微积分 高数8-4(2011.3)
高数微积分基本公式大全
∫
⑻
1 ⑼∫ = csc2 xdx = − cot x + c sin 2 x ∫
⑾
x 1 ⑽∫ dx = arctan x + c 1 + x2
∫ cos
1
2
dx = ∫ sec 2 xdx = tan x + c
∫
1 1 − x2
dx = arcsin x + c
六、补充积分公式
∫ tan xdx = − ln cos x + c ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + c
2.二倍角公式
cos( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B
tan( A − B ) = tan A − tan B 1 + tan A tan B cot A ⋅ cot B + 1 cot( A − B ) = cot B − cot A
sin 2 A = 2sin A cos A tan 2 A = 2 tan A 1 − tan 2 A
2
u = cos x
xdx = ∫ f ( tan x )d ( tan x ) xdx = ∫ f ( cot x )d ( cot x )
1
2
u = tan x u = cot x
2
∫ f ( arctan x ) ⋅ 1 + x
dx = ∫ f ( arc ta n x )d ( arc ta n x )
tan
cot
4.和差化积公式
sin a + sin b = 2sin
a+b a−b ⋅ cos 2 2 a+b a −b cos a + cos b = 2 cos ⋅ cos 2 2
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
微积分高等数学课件完整版
5.反三角函数
反正弦函数 y arcsin 函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域 自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
函数的两要素: 定义域与对应法则.
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( a , a ) ( a 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在( , ) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 六、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 七、求 f ( x ) x 的反函数，并指出其定义域. x e e
大一高数上册知识点微积分
大一高数上册知识点微积分微积分是数学的一个重要分支，也是高数课程的核心内容之一。
它是研究函数变化的数学方法，包括了导数与微分、积分以及微分方程等内容。
本文将介绍大一高数上册学习微积分的知识点。
1. 函数与极限函数是微积分的基础，它是自变量和因变量之间的关系。
在研究函数时，我们经常使用极限的概念来描述其变化规律。
极限可以理解为自变量无限接近某个特定值时，函数取值的趋势。
极限的符号表示为lim，例如：lim(x→a) f(x) = L，这表示当自变量x无限接近a时，函数f(x)的极限是L。
2. 导数与微分导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义为函数f(x)在x点处的极限，表示为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
导数可以衡量函数的陡峭程度、切线斜率以及凸凹性等性质。
微分则是导数的一个应用，它用于计算函数在给定点的微小变化量。
微分的理论基础是微分中值定理和泰勒公式。
3. 积分与不定积分积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
积分的符号表示为∫，例如：∫[a, b] f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a, b]上的积分。
积分的计算需要求解不定积分，也就是求解导函数为给定函数的原函数。
常见的不定积分公式有：幂函数积分、三角函数积分以及指数函数积分等。
4. 定积分与面积计算定积分是积分的一种特殊形式，它表示函数在给定区间上的面积。
定积分的计算需要明确上下限，并使用Riemann和黎曼-斯蒂尔杰斯积分等方法。
定积分还具有重要的物理、几何和经济学等应用，例如计算物体的质量、计算曲线下的面积以及计算市场需求量等。
5. 微分方程微分方程是研究函数关系的方程，其中包含了函数及其导数的关系。
微分方程包括常微分方程和偏微分方程两类，常微分方程是自变量为一元函数的方程，而偏微分方程是自变量为多元函数的方程。
微分方程在物理学、电子工程以及金融学等领域有广泛的应用。
