四川省绵阳市东辰国际学校2017届高三下学期第四次月考

绵阳东辰学校2014级高三（下）数学第四次月考文科试题满分：150分 时间：120分钟第 I 卷（60分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（改编）设集合{}2|20M x x x =->，集合{}0,1,2,3,4N =，则N M ⋂等于（ ）A ．{}4B ．{}3,4C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3,4 2.（改编）已知i 是虚数单位，复数11z i i=+-，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．32 C ．i 23D ．23.（改编）设2:log 0p x <，33:≥xq ，则p 是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件 4.（改编）已知角θ的终边过点()2,3，则=+)411tan(θπ（ ） A ．15-B ．15C ．5-D ．5 5.（原创）已知312-=a ，341log =b ，52log =c ，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 6.（改编）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为（ ）A ．38B ．48C ．8D ．16 7.（改编） 已知等差数列{}n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若244n S an n a =++-（a R ∈），则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．48.（改编）向量a ,b 满足||23||a b a +=，且()0a b a -⋅=，（ ）A ．0 B ．13 C ．12 D ．29. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 10.（改编）设0x 为函数x x f πsin )(=的零点，且满足2017)21(00<++x f x ，则这样的零点有（ ）A ．4030个B ．4031个C ．4032个D ．4033个11.（原创）过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点F作倾斜角为α的直线交椭圆x 轴上方于一点P ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈65,32ππα，()+=21，22b a -=，则椭圆离心率的最大值为（ ）A ．213- B ．21 C.23 D ．221-12.（改编）设点()()11,M x f x 和点()()22,N x g x 分别是函数()212xf x e x =-和()1g x x =-图象上的点，且120,0x x ≥>，21x x ≠，若不等式k MN x x ≥≥-21对任意2121,0,0x x x x ≠>≥恒成立, 则k 的最大值为（ ） A ．22ln 2- B ． 42ln 2- C ．2 D ．0 第 II 卷（90分）二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（改编）《九章算术》是我国古代内容记为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积⨯=645V （底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中圆周率π的取值为 ．14.（改编）已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若y x z +=3，则z 的最小值为15.（原创）已知平面直角坐标系内二定点)0,2(),0,1(B A -，动点P 到B 的距离是到定点A 的距离的两倍，记动点P 的轨迹为曲线E ，过点)1,2(-Q 的动直线l 与曲线E 交于点D C ,，当CD 取最小值时，直线l 的方程为 16.（原创）已知)2,2(ππ-∈x ，函数)(x f y =满足：x e x x f x x f =-sin )(cos )(/，2)0(=f ，令1cos 1)()(+-=x x f x F ，若方程0)4()(2=-++m x x F π在)2,2(ππ-∈x 有两个不等的实数根，则实数m 的范围为三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（改编）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且22()(2b a c ac --=． （1）求角B 的大小；（2）若数列{}n a 是等差数列，且1cos21a B =，24a =，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．（改编）在东辰学校的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x （单位：个，60110x ≤≤）表示面包的需求量，T （单位：元）表示利润．（Ⅰ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率(例如：若需求量[60,70)x ∈，则取65x =，且65x =的概率等于需求量落入[60,70)的频率)，求食堂每天面包需求量的平均数．（Ⅱ）求T 关于x 的函数解析式；（III ）根据直方图估计利润T 不少于100元的概率；19．（改编）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45°， AD =AC =1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，M 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ； （Ⅱ）求证：PA BC ⊥20（原创）已知抛物线)0(22>=p py x 的焦点为)1,0(F ，B A ,为抛物线上不重合的两动点，B A ,的中点Q ，O 为坐标原点，4.-=，过B A ,作抛物线的切线21,l l ，直线21,l l 交于点M ；（1）求抛物线的方程（2）问：直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由 （3）求线段QM 距离的最小值21.（改编）已知函数()()()()ln 1,11xf x m xg x x x =+=>-+. （1）当1=m 时，求函数)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程。

（1）讨论函数()()()F x f x g x =-在()1,-+∞上的单调性；（2）若()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值.请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(R α∈，α为参数)，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 50ρθθ-=.(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值.23. 已知函数()()21f x x a x a R =-+-∈. (Ⅰ)当1a =时，求()2f x ≤的解集；(Ⅱ)若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.绵阳东辰学校2014级高三（下）数学第四次月考文科答案1-5：BBABC 6-10：CDBCB 11-12：BC13. 2.3 14.-8 15. 1=y 16.),21(4+∞+∈-πem17．（1）6B π=（2）1n nS n =+18．（Ⅰ）84（Ⅱ）由题意，当6090X ≤≤时，利润51(90)3904180T X X X =+--⨯=-，当90110X <≤时，利润590390180T =⨯-⨯=，即4180(6090)180(90110)X X T X ⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩（III ）由题意，设利润T 不少于100元为事件A ，由（Ⅰ）知，利润T 不少于100元时，即4180100X -≥，70X ∴≥，即70110X ≤≤，由直方图可知，当70110X ≤≤时，所求概率：()1()10.025(7060)0.75P A P A =-=-⨯-=19．（1）证明：连结OM ，在△PBD 中，OM ∥PB ，OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ， 故PB ∥平面ACM ；（6分）（2）BC=1，AC=1，045=∠ABC ，所以AC BC ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以PO BC ⊥，可证⊥BC 面PAC ，则PA BC ⊥ 20（1）y x 42=（2）定点)2,0(（3）当0=AB k 时，4min=QM21.（1）x y =（2）()()()()()()()22111,1111m x m F x f x g x x x x x +-'''=-=-=>-+++ 当0m ≤时， ()0F x '<，函数()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0m >时，令()101F x x m '<⇒<-+，函数()F x 在11,1m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减；()101F x x m '>⇒>-+，函数()F x 在11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当0m ≤时，()F x 的单减区间是()1,-+∞；当0m >时，()F x 的单减区间是11,1m ⎛⎫--+⎪⎝⎭， 单增区间是11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭（3）函数()()ln 1f x m x =+在点()(),ln 1a m a +处的切线方程为()()ln 11m y m a x a a -+=-+，即()ln 111m ma y x m a a a =++-++，函数()1xg x x =+在点1,11b b ⎛⎫-⎪+⎝⎭处的切线方程为()()211111y x b b b ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭+，即()()222111b y x b b =+++.()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线.所以()()()222111ln 111m a b ma b m a a b ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩①②有唯一一对(),a b 满足这个方程组，且0m >. 由（1）得： ()211a m b +=+代入（2）消去a ，整理得：()22ln 1ln 101m b m m m b +++--=+，关于()1b b >-的方程有唯一解. 令()()22ln 1ln 11g b m b m m m b =+++--+，()()()()2221122111m b m g b b b b +-⎡⎤⎣⎦=-=+++ 方程组有解时，0m >，所以()g b 在11,1m ⎛⎫--+⎪⎝⎭单调递减，在11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以()min 191ln 1g b m m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 因为()(),,1,b g b b g b →+∞→+∞→-→+∞，只需ln 10m m m --=，令()ln 1m m m σ=--、()ln m m σ'=-在0m >为单减函数，且1m =时， ()0m σ'=，即()()max 10m σσ==， 所以1m =时，关于b 的方程()22ln 1ln 101m b m m m b +++--=+有唯一解 此时0a b ==，公切线方程为y x =.22.(Ⅰ)50x -=; (Ⅱ)323. (Ⅰ)43x x⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭; (Ⅱ)51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。