北航数理统计期末考试题
概率论与数理统计期末考试试题(答案)
概率论与数理统计开/闭卷闭卷A/B 卷 A课程编号 2219002801—2219002811课程名称 概率论与数理统计学分 3基本题6小题，每小题5分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分,选错分）。
事件表达式A B 的意思是 ( ） ） 事件A 与事件B 同时发生 (B ） 事件A 发生但事件B 不发生） 事件B 发生但事件A 不发生 （D) 事件A 与事件B 至少有一件发生D ，根据A B 的定义可知。
假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( )） 是不可能事件 (B ） 是可能事件 C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 :选A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 （ ） A) 自由度为1的χ2分布 （B ） 自由度为2的χ2分布 ） 自由度为1的F 分布 （D) 自由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布.已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2，4),Y ～N （-2，1), 则（ ） X +Y ～P （4） (B ） X +Y ～U （2，4） （C) X +Y ~N （0,5) （D ） +Y ~N (0,3）C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X ）+E （Y ）D （X +Y )=D (X ）+D （Y )=4+1=5， 所以有X +Y ~N (0，5)。
样本（X 1,X 2，X 3）取自总体X ，E （X ）=μ， D (X ）=σ2， 则有( ） A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B ）1233X X X ++是μ的无偏估计） 22X 是σ2的无偏估计（D ） 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计:选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。
北航2015级硕士研究生数理统计参考答案(B层)
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11nk k x x n ==∑。
（1n n -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。
（(3.1,5.4)）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
北航数理统计答案
北航数理统计答案【篇一：北航数理统计考试题】术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?,?2)的样本，令t?x?x)，试证明t服从t-分布t（2）二、（6分，b班不做）统计量f-f(n,m)分布，证明1f的?（0?1）的分位点x?是1f1??(n,m)。
三、（8分）设总体x的密度函数为?(1??)x?,0?x?1p(x;?)??0,其他?其中???1，是位置参数。
x1，x2，…，xn是来自总体试求参数?的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体x的密度函数为?1?x???exp???，x???p(x;?)??????，??0,其它其中???????,?已知，??0,?是未知参数。
x1，x2，…，xn是来自总?体x的简单样本。
（1）试求参数?的一致最小方差无偏估计?；（2）?是否为?的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体n(?两样本相互独立，其中?设h0:?1??2,h1:?1??2,1221?,?1)2的,?2)的简单样本，且21,?1,?2,?222是未知参数，???22。
为检验假可令zi?xi?yi, i?1,2,...,n ,???1??2 ,则上述假设检验问题等价于h0:?1?0,h1:?1?0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平?下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，b班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，?0已知，?2未知，试求假设检验问题h0:?2,?)02的??0,h1:?22??02的水平为?的umpt。
七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、（6分）设方差分析模型为?xij????i??j??ij?2??ij服从正态总体分布n(0,?)且?ij相互独立??i?1,2,...,p;j?1,...,q?pq??和?满足??i?0,??j?0.j?ii?1j?1?总离差平方和pst?sa?sb?se中sa?q?(xi??x),x?i?1x??pqi?1j?11pqij,xi??1qijx?qj?1,且e(se)=(p-1)(q-1)?.?...??p?0的拒绝2试求e(sa)，并根据直观分析给出检验假设h0:?1??2域形式。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令)x x T -=，试证明T 服从t -分布t （2）二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。
三、（8分）设总体X 的密度函数为其中1α>-，是位置参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩，其它，其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。
（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧； （2）σ∧是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。
为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。
04北航概率期末试题
北京航空航天大学概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分:一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( )2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( )3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( )4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( )二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(a) r n r r n p p C ----)1(11； (b) r n r r n p p C --)1(； (c) 1111)1(+-----r n r r n p p C ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P .(ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ；(ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点；(ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.65. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) )(~/21n t n X -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-； (ｃ) )1,0(~/21N n X -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-. 