北航概率统计2011-2012试卷

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2012年秋季学期概率论考题及答案

哈工大 2012年秋季学期概率论与数理统计试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件A 、B 相互独立，事件B 、C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，利用契比雪夫不等式估计概率≥<<)51(X P ______．4．已知铝的概率密度2~(,)X N μσ，测量了9次，得 2.705x =，0.029s =，在置信度0.95下，μ的置信区间为______ ____．5．设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令),min(Y X Z =，),max(Y X W =, 则)1(≥+W Z P = ．（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9) 1.8331,(9) 2.2622t t t t =⋅=⋅==()1.960.975Φ=，()1.6450.95Φ=)二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．设0()1, 0()1, ()()P A P B P B A P B <<<<=，则与上式不等价的是（A ）A 与B 不相容. （B ）()()P B A P B A =.（C ）)()(A P B A P =. （D ）)()(A P B A P =．【】2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，则（A ）1EX λ=，21DX n λ=．（B ）,λ=X E n X D λ=．（C ）,nX E λ=2n X D λ=．（D ）,λ=X E λn X D 1=．【】 3．设随机变量X 的概率密度为2, 01()0, x x f x <<⎧=⎨⎩其他，则)2(DX EX X P ≥-等于（A）99-. （B）69+. （C ）928-6. （D）69-．【】 4．如下四个函数，能作为随机变量X 概率密度函数的是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,11)(2x x x x f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩.（C ）1()e ,.2xf x x -=∈R . （D ）1e ,0()0,0x x f x x -⎧->=⎨≤⎩ . 【】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则【】（A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n - （D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求=A “该段时间内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。

北航概率统计期末试题和答案

3.设 F1 ( x) 与 F2 ( x) 分别为两个随机变量的分布函数，令 F ( x) aF1 ( x) bF2 ( x) ，则下列各组数中能使 F ( x) 为某随机变量的分布函数的有（ ( A)a (C ) a ）．
2 2 , b ； 3 3 3 1 , b ； 2 2
s 2 0.81 。给定检验水平 0.05 ，从该性能指标抽样结果检验这一天的生产是
否正常。（ z0.95 1.645 ， z0.975 1.960 ， t0.95 (8) 1.8595 ， t0.975 (8) 2.3060 ，
t0.95 (9) 1.8331 ， t0.975 (9) 2.2622 ）
4.设随机变量 X ~ B( n ， p ) ，则数学期望 E ( e 2 X ) 5．设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，由契比雪夫不等式得
P{ X 1 2 1}
E ( XY )
， D( XY )
。
6.设 X 和 Y 是相互独立的两个随机变量，且 X ~ (5) ， Y ~ N (1 , 4) ，则。
2
X 与 Y 是相互独立的随机变
（2） E[ Z (t )] ， E[ Z (t ) Z (t )] ， E[ Z 2 (t )] ；
（3）问 Z (t ) 是否为广义平稳过程？
[七]、（8 分）（此题讲 1 至 9 章学生做，讲 1 至 13 章学生不做）
某工厂有四种不同类型的机床，型号为 1，2，3，4，其台数之比为 9 : 3 : 2 : 1 ，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1 : 2 : 3 : 1 ，当有一台机床需要修理时，问这台机床恰是型号为 1 的机床的概率是多少。

