三垂线法求二面角PPT课件

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二面角相关问题的解法

言
二面角相关问题的解法
■安徽省安庆市第二中学高二（４）班
求解二面角是立体几何中最基本、最重
要的题型之一，也是高考中的 “ 热点 ”问题。
鲍蓉
二面角Ａ— ＰＢ — Ｃ的余弦值。
方法一三垂线法
此法是最典型也是最常用的方法，是基于
对二面角的平面角定义理解后的熟练运用。
ＣＤ，所以四边形ＡＢＣＤ为平行四边形。设
ＡＢ一２，则ＡＢ — ＤＣ — ＰＡ — ＰＤ一２。在
已知正
ｌ－／Ｉ
’ ＼
— 。
。
解析：过点Ａ作直线
方法＝，定义法
在二面角的两个面内分别作棱的垂线，
即面
ｚ／ｌＥＤ／／ｓｃ，即所找的棱。
由图形为正四棱锥，知ａ，｜９
图３
Ｐ
解析：如图１，过Ｅ作ＥＮ —
点Ｆ。因为 △ ＡＢＰ为等腰直角ｉ角形，
ＡＢＰＣ为等边角形，所以Ｅ为ＢＰ中点，

用三垂线法求二面角的方法

直线a 平面，直线a 垂直;射影AB.

••• BC CD • BD

.BC 2 CD 2

用三垂线法求二面角的方法

垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影

垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图,PB 是平面的斜线,PA 是平面的垂线, 求证：a PB

证明：••• PA 是平面的垂线,直线a 平面

•••直线 a PA 又•••直线 a AB AB PA A •••直线 a 平面PAB 而PB 平面PAB • a PB

总结：定理论述了三个垂直关系， ①垂线PA 和平面

a 垂直.

三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法

，应用好定理的关键是

实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其

射影至关重要。

运用三垂线法求二面角的一般步骠： ① 作：过二面角的其中一个平面上一点作（找）另一个平面的垂

线，过垂足作二面角的棱的垂线。

② 证：证明由①所得的角是二面角的平面角

（符合二面角的定

义）。

③ 求：二面角的平面角的大小（常用面积相等关系求垂线段长度）。

ACB 为二面角B CD A 的平面角

1、如右图所示的四面体 ABCD 中，AB 平面BCD BC CD 且 BC

C AB

D 的大小；②求二面角 B CD A 的大小; 1 •解：①••• AB 面 BCD BC AB BD AB CBD 为二面角C AB D 的平面角 ••• BC CD 且 BC CD 1 • CBD =— 4 •二面角C AB D 的大小为一 4 C

二面角的求法---三垂线法

三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平

面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理（或逆定理）作出二面角的平面角，使得解题受阻．

我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：

如图1，在二面角—l一中，过平面内一点A作AO⊥平面，垂足为O，过点O作OB⊥l于B（过A点作AB⊥于B），连结AB（或OB），由三垂线定理（或逆定理）知AB⊥l（或OB⊥l），则∠ABO为二面角。—l—的平面角．

作图过程中，作出了两条垂线AO与OB（或AB），后连结AB两点（或OB 两点），这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：

1．善于利用图中已有的“第一垂线”

例1 已知斜三棱柱ABC—A1 B1C1 中，∠BCA=90°，AC=BC，A1 在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．（1）求证：BC⊥平面AA1CC1；

（2）求二面角B一AA1—C的大小．

剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”．

略解2 A1A与底面AB成的角为60°，所以∠A1AC＝60°，又M是AC 中点，所以△AA1C是正三角形，作CN⊥AA1于N，点N为A1A的中点，连结BN，由BC⊥平面AA1CC1，BN⊥AA1，则∠BNC为二面角B一AA1一C 的平面角．设AC＝BC＝a，正△AA1C的边长为a，所以CN = 3a，在Rt△

二面角的几种求法(很好)

二面角大小的求法

二面角的类型和求法可用框图展现如下：

一、定义法：

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.

PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

二、三垂线定理法：

已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.

A 1

B 1

C 1

D 1

例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小

例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.

图4 B1

B L

E F

三、垂面法：

已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；

三垂线定理 PPT课件 1 人教课标版

' ' 则AG BC，连结AG 则AG BC
AG
3 a， 2
A F D
C E G
3 6 ' a AG a 4 4 6 即A'点到BC的距离是 a 4 A' F FG
B
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 • 说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练习，同学们可以自己尝试一下。
D A1 B1
1
C1
D C A B
三垂线定理说明（8）
• 应用这两个定理时，首先要明确是针对哪个平面应用定理，尤其是应注意此平面非水平面放置的情况，然后再明确斜线、垂线、斜线的射影及面内直线的位置，有时需要添加其中某些线，这样可以确保正确应用定理
三垂线定理应用归类
• 判定空间中两条直线相互垂直 • 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 • 求二面角的平面角
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。

二面角的找法

定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线(如图(1))．

垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，

即为二面角的平面角(如图(2))．

三垂线法：在一个半平面内不同于棱上的点A 向另一个半平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的

棱作垂线，垂足为O ，连结AO ，则∠AOB 为二面角的平面角(如图（3）)．

面积射影法：根据三角形面积(S )与其射影面积(S ′)之间的关系cos θ＝S S '确定面ABC 与面A ′BC 所成的

角θ(如图(4))．

例题

1、已知二面角α-l -β，其大小为90°，A ∈α，B ∈β，线段AB ＝2a ，AB

与α成45°的角，与β成30°的角，过A 、B 作l 的垂线AC 、BD ，C 、D 分

别是垂足，求二面角C -AB -D 的余弦值．

解：定义法：在平面ABD 内，作DF ⊥AB 于F ，在平面ABC 内作

FH ⊥AB 于F ，交BC 于点H ，连结DH ．

则∠HFD 为二面角C -AB -D 的平面角．

∴ AB ⊥面HFD ，∴ AB ⊥HD ．

∵ α-l -β是直二面角，∴ AC ⊥l ．

∴ AC ⊥平面β．

又∵ DH ⊂β，∴ AC ⊥DH ，

又∵ AC ∩AB ＝A ，

∴ HD ⊥平面ABC ，

∵ HF ⊂平面ABC ，

∴ HD ⊥HF ，

∴ △DHF 为Rt △．

∵ AC ⊥β，

∴ ∠ABC 为AB 与β所成的角，

∴ ∠ABC ＝30°．

同理可得，∠BAD ＝45°．

二面角(三垂线法)

二面角（垂线法）

例 1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．

(1)求证：BC⊥平面AA1CC1；

(2)求二面角B一AA1—C的大小．

练习：如图，在四棱锥P--ABCD 中，地面ABCD 是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，060

PAB ∠=

(1)证明：AD PAB ⊥平面

(2)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小

（3）求二面角P BD C --

例2．点P 在平面ABC 外，ABC ∆是等腰直角三角形，90ABC ︒∠=，PAB ∆是正三角形，PA BC ⊥。

（1）求证：⊥平面PA B 平面A BC ；

P AC B --的大小。

B 练习．ABCD ABEF ABCD ⊥平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=12

AD=a ，G 是EF 的中点，（1）求证：AGC BGC ⊥平面平面；

（2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值；

（3）求二面角B AC G --的大小。

二面角典型例题分析ppt课件

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1
常见二面角的平面角的作法
1.利用定义. A 2.利用三垂线定理及其逆定理.
D
•
BO
AB=AD,BC=CD
A
•A
aO B
C
A, AB
3.作棱的垂面.
D
B
•O E
C
BP
a
• C
•
A
AB=AD,BDC=900 精选ppt课P件2
精选ppt课件
3
例.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）是 60，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是 30 ，沿这条山路上山，行走100米后升高多少米？
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它就是这个二面角的平面角
A
C
αD
D
β
30 60H
B
C A精选ppt课件
G
B
4
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
在平面ABH内，过点H作HG⊥BC，垂足是G，连接GD。由三垂线定理GD⊥BC.
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60
DH=DGsin600
=CDsin300sin600
D
=100sin300sin600
≈43.3(米)

