四川省宜宾市宜宾县高考数学适应性试卷(文科)(二)

2015年四川省宜宾市宜宾县高考数学适应性试卷（文科）（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队，则高三学生队中5班和16班的人数分别为（）A．3，5 B．4，5 C．3，4 D．4，32．已知集合A={（x，y）|y2=4x}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B=（）A．{（1，﹣2）} B．{（1，2）} C．（1，2） D．（1，﹣2）3．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．4．若a＜b＜0，则下列选项正确的是（）A．B．C．a n＜b n（n∈N，n≥2）D．∀c≠0，都有ac＜bc5．下列说法正确的是（）A．已知p：∃x0∈R，x02+x0﹣1=0，q：∀x∈R，x2+x+1＞0，则p∧q是真命题B．命题p：若，则的否命题是：若，则C．∀x∈R，x2+x﹣1＜0的否定是∃x0∈R，x02+x0﹣1＞0D ．x=是取最大值的充要条件6．如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ． +π7．已知f （x ）=x 3，若x ∈[1，2]时，f （x 2﹣ax ）+f （1﹣x ）≤0，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≥D ．a ≤8．数列{a n }满足a n +a n+1=（n ∈N ，n ≥1），若a 2=1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为（ ）A ．﹣B ．1C ．D ．﹣9．设椭圆C 的两个焦点为F 1、F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于点M ，N ，若|MF 2|=|F 1F 2|，且|MF 1|=4，|NF 1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知y=f （x ）为R 上的可导函数，当x ≠0时，，则关于x 的函数的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．0D ．0或2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知复数z 满足zi=1﹣i ，则|z|= ．12．已知A ，B 是y=sin （ωx+φ）的图象与x 轴的两个相邻交点，A ，B 之间的最值点为C ．若△ABC 为等腰直角三角形，则ω的值为 ．13．已知（x ，y ）满足，若z=2x ﹣y 的最小值为 ．14．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4．过点的直线与圆C交于A，B两点，若，则当劣弧AB所对的圆心角最小时，=．15．已知命题：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＜sinB；③在正三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P＜的概率是；﹣ABC④若对于任意的n∈N*，n2+（a﹣4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是．以上命题中正确的是（填写所有正确命题的序号）．三.解答题16．在△ABC中，角A为锐角，且+cos2A．（1）求f（A）的最大值；（2）若，求△ABC的三个内角和AC边的长．17．教育部规定中学生每天体育锻炼不少于一个小时，各个学校认真执行，阳光体育正如火如荼．为了检查学校阳光体育开展情况，从学校随机抽取了20个人，由于项目较多和学生爱好原因，本次检查计算了每人篮球和羽毛球活动时间之和，以这个时间作为该同学的阳光体育活动时间．已知这20个人的阳光体育活动时间都在3小时到8小时之间，并绘制出如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求x的值，并求一周内阳光体育活动时间在[6，8]小时的人数；（Ⅱ）从阳光体育时间在[6，8]小时的同学中抽取2人，求恰有1人的阳光体育活动时间在[6，7）小时的概率．18．数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n=0，已知a1=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，S n为数列的前n项的和，求证：S n＜．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．20．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；②求证：|MN|为定值．21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3，a∈R，（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m取值范围．2015年四川省宜宾市宜宾县高考数学适应性试卷（文科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队，则高三学生队中5班和16班的人数分别为（）A．3，5 B．4，5 C．3，4 D．4，3【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】求出抽样比，利用分层抽样求解即可．【解答】解：由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队，可得抽样比为，高三学生队中5班和16班的人数分别为：6×=3；=4；故选：C．【点评】本题考查分层抽样，求解抽样比是解题的关键．2．已知集合A={（x，y）|y2=4x}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B=（）A．{（1，﹣2）} B．{（1，2）} C．（1，2） D．（1，﹣2）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】联立方程组，求得方程组的解集得答案．【解答】解：由A={（x，y）|y2=4x}，B={（x，y）|y=x+1}，得A∩B={（x，y）|}={（1，2）}．