北交大2011-2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北京交通大学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参考答案一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率．解：设=A “任取一个家庭拥有汽车”，=B “任取一个家庭拥有房产”．由题设得 ()6.0=A P ，()3.0=B P ，()2.0=AB P ．因此有 ()()()()4.02.06.0=-=-=-=AB P A P AB A P B A P ； ()()()()1.02.03.0=-=-=-=AB P B P AB B P B A P ．所求概率为()()()5.01.04.0=+=+=⋃B A P B A P B A B A P ．二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A，{}次感冒某人一年中患2=B ．由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----eeee ．三．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率．解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ．设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰edx eX P p x ．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---e e e ．四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤+=其它5.002x xcx x f ．⑴ 求常数c ；⑵ 求X 的分布函数()x F ．解：⑴ 由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dxx f ，得()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-++==5.05.0001dxx f dx x f dx x f dxx f ()81242135.00235.002+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰c x x c dx x cx ，解方程，得21=c ．⑵ 当0≤x 时，()()0==⎰∞-xdtt f x F ；当5.00<<x 时，()()()()()27212320xx dt t tdt t f dt t f dtt f x F xx x+=+=+==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；当5.0≥x 时，()()()()()15.05.00=++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-xxdtt f dt t f dt t f dtt f x F ．综上所述，随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤=5.015.0027023x x x x x x F ．五．（本题满分8分）设n 个随机变量n X X X ,,,21 相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X X Y ,,,max 21 =，⑴ 求随机变量Y 的密度函数()x p Y ；⑵ 求数学期望()Y E ．解：⑴ 随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它101x x p X ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x xx x F X ．随机变量Y 的密度函数为 ()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n X n X Y ．⑵ ()()111+=⋅==⎰⎰-+∞∞-n n dx nxx dx x xp Y E n Y ．六．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它10421,22y x y x y x p⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数；（5分）⑵ 求条件密度函数()y x p YX ．（3分）解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y p Y ；当10<<y 时，()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yyyyY dxx yydx x dx y x p y p 22421421,253022731221221y xy dx xyyy=⋅==⎰所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yy p Y ．当10<<y 时，()02725>=y y p Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y p y x p y x p Y Y X ,=2322522327421-==yx y yx即当10<<y 时，条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x p Y X ．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．再令bY aX U+=，bY aX V -=，其中a 与b 是不全为零的常数，求随机变量U 与V 的协方差()V U ,cov 与相关系数V U ,ρ．解：由于随机变量X 与Y 都服从正态分布()2,σμN ，所以()()μ==Y E X E ，()()2σ==Y D X D ．()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E U E +=⋅+⋅=+=+=； ()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E V E -=⋅-⋅=-=-=．再由于随机变量X 与Y 相互独立，故有()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D U D +=⋅+⋅=+=+=， ()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D V D +=⋅+⋅=+=-=， ()()bY aX bY aX V U -+=,cov ,cov ()()()()()2222222,c o v,c o v σb a Y D b X D a Y Y b X X a -=-=-=，所以，()()()2222,,cov ba b a VD UD VU V U +-==ρ．八．（本题满分8分）某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为8.0．医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为8.0，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为7.0，问接受这一断言的概率是多少？（附，标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值：解：设X ：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则()p B X ,100~．⑴ 当8.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤=2.08.01008.0100752.08.01008.010075X P XP P 拒绝断言()()1056.08944.0125.1125.125.12.08.01008.0100=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-≤⨯⨯⨯-=X P ． ⑵ 当7.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯--=>=3.07.01007.0100753.07.01007.0100175X P XP P 接受断言()1379.08621.0109.1109.13.07.01007.01001=-=Φ-≈⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯--=X P ．九．（本题满分8分）设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U．计算统计量()UY Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）．解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ，所以有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-．又由()∑=-=9722221i iY XU ，得()2~2222χσU．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ．十．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pqk X P () ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量．解：似然函数为 (){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,,()()()()nx nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=pnxpn p L dpd nk k，解方程，得xp 1=．因此p 的极大似然估计量为Xp 1ˆ=．十一．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3，，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的极大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的极大似然估计值．（3分）解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =．所以似然函数为 (){}nni i i Nx X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ．⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ．十二．（本题满分10分）三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止．求：⑴ 抛掷硬币次数X 的数学期望；（5分）⑵ 进行了3次还没确定付账人的概率．（5分）解：⑴ X 的取值为 ,3,2,1．并且()43411⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P ， () ,3,2,1=k ．即随机变量X 服从参数43=p 的几何分布，因此()341==pX E ．⑵ ()()015625.0641414313333==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>=X P P 次还未确定付账人进行了．。

北航考博2011概率论与数理统计真题(回忆版_准确率达90%)

概率部分一、填空题 36 分 1、设每次试验成功的概率是 p（0<p<1），则在 4 次试验中至少失败一次的概率是
2、
设随机变量
X
的概率密度为：
f
(x)

k
(1
1 x2 )(1
|
x
|a )
,
x (, ) ，其中
k
为常
数，a>0，问 k 的值为 3、一盒内有 3 个红球，12 个白球，从中不放回取 6 次，每次取一个球，则第 6 次取球时
取到红球的概率为
4、设二维随机变量 ( X ,Y ) ~ N (1, 22 ,1, 32; 1) ，则 D(X-2Y+5)= 3
5、三门大炮同时炮击一战舰（每炮发一弹），设击中敌舰一、二、三发的概率为 0.5,、0.3、0.2，而敌舰中弹一、二、三发的概率分别为 0.3、0.6、0.9，则敌舰被击沉的概率为
N (2,
2 ) 的简单样本，则
2 的无偏估计 S12

1 m 1
m i 1
(Xi

Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)2
,
S22

1 n 1
n i 1
(Yi
Y )2 ,
S32

(m
1)S12 mn
(n 1)S22 2
中较优的是
五、12 分
设 X1, X 2 ,L , X m 和Y1,Y2 ,L ,Yn 分别为来自 N (,1) 和 N (2,1) 的简单随机样本，且两样本独立，其中是未知参数，
其中k为常数一盒内有3个红球12个白球从中不放回取6次每次取一个球则第6次取球时取三门大炮同时炮击一战舰每炮发一弹设击中敌舰一二三发的概率为050302而敌舰中弹一二三发的概率分别为030609则敌舰被击沉的概率为已知t分布关于x的边沿概率密度关于y的边沿概率密度是否相互独立

北航《概率统计》在线作业

北航《概率统计》在线作业一试卷总分：100 测试时间：-- 试卷得分：100判断题单选题包括本科在内的各科复习资料及详细解析，可以联系屏幕右上的“文档贡献者”一、判断题（共5 道试题，共20 分。

