差分定位模糊度计算公式推导

载波双差观测方程及模糊度计算公式推导（一）、载波双差方程推导载波观测量方程一般形式为：()s u N c t t φλϕλρδδε+=+-+式中：ϕ为载波相位观测值，ρ为测站到卫星的几何距离，u t δ、s t δ分别为接收机钟差和卫星钟差，φε为与大气有关的传播误差。

站间单差：设有测站12T T 、分别对j 号星进行了观测，则可得观测方程为：11111()j j j s j j u N c t t φλϕλρδδε+=+-+22222()j j j s j ju N c t t φλϕλρδδε+=+-+两式相减，得站间单差方程为：1212121212()()()()()jj j j j j j j u u N N c t t φφλϕϕλρρδδεε-+-=-+-+-站间单差观测方程消去了卫星钟差s jtδ。

星间双差：同理，两站对k 号星进行观测，可得单差方程为：1112121212()()()()()k k k k k k kku u N N c t t φφλϕϕλρρδδεε-+-=-+-+-两式相减，得到站间单差后的星间双差表达式为：1212121212121212[()()][()()]()()()()j j k k j j k kjj k k j jk kN N N N φφφφλϕϕϕϕλρρρρεεεε---+---=---+--- 星间双差消去了接收机钟差u t δ，故双差观测方程中不含卫星和接收机钟差影响。

式中：1212[()()]j j k k ϕϕϕϕ---为双差载波相位观测值，用j kϕ∆∇表示；1212()()j j k kρρρρ---为接收机到卫星几何距离的双差值，用jkρ∆∇表示；1212()()j j k k φφφφεεεε---为与大气有关延迟的双差观测值，短基线（<1km ）情况下，可以近似为0，长基线情况下，要考虑电离层延迟，用LC 组合观测消除，以下公式推导默认为短基线情况。

则双差观测方程式可以写为：j j k k N λϕλρ∙∆∇+=∆∇假定两站1T 为参考站，坐标为已知，2T 为移动站，坐标未知，仅通过单点定位得到概率坐标000[]X Y Z 。

对2j ρ，由于移动站坐标非精确已知，对其在测站2初始坐标000[]X Y Z 进行泰勒展开，得到线性化方程为：222022[]j j jjjx l mn y z δρρδδ⎡⎤⎢⎥=+∙⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中，20j ρ为用测站2初始坐标000[]X Y Z 计算得到的卫星到测站的近似几何距离，[]j j j l m n 为方向余弦，计算公式如下：020020020()/()/()/j j jj jj jjj l X X m Y Y n Z Z ρρρ=-=-=-2x δ、2y δ、2z δ为测站2坐标修正量。

则接收机到卫星几何距离双差值j kρ∆∇可表示为：1212102010201111011()()()()j j j k k j j k kk jk jkjk j jkjkjk k x lmn y z x l m n y z ρρρρρρρρρδδδδρδδ∆∇=---=---⎡⎤⎢⎥⎡⎤+∆∇∆∇∆∇∙⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤=∆∇+∆∇∆∇∆∇∙⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中，jk jk jkl m n ∆∇∆∇∆∇、、为方向余弦双差值，即两颗卫星相对于移动站的方向余弦的双差，实际计算中为其他星方向余弦减去基准星方向余弦。

则双差观测方程式可以线性化为：1012121211j j jkjkjk k k x N l m n y z δλϕλρδδ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∙∆∇+=∆∇+∆∇∆∇∆∇∙⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦合并未知数，变换为：1112121201jkjkjkj j k k x y l m n E z N δδρλϕδλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤∆∇∆∇∆∇∙=∆∇-∙∆∇⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦若两测站共视星为m 颗，k 号星为高度角最高卫星，设为基准星，即星间双差时所有卫星单差观测方程均减去k 号星单差观测方程，可得到m-1个方程。

供需计算m-1个模糊度未知数，基准星模糊度为0。

则可得到观测方程为：1111111012121212222201212121201212120000kkkk kk kkk k m m mk mkmkk k m x x l m n E x l m n E N N l m n E N δδρλϕδρλϕλλρλϕλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎡⎤∆∇-∙∆∇∆∇∆∇∆∇⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∆∇-∙∆∇∆∇∆∇∆∇⎢⎥⎢⎥⎢⎥∙=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∇-∙∆∇∆∇∆∇∆∇⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦111121212222121212121212:kkk k k k mk mkmk l m n l mn A l m n ⎡⎤∆∇∆∇∆∇⎢⎥∆∇∆∇∆∇⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∆∇∆∇∆∇⎢⎥⎣⎦令，111x X y z δδδ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，1102200k k k k m m k k L ρλϕρλϕρλϕ⎡⎤∆∇-∙∆∇⎢⎥∆∇-∙∆∇⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∆∇-∙∆∇⎢⎥⎣⎦，则某一历元观测m 颗卫星的双差观测方程为：[]X A X N A E L N λλ⎡⎤∙+=∙=⎢⎥⎣⎦上式中，A 为方向余弦双差值；X 为三维坐标修正值向量；N 为模糊度未知数，与历元变化无关；L 为接收机到卫星的距离的双差值减去载波相位观测量双差值，为已知常数量。

