∠BAE =∠CAE ． ∵CE ∥AB ， ∴∠E =∠BAE ． ∴∠E =∠CAE ．∴CE =AC .∵AB =AC ， ∴CE =AB . 8．（2020·怀柔二模） 证明：∵DC =DB ， ∴∠DCB =∠DBC ． 在△ACD 和△EBD 中， ,,,AD DE ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△EBD ．∴∠ACD=∠EBD ． ∴∠EBC =∠ACB ． 9. （2020·昌平二模）证明：∵在等边△ABC 中，点D 为边BC 的中点∴∠CAD =∠DAB=12∠CAB= 30° ∵△ADE 为等边三角形， ∴AD=AE ，∠DAE = 60°∵∠DAB = 30° ∴∠DAB =∠EAB = 30° 在△ADB 与△AEB 中，AD AE DAB EAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEB ∴ BE=BD10．（2020·石景山二模）证法一：如图1．∵CE AD ⊥，BF AD ⊥， ∴90CED BFD ∠=∠=°．∴CE ∥BF ． ∴12∠=∠． ∵CD CA =，CE AD ⊥， ∴32∠=∠． ∴32∠=∠． 证法二：如图2． ∵CD CA =，∴12∠=∠． 又∵32∠=∠，∴13∠=∠． ∵CE AD ⊥，BF AD ⊥，图1A F21AB CDE∴90CEA BFD ∠=∠=°． ∴CEA △∽BFD △． ∴45∠=∠． 11．（2020·顺义二模） 证明：∵BE 平分∠CBD ， ∴∠1=∠2．∵BE ∥AC ，∴∠1=∠A ，∠2=∠C ． ∴∠A=∠C ． ∴ AB=BC ． 12．（2020·丰台二模）证明：（1）∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴∠AEF =21∠AEB = 30º，AE =AB ，∠EFA = 90º． ∵∠ACB = 90º，∠BAC = 30º， ∴∠EFA =∠ACB ，∠AEF =∠BAC ． ∴△AEF ≌△BAC ． ∴AC = EF ．（2）∵△ACD 是等边三角形，∴AC = AD ，∠DAC = 60º． 由（1）的结论得AC = EF ， ∴AD= EF ． ∵∠BAC = 30º，∴∠FAD=∠BAC+∠DAC = 90º． ∵∠EFA = 90º， ∴EF ∥AD ． ∵EF =AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．13．(2020·海淀二模)图2（1）证明：∵ EF 垂直平分AC ， ∴ FA =FC ，EA =EC ， ∵ AF ∥BC ， ∴ ∠1=∠2． ∵ AE =CE ，∴ ∠2=∠3． ∴ ∠1=∠3． ∵ EF ⊥AC ，∴ ∠ADF =∠ADE =90°． ∵ ∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°． ∴ ∠4=∠5．∴ AF =AE ． ∴ AF =FC =CE =EA ．∴ 四边形AECF 是菱形． （2）解：∵∠BAC =∠ADF =90°， ∴AB ∥FE ． ∵AF ∥BE ， ∴四边形ABEF 为平行四边形． ∵AB =10， ∴FE =AB =10． ∵∠ACB =30°，∴tan ABAC ACB==∠∴12AECF S AC FE ⋅==菱形14．（2020•西城区二模） （1）证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°，54321F E DCB A∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=CD=1，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，∴△OEC的面积=•EC•OF=1．15．（2020·东城二模）解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E.又∵∠C=90°，∴DE=CD.∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．16．（2020·东城二模）解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD.∴∠EBD=∠EDB.∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF.又∵DF=BF，∠EFD=∠GFB，∴△EFD ≌△GFB ， ∴ED =BG ， ∴BE =ED =DG =GB ，∴四边形EBGD 是菱形． （2）过点D 作DH ⊥BC 于点H . ∵DG ∥AB ，∴∠DGC =∠ABC =30°. 在Rt △DGH 中，可求3, 1.DG GH ==在Rt △DGH 中，可求 3.CH = ∴1 3.GC =+17. (2020·朝阳二模)(1) 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD . ∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点， ∴11,22BE BC AF AD ==.∴BE =AF .∴四边形ABEF 是平行四边形. ∵BC =2AB ， ∴AB =BE .∴ABEF 是菱形.（2）解：过点O 作OG ⊥BC 于点G . ∵E 是BC 的中点，BC =8，∴BE =CE =4.∵四边形ABEF 是菱形，∠ABC =60°， ∴∠OBE =30，∠BOE =90°. ∴OE =2，∠OEB =60°.1∴GE =1，. ∴GC =5. ∴OC=18.（2020·房山二模）解：过点D 作DF ⊥l 1于点F∵ l 1∥l 2 ，∠CAB=90° ∴ 四边形CAFD 是矩形，CD=AF ∵ ∠DAB=30°，∠DEB=60°∴ ∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°，即∠ADE =∠DAE ∴ AE=DE =20在Rt △DEF 中，已知∠DFE=90°，∠DEF=60°，DE =20 ∴ EF=10 ∴CD=AF=AE+ EF =30 答: C ，D 两点间的距离是30米．19．（2020·平谷二模）（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ，AD=BC ． ∵AE=CF ， ∴DE=BF ．∴四边形BFDE 是平行四边形． （2）解：∵矩形ABCD ， ∴∠A =∠ABC =90°．在Rt △ABE 中，AB =12，AE =5， ∴BE =13．过点E 作EG ⊥BC 于G ．∵∠A =∠ABC =∠BGE =90°， ∴四边形ABGE 是矩形．E ABCD∴AE=BG =5，AB=EG=12． ∵在Rt △EFG 中，3cos 5BFE ∠=， ∴35FG FE =．设FG =3x ， EF =5x ，∴EG =4x =12． ∴x =3． ∴FG =3x =9．∴BC=BG+GF+FC =19．∴矩形ABCD 的周长=19×2+12×2=62．20．（2020·顺义二模） （1）证明：连接AC ，∵∠ABC =∠ADC =90︒，∴△ABC 和△ADC 均为直角三角形． ∵AB =AD ，AC=AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ． ∴BC=CD（2）解：补全图如图所示．由旋转得BE =BC ，∠CBE =60︒． ∴BE =CD ．∵∠BAD=60︒，∠ABC =∠ADC =90︒， ∴∠BCD =120︒． ∴∠CBE +∠BCD =180︒． ∴BE ∥CD ．∴四边形BCDE 是平行四边形． 又∵BE =CD ， ∴□BCDE 是菱形．21．（2020·石景山二模） （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴=90A CDF ABC ∠∠=∠=°， AB DC =，AD BC =．DCBA在BAE Rt △和CDF Rt △中， ,,AB DC BE CF ==⎧⎨⎩∴BAE Rt △≌CDF Rt △． ∴1F ∠=∠．∴BE ∥CF ． 又∵BE CF =，∴四边形EBCF 是平行四边形． （2）解：∵BAE Rt △中，2=30∠°，AB =， ∴tan 21AE AB =⋅∠=， 2cos 2AB BE ==∠，360∠=°． BEC Rt △中，24cos 3cos 60BE BC ===∠°．∴4AD BC ==．∴413ED AD AE =-=-=． 22．（2020·通州二模）（1）①连接BD ，BD ⊥AC ………………………………..(1分)②CE //BD ………………………………..(2分)③四边形BECE 为平行四边形；CD =BE ………………………………..(3分) （2）思路通顺 ………………………………..(5分) 23. （2020·昌平二模）(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD //BC ，AD=BC ，AB =CD ∵点E 为BC 的中点 ∴BE=12BC=12A D ∵AD //BC ∴△BEF ∽△DAF ∴12BE BF DA DF == FEDCBA∴DF =2BF（2）解：∵CD =5 ∴AB =CD =5∵在Rt △ABF 中，∠AFB=90°1tan 2AF ABD BF ∠== ∴设AF =x ，则BF =2x ∴AB5 x =5∴x=1，AF =1，BF =2 ∵DF =2BF ∴DF=4 ∴ AD24. （2020·怀柔二模） 解： ∵ AB ⊥BD ，∴∠ABD=90°.在Rt △ABD 中，∠ABD=90°，∠ADB=45°，.∴∠DAB=45°. ∴∠DAB=∠ADB.∴∴由勾股定理解得：∵ AD ∥BC , ∴∠ADB=∠DBC=45°. 过点D 作DE ⊥BC 交BC 于点E. ∴ ∠DEB=∠DEC=90°.在Rt △DEB 中，∠DEB=90°，∠DBC =45°，AC=2. ∴∠BDE=45°, sin ∠DBC =. ∴∠DBC=∠BDE ， .∴. 在Rt △DEC 中，∠DEC=90°，∠C=60°. ∵ . ∴CD=2,CE=1.=DEBDsin ,tan DE DEC C CD CE==EABCD∴+1 .∴四边形ABCD 的周长+25．（2020·门头沟二模）由题意可知∠EDA 是由∠CDA 翻折得到∴∠EDA =∠CDA =45°.ED =CD . ∴ ∠EDB =90° ∵ AD 是△ABC 的中线，BC =6∴ BD =CD =3.∴ ED =BD =3. 在Rt BDE ∆中，根据勾股定理可得∴BE = 26.（2020·门头沟二模）（1） ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AD =AB , CD ∥AB .∵BD =DE∴EF =FA∴FD 是△EAB 的中位线 ∴AB =2FD∴AD =2FD （2）过点D 作DM ⊥AB∵FD =2∴AB =4 ∵∠C ＝60°∴ ∠ADB =∠60°. △DAB 为等边三角形∴∠ADM ＝30°，AM =2 ∴ DM=tan 60AM︒，可得DM =123++=A∴ 4ABCD S AB DM =⋅=⨯=菱形27. （2020·房山二模）（1）直线MN 是线段AB 的 垂直平分线 ；点O 是线段AB 的 中点 ； （2）过点A 作AE ⊥l 于点E ，过点B 作BF ⊥l 于点F线段 AE 的长是点A 到直线l 的距离， 线段 BF 的长是点B 到直线l 的距离；（3）∵ AE ⊥l ，BF ⊥l∴ ∠AEO =∠BFO =90° 又∵OA =OB ，∠AOE =∠BOF ∴ △AEO ≌△BFO∴AE =BF ，即点A ，B 到直线l 的距离相等。

2020届中考数学总复习：专题训练全集(打包20套,Word版,含答案)

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代数式、整式与因式分解A 级 基础题1．计算a3·a2正确的是( ) A ．a B ．a5 C ．a6 D ．a92．(2019年广东广州)计算(a2b)3·b2a，结果是(二次根式 A 级 基础题1．(2019年上海)下列计算18－2的结果是( ) A ．4 B ．3 C ．2 2 D. 22．(2019年山东聊城)下列计算正确的是( ) A ．310－2 5＝ 5 B.711·⎝⎛⎭⎪⎫117÷111＝11 C ．(75－15)÷3＝2 5 D.13 18－3 89＝ 23．(2019年四川绵阳)使代数式1x ＋3＋4－3x 有意义的整数x 有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 4．与－5是同类二次根式的是( ) A.10 B.15 C.20 D.255．(2019年江苏南京)若3<a<10，则下列结论中正确的是( ) A ．1<a<3 B ．1<a<4 C ．2<a<3 D ．2<a<46．(2019年北京)写出一个比3大且比4小的无理数：______________. 7．(2019年山西)计算：418－9 2＝__________. 8．计算：613－(3＋1)2＝________. 9．当1＜a ＜2时，代数式()a －22＋||1－a 的值是________．10．(2019年浙江嘉兴)计算：2(8－1)＋|－3|－(3－1)0.11．(2019年贵州六盘水)计算：(－1)0－|3－π|＋3－π 2.B 级 中等题12．设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．813．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b；②ab·ba＝1；③ab ÷a b＝－b ，其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 14．下列各式运算正确的是( ) A.5－3＝ 2 B.419＝213C.12－3＝2＋ 3 D.2－52＝2－ 515．(2019年山东济宁)若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是( )A ．x≥12B ．x≤12C ．x ＝12D ．x≠1216．若y ＝x －4＋4－x2－2，则(x ＋y)y ＝________.17．(2019年山东枣庄)如图1­3­1，我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2b2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.现已知△ABC 的三边长分别为5，2,1，则△ABC 的面积为________．图1­3­1 C 级 拔尖题18．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S ＝pp －ap －bp －c⎝ ⎛⎭⎪⎫其中a ，b ，c 是三角形的三边长，p ＝a ＋b ＋c 2，S 为三角形的面积，并给出了证明． 例如：在△ABC 中，a ＝3，b ＝4，c ＝5，那么它的面积可以这样计算： ∵a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴p ＝a ＋b ＋c 2＝6.∴S ＝pp －ap －bp －c＝6×3×2×1＝6.事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图1­3­2，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝6，AB ＝9. (1)用海伦公式求△ABC 的面积； (2)求△ABC 的内切圆半径r.图1­3­2 参考答案1．C 2.B 3.B 4.C 5.B6．π(答案不唯一) 解析：∵3<x<4, ∴9<x<16， ∴9<x<16，故答案不唯一，可以是π，10，11，12，13，14，15，其中之一． 7．3 2 8.－4 9.110．解：原式＝4 2－2＋3－1＝4 2. 11．解：原式＝1－(π－3)＋(π－3)＝1. 12．D 13.B 14.C 15.C 16.1417．1 解析：∵S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2b2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222，∴△ABC 的三边长分别为1,2，5，则△ABC 的面积为：S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×22－⎝⎛⎭⎪⎫12＋22－5222＝1.18．解：(1)∵BC ＝5，AC ＝6，AB ＝9， ∴p ＝BC ＋AC ＋AB 2＝5＋6＋92＝10.∴S ＝pp －ap －bp －c＝10×5×4×1＝10 2.故△ABC 的面积10 2.(2)∵S ＝12r(AC ＋BC ＋AB)，∴10 2＝12r(5＋6＋9)．解得r ＝ 2.故△ABC 的内切圆半径r ＝ 2.二次函数--二次函数解决实际问题1. 如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2B.43m2C.83m2 D.4m2 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要每间隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m ，如图所示，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )A.50mB.100mC.160mD.200m4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A.－20mB.10mC.20mD.－10m5. 某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流下落点B 离墙距离OB 是( )A.2米B.3米C.4米D.5米6. 如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A.3cm2B.323cm2C.923cm2D.2723cm27. 若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y ＝－x2＋8x ＋9，且售价x 的范围是1≤x≤3，则最大利润是( ) A.16元 B.21元 C.24元 D.25元8. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.3600元9. 如图，隧道的截面是抛物线，可以用y ＝－116x2＋4表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是( )A.不大于4mB.恰好4mC.不小于4mD.大于4m ，小于8m10. 如图所示，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设它的长为xm ，要使鸡场的面积最大，鸡场的长为 m.11. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式y ＝－29x2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为 米.12. 如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的图形放在坐标系中.若在离跨度中心M 点5m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取 m.13. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)，当x ＝ 米时菜园的面积最大.14. 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________cm2.15. 已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式：y＝－x2＋1200x－357600，则卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润为________元.16. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－35x2＋3x＋1的一部分，如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.18. 一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，可提高利润，欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，每周的销售利润最大？19. 如图，某足球运动员站在点O 练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x2＋bx ＋c 表示，且抛物线时的点C 到墙面OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？参考答案：1—9 CACCB CCAA 10. 25 11. 5 12. 15 13. 15 14. 25215. 600 2400 16. 2217. 解：(1)y ＝－35x2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194，∵－35＜0，∴函数的最大值是194.答：演员弹跳的最大高度是194米；(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC ，所以这次表演成功.18. 解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x2＋1300x －36000(60≤x≤90).配方，得y ＝－10(x －65)2＋6250.∵－10＜0，∴当x ＝65时，y 有最大值6250，因此，当该T 恤销售单价为65元时，每周的销售利润最大.19. 解：(1)由题意得：函数y ＝at2＋5t ＋c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0.5＝c3.5＝0.82a －5×0.8＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2516c ＝12，∴抛物线的解析式为：y ＝－2516t2＋5t ＋12，∴当t ＝85时，y 最大＝4.5；(2)把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82＋5×2.8＋12＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门.20. 解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3，172)，把B(0,4)，C(3，172)代入y ＝－16x2＋bx ＋c得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4－16×32＋3b ＋c ＝172，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝4，所以抛物线解析式为y ＝－16x2＋2x ＋4，则y ＝－16(x －6)2＋10，所以D(6,10)，所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA 的交点为(2,0)或(10,0)，当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过；(3)令y ＝0，则－16(x －6)2＋10＝8，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，则x1－x2＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m.二次函数和圆1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A.y ＝18x2 B.y ＝－x2－1 C.y ＝1x2 D.y ＝a4x42.抛物线y ＝2x2，y ＝－2x2，y ＝12x2的共同性质是( )A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 的增大而增大3.若二次函数y ＝(x －m)2－1，当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( ) A.m ＝1 B.m ＞1 C.m≥1 D.m≤14.如图，AB 是⊙O 的直径.若∠BAC ＝35°，那么∠ADC ＝( )A.35°B.55°C.70°D.110°5.在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有( )A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC.BD.下列结论错误的是( )A.AE ＝BEB.C.OE ＝DED. .∠DBC ＝90°7.如图，AD.AE.CB 均为⊙O 的切线，D.E.F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( ) A.8 B.12 C.16 D.不能确定8.如果二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝bx在同一坐标系中的图象大致是( )9.如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( )A.圆形铁片的半径是4cmB.四边形AOBC 为正方形C.弧AB 的长度为4πcmD.扇形OAB 的面积是4πcm210.已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2－4ac ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＜0；④m ＞－2，其中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.411.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 (结果保留π).12.已知抛物线y ＝x2－4x 上有两点P1(3，y1)、P2(－12，y2)，则y1与y2的大小关系为：y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”).13.如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，D.E.F 为三个切点，若∠DEF ＝52°，则∠A 的度数为 .14.某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价销售，一个月能售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10盘，当每盘的售价涨x 元(x 取整数)时，该商店月销售额y(元)与x 的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 .15.设A.B.C 三点依次分别是抛物线y ＝x2－2x －5与y 轴的交点以及与x 轴的两个交点，则△ABC 的面积是 .16. 已知二次函数y ＝－x2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x ＋m ＝0的解为 .17. 已知抛物线y ＝12x2＋x －52.(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；(2)若抛物线与x 轴的两个交点为A.B ，求线段AB 的长.18. 如图，AB是半圆O的直径，C.D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长.19. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …－1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …(1)求该二次函数的关系式；(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若A(m，y1)、B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小.20. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C.D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E.(1)求OE的长；(2)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和围成的图形(阴影部分)的面积.21. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系为w＝－2x＋240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：(1)求y与x的函数关系式；(2)当x取何值时，y的值最大？(3)如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？22. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BC＝3，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长.23. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点，O为坐标原点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若把抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)向下平移133个单位长度，再向右平移n(n ＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M 在△ABC 内，求n 的取值范围； (3)设点P 在y 轴上，且满足∠OPA ＋∠OCA ＝∠CBA ，求CP 的长.参考答案：1—10 ABCBB CCACB 11. 2π 12. ＜ 13. 76°14. y ＝－10x2＋25000 0≤x ≤50且x 为整数 15. 5 616. x1＝－1，x2＝317. 解：(1)y ＝12(x ＋1)2－3，它的顶点坐标为(－1，－3)，对称轴为x ＝－1；(2)令y ＝0，∴12(x ＋1)2－3＝0，∴x1＝－1＋6，x2＝－1－6，∴AB ＝|－1＋6－(－1－6)|＝2 6.18. 解：(1)∵OD ∥BC ，∴∠DOA ＝∠B ＝70°，又∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO ＝55°，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝20°，∴∠CAD ＝35°；(2)在Rt △ACB 中，BC ＝7，O 是AB 中点，OD ∥BC ，∴OE ＝BC 2＝72，∴DE ＝2－72.19. 解：(1)依题意设y ＝a(x －2)2＋1，把(3,2)代入得a ＝1，∴y ＝(x －2)2＋1； (2)当x ＝2时，y 有最小值，最小值为1； (3)当m ≥2时，y2≥y1，当m ＜1时，y1＞y2. 20. 解：(1)连接OC ，∵∠D 和∠AOC 分别是所对的圆周角和圆心角，∠D ＝60°，∴∠AOC ＝2∠D ＝120°，∵OE ⊥AC ，∴∠AOE ＝∠COE ＝12∠AOC ＝60°，∠OAE ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，∴OA ＝3，∴OE ＝12OA ＝32；(2)∵OE ＝12OA ，∴EF ＝OE.∵OE ⊥AC ，∴∠AEF ＝∠CEO ＝90°，AE ＝CE.∴△AEF ≌△CEO.∴S阴影＝S 扇形COF ＝60·π·32360＝32π.21. 解：(1)y ＝(x －50)·w＝(x －50)·(－2x ＋240)＝－2x2＋340x －12000，∴y 与x 的关系式为：y ＝－2x2＋340x －12000；(2)y ＝－2x2＋340x －12000＝－2(x －85)2＋2450，∴当x ＝85时，y 的值最大； (3)当y ＝2250时，可得方程－2(x －85)2＋2450＝2250.解这个方程，得x1＝75，x2＝95，根据题意，x2＝95不合题意，应舍去.∴当销售单价为75元/千克时，可获得销售利润2250元.22. 解：(1)如图，连接OB ，∵BD ＝BC ，∴∠CAB ＝∠BAD ，∵∠EBD ＝∠CAB ，∴∠BAD ＝∠EBD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，OA ＝BO ，∴∠BAD ＝∠ABO ，∴∠EBD ＝∠ABO ，∴∠OBE ＝∠EBD ＋∠OBD ＝∠ABD ＋∠OBD ＝∠ABD ＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线；(2)设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∵BC ＝BD ，∴OB ⊥CD ，∴OB ∥AC ，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝52，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE ＝∠ACB ，∵∠DBE ＝∠CAB ，∴△DBE ∽△CAB ，∴35＝DE 3，∴DE ＝35，∵∠OBE ＝∠OFD ＝90°，∴DF ∥BE ，∴52R ＝RR ＋35，∵R ＞0，∴R ＝3，∵BE 是⊙O 的切线，∴BE ＝DE×AE＝35×2×3＋35＝3115.23. 解：(1)把A.B.C 三点的坐标代入函数解析式可得，抛物线解析式为y ＝－13x2＋23x ＋5；(2)∵抛物线顶点坐标为(1，163)，新抛物线的顶点M 坐标为(1＋n,1)，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋m ，把B.C 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋m ＝0m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝5，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋5，令y ＝1，代入可得1＝－x ＋5，解得x ＝4，∵新抛物线的顶点M 在△ABC 内，∴1＋n ＜4，且n ＞0，解得0＜n ＜3，即n 的取值范围为0＜n ＜3；(3)当点P 在y 轴负半轴上时，如图1，过P 作PD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D ，由题意可知OB ＝OC ＝5，∴∠CBA ＝45°，∴∠PAD ＝∠OPA ＋∠OCA ＝∠CBA ＝45°，∴AD ＝PD ，在Rt △OAC 中，OA ＝3，OC ＝5，可求得AC ＝34，设PD ＝AD ＝m ，则CD ＝AC ＋AD ＝34＋m ，∵∠ACO ＝∠PCD ，∠COA ＝∠PDC ，∴△COA ∽△CDP ，∴CO CD ＝AO PD ＝AC PC ，即534＋m ＝3m ＝34PC ，由534＋m＝3m 可求得m ＝3342，∴33342＝34PC ，解得PC ＝17；可求得PO ＝PC －OC ＝17－5＝12，如图2，在y 轴正半轴上截取OP′＝OP ＝12，连接AP′，则∠OP′A＝∠OPA ，∴∠OP′A＋∠OCA ＝∠OPA ＋∠OCA ＝∠CBA ，∴P′也满足题目条件，此时P′C＝OP′－OC ＝12－5＝7，综上可知PC 的长为7或17.分式方程A 级 基础题1．解分式方程3x －1x －2＝0去分母，两边同乘的最简公分母是( )A ．x (x －2)B ．x －2C ．xD ．x 2(x －2)2．(2019年海南)分式方程x 2－1x ＋1＝0的解是( )A ．－1B ．1C ．±1 D．无解3．分式5x 与3x －2的值相等，则x 的值为( )4．(2019年湖南衡阳)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( )A.30x －361.5x ＝10B.30x －301.5x ＝10C.361.5x －30x ＝10D.30x ＋361.5x ＝10 5．(2019年四川南充)如果1m －1＝1，那么m ＝__________. 6．(2019年广东广州)方程1x ＝4x ＋6的解是________．7．(2019年山东潍坊)当m ＝________时，解分式方程x －5x －3＝m3－x会出现增根． 8．若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________． 9．某次列车平均提速20 km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶400 km ，提速后比提速前多行驶100 km ，设提速前列车的平均速度为x km/h ，则可列出方程________________． 10．解方程． (1)解分式方程：xx －1＋21－x＝4； (2)(2019年四川绵阳)解分式方程：x －1x －2＋2＝32－x.11.(2019年江苏泰州)为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志愿者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？B 级 中等题12．(2019年黑龙江)若关于x 的分式方程2x －a x －2＝12的解为非负数，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1 B．a ＞1 C ．a ≥1且a ≠4 D．a ＞1且a ≠4 13．分式方程1x －5－10x 2－10x ＋25＝0 的解是________． 14．解分式方程：x ＋14x 2－1＝32x ＋1.15．(2019年广东广州)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60千米，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的43倍，甲队比乙队多筑路20天．(1)求乙队筑路的总千米数；(2)若甲、乙两队平均每天筑路千米数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少千米．C 级 拔尖题16．(2019年江苏泰安)文美书店决定用不多于20 000元购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完) 参考答案1．A 2.B 3.D 4.A5．2 6.x ＝2 7.2 8.±1 9.400x ＝400＋100x ＋2010．解：(1)方程两边同乘(x －1)，得x －2＝4(x －1)． 整理，得－3x ＝－2. 解得x ＝23.经检验，x ＝23是原分式方程的解．故原分式方程的解为x ＝23.(2)方程两边同乘(x －2)， 得x －1＋2(x －2)＝－3. 整理，得3x －5＝－3. 解得x ＝23.经检验，x ＝23是原分式方程的解．11．解：设原计划每天种x 棵树，则实际每天种(1＋20%)x 棵．根据题意，得4000x －4000＋801＋20%x＝3.解得x ＝200.经检验，x ＝200是原分式方程的解． 则4000200＝20. 答：原计划植树20天． 12．C 13.x ＝1514．解：由x ＋14x 2－1＝32x ＋1，得x ＋12x ＋12x －1＝32x ＋1.两边同乘(2x ＋1)(2x －1)， 得x ＋1＝3(2x －1)．去括号，得x ＋1＝6x －3.解得x ＝45.经检验，x ＝45是原分式方程的解．∴原分式方程的解是x ＝45.15．解：(1)乙队筑路的总千米数：60×43＝80(千米)．(2)设甲队平均每天筑路5x 千米，乙队平均每天筑路8x 千米． 根据题意，得605x －20＝808x .解得x ＝110.经检验x ＝110是原方程的解且符合题意． 乙队平均每天筑路110×8＝45(千米)． 答：乙队平均每天筑路45千米． 16．解：(1)设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.4x 元，根据题意，得1400x －16801.4x ＝10.解得x ＝20.经检验，x ＝20是原分式方程的解．∴甲种图书售价为每本1.4×20＝28(元)．答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．(2)设甲种图书进货a 本，总利润W 元，根据题意，得W ＝(28－20－3)a ＋(20－14－2)(1200－a )＝a ＋4800.∵20a ＋14×(1200－a )≤20 000，解得a ≤16003.∵W 随a 的增大而增大，∴当a 最大时W 最大．∴当a ＝533时，W 最大．此时，乙种图书进货本数为1200－533＝667(本)．答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．分式A 级 基础题1．(2019年重庆)若分式1x －3有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x≠3 D．x ＝32．(2019年浙江温州)若分式x －2x ＋5的值为0，则x 的值是( )A ．2B ．0C ．－2D ．－53．(2019年北京)如果a2＋2a －1＝0，那么代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫a －4a ·a2a －2的值是() A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．(2019年湖北武汉)计算mm2－1－11－m2的结果是________．5．(2019年湖南怀化)计算：x2x －1－1x －1＝__________. 6．(2019年浙江宁波)要使分式1x －1有意义，x 的取值应满足________． 7．已知c 4＝b 5＝a 6≠0，则b ＋c a的值为________． 8．(2019年吉林)某学生化简分式1x ＋1＋2x2－1出现了错误，解答过程如下： 原式＝1x ＋1x －1＋2x ＋1x －1(第一步) ＝1＋2x ＋1x －1(第二步) ＝3x2－1.(第三步) (1)该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是______________________．(2)请写出此题正确的解答过程．9．(2019年湖北天门)化简：4a ＋4b 5ab ·15a2b a2－b2.10．(2019年山西)化简：x －2x －1·x2－1x2－4x ＋4－1x －2.11．(2019年四川泸州)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a －1÷a2＋2a ＋1a －1.12．(2019年广西玉林)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫a －2ab －b2a ÷a2－b2a ，其中a ＝1＋2，b ＝1－2.B 级 中等题13．在式子1－x x ＋2中，x 的取值范围是______________． 14．(2019年四川眉山)已知14m2＋14n2＝n －m －2，则1m －1n的值等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1415．(2019年广西百色)已知a ＝b ＋2019，则代数式2a －b ·a2－b2a2＋2ab ＋b2÷1a2－b2的值为________． 16．(2019年山东烟台)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫1＋x2＋2x －2÷x ＋1x2－4x ＋4，其中x 满足x2－2x －5＝0.C 级 拔尖题17．若12n －12n ＋1＝a 2n －1＋b 2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a ＝______，b ＝______；计算：m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝________.1．C 2.A 3.C 4.1m －15.x ＋16.x ≠17.32 解析：由题意，可设a ＝6k ，b ＝5k ，c ＝4k ，则b ＋c a ＝5k ＋4k 6k ＝32. 8．解：(1)一 分式的基本性质用错(2)原式＝x －1(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋1)(x －1)＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1. 9．解：原式＝4(a ＋b)5ab ·15a2b (a ＋b)(a －b)＝12a a －b. 10．解：原式＝x －2x －1·(x －1)(x ＋1)(x －2)2－1x －2＝x ＋1x －2－1x －2＝x x －2. 11．解：原式＝a －1＋2a －1·a －1(a ＋1)2＝1a ＋1. 12．解：原式＝a2－2ab ＋b2a ·a a2－b2＝(a －b)2a ·a (a ＋b)(a －b)＝a －b a ＋b. 当a ＝1＋2，b ＝1－2时， 原式＝(1＋2)－(1－2)(1＋2)＋(1－2)＝2 22＝ 2. 13．x ≤1，且x ≠－2 14.C 15.403616．解：原式＝x －2＋x2＋2x －2·(x －2)2x ＋1＝x(x ＋1)x －2·(x －2)2x ＋1＝x(x －2)＝x2－2x. ∵x2－2x －5＝0，∴x2－2x ＝5.∴原式＝5.17.12 －12 1021解析：∵1()2n －1()2n ＋1＝12()2n －1－12()2n ＋1 ＝a 2n －1＋b 2n ＋1， ∴a ＝12，b ＝－12. ∴m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－110＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫138－142＝1021.命题与证明1.下列命题中，错误的是（）A. 矩形的对角线互相平分且相等B. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等C. 等腰梯形的两条对角线相等D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2.下列说法中，正确的是（）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个角的余角一定比这个角小C. 一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上D. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角。