故选：B．【点评】本题考查交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．3．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．【解答】解：执行程序框图，可得x=6y=2不满足条件|y﹣x|＜1，x=2，y=0不满足条件|y﹣x|＜1，x=0，y=﹣1不满足条件|y﹣x|＜1，x=﹣1，y=﹣满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．故选：D．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，根据赋值语句正确得到每次循环x，y的值是解题的关键，属于基础题．4．若a＜b＜0，则下列选项正确的是（）A．B．C．a n＜b n（n∈N，n≥2）D．∀c≠0，都有ac＜bc【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．由a＜b＜0，可得a2＞b2，ab＞0，利用不等式的基本性质，即可判断出正误；B．由a＜b＜0，可得ab＞0，利用不等式的基本性质，即可判断出正误；C．由a＜b＜0，可得a2＞b2，即可判断出正误；D．取c＜0时，可得ac＞bc，即可判断出正误．【解答】解：A．∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞0，∴，因此正确；B．∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴，因此不正确；C．∵a＜b＜0，∴a2＞b2，因此不正确；D．取c＜0时，可得ac＞bc，因此不正确．故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5．下列说法正确的是（）A．已知p：∃x0∈R，x02+x0﹣1=0，q：∀x∈R，x2+x+1＞0，则p∧q是真命题B．命题p：若，则的否命题是：若，则C．∀x∈R，x2+x﹣1＜0的否定是∃x0∈R，x02+x0﹣1＞0D．x=是取最大值的充要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A．p：由于△＞0，因此方程有实数根，p是真命题，q：由x2+x+1=＞0，是真命题，即可判断出p∧q的真假；B．利用否命题的定义即可判断出正误；C．利用命题的否定即可判断出正误；D．例如x=+π时函数也可以取得最大值，即可判断出正误．【解答】解：A．p：∃x0∈R，x02+x0﹣1=0，由于△＞0，因此方程有实数根，是真命题，q：∀x∈R，x2+x+1=＞0，是真命题，因此p∧q是真命题，正确；B．命题p：若，则的否命题是：若与不垂直，则，不正确；C．∀x∈R，x2+x﹣1＜0的否定是∃x0∈R，x02+x0﹣1≥0，因此不正确；D．x=是取最大值的充分不必要条件，例如x=+π时也可以取得最大值，因此不正确．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的性质、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B．C．D．+π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥体，根据图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥体，且半圆锥体的底面圆半径为1，母线长为2，高为；∴该半圆锥体的表面积为π•12+•22•sin60°+π•1•2=+．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．7．已知f（x）=x3，若x∈[1，2]时，f（x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≥D．a≤【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】首先看出f（﹣x）=﹣f（x），求f′（x），根据其符号即可判断f（x）为增函数，从而由原不等式可得到x2﹣（a+1）x+1≤0，设g（x）=x2﹣（a+1）x+1，从而必须满足，这样解不等式组即得a的取值范围．【解答】解：f（﹣x）=﹣f（x）；f′（x）=3x2＞0；∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；∴由f（x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0得：f（x2﹣ax）≤f（x﹣1）；∴x2﹣ax≤x﹣1，即：x2﹣（a+1）x+1≤0；设g（x）=x2﹣（a+1）x+1，则：；∴．故选C．【点评】考查奇函数的定义及判断方法，根据导数符号判断函数单调性，以及函数单调性定义的运用，要熟练二次函数的图象．8．数列{a n}满足a n+a n+1=（n∈N，n≥1），若a2=1，S n是{a n}的前n项和，则S21的值为（）A．﹣B．1 C．D．﹣【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】通过a n+a n+1=及a n+1+a n+2=可得a n+2=a n，利用a2=1可得首项，进而可得结论．【解答】解：∵a n+a n+1=，∴a n+1+a n+2=，∴a n+1+a n+2=a n+a n+1，即a n+2=a n，又∵a2=1，∴a21=a1==﹣，∴S21=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）+a21=10×=，故选：C．【点评】本题考查求数列的和，利用已知条件找出规律是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．9．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭（a＞b＞0），运用椭圆的定义，可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．【解答】解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．10．已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．【解答】解：由于函数，可得x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函在R上的零点个数为0，故选C．