高数Ⅱ 习题答案—8-3,8-4解答
习 题8－323. 解：（1） ()13cos 12,cos =⨯⨯=⋅⋅=⋅πb a b a b a ；（2） ()4,cos 2==⋅⋅=⋅a a a a a a a ；()1,cos 2==⋅⋅=⋅b b b b b b b（3） ()()()28131746376332=⨯-⨯+⨯=⋅-⋅+⋅=-⋅+b b b a a a b a b a分配率。
24. 解：（1） ()()()22243264=⋅-+-⋅-+⋅=⋅b a（2） ()()364242222=-+-+==⋅a a a（3）()()()b b b a a a b a b a⋅-⋅+⋅=+⋅-673323分配率()()322366227363222-=+-+⨯-⨯+⨯=25. 解：（1） {}{}{}{}1,2,212,13,13;4,3,437,21,15=---=-=----=()()41434;6142324222=+-+==⋅+⋅-+⋅=⋅CD AB3122222=++=；由于AB CD AB =⋅，故()623CD AB CD AB AB CD CD⋅===表示向量在向量上的投影()4123416,cos =⋅==CD AB . 26. 解：位移向量{}{}6,3,282,14,3121--=---=M M ；重力{}100,0,0-=；故重力所做的功为()()()m kg M M G W ⋅=--=⋅=600100621=5880（J ）27. 证：()0619243=⋅+⋅-+⋅=⋅b a，所以它们相互垂直。
28. 解：设所求向量为{}0,,y x a = ，且22y x a += ；()50534222=+-+=b ，由已知200222=+⇒=y x b a ①；又由()005340=⋅+-+⇒=⋅⇒⊥y x b a b a ②由②43y x =代人①得20016252⋅=y ，得2628±=⇒±=x y ；故所求向量为： {}0,28,26±±=a。
高等数学8-4
上升的高度与转过的角度成正比．
z : b 0 b 0 b ,
2,
上升的高度 h 2b 螺距
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
3 x 2 cos t 3 cos t ,( 0 t 2 ) . 三、 y 2 z 3 sin t y x x2 y2 a2 z b arcsin z b arccos a , a. 四、 , z 0 x 0 y 0 2 2 2 2 x y ax ; z ax a , x 0, z 0 . 五、
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
解 （1）消去变量z后得
3 x y , 4
2 2
在 xoy面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
1 （2）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
1 3 z | x | ; 2, 2 y 0 （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 z 2, x 0 3 | y | . 2
微积分课件
03
导数与微分
导数的定义与计算
总结词
导数是函数值随自变量改变的速度，是函数变化的局部线 性近似。
详细描述
导数是微积分中的基本概念之一，它描述了函数值随自变 量改变的变化率。对于连续函数，求导数就是求函数值随 自变量改变的速度。导数的计算包括求导公式和求导法则 。
总结词
高阶导数是函数值随自变量多次改变的速度，是高阶线性 近似。
06
微分方程与差分方程
微分方程的基本概念
定义
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。它可以描述物 理、化学、生物等自然现象的变化规律，也可以描述工程 设计中的各种问题。
分类
根据未知函数导数的阶数，微分方程可以分为一阶、二阶 、高阶等。根据是否含有参数，微分方程可以分为常系数 和变系数。
解题思路
解决微分方程一般采用“降阶法”，即把高阶微分方程转 化为低阶微分方程，或者把变系数微分方程转化为常系数 微分方程，然后分别求解。
了微积分，并发展出了不同的方法。
微积分的发展
03
微积分在后来的发展中，经历了许多数学家的努力，
逐渐完善和扩展。
微积分的重要性
科学计算
微积分是科学计算的基础，对于物理、工程、生物等领域都有重 要的应用。
理论意义
微积分是数学的一个重要分支，对于数学理论的发展也有重要的 意义。
实际应用
微积分的应用广泛，如经济学、金融学、计算机科学等。
常见的一阶微分方程及其解法
定义
只含有一个未知函数及其导 数的一个等式称为一阶微分 方程。常见的形式有 dy/dx = f(x,y) 或 d²y/dx² = f(x,y)
。
解法
常见的一阶微分方程有指数 函数、三角函数、幂函数等 形式的解。通过代入法或变 量替换法，将原方程转化为