二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f 则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得 样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为7. 设X 的分布律为 X 1 2 3P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表 6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1315.2)15(025.0=t975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 .二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ； 4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(xy x x x y f X Y ； 5. ),1(m F 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分) .998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分)2. ⎩⎨⎧>=-其他00)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f y Y μμ (1分) 0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21 (2分) )(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰ (2分) 所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ ] (2分) 3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i i X Y ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分) 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分) 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分) 4. 注意到()n i i X X n X X n X X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σn n X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze n n z X X E n n z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz en n z n n z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπn n -=nnσπn kn 2=令5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N n X U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (2分) 96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分) (2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分) [22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量 )1(~)(2202512--=∑=n X X i i χσχ，拒绝域为 488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或 711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分) 41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，[711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知 X 0 1 Y X + 0 1 2P p q P 2q pq 2 2p (2分))0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； ）分（2)1(2-=n n k π)1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P . 所以 Y X +与Z 相互独立. (5分)。
数理统计期末复习题
期末复习题 一、填空题(每空2分，共30分)1．已知随机变量X 的分布列如下,则常数a =_______。
X 1 2 3 4 5Pa 2a 0.3 0.3 0.12. 方差分析的前提条件是_________、__________和独立性。
3. 设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=3,D(Y)=6,则D （3X －Y ）＝ ________。
4. 设随机变量),(~p n B X ，()2,E X =() 1.2,D X = 则n = ______ ,p = ______。
5．正交试验中,若选用正交表)2(1516L ,共需要进行 次实验，最多可以安排 个因素 水平的试验。
6. 用P 值法进行检验时，若P 值α>，则结论应当是________0H 。
7．设总体X 服从正态分布N （μ，2σ），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。
若假设检验问题为2201H 1; H 1σσ≠：=：，则应采用 检验。
8. 估计量优劣的主要评判标准是________、________和一致性。
9. 设随机变量2~(1.5,)XN σ,且(1.5 2.5)0.19P X <<=，则(2)P X <=_______ （参考值：(0.5)0.69,(0.6)0.73,(1.25)0.89,(0.25)0.60φφφφ====）10.2S 可作为_______的点估计。
二、单选题(每题3分，共45分)1．某人连续向同一目标射击，每次命中目标的概率为3/5，他连续射击直到命中为止，则射击次数为4的概率是（ ）（A ）453）（ ， （B ）52533⨯）（， （C ）53523⨯）（， （D ）4115)53(52C ）（ 2．设~(0,1)X N ,()x φ为X 的分布函数，则(|2|3)P X ->是( )（A ）)1()5(φφ+， （B ）)1()5(1φφ+- ， （C ）)1(1)5(φφ-+， （D ）)1()5(2φφ-- 3. 某药物治愈率为0.4，现有5个病人服用该药，则5个人中有3个治愈的概率为（ ）（A ）236.04.0⨯ ， （B ）34.0 ， （C ）34.053⨯， （D ）23356.04.0⨯⨯C4. 设125,,...x x x 是来自(5,2)N 的简单样本,则()E x 和()D x 分别为（ ）（A ）5，2 （B ）5（C ）1，0.4 （D ）5，0.45. 在假设检验中，用α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法正确的是（ ）（A ）减少α，增加β （B ）增大α，β往往增大（C ）减少α，β往往增大 （D ）无法确定 6. 设n X X X ,,,21 为总体)3,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）（A ） )(~/31n t nX -； （B ） )1,(~)1(3112n F X ni i ∑=-；（C ） )1,0(~/31N nX -； （D ） )1(~)1(31221--∑=n X ni i χ7. 设总体2~(,)X N μσ,n x x x ,...,21是来自总体X 的简单样本，则下列估计量中，不是总体参数μ的无偏估计的是（ ）（A ）10.40.6n X X +（B ）i X （C ）123X X X +-（D ）12...n X X X +++ 8. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，使用u 统计量解决的问题是（ ）. (A) 已知方差，检验均值 (B) 未知均值，检验方差 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知方差，小样本，检验均值 9.