设有n 个历元,每一历元跟踪m 颗卫星，可列出其双差方程组:111A X N L ∙+=222A X N L ∙+=〃〃n n n A X N L ∙+=对双频观测值，初始计算模糊度时，一般先计算宽巷模糊度Nw ，使用的载波相位观测值为L1、L2观测值之差。

（二）、静态观测各历元坐标改正量相等，12N X X X === 。

N 历元观测矩阵形式为：1122n n A E L A E L X N L A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中i A 为（m-1）×3矩阵，双差方向余弦阵。

E 为（m-1）×（m-1）矩阵，模糊度对应的系数阵。

X 为3×1矩阵，坐标改正量。

N 为（m-1）×1矩阵，模糊度。

i L 为（m-1）×1矩阵，常数阵，载波观测双差值。

其法方程形式为：T T B PB X B PL ∙=，即 1()T T X B PB B PL -=∙121211221212T T TT n n T T T T T T n nn n A E A E AA AB B EEE A E A A A A A A A A A A A A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪∙=∙= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫++++++⎪+++⎝⎭该阵可具体分解为333(1)(1)3(1)(1)m m m m ⨯⨯-⎛⎫ ⎪-⨯-⨯-⎝⎭，即为（m+2）×（m+2）矩阵。

111222121T T TT TT n nTn n i i n L A L A L L A L A A A B L L EEE L =⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪∙=∙=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 该阵为（m+2）×1矩阵。

可解得坐标改正量和模糊度浮点解对应量为：1()T TX B B B L N -⎛⎫=∙ ⎪⎝⎭其中1()T B B -即为协因数阵Q ，N 为模糊度浮点解（此处N 以实际距离量表示，计算模糊度浮点解时需要除以相应波长，或者在将前面公式改为n n n A X N L λ∙+=，后面公式相应进行推算）。

将Q 和N 代入Lmbda 算法中，即可求得模糊度整数解。

（三）、动态观测各历元坐标改正量不等，分别为12,,,N X X X 。

N 历元观测矩阵形式为：1112220000n nn X A E L X A E L X A E L N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∙=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭其法方程形式T T B PB X B PL ∙=为：1111112222221210000T T T T T T T T Tn n n n n n nni i A L X A A A A L X A A A A L X A A A N A A A nE L =⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪∙= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑将上式前n行分别左乘1()T i i i A A A -，得到如下矩阵：1111111111111112222222222211121()00()()00()()()T TT T T TT T T TT Tn n n n n n nn n n n nni i A A A A L X A A A A A A A A A L X A A A A A A A A A L X A A A A A N A A A nE L ------=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∙= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑将最后一行分别减去上面各行，得到：11111(())()n n nT T T T i i i i i i i i i ii i i nE A A A A N L A A A A L --===-∙=-∑∑∑即：111111(())(())(())nnT T T Ti i i i i i i i i i i i nTTi i i i ii E A A A A N L A A A A L E A A A A L --==-=-∙=-=-∙∑∑∑令：1()T Ti i i i i B E A A A A -=-，则上式可以简化为：11()n niiii i B N B L ==∙=∙∑∑得到整周模糊度向量：111()()n niiii i N B B L -===∙∙∑∑（四）计算L1载波模糊度N1由上面两种方法计算并通过Lambda 方法可固定宽巷模糊度。

在短基线（<1km ）不考虑双差电离层残余情况下，对宽巷模糊度和宽巷观测值：[]1102200w w w w k w k w k w k w w m m k w k w X A X N A E N L λλρλϕρλϕρλϕ⎡⎤∙+=∙=⎢⎥⎣⎦⎡⎤∆∇-∙∆∇⎢⎥∆∇-∙∆∇⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∆∇-∙∆∇⎢⎥⎣⎦对L1载波模糊度和观测值：[]111111011220111011k k k k m m k k X A X N A E N L λλρλϕρλϕρλϕ⎡⎤∙+=∙=⎢⎥⎣⎦⎡⎤∆∇-∙∆∇⎢⎥∆∇-∙∆∇⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∆∇-∙∆∇⎢⎥⎣⎦通过以上两式，可得如下方程：111w w w L N L N A X λλ-=-=∙推出：11111111()/()/()/w w w w w w w w w w N N L L N N λλλλϕλϕλλϕλϕ=+-=+∆∇-∆∇=+∆∇-∆∇通过该式可以根据宽巷模糊度计算出L1模糊度N1的浮点解，通过搜索算法固定N1模糊度。