第六章dsp iir滤波器

δ2
=
20 lg
| H (e j0 ) | | H (e jωst ) |
=
−20
|
H
(e
jω st
)
|=
−20 lgα2
– 其它数字滤波器（LF，HF，BF，BP，BS）
数字响应的周期性
数字频率ω=ΩT=Ω/fs ωs / 2 = π为折叠频率 按照奈圭斯特定理，频率响应只能限于|ω|<π
3、性能指标
第六章 IIR－DF设计
6.1 引言
1、设计原则
– 按照任务要求，确定DF性能要求 – 用因果稳定的离散系统函数逼近DF性能要求
• IIR系统函数 • FIR系统函数
– 有限精度算法实现系统函数 – 实际技术实现(软件或硬件)
2、滤波器的性能
– 频率响应的振幅特性的允许误差来表征 – 以LP为例
• 通带允许误差
TAk 1-eskT z
−1
H(e
jω
)
=
Ha
(
jω
T
)
(6)由于ha (t)为实数，则Ha (s)的极点共轭成对
sk → Ak , sk* → Ak*
Ak s − sk
→
1
−
Ak z −1eskT
Ak * s − sk*
→ 1−
Ak * z e −1 sk*T
例6-1：设AF系统函数为：
Ha (s)
• LPAF的设计有巴特沃斯、切比雪夫逼近 • HP、BP、BS可以通过变量变换方法由
LP变换得到
1、由幅度平方函数确定系统函数
|
H
a
(
jΩ)
|2
=
H
a
(
jΩ)H
* a
(
jΩ)
由于h(t
Ha (s)
=
s2
s +1 + 5s +
6
, 用双线性变换法设计IIRDF
H
(z)
=
H
a
(2 T
1 1
− +
z −1 z −1
)
=
H
a
(2
1− 1+
z −1 z −1
)
=
0.15
+ 0.1z−1 − 0.05z−2 1+ 0.2z−1
6.5 常用AF-LP特性
• 设计IIRDF时，先设计一个满足技术指标 的AF
1−α1 ≤| H (e jω ) |≤ 1,| ω |≤ ωc
• 阻带允许误差
| H (e jω ) |≤ α 2 ,ω st ≤| ω |≤ π
• 通带允许的最大衰减
δ1
=
20 lg | |
H (e H (e
j0 )
jωc
| |
=
−20
|
H (e
jωc
)
|=
−20 lg(1 − α1 )
• 阻带的最小衰减
如果要使ωc不变，T减小时，Ωc应增加
所以Ωc
>
π
T
，不能解决混叠
3、AF的数字化
– 冲激响应不变法：
Ha(s)->ha(t)->h(n)=ha(nT)->H(z) 这一过程对部分分式表达的AF方便
– Ha(s)只有单极点，且分母阶次高于分子阶次
∑ Ha (s)
=
N k =1
s
Ak − sk
N
∑ h(t) = L−1[Ha (s)] = Akesktu(t) k =1
(e (e
jω jω
)]} )]
H * (e jω ) =| H (e jω ) | e− jβ (e jω )
β (e jω
)
=
1 2j
ln[
H (e jω ) H (e− jω )
]
=
1 2j
H (z) ln[ H (z −1 ) ] |z=e jω
– 群延迟响应
• 滤波器平均延迟的一个度量
τ (e jω ) = − dβ (e jω )
– 幅度平方响应
• 只考虑幅度的逼近，而不考虑相位时，用幅度平 方响应设计更为方便
h(n)为实系数
|
H
(e
jω
)
|2
=
H
(e
jω
)H
*
(e
jω
)
=
H
(e
jω
)H
(e−
jω
)
=|
H
(z)H
( z −1 )
|
z=e
jω
设z=rejωi为H (z)的极点，则z = r-1e-jωi为H (z−1)的极点
H(z)实系数多项式－－零极点共轭对称
4、冲激响应不变法优缺点
– 优点
• 时域逼近好，Ω=ω/T成线性关系 • 线性相位的AFÆ线性相位的DF
– 缺点
• 存在混叠效应，高通、带通不宜
6.5 双线性变换法
1、变换原理
– 冲激响应不变法在时域上模仿AF，由于S平 面到Z平面是多值映射，易产生混叠失真
– 把整个S平面压缩到某一中介的S1平面的一
=
s2
+
2 4s
+
3
=
1− s +1
s
1 ,用冲激响应不变法设计IIRDF +3
H
(
z
)
=
1
−
T z e −1 −T
−
1
−
T z e −1 −3T
设T=1
H(z)=
0.318z-1 1-0.4177z-1 + 0.01831z
−2
频域上混叠
– MatLab实现