单因素方差分析中，当F 值(1,)F k n k <--时，可以认为（ ）(A) 各样本均值都不相等 (B) 各总体均值不等或不全相等 (C) 各总体均值都不相等 (D) 各总体均值相等10.方差分析时使用的F 统计量是（ ）(A) 组间平方和除以组内平方和 (B) 组内平方和除以组间平方和 (C) 组间均方除以组内均方 (D) 组内均方除以组间均方 11.设事件A 与B 相互独立，则（ ）(A) A 与B 不能同时发生 (B) A 与B 一定能同时发生 (C) A 与B 相互独立 (D) A 与B 不独立 12. 甲、乙两人进行射击，A ，B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋂（ ） (A)两人都没射中目标 (B) 甲没射中，乙射中 (C)至少有一人没射中目标 (D) 至少有一人射中目标13. 对因素A 、B 、C 、D 用49(3)L 正交表安排试验，用直观分析法对试验结果进行正交分析和计算，所得因素A 、B 、C 、D 的极差分别为A R =25, B R =16,C R =23,D R =8，则各因素对试验结果的影响从大到小的次序为（ ）（A ）A 、B 、C 、D ； （B ）D 、B 、A 、C ； （C ）A 、C 、B 、D ； （D ）B 、D 、A 、C 14. 若两事件A 和B 相互独立，且满足()( ),()0.3,P AB P A B P A ==则()P B =（ ） （A ）0.4 （B ）0.5 （C ）0.6 （D ）0.715. 设A ，B 为随机事件，P （B ）＞0，P （A|B ）=1,则必有（ ）（A ）P(A ∪B)＝P （A ）， （B ）B A ⊂， （C ）P （A ）＝P （B ）， （D ）P （AB ）＝P （A ）三、解答题(共25分)（保留两位小数）(参考值：0.0250.051.961.65u u == 0.0250.05(24)2.06(24) 1.71t t ==)1. （5分）某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在0.85σ=，现抽取了一个容量为25n =的样本，测定其强度，算得样本均值为 2.25x =，试求这批化纤平均强度μ的置信水平为0.95的置信区间。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011 年12 月2007-2008学年第一学期期末试卷一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ，试证明T 服从t-分布t(2)二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。
F F1 (n,m) 。
三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1，是位置参数。
x1，x2，⋯，x n是来自总体X 的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ，xp(x; )0 , 其它其中, 已知，0, 是未知参数。
x1，x2，⋯，x n 是来自总体X 的简单样本。
1)试求参数的一致最小方差无偏估计；2) 是否为的有效估计？证明你的结论。
五、(6分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的简单样本，y1，y2，⋯，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。
为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，⋯，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。
七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、(6 分)设方差分析模型为总离差平方和试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。
专业学位研究生应用数理统计期末试题
专业学位研究⽣应⽤数理统计期末试题航天学院2019-2020学年第⼀学期专业学位研究⽣《应⽤数理统计》课程考试卷（A卷）考核形式：开卷部门：班级：姓名：说明：下列试题均可⽤SPSS软件计算，所有问题均要求提供纸质答案及电⼦答案。
最后⼀题要求提供数据⽂件.sav和输出⽂件.spv.⽤两种软件提供答案的试卷可适当加分。
2章参数估计⼀、随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：）设测试数据分别服从正态分布，在下列两种情况下讨论两总体均值差的区间估计。
（1）两总体⽅差相等；（2）两总体⽅差不等。
3章假设检验⼆、为研究长跑运动对增强普通⾼校学⽣⼼脏功能的效果,对某⾼校15名男⽣进⾏测试,经过5个⽉的长跑训练后看其晨脉是否减少。
锻炼前后的晨脉数据如下表所⽰。
试问锻炼前后的晨脉在显著性⽔平0.05下有⽆显著性差别。
4章⽅差分析三、为了研究⽕箭燃料和推进器对⽕箭射程的影响，选⽤了4种不同燃料和3种不同推进器，将他们相互搭配并在每⼀种搭配下做了两次试验，得到⽕箭射程（海⾥）数据如下表。
在显著性⽔平0.05下，试分析燃料、推进器以及燃料和推进器这两种因素的交互作⽤对⽕箭射程的影响是否显著？6章回归分析四、国家需要⼤⼒发展国际旅游⾏业以增加国家的外汇收⼊，外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 之间构成什么样的统计关系呢？根据2004年的中国统计年鉴，得到1985—2002年间的统计数据如下表：（1）试根据上述数据建⽴外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 之间的回归模型，并进⾏回归分析，对2003年和2004年的外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 进⾏预测。
（2）试查找2005-2016年间连续6年的国家的外汇收⼊与接待的旅游⼈数的相关统计数据，分析其是否符合（1）中的模型，如不符合，试建⽴新的回归模型。
（3）利⽤（2）中的回归模型对我国2017年（可验证）和2019年（预测）的外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 进⾏预测。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
北航《应用数理统计》考习题及参考解答
北航2010应用数理统计考试题及参考解答09B一、填空题每小题3分;共15分 1;设总体X 服从正态分布(0,4)N ;而1215(,,)X X X 是来自X 的样本;则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______. 解：(10,5)F ．2;ˆn θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______.解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3;分布拟合检验方法有_______与_______. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4;方差分析的目的是_______.解：推断各因素对试验结果影响是否显着．5;多元线性回归模型=+Y βX ε中;β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______. 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题每小题3分;共15分1;设总体~(1,9)X N ;129(,,,)X X X 是X 的样本;则___B___. A 1~(0,1)3X N -；B 1~(0,1)1X N -； C1~(0,1)9X N -；~(0,1)N ． 