2020年中考数学三轮冲刺提升卷(含答案)

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2020年中考数学三轮冲刺提升卷(本试卷满分120分，考试时间120分钟)班级：________ 姓名：________ 得分：________第Ⅰ卷 (选择题 共24分)一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1．－49的倒数是（ B ） A.17B ．－17C.149D ．－1492．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ A ）3．据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是70 100亿元人民币，比去年同期增长了3.7%.数据70 100亿用科学记数法表示为（ C ）A ．7.01×104B ．7.01×1011C ．7.01×1012D ．7.01×1013 4．下列计算正确的是（ D ） A ．2a ＋3a ＝6aB ．(－3a)2＝6a 2C ．(x －y)2＝x 2－y 2D ．32－2＝225．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根，则实数m 的取值范围是（ D ） A ．m<1B ．m ≥1C ．m ≤1D ．m>16．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：册数 0 1 2 3 4 人数41216171关于这组数据，下列说法正确的是（ A ）A ．中位数是2B ．众数是17C ．平均数是2D ．方差是27．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC 的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC 关于y 轴的对称图形OA ′B ′C ′，再作图形OA ′B ′C ′关于点O 的中心对称图形OA ″B ″C ″，则点C 的对应点C ″的 坐标是（ A ）A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(－2，1)D ．(－2，－1)8．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5 000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少20%，今年1～5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1～5月份每辆车的销售价格为x 万元．根据题意，列方程正确的是（ A ）A.5 000x ＋1＝5 000（1－20%）xB.5 000x ＋1＝5 000（1＋20%）xC.5 000x －1＝5 000（1－20%）xD.5 000x －1＝5 000（1＋20%）x第Ⅱ卷 (非选择题 共96分)二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)9．函数y ＝x －1x －3的自变量的取值范围是 x ≥1且x ≠3 .10．若a ＋2b ＝8，3a ＋4b ＝18，则a ＋b 的值为 5 .11．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为14.12．计算－3－2＝－19.13．将直线y＝－x＋8向下平移m个单位长度后，与直线y＝3x＋6的交点在第二象限，则m的取值范围是2<m<10 .14．将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°.第14题图第15题图15．如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为2π3＋ 3 .16．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥－1），－1（a<－1）.解决问题：如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，则x的值为0或－3 .三、解答题(本大题共10小题，共72分)17．(6分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12（x＋1）≤2，x＋22≥x＋33，并求出不等式组的整数解之和．解：解不等式12(x＋1)≤2，得x≤3，解不等式x＋22≥x＋33，得x≥0，则不等式组的解集为0≤x≤3，∴不等式组的整数解之和为0＋1＋2＋3＝6.18．(6分)先化简再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －2－x 2－2x x 2－4x ＋4÷x －4x －2，其中x ＝4tan 45°＋2cos 30°. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2x －2－x （x －2）（x －2）2÷x －4x －2＝2x －2·x －2x －4＝2x －4. 当x ＝4tan 45°＋2cos 30°＝4×1＋2×32＝4＋3时，原式＝24＋3－4＝2 33.19．(6分)如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）解：设AM ＝x 米，在Rt △AFM 中，∠AFM ＝45°， ∴FM ＝AM ＝x ，在Rt △AEM 中，tan ∠AEM ＝，则EM ＝＝x ，由题意得，FM ﹣EM ＝EF ，即x ﹣x ＝40，解得，x ＝60+20，∴AB ＝AM +MB ＝61+20，答：该建筑物的高度AB 为（61+20）米．20．(6分)某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位：h )随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：①②(1)本次接受调查的初中学生人数为 ，图①中m 的值为 ；(2)求统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据的平均数、众数和中位数；(3)若该校共有800名初中学生，根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，估计该校每天在校体育活动时间大于1 h 的学生人数．解：(1)40，25；(2)∵x ＝0.9×4＋1.2×8＋1.5×15＋1.8×10＋2.1×34＋8＋15＋10＋3＝1.5，∴这组数据的平均数是1.5.∵在这组数据中，1.5出现的次数最多，∴众数为1.5.∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，有1.5＋1.52＝1.5，∴这组数据的中位数为1.5.(3)∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据中，每天在校体育活动时间大于1 h 的学生人数占90%， ∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1 h 的人数约占90%，则800×90%＝720(人)． ∴该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1 h 的学生人数约为720人．21.(6分)如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′交对角线AC 于点M ，C ′D ′交直线l 于点N ，连接MN ． （1）当MN ∥B ′D ′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B ′D ′交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C ′B ′交AB 于点E ，连接EH ．当△HEB ′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，∵MN∥B′C′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，∴△C′MN是等边三角形，∴C′M＝C′N，∴MB′＝ND′，∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠CAD＝∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∴α＝15°．（2）∵∠C′B′D′＝60°，∴∠EB′G＝120°，∵∠EAG＝60°，∴∠EAG+∠EB′G＝180°，∴四边形EAGB′四点共圆，∴∠AEB′＝∠AGD′，∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，∴△AEB′≌△AGD′（AAS），∴EB′＝GD′，AE＝AG，∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，∴△AHE≌△AHG（SAS），∴EH＝GH，∵△EHB′的周长为2，∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，∴AB′＝AB＝2，∴菱形ABCD的周长为8．22．(6分)2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕，小明晋级了总决赛．比赛过程分两个环节，参赛选手需在每个环节随机各选择一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用A1，A2，A3，A4表示)；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用B1，B2，B3表示)．(1)请用画树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；(2)求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目(成语故事、成语接龙、成语听写)的概率．解：(1)画树状图为：∴共有12种等可能的结果数；(2)∵小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的结果数为2， ∴小明参加总决赛抽取题目是成语题目的概率＝212＝16.23．(8分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴交于点B (0，7)，与反比例函数y ＝－8x在第二象限内的图象相交于点A (－1，a )．(1)求直线AB 的解析式；(2)将直线AB 向下平移9个单位长度后与反比例函数的图象交于点C 和点E ，与y 轴交于点D ，求△ACD 的面积；(3)设直线CD 的解析式为y ＝mx ＋n ，根据图象直接写出不等式mx ＋n ≤－8x的解集．解：(1)∵点A (－1，a )在反比例函数y ＝－8x的图象上，∴a ＝－8－1＝8，∴A (－1，8)．∵点B (0，7)，∴设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋7.∵直线AB 过点A (－1，8)，∴8＝－k ＋7，解得k ＝－1， ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋7；(2)∵将直线AB 向下平移9个单位长度后得到直线CD 的解析式为y ＝－x －2, ∴D (0，－2)∴BD ＝7＋2＝9，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝－8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.∴C (－4，2)，E (2，－4)， 连接BC ，则S △CBD ＝12×9×4＝18，由平行线间的距离处处相等可得S △ACD ＝S △BCD ，∴△ACD 的面积为18.(3)－4≤x <0或x ≥2.24．(8分)某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌的月饼，其进价为18元/kg.设第x 天的销售价格为y 元/kg ，销售量为m kg.该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x ≤30时，y ＝40.当31≤x ≤50时，y 与x 满足一次函数关系，且当x ＝36时，y ＝37；x ＝44时，y ＝33.②m 与x 之间的函数关系式为m ＝5x ＋50.(1)当31≤x ≤50时，y 与x 之间的函数关系式为 ； (2)当x 为多少时，当天的销售利润W (元)最大？最大利润为多少？(3)该超市希望第31天到第35天的日销售利润W 随x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a 元/kg ，求a 的最小值．解：(1)y ＝－12x ＋55.(2)依题意得W ＝(y －18)·m ，∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧（40－18）·（5x ＋50）（1≤x ≤30），⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋55－18（5x ＋50）（31≤x ≤50）. 整理得W ＝⎩⎪⎨⎪⎧110x ＋1 100（1≤x ≤30），－52x 2＋160x ＋1 850（31≤x ≤50）.当1≤x ≤30时，∵W 随x 的增大而增大，∴当x ＝30时，W 取最大值，最大值为30×110＋1 100＝4 400(元)． 当31≤x ≤50时，W ＝－52x 2＋160x ＋1 850＝－52(x －32)2＋4 410. ∵－52＜0，∴抛物线开口向下，∴x ＝32时，W 取得最大值，此时W ＝4 410.综上所述，当x 为32时，当天的销售利润W 最大，最大利润为4 410元．(3)依题意，得W ＝(y ＋a －18)·m ＝－52x 2＋(160＋5a )x ＋1 850＋50a ，∴函数图象的对称轴为直线x ＝32＋a .∵第31天到第35天的日销售利润W 随x 的增大而增大， ∴32＋a ≥35，即a ≥3.故a 的最小值为3.25．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2－2x ＋c 与直线y ＝kx ＋b 都经过A (0，－3)，B (3，0)两点，该抛物线的顶点为C .(1)求此抛物线和直线AB 的解析式；(2)★设直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，点M 为射线EB 上一点(不与点E 重合)，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，是否存在点M ，使点M ，N ，C ，E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，连接PA ，PB ，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标，并求△PAB 的面积的最大值．解：(1)直线AB 的解析式为y ＝x －3，此抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3，(2)存在 .点M 的坐标为(2，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋172，17－32.(解题过程见作业本后附参考答案详解详析) (3)过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点H . 设点P 的坐标为()p ，p 2－2p －3，则H (p ，p －3)， ∴PH ＝p －3－()p 2－2p －3＝－p 2＋3p .∵S △PAB ＝S △PAH ＋S △PHB ＝12PH ·OB ＝12()－p 2＋3p ×3＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫p －322＋278，∴当p ＝32时，S △PAB 取最大值，最大值为278，此时点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－154.26．(10分)在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．(1)如图①，当点E在边DC上自点D向点C移动，同时点F在边CB上自点C向点B移动时，连接AE和DF 交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图②，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，(1)中的结论是否成立？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时，CE∶CD的值；(3)★如图③，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．解：(1)AE＝DF，AE⊥DF.理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF.∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC.∵∠ADE＝90°，∴∠ADP＋∠CDF＝90°，∴∠ADP＋∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，∴AE⊥DF；(2)是，CE∶CD＝2或2.(3)线段CP的最大值是5＋1.。

备考2020年中考数学培优专题《圆的综合》能力提升训练卷(含答案)

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培优专题《圆的综合》时间：120分钟满分：150分1．（10分）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．2．（10分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．3．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E 作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．4．（10分）如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD 的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．5．（10分）已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．（1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD；（2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD；（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长．6．（10分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）证明：OA2＝OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．7．（10分）如图1，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，∠是⊙O的半圆弧上一动点（不与A，B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4AD•BC；（3）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．8．（10分）如图，在▱ABCD中，以AB为直径的圆O交BC于点E，已知AB＝2，BE ＝2，若DE是圆O的切线，（1）求证：∠B＝∠AED；（2）求AD的长；（3）点F为线段DE上一点，并且AE＝AF．①求证：△ADF∽△DEC；②求DF的长．9．（10分）△DLA内接于⊙O，AL＝2，连接OD，∠ADL＝n∠ODA．（1）如图1，当n＝2，∠DAL＝45°时，求DL的长；（2）如图2，当n＝3，∠DAL＝30°时，求DL的长；（3）如图3，当n＝4时，点B在AD上，且DB＝DL，连接OB，3∠DAL+5∠OBD＝270°，求DL的长．10．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；（3）求证：BC2＝4CE•AB．11．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上动点（不与端点重合），过点P 作PE⊥AB于点E，延长EP交弧BC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②若以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形，求的长．12．（10分）如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD＝2，求BC的长；（3）如图②，在（2）的条件下，连接AE，延长AE和BC，交于点G，求GE的长．13．（10分）（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结P A、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．14．（10分）如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD ∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）当时t＝1，求PC的长；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．15．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，延长AB至点E，使得BE＝2，点D是上的一个动点，连结AD，BD，ED．（1）当DE∥BC时，求证：∠ADB＝∠E；（2）若BC＝6，则：①求⊙O的半径；②当△ABD为直角三角形时，求DE的长．参考答案1．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．2．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CD⊥AB，∴∠OBC+∠BCD＝90°，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠OCB+∠BCE＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①线段CF与CD之间满足的数量关系是：CF＝2CD，理由如下：如图2，过O作OH⊥CF于点H，∴CF＝2CH，∵∠FCE＝2∠ABC＝2∠OCB，且∠BCD＝∠BCE，∴∠OCH＝∠OCD，∵OC为公共边，∴△COH≌△COD（AAS），∴CH＝CD，∴CF＝2CD；②∵CD＝4，BD＝2，∴BC＝＝2，由①得：CF＝2CD＝8，设OC＝OB＝x，则OD＝x﹣2，在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即OB＝5，∵OC⊥GE，∴∠OCF+∠FCG＝90°，∵∠OCD+∠COD＝90°，∠FCO＝∠OCD，∴∠GCF＝∠COB，∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形，∴∠GFC＝∠ABC，∴△GFC∽△CBO，∴＝，∴＝，∴FG＝．3．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．4．如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．（1）证明：连接OC，∵C、D是半圆的三等分点，∴＝＝，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴OC⊥EF，∴FC是⊙O的切线；（2）解：四边形ADCO是菱形，理由如下：连接DC、DO，由（1）知＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝COB＝×180°＝60°，又∵OA＝OD＝OC，∴△OAD与△OCD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD，OD＝OC＝DC，∴OA＝AD＝DC＝OC，∴四边形ADCO是菱形；（3）解：由（1）知，OC∥AE，∴△OCG∽△EAG，△FCO∽△FEA，∠COF＝∠EAF＝60°，∴＝，＝，∴＝，在Rt△OCF中，∠F＝30°，设OC＝r，则OF＝2r，∴＝＝，∴＝，∴OG与GE的比值为．5．已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．（1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD；（2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD；（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长．解：（1）如图1，连接BD，∵CD为△ABC的外角平分线，∴∠HCD＝∠BCD，∵∠HC D＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCD，∵∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BCD；（2）∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB，∴＝，∴AB＝BD；（3）如图3，作FG⊥AB于G，EP⊥AF于P，CN⊥AC交AC的延长线于N．在Rt△CDN中，∵∠DCN＝60°，CD＝8，∴∠CDN＝30°，∴CN＝CD＝4，DN＝4，∴AD＝＝＝13，∵AB＝BD，∠B＝60°，∴∠ABC是等边三角形，∴AD＝DB＝BD＝13，∠DAB＝60°，∵∠DMF＝∠ADM+∠MAD＝60°，∠MAE+∠MAD＝60°，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠DAE＝∠B，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，则BE＝13﹣x，BG＝x，EG＝13﹣x，FG＝x，在Rt△EFG中，72＝（13﹣x）2+（x）2，解得x＝5或8（舍弃），∴AE＝BF＝5．6．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）证明：OA2＝OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．（1）证明：连接OB，如图1所示：∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∵BA⊥PF，∴AD＝BD，即OP垂直平分AB，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠P AB+∠OAB＝∠PBA+∠OBA＝90°，即∠OAP＝90°，∴OA⊥P A，∴直线P A为⊙O的切线；（2）∵∠ADO＝∠OAP＝90°，∠AOD＝∠POA，∴△OAD∽△OP A，∴＝，∴OA2＝OD•OP；（3）解：连接AE，如图2所示：∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OD垂直平分AB，∴OD∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝BC＝3，设DE＝x，则OE＝OA＝OF＝3+x，∵OD垂直平分AB，∴＝，∴∠F＝∠DAE，∴tan∠DAE＝tan∠F＝，∴AD＝2DE＝2x，在Rt△ADF中，tan∠F＝＝，∴＝，解得：x＝2，∴AD＝4，BC＝6，OA＝OE＝5，在Rt△ABC中，AC＝2OA＝10，∴cos∠ACB＝＝＝．7．如图1，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，∠是⊙O的半圆弧上一动点（不与A，B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4AD•BC；（3）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．（1）证明：如图1，连接OE，OC，在△BCO与△ECO中，，∴△BCO≌△ECO（SSS），∴∠OEC＝∠OBC，∵BN是⊙O的切线，∴AB是⊙O的直径，∴AB⊥BN，∴∠ABC＝90°，∴∠OEC＝90°，∴CD为⊙O的切线；（2）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AO D∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC ﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．8．如图，在▱ABCD中，以AB为直径的圆O交BC于点E，已知AB＝2，BE＝2，若DE是圆O的切线，（1）求证：∠B＝∠AED；（2）求AD的长；（3）点F为线段DE上一点，并且AE＝AF．①求证：△ADF∽△DEC；②求DF的长．解：（1）连接OE，∵D E是圆O的切线，∴∠OED＝90°，∴∠AEO+∠AED＝90°，∵AB为圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B＝∠AED；（2）∵∠AEB＝90°，AB＝2，BE＝2，∴AE＝＝＝4，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB＝90°，∵∠B＝∠AED，∴△ABE∽△DEA，∴＝，∴＝，∴AD＝8；（3）①∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B，∵∠AFE+∠AFD＝∠C+∠B＝180°，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；②∵∠EAD＝90°，AE＝4，AD＝8，∴DE＝＝＝4，∴CD＝AB＝2，∵△ADF∽△DEC，∴＝，∴＝，∴DF＝．9．△DLA内接于⊙O，AL＝2，连接OD，∠ADL＝n∠ODA．（1）如图1，当n＝2，∠DAL＝45°时，求DL的长；（2）如图2，当n＝3，∠DAL＝30°时，求DL的长；（3）如图3，当n＝4时，点B在AD上，且DB＝DL，连接OB，3∠DAL+5∠OBD＝270°，求DL的长．解：（1）如图1，连接LO并延长交⊙O于C，连接AC，∵∠DAL＝45°，∴∠DOL＝2∠DAL＝90°，∵OD＝OL，∴∠ODL＝∠OLD＝45°，∵∠ADL＝2∠ODA，∴∠ADL＝30°，∴∠C＝∠ADL＝30°，∵CL是⊙O的直径，∴∠CAL＝90°，∵AL＝2，∴CL＝2AL＝4，∴OD＝2，∴LD＝OD＝2；（2）如图2，连接LO并延长交⊙O于C，连接AC，∵∠DAL＝30°，∴∠DOL＝2∠DAL＝60°，∴△ODJ是等边三角形，∴∠ODL＝∠OLD＝60°，∵∠ADL＝3∠ODA，∴∠ADL＝45°，∴∠C＝∠ADL＝45°，∵CL是⊙O的直径，∴∠CAL＝90°，∵AL＝2，∴CL＝2AL＝2，∴OD＝，∴LD＝OD＝；（3）如图3，连接OA，OL，设∠ODB＝α，则∠BDL＝4α，∠DOL＝180°﹣10α，∠DAL＝＝90°﹣5α，∵3∠DAL+5∠OBD＝270°，∴∠OBD＝3α，∵DB＝DL，将△BOD绕着点D顺时针旋转得到△LCD，∴∠DLC＝∠DBO＝3α，∠CLO＝∠DLO﹣∠DLC＝2α＝∠AOB，∵CL＝OB，OL＝OA，∴△CLO≌△BOA（SAS），∴∠LOC＝∠OAB＝α＝∠ODB，∴∠OCD＝∠OLD+∠LOC+∠DLC＝5α+2α＝7α，∵OD＝CD，∴∠DOC＝∠DCO＝7α，∵∠ODC＝4α，∴7α+7α+4α＝180°，∴α＝10°，∴∠ADL＝40°，∴∠DAL＝90°﹣5α＝90°﹣50°＝40°，∴∠ADL＝∠DAL，∴DL＝AL＝2．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；（3）求证：BC2＝4CE•AB．解：（1）EF与⊙O相切，理由如下：连接AD，OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∴EF与⊙O相切．（2）解：由（1）知∠ADC＝90°，AC＝AB＝10，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8．∵S ACD＝AD•CD＝AC•DE，∴×8×6＝×10×DE．∴DE＝．（3）证明：由（1）得：CD＝BC，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵EF⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠ADC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴＝，∴CD2＝CE•AB，∵AB＝AC，∴BC2＝CE•AB，∴BC2＝4CE•AB．11．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上动点（不与端点重合），过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交弧BC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②若以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形，求的长．（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，即∠OCB+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵PE⊥AB，∴∠B+∠BPE＝90°，∵∠BPE＝∠DPC，∴∠OCB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠BCD，∴DC＝DP，∴△DCP是等腰三角形；（2）解：①连接AC，如图2，∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6，BC＝AC＝6，Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，∴PE＝BE＝，PB＝2 PE＝2，∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴DC＝CP＝4；②连接OF，如图3所示：，∵四边形OCFB是菱形，∴OB＝OC＝CF＝BF，OF⊥BC，∠BOF＝∠COF，∵∠CBA＝30°，∴∠BOF＝∠COF＝60°，∴的长＝＝2π．12．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD＝2，求BC的长；（3）如图②，在（2）的条件下，连接AE，延长AE和BC，交于点G，求GE的长．（1）证明：如图①，连接OE、OC，∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC＝90°，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SSS）∴∠OBC＝∠OEC＝90°，∴BC为⊙O的切线；（2）作DF⊥BC于F，则四边形ABFD为矩形，∴BF＝AD＝2，DF＝，由切线长定理得，DE＝AD＝2，设BC＝x，则CE＝x，CF＝x﹣2，CD＝x+2，在Rt△DFC中，CD2＝DF2+FC2，即（x+2）2＝（2）2+（x﹣2）2，解得，x＝，即BC＝；（3）如图②，连接BE，作DF⊥BC于F，∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED，∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG，∴CG＝CE＝CB＝，∴BG＝5，∴AG＝＝＝3，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠GEB＝∠GBA，又∠G＝∠G，∴△GEB∽△GBA，∴＝，∴BG2＝GE•GA，∴GE＝＝＝．13．（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结P A、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段P A，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．解：（1）①P A+PB＝PC，理由如下：∵线段PC经过点O，∴PC是⊙O的直径，∴∠P AC＝∠PBC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∴P A＝PC，PB＝PC，∴P A+PB＝PC；②P A+PB＝PC，理由如下：在PC上截取PD＝P A，连接AD，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠APD＝∠ABC＝60°，∵PD＝P A，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠P AD＝60°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠P AB，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（SAS），∴DC＝PB，∴P A+PB＝PD+DC＝PC；（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示：∵PE⊥AC，DE＝AE，∴P A＝PD，∴∠P AD＝∠PDA＝∠CDG．∵∠P AD＝∠G．∴∠CDG＝∠G，∴CG＝CD，又∵P A平分∠F AC，∴∠BAC＝180°﹣2∠P AD＝180°﹣（∠P AD+∠PDA）＝∠APG．∴∴，∴AB＝CG．∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3，∴AE＝．14．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）当时t＝1，求PC的长；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．解：（1）A（﹣5，0），B（﹣3，0），∴OA＝5，OB＝3，当t＝1时，AP＝1，∴OP＝OA﹣AP＝4，∵∠CBO＝45°，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，OC＝OB＝3，∴PC＝＝＝5；（2）分两种情况：如图1所示：①当P在点B的左侧时，∵∠CBO＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝45°+15°＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OP＝OC＝3，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣3，②当P在点B的右侧时，∵∠OCB＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB﹣∠BCP＝45°﹣15°＝30°，∴OP＝OC＝，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣；综上所述，当∠BCP＝15°时，t的值为（5﹣3）秒或（5﹣）秒；（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，从而∠OCP＝45°，得到OP1＝OC＝3，此时AP1Q＝5+3＝8，∴t＝8；②当该圆与CD相切于点C时，有P2C⊥CD，即点P2与点O重合，此时AP2＝5，∴t＝5；③当该圆与AD相切时，设P3（5﹣t，0），则Q（，），半径r2＝（）2+（）2，作QH⊥AD于点H，则QH＝，∵QH2＝r2，∴（）2＝（）2+（）2，解得t＝，综上所述，t的值为8秒或5秒或秒．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，延长AB至点E，使得BE＝2，点D 是上的一个动点，连结AD，BD，ED．（1）当DE∥BC时，求证：∠ADB＝∠E；（2）若BC＝6，则：①求⊙O的半径；②当△ABD为直角三角形时，求DE的长．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠E，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，由圆周角定理得，∠ADB＝∠C，∴∠ADB＝∠E；（2）解：①连接AO并延长交BC于F，连接OC，∵AB＝AC，∴＝，∴AF⊥BC，∴BF＝FC＝BC＝3，在Rt△AFC中，AF＝＝＝4，设⊙O的半径为r，则OF＝4﹣r，在Rt△OCF中，OF2+FC2＝OC2，即（4﹣r）2+32＝r2，解得，r＝，即⊙O的半径为；②当∠ABD＝90°时，AD＝2r＝，∴BD＝＝＝，∴DE＝＝＝，当∠BAD＝90°时，BD＝2r＝，∴AD＝，∴DE＝＝＝．。