• Function [b,a]=imp_invr(c,d,T) b---z-1的分子多项式 a----z-1的分母多项式 c-----s的分子多项式 d-----s的分母多项式
– 冲激响应不变法将AF的S平面变换为DF的Z 平面，但不是简单的代数映射
2、混叠失真
– DF的频率响应与AF的频率响应关系
∑ H
(e
jω
)
=
1 T
∞ k=-∞
Ha
(
j
ω
− 2π
T
k
)
即DF的频响是AF频响的周期延拓
– 为防止混叠，AF的频响应该是限带的
ha
(
jΩ)
=
0,|
Ω
|≥
π
THale Waihona Puke Baidu
=
Ωs 2
H
(e
jω
)
=
1 T
Ha(
j
ω
T
),|
ω
|<
π
– 实际AF都不是严格限带的，变换后会产生周期延拓 分量的频谱交叠
对某一频率响应的ha (t)进行抽样，抽样率为fs fs ↑,T ↓,可减小频率响应的混叠效应
如果DF的截止频率给定ωc，则相应的AF的
Ωc
=
ωc
T
,
AF的带域为[− π , π ]
TT
如果T减小，AF带域增加。
则DF极点在单位圆内，|eRe[sk ]T < 1, DF也稳定
(4)冲激响应不变法保证S平面极点与Z平面极点对应
但不能保证整个S平面与整个Z平面对应，例如零点
(5)H(ejω
)
=
1 T
Ha
(
jω
T
)与T 成反比
如果抽样率过高，T很小，则DF增益过高
∑ h(n)=Tha(nT)→
H(z)=
N k =1
<0 >0
(c −σ )2 + Ω2 ⎩⎪= 1,σ = 0
4、优缺点
– 双线性变换避免了频率响应的混叠失真
Ω = c tan[ω ]
2
Ω ↔ ω单值对应，
S平面jΩ → Z平面单位圆一周 S平面的正负虚轴对应Z平面单位圆 上半部及下半部
Ω → ∞时ω=π为折叠频率，
不会有高于折叠频率的分 量，从而避免了频率响应的混叠失真
1+
d1 z −1
+
...
+
dN
z −( N −1)
−1
+
dN
z−N
D( z )为实系数多项式，其根均在单位圆内
z=ejω时，D(e jω ) = D*(e− jω ) →| H (e jω ) |= 1
6.3 从AF到DF
1、AF－＞DF
– S平面映射到Z平面，使得Ha(s)－＞H(z) – S平面－＞Z平面，满足
2
2
Ω
≈ Ω1
≈
c Ω1T 2
=> 取c
=
2 T
AF的低频特性近似等于DF的低频特性
– 采用DF的某一特定频率与AF的一个特定频率对应
Ωc
≈
c tan(Ω1cT 2
)
=
c
tan(ωc
2
)
=>
取c
=
Ωc
cot
ωc
2
特点的AF频率和特定的DF频率处，频率响应
是严格相等的
3、逼近的情况
– 双线性变换
s
=
dω
τ
(e
jω
)
=
−
dβ (z)
dz
dz
dω
|z=e jω
=
−
jz
dβ (z)
dz
|z=e jω
4、设计IIRDF的一般方法
– 用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数
去逼近设计的性能要求
M
∑ bk z−k
H(z) =
k =0 N
• 先设计AF，然后变换为DF
∑ 1− ak z−k
k =1
• 计算机辅助方法（优化）
– 零频率附近，Ω-ω近似线性， Ω增加时，非 线性关系
• 线性相位的AFÆ非线性相位的DF
• AF的幅频特性是分段常数型(LF、HF) AF的微分器ÆDF的微分器(产生失真)
5、AF数字化
H(z)=Ha (s)|s=11+-zz--11
=
1-z-1
H
a
( 1+z
-1
)
先将AF系统分解成并联或级联的低级系统
例6-2：设AF系统函数为：(T=0.1)
Ha (s)
=
s2
s +1 + 5s +
6
, 用冲激响应不变法设计IIRDF
Ha (s)
=
s2
s +1 + 5s +
6
=
s
2 +
3
−
s
1 +
2
H (z)
=
0.1* 2 1 − e−3T z−1
−
1
0.1*1 − e−2T z
−1
=
1− 0.8966z−1 1−1.5595z−1 + 0.6065z−2
则z=re－jωi及z = r-1ejωi也是零极点
所以H(z)H(z-1)的极点既共轭对称，也在单位圆上镜像对称
– 相位响应
H (e jω ) =| H (e jω ) | e jβ (e jω ) = Re[H (e jω )] + j Im[H (e jω )]
β
(e
jω
)
=