2;若总体2(,)XN μσ;其中2σ已知;当样本容量n 保持不变时;如果置信度1α-减小;则μ的置信区间____B___.A 长度变大；B 长度变小；C 长度不变；D 前述都有可能.3;在假设检验中;就检验结果而言;以下说法正确的是____B___. A 拒绝和接受原假设的理由都是充分的；B 拒绝原假设的理由是充分的;接受原假设的理由是不充分的；C 拒绝原假设的理由是不充分的;接受原假设的理由是充分的；D 拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4;对于单因素试验方差分析的数学模型;设T S 为总离差平方和;e S 为误差平方和;A S 为效应平方和;则总有___A___.A T e A S S S =+；B 22(1)AS r χσ-；C/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----；D A S 与e S 相互独立.5;在多元线性回归分析中;设ˆβ是β的最小二乘估计;ˆˆ=-εY βX 是残差向量;则___B____.A ˆn E ()=0ε；B 1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X； Cˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计；DA 、B 、C 都对.三、本题10分设总体21(,)XN μσ、22(,)YN μσ;112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本;且两个样本相互独立;X Y 、和22XY S S 、分别是它们的样本均值和样本方差;证明12)(2)X Y t n n +-;其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+;(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--;22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、本题10分设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（未知;12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本;X 是样本均值;1求参数；的矩估计量θθˆ2证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：1101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰; 令()X E X =;代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-．2222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦;因为()00D X θ≥>，;所以22 (4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、本题10分设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布;12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本;试求参数θ的极大似然估计．解：X 的密度函数为 似然函数为显然0θ>时;()L θ是单调减函数;而{}12max ,,,n x x x θ≥;所以{}12ˆmax ,,,nX X X θ=是θ的极大似然估计．六、本题10分设总体X 服从(1,)B p 分布;12(,,)n X X X 为总体的样本;证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件;于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦． 另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===; 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量;故X 是p 的一个UMVUE ．七、本题10分某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ;由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器;用它对该区进行磁测;抽测了16个点;得261, 400x s ==;问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异α=0.05．附表如下：t 分布表χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=;确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α;定出临界值1315.2025.02/==t t α;从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ;从而||0.8 2.1315t ===<;接受假设0H ;即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、本题10分已知两个总体X 与Y 独立;211~(,)X μσ;222~(,)Y μσ;221212, , , μμσσ未知;112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本;求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 ,[]/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-;则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭; 所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、本题10分试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．。
数理统计 期末试题及答案
数理统计期末试题及答案注意事项：本文为数理统计期末试题及答案，按照试题的要求，将试题和答案进行整理和排版，以便学生们参考和复习。
以下为试题及答案的详细内容。
一、选择题1. 下列哪个统计图可以用于表示定性变量的分布情况？A. 饼图B. 直方图C. 线图D. 散点图答案：A2. 假设某地区的年降雨量服从正态分布，平均降雨量为50mm，标准差为10mm。
设有一天的降雨量为X，X~N(50,10^2)，则P(X≥60)等于多少？A. 0.1587B. 0.3413C. 0.5000D. 0.8413答案：D3. 在一场篮球赛中，甲队的命中率为75%，乙队的命中率为80%。
已知甲队共投篮20次，乙队共投篮30次。
问：甲队在这场比赛中命中球的次数比乙队多多少次？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 某投资公司第一天投资100万美元，以后每天投资额为前一天的1/4。
设投资额构成一个等比数列，求该公司的总投资额。
A. 200万美元B. 240万美元C. 250万美元D. 300万美元答案：C5. 一个城市中共有A、B、C三个医院，过去一年中A医院门诊病人数占总病人数的1/3，B医院门诊病人数占总病人数的1/4，C医院门诊病人数占总病人数的1/6。
如果某天随机选择一位门诊病人，那么他就诊于C医院的概率是多少？A. 1/6B. 1/5C. 1/4D. 1/3答案：A二、计算题1. 设X为正态分布随机变量，已知X~N(50,16)，求P(45≤X≤55)。
答案：要求P(45≤X≤55)，可以使用标准正态分布表计算。
先求得标准化后的值：(45-50)/4=-1.25，(55-50)/4=1.25。
查表可得P(-1.25≤Z≤1.25)=0.7881-0.1056=0.6825。
故P(45≤X≤55)≈0.6825。
2. 甲、乙两人独立地各自以相同的速率生产零件，甲人生产的零件平均每小时有2个次品，乙人生产的零件平均每小时有3个次品。
概率论与数理统计期末考试题及答案
一、 填空题（每空 3 分，共 45 分）
1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A ) = 0.85, 则 P(A| B ) =
。
P( A∪ B) =
。
1 2、设事件 A 与 B 独立， A 与 B 都不发生的概率为 ， A 发生且 B 不发生的概率与 B
0.530 ‰， 0.542 ‰， 0.510 ‰， 0.495 ‰， 0.515 ‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定
( 0.05 )？
解： H 0 : a 0.5 （ ‰ ）， H 1 : a 50.