）得分：20V 1.若两个随机变量的联合分布是二元正态分布，如果他们的相关系数为0则他们是相互独立的。

A. 错误B. 正确满分：4 分得分：42. 若随机变量X服从正态分布N(a,b)，则c*X+d也服从正态分布A. 错误B. 正确满分：4 分得分：43. 样本平均数是总体的期望的无偏估计。

A. 错误B. 正确满分：4 分得分：44. 样本均值是泊松分布参数的最大似然估计。

A. 错误B. 正确满分：4 分得分：45. 样本平均数是总体期望值的有效估计量。

A. 错误B. 正确满分：4 分得分：4二、单选题（共10 道试题，共80 分。

）得分：80V 1. 相继掷硬币两次，则事件A＝{两次出现同一面}应该是A.Ω＝{（正面,反面）,（正面,正面）}B. Ω＝{（正面,反面）,（反面,正面）}C. {（反面,反面）,（正面,正面）}D. {（反面,正面）,（正面,正面）}满分：8 分得分：82. 两个互不相容事件A与B之和的概率为A. P(A)+P(B)B. P(A)+P(B)-P(AB)C. P(A)-P(B)D. P(A)+P(B)+P(AB)满分：8 分得分：83. 事件A＝{a,b,c}，事件B={a,b}，则事件A+B为A. {a}B. {b}C. {a,b,c}D. {a,b}满分：8 分得分：84. 事件A与B互为对立事件，则P(A+B)＝A. 0B. 2C. 0.5D. 1满分：8 分得分：85. 设随机变量X与Y相互独立，D(X)=2,D(Y)=4,D(2X-Y)=A. 12B. 8C. 6D. 18满分：8 分得分：86. 设X,Y为两个随机变量，则下列等式中正确的是A. E(X+Y)=E(X)+E(Y)B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)C. E(XY)=E(X)E(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)满分：8 分得分：87. 对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=EX*EY,则（）。

北京航空航天大学概率统计各章试题概率统计与随机过程各章试题

第1章随机事件的概率一、事件关系：1、设B A ,为任意两事件,则下列关系成立的是( C ).(A) A B B A =-+)( ; (B) ()A B AB A +-= ;(C) ()()A B AB B A A B -++-=+ ; (D) A B B A =+-)(.1、设A 、B 为试验E 的两个事件,且1)(0<<B P ，则下列各式中成立的是( D )。

(A) )(1)|(A P B A P -=； (B) )|()|(B A P B A P =；(C) )()()(B P A P AB P =； (D) )|()()(B A P B P B A P = 。

二、古典概率：2、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（ B ）。

（A ）15；（B ）14；（C ）13 ；（D ）12。

三、（9分）从9~0这十个数码中任意取出4个排成一行数码,求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;(3)没排成四位数的概率.解(1) 设=A 排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0), 9041)(4101139142818=+=A C A C A C A P ; (2) 设=B 排成四位奇数, 9040)(410152818==A C A C B P ; (3)设=C 没排成四位数, 101909)(4103911===A A A C P 6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：(A)（A ）4190 ;（B ）12；（C ）4090；（D ）3290 。

1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为 !!()()!n n N N n n n C n A N P B N N N N n ===- 。

北京航空航天大学2008-2009年概率统计与随机过程历年试卷(第二学期)

记 X 为所需射击次数, 则 X 取奇数的概率为
。
5、设随机变量 X 在 (

, ) 上服从均匀分布,则 Y tan X 的概率密度为 2 2
。
fY ( y )
6、设总体 X ~ N ( , 2 ) , X1 , X 2 , , X n 是来自于 X 的一个样本，令 X
1 n 1 n 2 ˆ ， X ( X i X )2 。 i n i 1 n 1 i 1
1 n 1
，（B）
2
（A）
1 1 ，（ C）， n 1 n
（ D ）
）.
1 。 n
4、设随机变量 X ~ N ( , ) ,则 E | (A)

4
；
(B)
2
4
求 E X Y 及 E XY 。
六、（满分 12 分）
设总体 X ~ N (1 , 2 ) ， Y ~ N (2 , 2 ) ，且 X 与 Y 相互独立；
X1 , X 2 , , X n ; Y1 , Y2 , , Ym 别是来自 X 和 Y 的样本，
4、D；5、C；6、C；
1、D；2、B；3、A 。
二、填空题（每小题 3 分，满分 18 分
1 1 ；2、 2 2 p 1 (1 p)
1、 P{ X取奇数}
p
fY ( y )
1 1 y2
1
,
y
2 4 3、 DS ( n 1)
2
.
n n CN n! AN N! 5 1 4、 P ( B ) ； 5 、 Nn N n N n ( N n)! 5 15 4 22 11 P( A) 56 28

北航概率统计试卷及答案解析

Detailed : T
x ~ N(, 2 ) n
x
0
~
N (0,1)
n
(n
1)s2 2
~
2 (n
1)
T

x s
0
~t
n
1
n
x 0

n (n 1)s2
2

x 0
s

x 0 s
n
n
(n 1)
2、设 X 为随机变量,且 EX 1, DX 0.1 ,则一定成立的是 B 。
7、设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)

ex
a ex
,
x ,（常数 a 0 ），
A 卷 5 页-3
则 P{0 X ln 3}
。
A. 1 ； 6
B. ； C. 1 ； D. 2 。
ห้องสมุดไป่ตู้
6
12

ln 3 0
f
(x)dx

ln 3 0
ex
a e
x
dx
P(B) 0.2
2、设在试验 E 中事件 A发生的概率 P( A) ( 0 1),
n 把试验 E 独立地重复做下去, 令 Bn “在前次实验中事件 A至少发生一次”，
则
lim
n
P(Bn
)

。
Answer:一旦涉及到
lim
n
P(
X
)

?
的题时，后面的不是
0
就是
1，根据经验判断即可。
一、选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案（本题共 36 分，