2020年中考数学基础题型提分讲练专题28综合能力提升含解析

2020年中考数学基础题型提分讲练专题28综合能力提升含解析

专题28 综合能力提升专题卷（时间：90分钟满分120分）一、选择题（每小题3分，共36分）1．的结果正确的是( )A．﹣2 B．2 C．±2D．4【答案】B【解析】根据二次根式的性质可得原式=2，故选B.2．（2019·黑龙江初三月考）下列等式正确的是（）A．2=3 B﹣3 C D．2=﹣3 【答案】A【解析】）2=3，A正确；，B错误；C错误；（2=3，D错误；故选：A．是解题的关键．3．（2019·重庆八中初二开学考试）估计(）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】C【解析】解：(又因为4＜5所以6＜＜7故答案为C.【点睛】本题考查了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的关键.4．（2019·河南初三期中）已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或10【答案】B【解析】∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x 2﹣8x+12=0，解得x 1=2，x 2=6．①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．5．（2019·保定市乐凯中学初三期中）若关于x 的方程()20,0ax bx c a ++=≠的解为2x =-，则关于m 的方程()()222330a m mb m mc -+-+=的解为（ ） A ．2-B ．0或3C ．1或2D ．2【答案】C【解析】 ∵关于x 的方程()20,0ax bx c a ++=≠的解为2x =-， ∴对于方程()()222330a m mb m mc -+-+=，232m m -=-，∴1221m m ==，，故选C ．【点睛】本题主要考查方程的解的定义，掌握方程的解的定义以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．6．（2019·湖南省新化县明德学校初二期中）已知直线3y x =-与22y x =+的交点为(5,8)--,则方程组322y x y x =-⎧⎨=+⎩的解为( ) A ．58x y =-⎧⎨=-⎩ B ．31x y =⎧⎨=-⎩ C ．3{0x y == D ．无法确定【答案】A【解析】∵已知直线3y x =-与22y x =+的交点为()5,8--,∴方程组322y x y x =-⎧⎨=+⎩的解为58x y =-⎧⎨=-⎩故选A.【点睛】此题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系，解题的关键是熟知一次函数交点的含义.7．（2019·四川初二期末）直角坐标系中，点P （x ，y ）在第三象限，且P 到x 轴和y 轴的距离分别为3、4，则点P 的坐标为（ ）A ．（－3,－4）B ．（3，4）C ．（－4，－3）D ．（4，3）【答案】C【解析】解：∵点P （x ，y ）在第三象限，∴P 点横纵坐标都是负数，∵P 到x 轴和y 轴的距离分别为3、4，∴点P 的坐标为（-4，-3）．故选：C ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x 轴的距离=纵坐标的绝对值，到y 轴的距离=横坐标的绝对值．8．（2019·四川初三）有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a （a ﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数y ＝x 2﹣（a 2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是（）A．27B．37C．47D．67【答案】B【解析】令△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＝4a+4＞0，解得：a＞﹣1，∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根的数有0，1，2，3．当二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象经过点（1，0）时，1﹣（a2+1）﹣a+2＝0，解得：a1＝﹣2，a2＝1，∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的数字为0，2，3，∴该事件的概率为37，故选B．【点睛】本题考查了概率公式、根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，利用根的判别式△＞0及二次函数图象上点的坐标特征，找出使得事件成立的a的值是解题的关键．9．（2020·山东初三）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C3D3【答案】B【解析】如图，连接BC，由网格可得510，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．10．（2020·河北初三期中）设α、β是方程220120x x++=的两个实数根，则22ααβ++的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【解析】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=ba-，x1x2=ca．11．（2020·长沙外国语学校初三月考）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③2BCCG=﹣1；④HOMHOGSSVV＝22，其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【解析】解：如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，BC CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，∴∠BEC+∠HDE ＝90°，∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△GHF ，故②正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO ∥BG ，∴△DHN ∽△DGC ，DN HN DC CG∴= 设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a a a b-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣）b ，或a ＝（﹣1）b （舍去），212a b∴=1BC CG∴= 故③正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ， ∴HO ＝12EG ， 设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝b ，∴HO b ，∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，∴OH ∥EF ， ∴△MHO △MFE， ∴OM OH 2b 2EM EF 2b 2===， ∴EM ＝2OM ，∴21(12)12OM OE OM ===-++， ∴21HOM HOES S ∆∆=- ∵EO ＝GO ，∴S △HOE ＝S △HOG ，∴21HOM HOGS S ∆∆=- 故④错误，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．12．（2020·河北初三期中）如图，在ABC V 中，CA CB =，90ACB ∠=o ，2AB =，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90o 的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．122π+ B ．1 4π- C ．1 42π+ D ．1 42π- 【答案】D【解析】连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ．∵CA=CB ，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点，∴DC=12AB=1，四边形DMCN 是正方形，DM=22． 则扇形FDE 的面积是：29013604ππ⨯=． ∵CA=CB ，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点，∴CD 平分∠BCA ，又∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN ，则在△DMG 和△DNH 中，DMG DNH GDM HDN DM DN ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DMG ≌△DNH （AAS ），∴S 四边形DGCH =S 四边形DMCN =12． 则阴影部分的面积是：4π-12． 【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG ≌△DNH ，得到S 四边形DGCH =S 四边形DMCN 是关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（2019·重庆第二外国语学校初二）已知点(2,21)P m m +-在y 轴上，则m 的值是__________．【答案】-2【解析】∵点(2,21)P m m +-在y 轴上∴2=0m +解得=2m -故答案为：2-．【点睛】本题考查坐标轴上的坐标，熟记x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0是解题的关键．14．（2019·四川石室中学初二期中）若分式方程21311m x x -=--产生增根，则m =________． 【答案】12-【解析】 21311m x x-=-- 2331m x -+=-342x m -= ∵分式方程有增根∴10x -=解得1x =将1x =代入342x m -=中 343141222x m -⨯-===- 故答案为：12-． 【点睛】 本题考查了分式方程的问题，掌握分式方程有增根的条件是解题的关键．15．（2019·山东初三）若数a 使关于x 的分式方程211a x x+--=4的解为正数，且使关于y ，不等式组21323()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜-2，则符合条件的所有整数a 的和为______．【答案】10【解析】 解：分式方程21x -+1a x -=4的解为64a x -=且x≠1， ∵关于x 的分式方程21x -+1a x-=4的解为正数， ∴64a ->0 且64a -≠1， ∴a ＜6且a≠2．21323()0y y y a +⎧-⎪⎨⎪-≤⎩＞①② 解不等式①得：y ＜-2；解不等式②得：y≤a．∵关于y 的不等式组21323()0y y y a +⎧-⎪⎨⎪-≤⎩＞的解集为y ＜-2，∴a≥-2．∴-2≤a＜6且a≠2．∵a 为整数，∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，(-2)+(-1)+0+1+3+4+5=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y ＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键．16．（2019·河北初一期末）若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是________． 【答案】a≥1【解析】 不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩，变形为,1,x a x >⎧⎨<⎩由不等式组无解，则a≥1.故答案为a≥1.点睛：不等式组,x a x b>⎧⎨<⎩无解，即x>a 与x<b 无交集，在数轴上即画出的两弧无交集，可知数轴上a 点在b 点右边或重合.则a≥b.17．（2019·四川初二期末）如图，有一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA ＝6，OC ＝10，如图，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点处，则点E 的坐标为_______。

【2020精品中考数学提分卷】河南中考模拟数学试卷 (七)+答案

【2020精品中考数学提分卷】河南中考模拟数学试卷 (七)+答案

河南中考模拟七（考试时间100分钟，满分120分）一、单选题(30分)1．(3分)如果一个有理数的绝对值是8，那么这个数一定是（）2．(3分)在海南建省办经济特区30周年之际，中央决定创建海南自贸区(港)，引发全球高度关注．据统计，4月份互联网信息中提及“海南”一词的次数约48500000次，数据48500000科学记数法表示为（）3．(3分)已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）4．(3分)下面四个几何体中，同一几何体从前往后看和从上往下看，看到的图形形状相同的共有（）几何体．5．(3分)在平面直角坐标系中，点P(m+1，2-m)在第二象限，则m的取值范围为（）6．(3分)一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是2，那么另一组数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数和方差分别是（）7．(3分)关于x的方程x2+x-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）8．(3分)一个箱子里装有3张分别标示4，5，6的号码牌，已知小明以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个两位数，则组成的两位数是6的倍数的概率是（ ）9．(3分)如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的对称轴为x =−1，与x 轴的一个交点在(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：(1)b 2−4ac >0； (2)2a =b ；(3)点(−72，y 1)、(-32，y 2)、(54，y 3)是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3；(4)3b+2c ＜0；(5)t (at +b )≤a −b （t 为任意实数）． 其中正确结论的个数是( )10．(3分)如图，在△ABC 中，△ACB=90°，AC=4，BC=2．P 是AB 边上一动点，PD△AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE=1，连结CE ．P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况是（ ）二、填空题(15分)11．(3分)计算：|-2|-30= ．12．(3分)如图，AB△CD ，△C=32°，△E=48°，则△B 的度数是 ．13．(3分)不等式组{3x +1>x +3x −2>0的解集为 ．14．(3分)如图，Rt△ABC ，△B=90°，△C=30°，O 为AC 上一点，OA=2，以O 为圆心，以OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE 、OF ，则图中阴影部分的面积是 ．15．(3分)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC=√3 cm ，△BAC=120°，点P 在BC 上从C 向B 运动，点Q 在AB 、AC 上沿B→A→C 运动，点P 、Q 分别从点C 、B 同时出发，速度均为1 cm/s ，当其中一点到达终点时两点同时停止运动，则当运动时间t= s 时，△PAQ 为直角三角形．三、解答题(75分)16．(8分)先化简，再求值：(m+2-5m−2)·2m−43−m ，其中m=-12．17．(9分)在体育活动课中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行某体育项目的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表，请你根据表中的信息完成下列问题：(1)频数分布表中a= ，b= ．(2)如果该校九年级共有学生900人，估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有多少人？ (3)已知第一组中有两个甲班学生，第二组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生对体育活动课提出建议，则所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率是多少？18．(9分)如图，在平面直角坐标系x Oy中，直线y=−x+3交y轴于点A，交反比例函数y=kx（k＜0）的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积（k＜0）的图象于点D，y=kx为4，连接OD．(1)求反比例函数y=k的表达式．x(2)求△AOD的面积．19．(9分)图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB=120 cm，两扇活页门的宽OC=OB=60 m，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB 的长度不变．(所有的结果保留小数点后一位)参考数据：sn50°≈0.77．cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14．(1)若△OBC=50°，求AC的长．(2)当点C从点A向右运动60 cm时，求点O在此过程中运动的路径长．20．(9分)钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在A地测得钓鱼岛B在北偏东30°方向，现该海警船继续从A地出发以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达C地．(1)若△B=15°，求钓鱼岛B在C地的北偏东多少度？(2)在(1)的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离CB的长．(结果保留根号)21．(10分)某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y(台)与销售单价x(元)的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：(1)请直接写出y与x之间的函数关系式．(2)为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？(3)设超市每月台灯销售利润为ω(元)，求ω与x之间的函数关系式，当x取何值时，ω的值最大？最大值是多少？22．(10分)如图1，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6 cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD 绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．(1)求证：△CDE是等边三角形．(2)如图2，当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由．(3)如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．23．(11分)抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1，0)和点B(5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式．x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，(2)该抛物线与直线y=35直线PM△y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．△连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；△连结PB，过点C作CQ△PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．河南中考模拟七试卷答案一、单选题1． 【答案】B【解析】如果一个有理数的绝对值是8，那么这个数一定是-8或8． 故答案为：B 。

2020年中考数学三轮冲刺能力提升卷(中考真题汇编)(含答案)

2020年中考数学三轮冲刺能力提升卷(中考真题汇编)(含答案)

2020年中考数学三轮冲刺能力提升卷（中考真题汇编）(满分120分，考试时间120分钟)班级：________ 姓名：________ 得分：________一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．－64的倒数是( B ) A.18B ．－18C.164D ．－1642．(2019·三市一企)据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是70 100亿元人民币，比去年同期增长了3.7%，数70 100亿用科学记数法表示为( C )A ．7.01×104B ．7.01×1011C ．7.01×1012D ．7.01×10133．(2019·乐山)如图，直线a ∥b ，点B 在a 上，且AB ⊥BC .若∠1＝35°，那么∠2等于( C ) A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°4．(2019·河南)下列计算正确的是( D ) A ．2a ＋3a ＝6aB ．(－3a )2＝6a 2C ．(x －y )2＝x 2－y 2D ．32－2＝225．(2019·潍坊)小莹同学10个周的综合素质评价成绩统计如下：成绩(分) 94 95 97 98 100 周数(个)12241这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是( B )A ．97.5，2.8B ．97.5，3C ．97，2.8D ．97，36．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( D ) A ．4πB ．3πC ．2π＋4D ．3π＋47．(2016·安徽)一段笔直的公路AC 长20千米，途中有一处休息点B ，AB 长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A 出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B ，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C ；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C ，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y (km)与时间x (h)之间的函数关系的图象是( A )8．(2018·徐州)如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为( C )A.34B.13C.12D.149．(2019·柳州)定义：形如a ＋bi 的数称为复数(其中a 和b 为实数；i 为虚数单位，规定i 2＝－1)，a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(1＋3i )2＝12＋2×1×3i ＋(3i )2＝1＋6i ＋9i 2＝1＋6i －9＝－8＋6i ，因此，(1＋3i )2的实部是－8，虚部是6.已知复数(3－mi )2的虚部是12，则实部是( C )A ．－6B ．6C ．5D ．－510．(2019·凉山州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a －b ＝0；②b 2－4ac ＞0；③5a －2b ＋c ＞0；④4b ＋3c ＞0，其中错误结论的个数是( A )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11．(2019·金华)计算：|－3|－2tan60°＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝__6__．12．(2019·青岛)如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，AF 是⊙O 的直径，则∠BDF 的度数是 54 °.第12题图 第13题图13．(2018·威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为44－166．14．(2019·眉山)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为 32．第14题图 第15题图 第16题图15．(2019·潍坊)如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x ＞0)与y ＝－5x (x ＜0)的图象上，则tan ∠BAO 的值为5．16．(2019·新疆改编)如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N 且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S △ABM ＝4S △FDM ；②PN ＝26515；③tan ∠EAF ＝34；④△PMN ∽△DPE.正确的是 ①②③ (写出所有正确判断的序号)．三、解答题(本大题共8小题，共72分)17．(本小题满分5分)解方程xx －2－1＝8x 2－4.解：方程两边同时乘以(x ＋2)(x －2)， 得x 2＋2x －x 2＋4＝8.解得x ＝2. 检验：当x ＝2时，(x ＋2)(x －2)＝0， ∴原分式方程无解．18．(本小题满分7分)关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围；(2)若方程两个实数根x 1，x 2满足|x 1|＋|x 2|＝x 1·x 2，求k 的值． 解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4＝4k －3＞0. 解得k ＞34.(2)∵k ＞34，∴x 1＋x 2＝－(2k ＋1)＜0.又∵x 1·x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0. ∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝2k ＋1. ∵|x 1|＋|x 2|＝x 1·x 2，∴2k ＋1＝k 2＋1. ∴k 1＝0，k 2＝2.又∵k ＞34，∴k ＝2.19．(本小题满分10分)(2019·张家界)为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我行”活动周，活动周设置了“A.文明礼仪，B.生态环境，C.交通安全，D.卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行检查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．(1)本次随机调查的学生人数是________人； (2)请你补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“B ”所在扇形的圆心角等于________度；(4)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好参加同一个主题活动的概率．解：(1)60.(2)60－15－18－9＝18，∴C 的人数为18人．图略． (3)108.(4)∴P ＝416＝14.20．(本小题满分8分)(2019·海南)如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里．(1)填空：∠BAC ＝________°，∠C ＝________°； (2)求观测站B 到AC 的距离BP(结果保留根号)．解：(1)30；45.(2)设BP＝x海里．由题意得BP⊥AC，∴∠BPC＝∠BPA＝90°.∵∠C＝45°，∴∠CBP＝∠C＝45°.∴CP＝BP＝x.在Rt△ABP中，∠BAC＝30°，∴∠ABP＝60°.∴AP＝tan∠ABP·BP＝tan60°·BP＝3x.∴3x＋x＝10.解得x＝53－5.∴BP＝53－5.答：观测站B到AC的距离BP为(53－5)海里．21．(本小题满分9分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，∵AO＝BO，∴AD＝BD，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．22．(本小题满分11分)(2018·黔南州)某种蔬菜的销售单价y 1与销售月份x 之间的关系如图1所示，成本y 2与销售月份x 之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)．(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本) (2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克．解：(1)当x ＝6时，y 1＝3，y 2＝1，∵y 1－y 2＝3－1＝2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元． (2)设y 1＝mx ＋n ，y 2＝a (x －6)2＋1.易求得y 1＝－23x ＋7，y 2＝13(x －6)2＋1＝13x 2－4x ＋13.∴y 1－y 2＝－23x ＋7－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－4x ＋13＝－13x 2＋103x －6＝－13(x －5)2＋73.∵－13＜0，∴当x ＝5时，y 1－y 2取最大值，最大值为73，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．(3)当x ＝4时，y 1－y 2＝－13x 2＋103x －6＝2. 设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为(t ＋2)万千克，根据题意得2t ＋73(t ＋2)＝22，解得t ＝4，∴t ＋2＝6.∴4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．23．(本小题满分10分)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如：自然数12 321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12 321是一个“和谐数”．再如22，545，3 883，345 543，…，都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由； (2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x ≤4，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．解：(1)四位“和谐数”：1 111，2 222，3 443，1 221等．任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意一个四位“和谐数”是abcd ，则满足： 个位到最高位排列：d ，c ，b ，a ； 最高位到个位排列：a ，b ，c ，d. 由题意，得a ＝d ，b ＝c.则abcd 11＝1 000a ＋100b ＋10c ＋d 11＝1 000a ＋100b ＋10b ＋a 11＝1 001a ＋110b11＝91a ＋10b 为正整数．所以四位“和谐数”abcd 能被11整除．又由于a ，b ，c ，d 的任意性，故任意四位“和谐数”都可能被11整除． (2)设能被11整除的三位“和谐数”为zyx ，则满足： 个位到最高位排列：x ，y ，z ；最高位到个位排列：z ，y ，x. 由题意，得x ＝z.故zyx ＝xyx ＝101x ＋10y.zyx 11＝101x ＋10y 11＝99x ＋11y ＋2x －y 11＝9x ＋y ＋2x －y11为正整数． 又∵1≤x ≤4，x 为自然数，0≤y ≤9，∴2x －y ＝0. 故y ＝2x (1≤x ≤4，x 为自然数)．24．(本小题满分12分)(2019·眉山)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－49x 2＋bx ＋c 经过点A(－5，0)和点B(1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点P 是抛物线上A ，D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PG ⊥y 轴，交抛物线于点G ，过点G 作GF ⊥x 轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；(3)如图2，连接AD ，BD ，点M 在线段AB 上(不与A ，B 重合)，作∠DMN ＝∠DBA ，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)∵A (－5，0)，B (1，0)，∴设抛物线的解析式为y ＝－49(x ＋5)(x －1)＝－49x 2－169x ＋209，配方得y ＝－49(x ＋2)2＋4.∴顶点D 的坐标为(－2，4)．(2)设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ，－49a 2－169a ＋209，则PE ＝－49a 2－169a ＋209，PG ＝2(－2－a )＝－4－2a ， ∴矩形PEFG 的周长＝2(PE ＋PG )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－49a 2－169a ＋209－4－2a ＝－89a 2－689a －329＝－89⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1742＋22518. ∵－89＜0， ∴当a ＝－174时，矩形PEFG 的周长最大，此时，点P 的横坐标为－174.(3)存在．∵DA ＝DB ，∴∠DAB ＝∠DBA.∵∠AMN ＋∠DMN ＝∠MDB ＋∠DBA ，且∠DMN ＝∠DBA ， ∴∠AMN ＝∠MDB ，∴△AMN ∽△BDM ，∴AN MB ＝AM DB .易求得AB ＝6，AD ＝DB ＝5，△DMN 为等腰三角形有三种可能：①当MN ＝DM 时，则△AMN ≌△BDM ，∴AM ＝DB ＝5，∴AN ＝MB ＝1；②当DN ＝MN 时，则∠ADM ＝∠DMN ＝∠DBA.又∵∠DAM ＝∠BAD ，∴△DAM ∽△BAD ，∴AD 2＝AM ·AB ， ∴AM ＝256，∴MB ＝6－256＝116，∵AN MB ＝AM DB ，∴AN116＝2565 ，∴AN ＝5536；③当DN ＝DM 时不成立．∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ，∴∠DNM ＞∠DMN ，∴DN ≠DM ，矛盾．综上所述，存在点M 满足要求，AN 的长为1或5536.。

2020版中考数学24分提分题组特训(10套 含答案)

2020版中考数学24分提分题组特训(10套 含答案)