拒绝域为：
x 0.5
0{
5
s
t0.95 (4)}
计算 x 0.5184, s 0.018
, 概率 P { 0.5 X 1}
；
5、设随机变量 X~ B(2 ，p) 、 Y~ B(1 ， p)，若 P { X 1} 5 / 9 ，则 p =
，
若 X 与 Y 独立，则 Z=max(X,Y) 的分布律： 6、 设 X ~ B (200, 0.01), Y ~ P (4), 且 X 与 Y 相互独立，则 D(2X-3Y)=
附表：
u 0.975 1.96 , u 0.95 1.65, t 0.975 ( 4 ) 2.776, t 0.95 ( 4 ) 2.132, t 0.975 (5) 2.571, t 0.95 ( 4 ) 2.015
答 案（模拟试题一）
四、 填空题（每空 3 分，共 45 分）
1、 0.8286 ， 0.988 ； 2、 2/3 ；
4
|y| 2
0,
其它
2）显然， ( x , y ) X ( x ) Y ( y ) ，所以 X 与 Y 不独立。
北航数理统计期末考试题
北航数理统计期末考试题材料学院研究⽣会学术部2011 年12 ⽉2007-2008学年第⼀学期期末试卷⼀、(6 分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来⾃正态总体N( , 2) 的样本，令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ，试证明T 服从t-分布t(2)⼆、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。
F F1 (n,m) 。
三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1，是位置参数。
x1，x2，?，x n是来⾃总体X 的简单样本，试求参数的矩估计和极⼤似然估计。
四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ，xp(x; )0 , 其它其中, 已知，0, 是未知参数。
x1，x2，?，x n 是来⾃总体X 的简单样本。
1)试求参数的⼀致最⼩⽅差⽆偏估计；2) 是否为的有效估计？证明你的结论。
五、(6分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来⾃正态总体N( 1, 12) 的简单样本，y1，y2，?，y n 是来⾃正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独⽴，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。
为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，?，z n，在显著性⽔平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，?，x n是来⾃正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的⽔平为的UMPT。
七、(6 分)根据⼤作业情况，试简述你在应⽤线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些⽅⾯？⼋、(6 分)设⽅差分析模型为总离差平⽅和试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。
北京航空航天大学大二公共课专业概率论与数理统计试卷及答案
北京航空航天大学2021 学年概率论与数理统计第一学期期末一、单项选择题〔每题3分，总分值18分〕1、设随机变量),0(~2i i N X σ,2,1=i,则以下说法中正确的选项是〔 〕。
〔A 〕12(,)X X 必服从二维正态分布； 〔B 〕12()0E X X =； 〔C 〕221212()()X X σσ+服从2(2)χ分布； 〔D 〕12()0E X X += 。
2、设随机变量X 存在数学期望EX 和方差0DX ≠,则对任意正数ε,以下不等式成立的是〔 〕。
〔A 〕2{||}DXP X EX εε-≥>； 〔B 〕2{||}1DXP X EX εε-<<-〔C〕21{||P X EX εε-≥≤； 〔D 〕||{||}kkE X EX P X εε-≥≤,(1)k ≥。
3、设1,,n X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，当c =〔 〕时，222ˆˆX c μσ=+是2μ的无偏估计， 其中∑==n i i X n X 11，2211ˆ()1n i i X X n σ==--∑ 。
〔A 〕11n -- ， 〔B 〕11n - ， 〔 C 〕 1n - ， 〔 D 〕1n。
4、设随机变量),(~2σμN X ,则4||E X μ-=〔 〕.(A) 4σ； (B) 42σ； (C) 46σ； (D) 43σ 。
5、设B A ,为任意两事件,则以下关系成立的有( )(A) A B B A =-+)( ;(B) ()A B B A B +-=- ;(C) A B B A =+-)( ;(D) ()A B B AB -+=.6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：〔A 〕4190 ;〔B 〕12；〔C 〕4090；〔D 〕3290。
二、填空题〔每题3分，总分值18分〕1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为 。
数理统计期末考试试题答案
1. Let n X X X ,,,21 be a random sample from the ),(βαGamma distributionβααβαβαxe x xf --Γ=1)(1),|(, 0>x , 0>α, 0>β.(a) ( 8 %) Find the method of moment estimates of α and β. (b) ( 7 %) Find the MLE of β, assuming α is known.(c) ( 7 %) Giving 0>α, find the Cramer-Rao lower bound of estimates of β. (d) ( 8 %) Giving 0>α, find the UMVUE of β.2. Suppose that n X X X ,,,21 are iid ~),2(p B , )1,0(∈p . Let )1(2)(p p p -=τ.(a) ( 5 %) Show that ∑==ni i X T 1 is a sufficient statistic for p .(b) ( 5 %) Let ⎩⎨⎧≠==1 if ,01if ,111X X Y . Show that Y is an unbiased estimate of )(p τ.(c) (10%) Find the UMVUE W of )(p τ.3. Let n X X X , , ,21 be a random sample from a )(λPoisson ,0>λ, distribution. Consider testing 1:0=λH vs 3:1=λH . (a) (10%) Find a UMP level α test, 10<<α.(b) ( 7 %) For 3=n , the test rejects 0H , if 5321≥++X X X .Find the power function )(λβ of the test.(c) ( 8 %) For 3=n , the test rejects 0H , if 5321≥++X X X .Evaluate the size and the power of the test.4. (10%) Let n X X X , , ,21 be iid )(ΛPoisson distribution, and let the priordistribution of Λ be a ),(βαGamma distribution, 0>α, 0>β. Find the posterior distribution of Λ.5. Let n X X X , , ,21 be a random sample from an exponential distribution with meanθ,0>θ. (a) ( 5 %) Show that ∑==ni i X T 1 is a sufficient statistic n for θ.(b) ( 5 %) Show that the Poisson family has a monotone likelihood ratio, MLR. (c) ( 5 %) Find a UMP level α test of 10:0≤<θH vs 1:1>θH by theKarlin-Rubin Theorem shown below.[Definition] A family of pdfs or pmfs }|)|({Θ∈θθt g has a monotone likelihood ratio,MLR, if for every 12θθ>, )|()|(12θθt g t g is a monotone function of t .