高中常用微积分公式表
高中常用微积分公式表微积分可以被认为是数学的核心部分，高中的学生在学习高数的过程中，微积分公式是学习的重要组成部分。
下面我们来了解一些常见的高中数学微积分公式。
首先，让我们来看看一些基础的微积分公式。
1、求导公式：$frac{d}{dx}(u(x)cdot v(x))=u(x)cdotv(x)+u(x)cdot v(x)$2、求积分公式：$int u(x)cdot v(x);dx=u(x)cdot v(x)-int u(x)cdot v(x);dx$3、泰勒公式：$f(x)=f(a)+frac{f(a)}{1!}(x-a)+frac{f(a)}{2!}(x-a)^2+frac{f ^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+cdots$4、微分中值定理：如果在$[a,b]$区间内，函数$f(x)$连续，则存在一个$cin[a,b]$使得$f(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
接下来，看看一些更复杂的微积分公式。
1、三角函数的偏导公式：$frac{partial}{partialx}Sin(x)=Cos(x)$、$frac{partial}{partial x}Cos(x)=-Sin(x)$2、极限公式：$lim_{xrightarrow a}f(x)=L$3、改变变量公式：$int f(x)dx=int f(x(t))x(t)dt$4、泰勒展开公式：$f(x)=f(a)+frac{1}{1!}f(a)(x-a)+frac{1}{2!}f(a)(x-a)^2+frac {1}{3!}f^{(3)}(a)(x-a)^3+cdots$最后，我们来看看一些极端的微积分公式。
1、极限的运算公式：$lim_{xrightarrow 0}frac{Sin(x)}{x}=1$2、Stoke公式：$int_{C}overrightarrow{F}cdot doverrightarrow{s}=iint_{S}(ablatimesoverrightarrow{F})cdot doverrightarrow{S}$3、有界分的定公式：$int_{a}^{b}f(x);dx=F(b)-F(a)$4、微分的运算公式：$frac{d^2y}{dx^2}=frac{d}{dx}frac{dy}{dx}$通过以上介绍，相信大家都能够更加熟悉高中常用的微积分公式了。
高等数学8-4
第四节
多元函数微分在几何上的应用
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
切点为 (1, 1,1)或( 1 3 , 1 9 , 1 27 ) 切向量为 {1, 2,3}或{1, 2 3 , 1 3 } 切线方程为
x 1 y +1 z 1 = = 1 2 3
或
1 x 1 y + 1 z 27 3 9 = = 1 2 1 3 3
π
M
r′(t0 ) = (′(t0 ),ψ ′ (t0 ), ω′ (t0 ))
就是该点的切向量. 就是该点的切向量
T Γ
r(t) o
-5-
例1. 求圆柱螺旋线
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
第四节
多元函数微分在几何上的应用
在
对应点处的切线方程和法平面方程. 对应点处的切线方程和法平面方程 解: 由于 对应的切向量为 T = (R, 0, k), 故
∴ F( (t ),ψ (t ), ω (t ) ) ≡ 0 , 两边在t = t0 处求导 M 注意t = t0 对应点 , 得 Fx ( x0 , y0 , z0 ) ′(t ) 0 + Fy ( x0 , y0 , z0 )ψ′(t0 )
r T Γ
M
Σ
+ Fz ( x0 , y0 , z0 ) ω′(t0 ) = 0
y R zπ k x 2 切线方程 = = 0 R k
即
M0 (0, R, π k) 2 z
k x + Rz π Rk = 0 2 y R=0
法平面方程 R x + k( z π k ) = 0 2 即
o
R x k z + π k 2= 0 2
8-4 微积分资料
1 x 1 y + ( xf 21 "− 2 f 22 " ) − 2 g'− 3 g" y y x x 1 x 1 y = f1 '− 2 f 2 '+ xyf11 "− 3 f 22 "− 2 g'− 3 g". y y x x
14
例7 设 z = f ( x , y ), u = x + ay, v = x − ay, 其其 a均为为
u u
= e ( y sin( x + y ) + cos( x + y )).
xy
∂z ∂z ∂ u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y = e sin v ⋅ x + e cos v ⋅ 1
u u
= e xy ( x sin( x + y ) + cos( x + y )).