24分提分题组（10套）题组训练 1(时间：30分钟 分值：24分)1. 已知平行四边形OABC 的顶点A ，C 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点A 与点C 关于对角线OB 对称，且∠AOC ＝30°，若OA ＝2，则过点B 的反比例函数解析式为________．第1题图2. (本小题满分10分)2019年4月29日至10月7日，2019年中国北京世界园艺博览会(简称北京世园会)在中国北京市延庆区举行，展期162天．这是继云南昆明后第二个获得国际园艺生产者协会批准及国际展览局认证授权举办的A 1级国际园艺博览会．北京世园会门票种类分为平日票、指定日票、三次票等票种，同时按销售对象分为普通票、优惠票和团队票(学生享受优惠票，15人以上可以享受团体票)．指定日包括开园日、“五一”假期、端午节假期、中秋节假期、“十一”假期这些日期，其余时间为平日；三次票是指除指定日外，同一持票人在展会期间可以任选三天入园的票种．具体如下表：小明，小亮两家共10人打算一起参观北京世园会(10人均需购票)．(1)若他们端午节去北京世园会参观购买门票共花费1360元，问他们购买普通票和优惠票各几张？(2)如果他们平日去北京世园会参观，且购买门票的费用不超过2000元，那么在保证游玩的前提下最多可以买几张三次票？共有几种买票方案？分别是什么？3. (本小题满分10分)甲、乙两个销售部售卖同一种成本为8元/件的商品，分别采用不同的销售模式，甲销售部的标价为14元/件，采用“买二赠一”的优惠方式；乙销售部的标价为12元/件，采用“第二件半价”的优惠方式．下表是两个销售部今年2月份每周商品的总销售量：(1) 随机从甲销售部中选取一组数据，求每周的销售利润达到500元以上的概率；(2) 根据以上信息，以甲、乙两个销售部2月份的销售情况为依据，解决下列问题：①估计甲销售部每周的平均销售利润为多少元？②该公司销售总监想要从这两种优惠方式中选定一种，作为明年同期该商品的优惠策略，如果仅从平均销售利润的角度考虑，请利用所学的统计知识解决问题，并说明理由．题组训练2(时间：30分钟 分值：24分)1. 如图，平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，B (2，2)，将正方形OABC 绕O 点旋转到正方形OA ′B ′C ′的位置，已知两正方形的重叠部分面积为433，且点C ′在反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象上，则k 的值为________．第1题图2. (本小题满分10分)规定：在平面直角坐标系内，某直线l1绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线l2称为l1的“旋转垂线”．(1)求出直线y＝－x＋2的“旋转垂线”的解析式；(2)若直线y＝k1x＋1(k1≠0)的“旋转垂线”为直线y＝k2x＋b.求证：k1·k2＝－1.第2题图3. (本小题满分10分)机械表是日常生活中常见的一类钟表，与电子表不同，机械表受环境、机芯等因素的影响常会产生走时误差．现为了比较市场上甲、乙两款机械表的精准度，从两款表中，各随机抽取一块进行每日走时误差的检测，连续检测10天，两款表每日走时误差的统计数据如图(单位：秒)：(1)甲、乙两种机械表的平均走时误差分别是多少？(2)小明现计划购买一块机械表，如果仅从走时的准确度考虑，你会推荐他购买甲、乙哪一种，请说明理由．机械表走时误差统计图第3题图题组训练3(时间：30分钟 分值：24分)1. 如图，函数y ＝k x (x ＜0)的图象与直线y ＝－33x 交于A 点，将直线OA 绕O 点顺时针旋转30°，交函数y ＝kx(x ＜0)的图象于B 点，若线段AB ＝32－6，则k ＝________．第1题图2. (本小题满分10分)如图，△OBD 中，OD ＝BD ，△OBD 绕点O 逆时针旋转一定角度后得到△OAC ，此时B ，D ，C 三点正好在一条直线上，且点D 是BC 的中点．(1)求∠COD 度数；(2)求证：四边形ODAC 是菱形．第2题图3. (本小题满分10分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量(单位：m3)，得到频数分布表如下：表1未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表表2使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表(1)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3 m3的概率；(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表)题组训练4(时间：30分钟 分值：24分)1. 已知一次函数y ＝－43x ＋4的图象分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx ()x ＞0的图象交于点C ，若AB ＝AC ，则k 的值为________．2. (本小题满分10分)如图，AB 是⊙O 的直径，P A ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，PC 的延长线交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E .(1)求证：∠EPD ＝∠EDO ；(2)若PC ＝6，tan ∠PDA ＝34，求OE 的长．第2题图3. (本小题满分10分)某学校从甲、乙两名班主任中选拔一名参加教育局组织的班主任技能比赛，选拔内容分案例分析、班会设计、才艺展示三个项目，选拔比赛结束后，统计这两位班主任成绩并制成了如图所示的条形统计图：第3题图(1)求乙班主任三个项目成绩的中位数；(2)用6张相同的卡片分别写上甲、乙两名班主任的六项成绩，洗匀后，从中任意抽取一张，求抽到的卡片写有“80”的概率；(3)若按照图②所示的权重比进行计算，选拔分数最高的一名班主任参加比赛，应确定哪名班主任获得参赛资格，说明理由．题组训练5(时间：30分钟 分值：24分)1. 如图，直线y ＝－x ＋8与双曲线y ＝kx 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B ，C 重合)，过P 作y 轴的平行线，交双曲线于点D ，连接CD ，若点A 的横坐标为－1，则△PDC 面积的最大值为________．第1题图2. (本小题满分10分)某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为18元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y (万个)与销售单价x (元/个)之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：(1)求y与x之间的函数关系；(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)请你帮助分析，公司销售单价定为多少时获利最大？并求出最大利润．3. (本小题满分10分)老师随机抽查了本学期学生阅读课外书册数的情况，并将抽查结果绘制成条形统计图(图①)和不完整的扇形统计图(图②)，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．第3题图(1)条形统计图中被遮盖的人数为________人，被抽査的学生读书册数的中位数为________册；(2)扇形统计图中5册所占的圆心角的度数为________；(3)在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；(4)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将补查数据与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，求最多补查了几人．题组训练6(时间：30分钟 分值：24分)1. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，OA 在x 轴的正半轴上，∠AOC ＝60°，过点C 的反比例函数y ＝43x的图象与AB 交于点D ，则△COD 的面积为________．第1题图2. (本小题满分10分)某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上(含80分)，则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：(1)若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩；(2)若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶2∶7的权重来确定期末评价成绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？②小王在期末(期末成绩为整数)应该最少考多少分才能达到优秀？3. (本小题满分10分)直觉的误差：有一张8 cm×8 cm的正方形纸片，面积是64 cm2.把这些纸片按图①所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的四个小块按图②所示重新拼合，这样就得到了一个13 cm×5 cm的长方形，面积是65 cm2，面积多了1 cm2.这是为什么？小明给出如下证明：如图②可知，tan∠CEF＝83，tan∠EAB＝135，∵tan∠CEF>tan∠EAB，∴∠CEF>∠EAB，∵EF∥AB，∴∠EAB＋∠AEF＝180°，∴∠CEF＋∠AEF＞180°，因此A，E，C三点不共线．同理A，G，C三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1 cm2.(1)小红给出的证明思路为：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成她的证明；(2)将13 cm ×13 cm 的正方形做类似的剪开拼合，是否可以拼合成一个长方形，但面积少了1 cm 2？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，请说明理由．第3题图题组训练7(时间：30分钟 分值：24分)1. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y 1＝k 1x (x ＞0)的图象与y 2＝k 2x(x ＞0)的图象关于x 轴对称，Rt △AOB 的顶点A ，B 分别在y 1＝k 1x (x ＞0)和y 2＝k 2x (x ＞0)的图象上．若OB ＝AB ，点B 的纵坐标为－2，则点A 的坐标为________．第1题图2. (本小题满分10分)现如今，外卖市场竞争激烈，美团、百度、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪1000元，另加外卖送单补贴(送一次外卖称为一单)，具体方案如下：(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；(2)设这个月“外卖小哥”送餐x 单，所得工资为y 元，求y 与x 的函数关系式； (3)若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资6400≤y ≤6500，求m 的取值范围．3. (本小题满分10分)中国电信本地网营业区内通话费是：前3分钟为0.2元(不足3分钟的按3分钟计算)，以后每分钟加收0.1元(不足1分钟的按1分钟计算)，上星期天，一位学生调查了A，B，C，D，E五位同学某天打本地网营业区内电话的通话时间情况，原始数据如表一：表一表二(1)问D同学这天的通话费是多少？(2)设通话时间为t(分)，试根据表一填写频数(落在某一时间段上的通话次数)分布表(表二)；(3)调整前执行的原电话收费标准是：每3分钟为0.2元(不足3分钟的按3分钟计算)，问：这五名位同学这天的实际平均通话费，与用原电话收费标准算出的平均通话费相比，是增多了，还是减少了？若增多，多多少？若减少，少多少？题组训练8(时间：30分钟 分值：24分)1. 如图，函数y ＝1x (x ＞0)和y ＝3x(x ＞0)的图象分别是l 1和l 2.设点P 在l 2上，P A ∥y 轴，交l 1于点A ，PB ∥x 轴，交l 1于点B ，则△P AB 的面积为________．第1题图2. (本小题满分10分)某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用20 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD (篱笆只围AB ，BC 两边)，设AB ＝x m .(1)若花园的面积为96 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是11 m和5 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．第2题图3. (本小题满分10分)某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评A，B，C，D，E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价(评价结果如演讲答辩得分表)；全班50位同学则参与民主测评进行投票(投票结果如民主测评统计图)：演讲答辩得分表民主测评统计图第3题图规定：演讲得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分．(1)求甲、乙两位选手各自演讲答辩的平均分；(2)试求民主测评统计图中a、b的值是多少？(3)若按演讲答辩得分和民主测评6∶4的权重比计算两位选手的综合得分，则应选取哪位选手当班长？题组训练8(时间：30分钟 分值：24分)1. 如图，直线y ＝－x －2，交两坐标轴于A ，B 两点，将线段AB 平移到线段CD ，使两点都落在y ＝kx (x＞0)的图象上，DM ⊥y 轴于点M ，DN ⊥x 轴于点N ，则DM －DN 的值为________．第1题图2. (本小题满分10分)学校轮滑社为吸引更多的轮滑爱好者，欲购进一批轮滑鞋供学生借用学习轮滑，现从全校抽取一部分同学，对他们平时所穿鞋的大小进行了调查，根据调查结果绘制成如下所示统计图：第2题图根据统计图回答下列问题：(1)直接写出图中m ，n 的值，若轮滑社要购买轮滑鞋的话，则需要重点关注这组数据的______；(平均数，中位数，众数，方差)(2)已知一双轮滑鞋的原价为200块钱，因购买数量较多，现厂家提供两种购买方案，一种是购买的轮滑鞋单价均以九折的价格出售；另一种是购买超过60双时，超过部分按照原价的八折出售．现轮滑社准备购买100双轮滑鞋，试从价格方面说明，选择哪种购买方案更合算，需要多少钱？3. (本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝60°，点D 是AC ︵的中点，点E 在OC 的延长线上，且CE ＝AD ，连接DE .(1)求证：四边形AOCD 是菱形； (2)若AD ＝6，求DE 的长．第3题图题组训练10(时间：30分钟 分值：24分)1. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 过原点O ，且点A 在反比例函数y ＝8x (x ＞0)的图象上运动，则正方形ABCD 面积的最小值为________．第1题图2. (本小题满分10分)为落实“美丽城区”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造480米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？(2)若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过66万元，至少安排甲队工作多少天？3. (本小题满分10分)经济快速发展使得网店的规模越来越大，现甲、乙两家电商公司拟各招聘一名网络客服，日工资方案如下：甲公司规定底薪100元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪140元，日销售量不超过44件没有提成，超过44件且不超过48件时，超过的部分每件提成8元，超过48件的部分每件提成10元．现随机抽取了甲、乙两家销售公司100天的销售单，对两个公司的推销员平均每天销售单数进行统计，数据如下：第3题图(1)如果甲公司一名网络客服的日销售件数为46件，则甲公司这名网络客服当日的工资为多少元？(2)设乙公司一名网络客服的日工资为y(单位：元)，日销售件数为x件，写出乙公司一名网络客服的日工资y(单位：元)与销售件数x的关系式；(3)小华利用假期到两家公司中的一家应聘网络客服，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．参考答案题组训练11. y ＝4＋23x 【解析】∵四边形OABC 是平行四边形，点A 与点C 关于对角线OB 对称，∴四边形OABC 是菱形，∴OC ＝BC ＝OA ＝2.如解图，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，易得∠COD ＝30°，CD ＝1，OD ＝ 3.过点B 作x 轴的垂线与过点C 作x 轴的平行线交于点E ，易得∠CBE ＝30°，CE ＝1，BE ＝3，∴点B 的坐标为(1＋3，1＋3)，∴过点B 的反比例函数解析式为y ＝4＋23x.第1题解图2. 解：(1)设购买普通票x 张，优惠票y 张，依题有⎩⎨⎧x ＋y ＝10，160x ＋100y ＝1360，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.答：他们购买普通票6张，优惠票4张；(2)设他们买了m 张三次票(m 为整数)，他们平日去参观世园会，如果不考虑三次票的话， ∵买票需用6×120＋4×80＝1040(元)， 剩下2000－1040＝960(元)， 960÷300＝3.2＞3， 又∵2000÷300＝623＜7，∴3＜m ＜7，依题有120(6－m )＋300m ＋80[10－m －(6－m )]≤2000， 解得m ≤513，又∵m 为整数， ∴m ≤5，答：此时最多可以买5张三次票．买5张三次票的前提下共有以下两种购票方案，分别为：三次票5张，普通票1张，优惠票4张；三次票5张，普通票2张，优惠票3张．3. 解：(1)由题意得，甲销售部第一周的销售利润为：330×23×14－330×8＝440(元)，第二周的销售利润为：300×23×14－300×8＝400(元)，第三周的销售利润为：420×23×14－420×8＝560(元)，第四周的销售利润为：450×23×14－450×8＝600(元)，∴每周甲销售部的销售利润达到500元以上的概率为24＝12；(2)①甲销售部每周的平均销售利润为14×(440＋400＋560＋600)＝500(元)；②由题意得，乙销售部第一周的销售利润为512×12×(12－8)＋512×12×(12×12－8)＝512(元)，同理计算出第二周的销售利润为240元，第三周的销售利润为480元，第四周的销售利润为500元，∴乙销售部每周的平均销售利润为14×(512＋240＋480＋500)＝433(元)．∵500＞433，∴应选择甲销售部的优惠方式．题组训练21. －3 【解析】如解图，连接OD ，可知△ODA ′≌△ODC ，∵两正方形折叠部分的面积为433，OA ′＝2，∴2×12OA ′×A ′D ＝433，解得：A ′D ＝233，∴tan ∠A ′OD ＝A ′D OA ′＝2332＝33，∴∠A ′OD ＝30°，∴正方形ABCD 绕点O 旋转了30°，∴∠COC ′＝30°，∴OC ′与x 轴所成的角度为60°，∴点C ′的纵坐标为：OC ′·sin60°＝3，横坐标为：OC ′·cos60°＝1，∴点C ′的坐标为(－1，3)．设过点C ′的反比例函数的解析式为：y ＝kx ，∴k ＝－1×3＝－ 3.第1题解图2. (1)解：∵直线y ＝－x ＋2经过点(2，0)与(0，2)，∴这两点绕原点O 顺时针旋转90°的对应点为(0，－2)与(2，0)， 设直线y ＝－x ＋2的“旋转垂线”的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)， 把(0，－2)与(2，0)代入y ＝kx ＋m得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，2k ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－2. ∴直线y ＝－x ＋2的“旋转垂线”解析式为y ＝x －2; (2) 证明：∵直线y ＝k 1x ＋1 (k 1≠0)经过点(－1k 1，0)与(0，1)，∴这两点绕原点O 顺时针旋转90°的对应点为(0，1k 1)与(1，0)，把(0，1k 1)与(1，0)代入y ＝k 2x ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k 1，k 2＋b ＝0.∴k 2＋1k 1＝0，∴k 1·k 2＝－1.3. 解：(1)甲种机械表的平均走时误差为110×(1－3－4＋4＋2－2＋2－1－1＋2)＝0，乙种机械表的平均走时误差为110×(4－3－1＋2－2＋1－2＋2－2＋1)＝0；(2)推荐小明购买乙种机械表．理由如下： 分别计算甲、乙两种机械表的方差：s 2甲＝110[()1－02＋()－3－02＋()－4－02＋(4－0)2＋(2－0)2＋(－2－0)2＋(2－0)2＋(－1－0)2＋(－1－0)2＋(2－0)2]＝110×60＝6，s 2乙＝110[()4－02＋()－3－02＋()－1－02＋(2－0)2＋(－2－0)2＋(1－0)2＋(－2－0)2＋(2－0)2＋(－2－0)2＋(1－0)2]＝110×48＝4.8，∵s 2甲>s 2乙且两种机械表走时误差的平均值相同，∴乙种机械表走时误差的方差较小，即走时准确度较高， ∴推荐小明购买乙种机械表．题组训练31. －33 【解析】如解图，作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，AE ⊥BD 于点E ，点A 在直线y ＝－33x 上，可设A 点坐标为(3a ，－3a )，在Rt △OAC 中，OC ＝－3a ，AC ＝－3a ，∴OA ＝AC 2＋OC 2＝－23a ，∴∠AOC ＝30°，∵直线OA 绕O 点顺时针旋转30°得到直线OB ，∴OA ＝OB ，∠BOD ＝60°，∴∠OBD ＝30°，∴Rt △OAC ≌Rt △BOD ，∴OD ＝AC ＝－3a ，BD ＝OC ＝－3a ，易得四边形ACDE 为矩形，∴AE ＝OD －OC ＝－3a ＋3a ，BE ＝BD －AC ＝－3a ＋3a ，∴AE ＝BE ，∴△ABE 为等腰直角三角形，∴AB ＝2AE ，即32－6＝2(－3a ＋3a )，解得a ＝－1，∴A 点坐标为(－3，3)，而点A 在函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝－3×3＝－3 3.第1题解图2. (1)解：由题意得：OC ＝OD ＝BD ； ∵点D 是BC 的中点， ∴CD ＝BD ，OD ＝12BC ，∴△OBC 为直角三角形，而OC ＝12BC ，∴∠B ＝30°，∠OCD ＝90°－30°＝60°； ∵OD ＝CD ，∴∠COD ＝∠OCD ＝60°. (2)证明：∵OD ＝BD ， ∴∠DOB ＝∠B ＝30°，由旋转变换的性质知： ∠COA ＝∠CAO ＝∠B ＝30°，∴∠AOD ＝90°－2×30°＝30°，∴∠CAO ＝∠AOD ＝30°， ∴AC ∥OD ，而AC ＝OD ，∴四边形ADOC 为平行四边形，而OC ＝OD ， ∴四边形ODAC 是菱形．3. 解：(1)由表2数据可得，使用了节水龙头后，50天日用水量小于0.3的频数为1＋5＋13＝19， ∴50天的日用水量小于0.3 m 3的频率为1950.∴由频率估计概率得该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3 m 3的概率约为1950；(2)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为：150×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48； 该家庭使用节水龙头50天日用水量的平均数为：150×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35， ∵(0.48－0.5)×365＝47.45，∴使用节水龙头后，一年可节省水约47.45 m 3.题组训练41. －24 【解析】根据题意画示意图如解图，并过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则OB ∥CD ，∴∠OBA ＝∠DCA ，由⎩⎪⎨⎪⎧∠BAO ＝∠CAD ，AB ＝AC ，∠OBA ＝∠DCA ，可得△BAO ≌△CAD (ASA )，∴OB ＝DC ，OA ＝DA ，由一次函数y ＝－43x ＋4可知A (3，0)，B (0，4)，∴OA ＝3，OB ＝4，则AD ＝3，CD ＝4，∴OD ＝6，∴点C 的坐标为(6，－4)，∴k ＝6×(－4)＝－24.第1题解图2. (1)证明：∵P A ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ， ∴P A ＝PC ，∠OP A ＝∠EPD ，∠OAP ＝90°， ∴∠OP A ＋∠AOP ＝90°， ∵DE ⊥PO ， ∴∠OED ＝90°，∴∠DOE ＋∠EDO ＝90°， ∵∠AOP ＝∠DOE ， ∴∠OP A ＝∠EDO ， ∴∠EPD ＝∠EDO ；(2)解：∵P A ＝PC ＝6，∠OAP ＝90°，tan ∠PDA ＝P A AD ＝34，∴AD ＝43P A ＝8，∴PD ＝P A 2＋AD 2＝10， ∴DC ＝PD －PC ＝4， ∵PD 是⊙O 的切线， ∴DC 2＝DB ·AD ， ∴BD ＝DC 2AD ＝428＝2，∴AB ＝AD －BD ＝6，∴OA ＝3，OD ＝AD －OA ＝5，∴OP ＝OA 2＋P A 2＝35， ∵DE ⊥PO ，∴∠E ＝90°＝∠OAP ， ∵∠DOE ＝∠AOP ， ∴△ODE ∽△OP A ， ∴OE OA ＝OD OP ，即OE 3＝535， ∴OE ＝ 5.3. 解：(1)乙班主任的得分从小到大依次为：72，80，85， ∴乙班主任三个项目的成绩中位数为80； (2)∵六张卡片中写着“80”的共两张， ∴P (抽到的卡片写有“80”)＝26＝13；(3)甲班主任，理由如下：甲班主任得分：70×30%＋80×60%＋87×10%＝77.7分； 乙班主任的得分：80×30%＋72×60%＋85×10%＝75.7分； ∵77.7＞75.7，∴甲班主任获得参赛资格．题组训练51.252【解析】把x ＝－1代入y ＝－x ＋8，得y ＝1＋8＝9，则A 的坐标是(－1，9)，把(－1，9)代入y ＝kx 得k ＝－9.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋8，y ＝9x ，得B (9，－1)，设点P 的横坐标是m ，则0＜m ＜9，把x ＝m 代入y ＝－x ＋8，得y ＝－m ＋8，则点P 的坐标是(m ，－m ＋8)．把x ＝m 代入y ＝－9x 得y ＝－9m ，则PD ＝－m ＋8＋9m .设△PDC的面积为X ，X ＝12(－m ＋8＋9m )m ，即X ＝－12m 2＋4m ＋92＝－12(m －4)2＋252，∵－12＜0，∴当m ＝4时，X 有最大值，X 的最大值是252.∴△PDC 的面积的最大值为252.2. 解：(1)设每月销售量y (万个)与销售单价x (元/个)之间的函数关系式为：y ＝kx ＋b ，把(20，60)，(30，40)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝60，30k ＋b ＝40，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝100.∴y 与x 之间的函数关系为：y ＝－2x ＋100. (2)∵一件产品的利润率不得高于50%， ∴x ≤(1＋50%)×18＝27，设该公司获得的利润为w ，则w ＝y (x －18) ＝(－2x ＋100)(x －18) ＝－2x 2＋136x －1800 ＝－2(x －34)2＋512，∵－2＜0，图象开口向下，对称轴左侧w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝27时，w 最大，最大值为414万元．答：公司销售单价定为27元时获利最大，最大利润为每月414万元． 3. 解：(1)9，5；【解法提示】∵被调查的总人数为6÷25%＝24(人)， ∴5册的人数为24－(5＋6＋4)＝9(人)，被抽査的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5册， ∴被抽査的学生读书册数的中位数为5册． (2)135°；【解法提示】扇形图中5册所占的圆心角的度数为360°×924＝135°.(3)选中读书超过5册的学生的概率为6＋424＝512；(4)∵4册和5册的人数和为14，中位数没有改变， ∴总人数不能超过27，即最多补查了3人．题组训练61. 43 【解析】如解图，作DF ∥AO 交OC 于点F ，CE ⊥AO 于点E ，∵∠AOC ＝60°，∴tan ∠AOC ＝3，设OE ＝x ，则CE ＝3x ，∴x ·3x ＝43，∴x ＝2或－2(舍去)，∴OE ＝2，CE ＝23，由勾股定理得：OC ＝4，∴S 菱形OABC ＝OA ·CE ＝4×23＝83，∵四边形OABC 为菱形，∴AB ∥CO ，AO ∥BC ，∵DF ∥AO ，∴S △ADO ＝S △DFO ，同理S △BCD ＝S △CDF ，∵S 菱形ABCO ＝S △ADO ＋S △DFO ＋S △BCD ＋S △CDF ，∴S 菱形ABCO ＝2(S △DFO ＋S △CDF )＝2S △CDO ＝83，∴S △CDO ＝4 3.第1题解图2. 解：(1)小张的期末评价成绩为70＋90＋803＝80(分)；(2)①小张的期末评价成绩为70×1＋90×2＋80×71＋2＋7＝81(分)；②设小王期末考试成绩为x 分， 根据题意，得：60×1＋75×2＋7x1＋2＋7≥80，解得x ≥84.3，∴小王在期末(期末成绩为整数)应该最少考85分才能达到优秀．3. 解：(1)如解图①，以点B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则点A (0，5)，E (5，3)，C (13，0)，第3题解图①方法一：可得直线AC：y＝－513x＋5，当x＝5时，y＝－513×5＋5＝4013≠3，故点E不在直线AC上，∴A，E，C三点不共线．同理A，G，C三点不共线，∴拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1 cm2；方法二：可得AC＝132＋52＝194，AE＝52＋22＝29，CE＝82＋32＝73，∵AE＋EC≠AC，故点E不在AC上，∴A，E，C三点不共线．同理A，G，C三点不共线，∴拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1 cm2；(2)能．如解图②、③，设剪开的三角形的短边长为x cm，依题意得：(13－x)(13＋13－x)＝13×13－1，解得x1＝5，x2＝34(舍去)，故能将13 cm×13 cm的正方形做这样的剪开拼合，可以拼合成一个8 cm×21 cm的长方形，但面积少了1 cm2.第3题解图②第3题解图③题组训练71. (3＋5，－1＋5) 【解析】如解图，作正方形ABOC ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，∴∠ODC ＝∠BEO ＝90°，OB ＝OC ，∠COD ＋∠BOE ＝90°，∵∠COD ＋∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BOE ，∴△COD ≌△OBE ，∴CD ＝OE ＝2，OD ＝BE ，S △COD ＝S △OBE ，∵反比例函数y 1＝k 1x (x ＞0)的图象与y 2＝k 2x (x ＞0)的图象关于x 轴对称，∴k 1＋k 2＝0，∵点C 在双曲线y 1＝k 1x 上，设B (m ，－2)(m ＞0)，∴C (2，m )，∴k 1＝2m ，连接BC 交OA 于H ，则CH ＝BH ，OH ＝AH ，∴H (m ＋22，m －22)，∴A (m ＋2，m －2)，∴k 1＝(m ＋2)(m －2)，∴(m ＋2)(m －2)＝2m ，∴m ＝1＋5或m ＝1－5(舍)，∴m ＋2＝3＋5，m －2＝－1＋5，∴A (3＋5，－1＋5)．第1题解图2. 解：(1)由题意可得，1000＋500×6＋(600－500)×8＝1000＋3000＋800＝4800(元)， 答：他这个月的工资总额是4800元； (2)由题意可得，当0<x ≤500时，y ＝1000＋6x ，当500<x ≤m 时，y ＝1000＋500×6＋(x －500)×8＝8x ，当x >m 时，y ＝1000＋500×6＋(m －500)×8＋(x －m )×10＝10x －2m ，综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1000＋6x （0<x ≤500）8x （500<x ≤m ）10x －2m （x >m ）； (3)若800<m ≤900，y ＝8×800＝6400，符合题意， 若700≤m ≤800，6400≤－2m ＋10×800≤6500， 解得750≤m ≤800，∴m 的取值范围为750≤m ≤800.3. 解：(1)D 同学这天的通话费为0.2×3＋0.1×(1＋2)＝0.9(元)； (2)填写表二如下表，(3)调整前的平均通话费＝[0.2×2＋0.4×(5＋2＋1)]÷5＝0.72(元)；新的电话收费标准的平均通话费＝(0.2×2＋0.3×5＋0.4×2＋0.5×1)÷5＝0.64(元)． ∵0.72－0.64＝0.08(元)，∴与用原电话收费标准算出的平均通话费相比，是减少了，少0.08元．题组训练81. 23 【解析】设点P (m ，n )，∵P 是反比例函数y ＝3x 图象上的点，∴n ＝3m ，∴点P (m ，3m)，∵PB ∥x轴，∴B 点的纵坐标为3m ，将点B 的纵坐标代入反比例函数的解析式y ＝1x 得：x ＝m 3，∴B (m 3，3m )，同理可得：A (m ，1m )，∵PB ＝m －m 3＝2m 3，P A ＝3m －1m ＝2m ，∴S △P AB ＝12P A ·PB ＝12×2m 3×2m ＝23.2. 解：(1)∵AB ＝x m ，∴BC ＝(20－x ) m ，根据题意得：x (20－x )＝96. 解得：x 1＝12，x 2＝8， 答：x 的值是12 m 或8 m ； (2)设花园的面积为S ，则S ＝x (20－x )＝－(x －10)2＋100.∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离是11 m 和5 m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，20－x ≥11， ∴5≤x ≤9.∵－1＜0，图象开口向下，对称轴左侧S 随x 的增大而增大， ∴当x ＝9时，S 有最大值， S 最大＝－(9－10)2＋100＝99 m 2. 答：花园面积的最大值是99 m 2. 3. 解：(1)甲演讲答辩的平均分为： 13×(90＋92＋94)＝92， 乙演讲答辩的平均分为：13×(89＋87＋91)＝89；(2)a ＝50－40－3＝7， b ＝50－42－4＝4；(3)甲民主测评分为：40×2＋7＝87，乙民主测评分为：42×2＋4＝88，∴甲综合得分：92×6＋87×46＋4＝90， 乙综合得分：89×6＋88×46＋4＝88.6. ∵90＞88.6，∴应选择甲当班长．题组训练91. 2 【解析】如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，交MD 于点G .在y ＝－x －2中，令x ＝0，解得y ＝－2；令y ＝0，解得x ＝－2.则A ，B 的坐标分别是(－2，0)和(0，－2)，∴OA ＝OB ＝2.∵线段AB 平移到线段CD ，∴AB ∥CD ，AB ＝CD .又∵CF ⊥x 轴，DM ⊥y 轴，∴CG ＝DG ＝OA ＝OB .根据反比例函数关于直线y ＝x 对称，则有CF ＝DM ，∴DM －DN ＝CF －DN ＝CG ＝OB ＝2.第1题解图2. 解：(1)m ＝15，n ＝8；众数；【解法提示】m %＝1－(10%＋20%＋25%＋30%)＝15%；由图可知，调查的总人数为4÷10%＝40，∴37号鞋码的人数为40×20%＝8；鞋厂需要关注的是更多人的鞋码大小，对应在数据中是众数．(2)第一种方案：200×90%×100＝18000(元)．第二种方案：60×200＋200×80%×(100－60)＝18400(元)．∵18400>18000，∴使用第一种方案划算，需要18000元．3. (1)证明：如解图，连接OD ，∵点D 是AC ︵的中点，∴AD ︵＝DC ︵，∴AD ＝DC ，∠AOD ＝∠DOC ，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝120°，∴∠AOD ＝∠DOC ＝60°，∵OC ＝OD ，∴△COD 是等边三角形，∴OC ＝CD ，∴OA ＝OC ＝CD ＝AD ，∴四边形AOCD 是菱形；(2)解：由(1)可知，△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∵CE ＝AD ，CD ＝AD ，∴CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠CED ＝12∠OCD ＝30°，∴∠ODE ＝∠ODC ＋∠CDE ＝90°， 在Rt △ODE 中，DE ＝OD ·tan ∠DOE ＝6×tan60°＝6 3.第3题解图题组训练101. 32 【解析】如解图，点A 在反比例函数y ＝8x (x ＞0)的图象上，可设A (a ，8a)，过点A 作AH ⊥x 轴于点H .则OA 2＝OH 2＋AH 2＝a 2＋(8a )2＝a 2＋64a 2.连接BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，∴S 正方形ABCD ＝12AC ·BD ＝12AC 2＝2OA 2＝2(a 2＋64a 2)＝2(a －8a )2＋32，∴当(a －8a )2＝0，即a ＝8a 时，S 正方形ABCD 取得最小值，最小值为32.第1题解图2. 解：(1)设乙工程队每天能改造道路x 米，则甲工程队每天能改造道路32x 米， 依题意，得：480x －48032x ＝4， 解得：x ＝40，经检验，x ＝40是分式方程的解，且符合题意，∴32x ＝60. 答：甲工程队每天能改造道路60米，乙工程队每天能改造道路40米；(2)设安排甲队工作m 天，则安排乙队工作1200－60 m 40天， 依题意，得：3m ＋2.4×1200－60 m 40≤66， 解得：m ≥10.答：至少安排甲队工作10天．3. 解：(1)100＋46×1＝146(元)，∴甲公司这名网络客服当日的工资为146元；(2)当x ≤44时，y ＝140，当44＜x ≤48时，y ＝140＋8(x －44)＝8x －212，当x ＞48时，y ＝140＋8×(48－44)＋10(x －48)＝10x －308，∴乙公司一名网络客服的日工资y 与销售件数x 的关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧140 （x ≤44）8x －212 （44＜x ≤48）10x －308 （x ＞48）；(3)甲公司一名网络客服的平均日工资为：(42×20＋44×40＋46×20＋48×10＋50×10)÷(20＋40＋20＋10＋10)＋100＝145(元)；乙公司一名网络客服的平均日工资为：[140×10＋140×10＋(8×46－212)×30＋(8×48－212)×40＋(10×50－308)×10]÷(10＋10＋30＋40＋10)＝162.8(元)，∵145<162.8，∴如果从日均收入的角度考虑，建议他去乙公司．。

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合 》(含答案)

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合 》(含答案)