[Karlin-Rubin Theorem] Suppose that T is a sufficient statistic for θ and the pdfs orpmfs }|)|({Θ∈θθt g has a non-decreasing monotone likelihood ratio. Consider testing 00:θθ≤H vs 01:θθ>H . A UMP level α test rejects 0H if and only if 0t T >, where )(00t T P >=θα.數理統計期末考試試題答案1. (a) Since αββαβαβαααβαα=Γ+Γ=Γ=+∞-⎰)()1()(1)(10dx e x X E xand22012)1()()2()(1)(βααβαβαβαααβαα+=Γ+Γ=Γ=+∞-+⎰dx e xX E x,Let αβ=1m and 22)1(βαα+=m ⇒αα1212+=m m ⇒ 21221~m m m -=α, 12121~~m m m m -==αβ. Furthermore, X m =1,2122212212)1()(11S nn X X n X X n m m ni i ni i -=-=-=-∑∑==, The MME of α.and β are 22)1(~Sn X n -=α, X n S n 2)1(~-=β(b) βααβααβαβααβ∑--=--==∏Γ=Γ∏=ni iix i ni n x i ni ex e x x L 1)(])([1])(1[)~,|(1111⇒ βαβαααβ∑∑==--+-Γ-=ni ni i x x n n x L 111ln )1(ln )(ln )~,|(lnLet 01)~,|(ln 12=+-=∂∂∑=n i i x n x L ββααββ ⇒ ααβx x n ni i ==∑=11ˆ. Furthermore, 32132222ln 2)~,|(ln ββαββααββx n n x n x L n i i -=-=∂∂∑= ⇒02ˆ2ˆ)~,|ˆ(ln 233222<-=-=-=∂∂x n x x n x n x n n x L ββααββ, So, αβX =ˆ is the MLE of β. (c) 232132222)2()]~,|(ln [βαβαββαββααββββn n n X n E x L E n i i =+-=+-=∂∂-∑=⇒ CRLB =αβαβββn x L E 222)]~,|(ln [1=∂∂- (d) Since βααβα==)(XE , αβX =ˆ is an unbiased estimate of β, and===αβαβααn nXVar 2221)(CRLB, αβX =ˆ is the UMVUE of β. [Or] βααβαβαxe x x I xf --∞Γ=1),0()()(1),|()]1(exp[)()(11),0(ββααα-Γ=-∞x x x I⇒ Given α, )}|({βx f is an exponential family in β.⇒ ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic for β.Since ααβn T X ==ˆ is an unbiased estimate of β and a function of sufficient statistics T , by Rao-Blackwell Theorem, αβX =ˆ is the UMVUE of β.2. (a) ∏∏==--⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ni n i x x ii i n i i p p x I x p x f p x x x f 112}2,1,0{21])1()(2[)|()|,,,( n x n i i i n i x i i p p p x I x p p p x I x ni i i 21}2,1,0{12}2,1,0{)1()1]()(2[])1()1)((2[1--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑===∏∏ Let n x T p p p p x T g 2)~()1()1()),~((--= and )(2)(}2,1,0{1i n i i x I x x h ∏=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. By factorization theorem, ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic for p .[Or] )]1ln(exp[)1()(2)1()(2)|(2}2,1,0{2}2,1,0{p p x p x I x p p x I x p x f x x --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- ⇒ )}|({p x f is an exponential family ⇒ ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic.(b) )1(2)1(12)1(0)1(1)(12111p p p p X P X P Y E -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≠⋅+=⋅=-, so Y is an unbiased estimate of )(p τ. (c) If n X X X ,,,21 , N n ∈, are iid ~),2(p B , then ),2(~1p n B X T ni i ∑==.⇒ )()1 & 1()()& 1()()& 1()|(211t T P t X X P t T P t T X P t T P t T Y P t T Y E ni i =-============∑=t n t t n t ni i p p t n p p t n p p t T P t X P X P ----=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-===∑212121)1(2)1(122)1(2)()1()1( )12()2()!2()!2(!)!12()!1()!22(2--=-----=n n t n t n t n t t n t n , n t 2,,2,1,0 =.By Rao-Blackwell Theorem, )12(2)()|(--==n T n T T Y E W is the UMVUE of λλτ-=e )(.3. (a) By Neyman-Pearson Lemma, a UMP level α test rejects 0H if and only if)1|,,,()3|,,,(2121=>=λλn n x x x kf x x x f .⇔ ])!(1[])!(3[1131-=-=∏>∏e x k e x i x n i i x ni ii ⇔ n x ke i 23>∑ ⇔ k n x n i i ln 23ln )(1+>∑= ⇔c kx ni i =+>∑=3ln ln 21 Since)(~1λn Poisson X ni i ∑=, a UMP level α test rejects0H if and only ifc X ni i >∑=1, where c is the smallest integer satisfying α≤-∞+=∑nc i i e i n 1!. [Or] ∑==ni i X T 1is sufficient for λ and )(~λn Poisson T .By the corollary of Neyman-Pearson Lemma, a UMP level α test rejects 0H if and only if )1|()3|(=>=λλt kg t g .⇔ 13!1!3-->e t k e t t t ⇔ 23ke t > ⇔ k x ni ln 23ln )(11+>∑=(b) )4(1)5()(321321≤++-=≥++=X X X P X X X P λλλβλλλλλλ343210]!4)3(!3)3(!2)3(!1)3(!0)3([1-++++-=e, 0>λ (c) The size of this test is 1847.0]!43!33!23!13!03[1)1(343210=++++-=-e β The power of this test is 9450.0]!49!39!29!19!09[1)3(943210=++++-=-e β 4. Since ∑==ni i X T 1 is sufficient for λ and )(~λn Poisson T .λλλλn tT e t n t f -=!)()|(|; and βλααλβαλ--ΛΓ=e f 1)(1)(⇒ βλααλλβαλλ---Γ=e e t n tf n t1)(1!)(),(λβααλβα)1(1)(!+--+Γ=n t tet n, 0>λ⇒ ααλβααββαβαλλβα+∞+--+++ΓΓ=Γ=⎰t tn t tT n t t n d et nt f )1)(()(!)(!)(0)1(1⇒ αλβαααλβααββαλββαβαλβαλλ++--+++--+Λ++Γ=++ΓΓΓ==t n t t t n t tT t n t e n t t n et nt f t f t f )1)(()1)(()(!)