北航概率统计试卷及答案解析

们取得某种球的概率和次数无关。这是抽签公平性的理论保障。所以
P( Ai )
m nm
7、设总体 X ~ N(1,42 ) , X1, X 2 ,, X9 为总体 X 的一个样本, X 为样本均值,
则 P{| X | 1}
。 (已知 (1.5) 0.9332 )。
Answer:
X
~
N
(1,42
)
,
X
1 n
n k 1
(Xk2
2Xk
X
X
2)
1 n
n
(Xk2
k 1
2Xk
X)
X2
n
1 n
n
(Xk2
k 1
2Xk
Xk
k 1
n
)
X2
n
n
1 n
n k 1
X
2 k
2
k 1
Xk
k 1
n2
Xk
X2
n
1 n
n k 1
X
2 k
2(
Xk
k 1
n
)2
X2
1 n
n k 1
X
2 k
X2
5、设随机变量 X 的概率密度为 f (x) ,分布函数为 F (x) ，
C 2(n 1) 2
C 1 2(n 1)
5、设随机变量
Xn 的概率密度为
fn (x)
1
n 1 n2x2
,
x , (n 1, 2,
)。
则对任意
0
，成立 lim P{| n
Xn
| }
。
Answer:
可以看到,当 n 越大时, fn (x) 越小，而 P{| Xn | } 在图形中指的是 fn (x) 函数与 x 轴之间所夹的面积，所

北航计算机机器学习2011复习资料+试卷

1、利用最大似然估计估计高斯分布的均值与方差，并分析优缺点。

高斯分布的最大似然估计 1.pdf 第24页。

最大似然估计：把待估的参数看作是确定的量，只是其取值是未知的。

最佳估计就是使得产生已观测到的样本的概率最大的那个值。

推导公式：概率公式：最大似然估计是下面方程组的解：优缺点：最大似然估计法对任何总体都可以用，从它得到的估计量具有一致性和有效性，即使不具有无偏性，也常常能够修改成无偏估计量。

可以证明，在一定条件下，未知参数的最大似然估计与其真值之差可以任意小，所以，从某种意义上说没有比最大似然估计更好的估计。

但是，并不是所有的待估计的参数都能求到似然估计量，因为求最大似然估计量时，往往要解一个似然方程（或方程组），有时比较难解或根本就写不出有限形式的解。

2、阐述两种线性分类器分类的基本原理，如LDA、最小二乘等，并讨论他们之间的区别与联系。

分类策略 3.pdf 第5页。

（1）Fisher线性判别分析LDA（Linearity Distinction Analysis）：基本思想：对于两个类别线性分类的问题，选择合适的阈值，使得Fisher准则函数达到极值的向量作为最佳投影方向，与投影方向垂直的超平面就是两类的分类面，使得样本在该方向上投影后，达到最大的类间离散度和最小的类内离散度。

Fisher线性判别并不对样本的分布进行任何假设，但在很多情况下，当样本维数比较高且样本数也比较多时，投影到一维空间后样本接近正态分布，这时可以在一维空间中用样本拟合正态分布，用得到的参数来确定分类阈值。

推导公式：类间离散度：类内离散度：所以有目标函数：其中（2）感知机基本思想：对于线性判别函数，当模式的维数已知时，判别函数的形式实际上就已经确定下来，线性判别的过程即是确定权向量。

感知机是一种神经网络模型，其特点是随意确定判别函数初始值，在对样本分类训练过程中，针对分类错误的样本不断进行修正，逐步迭代直至最终分类符合预定标准，从而确定权向量值。

完整word版,北交大2011-2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北京交通大学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参考答案一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率．解：设=A “任取一个家庭拥有汽车”，=B “任取一个家庭拥有房产”．由题设得 ()6.0=A P ，()3.0=B P ，()2.0=AB P ．因此有 ()()()()4.02.06.0=-=-=-=AB P A P AB A P B A P ； ()()()()1.02.03.0=-=-=-=AB P B P AB B P B A P ．所求概率为()()()5.01.04.0=+=+=⋃B A P B A P B A B A P ．二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A ， {}次感冒某人一年中患2=B ．由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有 ()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----ee e e．三．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率．解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ．设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰e dx e X P p x．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---e e e ．四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤+=其它05.002x x cx x f ．⑴ 求常数c ；⑵ 求X 的分布函数()x F ．解：⑴ 由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dx x f ，得()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-++==5.05.001dx x f dx x f dx x f dx x f ()81242135.00235.002+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰c x x cdx x cx ，解方程，得21=c ． ⑵ 当0≤x 时，()()0==⎰∞-xdt t f x F ；当5.00<<x 时，()()()()()27212320x x dt t t dt t f dt t f dt t f x F xx x +=+=+==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；当5.0≥x 时，()()()()()15.05.00=++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-xxdt t f dt t f dt t f dt t f x F ．综上所述，随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤=5.015.0027023x x x x x x F ．五．（本题满分8分）设n 个随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X X Y ,,,m ax 21Λ=，⑴ 求随机变量Y 的密度函数()x p Y ；⑵ 求数学期望()Y E ．解：⑴ 随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它0101x x p X ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x x x x F X ．随机变量Y 的密度函数为 ()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n X n X Y ．⑵ ()()111+=⋅==⎰⎰-+∞∞-n ndx nx x dx x xp Y E n Y ．六．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它010421,22y x y x y x p⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数；（5分）⑵ 求条件密度函数()y x p Y X ．（3分）解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y p Y ；当10<<y 时， ()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yyyyY dx x y ydx x dx y x p y p 22421421,2503022731221221y x y dx x y yy=⋅==⎰ 所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yy p Y ．当10<<y 时，()02725>=y y p Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y p y x p y x p Y Y X ,=2322522327421-==y x y y x即当10<<y 时，条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x p Y X ．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．再令bY aX U +=，bY aX V -=，其中a 与b 是不全为零的常数，求随机变量U 与V 的协方差()V U ,cov 与相关系数V U ,ρ．解：由于随机变量X 与Y 都服从正态分布()2,σμN ，所以()()μ==Y E X E ，()()2σ==Y D X D ．()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E U E +=⋅+⋅=+=+=； ()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E V E -=⋅-⋅=-=-=．再由于随机变量X 与Y 相互独立，故有()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D U D +=⋅+⋅=+=+=， ()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D V D +=⋅+⋅=+=-=， ()()bY aX bY aX V U -+=,cov ,cov ()()()()()2222222,cov ,cov σb a Y D b X D a Y Y b X X a -=-=-=，所以，()()()2222,,cov ba b a V D U D V U VU +-==ρ．八．（本题满分8分）某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为8.0．医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为8.0，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为7.0，问接受这一断言的概率是多少？（附，标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值：解：设X ：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则()p B X ,100~．⑴ 当8.0=p 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤=2.08.01008.0100752.08.01008.010075X P X P P 拒绝断言()()1056.08944.0125.1125.125.12.08.01008.0100=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-≤⨯⨯⨯-=X P ．⑵ 当7.0=p 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯--=>=3.07.01007.0100753.07.01007.0100175X P X P P 接受断言()1379.08621.0109.1109.13.07.01007.01001=-=Φ-≈⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯--=X P ．九．（本题满分8分）设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X Λ是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U ．计算统计量()U Y Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）．解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ，所以有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-．又由()∑=-=9722221i i Y X U ，得()2~2222χσU ．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ．十．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pq k X P ()Λ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21Λ是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量．解：似然函数为 (){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ========ΛΛ22112211,,,()()()()n x nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111Λ 所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=p nx p n p L dp d nk k ，解方程，得xp 1=．因此p 的极大似然估计量为Xp1ˆ=．十一．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3，Λ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21Λ是取自该总体中的一个样本．试求N 的极大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的极大似然估计值．（3分）解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1Λ=．所以似然函数为 (){}nni i i N x X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21Λ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ． ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ．十二．（本题满分10分）三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止．求：⑴ 抛掷硬币次数X 的数学期望；（5分）⑵ 进行了3次还没确定付账人的概率．（5分）解：⑴ X 的取值为Λ,3,2,1．并且()43411⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P ， ()Λ,3,2,1=k ．即随机变量X 服从参数43=p 的几何分布，因此()341==p X E ．⑵ ()()015625.0641414313333==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>=X P P 次还未确定付账人进行了．。