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合 》1．如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示．①线段DG 与BE 之间的数量关系是 ；②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 ；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．2．如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点（不与C ，D 两点重合），连接BE ，过点C 作CH ⊥BE 于点F ，交对角线BD 于点G ，交AD 边于点H ，连接GE ，（1）求证：△DHC ≌△CEB ；（2）如图2，若点E 是CD 的中点，当BE ＝8时，求线段GH 的长；（3）设正方形ABCD 的面积为S 1，四边形DEGH 的面积为S 2，当的值为时，的值为 ．3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．（1）求证：GD＝EG．（2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．（3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．5．（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN 绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为．（2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN 的周长．6．（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝，则的值是；（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE 和BD，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，当CD＝6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．7．如图1，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD′E．（1）当D′点落在AB边上时，∠DAE＝°；（2）如图2，当E点与C点重合时，D′C与AB交点F，①求证：AF＝FC；②求AF长．（3）连接D′B，当∠AD′B＝90°时，求DE的长．8．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，m），B（n，O），AC∥OB，且AC＝OB，连接BC交x轴于点F，其中m、n满足方程+n2+8n+16＝0．（1）求A、B两点坐标；（2）过A做AE⊥BC于E，延长AE交x轴于点D，动点P从点B出发以每秒2个单位的速度向x轴正半轴方向运动，设△PFD的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PE，将△PED沿PE翻折到△PEG的位置（点D与点G对应），当四边形PDEG为菱形时，求点P和点G的坐标．9．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．10．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF＝CE，将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系．【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D重合，点F与点C重合时，易知：EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段FA绕点F顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG（如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）11．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．综合与实践动手操作：第一步：在矩形纸片ABCD的边BC，AD上分别取两点E，F，使CE＝AF；第二步：分别以DE，BF为对称轴将△CDE与△ABF翻折得到△C'DE与△A'BF，且边C'E 与A'B交于点G，边A'F与C'D交于一点H．问题解决：（1）求证：△BEG≌△DFH；（2）请判断四边形A'HC'G的形状，并证明你发现的结论；（3）已知tan∠EBG＝，A'G＝6，C'G＝1，求矩形纸片ABCD的面积．13．如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将△ACD绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置．（1）如图2，若AB＝2，α＝30°，求S△BCD′．（2）如图3，取AA′中点O，连OB、OD′、BD′．若△OBD′存在，试判定△OBD′的形状．（3）当α＝α1时，OB＝OD′，则α1＝°；当α＝α2时，△OBD′不存在，则α2＝°．14．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ．（1）沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处，①连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；②连接DF ，若≤DF ≤，求m 的取值范围．（2）△ABE 绕点A 顺时针旋转得△AB 1E 1，点E 1落在边AD 上时旋转停止．若点B 1落在矩形对角线AC 上，且点B 1到AD 的距离小于时，求m 的取值范围．15．如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ．（1）BE 和DG 的数量关系是 ，BE 和DG 的位置关系是 ；（2）把正方形ECGF 绕点C 旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD 的边长为4，正方形ECGF 的边长为3，正方形ECGF 绕点C 旋转过程中，若A 、C 、E 三点共线，直接写出DG 的长．16．如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．（1）求证：CE＝EF；（2）求△AEG的周长（用含a的代数式表示）；（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．17．问题情境：矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交，交点为E、F．探究1：如图1，当PE⊥AB，PF⊥BC时，则＝．探究2：如图2，在（1）的基础上，将三角板绕点P逆时针旋转，旋转角为α，（0°＜α＜60°），试求的值．探究3：在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°时，将顶点P在AC上移动且使＝时，如图3，试求的值．18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿B→A→C运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，以DE为一边在右侧作矩形DEFG，点F在BC边上，且EF：DE＝4：3，连结AG，CG，设运动时间为t（秒），矩形DEFG与△ABC重叠部分面积为S．（1）当AG＝CG时，求t的值．（2）当点D在边AB上运动时，求S与t的函数关系式．（3）当△ACG的面积为6时，直接写出t的值．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝32，DC＝24，AD＝42，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒4个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB 上以每秒2个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．20．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．参考答案1．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．2．证明（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS）．（2）解：∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DH∥BC，∴．∴GC＝2GH，设GH＝x，则，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝．（3）解：∵，∴，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DH∥BC，∴，∴，，设S△DGH ＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG ：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．故答案为：．3．解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠OAC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．4．证明：（1）如图1，延长EG交DC的延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠H＝GEB，且BG＝CG，∠BGE＝∠CGH，∴△CGH≌△BGE（AAS）∴GE＝GH，∵DE⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥DE，且GE＝GH，∴DG＝EG＝GH；（2）如图1：∵DB⊥EG，∴∠DOE＝∠DEB＝90°，且∠EDB＝∠EDO，∴△DEO∽△DBO，∴∴DE×DE＝4×（2+4）＝24，∴DE＝2，∴EO＝＝＝2，∵AB∥CD，∴， ∴HO ＝2EO ＝4， ∴EH ＝6，且EG ＝GH ， ∴EG ＝3，GO ＝EG ﹣EO ＝， ∴GB ＝＝＝，∴BC ＝2＝AD ， ∴AD ＝DE ，∴点E 与点A 重合，如图2：∵S 四边形ABCD ＝2S △ABD ，∴S 四边形ABCD ＝2××BD ×AO ＝6×2＝12；（3）如图3，过点O 作OF ⊥BC ，∵旋转△GDO ，得到△G ′D 'O ，∴OG ＝OG '，且OF ⊥BC ，∴GF ＝G 'F ，∵OF ∥AB ，∴＝＝，∴GF＝BG＝，∴GG'＝2GF＝，∴BG'＝BG﹣GG'＝，∵AB2＝AO2+BO2＝12，∵EG'＝AG'＝＝，＝．5．解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝8，∴BM+CM+CN+DN＝8，∴BC+CD＝8，∴BC＝CD＝4，故答案为4；（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE（SAS），∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）如图3，延长BA，CD交于G，∵∠BAM＝60°，∠MAD＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠GAD＝30°，∵AD＝2，∴DG＝1，AG＝，∵∠DAN＝15°，∴∠GAN＝45°，∴AG＝GN＝，∴BG＝2+，∴BC＝2BG＝4+2，CG＝BG＝2+3，∴CD＝CG﹣DG＝2+2，由（2）得，MN＝BM+DN，∴△CMN的周长＝CM+CN+MN＝CN+DN+CM+BM＝BC+CD＝4+2+2+2＝6+4．6．解：（1）∵DE∥BC，∴＝＝＝；故答案为：；（2）的值不变化，值为；理由如下：由（1）得：DE∥B，∴△ADE∽△ABC，∴＝，由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝；（3）在AB上截取AM＝AD＝3，过M作MN∥BC交AC于N，把△AMN绕A逆时针旋转得△ADE，连接CE，如图所示：则MN⊥AC，DE＝MN，∠DAE＝∠BAC，∴∠AED＝∠ANM＝90°，∵AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝＝，∴BC：AC：AB＝3：4：5，同（2）得：△ABD∽△ACE，∴＝＝，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，∴MN＝×AM＝×3＝，∵∠BAC＝∠ADC＝θ，∴∠DAE＝∠ADC＝θ，∴AE∥CD，∴∠CDE+∠AED＝180°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝＝＝，∴BD＝CE＝×＝．7．解：（1）由题意知△ADE≌△AD′E，∴∠DAE＝∠D′AE，∵D′点落在AB边上时，∠DAE+∠D′AE＝90°，∴∠DAE＝∠D′AE＝45°，故答案为：45；（2）①如图2，由题意知∠ACD＝∠ACD′，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∴∠ACD′＝∠BAC，∴AF＝FC；②设AF＝FC＝x，则BF＝10﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2＝CF2得（10﹣x）2+62＝x2，解得x＝6.8，即AF＝6.8；（3）如图3，∵△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E＝∠D＝90°，∵∠AD′B＝90°，∴B、D′、E三点共线，又∵△ABD′∽△BEC，AD′＝BC，∴△ABD′≌△BEC，∴BE＝AB＝10，∵BD′＝＝＝8，∴DE＝D′E＝10﹣8＝2；如图4，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC，∴BE＝AB＝10，∴DE＝D″E＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．8．解：（1）∵，，（n+4）2≥0，∴m﹣4＝0，n+4＝0，∴m＝4，n＝﹣4，∴A（0，4），B（﹣4，0）；（2）∵AC∥OB，∴∠C＝∠CBO，∠CAF＝∠BOF，∵AC＝OB，∴△ACF≌△OBF（ASA），∴AF＝OF＝2，∵OA＝OB，∠OAD＝∠OBF，∠BOF＝∠AOD，∴△BOF≌△AOD（ASA），∴OF＝OD＝2，∴BD＝6，①当0≤t＜3时，S＝PD•OF＝（6﹣2t）×2＝6﹣2t；②当t＞3时，S＝PD•OF＝（2t﹣6）×2＝2t﹣6；（3）①当0≤t＜3，如图2，∵AO＝4，OD＝2，∴AD＝，∵BD×OA＝AD×BE，∴BE＝，∴DE＝，∵四边形PDEG为菱形，∴DP＝DE＝EG＝，∵D（2，0），∴P（2﹣，0），作EH⊥BD于H，∵BE×DE＝BD×EH，∴EH＝，∴HD＝，∴OH＝，∴E（，），∵EG∥OB，∴G与E的纵坐标相同，∴G（﹣，）②当t＞3时，如图3，同理求得P（2+，0），G（+，）．9．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①连接BE，如图2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°；②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），＝BC•GN＝××（﹣1）＝．∴S△BCG10．【观察与猜想】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB＝∠ACD＝45°，由旋转的性质得：GC＝AC，∠ACG＝90°，∴∠ACB＝∠GCD＝45°，在△ABC和△GDC中，，∴△ABC≌△GDC（SAS），∴AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，∴DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝CD＝BC，∵点E与点D重合，点F与点C重合，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：EG＝BF，EG∥BF；【探究与证明】证明：点E、F分别在CD、BC边上任意位置时，如图③所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时，如图④所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；【拓展与延伸】解：＝＝k（k≠1）时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立；理由如下：作GM⊥BC，交BC延长线于M，如图⑤所示：则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，∠B＝∠GMF，由旋转的性质得：∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，∴△ABF∽△FMG，∴＝＝，∵＝＝k，∴＝＝k，＝＝k，∴FM＝BC，GM＝CE，∴BF＝CM，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：＝＝k（k≠1）．11．解：（1）AF＝DE．理由如下：∵四边形OADC是正方形，∴OA＝AD，∠DAE＝∠AOF＝90°，由题意得：AE＝OF，在△AOF和△DAE中，，∴△AOF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．理由如下：如图①所示：∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，HI∥AF，HK∥ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，∵△AOF≌△DAE，∴∠ADE＝∠OAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠OAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥ED，∵HI∥AF，HK∥ED，∴HI⊥HK，∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．（3）存在，理由如下：∵四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），∴OA＝AD＝OC＝4，∴C（4，0），∵点E为AO的中点，∴OE＝2，E（0，2）；分情况讨论：如图②所示，①当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M为CE 的中点，∴点M的坐标为（2，1），∵点M和N关于OC对称，∴N（2，﹣1）；②当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若M在y轴的左侧时，∵四边形OCM'N'是菱形，∴OM'＝OC＝4，M'N'∥OC，∴△M'FE∽△COE，∴＝＝2，设EF＝x，则M'F＝2x，OF＝x+2，在Rt△OM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）2＝42，解得：x＝，或x＝﹣2（舍去），∴M'F＝，FN＝4﹣M'F＝，OF＝2+＝，∴N'（，）；若M在y轴的右侧时，作N''P⊥OC于P，∵ON''∥CM''，∴∠PON''＝∠OCE，∴tan∠PON''＝＝tan∠OCE＝＝，设PN''＝y，则OP＝2y，在Rt△OPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）2＝42，解得：y＝，∴PN''＝，OP＝，∴N''（，﹣）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，﹣1）或（，）或（，﹣）．12．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD，CD＝AB，∠C＝∠ABC＝∠A＝∠ADC＝90°，∵CE＝AF，∴BC﹣CE＝AD﹣AF，即BE＝DF，在△DCE和△BAF中，，∴△DCE≌△BAF（SAS），∴∠CDE＝∠ABF，∠CED＝∠AFB，由折叠的性质得：∠CDE＝∠C′DE，∠ABF＝∠A′BF，∠CED＝∠C′ED，∠AFB＝∠A′FB，∵∠CDE+∠C′DE+∠HDF＝90°，∠ABF+∠A′BF+∠GBE＝90°，∠CED+∠C′ED+∠GEB＝180°，∠AFB+∠A′FB+∠HFD＝180°，∴∠HDF＝∠GBE，∠GEB＝∠HFD，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（ASA）；（2）解：四边形A'HC'G的形状是矩形；理由如下：由折叠的性质得：∠C＝∠DC′E＝∠A＝∠BA′F＝90°，由（1）得：△BEG≌△DFH，∴∠BGE＝∠DHF，∵∠BGE＝∠A′GC′，∠DHF＝∠A′HC′，∴∠A′GC′＝∠A′HC′，∵∠DC′E+∠BA′F+∠A′GC′+∠A′HC′＝90°+90°+∠A′GC′+∠A′HC′＝360°，∴∠A′GC′+∠A′HC′＝180°，∴∠A′GC′＝∠A′HC′＝90°，∴∠DC′E＝∠BA′F＝∠A′GC′＝∠A′HC′＝90°，∴四边形A'HC'G是矩形；（3）解：由（2）知：∠BGE＝∠A′GC′＝90°，∵tan∠EBG＝，∴设EG＝3x，则BG＝4x，BE＝＝5x，由折叠的性质得：CE＝C′E＝EG+C′G＝3x+1，CD＝AB＝A′B＝BG+A′G＝4x+6，∴BC＝CE+BE＝3x+1+5x＝8x+1，S矩形ABCD＝CD•BC＝4×CD•CE+2×EG•BG﹣A'G•C'G，即（4x+6）（8x+1）＝4×（3x+1）（4x+6）+2×3x•4x﹣6×1，整理得：x2﹣2x＝0，解得：x1＝2，x2＝0（不合题意舍去），∴CD＝4×2+6＝14，CB＝8×2+1＝17，∴S矩形ABCD＝CD•BC＝14×17＝238．13．解：（1）作D'E⊥BC交BC的延长线于E，如图2所示：则∠E＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AD∥BC，CD＝AB＝2，∴∠ACD＝∠BAC，∠DAC＝∠ACB＝30°，∵∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝2，∠ACD＝∠BAC＝60°，由旋转的性质得：CD'＝CD＝2，∠ACA'＝30°，∴∠D'CE＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴∠CD'E＝30°，∴CE＝CD'＝1，D'E＝CE＝，∴S＝BC×D'E＝×2×＝3；△BCD′（2）△OBD′是直角三角形，理由如下：连接OC，如图3所示：由旋转的性质得：CA'＝CA，∠AD'C＝∠ADC＝90°，∠D'A'C＝∠DAC＝30°，∵O是AA′的中点，∴OC⊥AA'，∴∠AOC＝∠AOC＝90°＝∠ABC＝∠AD'C，∴∠ABC+∠AOC＝180°，∴A、B、C、O四点共圆，∴∠BOC＝∠BAC＝60°，同理；A、D'、C、O四点共圆，∴∠D'OC＝∠D'A'C＝30°，∴∠BOD'＝90°，∴△BOD'是直角三角形；（3）若B、C、D'三点不共线，如图3所示：由（2）得：∠OBC＝∠OAC，∠OD'C＝∠OA'C，∠OAC＝∠OA'C，∴∠OBC＝∠OD'C，∵OB＝OD，∴∠OBD'＝∠OD'B，∴∠CBD'＝∠CD'B，∴CB＝CD'，∵CD'＝CD，∴BC＝CD，这与已知相矛盾，∴B、C、D'三点共线；分两种情况：当点D'在BC的延长线上时，如图4所示：＝90°；α＝α1当点D'在边BC上时，如图5所示：＝360°﹣90°＝270°；α＝α1故答案为：90°或270；时，△OBD′不存在时，分两种情况：当α＝α2当O与D'重合时，如图6所示：∵CA'＝CA，∠CAD'＝∠CA'D'＝30°，∴∠ACA'＝120°，＝360°﹣120°＝240°；∴α＝α2当O与B重合时，如图7所示：则AA'＝2AB＝4，∵CA＝CA'＝2AB＝4＝AA'，∴△ACA'是等边三角形，∴∠A'CA＝60°，＝360°﹣60°＝300°；∴α＝α2故答案为：240°或300．14．解：（1）①如图1，∵CF∥AE ∴∠FCE＝∠AEB，∠CFE＝∠AEF∵△ABE翻折得到△AFE∴EF＝BE＝1，∠AEF＝∠AEB∴∠FCE＝∠CFE∴CE＝EF＝1∴m＝BC＝BE+CE＝2∴m的值是2．②如图2，过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H ∴GH⊥BC∴∠AGF＝∠FHE＝90°∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝∠B＝90°∴四边形ABHG是矩形∴GH＝AB＝2，AG＝BH∵△ABE翻折得到△AFE∴EF＝BE＝1，AF＝AB＝2，∠AFE＝∠B＝90°∴∠AFG+∠EFH＝∠AFG+∠FAG＝90°∴∠EFH＝∠FAG∴△EFH∽△FAG∴设EH＝x，则AG＝BH＝x+1∴FG＝2EH＝2x∴FH＝GH﹣FG＝2﹣2x∴解得：x＝∴AG＝，FG＝∵AD＝BC＝m∴DG＝|AD﹣AG|＝|m﹣|∴DF 2＝DG 2+FG 2＝（m ﹣）2+2≥，即可把DF 2看作关于m 的二次函数，抛物线开口向上，最小值为∵∴∵（m ﹣）2+2＝ 解得：m 1＝，m 2＝1 ∴根据二次函数图象可知，1≤m（2）如图3，过点B 1作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ∴MN ∥AB ，MN ＝AB ＝2∵AC ＝ ∴sin ∠ACB ＝∵AD ∥BC ，点B 1在AC 上∴∠MAB 1＝∠ACB∴sin ∠MAB 1＝ ∴∵点B 1到AD 的距离小于∴MB 1＝ 解得：∵m＞0 ∴m＞如图4，当E1落在边AD上，且B1在AC上时，m最大，此时，∠ACB＝∠B1AE1＝∠BAE∴tan∠ACB＝tan∠BAE∴∴m＝BC＝2AB＝4∴m的取值范围是＜m≤415．解：（1）BE＝DG．BE⊥DG；理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS），∴BE＝DG；如图1，延长GD交BE于点H，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGC+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠BHG＝90°，即BE⊥DG；故答案为：BE＝DG，BE⊥DG．（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：△DCG≌△BCE（SAS），∴BE＝DG，∠CDG＝∠CBE，∵∠DME＝∠BMC，∠CBE+∠BMC＝90°，∴∠CDG+∠DME＝90°，∴∠DOB＝90°，∴BE⊥DG；（3）由（2）得：DG＝EB，分两种情况：①如图3所示：∵正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，∴AC⊥BD，BD＝AC＝AB＝4，OA＝OC＝OB＝AC＝2，CE＝3，∴AE＝AC﹣CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；②如图4所示：OE＝CE+OC＝2+3＝5，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；综上所述，若A、C、E三点共线，DG的长为或．16．（1）证明：过点F作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠AHF＝90°，∵AM平分∠DAH，∴∠FAH＝45°，∴△AFH是等腰直角三角形，∴FH＝AH，AF＝AH＝FH，∵AF＝BE，∴FH＝AH＝BE，∴AH+AE＝BE+AE，∴HE＝AB＝BC，在△FEH和△ECB中，，∴△FEH≌△ECB（SAS），∴CE＝EF；（2）解：∵△FEH≌△ECB，∴∠FEH＝∠ECB，∵在Rt△BCE中，∠ECB+∠CEB＝90°，∴∠FEH+∠CEB＝90°，∴∠CEF＝90°，由（1）知，CE＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∠ECF＝∠EFC＝45°，把Rt△CDG绕点C逆时针旋转90°至Rt△CBN位置，如图2所示：则∠GCN＝90°，CG＝CN，DG＝BN，∴∠NCE＝∠GCN﹣∠GCE＝45°，∴∠NCE＝∠GCE，在△CEG和△CEN中，，∴△CEG≌△CEN（SAS），∴GE＝NE＝EB+BN＝EB+DG，∴△AEG的周长＝AE+GE+AG＝AE+EB+DG+AG＝AB+AD＝2a；（3）解：设AE＝x，由（1）得：FH＝BE＝a﹣x，则△EAF的面积＝AE×FH＝x（a﹣x）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝，即点E在AB边中点时，△EAF的面积最大，最大值为．17．解：（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA＝PC；∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC，∴∠APE＝∠PCF；∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB，∴∠PAE＝∠CPF．∵在△APE与△PCF中，，∴△APE≌△PCF（ASA），∴PE＝CF．在Rt△PCF中，＝tan30°＝，∴＝，故答案为：．（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．0°～30°时∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM＝∠FPN，又∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME∽△PNF，∴＝，由（1）知，＝，∴＝．同理30°～60°时，＝；（3）当60°＜α＜90°时，将顶点P在AC上移动且使＝时，如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM＝∠PCN，∠PAM＝∠CPN，∴△APM∽△PCN，∴＝＝，得CN＝2PM．在Rt△PCN中，＝＝tan30°＝，∴＝．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM＝∠FPN，又∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME∽△PNF，∴＝＝．18．解：（1）∵四边形DEFG是矩形，∴DG＝BF，GF＝BD，∠BDG＝∠BFG＝90°，∴∠ADG＝∠CFG＝90°，由题意得：BD＝3t，则AD＝6﹣3t，DG＝4t，CF＝8﹣4t，FG＝BD＝3t，当AG＝CG时，由勾股定理得：AG2＝AD2+DG2，CG2＝FG2+FC2，∴AD2+DG2＝FG2+FC2，即（6﹣3t）2+（4t）2＝（3t）2+（8﹣4t）2，解得：t＝1，即当AG＝CG时，t＝1秒；（2）分两种情况：①当0＜t≤1时，如图1所示：S＝矩形DEFG的面积＝3t×4t＝12t2；即S＝12t2（0＜t≤1）；②当1＜t≤2时，如图2所示：∵∠ADH＝∠B＝90°，∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴＝，即＝，解得：DH＝8﹣4t，同理得：FM＝6﹣3t，∴S＝×6×8﹣×2×（6﹣3t）（8﹣4t）＝﹣12t2+48t﹣24；即S＝﹣12t2+48t﹣24（1＜t≤2）；（3）分三种情况：①如图1所示：由题意得：×6×8﹣12t2﹣×4t×（6﹣3t）﹣×3t×（8﹣4t）＝6，解得：t＝；②如图3所示：由题意得：×4t×（6﹣3t）+×3t×（8﹣4t）+3t×4t﹣×6×8＝6，解得：t＝；③如图4所示：由勾股定理得：AC＝＝＝10，∴CD＝6+10﹣3t＝16﹣3t，同（2）得：△CDE∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得：DE＝（16﹣3t），CE＝（16﹣3t），由题意得EF＝（16﹣3t），∴C与F重合，∴×8×（16﹣3t）＝6，解得：t＝；综上所述，当△ACG的面积为6时，t的值为秒或秒或秒．19．解：（1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．∴PM＝DC＝24．∵QB＝32﹣t，∴S＝×24×（32﹣2t）＝384﹣24t（0≤t＜16）；（2）由图可知：CM＝PD＝4t，CQ＝2t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ＝BQ．在Rt△PMQ中，PQ2＝4t2+242，由PQ2＝BQ2得4t2+242＝（32﹣2t）2，解得t＝；②若BP＝BQ．在Rt△PMB中，BP2＝（32﹣4t）2+242．由BP2＝BQ2得：（32﹣4t）2+242＝（32﹣2t）2即3t2﹣32t+144＝0．由于△＝﹣704＜0，∴3t2﹣32t+144＝0无解，∴PB≠BQ．③若PB＝PQ．由PB2＝PQ2，得4t2+242＝（32﹣4t）2+242整理，得3t 2﹣64t +256＝0．解得t 1＝，t 2＝16（舍去）综合上面的讨论可知：当t ＝秒或t ＝秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形．（3）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ．如图2，过点Q 作QE ⊥AD 于E ，垂足为E ．∵AD ∥BC∴∠BQF ＝∠EPQ ，又∵在△BFQ 和△BCD 中∠BFQ ＝∠C ＝90°，∴∠BQF ＝∠BDC ，∴∠BDC ＝∠EPQ ，又∵∠C ＝∠PEQ ＝90°，∴Rt △BDC ∽Rt △QPE ， ∴＝，即＝，解得t ＝9．所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD ．20．（1）【发现证明】证明：把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），。

2020年中考数学基础题型提分讲练专题04一次函数含解析

2020年中考数学基础题型提分讲练专题04一次函数含解析

专题04 一次函数必考点1 函数及其定义域（自变量取值范围）函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

【典例1】（2019·四川中考真题）在函数143y x x =-+x 的取值范围是（） A ．4x < B ．4x …且3x ≠- C ．4x > D ．4x ≤且3x ≠-【答案】D【解析】由题意得，30x +≠，40x -…，解得，4x ≤且3x ≠-，故选：D ．【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其定义【举一反三】1. （2019·四川中考真题）函数24y x =-x 的取值范围是( )A ．2x <B ．2x ≤C ．2x >D ．2x ≥【答案】D【解析】根据题意得：240x -≥，解得2x ≥，故选D ．2.（2019·四川中考真题）函数y =x 的取值范围是 _____. 【答案】x≥1且x≠3【解析】根据题意得：10{30x x -≥-≠，解得x≥1，且x≠3，即：自变量x 取值范围是x≥1且x≠3．故答案为x≥1且x≠3． 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．必考点2 一次函数的图像和性质一次函数的定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.必过点：（0，b ）和（-b ，0）1122（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2（2）两直线相交：k 1≠k 2（3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2（4）两直线垂直：121⋅=-k k【典例2】（2019·四川中考真题）一次函数23=-y x 的图像经过的象限是（ ）A ．一、二、三B ．二、三、四C ．一、三、四D ．一、二、四【答案】C【解析】解：∵一次函数23y x ＝﹣，∴该函数经过第一、三、四象限，故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．【举一反三】1. （2019·浙江中考真题）若三点()1,4，()2,7，(),10a 在同一直线上，则a 的值等于（）A ．-1B ．0C ．3D ．4【答案】C【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b ，∴472k bk b +⎧⎨+⎩＝＝∴31k b ⎧⎨⎩＝＝， ∴y=3x+1，将点（a ，10）代入解析式，则a=3；故选C ．【点睛】本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键．2. （2019·黑龙江中考真题）正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随着x 增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：∵正比例函数y=kx （k≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y=x+k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y=x+k 的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）是一条直线，当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小；图象与y 轴的交点坐标为（0，b ）．3. （2019·山东中考真题）下列关于一次函数()0,0y kx b k b =+<>的说法，错误的是( )A ．图象经过第一、二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．图象与y 轴交于点()0,bD ．当b x k>-时，0y > 【答案】D【解析】 ∵()0,0y kx b k b =+<>，∴图象经过第一、二、四象限，A 正确；∵k 0<，∴y 随x 的增大而减小，B 正确；令0x =时，y b =，∴图象与y 轴的交点为()0,b ，∴C 正确；令0y =时，b x k =-， 当b x k>-时，0y <； D 不正确；故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y kx b =+中，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．必考点3 一次函数与方程、不等式一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或ax+b ＜0（a ，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同. （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点. 【典例3】（2019·贵州中考真题）如图所示，直线l 1：y 32=x +6与直线l 2：y 52=-x ﹣2交于点P （﹣2，3），不等式32x +652-＞x ﹣2的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ≥﹣2C ．x ＜﹣2D ．x ≤﹣2【答案】A【解析】 当x ＞﹣2时，32x+652-＞x ﹣2， 所以不等式32x+652-＞x ﹣2的解集是x ＞﹣2． 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【举一反三】1．（2019·湖南中考真题）如图，直线y x b =+和 2y k x =+与x 轴分别交于点(2,0)A -，点(3,0)B ，则020x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为( )A ．2x <-B ．3x >C ．2x <-或3x >D ．23x -<<【答案】D 【解析】∵直线y x b =+和 2y k x =+与x 轴分别交于点(2,0)A -，点(3,0)B ，∴020x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为23x -<<， 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．2. （2019·安徽初二期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是 （ ）A ．20{3210x y x y +-=--=， B ．210{3210x y x y --=--=， C ．210{3250x y x y --=+-=， D ．20{210x y x y +-=--=， 【答案】D【解析】 解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，-1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y=2x-1，y=-x+2，因此所解的二元一次方程组是20{210x y x y +-=--=，故选D 。