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数z满足zi=1﹣i，则|z|=．【考点】复数求模．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用复数的求模的法则求解即可．【解答】解：复数z满足zi=1﹣i，|zi|=|1﹣i|，则|z|=．故答案为：；【点评】本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．12．已知A，B是y=sin（ωx+φ）的图象与x轴的两个相邻交点，A，B之间的最值点为C．若△ABC为等腰直角三角形，则ω的值为．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由图象得到等腰直角三角形斜边AB上的高，则斜边AB可求，即函数y=sin（ωx+φ）的周期可求，由周期公式求得ω的值．【解答】解：由题意可知，点C到边AB的距离为2，即△ABC的AB边上的高为4，∵△ABC是以∠C为直角的等腰三角形，∴AB=2×2=4．即函数y=sin（ωx+φ）的周期T=4．∴ω==．故答案为：．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，解答的关键是明确等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，是基础题．13．已知（x，y）满足，若z=2x﹣y的最小值为．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点C（）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4．过点的直线与圆C交于A，B两点，若，则当劣弧AB所对的圆心角最小时，=3．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意，N为AB的中点，当劣弧AB所对的圆心角最小时，M，N重合，并且CM⊥AB，由此得到所求为CM2．【解答】解：由可知N为AB的中点，当劣弧AB所对的圆心角最小时，AB⊥CM，即M，N重合，所以==（1﹣2）2+（）2=3；故答案为：3．【点评】本题考查了直线与圆；解答本题的关键是：由题意明确M，N的位置关系，确定所求的实质．15．已知命题：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＜sinB；③在正三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P＜的概率是；﹣ABC④若对于任意的n∈N*，n2+（a﹣4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是．以上命题中正确的是③④（填写所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用方差的性质可得：方差变为原来的4倍，即可判断出正误；②在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理可得sinA ＞sinB ，即可判断出正误；③如图所示，O 是正△ABC 的中心，分别取棱SA ，SB ，SC 的中点D ，E ，F ，则在△DEF 及其内部任取一点P ，则V P ﹣ABC =，因此使得V P ﹣ABC ＜的概率P=，即可判断出正误；④若对于任意的n ∈N *，n 2+（a ﹣4）n+3+a ≥0恒成立，则=﹣，令f （x ）=（x ≥2），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差变为原来的4倍，因此①不正确；②在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理可得：，∴sinA ＞sinB ，因此②不正确；③如图所示，O 是正△ABC 的中心，分别取棱SA ，SB ，SC 的中点D ，E ，F ，则在△DEF 及其内部任取一点P ，则V P ﹣ABC =×=，因此使得V P ﹣ABC ＜的概率P==，即③正确；④若对于任意的n ∈N *，n 2+（a ﹣4）n+3+a ≥0恒成立，则=﹣，令f （x ）=（x ≥2），f ′（x ）=1﹣=，当x ≥3时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，∴f （x ）≥f （3）==，f （4）=6，当x=2时，f （2）=6，∴a ≥﹣（﹣6）=，∴实数a 的取值范围是，因此④正确．以上命题中正确的是 ③④． 故答案为：③④．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方差的性质、正弦定理、三棱锥的体积、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三.解答题16．在△ABC中，角A为锐角，且+cos2A．（1）求f（A）的最大值；（2）若，求△ABC的三个内角和AC边的长．【考点】运用诱导公式化简求值；二倍角的余弦．【分析】（1）先利用诱导公式化简f（A），根据A为锐角，确定f（A）的最大值．（2）利用f（A）=1求出A、B、C三个角，再用正弦定理求出AC边的长．【解答】解：（I）由已知得f（A）=∴取值最大值，其最大值为（II）由f（A）=1得sin（2A+）=在△ABC中，由正弦定理得：【点评】本题考查诱导公式的化简求值，二倍角的余弦公式等知识，是中档题．17．教育部规定中学生每天体育锻炼不少于一个小时，各个学校认真执行，阳光体育正如火如荼．为了检查学校阳光体育开展情况，从学校随机抽取了20个人，由于项目较多和学生爱好原因，本次检查计算了每人篮球和羽毛球活动时间之和，以这个时间作为该同学的阳光体育活动时间．已知这20个人的阳光体育活动时间都在3小时到8小时之间，并绘制出如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求x的值，并求一周内阳光体育活动时间在[6，8]小时的人数；（Ⅱ）从阳光体育时间在[6，8]小时的同学中抽取2人，求恰有1人的阳光体育活动时间在[6，7）小时的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由直方图的性质可得x的方程，解方程可得x值，进而可得在[6，8]小时的人数为；（II）由（I）可得活动时间在[6，7）小时的人数为3，在[7，8]小时的人数为2，分别表示为A1，A2，A3，B1，B2，列举可得总的基本事件共10个，符合题意的有6个，由概率公式可得．