北航概率统计07-11期末试题

X k ~ N (0,15) ,
k 1
15
X
k 1
15
2 k
~ 2 (15) ,
2 k
2 Xk
(C)
k 1
5
X
~ t (10) ,
(D)
5
X
j 6
15
2 j
X
j 6
k 1 15
~ F (5,10)
2 j
。
6、设随机变量 ( X , Y ) ~ N (3,1;2,1;0), 设 Z X 2Y 7 , 则 Z ~ （
2011－2012 学年第一学期期末 A 卷
一、单项选择题（每小题 4 分，满分 36 分）
1、设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ,分布函数为 F ( x) ，则一定有( )成立。 (B) F ( x) 是连续函数； (D) 对任意实数 x ，成立 F ( x) f ( x) 。
则 P{1 X 1} ( (A) 0.75 , (B) 0.5 , )。 (C) 0.25 , (D) 0 。
2、已知随机变量 X 的分布函数为 F ( x) a b arctan x , x , 若实数 c 满足 P{ X c}
1 ，则 c （ 61 2 Nhomakorabea)。
(A) 13, (B) 14 , (C) 19 , (D) 37 . 8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5, 现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为（）。 (A)0.6, (B)
6 , 11
(C)0.75 ,
(D)
5 11
。
二、填空题（每小题 3 分，满分 24 分）

北京航空航天大学概率统计2012-2013(1)期末考卷A及AB卷答案

北京航空航天大学概率统计2012-2013(1)期末考卷A及AB 卷答案北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2012－2013学年第一学期期末考试统一用答题册考试课程概率统计A （A09B204A）概率统计B（A09B204B）A（试卷共6页，五道题）班级_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________考场教室_________ 任课教师_________2013年元月18日10:30--12:30一、单项选择题（每小题4分，满分36分）1、设随机变量X 存在数学期望EX 和方差0DX ≠,则对任意正数ε,下列不等式恒成立的是。

（A ）2{||}DXP X EX εε-≥>；（B ）2{||}1DXP X EX εε-<<-；（C ）21{||}P X DX ε≥≤；（D ）22||{||}E X P X εε≥≤。

2、设事件A 、B 同时发生时,事件C 必然发生,则下列结论成立的是。

(A) 1)()()(-+≥B P A P C P ； (B) )()(B A P C P +=；(C) )()(AB P C P =； (D) ()()()()P C P A P B P A B ≤+-+ 。

3、对随机事件B A ,,下列命题正确的是。

（A ）如果B A ,互不相容,则B A ,也互不相容；（B ）如果B A ,互逆,则B A ,也互逆；（C ）如果B A ,互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则B A ,相互独立；（D ）如果B A ,相容,则B A ,也相容。

4、设随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，对任意实数z ，则有{max{,}}P X Y z ≤= 。

（A ）1{,}P Xz Y z ->> ， (B) {}{}P X z P Y z ≤+≤,(C) (,)F z z , (D) 1(,)F z z -。

2011-2012概率统计B答案

广州大学2011-2012学年第二学期考试卷课程：概率论与数理统计Ⅰ、Ⅱ 考试形式：闭卷考试参考解答与评分标准一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分） 1．若事件A 与B 互斥,则下列描述中 ( D )正确。