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中考数学专题试卷精选汇编（有解析答案）代数综合专题东城区20. 已知关于x 的一元二次方程()2320xm x m -+++=.(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根的平方等于4，求m 的值. 20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m ∵()2+10m ≥，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分 （2）解：由求根公式，得()()1,231=2m m x +±+，∴1=1x ，2=+2x m . ∵方程有一个根的平方等于4， ∴()2+24m =.解得=-4m ，或=0m . -------------------5分 西城区20．已知关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）． （1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．【解析】（1）2222(3)4(3)691269(3)0m m m m m m m m ∆=--⨯-=-++=++=+≥ ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）由求根公式，得(3)(3)2m m x m--±+=，∴11x =，23x m=-（0m ≠）． ∵此方程的两个实数根都为正整数， ∴整数m 的值为1-或3-． 海淀区20．关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=.（1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值； （2）若m 为负数．．，判断方程根的情况. 20．解：（1）∵m 是方程的一个实数根，∴()222310m m m m --++=. ………………1分∴13m =-. ………………3分 (2)24125b ac m ∆=-=-+. ∵0m <，∴120m ->.∴1250m ∆=-+>. ………………4分 ∴此方程有两个不相等的实数根. 丰台区20．已知：关于x 的一元二次方程x 2- 4x + 2m = 0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数．．．．，且该方程的根都是整数．．，求m 的值．20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.∴Δ=24421680m m --⋅=->（）．∴2m <. ………………………2分 （2）∵2m <，且m 为非负整数，∴=0m 或1. ………………………3分 当m =0时，方程为240x x -=，解得方程的根为01=x ，24x =，符合题意； 当m =1时，方程为2420x x -+=，它的根不是整数，不合题意，舍去. 综上所述，m =0. ………………………5分石景山区20．关于x 的一元二次方程2(32)60mx m x +--=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．20．解：（1）∵24b ac ∆=-2(32)24m m =-+ 2(32)0m =+≥ ∴当0m ≠且23m ≠-时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分（2）解方程，得： 12x m=,23x =-． …………… 4分 ∵m 为整数,且方程的两个根均为负整数, ∴1m =-或2m =-．∴1m =-或2m =-时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分 朝阳区20. 已知关于x 的一元二次方程0)1(2=+++k x k x ． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围.20. （1）证明：依题意，得k k 4)1(2-+=∆ …………………1分 .)1(2-=k …………………………………2分∵0)1(2≥-k ，∴方程总有两个实数根. ………………………3分（2）解：由求根公式，得11-=x ，k x -=2. …………………………4分∵方程有一个根是正数， ∴0>-k .∴0<k .………………………………5分 燕山区21．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当方程有一个根为1时，求k 的值． 21．（1） 证明：因为[])(14)12(4222k k k ac b +⨯⨯-+-=-01〉=所以有两个不等实根 …………3′.. (2)当x=1 时，01)12(12=++⨯+-k k k02=-k k ′ 1021==k k 或 ………5′门头沟区22. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根. （1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k 的取值.22（本小题满分5分）解：（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥．………………………………………1分∴3k ≤． ………………………………………2分（2）∵k 为正整数，∴123k =，，．当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；……………………3分 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根； ……………………4分 当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根.综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．……………5分 大兴区20. 已知关于x 的一元二次方程01632=-+-k x x 有实数根，k 为负整数． （1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根． 20.解：（1）根据题意，得Δ=(－6)2－4×3（1－k ）≥0．解得2≥-k ．……………………………………………………………1分 ∵k 为负整数，∴k =－1，－2．……………………………………… 2分 （2）当1=-k 时，不符合题意，舍去； ………………………………… 3分当2=-k 时，符合题意，此时方程的根为121==x x ．………… 5分平谷区20．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．20．解：（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴()2Δ2410k =--> (1)=8－4k >0.∴2k < ··························· 2 （2）∵k 为正整数，∴k =1． ··························· 3 解方程220x x +=，得120,2x x ==-． ············· 5 怀柔区20.已知关于x 的方程226990-+-=x mx m . （1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x 1，x 2，其中x 1>x 2，若x 1=2x 2，求m 的值.20.(1）∵△=(-6m)2-4(9m 2-9) ……………………………………………………………………1分=36m 2-36m 2+36 =36>0.∴方程有两个不相等的实数根……………………………………………………………2分 （2）66332m x m ±===±.……………………………………………………3分 ∵3m+3>3m -3,∴x 1=3m+3,x 2=3m-3, …………………………………………………………………………4分 ∴3m+3=2(3m -3) .∴m=3. …………………………………………………………………………………………5分 延庆区20．已知：∠AOB 及边OB 上一点C ．求作：∠OCD ，使得∠OCD=∠AOB ．要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；（说明：作出一个．．即可） 2．请你写出作图的依据．C BOA20． （1）作图（略） ……2分（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等边对等角. ……5分 顺义区20．已知关于x 的一元二次方程()21260x m x m --+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m 的取值范围． 20．（1）证明：∵()214(26)m m ⎡⎤∆=----⎣⎦ 221824m m m =-+-+21025m m =-+ ()25m =-≥0 …………………………………………………… 2分 ∴ 方程总有两个实数根． ………………………………………………… 3分（2）解：∵1(5)2m m x -±-==，∴ 13x m =-，22x =． ……………………………………………… 4分 由已知得 30m -<．∴ 3m <． ………………………………………………………………… 5分二次函数综合专题东城区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分 (2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3a ≥（ii ）当0a ＜时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分西城区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线上并说明理由．（3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．Oy11【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线的函数表达式为y x =，直线被抛物线Gx（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,1)C m -，∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--， 对于直线：1(0)y mx m m =+-≠， 当0x =时，1y m =-，当1x =-时，(1)11y m m =⨯-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线上． （3）m的取值范围是m ≤m 海淀区26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点． （1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程； （2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．26．解：Q 抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=. ………………1分（1）1a =Q ，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.① 1m b ==Q ，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.Q 抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4，∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分（2）16m ≥. ………………6分 丰台区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．54411231213xOy687654327654326526．解：（1）∵抛物线()22432y ax ax a a x a =-+=--，∴对称轴为x = 2．………………………………………1分 ∵抛物线最高点的纵坐标是2，∴a = -2． ………………………………………2分∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-. ……………3分xy（2）由图象可知，2b = 或-6≤b <0. ………………6分由图象的对称性可得：x 1+x 2=2． ……………… 7分石景山区26．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点．①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式； ②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．26．解（1）A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G的表达式为2(y m x =+，如图所示，由题意可得AD ==∵=90BAC ∠°，AB AC =， ∴=45ABD ∠︒.∴BD AD ==∴点B的坐标为. ∵点B 在抛物线2G 上，可得3m =∴抛物线2G的表达式为23y x =-+即23233y x x =+………………… 5分②33m -<<-. ………………… 7分 朝阳区26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .（1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.26.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．……………………………………2分 （2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．…………………… 4分 当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． …………………………6分 结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．……………… 7分燕山区24．如图，在平面直角坐标系中，直线l y=kx+k (k ≠0)与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，且点B(0,2)，点P 在y 轴正半轴上运动，过点P 作平行于x 轴的直线y=t ． （1）求 k 的值和点A 的坐标；（2）当t=4时，直线y=t 与直线l 交于点M ，反比例函数xny =（n ≠0）的图象经过点M ，求反比例函数的解析式； (3)当t<4时，若直线y=t 与直线l 和（2）反比例函数的图象分别交于点C ，D ，当CD 间距离大于等于2时，求t 的取值范围.24.解：（1）∵直线l y=kx+k 经过点B(0,2)，∴k=2∴ y=2x+2∴A(-1,0) ……………………….2′（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1∴M(1,4)代入xny =得，n=4 ∴xy 4=……………………….2′ （3）当t=2时，B(0,2) 即C(0,2)，而D(2,2)如图，CD=2，当y=t 向下运动但是不超过x 轴时，符合要求∴ t 的取值范围是 0 <t ≤2 ……………………….5′ 门头沟区26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.26. （本小题满分7分）（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为 (3,2)- 设二次函数表达式为：2(3)2y a x =-- ……………1分 ∵该图象过(1,0)A∴20(13)2a =--，解得12a = ……………2分 ∴表达式为21(3)22y x =-- （2）图象正确………………………………………………………3分 由已知条件可知直线与图形“G ”要有三个交点① 当直线与x 轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求 346x x += ……………………………………4分 ∴34511x x x ++＞ ……………………………………5分 ②当直线过21(3)22y x =--的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为21(3)22y x =--+∴令21(3)222x --+=-时，解得322x =±，322x =-舍去…………6分 ∴345922x x x +++＜综上所述3452x x x ++11＜＜9+2…………7分 大兴区26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <. （1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）． 26.（1） 解关于x 的一元二次方程，()223120x m x m m -+++=得x =2m +1, x =m ………………………………………………………2分 ∵m ＞0, x 1＜x 2∴x 1=m , x 2=2m+1. …………………………………………………… 3分 2x 1-x 2+3=2m -2m -1+3=2 …………………………………………… 4分（2）符合题意的n 的取值范围是. …………………………………7分平谷区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2． （1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2， ∴b =2． ················ 1 （2）①∴抛物线的表达式为243y x x =-+-． ∵A （x 1，y ），B （x 2 ，y ）， ∴直线AB 平行x 轴．∵213x x -=， ∴AB =3．∵对称轴为x =2， ∴AC =12． ··············· 2 ∴当12x =时，54y m ==-． ······ 3 ②当y =m =-4时，0≤x ≤5时，41y -≤≤； · 4当y =m =-2时，0≤x ≤5 时，24y -≤≤； 5 ∴m 的取值范围为42m -≤≤-． (6)怀柔区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围． y x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O26.(1)M(2，-1)； ………………………………………………………………………………2分 (2)B(4，3)； …………………………………………………………………………………3分 (3)∵抛物线y=mx 2-4mx+4m-1(m ≠0)与y 轴交于点A （0,3）, ∴4n -1=3.∴n=1. ……………………………………………………………………………………4分 ∴抛物线的表达式为342+-=x x y . 由34212++=+x x m x . 由△=0，得 161-=m ……………………………………………………………………5分 ∵抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点C 的坐标为（1,0）， ∴点C 关于y 轴的对称点C 1的坐标为（-1,0）. 把（-1,0）代入m x y +=21，得：21=m .……………………………………………6分 把（-4,3）代入m x y +=21，得：5=m .∴所求m 的取值范围是161-=m 或21＜m ≤ 5. …………………………………………7分 延庆区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）． （1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；（2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式； ②当CD AD >时，求t 的取值范围．-1-2-3-3-2-1y123456x54321O26．（1）对称轴：x =2 ……1分 A （1，0）或B （3，0） ……1分 （2）①如图1，∵AD =CD ∴AD =3∴C 点坐标为（4，3） ……3分 将C （4，3）代入243y ax ax a =-+∴316163a a a =-+∴a =1∴抛物线的表达式为：243y x x =-+ ……4分 ②34t << ……6分过程略 顺义区26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．26．解：（1）依题意12-=-b，b =2, 由B （0，-1），得c=-1,∴抛物线的表达式是221=+-y x x ．…………………… 2分4（2）向下平移4个单位得到225=+-y x x ，……………………… 3分 ∵OP =OQ ，∴P 、Q 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．∴2221250+-++-=x x x x ．∴13=-x ，21=x ．………………………………………………… 5分 把13=-x ，21=x 分别代入225=+-y x x ．得出Q 1（-3，-2），Q 2（1，-2）．………………………………… 7分函数操作专题东城区25. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ,点D ,E 分别为BC ，AB 的中点，连接AD .在线段AD上任取一点P ,连接PB ,PE .若BC =4,AD =6，设PD =x （当点P 与点D 重合时，x 的值为0），PB +PE =y . 小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变换而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表： （说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）. （参考数据： 2 1.414≈，3 1.732≈，5 2.236≈）(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）函数y 的最小值为______________(保留一位小数)，此时点P 在图1中的位置为________________________.x 0 1 2 3 4 5 6 y5.24.24.65.97.69.525.解：（1）4.5 . --------------------2分 （2）--------------------4分(3) 4.2，点P 是AD 与CE 的交点. --------------------6分 西城区25．如图，P 为⊙O 的直径AB 上的一个动点，点C 在»AB 上，连接PC ，过点A 作PC 的垂线交⊙O 于点Q ．已知5cm AB =，3cm AC =．设A 、P 两点间的距离为cm x ，A 、Q 两点间的距离为cm y ．OQPBA某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究． 下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x 与y 的几组值，如下表： (cm)x 0 2.5 3.5 45(cm)y4.04.75.04.84.13.7（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当2AQ AP =时，AP 的长度均为__________cm ．【解析】（1）（2）如图5图5（3）2.42． 海淀区25．在研究反比例函数1y x=的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析. 首先，确定自变量x 的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y 轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y 随x 的变化趋势：当0x >时，随着x 值的增大，1x的值减小，且逐渐接近于零，随着x 值的减小，1x 的值会越越大L ，由此，可以大致画出1y x=在0x >时的部分图象，如图1所示：利用同样的方法，我们可以研究函数y=的图象与性质. 通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A；（画出网格区域内的部分即可）（2）观察图象，写出该函数的一条性质：____________________；（3）若关于x(1)a x=-有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a的取值范围：__________.25．（1）如图：………………2分（2）当1x>时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）………………4分（3）1a≥. ………………6分丰台区25．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E．已知∠A = 30°，AB = 4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD = x cm，AE = y cm.A BCED小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；Oyx43211234（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE =12AD 时，AD 的长度约为 cm ． 25．解：（1）1.2； ………………………2分 （2）如右图； ………………………4分 （3）2.4或3.3 ………………………6分 石景山区25．如图，半圆O 的直径5cm AB =，点M 在AB 上且1cm AM =，点P 是半圆O 上的动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q .设cm PM x =，cm BQ y =.（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ 与直径AB 所夹的锐角为60 时，PM 的长度约为 cm .25.解：（1）4； 0. ………………2分 （2）y x /cm/cm12345–112345–1O………………4分（3）1.1或3.7 . ………………6分朝阳区25.如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x cm，DE=y cm（当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm 0 0.40 0.55 1.00 1.80 2.29 2.61 3y/cm 2 3. 68 3.84 3.65 3.13 2.70 2 图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为 cm（结果保留一位小数）．25. 解：本题答案不唯一，如：（1）x /cm 0 0.40 0.55 1.00 1.80 2.29 2.61 3 y /cm23.683.844.003.653.132.702………………………………………………1分（2）…………………………………………4分（3）3.5．……………………… 6分 燕山区26．已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围是x ≠0的全体实数，下表是y 与x 的几组对应值．x…－3 －2 －1－12－1313 12 1 23…y …25632－12 －158 －5318551817832m629…小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：(1)从表格中读出，当自变量是-2时，函数值是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；(3)在画出的函数图象上标出x=2时所对应的点，并写出m=(4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：____________ ．26.解：(1)当自变量是-2时，函数值是32…………………………………1′（2）如图,该函数的图象； (略) …………………………………3′(3)标出x=2时所对应的点…………………………………4′且m= …………………………………5′(4)写出该函数的性质(一条即可)：_____ ．…………………………………7′门头沟区25.在正方形ABCD 中,4AB cm = AC 为对角线，AC 上有一动点P ,M 是AB 边的中点，连接PM 、PB , 设A 、P 两点间的距离为xcm ，PM PB +长度为ycm .小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．D A（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM PB 的长度最小值约为__________cm ．25.（本小题满分6分）（1）5 ……………………………………………………………………1分（2）坐标系正确 ……………………………………………………3分 描点正确 ……………………………………………………4分 连线正确 ……………………………………………………5分（3）4.5 ……………………………………………………………………6分大兴区25.如图，在△ABC 中，AB=4.41cm,BC=8.83cm ，P 是BC 上一动点，连接AP ，设P ，C 两点间的距离为x cm ，P ，A 两点间的距离为y cm ．（当点P 与点C 重合时，x 的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出 该函数的图象；（答案不唯一） （2）（3）结合画出的函数图象 ，解决问题：当 PA=PC 时，PC 的长度约为cm．（结果保留一位小数）25.（1）4.6 ………………………………………………………………1 分31………………………………………………………………4 分 (3) 4.4 ………………………………………………………………6 分 （答案不唯一）平谷区 25．如图，在△ABC 中，∠C=60°，BC=3 厘米，AC=4 厘米，点 P 从点 B 出发，沿 B→C→A 以每秒 1 厘 米的速度匀速运动到点 A．设点 P 的运动时间为 x 秒，B、P 两点间的距离为 y 厘米．APBC小新根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm） 01.0 2.0 3.0 2.7 2.7m3.6经测量 m 的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC 中画出点 P 所在的位置． 3225．解：（1）3.0； ····························· 1 （2）如图所示； ·························· 4APBC（3）如图 ····························· 5怀柔区25、如图，在等边△ABC 中， BC=5cm，点 D 是线段 BC 上的一动点，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AD，垂足 为 D，交射线 AC 与点 E．设 BD 为 x cm，CE 为 y cm．ABDC E小聪根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小聪的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了与 y 的几组值，如下表：(说明：补全表格上相关数值保留一位小数) (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；33(3)结合画出的函数图象，解决问题：当线段 BD 是线段 CE 长的 2 倍时，BD 的长度约为________ cm .25. (1)约 1.1； ………………………………………………………………………………………1 分 (2)如图：y6 5 4 3 2 1 –1 O 1 2 3 4 5 6 x –1……………………………………………………………4 分 (3)约 1.7. ………………………………………………………………………………………5 分 延庆区 25．如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=6cm，设弦 AP 的长为 x cm，△APO 的面积为 y cm2，（当点 P 与点 A 或点 B 重合时，y 的值为 0）．34AOB小明根据学习函数的经验，对函数 y 随 自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整； （1）通过取点、画图、测量、计算，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：那么 m=；（保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数图象．（3）结合函数图象说明，当△APO 的面积是 4 时，则 AP 的值约为．（保留一位小数）25．(1)m= 约 4.3 ；(2)y……1 分5 4 3 2 1-1 O 1 2 3 4 5 6 x -135（画此函数图象时要体现出 x 约为 4.2 时，y 有最大值，为 4.5）……4 分(3) 3.1 或是 5.1……6 分顺义区25．如图，P 是半圆弧 A»B 上一动点，连接 PA、PB，过圆心 O 作 OC∥BP 交 PA 于点 C，连接 CB．已知AB=6cm，设 O，C 两点间的距离为 x cm，B，C 两点间的距离为 y cm．PCAOB小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm 00.5 11.5 22.5 3y/cm 33.1 3.5 4.05.3 6(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)36(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：直接写出△OBC 周长 C 的取值范围是．25．(1)4.6． ……………………………………………………………………… 1 分(2)…………………………………………………………………………… 3 分 (3)6＜C＜12． …………………………………………………………… 5 分37几何证明东城区 19. 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D. BF 平分∠ABC 交 AD 于点 E，交 AC 于点 F. 求证：AE=AF.19.证明： ∵∠BAC=90°， ∴∠FBA+∠AFB=90°. -------------------1 分 ∵AD⊥BC， ∴∠DBE+∠DEB=90°．---------------- 2 分 ∵BE 平分∠ABC, ∴∠DBE=∠FBA. -------------------3 分 ∴∠AFB=∠DEB. -------------------4 分 ∵∠DEB=∠FEA， ∴∠AFB=∠FEA. ∴AE=AF. -------------------5 分西城区3819．如图， AD 平分 BAC ， BD AD于点 D ， AB 的中点为 E ， AE AC ． （1）求证： DE∥AC ． （2）点 F 在线段 AC 上运动，当 AF AE 时，图中与△ADF 全等的三角形是__________．AE CBD【解析】（1）证明：∵ AD 平分 BAC ，∴ 1 2 ，∵ BD AD于点 D ，∴ ADB 90 ，∴△ABD 为直角三角形．∵ AB 的中点为 E ，∴ AE AB ， DE AB ，22∴ DE AE ，∴ 1 3，∴ 2 3，∴ DE∥AC ．（2）△ADE ．A12E C3BD39海淀区19．如图，△ ABC 中， ACB 90 ， D 为 AB 的中点，连接 CD ，过点 B 作 CD 的平行线 EF ， 求证： BC 平分 ABF ．ADCEBF19. 证明：∵ ACB 90 ， D 为 AB 的中点， ∴ CD 1 AB BD .2 ∴ ABC DCB . ∵ DC∥EF ， ∴ CBF DCB . ∴ CBF ABC . ∴ BC 平分 ABF .……………丰台区 19．如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．求证：DE = DF．40F E CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ． ………………………5分 （其他证法相应给分） 石景山区19．问题将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分AB CEDF朝阳区19. 如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线.求证：∠DAB=∠ACE.19. 证明：∵AC＝BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB. ……………………………………………2分∴∠CAB＋∠ACE＝90°. ………………………………………………3分∵AD为△ACB的高线，∴∠D＝90°.∴∠DAB＋∠B＝90°. ……………………………………………………4分∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

2020年中考数学备考专题能力提升训练卷：四边形

2020年中考数学备考专题能力提升训练卷：四边形

培优专题能力提升训练卷：《四边形》1．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 丁点Q ，连接CM ．（1）求证：PM ＝PN ；（2）当P ，A 重合时，求MN 的值；（3）若△PQM 的面积为S ，求S 的取值范围．2．将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转得到矩形A 1BC 1D 1，点A 、C 、D 的对应点分别为A 1、C 1、D 1． （1）当点A 1落在AC 上时．①如图1，若∠CAB ＝60°，求证：AC ∥D 1B ；②如图2，AD 1交CB 于点O ．若∠CAB ≠60°，求证：DO ＝AO ；（2）①如图3，当A 1D 1过点C 时．若BC ＝15，CD ＝9，则A 1A 的长＝ ． ②当∠A 1BA ＝45°时，作A 1E ⏊AB ，△A 1EB 绕点B 转动，当直线A 1E 经过D 时，BC ＝15，CD ＝9，直线A 1E 交边AB 于N ，的值＝ ．3．（1）观察猜想，如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为；（2）问题解决，如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝3，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝6，AB＝3，DC＝DA，请直接写出BD的长．4．已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺60°角的顶点与点A重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）菱形ABCD的面积为．（2）如图1，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F．①求证：CE+CF＝AB；②若点P是AF的中点，当点E由点B运动到点C时，点P运动的路线长为．（3）如图2，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F．写出此时CE、CF、AB长度之间关系的结论．（不需要证明）5．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和BE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．（3）若BC＝DE＝10，在（2）的旋转过程中，求线段AE长的最大值和最小值．6．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．7．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．9．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点．（1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点的勾股点；在点E、F、G三点中只有点是△ABC关于点A的勾股点．（2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，①求证：CE＝CD；②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数．（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，若△ADE是等腰三角形，直接写出AE的长．10．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE＝EF，过D作DG⊥EF于点H，交AB 边于点G．（1）如图1，求证：DE＝DG；（2）如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H 为DG中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段（不包括EG）．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线．点P从点B出发，沿线段BA向点A运动，点Q从点D出发，沿线段DB向点B运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（2）设四边形BPQC的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形BPQC ：S矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．12．已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE＝BD．将△ABE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△AB'E'，点B、E的对应点分别为B'、E'．（Ⅰ）如图1，当α＝30°时，求证：B'C＝DE；（Ⅱ）连接B′E、DE′，当B'E＝DE''时，请在图2中补全图形，并求出α的值；（Ⅲ）如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B'E'上任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为．13．如图1正方形ABCD，边CD在等腰三角形DEF的边DE上，AB＝3，DE＝5，连接AE、CF，点M、N分别是AE、CF的中点，连DM、DN、MN．（1）直接写出AE与CF的关系和△DMN的形状．（2）如图2，将等腰直角三角形DEF绕点D顺时针旋转α°（0°≤α≤45°），连接AE、CF，点M、N分别是AE、CF的中点，连DM、DF、MN．此时（1）中的两个结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．（3）在（2）的条件下，△ECF的面积在旋转过程中变化吗？若没有变化，请直接写出面积；若有变化，请直接写出它的最大值和最小值．14．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，QE⊥AC？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF ：S菱形ABCD＝1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；15．如图1，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△AOC 沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E．（1）求证：△CDE≌△ABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△POA的面积等于△ACE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．参考答案1．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN．（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，∴CQ＝AC＝2，∴QN＝＝＝，∴MN ＝2QN ＝2．（3）解：当MN 过点D 时，如图3所示，此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小，则S 最小为S ＝S 菱形CMPN ＝×4×4＝4，当P 点与A 点重合时，CN 最长，四边形CMPN 的面积最大，则S 最大为S ＝×5×4＝5， ∴4≤S ≤5，2．（1）证明：①如图1中，∵∠BAC ＝60°，BA ＝BA 1， ∴△ABA 1是等边三角形， ∴∠AA 1B ＝60°， ∵∠A 1BD 1＝60°， ∴∠AA 1B ＝∠A 1BD 1， ∴AC ∥BD 1．②如图2中，连接BD 1，BD ，DD 1．∵BA ＝BA 1，BD ＝BD 1，∠ABA 1＝∠DBD 1， ∴∠BAA 1＝∠BDD 1， ∵∠BAA 1＝∠BDC ， ∴∠BDC ＝∠BDD 1，∴D ，C ，D 1共线，∵∠BCD 1＝∠BAD 1＝90°，BD 1＝D 1B ，BC ＝A 1D 1，∴Rt △BCD 1≌Rt △D 1A 1B （HL ），∴CD 1＝BA 1，∵BA ＝BA 1，∴AB ＝CD 1，∵AC ＝BD 1∴四边形ABD 1C 是平行四边形，∴OC ＝OB∵CD ＝BA ，∠DCO ＝∠ABO ，∴△DCO ≌△ABO （SAS ），∴DO ＝OA ．（2）①如图3中，作A 1E ⊥AB 于E ，A 1F ⊥BC 于F ．在Rt △A 1BC 中，∵∠CA 1B ＝90°，BC ＝15．AB ＝9，∴CA 1＝＝＝12， ∵•A 1C •A 1B ＝•BC •A 1F ，∴A 1F ＝，∵∠A 1FB ＝∠A 1EB ＝∠EBF ＝90°，∴四边形A 1EBF 是矩形，∴EB ＝A 1F ＝，A 1E ＝BF ＝＝＝， ∴AE ＝9﹣＝，在Rt △AA 1E 中，AA 1＝＝＝．故答案为．②如图4中，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAN＝90°，AD＝BC＝15，CD＝AB＝9，在Rt△A1BE中，∵BA1＝BA＝9，∠A1BE＝45°，∴BE＝EA1＝，∵∠DAN＝∠BEN＝90°，∠AND＝∠BNE，∴△DAN∽△BEN，∴＝＝＝．故答案为．3．解：（1）观察猜想结论：BC＝BD+CE，理由是：如图①，∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE，∴△ADB≌△EAC（AAS），∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB+AC＝BD+CE；故答案为：BC＝BD+CE；（2）问题解决如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由（1）同理得：△ABC≌△DEA，∴DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，Rt△BDE中，BE＝9，由勾股定理得：BD＝＝＝3；（3）拓展延伸如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，同理得：△CED≌△AFD，∴CE＝AF，ED＝DF，设AF＝x，DF＝y，则，解得：，∴BF＝3+＝，DF＝，由勾股定理得：BD＝＝．4．解：（1）如图1，过点A作AE⊥BC于点E，∵菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，BC＝AB＝2，∴AE＝，∴S＝BC×．菱形ABCD故答案为：2；②如图2，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA．∵∠B＝60°，∴∠D＝60°，∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF，∴CE+CF＝CB＝AB．②由①知，当点E与点B重合时，点P为AC的中点，当点E由点B运动到点C时，点P运动路线为△ACD的中位线，长度为＝1．故答案为：1．（3）CF＝AB+CE．如图3，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA．∵∠B＝60°，∴∠D＝60°，∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴AB＝AD＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ADC＝∠ACD＝∠B＝60°．∴∠ACE＝∠ADF＝120°，∵∠EAF＝60°，∴∠CAD＝∠EAF＝60°，∴∠CAE＝∠DAF，在△ACE和△ADF中，，∴△ACE≌△ADF（ASA），∴CE＝DF，∴CF﹣CE＝CF﹣DF＝CD＝AB．即CF＝AB+CE．故答案为：CF＝AB+CE．5．解：（1）BG＝AE．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝DG．在△BDG和△ADE中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG＝AE．故答案为：BG＝AE；（2）成立，BG＝AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；（3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE．∵BC＝DE＝10，∴BG＝10+5＝15．∴AE＝15．如图4，当旋转角为90°时，AE取得最小值为5．6．（1）【发现证明】证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN＝AF，∠NAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠NAE＝45°，∴∠NAE＝∠FAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF＝EN，∴BE＝BN+NE＝DF+EF．即BE＝EF+DF．故答案为：BE＝EF+DF．（3）【联想拓展】解：由（1）可知AE＝AG＝3，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC＝BC＝AD＝6，∴＝＝3．∴BE＝DG＝3，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，设DF＝x，则EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2．∴DF＝2，∴AF＝＝＝2．7．解：（1）问题：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）探索：结论：DE2＝BD2+CD2，理由是：如图2中，连接EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∴DE2＝BD2+CD2；（3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝3，Rt△CGD中，∵CD＝1，∴DG＝＝＝2，∵△DAG是等腰直角三角形，∴AD＝AG＝2．8．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝4，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝∠ECF＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，∴，∴AC2＝AG•AH．（3）如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，∵GC＝GH，∴∠GCH＝∠GHC＝45°，∴∠CGH＝90°，∴∠BGC+∠BGH＝90°，且∠BGC+∠BCG＝90°∴∠BGH＝∠BCG，且∠GBC＝∠GAH，GC＝GH，∴△BCG≌△AGH（AAS）∴AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴＝，∴AE＝AB＝；如图2中，当CH＝HG时，∵HC＝GH，∴∠GCH＝∠CGH＝45°，∴∠CHG＝90°，∴∠CHD+∠AHG＝90°，且∠CHD+∠DCH＝90°∴∠AHG＝∠DCH，且∠CDH＝∠GAH，CH＝GH，∴△DHC≌△AGH（AAS）∴AH＝CD＝4，∵BC∥AH，∴＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，∵∠AHC＝∠ACG，∠ACH＝∠AGC，且CG＝CH，∴△ACH≌△AGC（ASA）∴AC＝AH＝4，AG＝AC，∵BC∥AH，∴＝，∴AE＝BE，∵BE+AE＝AB＝4，∴BE＝4﹣4，∴AE＝8﹣4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．9．解：（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5 ∴DB2＝DC2+DA2∴点D是△ABC关于点B的勾股点∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4∴点E不是△ABC的勾股点∵FA2＝32+42＝25，FB2＝22+42＝20，FC2＝12+22＝5∴FA2＝FB2+FC2∴点F是△ABC关于点A的勾股点∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8∴点G不是△ABC的勾股点故答案为：B；F．（2）①证明：如图3中，∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CA2＝CB2+CE2∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90°∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2∴CB2+CE2＝CB2+CD2∴CE＝CD②如图3中，设∠CED＝α，则∠CDE＝∠CED＝α∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α∵∠AEC＝120°∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α∵DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°解得：α＝50°∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°（3）∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝5∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CE＝CD＝5i）如图1，若DE＝DA，则DE＝6过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N∴∠AME＝∠MND＝90°∴四边形AMND是矩形∴MN＝AD＝6，AM＝DN设AM＝DN＝x，则CN＝CD﹣DN＝5﹣x∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2∴62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2解得：x＝，∴EN＝＝＝，AM＝DN＝，∴ME＝MN﹣EN＝6﹣＝，∴Rt△AME中，AE＝＝＝．ii）如图2，若AE＝DE，则E在AD的垂直平分线上过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q∴AP＝DP＝AD＝3，∠APQ＝∠PQC＝90°∴四边形CDPQ是矩形∴PQ＝CD＝5，CQ＝PD＝3∴Rt△CQE中，EQ＝＝＝4∴PE＝PQ﹣EQ＝1∴Rt△APE中，AE＝＝＝iii）如图3，若AE＝AD＝6，则AE2+CE2＝AD2+CD2＝AC2∴∠AEC＝90°取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上∴点E也在⊙O上∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或．10．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠DAG＝∠DCE＝90°，∴∠DEC＝∠EDF，∵DE＝EF，∴∠EFD＝∠EDF，∴∠EFD＝∠DEC，∵DG⊥EF于H，∴∠GHF＝90°，∴∠AGH+∠AFH＝180°，∵∠AFH+∠EFD＝180°，∴∠DGA＝∠EFD＝∠DEC，在△DAG和△DCE中：∴△DAG≌△DCE（AAS），∴DG＝DE．（2）∵KE⊥EF，DG⊥EF，∴KE∥DG，且DG＝EF＝KE＝DE，∴四边形KEDG是平行四边形，且DG＝DE，∴四边形KEDG是菱形，∴GK＝DG＝KE＝DE，∵DG⊥EF，H是DG的中点，∴EG＝DE，∴EG＝DE＝DG＝GK＝KE＝EF．11．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝BC＝3，∴BD＝＝＝5，由题意BP＝t，DQ＝t，∵PQ∥AD，∴＝，∴＝，∴t＝，∴满足条件的t的值为．（2）作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．∵QE∥AD，∴＝，∴＝，∴QE＝（5﹣t），∵QF∥CD，∴＝，∴＝，∴QF＝（5﹣t），∴S＝S△PBQ +S△BCQ＝•PB•QE+•BC•QF＝•t•（5﹣t）+×3×（5﹣t）＝﹣t2+t+6．（3）由题意：（﹣t2+t+6）：12＝9：20，整理得：t2﹣t﹣2＝0，解得t＝2或﹣1（舍弃），∴满足条件的t的值为2．（4）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．当PQ⊥QC时，△QEP∽△QFC，则＝，∴＝，解得t＝，∴满足条件的t的值为．12．解：（1）如图1，连接AC交BD于O，连接B′C．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，AC⊥BD，AC＝BD＝2OA，∠CAB＝ADB＝45°，∵AE＝BD，∴AC＝AE＝2OA，在Rt△AOE中，∠AOE＝90°，AE＝2OA，∴∠E＝30°，∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°﹣30°＝15°，由旋转有，AD＝AB＝AB′∠BAB′＝30°，∴∠DAE＝15°，在△ADE和△AB′C中，，∴△ADE≌△AB′C（SAS），∴DE＝B′C．（2）补充图形如图2所示：由旋转得，AB′＝AB＝AD，AE′＝AE，在△AEB′和△AE′D中，，∴△AEB′≌△AE′D（SSS），∴∠DAE′＝∠EAB′，∴∠EAE′＝∠DAB′，由旋转得，∠EAE′＝∠BAB′，∴∠BAB′＝∠DAB′，∵∠BAB′+∠DAB′＝90°，∴α＝∠BAB′＝45°，或α＝360°﹣90°﹣45°＝225°．（3）如图3，连接AC交BD于O，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝4，OA＝OD＝OC＝OB＝2在旋转过程中，△ABE在旋转到边B'E'⊥AB于Q，此时PQ最小，由旋转知，△ABE≌△AB'E'，∴AQ＝OA＝2（全等三角形对应边上的高相等），∴PQ＝AQ﹣AP＝2﹣2在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E'重合时，PQ的值最大，∴AE'＝AE＝4，∴PE'＝AE'+AP＝4+2，∴2﹣2≤PQ≤4+2故答案为2﹣2≤PQ≤4+2．13．解：（1）如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF，△DMN是等腰直角三角形．理由：延长FC交AE于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF，∠DEF＝90°，∵AD＝DC，∠ADE＝∠CDE，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DCF＝∠EAD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠HCE＝∠DCF，∴∠HCE+∠AED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴AE⊥CF，∵AM＝EM，CN＝NF，∴DM＝AE＝AM＝ME，DN＝CF＝CN＝NF，∴DM＝DN，∠ADM＝∠MAD，∠DCN＝∠NDC，∴∠ADM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠ADC＝90°，∴△MDN是等腰直角三角形．（2）如图2中，结论成立．理由：延长FC交AE于H．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵AD＝DC，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DCF＝∠EAD，∵∠DCF+∠DCH＝180°，∴∠DAH+∠DCH＝180°，∴∠ADC+∠AHC＝180°，∵∠ADC＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AE⊥CF，∵△ADE≌△CDF，DM，DN是三角形的中线，∴DM＝DN，AM＝CN，∵AD＝DC，∴△ADM≌△CDN（SSS），∴∠ADM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠ADC＝90°，∴△MDN是等腰直角三角形．（3）如图3中，△ECF的面积在旋转过程中有变化．①当DE与DC重合时，DM的长最小，此时△DMN的值最小，DM最小值＝•＝•＝，此时△DMN的面积＝××＝．②当旋转角为45°时，DM的值最大，此时△DMN的面积最大．如图3中，DA＝3，DE＝5，∠ADM＝45°，作EH⊥DA交DA的延长线于H，MK⊥AH于K．则HE＝DH＝，∵MK∥EH，AM＝ME，∴AK＝KH＝（DH﹣AD）＝（﹣3），MK＝EH＝，∴DM2＝MK2+DK2＝（）2+[3+（﹣3）]2＝+，∴△DMN的面积的最大值＝DM2＝+．14．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝8cm，OD＝OB＝6cm，∴AD＝＝＝10cm，∵0＜t＜5，∴点Q在线段DC数运动，点P在线段AD上运动，∵AP∥EC，∴∠APO＝∠CEO，∵∠AOP＝∠EOC，OA＝OC，∴△AOP≌△COE（AAS），∴PA＝EC＝t，∵QE⊥AC，BD⊥AC，∴QE∥BD，∴＝，∴CD＝CB，∴CQ＝EC，∴10﹣2t＝t，∴t＝，∴t＝时，QE⊥AC．（2）作OH⊥BC于H．∵•OB•OC＝•BC•OH，∴OH＝，∵FQ∥OC，∴＝＝，∴DF ＝t ，FQ ＝t ，∴S ＝S △ECO +S 梯形CQFO ＝×t ×+（t +8）•（6﹣t ）＝﹣t 2+t +24（0＜t ＜5）．（3）由题意：（﹣t 2+t +24）：96＝1：5， 整理得：2t 2﹣5t ﹣10＝0，解得t ＝或（舍弃），∴满足条件的t 的值为．15．解：（1）证明：∵四边形OABC 为矩形， ∴AB ＝OC ，∠B ＝∠AOC ＝90°，∴CD ＝OC ＝AB ，∠D ＝∠AOC ＝∠B ，又∠CED ＝∠ABE ，∴△CDE ≌△ABE （AAS ），∴CE ＝AE ；（2）∵B （8，4），即AB ＝4，BC ＝8．∴设CE ＝AE ＝n ，则BE ＝8﹣n ，可得（8﹣n ）2+42＝n 2，解得：n ＝5，∴E （5，4）；（3）∵S △ACE ＝•CE •AB ＝×5×4＝10， ∴S △POA ＝•OA •y P ＝10，P∴y P＝，∴满足条件的点P的坐标为（8，）或（0，）．。