解 因均 d ( e 所将 e
− xy
− 2 z + e ) = 0,
z z
− xy
d ( − xy ) − 2dz + e dz = 0.
− xy
(e − 2)dz = e
z
− xy
( xdy + ydx )
− xy
ye xe dz = z dx + z dy ( e − 2) ( e − 2)
∂z ye ∂z xe , . = z = z ∂x e − 2 ∂ y e − 2
22
− xy
− xy
练
习
由
1 . 设设具 f ( x , y ) = ∂ f 则 2 ∂x
2
微积分8-4
本节重点： • 会求幂级数的收敛半径和收敛域 • 会求幂级数的和函数
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
即 s( x )dx ( a n x n )dx
x x 0 0 n 0
n1 x . a n x dx n 0 n 1
n
注: ① 积分过程中,脚标不变 ② 收敛半径不变
3. 可微性:幂级数
a n x n 的和函数 s( x ) 在收敛
(2) 乘法
( an x n ) ( bn x n ) cn x n . x R, R
n 0 n 0
n 0
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
柯 西 乘 积
1 a0 b0
a1b0
a2 b0 a3 b0
x a0 b1
x ( 3) ; n 1 n!
n
例1
1 (4) (1) xn. 2n 1 n 1
n
n n
例2 若
a x -1
n0
在 x 3 发散,在 x -1 收敛,
求收敛半径
思考:在 x 2处的敛散性
x 2 n 1 例 3 求幂级数 n 的收敛区间. n 1 2
n n 0
两级数的收敛区间小得多)
四.幂级数和函数的性质(分析性质):
1 . 连续性:幂级数
an x n 0
高等数学下8_4课件.ppt
Iz ( x2 y2 )( x, y, z)dv.
8.4.2 重积分在力学中的应用
物体 对 xOy, yOz, zOx 坐标面的转动惯量为
Ixy z2( x, y, z)dv, I yz x2( x, y, z)dv, Izx y2( x, y, z)dv,
8.4 重积分的应用
8.4.1 利用二重分计算曲面面积 8.4.2 重积分在力学中的应用
8.4.1 利用二重分计算曲面面积
设曲面 S 的方程为：z f ( x, y) z
在 xoy 面上的投影区域为 D,
dA S
如图，设小区域 d D,
M dS
点 (x, y) d ,
为S上过 M( x, y, f ( x, y))
薄片对于 y 轴的转动惯量
I y x2( x, y)d . D
8.4.2 重积分在力学中的应用
类似地，占有空间有界闭区域 、在点 ( x, y, z)
处的密度为 ( x, y, z) （假设 ( x, y, z) 在 上连
续）的物体对于 x, y, z 轴的转动惯量为
Ix ( y2 z2 )( x, y, z)dv,
x D
,
( x, y)d
y D
.
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，此时质心称为平面图形的形心.
x
1 A
D
xd
,
y
1 A
D
yd .
其中 A d D
8.4.2 重积分在力学中的应用
例8.22 设平面薄板由
x y
a(t a(1
csions tt)) ,
微积分高数9-4-2(20113)
r
P(r , )
y
x
－理学院工科数学教学中心－
z
z
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分
M ( r , , z )
o
x
r
y
P
当M取遍空间一切点时
直角坐标与柱坐标的关 系
0 r
0 2
x r cos y r s i n z z
解 如图, 球面方程为 r 2a cos ,
锥面方程为
4
r 2a cos
4
z
2a
且V : 0 r 2a cos ,
0
4
M
, 0 2 .
x
r
y
P
从而有
－理学院工科数学教学中心－
M ( x , y , z )dv zdv
5 4
1 9 2 2 2 4 4
－理学院工科数学教学中心－
三重积分的物理应用:
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分
设空间立体V 的体密度为 ( x , y , z ) , 则有 (1) V 的质量 M dv .
V
(2) V 的重心坐标( x , y, z )为 1 1 1 x xdv , y ydv , z zdv . M V M V M V
－理学院工科数学教学中心－
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分
若的表达式中含x2+y2,可考虑用柱面坐标积分. 比如,球面与圆柱面,球面与旋转抛物面,但不绝对. 若的表达式中含x2+y2+z2,可考虑用球面坐标. 比如,球面与圆锥面,但不绝对.
