易错点专题六：不等式与线性规划

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不等式与线性规划附解析2018年高考理科数学易错点

不等式与线性规划（附解析2018年高考理科数学易错点）1.【2017北京，理4】若x，y满足则x+2y的最大值为（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.2.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是A．[0，6]B．[0，4]C．[6，D．[4，【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．3.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】B4.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A(−6,−3)，则z=2x+y的最小值是：−15.故选：A.5.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是（A）0（B）2（C）5（D）6【答案】C【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，当其经过直线与的交点时，最大为，选C.6.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（A）（B）1（C）（D）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.7.【2016高考新课标1卷】若,则()（A）（B）（C）（D）【答案】C8.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.9.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（）（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.10.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（）A．2B．4C．3D．【答案】C易错起源1、不等式的解法例1、(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为__________．(2)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x－1或x12，则f(10x)0的解集为()A．{x|x－1或x－lg2}B．{x|－1x－lg2}C．{x|x－lg2}D．{x|x－lg2}答案(1)9(2)D解析(1)由值域为[0，＋∞)，可知当x2＋ax＋b＝0时有Δ＝a2－4b＝0，即b＝a24，∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋a24＝x＋a22.∴f(x)＝x＋a22c，解得－cx＋a2c，－c－a2xc－a2.∵不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，∴c－a2－(－c－a2)＝2c＝6，解得c＝9.(2)由已知条件010x12，解得xlg12＝－lg2.【变式探究】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________. (2)不等式2＜4的解集为________．答案(1)52(2)(－1,2)【名师点睛】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【锦囊妙计，战胜自我】1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法(1)fxgx0(0)&#8660 ;f(x)g(x)0(0)；(2)fxgx≥0(≤0)&# 8660;f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．易错起源2、基本不等式的应用例2、(1)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，则2m＋4n的最小值为()A．2B．22C．4D．8(2)设实数m，n满足m0，n0，且1m＋1n＝1，则4m＋n() A．有最小值9B．有最大值9C．有最大值1D．有最小值1答案(1)C(2)C解析(1)因为向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.所以2m＋4n≥22m4n＝22m＋2n＝222＝4(当且仅当2m＝4n，m＋2n＝2，即m＝1，n＝0.5时，等号成立)，所以2m＋4n的最小值为4，故选C.(2)因为1m＋1n＝1，所以4m＋n＝(4m＋n)1m＋1n＝5＋4mn＋nm，又m0，n0，所以－4mn－nm≥4，当且仅当n＝－2m时取等号，故5＋4mn＋nm≤5－4＝1，当且仅当m＝12，n＝－1时取等号，故选C.【变式探究】(1)若正数a，b满足a＋b＝1，则aa＋1＋bb＋1的最大值为________．(2)若圆(x－2)2＋(y－2)2＝9上存在两点关于直线ax＋by－2＝0(a0，b0)对称，则1a＋9b的最小值为__________．答案(1)23(2)16解析(1)∵正数a，b满足a＋b＝1，∴aa＋1＋bb＋1＝ab＋1＋ba ＋1a＋1b＋1＝2ab＋a＋bab＋a＋b＋1＝2ab＋1ab＋2＝2ab＋2－3ab＋2＝2－3ab＋2≤2－3a＋b22＋2＝2－314＋2＝23，当且仅当a＝b＝12时取等号，∴aa＋1＋bb＋1的最大值为23.(2)圆(x－2)2＋(y－2)2＝9的圆心坐标为(2,2)，由已知得直线ax＋by－2＝0必经过圆心(2,2)，即a＋b＝1.所以1a＋9b＝(1a＋9b)(a＋b)＝10＋ba＋9ab≥10＋2ba9ab＝16(当且仅当ba＝9ab，即a＝14，b＝34时等号成立)，所以1a＋9b的最小值为16.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【锦囊妙计，战胜自我】利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x0，y0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值14s2(简记为：和定，积有最大值)．易错起源3、简单的线性规划问题例3、(1)已知实数x，y满足约束条件y≥x3－2，y≤2x ＋4，2x＋3y－12≤0，则z＝x＋2y的最大值与最小值之和为()A．－2B．14C．－6D．2(2)若变量x，y满足约束条件y≤2，y≥x－2，y≥－12x ＋52，且目标函数z＝－kx＋y当且仅当x＝3，y＝1时取得最小值，则实数k的取值范围是________．答案(1)A(2)－12，1解析(1)根据x，y的约束条件画出可行域，如图阴影部分所示，其中A－185，－165，B(6,0)，C(0,4)．由z＝x＋2y可知，当直线y＝－12x＋z2过点A时，z取最小值，即zmin＝－185＋2×－165＝－10；当直线y＝－12x＋z2过点C时，z取最大值，即zmax＝0＋2×4＝8，∴zmin＋zmax＝－2.故选A.(2)由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC及其内部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)．将目标函数变形得y＝kx＋z，当z取得最小值时，直线的纵截距最小．由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y＝kx＋z绕定点A旋转进行分析，知－12k1，故所求实数k的取值范围是－12，1.【变式探究】(1)已知实数x，y满足x≥0，y≥0，x＋y≤2，则z＝4x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[0,8]C．[2,8]D．[2,10](2)已知变量x，y满足约束条件x＋y≤1，x－y≤1，x≥a，若x＋2y≥－5恒成立，则实数a的取值范围为() A．(－∞，－1]B．[－1，＋∞)C．[－1,1]D．[－1,1)答案(1)B(2)C(2)由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x＋2y≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x＋2y＝－5的上方，由x－y＝1，x＋2y＝－5，得x＝－1，y＝－2，由x－y＝1，x＋y＝1，得x＝1，y＝0，则实数a的取值范围为[－1,1]．【名师点睛】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【锦囊妙计，战胜自我】解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．。

33. 不等式与线性规划的关系是什么？

33. 不等式与线性规划的关系是什么？33、不等式与线性规划的关系是什么？在数学的广袤领域中，不等式和线性规划是两个重要的概念，它们之间存在着紧密而又独特的关系。

首先，让我们来理解一下不等式。

不等式是用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）来表示两个数或者表达式之间的大小关系的数学式子。

比如说，“x ＞5”，“y ≤ 2x ＋3”等等。

不等式反映了现实生活中数量之间的各种大小限制和范围。

那么线性规划又是什么呢？简单来说，线性规划是一种数学方法，用于在一定的约束条件下，找到一个目标函数的最优解。

这些约束条件通常就是由一系列的线性不等式组成的。

不等式为线性规划提供了约束的框架。

在线性规划问题中，我们需要在满足一系列不等式所限定的条件下，来优化某个目标。

例如，一个工厂生产两种产品 A 和 B，生产 A 产品每个需要 2 小时的加工时间和 3 单位的原材料，生产 B 产品每个需要 3 小时的加工时间和 2 单位的原材料。

总加工时间不能超过20 小时，原材料总量不超过15 单位。

我们可以用不等式来表示这些限制条件：2x ＋3y ≤ 20（加工时间限制），3x ＋2y ≤ 15（原材料限制），这里的 x 代表产品 A 的数量，y代表产品 B 的数量。