【解答】解：（I）∵组距为1，∴由直方图可得[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]的频率分别为0.1，0.25，0.4，x，0.1，∴0.1+0.25+0.4+x+0.1=1，解方程可得x=0.15∵抽取20个人，∴一周内阳光体育活动时间在[6，8]小时的人数为20×（0.15+0.1）=5，即一周内阳光体育活动时间在[6，8]小时的人数为5；（II）由（I），一周内阳光体育活动时间在[6，7）小时的人数为3，在[7，8]小时的人数为2，分别表示为A1，A2，A3，B1，B2，从这5个人中抽取2个人，有以下基本事件：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个，其中恰有一个人的阳光体育活动时间在[6，7）小时的基本事件有6个基本事件．设“恰有1个人的阳光体育活动时间在[6，7）小时”事件M，则【点评】本题考查列举法计算基本事件数以及事件发生的概率，涉及直方图的性质，属基础题．18．数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n=0，已知a1=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，S n为数列的前n项的和，求证：S n＜．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）通过na n+1=（n+1）a n可得，进而可得结论；（II）通过b n=n、b n+1=n+1分离分母，累加即得结论．【解答】（I）解：∵na n+1=（n+1）a n，∴，∴a n+1=2（n+1），∴a n=2n；（II）证明：由（I）可知，b n=n，∴b n+1=n+1，∴，∴，即（n∈N*）；【点评】本题考查求数列的通项、判定数列和的大小范围，注意解题方法的积累，属于中档题．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．（2）由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．（3）利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A1DE的体积V=即可得出．【解答】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．【点评】本题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；②求证：|MN|为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（I）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II）（1）由准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k．从而得l1，l2方程（2）分两种情况①当l1，l2中有一条无斜率和②当l1，l2都有斜率处理．【解答】解：（I）因为，所以b=1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2=4．（II）（1）因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，所以，消去y，得到（1+3k2）x2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1．所以l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=﹣1），即l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3=0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0，△=[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]=0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，所以t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直，所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，所以|MN|=4．【点评】本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力．21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3，a∈R，（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用函数的单调性求解函数的极值即可．（II）利用函数的导数，当a＞0时，当a=0时，当a＜0时，求解函数得到单调区间．（III）利用已知条件化简函数g（x），求出函数的导数，通过g′（x）=0有一正一负的两个实数根．利用根的分别列出不等式组求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，∴f′（x）＜0⇒x＞1，f′（x）＞0⇒0＜x＜1所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f（x）有极大值，极大值为f（1）=﹣4，无极小值．（II）∵，∴当a＞0时，f（x）在（0，1）↑，在（1，+∞）↓当a=0时，f（x）=﹣3，无单调区间，当a＜0时，f（x）在（0，1）↓，在（1，+∞）↑（III）∵f′（2）═1，∴g（x）=x3+x2（﹣）=x3+（）x2﹣2x∴g′（x）=3x2+（m+4）x﹣2，令g′（x）=0，∴3x2+（m+2）x﹣2=0，△=（m+2）2+24＞0，∴g′（x）=0有一正一负的两个实数根．又t∈[1，2]，x∈（t，3）∵g（x）在（t，3）不单调，∴g′（x）=0在（t，3）上只有一个正实根∴，因为t∈[1，2]恒成立，令，可证⇒．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，根的分别，考查分析问题解决问题的能力．。