二面角的三垂线法

三垂线法是求二面角的一种方法，其步骤如下：

在二面角的棱上选一点，向两个半面画垂直线。

作出过这个点和垂足的直线，这条直线称为三垂线。

根据三垂线的性质，如果一个平面内一点与另一个平面的一条直线分别构成一组垂线，则这两平面的交线与该直线垂直。

通过三垂线与两个半面的交点作垂直线，这两条垂直线的夹角即为二面角的角度。

需要注意的是，三垂线法需要满足一定的条件才能使用，并且求出的二面角可能存在多解的情况。因此，在具体应用时需要根据实际情况进行判断和选择。

求二面角方法——3垂面法

二面角——垂面法垂面法：

作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.

1.设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB ＝7，求这个二面角的大小。解：作AC ⊥l 于c ，连结BC

∵PA ⊥α，l α∴PA ⊥l

又AC ⊥l ，AC ∩PA ＝A

∴l ⊥平面PAC ∴l ⊥PC

∵PB ⊥β，l β∴PB ⊥l

又PB ∩PC ＝P ∴l ⊥平面PBC

∴平面PAC 与平面PBC 重合，且l ⊥BC

∴∠ACB 就是所求的二面角

△PAB 中，PA ＝8，PB ＝5，AB ＝7∴∠P ＝60

0 ∴∠ACB ＝1200

1.如图三棱锥P －ABC

中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝32

，

D 是BC 的中点，且△ADC 是 D

P C B

边长为2的正三角形，求二面角P －AB －C 的大小。解：由已知条件，D 是BC 的中点

∴CD ＝BD ＝2又△ADC 是正三角形

∴AD ＝CD ＝BD ＝2

∴D 是△ABC 之外心又在BC 上

∴△ABC 是以∠BAC 为直角的三角形，

∴AB ⊥AC ，又PC ⊥面ABC

∴PA ⊥AB(三垂线定理)

∴∠PAC 即为二面角P －AB －C 之平面角，易求∠PAC ＝30°

2．如图， PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10，

234PC ，F 是线段PB 上一点，

1734

15CF ，点E 在线段AB 上，且EF

⊥PB

（I ）求证：PB ⊥平面CEF

（II ）求二面角B —CE —F 的大小

用三垂线定理及逆定理求二面角

②找基面的垂线 AA1 ③作平面角作AH⊥CM交CM的延长线于H ④连结A1H
解：作AH⊥CM交CM的延长线于H，连结A1H．∵A1A⊥平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，∴A1H⊥CM，
A1
B1
D A M B
C
H
N
∴∠A1HA为二面角A1－CM－A的平面角．
设正方体的棱长为1．∵M是AB的中点，且AM∥CD，则在直角△AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = 5 ．
用三垂线定理及逆定理求二面角
桂梧高中刘瑞艳
一、复习导入
1．三垂线定理及逆定理 P 定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。逆定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。

O
a A b
6 4
(1).在线段DC上是否存在一点F，使得EF⊥平面DBC？若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由； (2).求二面角D－EC－B的平面角的余弦值.
D
E
A
D C
B
D
E
2
E
2
F
1
1
F
A
2
G
2
A B
2
B O
2
H

求二面角办法——3垂面法

二面角——垂面法

垂面法：

作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的

角为二面角的平面角.

