01高等数学课件(共10章)函数、极限与连续

a b a b a b.
x a ( a 0) x a ( a 0)
a x a;
x a 或 x a;
高等数学-函数与极限 连续 8
二、函数概念
例 圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
O
n 3 ,4 ,5 ,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
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例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图 所示,写出电压U与时间 t ( t 0)的函数关系式.
U 解 当 t [0, ] 时, ( , E) 2 2 E E 2E U t t; ( ,0 ) t o 2 2 当 t ( , ] 时, 单三角脉冲信号的电压 2 E0 2E U 0 ( t ), 即 U (t ) 2
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
高等数学-函数与极限 连续 3
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
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在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
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当 t (,) 时, U 0.
U U ( t )是一个分段函数 , 其表达式为
U
E
( , E) 2
( ,0 )
o
2E t, t [ 0, ] 2 2E U (t ) ( t ), t ( , ] 2 0 , t ( , )
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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3.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
D : [1,1] D : ( 1,1)
11
高等数学-函数与极限 连续
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数．
( x, y)
x
例如，x y a ．
2 2 2
o
x
D
定义: 点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为
高等数学
第一章：函数、极限与连续
高等数学-函数与极限 连续
1
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M,
a M,
有限集
A {a1 , a2 ,, an }
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集. 记作 A B.
U (a ) { x a x a }.
a a a 点a的去心的邻域, 记作U 0 (a ).
U (a ) { x 0 x a }.
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x
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4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
高等数学-函数与极限 连续
n
r
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D 是一个给定的数集， 定义 设x 和y 是两个变量,
y 按照一定法则总有 如果对于每个数 x D , 变量
x 的函数，记作 确定的数值和它对应，则称y 是
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义 自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数y f ( x )的图形.
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几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o
x
-1
x sgn x x
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(2) 取整函数 y=[x]
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
高等数学-函数与极限 连续
x
4
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
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a a0 a a a 0 运算性质: ab a b ;
5.绝对值:
( a 0)
a a ; b b
绝对值不等式:
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数集分类:
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
高等数学-函数与极限 连续 10
函数的两要素: 定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量
(
W
y
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2