这些不等式就构成了线性规划问题的约束条件。

反过来，线性规划也可以帮助我们解决不等式的相关问题。

通过建立线性规划模型，我们可以找到在给定不等式约束下的最优解或者可行解的范围。

比如，给定一组不等式，我们想知道在这些条件下，某个变量的最大值或者最小值是多少，就可以将其转化为线性规划问题来求解。

从几何角度来看，不等式所表示的区域通常是在平面直角坐标系中的一个半平面或者区域。

例如，不等式 x ＋ y ＜ 5 表示的就是直线 x ＋ y ＝ 5 下方的区域。

而线性规划问题中的可行域，就是由多个这样的不等式所确定的区域的交集。

目标函数在这个可行域内进行优化，找到最优解所在的点。

线性不等式与线性规划的解法

线性不等式与线性规划的解法线性不等式和线性规划是数学中常见的问题类型，它们在日常生活和各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍线性不等式与线性规划的定义、解法和一些应用示例。

一、线性不等式的定义和解法线性不等式是指一个或多个变量的线性函数与一个常数之间的不等关系。

其表达形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b其中，a₁, a₂, ..., aₙ是系数，x₁, x₂, ..., xₙ是变量，b是常数。

要解决线性不等式，我们需要确定变量的取值范围，使得不等式成立。

常用的解法有以下几种：1. 图形法：将线性不等式转化为几何图形，通过观察图形与坐标轴的交点来确定解集。

2. 代入法：将线性不等式转化为等式，找到其中一个变量的解，代入到不等式中求解其他变量。

重复此过程直至得到所有解。

3. 增减法：通过增减变量值来确定解集的上下界，进而找到满足不等式的解集。

二、线性规划的定义和解法线性规划是指在一定约束条件下，通过线性函数的优化求解最大值或最小值的问题。

其表达形式为：Maximize (or Minimize) f(x₁, x₂, ..., xₙ) = c₁x₁ + c₂x₂ + ... +cₙxₙsubject to:a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b₁d₁x₁ + d₂x₂ + ... + dₙxₙ ≤ b₂e₁x₁ + e₂x₂ + ... + eₙxₙ ≥ b₃...x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，f(x₁, x₂, ..., xₙ)是目标函数，表示需要最大化或最小化的线性函数；约束条件由不等式给出，b₁, b₂, b₃是常数。

线性规划的解法主要有以下两种：1. 几何法：将约束条件转化为几何图形，通过观察图形与目标函数的相对位置关系，找到最优解。

2. 单纯形法：通过转化为标准形式，并利用单纯形表来进行迭代计算，逐步逼近最优解。

三、线性不等式和线性规划的应用示例线性不等式和线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域。

不等式与线性规划问题解析

基本不等式1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________．解析由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81.2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．3．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是_____________．解析因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4xy ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立． 4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎤0，14C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 解析由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14 (a ＝b 时取等号)．故ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14.题型一利用基本不等式证明简单不等式例1 已知x >0，y >0，z >0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8. 证．证明 ∵x >0，y >0，z >0，∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0，x z ＋y z ≥2xyz >0，∴⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8. 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．题型二利用基本不等式求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy时，取等号．(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4C.92D.112(2)已知a >b >0，则a 2＋16b (a －b )的最小值是________．解析 (1)依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.(2)∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立． ∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b (a －b )取得最小值16.题型三基本不等式的实际应用1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．16解析：平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18.当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库建在离车站d 千米处，由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d ，y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝45d ，∴y 1＋y 2＝20d ＋4d5≥220d ·4d 5＝8，当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·陕西)设0<a 0，即ab >a ，D 错误，故选B. 2． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B.32C ．1D.12答案 C解析由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y＝log 3a＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1.4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 6． (2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．答案 9解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y2＋4x 2y 2 ≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．7．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_______．答案 20解析设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．三、解答题(共22分)8． (10分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba ，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋ab ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9. B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．不等式a 2＋b 2≥2|ab |成立时，实数a ，b 一定是( )A ．正数B ．非负数C ．实数D ．不存在答案 C解析原不等式可变形为a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，对任意实数都成立．2．如果0<a Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B解析因为P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，所以只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b 2>ab .又因为a ＋b2<a ＋b (因为a ＋b >(a ＋b )24，也就是a ＋b4<1)，所以a ＋b >a ＋b2>ab ，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q >P >M .3．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 C解析点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1.所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案 18解析由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.5．已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．解析因(s ＋t )⎝⎛⎭⎫m s ＋n t ＝m ＋n ＋tm s ＋snt ≥m ＋n ＋2mn ，所以m ＋n ＋2mn ＝4，从而mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1，从而此弦的方程为x ＋y －2＝0.6．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a＋2a ＝2a＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.线性规划【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－abx＋z b ，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．．【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝y2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝⎛⎭⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是：可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8 ∴16≤z ≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255．【答案】255角度三：求线性规划中的参数 9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A＝z B＞z C或z A＝z C＞z B或z B＝z C＞z A，解得a＝－1或a＝2．法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC 时符合题意，故a＝－1或a＝2．【答案】D。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题06不等式与线性规划热点难点突破文含解析

不等式与线性规划1.若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a>0.3bC ．a >bD.3a >3b解析因为a >b ，而对数函数要求真数为正数，所以ln a >ln b 不成立；因为y ＝0.3x是减函数，又a >b ，则0.3a<0.3b，故B 错；当a ＞b ＞0时，a >b ，则a ＞b ，故C 错；y ＝x 在(－∞，＋∞)是增函数，又a >b ，则a >b ，即3a >3b 成立，选D.答案 D2.设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝12a <a ，又b ＝(lg e)2<lg 10lg e ＝12lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B. 答案 B3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <124．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}解析由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.答案 C5．已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．22D.655解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D6．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立； ②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值，故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B7．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 解析由f (x )>0得32x－(k ＋1)·3x＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x，而3x＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 答案 B8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为( ) A ．4 B ．42 C ．8 D ．82解析 ∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a >0且Δ＝4－4ac ＝0.∴c ＝1a，∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a＋1a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥4(当且仅当a ＝1时取等号)， ∴a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为4，故选A. 答案 A9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n2＋n ＋22个区域，选C.答案 C10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③ D ．③④⑤11．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b a B.b －a c ＞0 C.b2c <a2cD.a －cac＜0 解析：∵c 0，∴c a 0，a －cac <0，但b 2与a 2的关系不确定，故b2c <a2c 不一定成立．答案：C12．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.答案：A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[4，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：正数x ，y 满足x ＋y ＝1，当a >0时，1x ＋a y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ，当且仅当y ＝a x 时取等号，因为1x ＋ay≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，∴1＋a ＋2a ≥4，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．当a ≤0时显然不满足题意，故选D.答案：D14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)．答案：B15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．2 6解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B.答案：B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥0x －y≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[k MA,1)，即⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.答案：D17．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分条件可举反例，令a ＝b ＝－10，此时a <1b ，b <1a ，但ab ＝100>1，所以“a <1b 或b <1a ”不是“0<ab <1”的充分条件．反之，a ，b 为实数，当0<ab <1时，说明a ，b 同号．若a >0，b >0，则a <1b 或b <1a ；若a <0，b <0，则a >1b 或b >1a .所以“a <1b 或b <1a ”不是“0<ab <1”的必要条件．综上可知“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的既不充分也不必要条件．答案：D18．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x＋1＋9x ＋1－5≥2＋9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案：C19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1x －y≥－12x －y≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1] D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B20．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：x 2＋ax －2>0，即ax >2－x 2. ∵x ∈[1,5]，∴a >2x－x 成立．∴a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x －x 在[1,5]上是减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A.答案：A21．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)．由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以n m ＞0，mn ＞0.由均值不等式，可得n m ＋mn≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：222．设P (x ，y )是函数y ＝2x (x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 223．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≥x，3x ＋2y≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋x ，x≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