arctan{Im[H Re[H
– 为使AF的某一频率与DF的任一频率有对应 关系，引入待定常数C
Ω = Ctg Ω1T 2
s
=
Cth(
s1T 2
)
=
C
1− 1+
e − s1T e − s1T
s
=
c
1 1
− +
z z
−1 −1
z= c+s c−s
2、变换常数C的确定
– AF与DF的低频特性近似相等。Ω1较小时，
Ω = c ⋅tg(Ω1T ) ≈ c Ω1T
π
T
,
π
T
]
jΩ = s, jΩ1 = s1
s1T
− j s1T
s=
e 2 −e 2
j s1T
− j s1T
e 2 +e 2
=
th(
s1T 2
)
=
1− 1+
e − s1T e − s1T
(3)s1平面到Z平面z=es1T
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
s
=
1− 1+
z −1 z −1
z = 1+ s 1− s
Ha(s)=Ha1(s)Ha2(s) Ham(s)
⇓ 双线性变换
H (z) = H1(z)H2 (z) Hm (z)
其中Hi
(z)
=
H
ai
(s)
|
s
=
c
1 1
− +
z −1 z −1
– MatLab实现
• Function [b,a]=bilinear(c,d,Fs) 双线性变换
例6-3：设AF系统函数为：(T=1)
1、变换原理
– 使DF单位样值响应h(n)模仿AF的单位冲激响 应ha(t),将ha(t)以等间隔抽样，使h(n)=ha(nT)
ha (t) → Ha (s) h(n) → H (z)
利用抽样序列的ZT与模拟信号的LT变换的关系
∑ H
(
z
)
|
z
=esT
=
1 T
∞
Ha(s −
k =−∞
j
2π
T
k)
冲激响应不变法将AF的S平面->DF的Z平面
c
1− 1+
z −1 z −1
,
z
=
c c
+ −
s s
– Z平面单位圆ÆS平面虛轴
z
= e jω , s
=
c
1 1
− +
e e
jω jω
=
jc tan(ω ) =
2
jΩ
– 整个S平面
s
=
σ
+
jΩ,
z
=
(c (c
+σ −σ
) )
+ −
jΩ jΩ
| z |=
(c + σ )2 + Ω2
⎧< 1,σ = ⎪⎨> 1,σ
N
N
∑ ∑ h(n) = ha (nT ) = AkesknTu(n) = Ak (eskT )n u(n)
k =1
k =1
∑ ∑∑ ∑ H (z)
=
∞
h(n)z−n
n=−∞
=
∞ n=0
N k =1
Ak (eskT z−1)n
=
N
Ak
k =1 1 − eskT z−1
(1)S平面的单极点Sk → Z平面z = eskT处单极点 (2)Ha (s)与H (z)的部分分式的系数相同Ak (3) AF稳定，Sk在S平面左半平面，Re[Sk ] < 0
条横带，再通过变换至Z平面
z = e s1T
− π 到π TT
(1)将整个S平面的jΩ轴到S1平面的jΩ1[−
π
T
,π
T
]
Ω = tan(Ω1T ) 2
Ω
=
±∞
→
Ω1[−
π
T
,
π
T
]
j Ω1T
− j Ω1T
jΩ =
e2
j Ω1T
−e 2
− j Ω1T
e 2 +e 2
(2)S平面到S1平面的一条横带[-
• H(z)的频率响应能模仿Ha(s)的频率响应(虚轴到单位圆) • 因果稳定的Ha(s)－＞因果稳定的H(z)
S平面的左半平面－＞Z平面的单位圆内
2、两个问题
– AF设计（Butterworth逼近、Chebyshev逼近)
– AF->DF
• 冲激响应不变法 • 双线性变换法 • 阶跃响应不变法
6.4 冲激响应不变法
H ap
(
z)
=
z −1 1−
− a* az −1
,
a为复数,
0
<|
a
|<
1
• 二阶全通节
H ap
(z)
=
z−1 − a* 1− az−1
z−1 − a 1− a＊z−1
• N阶全通系统
∏ H (z)
=
±
N k =1
z−1 − ak* 1− ak z−1
=
±
z−N D(z−1) D(z)
D(z)
=
6.2 全通系统
1、全通系统
– 频率响应在所有频率下均为1戓为某一常数
Hap (e jω ) = Hap (z) |z=e jω = 1
– 一阶全通系统
H ap
(z)
=
z−1 − a 1− az−1
,
a为实数, 0 <| a |< 1
– 高阶有理全通系统由一串一阶系统构成 – N阶全通滤波器
• 一阶全通节