(!)(),()|()1(1)1(1|, 0>λThe posterior distribution of Λ is )1,(++ββαn t Gamma .5. (a) )(1))(1()|()|,,,(),0(111),0(211i n i x n ni ni i x i n x I e x I e x f x x x f i ∞=∑-==∞-∏===∏∏θθθθθθLet θθθ)~(1)),~((x T n ex T g -= and )()~(),0(1i n i x I x h ∞=∏=. By factorization theorem, ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic for θ.[Or])]1(exp[1)()(1)|(),0(),0(βθθθθ-==∞∞-x x I x I e x f x⇒ )}|({θx f is an exponential family.⇒ ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic.Since ααβn T X ==ˆ is an unbiased estimate of β and a function of sufficient statistics T , by Rao-Blackwell Theorem, αβX =ˆ is the UMVUE of β. (b) )(~1λn Poisson X T ni i ∑== ⇒ λλλn t et n t g -=!)()|(, ,2,1,0∈t ⇒ )(1212121212!)(!)()|()|(λλλλλλλλλλ----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n t n t n t e e t n et n t g t g If 12λλ> ⇒ 112>λλ ⇒ )|()|(12λλt g t g is an increasing function of t ,Hence }0|)|({>λλt g of T has MLR. (c) ),(~1θn Gam m a X T ni i ∑== ⇒ θθθtn ne t n t g --Γ=1)(1)|(, 0>t⇒tn tn n tn n e e t n e t n t g t g )11(211112121212)(1)(1)|()|(θθθθθθθθθθ------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΓΓ=, 0>t If 12θθ> ⇒ 0)11(211212>-=--θθθθθθ ⇒ )|()|(12θθt g t g is increasing in t .Hence }0|)|({>θθt g of T has an MLR.By Karlin-Rubin Theorem, the UMP size α test rejecting 0H if c X T ni i >=∑=1, where csatisfies that αθ==>∑=}1|{1c X P ni i ; i.e.,α=Γ⎰∞--cxn dx e x n 1)(1.。
（完整版）数理统计考试题及答案
（完整版）数理统计考试题及答案1、离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y 相互独⽴的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ?=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1µσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1µσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n⼆、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=612)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σµN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则≤-= ≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01) 0a x x α?+<，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极⼤似然估计量。
04北航概率期末试卷
北京航空航天大学概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分:一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( )2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( )3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( )4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( )二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(a) r n r r n p p C ----)1(11； (b) rn r r n p p C --)1(；(c) 1111)1(+-----r n r r n p pC ； (d) r n r p p --)1(.2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P .(ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ；(ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点；(ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.65. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) )(~/21n t nX -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-；(ｃ) )1,0(~/21N nX -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-.二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为7. 设X 的分布律为X 1 2 3P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 .二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ；4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(xy x x x y f XY；5. ),1(m F6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 .四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分)2. ⎩⎨⎧>=-其他0)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他)(y e y f y Y μμ (1分)时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分)0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21(2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i iXY ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分)6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze nn z X X E nz i 222121|||)(|σσπ-∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn122-=σ令=）分（2)1(2-=n n k π5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg .[ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量)1(~)(222512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，[711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分)五、证明题 (7分) 由题设知0 1 YX+0 1 2P p22p(2分)q P2q pqXY=P+ZXP；=YZqP()0)0=)0,0((3=+==XYPP+ZY=P；XZpq)0)1(=)1,0((2====+YPX=+ZY=P；ZpqPX(2)1(=)0)0,1+=(2==XY+Z=PPY=P；XZpq=2()1)1)1(=,1+=(2=XP+ZPYY=P；XZpq,2()2(=)0)0==+(2==X+ZPPYY=P.XZp(3=()2()1=)1=,2=+=X+与Z相互独立. (5分)所以Y。