不等式与线性规划重点

不等式与线性规划重点、难点、易错点分析一、不等式的概念与性质1、由基本性质比较大小、证明不等式（1）作差（2）作商（3）分析比较（4）取平方（5）分子或分母有理化（6）图像（7）单调性2、根据均值不等式比较大小、证明不等式二、范围问题1、解方程法2、待定系数法3、确定平面区域法三、利用均值不等式求值域与最值1、凑项法2、凑系数法3、分离系数4、换元法5、双勾曲线6、整体代换7、取平方四、解不等式1、一元二次不等式2、含参不等式（分类讨论）3、分式不等式（分式化整式）4、高次不等式（穿根法）5、绝对值不等式（1）分段讨论（2）数形结合（3）取平方五、不等式成立问题1、恒成立问题2、能成立问题3、恰成立问题六、不等式的实际应用1、基本不等式在实际应用题中的应用2、二次不等式解集的简单应用3、一元二次不等式在实际中的应用4、均值不等式的应用七、二元一次方程组与线性规划1、求线性目标函数的取值范围2、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题3、已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题4、已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题5、求线性目标函数中所含参数的取值范围6、已知最优解，探求目标函数参数问题7、已知最优解，探求约束条件函数参数问题 8、求可行域中整点个数（1)平移找解法（2)整点调整法（3）逐一检验法9、求非线性目标函数的最值 10、比值问题八、线性规划实际应用题型：一、不等式的概念与性质 1、比较大小（1）作差法例1：已知-1<a<0,A=1+a 2, B=1-a 2,C=a11+，是比较A,B,C 的大小（2）作商法例1：比较a a b b 与a b b a （a ，b 为不相等的正数）的大小（3）均值不等式法例1：已知a ，b ∈R ，则ab ，2b a +，2b a 22+，b a 2ab +的大小顺序是例2：已知a ，b ∈R ，a ≠b ，且a+b=2，则（）A.ab ≤2b a 22+≤1B. 1<ab<2b a 22+C. ab ≤1<2b a 22+D. ab<1<2b a 22+2、证明不等式（1）利用性质证明不等式例1：已知a ，b 是正实数，求证：abb a+≥b a +例2：已知a ，b ，x ，y 是正整数，且b 1a 1〉，x>y ，求证：by yx +>+a x（2）利用均值不等式证明不等式例1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++222例2. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc例3. 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

高考热点剖析——不等式及线性规划问题热点问题

高考热点剖析——不等式及线性规划问题热点问题高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．1．一元二次不等式的求解步骤：一变、二求、三画、四结论． 2．一元二次不等式恒成立的条件设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x轴上方⇔f (x )min ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.ax 2＋bx ＋c ＜0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x 轴下方⇔f (x )max ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0.3．二元一次不等式表示的平面区域直线定界，特殊点定域．注意：边界的虚实线．【应对策略】对不等式的学习要立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，具体要注意以下几点：(1)学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数运算法则为依据解决问题；(2)解决某些不等式时，要与函数定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注意分类讨论思想；(3)要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数形结合处理不等式问题；(4)利用线性规划解决实际问题时，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此要力求画图准确.【必备方法】1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．对于给定集合M 和给定含参数的不等式f (x )＞0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：(1)若M 是f (x )＞0的解集，则由M ＝{x |f (x )＞0}来求； (2)若f (x )＞0在M 上有解，则由M ∩{x |f (x )＞0}≠∅来求； (3)若f (x )＞0在M 上恒成立，则由M ⊆{x |f (x )＞0}来求．3．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义！通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关．命题角度一一元二次不等式[命题要点] ①简单一元二次不等式的解法；②含参数的一元二次不等式的解法．【例1】► 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.[思路分析] 不等式的左端可以先分解因式，然后根据a ＞0，a ＝0，a ＜0的情况和方程ax 2－(2a ＋1)x ＋2＝0两个根的大小进行分类求解．解不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0，即(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＜0.①若0＜a ＜12，则1a＞2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫2，1a ；②若a ＝12，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；③若a ＞12，则1a ＜2，此时不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. (2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．(3)当a ＜0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＞0.由于1a＜2，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)．综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. 【方法支招】含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下，按照本题的方法求解，但如果不能根据因式分解的方法求出其根，则需要按照不等式对应方程根的判别式的情况进行分类．【突破训练1】已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a ＝________.解析由题意，可得a ≠0，且不等式等价于a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0.由不等式解集的特点可得a ＞0且1a ＝12，故a ＝2.答案 2命题角度二含参不等式恒成立问题[命题要点] 一元二次不等式有解、恒成立，求参数的取值范围．【例2】► (2012·镇江质量检测)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．[思路分析] 不等式中有两个变量，可以先看成关于其中一个变量的一元二次不等式恒成立，再考虑另一个变量．解析先将不等式整理为关于a 的一元二次不等式为a 2－λba ＋8b 2－λb 2≥0，对任意a ∈R 恒成立，所以λ2b 2－4(8b 2－λb 2)≤0，即(λ2＋4λ－32)b 2≤0，对任意b ∈R 恒成立，则λ2＋4λ－32≤0，解得－8≤λ≤4.答案－8≤λ≤4【方法支招】含有多变量的不等式是近年来考查热点，要将不等式逐个看成关于某一变量的不等式，其它变量先看作常数，这样可以逐步减少变量个数，同时要看清是恒成立还是有解．【突破训练2】（2012年高考（辽宁理））若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是（）A ．21xe x x ++…B 211124x x <-+C ．21cos 12x x -… D ．21ln(1)8x x x +-…【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+,则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cg x x '=-+≥，所以当[0x ∈+∞时,()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥ 同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -…,故选C【方法支招】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. 命题角度三线性规划问题[命题要点] 线性规划考题的新变化为：问题中的目标函数形式已不再局限为单一的、线性的，甚至有的问题隐含有线性规划知识，以上这些变化都可以通过适当的方法转化为较为基本的问题来解决．【例3】► (2012·苏锡常镇调研)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 3n的最小值为________．[审题视点] 先对题干中恒成立问题进行转化，得到关于m ，n 的关系式，再利用线性规划知识解决．解析因为不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0即为(2m －n )x ≥8－2n ，对任意x ∈[－4,2]都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧22m －n ≥8－2n－42m －n ≥8－2n，所以m ，n 满足的不等式为⎩⎪⎨⎪⎧m ≥24m －3n ＋4≤0n ≤6，所以点(m ，n )对应的平面区域如图，nm 的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以n m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，而目标函数m 4－n 4m 3n ＝m n －⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 3，令n m ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，则目标函数即为y ＝1t －t 3，其导数y ′＝－1t 2－3t 2＜0，所以函数y ＝1t －t 3在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3上递减，故t ＝3时取得最小值－803. 答案－803【方法支招】线性规划是不等式的重要内容，与函数的综合是常见题型，一般方法是利用线性规划求出某个中间变量的取值范围，再利用换元法、导数等方法求最值．【突破训练3】（2012年高考（山东理））已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数3z x y =-的取值范围是（）A ．3[,6]2-B ．3[,1]2-- C ．[1,6]-D ．3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)0,2(E 时,直线z x y -=3的截距最小,此时z 最大为63=-=y x z ,当直线经过C 点时,直线截距最大,此时z 最小,由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ,此时233233-=-=-=y x z ,所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-,选A.解不等式要留意等号，画可行域要注意边界的虚实一、注意解不等式不能漏解【例1】► 不等式(x －4)x 2－3x －4≥0的解集是________．解析当x 2－3x －4＞0时，x －4≥0，解得x ≥4；当x 2－3x －4＝0，即x ＝－1或4时，原不等式也成立，所以解集是{x |x ≥4或x ＝－1}．答案 {x |x ≥4或x ＝－1}【小提示】：要考虑二次根式有意义的条件，当二次根式等于0时，则对x －4没有条件限制，所以要对根式是否为零进行讨论.否则，本题会出现下面的错误：因为\r(x2－3x －4)≥0，所以x －4≥0，解得x ≥4，造成遗漏解的情况.二、注意可行域边界的虚实【例2】► 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)的一个零点在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围是________．解析因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)开口向上，纵截距是－1，一个零点在区间(1,2)内，所以a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f 1＝a ＋b －1＜0f 2＝4a ＋2b －1＞0，作出点(a ，b )对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过点(0,1)(不在区域内)时取得最小值－1(取不到)，即a －b ∈(－1，＋∞)．答案 (－1，＋∞)【小提示】：画可行域要特别注意边界能否取到，当区域不包含边界时，取值范围中等号取不到，如果忽视这一点，容易在等号上出错.三、注意目标函数的几何意义，尤其是平方、开方之类的问题【例3】► 在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是________．解析由OC →＝λOA →＋μOB →两边平方得OC →2＝(λOA →)2＋(μOB →)2＋2λμOA →·OB →，即为1＝λ2＋μ2＋2λμcos 〈OA →，OB →〉，所以cos 〈OA →，OB →〉＝1－λ2－μ22λμ∈(－1,1)，又λ，μ∈(0，＋∞)，所以化简即得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＞1－1＜λ－μ＜1，作出可行域如图目标函数λ2＋(μ－3)2的几何意义是区域上的点(λ，μ)到定点(0,3)的距离的平方，由点到直线的距离公式求得点(0,3)到λ－μ＋1＝0的距离为2，且取不到，故λ2＋(μ－3)2的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)【小提示】对目标函数λ2＋μ－32的几何意义要理解正确，表示点0，3到λ－μ＋1＝0的距离的平方，如果忘记平方，就会出现2，＋∞的错误，所以考虑问题要细心.1．(2011·南京模拟)已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A 、B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析若A ，B 的交集是空集时，即x 2＋2x ＋a ＜0在1≤x ≤2上恒成立．令f (x )＝x 2＋2x ＋a ，因为对称轴为x ＝－1，所以y ＝f (x )在集合A 上递增，所以f (2)＜0即可，所以a ＜－8，所以A ，B 的交集不是空集时，实数a 的取值范围是a ≥－8.答案 [－8，＋∞)2．(2012·江苏，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )＜c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案 93．(2012·江苏，14)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e ac.作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2，b ＝72c .此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b a max ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e a c ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1.此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b a min ＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a ∈[e,7]．答案 [e,7]4．(2010·江苏，12)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．解析根据不等式的基本性质求解.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，13，x 3y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2·1xy ∈[2,27]，x 3y的最大值是27. 答案275．(2012·南京模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤1，y ≤2.则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案[－4,2]。

