2020届高考数学(理)热点猜押练一 热点练15 立体几何中的证明与计算问题(含解析)

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热点练15 立体几何中的证明与计算问题

1.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC.

(1)证明:A1C⊥平面BED.

(2)求二面角A1-DE-B的余弦值.

2.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF,

BF=CF.

(1)求证:AB⊥CG.

(2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.

3.如图,在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中,PB⊥AB.

(1)证明:平面PBC⊥平面PCD.

(2)若异面直线PC与BD所成角为60°,PB=AB,PB⊥BC,求二面角B-PD-C的大小.

4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=45°,PD=2,M 为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB.

(1)求证:EF∥平面ABCD.

(2)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

5.如图,多面体ABC-DB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得,M为CB1的中点,且BC=BB1=2.

(1)若D为AA1中点,求证AM∥平面DB1C1.

(2)若二面角D-B1C1-B大小为错误!未找到引用源。,求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值.

6.如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2.

(1)证明:平面ABE⊥平面EBD.

(2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。.

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热点练15 立体几何中的证明与计算问题

1.【解析】以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,射线DC为y轴的正半轴,射线DD1为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,即可得出B(2,2,0),

C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4),=(0,2,1),=(2,2,0),=(-2,2,-4),= (2,0,4).

(1)因为·=0,·=0,

所以A1C⊥BD,A1C⊥DE,

因为BD∩DE=D,所以A1C⊥平面BED,

(2)设向量n=(x,y,z)是平面DA1E的一个法向量,

则n⊥,n⊥,

故2y+z=0,2x+4z=0.令y=1,则z=-2,x=4,n=(4,1,-2),

等于二面角A1-DE-B的平面角,

cos==错误!未找到引用源。.

2.【解析】(1)取BC的中点为D,连接DF.

由ABC-EFG是三棱台得,平面ABC∥平面EFG,从而BC∥FG.

因为CB=2GF,所以CD GF,

所以四边形CDFG为平行四边形,所以CG∥DF.

因为BF=CF,D为BC的中点,

所以DF⊥BC,所以CG⊥BC.

因为平面ABC⊥平面BCGF,且交线为BC,CG⊂平面BCGF,

所以CG⊥平面ABC,而AB⊂平面ABC,

所以CG⊥AB.

(2)连接AD.

由△ABC是正三角形,且D为BC中点,则AD⊥BC.

由(1)知,CG⊥平面ABC,CG∥DF,

所以DF⊥AD,DF⊥BC,

所以DB,DF,DA两两垂直.

以DB,DF,DA分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

设BC=2,则A(0,0,错误!未找到引用源。),E错误!未找到引用

源。,B(1,0,0),G(-1,错误!未找到引用源。,0).

所以=错误!未找到引用源。,=(-2,错误!未找到引用源。,0), =错误!未找到引用源。.

设平面BEG的一个法向量为n=(x,y,z),

由可得,错误!未找到引用源。

令x=错误!未找到引用源。,则y=2,z=-1,所以n=(错误!未找到引用源。,2,-1). 设AE与平面BEG所成角为θ,

则sin θ=|cos <,n>|==错误!未找到引用源。.

3.【解析】(1)由已知四边形ABCD为矩形,得AB⊥BC,

因为PB⊥AB,PB∩BC=B,所以AB⊥平面PBC.

又CD∥AB,所以CD⊥平面PBC.

因为CD⊂平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD.

(2)以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.

设PB=AB=1,BC=a(a>0),则B(0,0,0),C(0,0,a),P(1,0,0),D(0,1,a),

所以=(-1,0,a),=(0,1,a),

则=cos 60°,即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

解得a=1,a=-1(舍去).

设n=(x1,y1,z1)是平面PBD的一个法向量,则

即错误!未找到引用源。

可取n=(0,1,-1).

设m=(x2,y2,z2)是平面PCD的一个法向量,

则即错误!未找到引用源。

可取m=(1,0,1),所以cos=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。. 由图可知二面角B-PD-C为锐角,所以二面角B-PD-C的大小为60°.

4.【解析】(1)(方法一)如图,设DM中点为N,连接EN,NF,BD,则有NE∥AD,

因为NE⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,

所以NE∥平面ABCD,