数理统计期末试题
数理统计期末试题数理统计期末试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：数理统计期末练习题1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少2．设n x x ,,1 是来自)25,( N 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(| x P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求)2.0|(| y x P .5.设161,,x x 是来自),(2 N 的样本,经计算32.5,92s x ,试求)6.0|(| x P .6.设n x x ,,1 是来自)1,( 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0 ,有)|(|c x .7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 )1(X9．设21,x x 是来自),0(2N 的样本,试求22121 x x x x Y 服从分布.10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得.05.0)()()(221221221k x x x x x x11．设n x x ,,1 是来自),(21N 的样本,m y y ,,1 是来自),(22 N 的样本,c,d是任意两个不为0的常数,证明),2(~)()(2221m n t s y d x c t md nc 其中22222,2)1()1(y x yx s s m n s m s n s 与分别是两个样本方差.12．设121,,, n n x x x x 是来自),(2N 的样本,11,n n i i x x n _2211(),1n n i n i s x x n 试求常数c 使得1n nc nx x t cs 服从t 分布,并指出分布的自由度。
数理统计学期末考试卷子
数理统计学期末考试卷子一、选择题1. 下列哪个不是统计学的基本概念？A. 总体B. 样本C. 中位数D. 方差2. 相对频率是指：A. 某个数出现的次数B. 某个数出现的频率C. 某个数在总数中的比例D. 某个数的个数3. 样本容量越大，样本均值的估计：A. 变得更加准确B. 变得更加不准确C. 与总体均值无关D. 无法估计4. 统计学中经常使用的分布是：A. 泊松分布B. 正态分布C. 二项分布D. 均匀分布5. 样本方差的计算公式为：A. (Σxi - μ)^2B. Σ(xi^2)C. Σ(xi - μ)^2 / nD. Σ(xi - μ)^2 / (n-1)二、计算题1. 有一个班级30名学生，他们期末考试成绩如下：（单位：分）85, 90, 78, 92, 88, 75, 80, 85, 86, 79, 84, 93, 87, 88, 82, 81, 77, 83, 94, 89, 87, 84, 85, 79, 91, 76, 80, 83, 86, 90请计算这30名学生的平均分、中位数和方差。
2. 一家公司的员工月薪数据如下：（单位：元）5000, 6000, 5500, 5800, 6200, 6500, 5800, 5700, 5300, 5900请计算这些员工的平均工资、工资中位数和工资标准差。
三、简答题1. 什么是正态分布？正态分布有什么特点？2. 请解释什么是中心极限定理？它对数理统计学有什么重要意义？3. 为什么要使用抽样调查？抽样调查有什么优点和局限性？四、推断题1. 一项调查显示，某电商平台的用户年龄分布呈正态分布，平均年龄为35岁，标准差为5岁。
现在随机抽取10名用户，请根据这10名用户的年龄推断这家电商平台的用户年龄情况。
2. 一份问卷调查显示，80%的受访者认为某品牌的产品质量很好。
现在随机抽取100名受访者，请根据这100名受访者的回答推断整体受访者对产品质量的看法。
04北航概率期末试卷
北京航空航天大学概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分:一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( )2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( )3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( )4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( )二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(a) r n r r n p p C ----)1(11； (b) rn r r n p p C --)1(；(c) 1111)1(+-----r n r r n p pC ； (d) r n r p p --)1(.2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P .(ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ；(ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点；(ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.65. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) )(~/21n t nX -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-；(ｃ) )1,0(~/21N nX -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-.二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为7. 设X 的分布律为X 1 2 3P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 .二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ；4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(xy x x x y f XY；5. ),1(m F6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 .四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分)2. ⎩⎨⎧>=-其他0)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他)(y e y f y Y μμ (1分)时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分)0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21(2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i iXY ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分)6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze nn z X X E nz i 222121|||)(|σσπ-∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn122-=σ令=）分（2)1(2-=n n k π5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg .[ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量)1(~)(222512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，[711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分)五、证明题 (7分) 由题设知0 1 YX+0 1 2P p22p(2分)q P2q pqXY=P+ZXP；=YZqP()0)0=)0,0((3=+==XYPP+ZY=P；XZpq)0)1(=)1,0((2====+YPX=+ZY=P；ZpqPX(2)1(=)0)0,1+=(2==XY+Z=PPY=P；XZpq=2()1)1)1(=,1+=(2=XP+ZPYY=P；XZpq,2()2(=)0)0==+(2==X+ZPPYY=P.XZp(3=()2()1=)1=,2=+=X+与Z相互独立. (5分)所以Y。