A. A 与B 对立B. A,B 的相关系数为1C. 0)(>AB PD. 1)()(≤+B P A P 2．某人向同一个目标独立反复射击,每次击中目标的概率为p (0<p <1),则他第三次射击时恰好击中目标的概率为（ D ）。

A. )1(3p p - B. p 3 C. )1(3p - D. p3．设)(1x f 为[0,1]上均匀分布的密度函数, )(2x f 为[-1,1]上均匀分布的密度函数.若⎩⎨⎧≤>=0)(0)()(21x x bf x x af x f (0,>b a )为密度函数,则必有( B )。

A ．22a b += B. 22a b += C. 1=+b a D. 122=+b a4．设Y X ,相互独立，且分别服从参数为1，9的指数分布，则(3)P X Y =为（ A ）。

A ．0 B. 31 C. 32 D. 915．设随机变量X 的分布函数为)2(9.0)(1.0)(x x x F Φ+Φ=,其中)(x Φ为标准正态分布的分布函数，则)(X E =( A)。

A. 0 B. 1 C. 3 D. 5二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）(1) 袋中有50个乒乓球, 其中10个是黄球, 40个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 则第2个人取得黄球的概率是51.(2) 若三次独立的随机实验中,事件A 至少出现1次的概率为2726,则一次实验中A 出现的概率为32。

(3)随机变量X 服从参数为2的指数分布,则=+))((X E X E 1。

(整理)-2012-第二学期期末考试w.

北京航空航天大学2011－2012 学年第二学期期末考试《工科数学分析(II) 》试卷班号学号姓名成绩题号一二三四五六七八总分成绩阅卷人校对人2012年6月18日一．计算题。