高等数学微积分教材第四章
高等数学微积分教材第四章第一节：导数的定义与基本性质微积分是现代数学中一门重要的学科，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在高等数学中，微积分是一个不可或缺的章节。
本文将重点讨论高等数学微积分教材第四章的内容，即导数的定义与基本性质。
导数是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在第四章中，我们将学习如何准确定义导数，并探索导数的基本性质。
首先，我们来回顾导数的定义。
对于函数f(x)，在某一点x=a处的导数表示为f'(a)，可以用以下极限的形式来定义：\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]导数的几何意义是函数在该点处切线的斜率。
通过导数的定义，我们可以求解函数在某一点处的切线斜率，进而研究函数的变化情况。
接下来，我们将介绍导数的基本性质。
这些性质对于我们研究函数的变化趋势和性质非常重要。
1. 导数的线性性质：设有函数f(x)和g(x)，以及常数k，那么有以下性质成立：\[k \cdot f'(x) = (k \cdot f(x))'\]\[f(x) \pm g(x) = f'(x) \pm g'(x)\]2. 导数的乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积使用以下公式计算导数：\[(f \cdot g)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\]3. 导数的链式法则：考虑复合函数h(x) = f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是可导函数。
那么复合函数h(x)的导数计算如下：\[h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]这些是导数的一些基本性质，掌握了这些性质，我们就能更好地理解和分析函数的变化规律。
第二节：高阶导数与隐函数求导除了导数的定义与基本性质，高等数学微积分教材第四章还涉及高阶导数以及隐函数求导的内容。
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由于所设函数 z = f (x , y ) 可微，故有
哈 z x y , x y 尔 滨 其中 是当 ( x ) 2 ( y ) 2 0 时的无穷小. 工 程 大 上式两边同除以 t 0, 得到 学 z f x f y
f
z f ( ( x , y ), ( x , y ), w ( x , y )) 在对应点( x , y ) 的两个偏导
数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z w , x u x v x w x
z z u z v z w . y u y v y w y
t
工 程 大 学 高 等 数 学
ve u sin t cos t
t
e cos t e sin t cos t
t t
e (cos t sin t ) cos t .
t
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元 函数的情况： 哈 尔 z f ( ( x , y ), ( x , y )).
f uu ( u, v ) xy f uv ( u, v )
( 合并成一个 )
y f v ( u, v ) yz [ f vu ( u, v ) xy f vv ( u, v )]
f uu ( u, v ) y( x z ) f uv ( u, v ) xy 2 z f vv ( u, v ) y f v ( u, v ).
滨 工 程 大 学 高 等 数 学
如 果 u ( x , y ) 及 v ( x , y ) 都 在 点( x , y ) 具 有对 x 和 y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏 导数，则复合函数 z f ( ( x , y ), ( x , y )) 在对应点
例3
哈 尔 滨 工 程 大 学 高 等 数 学
设 w f ( x y z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数,
2 w w 求 和 . x xz
w 解 ( 标准约定的写法 ) f 1 yz f 2 ; x 2 w w ( ) ( f 1 yz f 2 ) z xz z x
ye xe dz z dx z dy (e 2 ) (e 2 ) xy z ye z xe xy z , z . x e 2 y e 2
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y z z 例5 设 z arctan , 求 dz , , . x x y 1 y 解 dz d( ) y 2 x 1 ( ) x
e xy ( x sin( x y ) cos( x y )).
类似地再推广，设u ( x , y ) 、 v ( x , y ) 、 w w ( x , y )
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都在点( x , y ) 处具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
解
z z u z v x u x v x
e u sin v y e u cos v 1
e xy ( y sin( x y ) cos( x y ));
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1
例3
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设 w f ( x y z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数,
2 w w 求 和 . x xz
解
令 u x y z,
v xyz ;
w f u f v f u ( u, v ) yz f v ( u, v ) x u x v x
证
固定 t , 再给定 t ;
x ( t t ) ( t ), y ( t t ) ( t ) ;
z f ( ( t t ), ( t t )) f ( ( t ), ( t ))
f ( x x , y y ) f ( x , y ) .
f
t
x
t
y
t
t
.