不等式及线性规划

不等式及线性规划本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)掌握不等关系与不等式解法、基本不等式的应用．(2)熟练掌握求解线性规划问题的方法，给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行域．(3)关注目标函数的几何意义和参数问题，掌握求目标函数最值的方法．预测2019年命题热点为：(1)不等式的性质、不等关系及不等式解法；利用基本不等式求函数最值．(2)求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题．Z知识整合hi shi zheng he1．不等式的四个性质注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如(1)a>b，c>0⇒ac>bc，a>b，c<0⇒ac<bc.(2)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(3)a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥1)．(4)a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．2．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法 f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0). f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )；当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x ). (4)简单对数不等式的解法当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0；当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔g (x )>f (x )>0. 3．基本不等式(1)基本不等式的常用变形①a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．②a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立．③b a ＋ab≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． ④a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．⑤a >0，b >0，则a 2＋b 22≥a ＋b 2≥≥21a ＋1b，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)利用基本不等式求最值已知a ，b ∈R ，则①若a ＋b ＝S (S 为定值)，则ab ≤(a ＋b 2)2＝S 24，当且仅当a ＝b 时，ab取得最大值S 24.②若ab ＝T (T 为定值，且T >0)，则a ＋b 2T ，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 取得最小值2T .4．求目标函数的最优解问题(1)“斜率型”目标函数z ＝y －bx －a (a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解．(2)“两点间距离型”目标函数z ＝(x －a )2＋(y －b )2(a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点之间的距离取最值时的可行解．5．线性规划中的参数问题的注意点(1)当最值已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．(2)当目标函数与最值都已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．6．重要性质及结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略条件应用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，否则会导致结论错误．2．忽视分母不等于零求解分式不等式时应注意正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≥0直接转化为f (x )·g (x )≥0，而忽略g (x )≠0.3．忽略等号成立的条件在连续使用基本不等式求最值时，应特别注意检查等号是否同时成立．1．(2018·天津卷，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y的最大值为( C )A ．6B ．19C ．21D ．45[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max＝3×2＋5×3＝21.故选C ．2．(2017·全国卷Ⅰ，7)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( D )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取最大值．由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3. 故选D ．3．(2017·全国卷Ⅱ，5)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( A )A ．－15B ．－9C ．1D ．9[解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A ．4．(2018·全国卷Ⅰ，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z＝3x ＋2y 的最大值为6.[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．(2018·全国卷Ⅱ，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为9.[解析] 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴ z max ＝5＋4＝9.6．(2018·天津卷，13)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为14.[解析] ∵ a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0时等号成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时取到等号．7．(2018·江苏卷，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9.[解析] 方法一：如图(1)， ∵ S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ， ∴12ac ·sin120°＝12c ×1×sin60°＋12a ×1×sin60°，∴ ac ＝a ＋c . ∴ 1a ＋1c＝1. ∴ 4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4ac ＋5 ≥2c a ·4ac＋5＝9. 当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时取等号．方法二：如图(2)，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，则D (1,0)， A ⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ，C ⎝⎛⎭⎫a 2，32a .又A ，D ，C 三点共线， ∴ c 2－1－32c ＝a 2－132a ，∴ ac ＝a ＋c . 以下同方法一．命题方向1 不等式的性质及解不等式例1 (1)(2018·保定一模)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0且a b >c >0得1a <1b ，所以c a <cb 成立，所以②恒成立；a ＋mb ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m >0且a 0恒成立，故③恒成立． (2)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f (x )≤9的解集为{x |x ≤12或x ≥3}，则f (e x )>0的解集为( D )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln2<x <ln3}C ．{x |x <ln3}D ．{x |－ln2<x <ln3}[解析] 由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f (x )>0的解集为{x |12<x <3}，又因为f (e x )>0，所以12<e x <3，解得－ln2<x <ln3.『规律总结』解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (3)有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解．G 跟踪训练en zong xun lian1．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．2．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( D ) A ．1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3[解析] 根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知选项D 中的不等式恒成立．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f (a )<0，f 2(a )＋f (a )≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f (a )≥0，－f 2(a )≤2 解得f (a )≥－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2解得a ≤ 2.命题方向2 基本不等式及其应用例2 (2018·徐州质检)设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使a ＋b ≥c 恒成立的c 的范围是( D )A ．(0,8]B ．(0,10]C ．(0,12]D ．(0,16][分析] c ≤a ＋b 恒成立，设a ＋b 的最小值为m ，则c ≤m .∵a 、b 为正实数，且1a ＋9b ＝1，故可用“1的代换”求a ＋b 的最小值．[解析] ∵a 、b 为正实数，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b )＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时等号成立，∴(a ＋b )min ＝16，要使c ≤a ＋b 恒成立，∵c 为正实数，∴0<c ≤16.『规律总结』1．用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．G 跟踪训练en zong xun lian1．若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值为3.[解析] 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n >0，且m 3＋n4＝1.所以m 3·n 4≤(m 3＋n42)2(当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取等号)．所以m 3·n 4≤14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.2．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( B )A ．1B ．32C ．2D ．52[解析] 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B ．命题方向3 线性规划问题例3 (1)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( B )A ．－4B ．6C ．10D ．17[解析] 如图，已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC (包含边界)，其中A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3,0)时，z 取得最小值2×3＋5×0＝6.(2)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( B )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)[解析] 本题主要考查线性规划．作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B ．『规律总结』1．线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．2．解决线性规划问题首先要画出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题可通过验证解决．3．确定二元一次不等式组表示的平面区域：①画线，②定侧，③确定公共部分；解线性规划问题的步骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最值等)．G 跟踪训练en zong xun lian1．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( B )A ．10B ．8C ．3D ．2[解析] 作出可行域如图，作直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，当经过可行域内的点A 时，－z 取最小值，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋1＝0，x ＋y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2.∴A (5,2)，∴z max ＝2×5－2＝8，故选B ．2．设z ＝2x ＋y ，其中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥m .若z 的最小值为3，则m 的值为( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25，表示的平面区域，由于z ＝2x ＋y 的最小值为3，作直线l 0：x ＝m 平移l 0可知m ＝1符合题意．A 组1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( D ) A ．a c >bdB ．a c b cD ．a d lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R )[解析] 应用基本不等式：x ，y >0，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1， x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152[解析] 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.4．