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][方程与不等式]+答案

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][方程与不等式]+答案

方程与不等式一、选择题1．（2020·朝阳一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远. 求折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为 （A ）()22310x x --= （B ）()222310x x --= （C ）()22310x x +-= （D ）()222310x x +-=答案：D2．（2020·西城一模）用配方法解一元二次方程2650x x --=，此方程可化为（A ）()234x -= （B ）()2314x -= （C ）()294x -= （D ）()2914x -=答案：B3．（2020·平谷一模）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇．设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x 天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是 A ．1)79(=-x B.1)79(=+xC. 1)9171(=+xD. 1)9171(=-x答案：C4．（2020·海淀一模）用配方法解方程2410x x --=，方程应变形为A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 答案：D5. （2020·东城一模）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了．．．5.5万元．这批电话手表至少有A ．103块B ．104块C ．105块D ． 106块 答案：C二、填空题1. （2020·东城一模）若关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．答案 :1k ＜2.（2020·房山一模）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在 “勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者 高几何？”翻译成数学问题是： 如图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC+AB =10，BC =3，求AC 的长. 如果设AC =x ，可列出的方程为 .答案：x 2+32=( 10-x )23.（2020·丰台一模）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x 首，根据题意，可列方程为____________________． 答案：()20132028=+-x x4．（2020·通州一模）古代有这样一个数学问题：韩信点一队士兵人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人.问这队士兵至少多少人？我国古代学者早就研究过这个问题.例如明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》中就用四句口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半，除百零五便得知.这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3，5，7时，用70乘以用3除的余数（例如：韩信点兵问题中用70乘以2），用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把三个乘积相加.加得的结果如果比105大就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解.按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数为_________.ABC第14题图答案：535.（2020·门头沟一模）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输入a 、b 的值分别为12、8，那么输出a 的值为________．答案：4三、解答题。

2020届中考数学必考点提分专练 一次函数、反比例函数综合题(含答案)

2020届中考数学必考点提分专练 一次函数、反比例函数综合题(含答案)

|类型1| 比较函数值的大小，求自变量取值范围1．[2019·泸州]如图，一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=kx的图象相交于A，B两点，则使y1>y2成立的x的取值范围是 ()A.．-2<x<0或0<x<4 B．x<-2或0<x<4C．x<-2或x>4 D．-2<x<0或x>4【答案】B【解析】观察函数图象，发现:当x<-2或0<x<4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y1>y2时，x的取值范围是x<-2或0<x<4.2．如图，一次函数y1=k1x+b1与反比例函数y2=k2x(x>0)的图象交于A(1，3)，B(3，1)两点，若y1<y2，则x的取值范围是 ()A.．x<1 B．x<3C．0<x<3 D．x>3或0<x<1【答案】【解析】观察函数图象，发现:当．x>3或0<x<1时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y1<y2，时，x的取值范围是x>3或0<x<13．[2019·扬州]若反比例函数y=-2x的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是()一次函数、反比例函数综合题提分专练06A ．m>2√2B ．m<-2√2C ．m>2√2或m<-2√2D ．-2√2<m<2√2【答案】C[解析]∵反比例函数y=-2x 图象上的点关于y 轴对称的点都在反比例函数y=2x 的图象上， ∴反比例函数y=2x 的图象与一次函数y=-x+m 的图象有两个不同的交点，两个函数联立得方程组{y =2x ，y =-x +m ，化简得x 2-mx+2=0．∵有两个不同的交点，∴x 2-mx+2=0有两个不等的实根．∴Δ=m 2-8>0， ∴m>2√2或m<-2√2．4．[2019·玉林]如图，一次函数y 1=(k-5)x+b 的图象在第一象限与反比例函数y 2=kx 的图象相交于A ，B 两点，当y 1>y 2时，x 的取值范围是1<x<4，则k= 4 ．[解析]观察图象可知{k -5+b =k ，4(k -5)+b =k4，解得{k =4，b =5．5．已知一次函数y=ax+b ，反比例函数y=kx (a ，b ，k 是常数，且ak ≠0)，若其中一部分x ，y 的对应值如下表，则不等式-8<ax+b<kx 的解集是 -6<x<-2或0<x<4 ．x-4-2 -1 1 2 4 y=ax+b -6 -4 -3 -1 0 2 y=kx-2-4-8842[解析]根据表格可得:当x=-2和x=4时，两个函数值相等，因此直线y=ax+b 与双曲线y=k x 的交点为(-2，-4)，(4，2)，由表即可得出当x=-6时，一次函数值y=-8，∴不等式-8<ax+b<k x的解集为-6<x<-2或0<x<4．6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx+2k (k>0)与x 轴交于点P ，与双曲线y=3kx (x>0)交于点Q ，若直线y=4kx-2与直线PQ 交于点R (点R 在点Q 右侧)，当RQ ≤PQ 时，k 的取值范围是 k ≥15．[解析]如图，作QM ⊥x 轴于M ，RN ⊥x 轴于N ， ∴QM ∥RN ，∴PQQR =PM MN，∵RQ ≤PQ ，∴MN ≤PM ，∵直线y=kx+2k (k>0)与x 轴交于点P ， ∴P (-2，0)，∴OP=2， 解kx+2k=3kx 得，x 1=-3，x 2=1，∴Q 点的横坐标为1，∴M (1，0)，∴OM=1， ∴PM=2+1=3，解kx+2k=4kx-2得，x=2k+23k，∴R 点的横坐标为2k+23k，∴N （2k+23k，0），∴ON=2k+23k，∴MN=2k+23k-1，∴2k+23k-1≤3，解得k ≥15，故答案为k ≥15．7．[2019·巴中]如图，一次函数y 1=k 1x+b (k 1，b 为常数，k 1≠0)的图象与反比例函数y 2=k2x (k 2≠0，x>0)的图象交于点A (m ，8)与点B (4，2)． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象说明，当x 为何值时，k 1x+b-k2x <0．解:(1)∵点B (4，2)在反比例函数y 2=k2x(k 2≠0，x>0)的图象上，∴2=k24，解得k 2=8，∴反比例函数解析式为y 2=8x(x>0)．当y 2=8时，8=8m ，∴m=1，∴点A 坐标为(1，8)，将A (1，8)，B (4，2)的坐标代入y 1=k 1x+b ， 可得{8=k 1+b ，2=4k 1+b ，∴{k 1=-2，b =10，∴一次函数解析式为y 1=-2x+10．(2)由图象可知x 的取值范围为0<x<1或x>4．8．[2019·攀枝花]如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=mx 的图象在第二象限交于点B ，与x 轴交于点C ，点A 在y 轴上，满足条件:CA ⊥CB ，且CA=CB ，点C 的坐标为(-3，0)，cos ∠ACO=√55． (1)求反比例函数的表达式；(2)直接写出当x<0时，kx+b<mx 的解集．解:(1)如图，作BH ⊥x 轴于点H ，则∠BHC=∠BCA=∠COA=90°， ∴∠BCH=∠CAO ． ∵点C 的坐标为(-3，0)， ∴OC=3． ∵cos ∠ACO=√55， ∴AC=3√5，AO=6． 在△BHC 和△COA 中，{∠BHC =∠COA =90°，∠BCH =∠CAO ，BC =AC ，∴△BHC ≌△COA ． ∴BH=CO=3，CH=AO=6． ∴OH=9，即B (-9，3)． ∴m=-9×3=-27，∴反比例函数的表达式为y=-27x ．(2)∵在第二象限中，B 点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方，∴当x<0时，kx+b<mx 的解集为-9<x<0．|类型2| 求几何图形面积9．[2019·凉山州]如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y=4x 的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C[解析]设A 点的坐标为(m ，4m )，则C 点的坐标为(-m ，-4m )，∴S △ABC =S △OAB +S △OBC =12m ×4m+12m ×|-4m |=4，故选C ． 10．[2019·滁州定远一模]如图，已知反比例函数y=mx 与一次函数y=kx+b 的图象相交于A (4，1)，B (a ，2)两点，一次函数的图象与y 轴交于点C ，点D 在x 轴上，其坐标为(1，0)，则△ACD 的面积为( )A ．12B ．9C ．6D ．5【答案】D[解析]∵点A (4，1)在反比例函数y=mx 图象上，∴m=xy=4×1=4，∴y=4x ． 把B (a ，2)代入y=4x得2=4a，∴a=2，∴B (2，2)．把A (4，1)，B (2，2)代入y=kx+b ， 得{1=4k +b ，2=2k +b ，解得{k =-12，b =3， ∴一次函数的解析式为y=-12x+3．∵点C 在直线y=-12x+3上， ∴当x=0时，y=3，∴C (0，3)． 如图，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ．∴S △ACD =S 梯形AEOC -S △COD -S △DEA =(1+3)×42-12×1×3-12×1×3=5．11．如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，顶点D (a ，b )在反比例函数y=kx 的图象上，直线AC 交y 轴点E ，且S △BCE =6，则k 的值为( )A ．-12B ．-6C ．-2D ．-3【答案】A[解析]∵矩形ABCD ，D (a ，b )，∴CO=-a ，CD=AB=b ，∵D (a ，b )在反比例函数y=kx 的图象上，∴k=ab ，∵S △BCE =6，∴12BC ·OE=6，即BC ·OE=12， ∵AB ∥OE ，∴BC OC =AB EO ，即BC ·EO=AB ·CO ，∴12=b ·(-a )，即ab=-12，∴k=-12，故选A ．12．[2019·乐山]如图，点P 是双曲线C :y=4x (x>0)上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB :y=12x-2于点Q ，连接OP ，OQ ．当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 ．【答案】3[解析]∵点P 是双曲线C :y=4x(x>0)上的一点，∴可设点P 坐标为(m ，4m)，∵PQ ⊥x 轴，Q 在y=12x-2图象上，∴Q 坐标为(m ，12m-2)，PQ=4m-(12m-2)，∴△POQ 的面积=12m ×[4m -(12m-2)]=-14(m-2)2+3，∴当m=2时，△POQ 面积最大，最大值为3．13．[2019·宁波]如图，过原点的直线与反比例函数y=kx (k>0)的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，连接AC ，交反比例函数图象于点D ．AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连接DE ，若AC=3DC ，△ADE 的面积为8，则k 的值为 6 ．[解析]连接OE ，OD ，在Rt △ABE 中，点O 是AB 的中点，∴OE=12AB=OA ，∴∠OAE=∠OEA ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠OAE=∠DAE ， ∴∠OEA=∠DAE ，∴AD ∥OE ，∴S △ADE =S △ADO ，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N ，易得S 梯形AMND =S △ADO =8， ∵△CAM ∽△CDN ，CD ∶CA=1∶3，∴S △CAM =9，延长CA 交y 轴于点P ，易得△CAM ∽△CPO ，可知DC=AP ，∴CM ∶MO=CA ∶AP=3∶1，∴S △CAM ∶S △AMO =3∶1，∴S △AMO =3，∵反比例函数图象在第一、三象限，∴k=6．14．[2019·盐城]如图，一次函数y=x+1的图象交y 轴于点A ，与反比例函数y=kx (x>0)的图象交于点B (m ，2)． (1)求反比例函数的表达式； (2)求△AOB 的面积．解:(1)∵一次函数y=x+1的图象经过点B (m ，2)， ∴2=m+1，解得m=1，则点B 的坐标为(1，2)， ∵点B 在反比例函数y=kx (x>0)的图象上， ∴k=2，∴反比例函数的表达式为y=2x (x>0)．(2)易得点A (0，1)，∴OA=1， 过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为点C ，则BC 就是△AOB 的高，BC=1， ∴S △AOB =12OA ×BC=12×1×1=12．15．[2019·遂宁]如图，一次函数y=x-3的图象与反比例函数y=kx (k ≠0)的图象交于点A 与点B (a ，-4)．(1)求反比例函数的表达式；(2)若动点P 是第一象限内双曲线上的点(不与点A 重合)，连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若△POC 的面积为3，求出点P 的坐标．解:(1)∵点B (a ，-4)在一次函数y=x-3的图象上，∴a=-1，∴B (-1，-4)， ∵B (-1，-4)在反比例函数图象上， ∴k=(-1)×(-4)=4，∴反比例函数的表达式为y=4x ．(2)如图，设PC 交x 轴于点H ，设P (m ，4m )(m>0)，则C (m ，m-3)，由{y =4x ，y =x -3，得x 2-3x-4=0，解得x 1=-1，x 2=4，∴A (4，1)．∵PC=|4m +3-m |，OH=m ，∴△POC 的面积为3，∴12|4m +3-m |·m=3，∴m 1=2，m 2=1，m 3=5，m 4=-2．∵m>0，点P 与点A 不重合，且A (4，1)， ∴m 4=-2不合题意，舍去，∴P 点坐标为(1，4)，(2，2)，(5，45)．。

【2020精品中考数学提分卷】河南中考模拟数学试卷(一)+答案

【2020精品中考数学提分卷】河南中考模拟数学试卷(一)+答案

河南中考模拟试卷一 （考试时间100分钟，满分120分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各数中最小的数是A ．B ．1C ．0D ．1-2．用若干个相同的小立方块搭成的几何体的三视图如下图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数是A ．2B ．3C ．4D ．53．下列运算正确的是 A ．236x x x ⋅=B ．65x x x ÷=C ．246()x x -=D ．235x x x += 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AB =8，则BC 的长是A B ．4C ．D ．5．某市今年第一季度快递业务总量达到4 210 000件．数据4 210 000用科学记数法应表示为A ．0.421×107B ．4.21×107C ．4.21×106D ．4.21×1046．某博物馆门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成可供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系正确的是A．AB=1.2tan10°米B．AB=1.2sin10︒米C．AC=1.2tan10°米D．AB=1.2cos10︒米7．在下图中，反比例函数21kyx+=的图象大致是A．B．C．D．8．在篮球比赛中，某队员连续10场比赛中每场的得分情况如下表所示，则这10场比赛中该队员得分的中位数和众数分别是A．10，4B．10，13C．11，4D．12.5，139．小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟书后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象是A．B．C ．D ．10．二次函数223y x =-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是 A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点(2，3)C ．抛物线的对称轴是直线x =1D ．抛物线与x 轴有两个交点第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算：3()ab = ．12．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字0，1，2，3，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张卡片组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率是 ． 13．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （1-，0），与y 轴的交点B 在（0，2-）和（0，1-）之间（不包括这两点），对称轴为直线1x =．下列结论：Ⅱ0abc >；Ⅱ420a b c ++>；Ⅱ248ac b a -<；Ⅱ1233a <<；Ⅱbc >．其中所有正确结论的序号为是 ．14．如图，已知菱形ABCD 的边长是13，O 是对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若菱形一条对角线长为10，则图中阴影部分的面积为 ．15．如图，等边ⅡABC 中，D 是边BC 上的一点，且BD ：DC =1：3，把ⅡABC 折叠，使点A落在边BC 上的点D 处，那么AMAN的值为 ．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分8分）先化简函数2(1)(1)(1)1x xy x x x =÷-+--，再解当y =2时，关于未知数x 的方程．17．（本小题满分9分）如图，AB 为ⅡO 的直径，C 为半圆上一动点，过点C 作ⅡO 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与ⅡO 交于点E ，连接OC 、CE 、AE ，AE 交OC 于点F ．（1）求证：ⅡCDE ⅡⅡEFC ；（2）若AB =2AC ，求证：四边形OBEC 为菱形．18．（本小题满分9分）如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且与点A ，C 不重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和G ，H ．（1）求证：ⅡPHC ⅡⅡCFP ；（2）证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系． 19．（本小题满分9分）某校为更好地培养学生兴趣，开展“拓展课程走班选课”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画共4类，每个学生均选择且只选择其中的一项为最喜爱的项目类型），并将统计结果绘制成如下不完整的频数分布表及频数分布直方图．根据以上信息完成下列问题：（1）频数分布表中a= ，b= ；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？20．（本小题满分9分）某区注重城市绿化，提高市民生活质量，计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株12元，乙种树苗每株15元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去10500元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．21．（本小题满分10分）如图，已知抛物线23=-++与x轴交于A，B两点，与y轴y x mx交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求点P的坐标．22．（本小题满分10分）（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：如图1，ⅡABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足ⅡADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．（1）小明发现，过点D作DF//AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：；【类比探究】（2）如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．【拓展应用】（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出ⅡABC与ⅡADE的面积之比．23．（本小题满分11分）如图，已知点A（3，0），以A为圆心作ⅡA与y轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B，过B作ⅡA的切线l．（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作ⅡA的切线DE，E为切点，求此切线长；（3）点F是切线DE上的一个动点，当ⅡBFD与ⅡAED相似时（不一定是对应顶点），求出BF的长．河南中考模拟试卷一参考答案。

【2020精品中考数学提分卷】北京 [数学][数与式]+答案

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数与式一、选择题1．（2020·东城二模）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为440 000万人，将440 000用科学记数法表示为（ ） A ．64.410⨯ B ．54.410⨯ C ．44410⨯ D ． 60.4410⨯2．（2020•西城区二模）据报道，到2020年北京地铁规划线网将由19条线路组成，总长度将达到561500米，将561500用科学记数法表示为（ ） A ．0.5615×106B ．5.615×105C ．56.15×104D ．561.5×1033．(2020·朝阳二模)中国海军第一艘国产航母001A 型航母在2020年4月26日下水,该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米.将21000用科学记数法表示应为A ．42.110⨯B ．50.2110⨯C ．32110⨯D ．52.110⨯4．（2020·顺义二模）“一带一路”国际合作高峰论坛于2020年5月14日至15日在北京召开，“一带”指的是“丝绸之路经济带”，“一路”指的是“21世纪海上丝绸之路”. “一带一路”沿线大多是新兴经济体和发展中国家，经济总量约210 000亿美元，将“210 000亿”用科学记数法表示应为A ．42110⨯亿 B ．42.110⨯亿 C ．52.110⨯亿 D ．60.2110⨯亿 5．（2020·怀柔二模）2020年5月15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京雁栖湖国际会议中心举行.据报道，2016年中国与沿线国家贸易总额约为953590000000美元，占中国对外贸易总额的比重达25.7%，将953590000000用科学计数法表示应为（ ）(A)9.5359×1011 (B) 95.359×1010 (C) 0.95359×1012 (D) 9.5×10116．（2020·石景山二模）一种细胞的直径约为0.000052米，将0.000052用科学记数法表示为（ ）A ．55.210⨯ B ．55.210-⨯ C ．45.210-⨯ D ．65210-⨯7．（2020·通州二模）大运河森林公园位于北京市通州区的北运河两侧，占地面积约为10700亩，公园沿水系长达8公里，分别建有潞河桃柳、月岛闻莺、明镜移舟等六大景区和长虹花雨、半山人家、皇木古渡等十八处景点.将10700用科学计数法表示应为A ．41007.1⨯B ．3107.10⨯C ．51007.1⨯D ．510107.0⨯8．（2020·东城二模）下列运算正确的是（ ） A ．2a +3b =5abB ．a 2•a 3=a 6C ．（a 2b ）3=a 6 b 3D ．(a ＋2)2＝a 2＋49．(2020·海淀二模)下列计算正确的是( ) A ．23a a a -= B ．()236a a =C =D ．632a a a =÷10．（3分）（2020•西城区二模）下列运算中，正确的是（ ） A ．a 3+a 3=2a 6 B ．a 5﹣a 3=a 2 C ．a 2•a 2=2a 4 D ．（a 5）2=a 10 11.（2020·房山二模） ()32a的化简结果是（ ）A ．5a B ．6a C ．8a D ．9a 12．（2020·门头沟二模）下列运算中，正确的是 A ．235x x x+=B ．347()x x=C ．623x x x ÷=D ．22232x x x -=13．（2020•西城区二模）将不等式x ﹣1＞0的解集表示在数轴上，下列表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．14． (2020·朝阳二模)实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a <-2B ．b >-1C ．-a <-bD ．a > b15.（2020·房山二模） A ，B 是数轴上两点，点A ，B 表示的数有可能互为相反数的是（ ）16．（2020·顺义二模）如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四点中，与表示的点最接近的是A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D17．（2020·怀柔二模）在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）(A) 1a<(B) 1＞a(C) 1b<(D) 0ab> 18．（2020·石景山二模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a c->B．a b>C．0ab>D．3a>-19．（2020·门头沟二模）如图，实数1-，a，1，b在数轴上的对应点分别为E，F，M，N，这四个数中绝对值最小的数对应的点是A．点E B．点F C．点M D．点N 20．（2020·通州二模）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是A．a B．b C．c D．d 21．（2020•西城区二模）介于下列哪两个整数之间（）A．0与1B．1与2C．2与3D．3与422.（2020·怀柔二模）下列木棍的长度中，最接近9厘米的是（）(A)10厘米(B)9.9厘米(C) 9.6厘米(D) 8.6厘米23．（2020·丰台二模）已知0442=-+xx，则)1)(1(6)2(32-+--xxx的值为A．-6 B．6 C．18 D．3024.（2020·怀柔二模）某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是（）(A)（1﹣10%）（1+15%）x万元 (B)（1﹣10%+15%）x万元(C)（x﹣10%）（x+15%）万元 (D)（1+10%﹣15%）x万元25.（2020·顺义二模）每年5月份的第二个周日为母亲节，今年的母亲节是5月14日，小DCBA0123-2-1-3cba-44-3-2-1321F NMEab1234–1–2–30a c d娜在这一天送给妈妈一束鲜花，她选了3只百合，6只郁金香，9只康乃馨．若百合每只a 元，郁金香每只b 元，康乃馨每只c 元，则小娜购买这束鲜花的费用是 A ．(369)a b c ++元 B ．(963)a b c ++元 C ．6()a b c ++元 D ．(369)()a b c ++++元二、填空题；1．（2020·通州二模）分解因式=-a a43_____________．2. (2020·朝阳二模)分解因式：ax 2-4ay 2= ．3. （2020·房山二模） 分解因式：3222x x y xy -+=．4．（2020·顺义二模）分解因式：24mn n -= ．5．（2020·丰台二模）分解因式：=-y y x 822.6．（2020·石景山二模）分解因式：244a b ab b -+= ．7．（2020·东城二模）请你写出一个多项式，含有字母a ，并能够在有理数范围内用平方差公式进行因式分解. 此多项式可以是 ．8．（2020·门头沟二模）如果242x x --的值为0，那么x 满足的条件是 ．9．（2020·东城二模）若分式31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．(2020·海淀二模)若分式12x -有意义，则x 的取值范围是11．（2020·x 的取值范围是 ．12.(2020·朝阳二模)在函数y =中，自变量x 的取值范围是 ．. 13．（2020·通州二模）若把代数式542--x x 化成k m x +-2)(的形式，其中m ，k 为常数，则k m +=_____． 14．(2020·海淀二模)计算：111mm m+--= ．15. （2020·怀柔二模）若2(2)0m - ，则m n -= ．11．（2020·平谷二模）分解因式：228___________________.m -=12．(2020·海淀二模)计算：111mm m+--=．13．（2020·平谷二模）中国数学史上有许多著名的数学家，很多理论都是由他们的名字命名的．如图1就是著名的“赵爽弦图”，它是由公元3世纪三国时期的赵爽为证明某个定理而创设的一副“弦图”，图2由“弦图”变化得到，请用含a，b，c的等式表示定理的内容．14．（2020·昌平二模）如图，正方形ABCD，根据图形写出一个正确的等式： .15．（2020·通州二模）2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》．其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.如果直角三角形的直角边分别为a，b （a>b），斜边为c，那么小正方形的面积可以表示为____________．16．（2020•西城区二模）如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式．图2图1aaabbbbaDCBA17.（2020·平谷二模）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，可推出m= ；y与n之间的关系是．18.（2020·房山二模）我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1.如果我们规定一个新数“i”，使它满足i 2=-1（即方程x2=-1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i 1 =i，i 2=-1，i 3 = i 2·i=-1·i= -i，i 4 = ( i 2)2 = (-1)2 = 1．从而对任意正整数n，由于i 4n= ( i 4 )n= 1n =1，i 4n+1 = i 4n·i=1·i= i，同理可得i 4n+2 =-1，i 4n+3 =-i. 那么，i6=（）；i 2020=19．（2020•西城区二模）《数学九章》中的秦九韶部算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：3x3﹣4x2﹣35x+8=x（3x2﹣4x﹣35）+8=x[x（3x﹣4）﹣35]+8按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值1008．请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为：，当x=8时，这个多项式的值为．解：x3+2x2+x﹣1=x[x（x+2）+1]﹣1，当x=8时，原式=647，故答案为：x[x（x+2）+1]﹣1；64720．（2020·东城二模）小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在n点钟响起后，下一次则在（3n-1）小时后响起，例如钟声第一次在3点钟响起，那么第2次在⨯-=小时后，即7点响起，⨯-=小时后，也就是11点响起；第3次在(311132)(3318)以此类推……；现在第1次钟声响起时为2点钟，那么第3次响起时为_____点，第2020次响起时为_____点.(如图钟表，时间为12小时制)三、解答题；1．（2020·门头沟二模）计算：011tan 6021)()3-︒--.2．（2020·石景山二模）计算：0(2017)6cos 45π-+-°．3．（2020·丰台二模）计算：2321452821-⎪⎭⎫⎝⎛+︒-+-sin .4. （2020·房山二模） 计算：0201723+3+cos30+15.（2020·22126tan 3033-⎛⎫-︒+- ⎪⎝⎭．6．（2020·通州二模）计算：︒+--++⎪⎭⎫⎝⎛-30tan 332)3(2102π.7．（2020·东城二模）计算： 02(π2017)4cos60-+--9．(2020·海淀二模)22tan 60-°113-+⎛⎫ ⎪⎝⎭．10．（2020·平谷二模）计算：()1120172cos 452π-⎛⎫-+︒+ ⎪⎝⎭．11．（2020•西城区二模）计算：﹣2﹣1+（﹣π）0﹣4sin45°．12．(2020·朝阳二模)计算：201()(4cos 452π--+-︒.13．（2020·怀柔二模）下面是某位同学进行实数运算的全过程，其中错误有几处？请在题中圈出来，并直接写出正确答案. 0-.解：原式0229-+-= 09-= 9=14．（2020·通州二模）已知01232=++a a ，求代数式)13)(13()31(2-++-a a a a 的值.15．（2020·门头沟二模）已知2430x x --=，求代数式2(23)(2)(2)x x x --+-的值．16．（2020·石景山二模）已知2210250x xy y -+=，且0xy ≠，求代数式22232393x x x x yx y x y-÷+--的值．17．（2020·顺义二模）已知2220a a +-=，求代数式(32)(32)2(41)a a a a +---的值．18．（2020·平谷二模）已知230x x --=，求代数式2(1)(2)(2)x x x -++-的值．19.（2020·房山二模） 已知220m m --=，求代数式()()()211-++-m m m m 的值.20．（2020·东城二模）小明化简 (21)(21)(5)x x x x +--+的过程如图. 请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程．21. (2020·朝阳二模)已知2310x x +-=，求代数式()239x x x--÷的值.数与式一、选择题1-5BBACA6-10BACBD11-15BDABA16-20BBABB21-25CDBAA二、填空题；1．)2)(2(-+a a a2. (2)(2)a x y x y +-.3. ()2x x y -4．(2)(2)n m m +-5． ()()222-+x x y6．2(2)b a -7．答案不唯一如：21a -8．2x =-9．3x ≠10．2x ≠11．2x -≥12.x ≥2.13．-714．115. 511．2(m +2)(m -2)12．113． 222a b c +=14．222()2a b a ab b +=++15．答案不唯一16． c 2=a 2+b 2 ．17.m = 16 ；y 与n 之间的关系是 2n y n =+ ．18.-1（1分）；i （2分） ．19．x [x （x +2）+1]﹣1；64720．3；11三、解答题；1．（2020·门头沟二模）解：原式13-，=2-.2．（2020·石景山二模）解：原式1622=+⨯+-3=．3．（2020·丰台二模）.解：原式=4222212+⨯-+- =54. （2020·房山二模）解：原式 =211-= 2-25.（2020·顺义二模）22126tan 3033-⎛⎫-︒+- ⎪⎝⎭1126399=⨯+-2=- 6．（2020·通州二模） 解：︒+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-30tan 332)3(2102π. =323+7．（2020·东城二模）计算：02(π2017)4cos60-+--解：原式=212+-+=1.9．(2020·海淀二模)原式 = 23= 510．（2020·平谷二模）解： =1222+⨯+=3+11．（2020•西城区二模）解：﹣2﹣1+（﹣π）0﹣4sin45° =3﹣+1﹣4× =3+﹣2 =+12．(2020·朝阳二模)解：原式=4142-+⨯=3.14．（2020·怀柔二模）下面是某位同学进行实数运算的全过程，其中错误有几处？请在题中圈出来，并直接写出正确答案. 0-. 解：原式0229-+-=09-=9=14．（2020·通州二模）解：已知01232=++a a ，求代数式)13)(13()31(2-++-a a a a 的值..原式= -215．（2020·门头沟二模）原式=2241294x x x -+-+=231213x x -+=23(4)13x x -+∵2430x x --=∵原式=331322⨯+=16．（2020·石景山二模）解：原式=23233(3)(3)xx x yx y x x y x y --⨯++-=3xx y +．∵2210250x xy y -+=，∵2(5)0x y -=．∵5x y =． ∵原式=553yy y+ =58．17．（2020·顺义二模）解：222(32)(32)2(41)948224a a a a a a a a a +---=--+=+- 当2220a a +-=时，原式=-2．18．（2020·平谷二模）解：2(1)(2)(2)x x x -++-=22214x x x -++-=2223x x --∵230x x --=，∵23x x -=.∵原式=22()3x x --=3.19.（2020·房山二模）解：方法一：原式=2222m m m m m -+-+-=2222m m --=()222m m --∵220m m --=∵22m m -=∵原式= 2×2﹣2 = 2方法二：∵220m m --=∵m 1=2， m 2= -1当m=2时，原式=2当m = -1时，原式=2综上所述：原式值为220．（2020·东城二模）解： 错误的步骤是○1和○2． 正确的化简过程：原式=241(+5)x x x --=22415x x x --- =2351x x --. 21. (2020·朝阳二模)解：()239x x x --÷ =(3)(3)3xx x x +-⋅-=23x x +．2310,x x +-=∵原式=1.。