（35）1. 计算向量场32()()3A x z i x yz j xy k =-++-的旋度.解:2232(6)(13)33ij krotA xy y i y j x k x y z x z x yz xy ∂∂∂==--+-++∂∂∂-+-建议评分标准：如答案对，给5分，如果答案不对，旋度计算公式2分，三个分量各1分.2. 通过改变积分次序计算累次积分221210122y x x y y dye dx dye dx +蝌蝌.解:22221211211221(1)2y x x x x x y y xdye dx dye dx dxe dy xe dx e +===-蝌蝌蝌?建议评分标准：改变积分次序3分，结果2分3. 计算二重积分2222sin()Dx y dxdy a b +⎰⎰，其中2222{(,)|1 0}x y D x y y a b =+≤≥，且. 解：取广义极坐标变换cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩，则(,)(,)x y abr r θ∂=∂. 在广义极坐标系下，积分区域D 为{(,)|01,0}r r θθπ≤≤≤≤，因此原式=120sin (1cos1)2d abr r dr ab ππθ=-⎰⎰建议评分标准：广义极坐标变换2分，雅各比行列式1分，积分区域1分，结果1分.4. 求极限2222222331lim cos()x y z xyzr x y z r x y z edxdydz r ++++→++≤-+⎰⎰⎰.解：由积分中值定理，存在(,,),ξης 2222r ξης++≤，使得22222222223334cos()cos()3xy z xyzx y z r x y z e dxdydz r e ξηςξηςπξης++++++++≤-+=-+⎰⎰⎰因此，原式=2223044lim cos()33r e ξηςξηςπξηςπ++++→-+=.建议评分标准：积分中值定理3分，结果2分.5. 利用对称性计算三重积分2(cos())Vz x xy dxdydz +⎰⎰⎰，其中22222{(,,)|2,}V x y z x y z z x y =++≤≥+.解：由于积分区域V 关于yoz 平面对称，cos()x xy 为关于x 的奇函数，因此cos()0V x xy dxdydz =⎰⎰⎰. 下面计算2V z dxdydz ⎰⎰⎰，采用球极坐标系sin cos sin sin cosx r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，则此时2(,,)||sin (,,)x y z r r ϕϕθ∂=∂，被积区域V 为{(,,)|0,02,02}4r r πϕθϕθπ≤≤≤≤≤≤，因此原式=2222244cos sin (221)15d d r r dr πππϕθϕϕ=-⎰⎰⎰.建议评分标准：对称性2分，计算过程2分，结果1分.6. 利用对称性计算第一型曲面积分222xy yz zx dS x y z ∑++++⎰⎰，∑为球面2221x y z ++=.解：由于∑关于xoy 平面对称，222yz zx x y z +++为z 的奇函数，因此222=0yz zx dS x y z ∑+++⎰⎰，又由于∑关于xoz 平面对称，222xyx y z++为y 的奇函数，因此222=0xy dS x y z∑++⎰⎰，因此222=0xy yz zx dS x y z∑++++⎰⎰. (建议评分标准：过程及答案正确5分)7. 计算第二型曲面积分xydydz ∑⎰⎰，∑为221z x y z =+=与围成区域边界的外侧. 解法一：∑是一个封闭曲面，设∑所围区域为V ，则由Gauss 公式知0Vxydydz ydxdydz ∑==⎰⎰⎰⎰⎰.其中只需注意到V 是关于xoz 平面对称的，被积函数y 是关于变量y 的奇函数.建议评分标准：高斯公式3分，计算及结果2分.解法二：设221{(,,)|,01}x y z z x y z ∑==+≤≤，指向下侧，222{(,,)|1,1}x y z z x y ∑==+≤，指向上侧，22{(,)|1}xy D x y x y =+≤，则由对称性12=(2)20xyxyD D xydydz xy x dxdy xydxdy ∑-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而 2=0xydydz ∑⎰⎰，因此=0xydydz ∑⎰⎰.建议评分标准：第一块曲面积分3分，第二块2分.二．（15）计算下面问题1) 利用格林公式计算椭圆盘22222x xy y ε++≤（0ε>）的面积； 2) 计算第二型曲线积分22,22L xdy ydxx xy y -++⎰其中L 为包围原点的一条光滑封闭曲线，方向为逆时针.解：1）.222222=()x xy y x y y ++++，由此我们可以给出椭圆222:22L x xy y ε++=的一个参数方程c o s ,s i n x y y εθεθ+==，即c o s s i n, 02s i nx y εθεθθπεθ=-⎧≤≤⎨=⎩,因此椭圆盘22222x xy y ε++≤的面积为22011[(cos sin )(cos )sin (sin cos )]22Lxdy ydx d πεθεθεθεθεθεθθπε-=----=⎰⎰. 2).记22(,)22y P x y x xy y -=++，22(,)22xQ x y x xy y =++，容易验证22222222(0)(22)Q P y x x y x y x xy y ∂∂-==+≠∂∂++时. 为使用Green 公式，做辅助曲线222:22L x xy y εε++=，其中ε充分小使得L ε位于L 所包围的区域内部， L ε取定向为逆时针. 设L 包围区域为V ，L ε包围区域为V ε, 由Green 公式易知\()0L L V V Q PPdx Qdy dxdy x yεε-∂∂-=-=∂∂⎰⎰⎰，因此22122LL L V xdy ydxPdx Qdy Pdx Qdy dxdy εεεπεε--=-===⎰⎰⎰⎰⎰，其中倒数第一个等式使用了1)的结论.建议评分标准：第1小题6分，第二小题9分，其中两个偏导数3分，辅助曲线3分，答案3分.三．（10）利用高斯公式计算第二型曲面积分()2z y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为()2201z x y z =+≤≤(0z ≥)，指向上侧.解: 作辅助曲面'22{(,,)|1,1}x y z z x y ∑==+≤，指向上侧，则∑与'∑构成一个封闭曲面，记它们所围区域为V . 则由Gauss 公式()'221100323332Vx y zz y dzdx zdxdy dxdydz dz dxdy zdz ππ∑-∑+≤++====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 而()'2z y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰=2211x y dxdy π+≤=⎰⎰，因此()3222z y dzdx zdxdy πππ∑++=-=-⎰⎰.建议评分标准：做辅助曲面3分，高斯公式3分，剩余两个计算各2分.四．（10）计算第二型曲面积分[2(,,)][2(,,)]2yf x y z x dydz xf x y z y dzdx zdxdy ∑++-++⎰⎰，其中(,,)f x y z 为连续函数，∑为曲面221x y z ++=在第一卦限的部分，指向上侧.解：∑投影到x o y 平面为22{(,)|1,0,0}xy D x y x y x y =+≤≥≥. ∑的表达式为221z x y =--，(,)xy x y D ∈. 因此22 [2(,,)][2(,,)]2[(2(,,))(2)(2(,,))(2)222]22xyxyD D yf x y z x dydz xf x y z y dzdx zdxdyyf x y z x x xf x y z y y x y dxdydxdyπ∑++-++=++-++--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰建议评分标准：投影到xoy 平面4分，公式正确4分，最后的计算2分五．（15）利用斯托克斯公式计算222222(+z )d ()d (+y )d Cy x x z y x z +++òÑ,其中C 为曲面2222x y z bx ++=（0,0z b ≥>）与222x y ax += (0b a >>)的交线，若从 z 轴正向看去，C 为逆时针方向.解：设C 在球面2222x y z b x ++=上所围的区域为Γ，Γ取上侧. Γ的表达式为：222()z b x b y =---，22(,){(,)|2}xy x y D x y x y ax ∈=+≤. 由Stokes 公式知222222()d ()d ()d (22)(22)(22)=[(22)()(22)()(22)][(22)()(22)()(22)]2[2]22xyxyxy xyCxyD D D D y z x x z y x y z y z dydz z x dzdx x y dxdy y z z z x z x y dxdyx b yy z z x x y dxdyz z ybb dxdy zbdxdyp G+++++=-+-+---+--+--=-+-+-=+==ò蝌蝌蝌蝌蝌Ñ2a b建议评分标准：斯托克斯公式7分，剩余计算8分. 六．（15）设函数()(),f x g x 具有2阶连续导数,并且积分()()()()2(+2e +2)d 2()d 0x Cy f x y yg x x yg x f x y ++=⎰对平面上任一条封闭曲线C 成立. 求()(),f x g x .解：由积分与路径无关的等价条件知：()()()()2[2()]=[+2e +2]x yg x f x y f x y yg x x y∂∂+∂∂，因此()(),f x g x 应满足2'()2'()2()22()x yg x f x yf x e g x +=++，因此'()()g x f x =，'()()x f x e g x =+成立, 由'()''()f x g x =得''()()x g x e g x =+，解微分方程得121()2x x x g x xe C e C e -=++，1211()'()22x x x x f x g x xe e C e C e -==++-. 建议评分标准：积分与路径无关7分，得到两个常微分方程3分，求解5分.七．（10）附加题（以下二题任选其一）：1．已知平面区域{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，()f x 为[0,1]上的连续函数，证明：（1）()()()();f y f x f y f x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰（2）()()2f y f x Lxe dy ye dx --≥⎰.证明：1). 由Green 公式知()()()()()f y f x f y f x LDxe dy ye dx e e dxdy ---=+⎰⎰⎰,()()()()()f y f x f y f x LDxe dy ye dx e e dxdy ---=+⎰⎰⎰,又由于D 关于直线y x =对称，有()()()()()()f y f x f x f y DDee dxdy e e dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰，因此()()()()f y f x f y f x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰成立.2）. 由1）的结论()()()()()()()()()()1(()())21 =()21422f y f x f y f x f x f y L DD f y f y f x f x DDxe dy ye dx e e dxdy e e dxdy e e e e dxdy dxdy ------=++++++≥=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰建议评分标准：第一小题6分，用了格林公式4分，对称性部分2分，第二小题4分.2．设(,)f x y 是2R 上的连续可微函数，且对圆221x y +=上的任一点均有(,)0f x y =，求极限2222201limx y r r x y xf yf dxdy x y →+≤+≤++⎰⎰.解法一：我们采用极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==，设(,)(c o s ,s i n )z f x y f ρθρθ==，则易知x yxf yf z ρρ+∂=∂. 因此 222212200121200002000001limlim lim lim (cos ,sin )(cos ,sin )=lim (cos ,sin )lim 2(cos ,sin )2(0,0).x y rr r r x y rr r r r xf yf z dxdy d d x y zd d f f r r d f r r d f r r f ππππθρρρρθρθθθθθρθθθπθθπ→+→+≤+≤→+→+→+→++∂=+∂∂==-∂-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二：记L 为单位圆周221x y +=，方向为逆时针，r L 为圆周222x y r +=，方向为顺时针. 则由Green 公式，2222222221(,)(,)rx y L L r x y xf yf x yf x y dy f x y dx dxdy x y x y x y +≤+≤+-=+++⎰⎰⎰，又由于在L 上均有(,)0f x y =，因此2222(,)(,)0Lx yf x y dy f x y dx x y x y-=++⎰，因此 222221002222(,)(,)(,)2(,)rrx y r x y L L xf yf dxdyx y x yf x y dy f x y dx f x y ds f x y x y x y π≤+≤++=-=-=-++⎰⎰⎰⎰其中00(,)r x y L ∈. 因此2220022001limlim 2(,)2(0,0).x y r r r x y xf yf dxdy f x y f x y ππ→+→+≤+≤+=-=-+⎰⎰建议评分标准：使用格林公式4分（对应计算了f 对r 的偏导数），将积分式化为Lr 上的积分4分，答案2分.。