(2017·长春一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >13}，则f (e x )>0的解集为( D )A ．{x |x <－1或x >－ln3}B ．{x |－1<x 或x >－ln3}C ．{x |x >－ln3}D ．{x |x <－ln3}[解析] f (x )>0的解集为{x |－1<x <13}，则由f (e x )>0得－1<e x <13，解得x <－ln3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln3}． 5．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( C )A ．4B ．9C ．10D ．12[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，|OP |2取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝22x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C ．6．(文)若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( D )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M (x ，y )与点P (－1,1)连线斜率的取值范围．由图可知w min ＝1－0－1－1＝－12，w max <1，∴w ∈[－12，1)．(理)已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( D )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[1,3]D ．[1,4][解析] 作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图阴影部分所示，易知当点M 为点C (0,2)时，OA →·OM →取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M 为点B (1,1)时，OA →·OM →取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]，故选D ．7．某企业生产甲、乙两种新产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( D )A ．12万元D ．18万元[解析] 设企业每天生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，不等式组表示的可行域是以O (0,0)，A (4,0)，B (2,3)，C (0,4)为顶点的四边形及其内部．根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( C )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2][解析] 因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C ．9．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( B )A ．14B ．12C ．1D ．2[解析] 画出可行域，如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)，得A (1，－2a )，则直线y ＝z －2x 过点A (1，－2a )时，z ＝2x ＋y 取最小值1，故2×1－2a ＝1，解得a ＝12.10．已知x ∈(0，＋∞)时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则m 的取值范围是( C ) A ．2－22<m <2＋2 2 B ．m <2 C ．m <2＋2 2D ．m ≥2＋22[解析] 令t ＝3x (t >1)，则由已知得函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋1的图象在t ∈(1，＋∞)上恒在x 轴的上方，则对于方程f (t )＝0，有Δ＝(－m )2－4(m ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，f (1)＝1－m ＋m ＋1≥0，解得m <2＋2 2.11．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( A )A ．5B ．10C ．15D ．20[解析] 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则OP 2＋OQ 2＝OM 2＝3，∴AC 2＋BD 2＝4(4－OP 2)＋4(4－OQ 2)＝20.又AC 2＋BD 2≥2AC ·BD ，则AC ·BD ≤10，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ≤12×10＝5，当且仅当AC ＝BD ＝10时等号成立．12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈[0，1)，4－2x ，x ∈[1，2]，若f (x 0)≤32，则x 0的取值范围是( C )A ．(log 232，54)B ．(0，log 232]∪[54，＋∞)C ．[0，log 232]∪[54，2]D ．(log 232，1)∪[54，2][解析] ①当0≤x 0<1时，2x 0≤32，x 0≤log 232，∴0≤x 0≤log 232.②当1≤x 0≤2时，4－2x 0≤32，x 0≥54，∴54≤x 0≤2，故选C ． 13．(2018·衡水中学高三调研)已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是(1e，e 2).[解析] ∵|f (1＋ln x )|<1，∴－1<f (1＋ln x )<1， ∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)，又∵f (x )在R 上为减函数， ∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2，∴1e<x <e 2. 14．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，且z ＝2x ＋3y 的最大值是5，则实数a 的值为1.[解析] 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z ＝2x ＋3y 过点A (a ，a )时，z ＝2x ＋3y 取得最大值5，所以5＝2a ＋3a ，解得a ＝1.15．(2018·赣州六校高三期末联考)若点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为2[解析] ∵点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上， ∴2m ＋n ＝2，∵1m ＋1n ＝(1m ＋1n )2m ＋n 2＝12(2＋2m n ＋n m ＋1)≥12(3＋22m n ·n m )＝32＋2，当且仅当2m n ＝nm ，即n ＝2m 时取等号，∴1m ＋1n 的最小值为32＋ 2. 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，－14)∪[1，＋∞).[解析] 对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，当x ≤1时，f (x )＝－(x －12)2＋14≤14；当x >1时，f (x )＝log 13x <0.则函数f (x )的最大值为14.则要使不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则m 2－34m ≥14恒成立，即m ≤－14或m ≥1.B 组1．(2018·山东菏泽一模)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( A )A ．9B ．8C ．4D ．2[解析] 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5.因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 2．(2018·天津二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >1(x －1)2＋2，x ≤1，则不等式f (1－x 2)>f (2x )的解集是( D )A ．{x |－1<x <－1＋2}B ．{x |x <－1或x >－1＋2}C ．{x |－1－2<x <1}D ．{x |x <－1－2或x >2－1}[解析] 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >1(x －1)2＋2，x ≥1，可得当x ≤1时，函数f (x )为减函数，则由f (1－x 2)>f (2x )可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2<2x ，2x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2<1，2x >1，解得x <－1－2或2－1<x ≤12或x >12，所以不等式f (1－x 2)>f (2x )的解集是{x |x <－1－2或x >2－1}．3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( B )A ． 3B ． 2C ．－2D ．－3[解析] 由约束条件可画可行域如图，解得A (2,0)，B (1,1)．若过点A (2,0)时取最大值4，则a ＝2，验证符合条件；若过点B (1,1)时取最大值4，则a ＝3，而若a ＝3，则z ＝3x ＋y 最大值为6(此时A (2,0)是最大值点)，不符合题意. (也可直接代入排除)4．(2018·德州模拟)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( C )A ．a 1，所以b >a ， a c ＝5ln 22ln 5＝ln 32ln 25＝log 2532>1，所以a >c ，故b >a >c .5．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( A ) A ．32B ．53C ．256D ．不存在[解析] 由a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q ，所以q 2－q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，因为a m a n ＝4a 1，所以a 21·qm＋n －2＝16a 21，所以m ＋n －2＝4，所以m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32，等号在n m ＝4mn，即n ＝2m ＝4时成立．6．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤1，则点P (2x －y ，x ＋y )表示区域的面积为( D )A ．34B ．43C ．12D ．1[解析] 令2x －y ＝a ，x ＋y ＝b ，解得⎩⎨⎧x ＝a ＋b 3，y ＝2b －a3，代入x ，y 的关系式得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≤0，a ≥0，a ＋b －3≤0，画出不等式组表示的平面区域如图．易得阴影区域面积S ＝12×2×1＝1.7．(2018·临沂模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( D )A ．[43，＋∞)B ．(0,1]C ．[1，43)D ．(0,1]∪[43，＋∞)[解析] 不等式组表示区域如图．由图可知，0<a ≤1或a ≥43.8．(2018·青岛一模)已知x ∈(0，π2)，且函数f (x )＝1＋2sin 2x sin2x的最小值为b ，若函数g (x )＝⎩⎨⎧8x 2－6bx ＋4，0<x ≤π4，－1，π4<x <π2，则不等式g (x )≤1的解集为( B )A ．(π4，π2)B ．[34，π2) C ．[34，32] D ．(π4，32][解析] 依题意知，当x ∈(0，π2)时，f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x ＝12(3tan x ＋1tan x )≥3tan x ·1tan x＝3，当且仅当3tan x ＝1tan x ，即tan x ＝33，x ＝π6时取等号，因此b ＝3，不等式g (x )≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤π48x 2－63x ＋4≤1①，或π4<x <π2解①得34≤x ≤π4，因此不等式g (x )≤1的解集是[34，π4]∪(π4，π2)＝[34，π2)． 9．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为{x |x <－lg_2}.[解析] 由题意知，一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，因为f (10x )>0，所以－1<10x <12，即x <lg 12＝－lg 2.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为(－∞，2].[解题提示] 根据分段函数的定义找出f (0)的表达形式，再利用f (0)是f (x )的最小值，求出a 的取值范围．[解析] 当x >0时，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数且f (1)＝2，当x 1、x 2∈[－1,1]，且x 1＋x 2≠0时，有f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0，若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1]、a ∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是[－1,1].[解析] ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，∴当x 1、x 2∈[－1,1]且x 1＋x 2≠0时， f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0等价于f (x 1)－f (－x 2)x 1－(－x 2)>0，∴f (x )在[－1,1]上单调递增．∵f (1)＝2，∴f (x )min ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1，1]恒成立，即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1,1]恒成立， ∴m 2－2am －3≤0，设g (a )＝m 2－2am －3，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3.∴－1≤m ≤1. ∴实数m 的取值范围是[－1,1]．12．(2017·天津卷，16)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解析] (1)由已知x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。