高 等 根据所设x , y 对 t 可导性知当 t 0时 x 0 , y 0 数 从而 lim lim ( x ) 2 ( y ) 2 t 0 t t 0 t 学 t x 2 y 2 lim ( ) ( ) 0 t 0 t t t
例 4 已知 e
xy
z z 2 z e 0 ，求 和 . y x
z
解
d (e
xy
2 z e ) 0,
z
e xy d ( xy ) 2dz e z dz 0,
(e z 2)dz e xy ( xdy ydx )
xy xy
u v w
t
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt 常称此公式为链式(导)法则.
dz 例 1 设 z uv sin t , u e , v cos t , 求全导数 . dt 哈 dz z du z dv z 尔 解 滨 dt u dt v dt t
二、复合函数的全微分
则即使 u, v 是中间量, 哈 设函数 z f ( X , Y ) 具有连续偏导数， 尔 我仍然有全微分 滨 df ( u, v ) f u ( u, v )du f v ( u, v )dv 工 程 大 若 u, v 不是自变量, 而u u( x , y ), v v ( x , y ) , 则 学 z z
w f ( x y z , yz ), u x y z ,
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v xyz
[ f u ( u, v )] [ yz f v ( u, v )] z z u v [ f u ( u, v )] [ f u ( u, v )] u z v z u v y f v ( u, v ) yz [ f v ( u, v )] [ f v ( u, v )] z v z u
第四节
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复合函数的微分法
一、复合函数的求导法则 定理1 设 z = f (x , y) 可微, 且 x ( t ), y ( t ) 对 t 可导, 则复合函数 z f ( ( t ), ( t )) 对 t 可导, 且
dz f dx f dy . dt x dt y dt
( f 1 ) ( yz f 2 ) z z
f 11 xy f 12 y f 2 yz f 21 xyf 22
y( x z ) f 12 xy 2 z f 22 y f 2 . f 11
区 别 z f u f . 类 y u y y 似
把 z f ( u, x , y ) 中的 u 及 y 看作不 变而对 x 的偏导数
v 0, y
w 1. y
两者的区别
把 复 合 函 数 z f ( ( x , y ), x , y ) 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
哈 dz du dv 尔 fu fv . 滨 dx dx dx 工 程 这说明, 新形式的全微分 df ( u, v ) f u du f v dv 与一元函 大 学 数的微分是相容的,即在
此式两边同除 dx 我们可得到 z 对 x 全导数公式
df ( u, v ) f udu f v dv
y(视为常数)
y
z v v x
u
z
v
z z u y u y
x (视为常数)
z v . v y
z z 例 2 设 z e sin v , u xy , v x y , 求 和 . x y
u
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( x , y ) 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
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u
x
z
v
z z u x u x
x2 xdy ydx 2 x y2 x2
xdy ydx 2 2 x y z x z y 2 . 2 , 2 2 y x y x x y
哈 尔 解 滨 工 程 大 学 高 等 数 学
u u u , , . 例6 设 u ln x y z ，求du, x y z
高 之下并没有一元函数微分和多元函数全微分之分. 等 当函数 f ( u, v ) 在区域 D 上有连续的偏导数时, 可将微 数 学 分视为一个形式算符命令 d, 其法则是
df ( X , Y ) f 1 ( X , Y )d ( X ) f 2 ( X , Y )d (Y ) .
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u z v w
x
y
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特殊地 z f ( u, x , y ), 其中 u ( x , y ), 即
z f ( ( x , y ), x , y ). 令 v x , w y,
v 1, x
w 0, x
z f u f , x u x x
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dz z z dx z dy lim . dt t 0 t x dt y dt