北航数理统计期末考试题

北航数理统计期末考试题材料学院研究⽣会学术部2011 年12 ⽉2007-2008学年第⼀学期期末试卷⼀、(6 分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来⾃正态总体N( , 2) 的样本，令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ，试证明T 服从t-分布t(2)⼆、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。

F F1 (n,m) 。

三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1，是位置参数。

x1，x2，?，x n是来⾃总体X 的简单样本，试求参数的矩估计和极⼤似然估计。

四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ，xp(x; )0 , 其它其中, 已知，0, 是未知参数。

x1，x2，?，x n 是来⾃总体X 的简单样本。

1)试求参数的⼀致最⼩⽅差⽆偏估计；2) 是否为的有效估计？证明你的结论。

五、(6分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来⾃正态总体N( 1, 12) 的简单样本，y1，y2，?，y n 是来⾃正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独⽴，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。

为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。

基于变换后样本z1，z2，?，z n，在显著性⽔平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。

六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，?，x n是来⾃正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的⽔平为的UMPT。

七、(6 分)根据⼤作业情况，试简述你在应⽤线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些⽅⾯？⼋、(6 分)设⽅差分析模型为总离差平⽅和试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。

北航《概率统计》考核

北航考试《概率统计》考核要求一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1.设A 、B 、C 是三个随机事件，则事件“A 、B 、C 不多于一个发生”的对立事件是（ B ）。

A ．A 、B 、C 至少有一个发生 B. A 、B 、C 至少有两个发生 B ．A 、B 、C 都发生 D. A 、B 、C 不都发生2.设事件A 与B 互不相容，()01B <P <，则一定有（ D ）。

A ．()()A B A P =P B. ()()A B A P =PC ．()1A B P = D. ()1A B P =3.设随机变量X 在[0,2]上服从均匀分布，事件{}01A X =≤≤，{}12B X =≤≤。

则（ D ）。

A ．A 、B 互不相容 B. A 、B 互相对立 C ．A 、B 相互独立 D. A 、B 不独立4.十个球中有三个红球七个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一个球。

则最后三个分到球的小朋友中只有一个分到红球的概率p 为（ C ）。

A ．13310C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.2371010⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．213371010C ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.1237310C C C5.设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，Y ax b =+服从标准正态分布，则（ C ）。

A ．1,a b μσσ==B.,a b σσμ==C. 1,a b μσσ=-=D. 1,a b μσσ=-=-二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）6.设A 、B 是两个随机事件，()0.4A P =，()0.8B P =，()0.9A B P ⋃=。

则()A B P =38.7.将D ，G ，O ，O 四个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词GOOD 的概率为112. 8.将一枚硬币重复抛掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率是1316. 9.已知{}{}10,00,14X Y X Y P ===P ===，{}11,12X Y P ===。

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