不等式及线性规划

不等式及线性规划1、比较大小常用方法0>-⇔>b a b a ；⇔<b a ；⇔=b a 。

2、不等式的性质3、重要不等式和基本不等式（1）如果0,0>>b a ，那么叫做这两个正数的算术平均数。

（2）如果0,0>>b a ，那么叫做这两个正数的几何平均数。

（3）重要不等式：R b a ∈,，则≥+22b a （当且仅当b a =时取等号）。

（4）基本不等式：0,0>>b a ，则，当且仅当b a =时取等号，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

拓展结论：如果0,0>>b a 时≤+b a 112≤+≤2b a ，当且仅当b a =时等号成立。

（5）如果0,,>c b a ，则≥++3c b a ，当且仅当时等号成立。

（6）如果0,,>c b a ，则≥++3222c b a ，当且仅当时等号成立。

4、绝对值不等式5、线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.（2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线0l .3.观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.（3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得题型一、不等式的性质1、如果c b a ,,满足0,<<<ac a b c ，那么下列不等式正确的是（）A 、ac ab >B 、0)(>-a b cC 、22ab cb <D 、0)(>-a c ac2、“d b c a +>+”是“d c b a >>,”的（）A 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、设R c b a ∈,,，b a >，则下列不等式中正确的是（）A 、b a 11 C 、2211cb c a +>+ D 、c b c a > 4、设)0,(,-∞∈b a ，则“b a >”是“bb a a 11->-”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、若21210,0b b a a <<<<，且2121b b a a +=+=1，则下列代数式中值最大的是（）A 、2211b a b a +B 、2121b b a a +C 、1221b a b a +D 、21 6、若52sin log ,2ln ,225.0π===c b a ，则（） A 、c b a >> B 、c a b >> C 、b a c >> D 、a c b >>7、如果a b m <<<0，则（）A 、m a m b a b m a m b --<<++cos cos cosB 、ma mb m a m b a b ++<--<cos cos cos C 、m a m b a b m a m b ++<<--cos cos cos D 、ab m a m b m a m b cos cos cos <--<++ 题型二、基本不等式及应用1、设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是。

线性规划与线性不等式

线性规划与线性不等式线性规划和线性不等式是运筹学中的重要概念和工具。

线性规划是一种数学方法，用于在一组线性约束条件下，寻找使目标函数最大或最小化的最佳解决方案。

而线性不等式则是用于描述一个或多个变量之间的约束关系，其形式为线性不等式表达式。

一、线性规划线性规划的基本形式可以表示为：$max\{c^Tx|Ax≤b, x≥0\}$其中，$c$是一个n维列向量，$A$是一个m×n矩阵，$b$是一个m维列向量。

这个问题的目标是找到一个n维向量$x$，使得目标函数$c^Tx$最大化，同时满足$Ax≤b$和$x≥0$。

线性规划的解可以通过各种算法获得，例如单纯形法和内点法等。

这些算法通过迭代的方式逐步逼近最优解，并且可以应用于许多实际问题，如资源分配、生产优化和投资组合等。

二、线性不等式线性不等式是一种形式为$Ax≤b$的约束条件，其中$A$是一个m×n矩阵，$b$是一个m维列向量。

线性不等式描述了变量$x$的取值范围，满足不等式条件的解集称为不等式的可行域。

线性不等式在很多领域都有广泛的应用，例如经济学中的供需关系、运输领域中的货物流动以及生产过程中的资源分配等。

通过分析线性不等式的解集，可以得到问题的可行解范围，为实际问题的决策提供参考。

三、线性规划与线性不等式的关系线性规划问题可以通过引入线性不等式约束来求解。

在线性规划中，约束条件$Ax≤b$可以包含各种不等式，如大于等于（≥）、小于等于（≤）和等于（=）等。

线性规划的最优解可以通过与约束条件$Ax≤b$的可行域相交，找到目标函数$c^Tx$最大化或最小化的解。

这意味着线性规划的最优解必须满足线性不等式约束条件。

例如，考虑一个线性规划问题：求解最大化目标函数$4x_1+3x_2$的最优解，同时满足以下约束条件：$2x_1+x_2≤8$$x_1+2x_2≤6$$x_1,x_2≥0$可以通过绘制不等式约束的可行域，并找到与目标函数相交的最优解。