1.设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB

＝7，求这个二面角的大小。，连结BC

α∴PA ⊥

l AC∩PA ＝A

1.ADC

解：由已知条件，D是BC的中点

∴CD＝BD＝2又△ADC是正三角形

∴AD＝CD＝BD＝2

∴D是△ABC之外心又在BC上

∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，

∴

2．

，点PC=

（II

（I）证明：∵2

2100

36PC

PA=

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形。

故PA ⊥平面ABC 又∵306102

1||||21=⨯⨯==∆BC AC S PBC 而PBC S CF PB ∆==⨯⨯=3017341534221||||21

故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB

高考试题中二面角的几种不同实用求法PPT课件

二面角的求法
.
1
• 二面角的大小，是高中数学的重点，同时也是高考的热点，常考常新，其求法各式各样，有时难度还是很大的，但通过现象看本质，我们也可以总结出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法、射影法等。
• 另外还有求二面角大小的通法——向量法
• 本节重点阐述二面角的作法
.
2
二面角的定义
10
∵AD⊥面 POB，∴AD⊥EF. ∴EF⊥PB(三垂线定理哦！)，且∠PEF=60°.
在 Rt△PEF 中，EF=PE·cos60°= 3 .
2
在 Rt△PEF 中，AE= 1 AD=1. P 2
2F G
EF 3 2
于是 tan∠FAE= AE = 2 , O E2 D
又∠AGF=π－∠FAE.
任意一点P做
β
PA ⊥ α做
A
.
AB⊥ι O 连接A,B ι
α
B
常见的图形
.
15
什么是三垂线定理呢？平面的一条直线垂直于斜线在平面内的射影，那么它垂直于这条斜线．
三垂线定理实质上是直线与平面垂直的判定定理与性质定理的浓缩版．
掉下来，踢一脚，连起来．
不过，要理解这三句话，先要接受这样一个事实．在三垂线定理中，必须涉及到一面和四线．一面是指依托平面，四线是指内线（平面内一条直线，以下同）、斜线，垂线和射影．四线都是针对一面（依托平面）而言的。可见，依托平面如此地重要．

二面角的求法(精华版)PPT课件

AD=
1 2
SA=AB=BC=1，
求面SCD与面SBA所成的二面角的大小.
z
解：以A为原点，如图建立空间直角坐标系。
则：S0,0,1,C1,1,0,
D0, 12,0, B1,0,0
.x
y 15
设平面 S C D 的法向量为 n x ,y ,z
nSC,nSDn•SC0,n•SD0
S C x 2y y1 z,1 z, 010, SD y x02z,z1 2 ,n1 1,2,1
2、三垂线法:在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面
ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
a
A
A
O B
A
B
a O
C
O a
B
例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且 PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。
m
n
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
.
13
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。
αm

求二面角的常用方法(课堂PPT)

l
◆∠ABO即为所求。
13
例3.如图，二面角l的平面角小于90, 点P
在二面角内，PA⊥于A点，PB⊥于B点，
PA= 2 2,PB= 4, P到棱 l的距离为 4 2，求二面
角的大小.
14
例3.如图，二面角l的平面角小于 90,
点P在二面角内，PA⊥于A点，PB⊥于B
点，PA= 2 2 ,PB= 4, P到棱 l的距离为 4 2 ，
O B
(5)面PAC与面ABCD所成的
二面角的平面角是_P__O_或 D_ _.POB 7
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
G O EE O ,求F 二F 面 O 角6E -O0 G G-F大小
8
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
G O EE O ,求F 二F 面 O 角6E -0 OG G-F大小
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角－ l－
的大小。
A
D
O
l
12
17
归纳
三垂线法：
利用三垂线定理及其逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角,关键在于找面的垂线。
步骤：
◆ 在平面内β找不同于棱上
A
β
的点A向平面α作垂线。
Oα
◆由点O向二面角的棱作垂
B
线，垂足为B,连接AB。

立体几何二面角5种常见解法

立体几何二面角大小的求法

二面角的类型和求法可用框图展现如下：

一、定义法：

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.

例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

A B

二、三垂线定理法：

已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.

A 1

B 1

C 1

D 1

例、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC

—B 的大小为45°。求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小

例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈

α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已

知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小.