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提分专练(一)实数混合运算与代数式的化简求值|类型1| 实数的混合运算1.[2019·成都]计算:2-2+-2sin60°+|-|.2.[2019·南充]计算:- 2 2-1-220+sin45°+2-1.3.[2019·长沙改编]计算:|-3|+(π-2019)0-2sin 0°+-1.-3-(32)0-4cos 0°+.4.[2019·德阳]计算:-2+2|类型2| 整式的化简求值5.[2019·无锡]计算:(x+1)2-(x2-x).6.[2019·江西]计算:(a+1)(a-1)-(a-2)2.7.[2019·衡阳]先化简,再求值:(x+2)(x-2)+x(1-x),其中x=-1.|类型3| 分式的化简求值8.[2019·聊城] 先化简,再求值:- -÷2- 2 2 ,其中a=-2.9.[2019·株洲] 先化简,再求值:2 2·1--2 ,其中x=2,y= 2.10.[2019·眉山] 先化简,再求值: - - -2÷2 2-2 2,其中x 满足x 2-2x-2=0.11.[2019·达州]化简代数式:--÷2-,再从不等式组-2 - ①6 0 ②的解集中取一个合适的整数值代入,求出代数式的值.|类型4| 与二次根式有关的计算12.[2019·湖州]计算:2×(1-2)+.13.[2019·陕西]计算:(-)×(-6)+|2-1|+(5-2π)0.14.[2019·恩施州]先化简,再求值:22·1+-÷22-,其中x=25-1.15.[2019·凉山州]先化简,再求值:1-24422-÷2-,其中a,b满足(a-2)2+=0.参考答案1.解:2-2+-2sin60°+|- |= 4+2-2× 2+ =4. 2.解:原式= 2-1-1+ 22+2=2 2.3.解:原式=3+1-1+3=6.4.解:原式=3+8-1-4× 2+2=3+8-1-2 +2 =10.5.解:(x+1)2-(x 2-x )=x 2+2x+1-x 2+x=3x+1. 6.解:原式=a 2-12-(a-2)2=a 2-1-(a 2-4a+4) =a 2-1-a 2+4a-4 =4a-5.7.解:原式=x 2-4+x-x 2=x-4. 当x=-1时,原式=-1-4=-5. 8.解:- -÷2-2 2= - -÷ 2-2 = - -÷2 2 -2 = - -÷ 2-2= - -· 22-= - -· 2-= - 2=- 2= - -2=-2, 当a=- 2时,原式=-2- 2=-2 2=-2÷2=-2×2=-4.9.解:2 2·1--2 =2· -- 2 =2· -2= -2= 2 -2 =2 -2=. 当x=2,y= 2时,原式= 2. 10.解:原式=- - -2·22 -=2 -·22 -=2.由题意得:x 2=2x+2,代入得:原式= 2 2=2. 11.解:解不等式①,得x ≤ 解不等式②,得x>-3,∴不等式组的解集为-3<x ≤ .- -÷ 2- = - - - · 2-=- - -·-=3(x+1)-(x-1) =3x+3-x+1 =2x+4. ∵x ≠0 x ≠±1,∴当x 取-2时,原式=2×(-2)+4=0.12.解:原式=2-2 2+2 2=2.13.解:(- )×(- 6)+| 2-1|+(5-2π)0= + 2-1+1 =3 2+ 2 =4 2.14.解:22·1+-÷22-=2·2-·-2=.当x=25-1时,原式=25-=5 0.15.解:1-24422-÷2-=1-22-·-2=1-2=--2=-2.∵a,b满足(a-2)2+=0,∴a-2=0,b+1=0,∴a=2,b=-1.当a=2,b=-1时,原式=-2=2.提分专练(二)解方程(组)与不等式(组) |类型1| 解二元一次方程组1.解方程组:2 5 ①-2- ②2.[2019·常州]解方程组2- ①- ②3.已知关于x,y的方程组522- 2-的解满足x>0,y>0,求实数a的取值范围.|类型2| 解一元二次方程4.解方程:x2+2x=3.5.[2019·兰州]解方程:3x2-2x-2=0.6.先化简,再求值:(x-1)÷2-1,其中x 为方程x 2+3x+2=0的根.7.当x 满足条件 -2-4-4 时,求出方程x 2-2x-4=0的根.8.[2019·毕节] 先化简,再求值:2 2-4--2÷2 4 4,其中a 是方程a 2+a-6=0的解.|类型3| 解分式方程9.[2019·绵阳] 解分式方程: - -2+2=2-.10.解方程: - -2= 2 -4-1.11.[2019·泰州] 解分式方程:- +4 -2=1.|类型4| 解一元一次不等式(组)12.解不等式:2(x-6)+4≤ x-5,并将它的解集在数轴上表示出来.图T2-113.[2019·湖州]解不等式-22≤2 并把它的解集表示在数轴上.14.[2019·北京]解不等式组:-2215.[2019·宁夏]解不等式组:-- 5 ①-5-2②参考答案1.解:①+②得4x=4,∴x=1.将x=1代入①,得y=2.∴原方程组的解为22.解:①+②得:3x=6,∴x=2.将x=2代入①,得y=-1,∴2 -3.解:52 ①2- 2- ②①×3,得15x+6y=33a+54,③②×2,得4x-6y=24a-16,④③+④,得19x=57a+38,解得x=3a+2.把x=3a+2代入①,得5(3a+2)+2y=11a+18, 解得y=-2a+4,∴原方程组的解是2 -2 4∵x>0,y>0,∴20 ⑤-240 ⑥由⑤得a>-2,由⑥得a<2,∴a的取值范围是-2<a<2.4.解:x1=-3,x2=1.5.解:移项,得3x2-2x=2, 配方,得3x-2=,解得x1=,x2=-.6.解:原式=(x-1)÷2- -=(x- ·-=-x-1. 由x 2+3x+2=0,得x 1=-1,x 2=-2.当x=-1时,原分式无意义,所以x=-1舍去. 当x=-2时,原式=1. 7.解:由 -2 -4-4 解得2<x<4.解方程x 2-2x-4=0,得x 1=1+ 5,x 2=1- 5.∵2< 5<3,∴3<1+ 5<4,符合题意;-2<1- 5<-1,不符合题意,舍去. ∴x=1+ 5.8.解:2 2-4--2÷ 2 4 4= 2 2 -2 - 2 -2 2 ÷ 2 4 4=2 - 2 2 -2· 2 2=2 ,由a 2+a-6=0,得(a+3)(a-2)=0, 解得a=-3或a=2,∵ 2 0-2 0 0∴a ≠±2且a ≠0 ∴a=-3,当a=-3时,原式=2 =- 2-= .9.解:方程两边同时乘以x-2,得x-1+2(x-2)=-3, 去括号,得x-1+2x-4=-3, 移项,得x+2x=2,合并同类项,系数化为1,得x=2, 经检验,x=2是原分式方程的解, 故原分式方程的解为x=2.10.解:化为整式方程得2-2x=x-2x+4, 解得x=-2,经检验x=-2是分式方程的解. 11.解:去分母,得(x+1)2-4=x 2-1, 去括号,得x 2+2x+1-4=x 2-1,移项、合并同类项,得2x=2,系数化为1,得x=1.经检验,x=1是分式方程的增根,故原分式方程无解.12.解:2(x-6)+4≤ x-5,2x-12+4≤ x-5,-x≤x≥-3.解集在数轴上表示如图所示:13.解:不等式的两边同乘以2,得3x-2≤4移项,合并同类项,得3x≤6解得x≤2.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:14.解:不等式3(x+1)>x-1的解集为x>-2;>2x的解集为x<3.不等式2∴原不等式组的解集为-2<x<3.15.解:由不等式①得x-3x+ ≥5x-3x≥5-3,-2x≥2x≤-1;由不等式②得2(x-3)-10<5(x+1),2x-6-10<5x+5,2x-5x<5+6+10,-3x<21,x>-7.∴原不等式组的解集为-7<x≤-1.提分专练(三)一次函数与反比例函数的综合|类型1| 一次函数与反比例函数的综合1.[2019·襄阳]如图T3-1,已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A(-4,1)和点B(m,-4).(1)求双曲线和直线的解析式;(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.图T3-1x+4的图象交于2.[2019·贵港]如图T3-2,已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-2A和B(6,n)两点.(1)求k和n的值;(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数值y的取值范围.图T3-23.[2019·枣庄]如图T3-3,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0 的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=(n为常数,且n≠0 的图象在第二象限交于点C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;(3)直接写出不等式kx+b≤的解集.图T3-34.[2019·宜宾]如图T3-4,已知反比例函数y=(m≠0 的图象经过点(1,4),一次函数y=-x+b 的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4,n).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P点,连接OP,OQ,求△OPQ的面积.图T3-45.[2019·广安]如图T3-5,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=6.(1)求函数y=和y=kx+b的解析式.(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内,求反比例函数y=的图象上一点P,使得S△POC=9.图T3-56.[2019·北京]在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=x+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.4(1)求k的值.(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W.①当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数.②若区域W内恰有4个整点,结合图象,求b的取值范围.|类型2| 反比例函数的实际应用7.[2019·乐山]某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜,图T3-6是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB,BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y与时间x 0≤x≤24 的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10℃,蔬菜会受到伤害,问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?图T3-6参考答案1.解:(1)∵双曲线y 1=经过点A (-4,1), ∴k=-4×1=-4,∴双曲线的解析式为y 1=-4. ∵双曲线y 1=-4经过点B (m ,-4), ∴-4m=-4,∴m=1,∴B (1,-4).∵直线y 2=ax+b 经过点A (-4,1)和点B (1,-4),∴ -4 -4 解得 - -∴直线的解析式为y 2=-x-3.(2)AB=5 2,y 1>y 2时,x 的取值范围是-4<x<0或x>1.提示:由两点间距离坐标公式得AB= -4- 24 2=5 2.在图象中找出双曲线在直线上方的部分,确定这部分x 的取值范围是-4<x<0或x>1. 2.解:(1)把B (6,n )代入一次函数y=-2x+4中,可得n=-2×6+4=1,所以B 点的坐标为(6,1).又B 在反比例函数y=(x>0)的图象上, 所以k=xy=1×6=6, 所以k 的值为6,n 的值为1.(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=6. 当x=2时,y=62=3;当x=6时,y=66=1,由函数图象可知,当2≤x ≤6时函数值y 的取值范围是 ≤y ≤ . 3.解:(1)∵OB=2OA=3OD=12,∴OA=6,OB=12,OD=4,∴A (6,0),B (0,12),点D 的横坐标为-4,把点A ,点B 的坐标代入y=kx+b 得0=6k+b ,b=12,∴k=-2,一次函数的解析式为y=-2x+12.点C 与点D 的横坐标相同,代入y=-2x+12得点C 的纵坐标为20,即C (-4,20),∴20=-4,n=-80,∴反比例函数的解析式为y=- 0.(2)由y=-2x+12和y=- 0得-2x+12=- 0, 解得x 1=-4,x 2=10,∴E (10,-8),∴△CDE 的面积为2×20×(10+4)=140.(3)由图象可得-4≤x<0或x ≥ 0.4.解:(1)∵反比例函数y=(m ≠0 的图象经过点(1,4), ∴4=,解得m=4,故反比例函数的表达式为y=4.∵Q (-4,n )在反比例函数的图象上, ∴n=4-4=-1,∴Q (-4,-1).∵一次函数y=-x+b 的图象过点Q (-4,-1), ∴-1=4+b ,解得b=-5,∴一次函数的表达式为y=-x-5. (2)由题意可得: 4- -5解得-4 -或- -4∴P (-1,-4).在一次函数y=-x-5中, 令y=0,得-x-5=0, 解得x=-5,故A (-5,0).∴S △OPQ =S △OPA -S △OAQ = 2×5×4-2×5×1=7.5.5.解:(1)∵点A (4,2)在反比例函数y=的图象上,∴m=4×2=8,∴反比例函数的解析式为y=. ∵点B 在y 轴的负半轴上,且OB=6, ∴点B 的坐标为(0,-6),把A (4,2)和B (0,-6)代入y=kx+b 中,得:4 2 -6 解得 2-6∴一次函数的解析式为y=2x-6.(2)设点P 的坐标为n ,(n>0). 在直线y=2x-6上,当y=0时,x=3,∴点C 的坐标为(3,0),即OC=3, ∴S △POC =2OC ·y P =2×3×=9,解得n=4,∴点P 的坐标为4,6,故当S △POC =9时,在第一象限内,反比例函数y=的图象上点P 的坐标为4,6.6.解:(1)∵函数y=(x>0)的图象经过点A (4,1),∴1=4,解得k=4.(2)①如图所示:由图可知区域W 内的整点个数有3个:(1,0),(2,0),(3,0).②由①可知,当直线BC 过点(4,0)时,b=-1;当直线BC 过点(5,0)时,54+b=0,b=-54.此时,区域W内的整点个数有4个:(1,0),(2,0),(3,0),(4,0).结合函数图象知-54≤b<-1. 当直线BC 过点(1,2)时,4+b=2,b=4. 当直线BC 过点(1,3)时,4+b=3,b=4.此时,区域W 内的整点个数有4个:(1,1),(2,1),(3,1),(1,2).结合函数图象知 4<b ≤ 4. 综上,-54≤b<-1或4<b ≤4.7.解:(1)设线段AB的解析式为y=k1x+b(k1≠0 0≤x≤5 .∵线段AB过(0,10),(2,14),∴2 4 解得2∴线段AB的解析式为y=2x+ 0 0≤x≤5 .∵B在线段AB上,当x=5时,y=20,∴点B的坐标为(5,20).∴线段BC的解析式为y=20 5≤x≤ 0 .设双曲线CD段的解析式为y=2(k2≠0 0≤x≤24 ∵点C在线段BC上,∴点C的坐标为(10,20).又∵点C在双曲线y=2上,∴k2=200.∴双曲线CD段的解析式为y=200 0≤x≤24 .故y=2 0 05 20 5 0 200 024(2)由(1)知,恒温系统设定的恒定温度为20℃.(3)把y=10代入y=200中,解得x=20,∴20-10=10.答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.提分专练(四)二次函数小综合|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合1.[2019·南京]已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?|类型2| 二次函数与直线的综合2.[2019·苏州]如图T4-1,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C 为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.(1)求线段AD的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.图T4-1|类型3| 二次函数与三角形的综合x+c(a≠0 的图象与y轴交于点A(0,4), 3.[2019·枣庄]如图T4-2①,已知二次函数y=ax2+2与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.x+c的表达式;(1)请直接写出二次函数y=ax2+2(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;(4)如图②,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN 面积最大时,求点N的坐标.图T4-2|类型4| 二次函数与平行四边形的综合4.[2019·恩施]如图T4-3,已知抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于C点,A点坐标为(-1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)P为坐标平面内一点,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标.图T4-3|类型5| 二次函数与相似三角形的综合5.[2019·青海]如图T4-4,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.图T4-4(1)求抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上第一象限内一动点,过点P作PD⊥x轴于点D,设点P的横坐标为t(0<t<3),求△ABP的面积S与t的函数关系式;(3)条件同(2),若△ODP与△COB相似,求点P的坐标.参考答案1.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x 1=1,x 2=m+3.当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+ ≠ 即m ≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m 为何值,该函数的图象与x 轴总有公共点. (2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y 轴交点的纵坐标是2m+6. 当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方. 2.解:(1)由x 2-4=0解得x 1=2,x 2=-2.∵点A 位于点B 的左侧, ∴A (-2,0).∵直线y=x+m 经过点A , ∴-2+m=0, ∴m=2,∴D (0,2). ∴AD= 2 2=2 2.(2)∵新抛物线经过点D (0,2),∴设新抛物线对应的函数表达式为y=x 2+bx+2, ∴y=x 2+bx+2=x+22+2-24.∵直线CC'平行于直线AD ,并且经过点C (0,-4), ∴直线CC'的函数表达式为y=x-4. ∴2-24=-2-4,整理得b 2-2b-24=0,解得b 1=-4,b 2=6.∴新抛物线对应的函数表达式为y=x 2-4x+2或y=x 2+6x+2.3.[解析] (1)根据待定系数法即可求得;(2)根据抛物线的表达式求得B 的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB 2=20,AC 2=80,BC=10,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形;(3)分别以A ,C 两点为圆心,AC 长为半径画弧,与x 轴交于三个点,由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点,即可求得点N 的坐标;(4)设点N 的坐标为(n ,0),则BN=n+2,过M 点作MD ⊥x 轴于点D ,根据三角形相似对应边成比例求得MD=25(n+2),然后根据S △AMN =S △ABN -S △BMN 得出关于n 的二次函数,根据函数表达式求解即可.解:(1)∵二次函数y=ax 2+2x+c 的图象与y 轴交于点A (0,4),与x 轴交于点B ,C ,点C 坐标为(8,0),∴ 4 64 2 0解得 -4 4∴抛物线表达式为y=- 4x 2+2x+4.(2)△ABC 是直角三角形.理由: 令y=0,则-4x 2+2x+4=0,解得x 1=8,x 2=-2,∴点B 的坐标为(-2,0).由已知可得,在Rt △ABO 中,AB 2=BO 2+AO 2=22+42=20, 在Rt △AOC 中,AC 2=AO 2+CO 2=42+82=80, 又∵BC=OB+OC=2+8=10,∴在△ABC 中,AB 2+AC 2=20+80=102=BC 2, ∴△ABC 是直角三角形.(3)∵A (0,4),C (8,0),∴AC= 42 2=4 5.①以A 为圆心,以AC 长为半径作圆,交x 轴于N ,此时N 的坐标为(-8,0);②以C 为圆心,以AC 长为半径作圆,交x 轴于N ,此时N 的坐标为(8-4 5,0)或(8+4 5,0); ③作AC 的垂直平分线,交x 轴于N ,此时N 的坐标为(3,0).综上,若点N 在x 轴上运动,当以点A ,N ,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点N 的坐标分别为(-8,0),(8-4 5,0),(3,0),(8+4 5,0).(4)设点N 的坐标为(n ,0),则BN=n+2,过M 点作MD ⊥x 轴于点D ,∴MD ∥OA , ∴△BMD ∽△BAO ,∴ =. ∵MN ∥AC , ∴ =, ∴ =. ∵OA=4,BC=10,BN=n+2, ∴MD=25(n+2). ∵S △AMN =S △ABN -S △BMN= 2BN ·OA-2BN ·MD =2(n+2)×4-2×25(n+2)2=- 5(n-3)2+5,∴当△AMN 面积最大时,N 点坐标为(3,0).4.解:(1)∵OC=2,OB=3,∴C (0,2),B (3,0).设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+2, 将A (-1,0),B (3,0)代入得2 0 2 0解得-24∴抛物线的解析式为y=-2x 2+4x+2.(2)∵D 为抛物线y=-2x 2+4x+2的顶点,∴D 1,. ∵C (0,2),B (3,0),∴①当四边形DCBP 1为平行四边形时,BP 1可由CD 平移得到,由点C 到点D 横坐标加1个单位,纵坐标加2个单位,得P 14,2;②当四边形DP 2CB 为平行四边形时,CP 2可由BD 平移得到,由点B 到点D 横坐标减2个单位,纵坐标加个单位,得P2-2, 4;③当四边形CP3BD 为平行四边形时,BP3可由DC平移得到,由点D到点C横坐标减1个单位,纵坐标减2个单位,得P32 -2.综上所述,当P的坐标为-2 4或2 -2或4 2时,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形.5.解:(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,2)代入解析式y=ax2+bx+c得,-00 2 解得-242∴抛物线的解析式为y=-2x2+4x+2.(2)连接AP,BP,∵P t,-2t2+4t+2,∴PD=-2t2+4t+2,又AB=4,∴S△ABP=2×4×-2t2+4t+2=-4t2+t+4(0<t<3).(3)①当△BOC∽△PDO时,=,∴2=-2242,3t=2-2t2+4t+2,4t2+t-12=0.∴t1=--(舍去),t2=-.∴P-,-6.②当△BOC∽△ODP时,=,∴2-2242=,2t=3-2t2+4t+2, t2-t-3=0.∴t1=-2(舍去),t2=2,∴P2,.综上所述,点P的坐标为-,-6或2,.提分专练(五)以全等三角形为背景的中档计算与证明|类型1| 全等三角形与等腰三角形结合1.[2019·镇江]如图T5-1,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC.(1)求证:△ABE≌△ACF;(2)若∠BAE= 0° 则∠ADC= °.图T5-12.[2019·苏州]如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠1=42° 求∠BDE的度数.图T5-23.[2019·嘉兴]已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.图T5-34.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.(1)求证:AD=BE;(2)求∠AEB的度数.图T5-4|类型2| 全等三角形与直角三角形结合5.如图T5-5,在△ABC中,∠C= 0° AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B= 0° CD=1,求BD的长.图T5-5|类型3| 全等三角形与等腰直角三角形结合6.已知:如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD= 0° D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图T5-67.如图T5-7,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD= 0° AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF.图T5-78.问题:如图T5-8①,在Rt△ABC中,∠BAC= 0° AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转 0°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为.探索:如图T5-8②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论.应用:如图T5-8③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.图T5-8参考答案1.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACF.在△ABE和△ACF中,∠∠∴△ABE≌△ACF.(2)75.2.[解析] (1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.解:(1)证明:∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.又∵在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.∠∠在△AEC和△BED中,∠∠∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°∴∠C=∠EDC=6 °∴∠BDE=∠C=6 °.3.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC= 0°.∵D为AC的中点,∴DA=DC.又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.4.解:(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ∴∠ACB=∠DCE= 0°-2×50°= 0°AC=BC,DC=EC.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∠∠∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°∴∠ADC= 0°-∠CDE= 0°∴∠BEC= 0°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°∴∠AEB=∠BEC-∠CED= 0°-50°= 0°.5.解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.∵DE⊥AB,∠C= 0°∴∠ACD=∠AED= 0°.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED,∴DE=CD=1.∵∠B= 0° ∠DEB= 0°∴BD=2DE=2.6.证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∠ACB=∠ECD= 0°∴AC=BC,CD=CE,∵∠ACB=∠DCE= 0°∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,∠∠∴△ACE≌△BCD(SAS).(2)∵△ACB是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°.∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°.∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°= 0°∴AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.7.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC= 0°∴∠ABC=∠ACB=45° ∴∠ABF= 5°∵∠BCD= 0°∴∠ACD= 5°.∴∠ABF=∠ACD,∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,在△ABF和△ACD中,∠∠∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF.(2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,∴∠FAB=∠DAC,∵∠BAC= 0°∴∠EAB=∠BAC= 0°∴∠EAF=∠BAD,在△AEF和△ABD中,∠∠∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.8.解:问题:BC=EC+DC.∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC= 0°.又∵AD⊥AE,∴∠EAD= 0°.∴∠EAD-∠CAD=∠BAC-∠CAD.∴∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,AE=AD,∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE,∴BC=EC+DC.探索:线段AD,BD,CD之间满足的关系是BD2+CD2=2AD2.证明:如图①,连接CE.∵∠BAC=∠BAD+∠DAC= 0°AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∵∠DAE=∠CAE+∠DAC= 0°∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,∠∠∴△BAD≌△CAE.∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=45°.∴∠BCE=∠ACB+∠ACE= 0°.∴BD⊥CE.∵∠EAD= 0° AE=AD,∴ED=2AD.在Rt△ECD中,ED2=CE2+CD2,∴BD2+CD2=2AD2.应用:如图②,作AE⊥AD于点A,交DC的延长线于点E,连接BE.∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45° ∠EAD= 0°∴∠BAC= 0° AB=AC,AE=AD.∴ED=2AD.由“探索”的证明可知,BE=CD,BE⊥CD.在Rt△BED中,BD2=BE2+DE2.∴2AD2=BD2-CD2.∵BD=9,CD=3,∴2AD2=92-32=72.∴AD=6(负值舍去).提分专练(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算与证明|类型1| 以矩形为背景的问题1.[2019·连云港]如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T6-12.[2019·通辽]如图T6-2,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.图T6-23.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.图T6-3(1)求证:△ABD≌△CAE;(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.|类型2| 以菱形为背景的问题4.[2019·北京]如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD= 0° E为AD的中点,连接BE.图T6-4(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.5.[2019·南宁]如图T6-5,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.图T6-5(1)求证:▱ABCD是菱形;(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.|类型3| 以正方形为背景的问题6.[2019·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.图T6-6(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.7.[2019·遵义]如图T6-7,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF= 0° OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.图T6-78.[2019·北京]如图T6-8,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.图T6-8(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.参考答案1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°∵∠CDE= 0°∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.2.解:(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,∴△AEF≌△DEB.(2)四边形ADCF是矩形.证明:∵AF∥CD,AF=CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵△AEF≌△DEB,∴AF=BD,∴BD=CD,即AD是△ABC的中线,又∵AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADC= 0°.∴四边形ADCF是矩形.3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD.∵AE∥BC,CE⊥AE,∴∠DCE= 0°∴四边形ADCE是矩形,∴AD=CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形ADCE是矩形,∴AE=CD=BD,又AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB.4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,∴BC=ED,∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD= 0° AE=DE,∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,2∴∠ADB= 0° ∴∠DAC=∠BAD= 0° ∠ADC=2∠ADB=60°.2∴∠ACD= 0°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC.∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEB=∠AFD= 0°又∵BE=DF ,∴△AEB ≌△AFD (ASA). ∴AB=AD ,∴四边形ABCD 是菱形.(2)如图,连接BD 交AC 于点O.由(1)知四边形ABCD 是菱形,AC=6,∴AC ⊥BD ,AO=OC= 2AC=2×6=3, ∵AB=5,AO=3,∴在Rt △AOB 中,BO= 2- 2= 52- 2=4, ∴BD=2BO=8,∴S ▱ABCD =2AC ·BD=2×6×8=24.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ABD=45° ∠ADB=45° AB=AD. ∴∠ABE=∠ADF= 5°.又∵BE=DF ,∴△ABE ≌△ADF (SAS). (2)四边形AECF 是菱形. 理由:连接AC 交BD 于点O ,图略. 则AC ⊥BD ,OA=OC ,OB=OD. 又∵BE=DF ,∴OE=OF ,∴四边形AECF 是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD 中,AC=BD ,OA=2AC ,OB=OD=2BD ,所以OA=OB=OD ,因为AC ⊥BD ,所以∠AOB=∠AOD= 0° 所以∠OAD=∠OBA=45° 所以∠OAM=∠OBN ,又因为∠EOF= 0° 所以∠AOM=∠BON ,所以△AOM ≌△BON ,所以OM=ON.(2)如图,过点O 作OP ⊥AB 于P ,所以∠OPA= 0° ∠OPA=∠MAE ,因为E 为OM 中点,所以OE=ME ,又因为∠AEM=∠PEO ,所以△AEM ≌△PEO ,所以AE=EP ,因为OA=OB ,OP ⊥AB ,所以AP=BP=2AB=2,所以EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45° 所以OP=PB=2,Rt△OEP中,OE=22=5,所以OM=2OE=25,Rt△OMN中,OM=ON,所以MN=2OM=2 0.8.解:(1)证明:连接DF,如图:∵点A关于直线DE的对称点为F,∴DA=DF,∠DFE=∠A= 0°.∴∠DFG= 0°.∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA=DF,∠C=∠DFG= 0°.又∵DG=DG,∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL).∴GF=GC.(2)如图,在AD上取点P,使AP=AE,连接PE,则BE=DP.由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠4,从而由∠ADC= 0° 得2∠2+2∠3= 0°∴∠EDH=45°.又∵EH⊥DE,∴△DEH是等腰直角三角形.∴DE=EH.∵∠1+∠AED=∠5+∠AED= 0°∴∠1=∠5.∴△DPE≌△EBH(SAS).∴PE=BH.∵△PAE是等腰直角三角形,从而PE=2AE.∴BH=2AE.提分专练(七)切线的性质与判定|类型1| 切线的性质1.[2019·沈阳]如图T7-1,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.图T7-1(1)若∠ADE=25° 求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.2.[2019·随州]如图T7-2,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=45,求MC的长.。

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