线性规划与不等式的应用

线性规划与不等式的应用线性规划是一种优化问题的数学建模方法，常用于解决资源分配、生产调度、投资决策等实际问题。

而不等式则作为线性规划中的约束条件，限制了变量的取值范围和关系。

本文将介绍线性规划与不等式的应用，并探讨其在实际问题中的重要性。

1. 线性规划的基本概念和模型线性规划是一种以线性目标函数和线性约束条件为特点的优化问题。

在线性规划中，我们希望在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优值的变量取值。

线性规划模型可以表示为：$max\ c^Tx$$s.t.\ Ax \leq b$其中，$c$为目标函数的系数向量，$x$为决策变量向量，$A$为不等式约束条件的系数矩阵，$b$为不等式约束条件的常数向量。

2. 不等式约束的作用不等式约束在线性规划中起到了限制变量取值范围和关系的作用。

通过适当构建不等式约束条件，我们可以确保解空间满足实际问题的需求，同时排除无效的解。

例如，生产调度中的资源限制、投资决策中的预算限制等，都可以通过不等式约束来有效约束变量的取值范围，使整个线性规划模型更具实际意义。

3. 实际问题中的线性规划与不等式应用（1）资源分配问题在资源有限的情况下，如何将资源分配给不同的项目或部门，以最大化整体效益成为一个关键问题。

线性规划可以帮助我们建立资源分配模型，通过构建适当的目标函数和不等式约束条件，实现资源的最优分配。

（2）生产调度问题在生产过程中，如何安排不同产品的生产数量和时间，以及如何合理安排资源的利用，是一个重要的管理问题。

线性规划可以帮助我们解决生产调度问题，通过建立生产调度模型，确定最佳的生产计划，提高生产效率。

（3）库存管理问题对于有限的库存资源，如何合理管理库存水平和补货周期，以满足销售需求，同时降低库存成本，是企业面临的重要问题。

线性规划可以帮助我们优化库存管理，通过构建目标函数和不等式约束条件，确定最佳的库存水平和补货策略。

4.线性规划与不等式的挑战尽管线性规划和不等式在实际问题中具有广泛应用，但在解决复杂问题时，面临一些挑战。

高中数学不等式易错题型及解题技巧

高中数学不等式易错题型及解题技巧作者：李严来源：《亚太教育》2015年第22期摘要：分析高中不等式知识点易错题型，并分类总结，然后给出解题技巧并用实例加以说明，以期对高中不等式的教学起到一定的促进作用。

关键词：高中数学；不等式；易错题；解题技巧中图分类号：G634.6 文献标志码：A 文章编号：2095-9214（2015）08-0050-01不等式是高中数学重点和难点，每年在高考试卷中所占比例也较大，往往结合数列以压轴题的形式出现，是易错点之一，笔者结合自己的教学实践对不等式的易错题型进行了总结，并给出了一些解题技巧和思路。

1.与线性规划结合问题这类题型在高考数学中占比例较大，考察知识点较多，包括最值、定义域、面积计算等，若没有准确理解不等式及线性规划的性质，容易出错。

例1，已知不等式组y≤-x+2y≥kx+1x≥0所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k的值为？A：-1 B：-1/2 C：1/2 D：1此题的难点和易错点在于三条直线所的围成的图形示意图以及三角形面积的计算。

解题思路是先画出三条直线的示意图，如图1所示，然后把四个选项代入即可得答案为B。

解答此类题型的技巧主要有两个：a，求目标函数的最值问题，关键是准确画出可行域，理解目标函数的几何意义b，目标函数中设置参数，旨在增加探索问题的动态性和开放性，从目标函数的结论入手，从图形的动态分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解这类问题的主要思维方法。

2高次不等式的解法高次不等式易错点主要是容易遗忘特殊点（特殊区域）以及判断不准函数的升降。

解题思路：a，先在数轴上标出方程的3个零点，3个零点-3，2，4把数轴分成4个区间，如图2所示。

b，最右的第一区间为正，以后正负相间，在区间标明正负号c，不等式小于等于零的解找标有负号的区间，得解解答此类题型的技巧是擅长使用函数图线简图来划定区间，并注意一些特殊点。

3.含参不等式问题往往需要对参数进行分类讨论，选择合理的分类依据进行完成。

不等式组的解法与线性规划

不等式组的解法与线性规划不等式组是数学中常常出现的问题，在各个领域都有广泛应用。

解决不等式组的关键是找到满足所有不等式的解集。

本文将介绍不等式组的解法以及与之相关的线性规划问题。

一、不等式组的解法不等式组由多个不等式组成，解不等式组的目标是找到满足所有不等式的解集。

以下介绍几种常见的解法。

1. 图像法图像法是一种直观的方法，通过将不等式表示的区域绘制在坐标系中，观察交集部分即可得到解集。

以二元不等式组为例，将每个不等式表示的区域绘制在平面直角坐标系中，然后观察交集部分即为解集。

2. 代入法代入法是一种常见的解不等式组的方法。

通过将某个或几个不等式中的变量表示为其他变量的函数形式，然后代入到其他不等式中，可以简化不等式组，使得解集更容易得到。

3. 消元法消元法是应用代数运算，通过不等式的运算性质来简化不等式组，从而得到解集。

常见的消元法包括加法消元法和乘法消元法。

加法消元法通过将不等式相加来得到新的不等式，进而简化不等式组。

乘法消元法则通过将不等式相乘来得到新的不等式，从而简化不等式组。

二、线性规划与不等式组线性规划是一种常见的优化问题，其数学模型中常包含不等式组。

线性规划的目标是在一系列线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。

线性规划中的约束条件通常由不等式组表示，这些不等式描述了变量的取值范围。

通过将目标函数与约束条件构建成一个线性规划模型，可以使用各种数学方法求解最优解。

例如，一个简单的线性规划问题可以表示为：```Maximize C = 3x + 2ySubject to2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x, y ≥ 0```其中，C为目标函数，x和y为变量，不等式组为约束条件。

通过解这个线性规划问题，可以得到使目标函数C取得最大值的x和y的取值。

三、实例分析为了更好地理解不等式组的解法与线性规划的关系，我们来看一个简单的实例。

假设某公司生产两种产品，A和B。

方法技巧专题27不等式的性质与线性规划

方法技巧专题27不等式的性质与线性规划不等式的性质与线性规划不等式是数学中常见的一种关系符号，表示两个数之间的大小关系。

不等式的性质与线性规划密切相关，本文将详细介绍不等式的性质以及其在线性规划中的应用。

一、不等式的性质1.加法性和减法性：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

即不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式方向不会改变。

2. 乘法性：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac<bc。

即不等式两边同时乘以正数或负数，不等式方向不会改变，但乘以负数时不等号方向改变。

3. 乘法逆性：若a>b，c<0，则ac<bc；若a>b，c>0，则ac>bc。

即不等式两边同时乘以负数，不等式方向会改变。

4.除法逆性：若a>b，c>0，则a/c>b/c；若a>b，c<0，则a/c<b/c。

即不等式两边同时除以正数或负数，不等式方向不会改变，但除以负数时不等号方向改变。

5.绝对值不等式：若，a，<b，则-a<b<a。

即绝对值小于一些数的不等式，可以转化为在两个值之间的不等式。

6.平方不等式：若a^2<b^2，则-a<b<a。

即平方小于一些数的不等式，可以转化为在两个值之间的不等式。

二、线性规划线性规划是一种应用数学方法来解决最优化问题的技术，它总是涉及到一系列线性不等式和线性等式。

1. 线性不等式约束：线性规划问题通常会给出一组线性不等式约束条件，如ax+by≥c。

这些约束条件可以表示为半平面和相交线段的交集，称为可行域。

可行域内的点满足所有约束条件，是问题的解的可能范围。

2. 目标函数：线性规划问题需要最小化或最大化一个线性函数，即目标函数，如z=mx+ny。

目标函数表示了问题的目标，可以看作是一个平面，与可行域相交的点中，目标函数取最小或最大值的点就是问题的解。

高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题

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[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
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[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先点到直线变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将距离型问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三线性规划中的参数问题

不等式及线性规划课件

生产计划问题
企业需要根据市场需求、生产能力、成本等因素制定生产计划。通过整数线性规划，可以优化生产资源的配置，实现成本最小化或利润最大化。
物流配送问题
在物流配送领域，需要解决如何合理安排车辆、路线和配送时间等问题。利用整数线性规划，可以制定高效的配送计划，降低运输成本并提高服务质量。
投资组合优化
大规模问题，计算效率高。
内点法
内点法是一种求解线性规划问题的数值方法，通过在可行域内部搜索最优解。适用于某些特定类型的问题，如具有大量等式约束
的问题。
05
单纯形法求解线性规划问题
单纯形法基本原理
线性规划问题的标准形式
单纯形表
通过引入松弛变量和剩余变量，将一般形式的线性规划问题转化为标准形式。
定的整数组合决定。
分支定界法求解整数线性规划
分支策略
通过将问题分解为两个或多个子问题来缩小搜索范围，每个子问题对应原问题的一个子集。
定界策略
利用线性规划松弛问题的解来估计整数线性规划问题的最优解，从而排除不可能产生最优解的子问题。
分支定界法求解整数线性规划
分支定界法步骤 1. 求解原问题的线性规划松弛问题，得到最优解。
不等式及线性规划课件
目录
• 不等式基本概念与性质 • 一元一次不等式及其解法 • 一元二次不等式及其解法 • 线性规划基本概念与原理 • 单纯形法求解线性规划问题 • 整数线性规划及其应用
01
不等式基本概念与性质
不等式定义及表示方法
不等式的定义
表示两个量之间大小关系的数学表达式，常用符号有“<”、“>”、 “≤”、“≥”等。
一元二次不等式解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，判断一元二次不等式的解的情况。

不等式简单线性规划课件理ppt

不等式简单线性规划课件理ppt
xx年xx月xx日
不等式的概念及分类线性规划的基本理论线性不等式的解法线性规划问题的求解实际应用案例分析研究展望及未来发展趋势
contents
目录
不等式的概念及分类
01
不等式是表示两个数或两个量之间关系的式子，用“<”(小于)、“>”(大于)、“≤”(小于等于)、“≥”(大于等于)、“≠”(不等于)等符号连接两个数或量
03
利用MATLAB求解线性不等式，可以在命令窗口输入以下命令：`A*x<=b`，其中A是系数矩阵，x是变量向量，b是不等式右侧的常数向量。
利用Excel求解线性不等式，可以在Excel中输入相应的函数，如：`=solve(f,x)`，其中f是不等式表达式，x是变量。
线性不等式的求解方法
在生产计划中，线性不等式可以用来描述各个资源的约束条件，如人力、设备、时间等。
线性规划问题的求解
04
适用于变量较少的情况，通过绘制图形进行求解，直观易懂。
图解法
适用于大部分线性规划问题，利用单纯形法进行求解，简单易学。
单纯形法
在单纯形法的基础上进一步优化，可以有效解决对偶问题。
对偶单纯形法
线性规划问题的求解方法
03
金融投资
在金融投资领域，利用线性规划可以确定最优的投资组合和风险控制方案。
优化运输路径
根据运输距离、运输重量等因素，合理确定运输费用。
确定运输费用
运输问题
研究展望及未来发展趋势
06
完善不等式简单线性规划的理论体系
研究展望
拓展应用领域
加强算法优化
推进软件实现
随着不等式简单线性规划应用领域的不断拓展，其理论研究方向也将不断丰富和发展，涉及更广泛的应用背景和更复杂的数学模型。

不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析

线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义：（2）掌握简单的二元线性规划问题•的解法.（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法;（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问•题.（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1.目标函数：P =2x + y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数.2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:坐标为整数的点叫做整点.4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.5.整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一泄的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.2•确迫二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平而区域：否则，直线的另一侧为所求的平面区域.若直线不过原点，通常选择原点代入检验.3.平移直线y=-kx +P时，直线必须经过可行域.4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约朿条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提岀，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平而区域做岀可行域：（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一. 1.点P （xo, y0）在直线Ax+By+C=O上，则点P坐标适合方程，即Ax°+By°+C二02.点P （xo, yo）在直线Ax+By+C二0 上方（左上或右上），则当B>0 时,Axo+Byo+C>0;当B<0时,Axo+Byo+C<03.点P （xo, yo）在直线Ax+By+C二0 下方（左下或右下），当B>0 时，Ax0+By o+C<0;当弘0 时,Axo+By o+C>0注意：（1）在直线Ax+By+C二0同一侧的所有点，把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同，（2）在直线Ax+By+C二0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反，即：1 •点P（x“yJ 和点Q（x：,y=）在直线Ax+By+C 二0 的同侧，则有（Ax,+ByM）（Ax；+By：+C）>0 2•点P（x“yJ和点QgyJ在直线Ax+By+C二0 的两侧，则有（Ax,+ByM）（ Ax：+ByM）〈0二、二元一次不等式表示平面区域：①二元一次不等式Ax+By+C>0（或〈0）在平而直角坐标系中表示直线Ax+By乂二0某一侧所有点组成的平而区域.否包括边界；②二元一次不等式Ax+By+CNO （或W0）在平而直角坐标系中表示直线Ax+By+C二0某一侧所有点组成的平而区域且包括边界；注意：作图时，不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法：方法一:取特殊点检验；“直线定界、特殊点左域原因：由于对在直线Ax+By+C二0的同一侧的所有点（x, y）,把它的坐标（x, y）代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（xo, y0）,从Ax°+By°+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平而区域•特姝地，当CH0时，常把原点作为特殊点，当C二0时，可用（0, 1）或（1, 0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

高中数学：不等式与线性规划的实际应用问题

高中数学：不等式与线性规划的实际应用问题
线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题。

用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力。

某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，
由题意得即
目标函数为．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：作直线，即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．点的坐标为．
（元）．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，该公司的收益最大，最大收益是70万元。

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